Pokročilé numerické metody II
9. přednáška
Variační metody: použití na řešení DR
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka        Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška l/B
Řešení DR pomocí variačních metod
Princip:
• řešíme rovnici Au = f pro lineární operátor A
o ověříme, že A je symetrický pozitivně definitní operátor
• najdeme vhodnou bázi
• najdeme přibližné řešení Ritzovou metodou
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška
Au = — (pu ) + ru = f   na [a, b] p, p' a r jsou spojité funkce na [a, /?].
/-/ = Z.2(a, £>), p(x) > po > 0, r(x) > 0 na [a, 6].
Okrajové podmínky
W(a) - pu{a) = 0, 71/(6) + Su(b) = 0, a, P, 7, <5 > 0, a + /3 > 0, 7 + <5 > 0. Speciální případy
O u(a)
O u'{a)
O u(a)
O t/(a)
0,       = 0 0, u'{b) = 0 0, u'(b) = 0
/?u(a) = 0, u'(b) + 5u{b) = 0, p, 5 > 0
CP1
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 9. prednáška
Symetrie:
D D
(/la, v) = ~ J(Pujv + J ruv = -[piíV]J +
purvr + I ruv
Pro první tři typy okrajových podmínek první člen vypadne a dostaneme symetrický výraz. Pro čtvrtý typ dostaneme:
-[pu'v]ba = -p(b)u'(b)v(b) + p(a)u'(a)v(a) =
= ôp(b)u(b)v(b) + pp(a)u(a)v(a), což je opět symetrický výraz vzhledem k u a v.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 4/8
Pozitivita:
Pro první tři typy okrajových podmínek dostaneme
(Au, u) = J pu
12 + I ru2> 0.
Protože p > po > 0, je rovnost možná jen pro
u'2 = 0     u' = 0     u = C.
Vzhledem k nulovosti u v krajním bodě intervalu pro první a třetí typ okrajových podmínek musí být u = 0.
Pro druhý typ potřebujeme pro pozitivitu dodatečnou podmínku, např r(x) > r0 > 0.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška
Pro čtvrtý typ máme
D O
{Au, u) = 5p(b)u2(b) + f3p(a)u2(a) + í pu'2 + j ru2 > 0.
a a
Opět u = C, ale také u2(a) = 0, odtud u = 0. Pozitivní definitnost:
Fridrichsova nerovnost pro funkci jedné proměnné:
b b
j u2   <  ci J uř2 + c2u2(a)
a a b b
j u2   <   ClJ u'2 + c2u2(b)
a a b b
u2 <
ci í u'2 + c2[u2(a) + u2(b)]
J
Pro okrajové podmínky 1 a 3 vyjde
D
{Au, u)>Po J u'2 >
Po
u =
Po
Cl J Ci
a
Pro 2 použijeme dodatečný předpoklad r(x) > r0 > 0 (stačí r(x) > 0 alespoň v jednom bodě). Pak
b
{Au, u)>r0Ju2 =
r0 2 — U
Cl
Pro 4:
(Au,u) = 5P(b)u2(b) + f3P(a)u2(a) + J pu
12 + I ru2>
b
> po J u12 + p0k[u2{a) + u2{b)] pro k = min{/3, Ô}.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 7/8
(Au, u) > ElCl I u'2 + ^c2[u2(a) + u2(b)] >
Cl
C2
> C
cií u,2 + c2[u2{a) + u2{b)]\ > Č
U
pro C2 = min{^,^}
Volba báze
• ortogonální báze
• Na [a, b] zvolíme uzlové body a = x0 < xi < • • • < xn. Bázové funkce ^/ má hodnotu 1 v x,- a 0 v ostatních uzlových bodech. Řešení aproximujeme po částech lineární spojitou funkcí (lineárním splajnem).
• Pro rovnice vyšších řádů volíme splajny vyšší spojitosti.
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 8/8
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 9/8
Eliptické PDR
Na q C      s lipschitzovskou hranici ľ řešíme rovnici
N
Au = -
d , du
Yl íľ(a^) + cu = ŕ' au = aJ'
, <9x; <9x; //=1 J
Elipticita
N
N
aij(x)ziZj > Po Ylz/2'   Vx G Q, z G R", p0 > 0.
/J=i
Okrajové podmínky
Dirichletova u = 0 na ľ
Neumannova Nu = 4^ = 0
onc
Newtonova Nu + au = 0, a > a0 > 0
□ s
Jirí Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. prednáška 9/8
Nu = -f^: derivace ve směru konormály
dnc '
Nu =
du
N
íj=i
du
dxj
cos (z/, X/)
cos(z/, x/): úhel, který svírá vnější normála v daném bodě
s osou x; (směrový kosinus).
S použitím Greenovy věty dostaneme
N
{Au, v)  = -
Ed du lhrijd^ ij=i
),+/
CUV
EGU / v-^ OU
í/=i       J q '7=1
9a <9\/
=   - / A/m/ +
. A/ O í/=l
9a <9\/
OXj dx;
+ / oy\/
dxj
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 10/8
Pro Dirichletovu a Neumannovu okrajovou podmínku dostaneme
ľ du dv      f /    a \
//=1
Pro Newtonovu okrajovou podmínku dostaneme
{Au, v) = J auv + J + J cuv = (u, Av)
ij=l J 1
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 11/8
Pozitivní definitnost
Dirichletova podmínka
{Au, u) = J^T ay
du du      ľ   o ľ sr^,du.0
+ I cu2>p0 —)2
dxj dx;
i=l
dx;
Podle Fridrichsovy nerovnosti
(Au, u) > —Ci
N
Ví—Ý > —
ci   j ~ ci
U =
Po
Cl
u
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 12/8
Newtonova podmínka
du du
ÔXj ÔX;
+ I cu2+ I au2
q
N
> Po
;=i
S^fdu\2, I    2 PO
N
Cl
Cl
;=1
8u_ 2 Oo
^l0x/ C2
c2  / u'
(/4u, u) > C2||u||2 pro C2 — min{
Po &o Cl ' c2
Neumannova podmínka - potřebujeme dodatečnou podmínku
c(x) > c0 > 0.
Pak
(/la, u) > c0 y* a2 = c0
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 9. přednáška 13/8