Pokročilé numerické metody 8. přednáška Variační metody Jiří Zelinka Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 1/17 Variační metody Principy: • budeme pracovat v Hilbertových prostorech • řešíme rovnice Au = f pro lineární operátor A • řešení nehledáme v jednotlivých bodech, ale hledáme funkci, která aproximuje řešení • Předpokládané znalosti: Hilbertovy prostory nad IR (skalární sočin (a, v), Schwarzova nerovnost, L2 prostory, ortogonální rozklad a projekce, Riezsova věta o reprezentaci, lineární operátory), Fourieroy řady □ Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. prednáška 2/17 Nechť H je separabilní Hilbertův prostor, A : Da —H lineární operátor (nemusí být spojitý) definovaný na definičním oboru DA, který je hustý podporstor H. Př.: Q: oblast v IR2 s Lipschitzovskou hranicí f~, Au = -Au = - DA = {u e C2(Q); í/ = 0na T} d2u d2u dx2 dy 2 ' Řešíme rovnici Au = f s nulovou okrajovou podmínkou, tedy hledáme vzor funkce f. Poznámka: Aby D a byl podporstor, musí být okrajová podmínka nulová. Pro nenulovou okrajovou podmínku hledáme řešení ve tvaru u = z + w, kde z splňuje rovnici s nulovou okrajovou podmínkou a w splňuje nenulovou okrajovou podmínku. Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 3/17 Definice 1 Operátor A se nazývá symetrický, jestliže pro všechny u,veDA platí (Au, v) = (u,Av). Př. (pokračování): Au = —Au (Au,v) = -J( d2u d2u. --1--)v dx2 dy2 ] dx2 v — dy: v = (použijeme Greenovu větu: JQ u^dx = Jr uvvkdS — JQ v-jj^-dx, du q " dxk Vk je /c-tá souřadnice vnější normály ) dxk du dx du dv ľ du ln dx dx Jv dy du dv ln dy dy du dv Iq dx dx du dv Iq dy dy vzhledem k nulovým okrajovým podmínkám. Dostali jsme symetrický výraz, stejný by vyšel pro (a, >4yJv ^ ^ A t ^ ^ lirí Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. prednáška 4/17 Definice 2 Symetrický operátor A se nazývá pozitivní, jestliže pro všechny u e DA platí {Au, u) > 0, přičemž rovnost nastává pouze pro nulový vektor. Př. (pokračování): Au = —Au Rovnost nastává pro konstantní funkci, vzhledem k nulovým okrajovým podmínkám musí být nulová. Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 5/17 Definice 3 Symetrický operátor A se nazývá pozitivně definitní, jestliže existuje konstanta c > 0 že pro všechny u e DA platí {Au, u) > C u Poznámka Pro konečně rozměrné prostory je A matice, pro ně pojmy pozitivní a pozitivně definitní splývají. Př. (pokračování): Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 6/17 Použijeme Fridrichsovu nerovnost: Existují kladné konstanty Ci, c2, že u2dx < m ľ cí^L 1=1 Jq du OX; dx + c2 j u2dS Z nulových okrajových podmínek dostaneme u2 = 1 takže pro konstantu c z definice máme c = -7= Kvadratický funkcionál: Pro pozitivní operátor A, f E H a rovnici 4u = f zavedeme kvadratický funkcionál F předpisem Fu = {Au, u) - 2(f, u). u (1) (2) Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 7/17 Poznámka Kvadratický funkcionál F je definován pro všechny prvky DAl ale jeho definiční obor může být větší. Jak vidíme z příkladu, pro A = —A je operátor F definován pro všechny funkce, které splňují okrajové podmínky a jejichž parciální derivace leží v L2(Q), tedy parciální derivace nemusí být ani spojité. Věta 1 Je-li A pozitivní operátor, pak rovnice (1) má nejvýše jedno řešení v D a- Věta 2 (o minimu kvadratického funkcionálu) Buď A pozitivní operátor a nechť G Da je řešení rovnice (1). Pak F nabývá v Da svého minima v ^o, t.j. \/u G Da platí Fu > Fu0, přičemž rovnost nastává pouze pro u = u0. Naopak, nechť F nabývá svého minima y Da y prvku uq. Pak a0 je řešením rovnice (1). Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. prednáška 8/17 Poznámka Dokázali jsme ekvivalenci řešení rovnice (1) a prvkem minimalizujícím kvadratický funkcionál (2), ale zatím nemáme zaručenu existenci řešení ani minima v Da- Pro tento účel musíme prostor D a rozšířit. Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 9/17 Prostor Ha Buď A pozitivně definitní operátor definovaný na Da- Pak na Da můžeme zavést nový skalární součin předpisem (u, v)a = (Au, v). Tím taky automaticky zavedeme normu \\u\W = (u, u)a a metriku Pa(u, v) = \\u — v\\a- Získáme tedy metrický prostor (Da,Pa), j^ho zúplněním dostaneme Hilbertův prostor, který označíme Ha- Poznámka Prostor Ha by bylo možné definovat i pro pozitivní operátor A. Ale pro pozitivně definitní operátor platí \\u\\A > c\\u\\. Odtud plyne, že cauchyovské posloupnosti z DA v metrice pA jsou cauchyovské i v původní metrice indukované normou || • | . Proto zúplněním (Da^Pa) nemůžeme získat jiné prvky, než jsou v H. Proto HA C H a HA je separabiln^ = lirí Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. prednáška 10 / 17 Lemma Pro libovolné pevné ŕ G H je výrazem (ŕ, u) pro u G HA definován spojitý (omezený) lineární funkcionál v Ha- Důkaz: Linearita je zřejmá.Podle Schwarzovy nerovnosti 0)1 < \\f u Fuq <í=> un -¥ Uq, t.j. un — Uq\\ —> 0. □ a ► < i ► < » * -ono Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 12/17 Aproximace zobecněného řeše Metoda ortonormálních rad Buď (ífn)^Li ortonormální báze (úplný ortonormální systém) v HA. Pak OO n=l Navíc n un = ^2 CnLPn n=l je nejlepší aproximací u0 v lineárním obalu £(<^i,..., ^/v), un -> uo- Poznámka Někdy je možné, aby platilo cpn G Da- Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 13/17 Ritzova metoda Definice Řekneme, že systém funkcí V = {ipn)^Li tvoří bázi prostoru H4, jestliže prvky ipn jsou lineárně nazávislé a je hustý v HA. Poznámka Každou funkci z H/\ lze tedy s libovolnou přesností aproximovat konečnou lineární kombinací prvků báze. Věta Nechť Uty^n je prvek minimalizující kvadratický funkcionál F na £(^1,..., ^/v)- Pak i/ii/ a/ "o- Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 14/17 Hledání u^ a/: N n=l Fu v|/, a/ Fu v|/, a/ a/ a/ N (A ^ dn^m ^2 dn^n") ~ 2(ŕ' 5ľ dn^n") -^ mÍtl n=l n=l n=l N N k,n=l n=l Postupuje jako u metody nejmenších čtverců - parciální derivace podle parametrů musí být v bodě minima nulové. Tím získáme systém lineárních rovnic. Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 15 / 17 / (^lil) (^1Í2) • • • • • • {Alp!, M \ / d! \ d, \ {AtpN,tp!) {AýN:ý2) ■■■ {AýN,ýN) J \ dN J I (fM \ (f M \ {fM J Matice soustavy je symetrická a pozitivně definitní, lze ji také zapsat ve tvaru / (^1,^1)4 (^1,^2)4 • • • • • • {^!,^Pn)a \ {^2,^Pn)a \ (lpN,ýl)A {lpN,1p2)A ■■■ {lpN,1pN)A J takže se jedná o Gramovú matici. Pro ortogonální funkce ipn dostaneme diagonální matici, pak řešení odpovídá metodě ortonormálních řad. Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. prednáška 16 / 17 Galerkinova metoda Uvažujeme rovnici Au = f bez dalších předpokladů (symetrie, pozitivita, ...) Definice Prvek uq G H se nazývá slabým řešením rovnice, jestliže pro všechny prvky báze ty platí (Auo,ipn) = {f,ipn)' Princip Galerkinovy metody: hledáme slabé řešení ůy^ na ..., ^/v). Tím dostaneme formálně stejný systém rovnic jako pro Ritzovu metodu, ale nemusí platit symetrie atd., takže není zaručena existence řešení. Galerkinovu metodu lze použít i na nelineární operátory, pak dostáváme systém nelineárních rovnic. i ^q,o liří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 8. přednáška 17 / 17