Pokročilé numerické metody II
7. přednáška
Okrajové úlohy pro ODR
Metoda střelby
Diferenční metoda
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 1 / 14
Okrajové úlohy
Základní úloha druhého řádu
y′′
= f (x, y, y′
), y(a) = ya, y(b) = yb
Zobecnění – každou rovnici vyššího řádu lze přepsat pomocí
systému ODR:
Y ′
= fff (x, Y ), r(Y (a), Y (b)) = 0
a, b jsou různé body intervalu, zpravidla krajní body.
Separované okrajové podmínky:
r1(Y (a)) = 0, r2(Y (b)) = 0
Lineární okrajové podmínky:
UY (a) + VY (b) = ccc, U, V matice
Lineární separované okrajové podmínky:
U1Y (a) = c1c1c1, V1Y (b) = c2c2c2
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 2 / 14
Pro U = I, V = 0 dostávám počáteční úlohu.
Okrajová úloha nemusí mít řešení
y′′
+ y = 0, y(0) = 0, y(π) = 1,
nebo jich může mít nekonečně mnoho
y′′
+ y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0.
Lineární okrajová úloha druhého řádu
−(p(x)y′
)′
+ q(x)y = f (x)
Separované lineární okrajové podmínky
−α1p(a)y′
(a) + β1y(a) = γ1
α2p(a)y′
(b) + β2y(b) = γ2
Funkce p, p′
q f jsou spojité, následující podmínky zajišťují
existenci řešení:
p(x) ≥ p0 > 0, q(x) ≥ 0
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 3 / 14
Metoda střelby – převod na počáteční úlohu
Základní úloha druhého řádu:
y′′
= f (x, y, y′
), y(a) = ya, y(b) = yb
Pro počáteční úlohu y(a) = ya, y′
(a) = α existuje jediné
řešení y(x) = y(x, α). Hledáme tedy takovou hodnotu ˜α, aby
y(b, ˜α) = yb.
Řešíme nelineární rovnici
F(α) = 0, F(α) = y(b, α) − yb,
ovšem řešení y hledáme numericky.
Nastavíme tedy hodnotu směrnice tečny k řešení y v bodě a a
snažíme se „trefit“ do bodu [b, yb].
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 4 / 14
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 5 / 14
Iterační metody pro řešení rovnice F(α) = 0
bisekce – potřebujeme 2 počáteční iterace,
F(α0) < 0, F(α1) > 0
Newtonova metoda – potřebujeme znát dF(α)
dα
metoda sečen – potřebujeme 2 počáteční iterace
Newtonova metoda:
Položme z(x, α) = ∂y(x,α)
∂α
, pak dF(α)
dα
= z(b, α).
Označme z′
= ∂z(x,α)
∂x
, pak z splňuje počáteční úlohu
z′′
= fy z + fy′ z′
, z(a, α) = 0, z′
(a, α) = 1
(derivací rovnice a podmínek podle α). Počáteční iterace:
α0 =
yb − ya
b − a
, pak αk+1 = αk −
F(αk)
F′(αk)
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 6 / 14
Metoda sečen:
Počáteční iterace:
α0 =
yb − ya
b − a
Podle výsledku F(α0) provedeme korekci:
α1 =
yb − ya − F(α0)
b − a
= α0 −
F(α0)
b − a
,
pak
αk+1 = αk −
αk − αk−1
F(αk) − F(αk−1)
F(αk).
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 7 / 14
Lineární okrajová úloha
Y ′
= AY + fff , UY (a) + VY (b) = ccc, A : m × m
Pro počáteční podmínku Y (a) = ααα dostaneme
F(ααα) = Uααα + VY (b,ααα) − ccc,
řešíme rovnici
F(ααα) = 0.
Buď Y0 řešení rovnice s nulovými počátečními podmínkami,
Y0(x) = Y (x,000).
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 8 / 14
Dále nechť Yi je řešení homogenní počáteční úlohy Y ′
= AY s
počáteční podmínkou
Y (a) =











0
...
0
1
0
...
0











← i ,
položme
YYY = [Y1, . . . , Ym],
pak
Y (x,ααα) = YYY (x)ααα + Y0(x).
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 9 / 14
0 = F(˜α˜α˜α) = U˜α˜α˜α + VY (b, ˜α˜α˜α) − ccc
= U˜α˜α˜α + V (YYY (b)˜α˜α˜α + Y0(b)) − ccc
ccc − VY0(b) = [U + VYYY (b)]˜α˜α˜α
˜α˜α˜α = [U + VYYY (b)]−1
(ccc − VY0(b))
Řešení pro zjištěné ˜α˜α˜α není potřeba počítat znovu:
Y (x) = Y (x, ˜α˜α˜α) = YYY (x)˜α˜α˜α + Y0(x)
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 10 / 14
Diferenční metody
Lineární okrajová úloha druhého řádu
−(p(x)y′
)′
+ q(x)y = f (x)
−α1p(a)y′
(a) + β1y(a) = γ1
α2p(a)y′
(b) + β2y(b) = γ2
αi ≥ 0, βi ≥ 0, αi + βi > 0, i ∈ {1, 2}.
Řešení hledáme na síti (ekvidistantních) uzlů (x0, . . . , xn),
x0 = a, xn = b, xi+1 − xi = h.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 11 / 14
Náhrada derivací (a chyby formulí)
y′
(xi ) =
1
h
[y(xi+1) − y(xi )] + O(h)
y′
(xi ) =
1
h
[y(xi ) − y(xi−1)] + O(h)
y′
(xi ) =
1
2h
[y(xi+1) − y(xi−1)] + O(h2
)
y′′
(xi ) =
1
h2
[y(xi+1) − 2y(xi ) + y(xi−1)] + O(h2
)
Odvození: z Taylorova rozvoje.
Nahrazením derivací diferencemi dostaneme třídiagonální
systém lineárních rovnic.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 12 / 14
Náhrada rovnice, pokud známe p′
(pi = p(xi ), atd.):
−pi
1
h2
[yi+1 − 2yi + yi−1] − p′
i
1
2h
[yi+1 − yi−1] + qi yi = fi
Náhrada rovnice, pokud neznáme p′
:
Položíme z = py′
, (zi )′
≈
zi+1/2−zi−1/2
h
, pak
zi+1/2 = pi+1/2y′
i+1/2 ≈ pi+1/2
yi+1 − yi
h
,
zi−1/2 = pi−1/2y′
i−1/2 ≈ pi−1/2
yi − yi−1
h
.
Celkem
−
pi+1/2yi+1 − (pi+1/2 + pi−1/2)yi + pi−1/2yi−1
h2
+ qi yi = fi
soustava je symetrická.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 13 / 14
Náhrada derivací v okrajových podmínkách:
1 dvoubodové formule – mají chybu O(h)
2 tříbodové formule
y′
0 = 1
2h
(−3y0 + 4y1 − y2) + O(h2
)
y′
n = 1
2h
(yn−2 − 4yn−1 + 3yn) + O(h2
)
poruší se třídiagonalita matice soustavy
3 metoda fiktivních bodů
y′
0 = 1
2h
(y1 − y−1) + O(h2
)
y′
n = 1
2h
(yn+1 − yn−1) + O(h2
)
přidáme základní rovnici pro y0 a yn a vyjádříme
y−1 a yn+1.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 7. přednáška 14 / 14