Pokročilé numerické metody II
4. přednáška
Vícekrokové metody
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 1 / 12
Vícekrokové metody
y′
= f (x, y), y(x0) = y0
y(xi+1) = y(xi ) +
xi+1
xi
f (x, y(x))dx
Označení:
y′
j = fj = f (xj , yj )
Adamsova–Bashforthova metoda
Funkci f aproximujeme interpolačním polynomem v bodech
xi−s, xi−s+1, . . . , xi
Diference:
∆fj = fj+1 − fj
∆2
fj = ∆fj+1 − ∆fj = fj+2 − 2fj+1 + fj
∆3
fj = ∆2
fj+1 − ∆2
fj = fj+3 − 3fj+2 + 3fj+1 − fj
...
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 2 / 12
Newtonův interpolační polynom pro interpolaci vzad:
x = xi + th
t
j
=
t(t − 1) · · · (t − j + 1)
j!
P(xi + th) = fi +
t
1
∆fi−1 +
t
2
∆2
fi−2 + · · · +
+
t + s − 1
s
∆s
fi−s
yi+1 = yi + h
1
0
P(xi + th)dt
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 3 / 12
Adamsův extrapolační vzorec:
yi+1 = yi + h[fi + b1∆fi−1 + b2∆2
fi−2 + · · · + bs∆s
fi−s]
bj =
1
0
t
j
dt =
1
j!
1
0
t(t − 1) · · · (t − j + 1)dt
Koeficienty bj :
j 1 2 3 4 5
bj 1/2 5/12 3/8 251/720 95/288
bj nezávisí na s, b0 = 1.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 4 / 12
Při použití Lagrangeova interpolačního polynomu dostaneme
formuli
yi+1 = yi + h[bs,0fi + bs,1fi−1 + bs,2fi−2 + · · · + bs,sfi−s]
bs,j =
(−1)j
j!(s − j)!
1
0
t(t + 1)(t + 2) · · · (t + s)
t + j
dt
s bs,0 bs,1 bs,2 bs,3 bs,4
0 1
1 3/2 -1/2
2 23/12 -16/12 5/12
3 55/24 -59/24 37/24 -9/24
4 1901/720 -2774/720 2616/720 -1274/720 521/720
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 5 / 12
Adamsova–Multonova metoda
Funkci f aproximujeme interpolačním polynomem v bodech
xi−s, xi−s+1, . . . , xi , xi+1
Adamsův interpolační vzorec:
Je použit Newtonův interpolační polynom
x = xi+1 + th
yi+1 = yi + h[fi+1 + c1∆fi + c2∆2
fi−1 + · · · + cs+1∆s+1
fi−s]
cj =
1
j!
0
−1
t(t + 1) · · · (t + j − 1)dt
Koeficienty cj :
j 1 2 3 4 5
cj -1/2 -1/12 -1/24 -19/720 -3/160
cj nezávisí na s, c0 = 1.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 6 / 12
Použití Lagrangeova interpolačního polynomu:
yi+1 = yi + h
s
j=−1
cs,j fi−j
cs,j =
(−1)j+1
(j + 1)!(s − j)!
1
0
(t − 1)t(t + 1)(t + 2) · · · (t + s)
t + j
dt
s cs,−1 cs,0 cs,1 cs,2 cs,3
-1 1
0 1/2 1/2
1 5/12 8/12 -1/12
2 9/24 19/24 -5/24 1/24
3 251/720 646/720 -264/720 106/720 -19/720
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 7 / 12
Obecná vícekroková metoda
yi+1 =
s
j=0
aj yi−j + h
s
j=−1
bj y′
i−j
b−1 = 0: explicitní metoda, b−1 ̸= 0: implicitní metoda
Formule se nazývá řádu r, jestliže je přesná pro polynomy do
stupně r (pozor, nejedná se o řád přesnosti).
Podmínky řádu: s
j=0
aj = 1
−
s
j=0
jaj +
s
j=−1
bj = 1
s
j=0
(−j)k
aj + k
s
j=−1
(−j)k−1
bj = 1, k = 2, . . . , r
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 8 / 12
Metoda, která splňuje první dvě rovnice se nazývá
konzistentní.
Lokální diskretizační chyba:
y(xi+1) =
s
j=0
aj y(xi−j ) + h
s
j=−1
bj y′
(xi−j ) + ltei
Z Taylorova rozvoje:
y(xi−j ) = y(xi )−jhy′
(xi )+
j2
h2
2
y′′
(xi )+· · ·+
(−1)r
jr
hr
r!
y(r)
(xi )+
+
1
r!
xi−j
xi
(xi−j − t)r
y(r+1)
(t)dt
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 9 / 12
y′
(xi−j ) = y′
(xi ) − jhy′′
(xi ) + · · · +
(−1)r−1
jr−1
hr−1
(r − 1)!
y(r)
(xi )+
+
1
(r − 1)!
xi−j
xi
(xi−j − t)r−1
y(r+1)
(t)dt
ltei =
1
r!


xi+1
xi
(xi+1 − t)r
y(r+1)
(t)dt−
−
s
j=0
aj
xi−j
xi
(xi−j − t)r
y(r+1)
(t)dt −
− rh
s
j=−1
bj
xi−j
xi
(xi−j − t)r−1
y(r+1)
(t)dt


Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 10 / 12
ltei =
1
r!
xi+1
xi−s
G(t)y(r+1)
(t)dt
G se nazývá účinková funkce
G(t) = (xi+1 − t)
r
− rhb−1(xi+1 − t)
r−1
+
+
s
j=1
[aj (xi−j − t)
r
+ rhbj (xi−j − t)
r−1
]
(xi−j − t) je funkce xi−j − t doplněná nulovou funkcí mimo
interval [xi−j , xi ], resp. [xi , xi+1, ].
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 11 / 12
Pokud G nemění znaménko na [xi−s, xi+1] pak podle věty o
střední hodnotě integrálu
ltei =
y(r+1)
(η)
r!
xi+1
xi−s
G(t)dt xi−s < η < xi+1.
Pak
ltei = Chr+1
y(r+1)
(η)
Pokud G mění znaménko na [xi−s, xi+1], pak platí
|ltei | ≤
|y(r+1)
(ξ)|
r!
xi+1
xi−s
|G(t)|dt
kde ξ je bod z [xi−s, xi+1], v němž nabývá |y(r+1)
| svého
maxima.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 4. přednáška 12 / 12