Pokročilé numerické metody II
10. přednáška
Variační metody – dokončení
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 10. přednáška 1 / 5
Metoda konečných prvků
Volba báze
Provedem triangulaci oblasti Ω. Pro každý vrchol triangulace
definujeme bázovvou funkci částech lineární spojitou
s hodnotou 1 v daném vrcholu, v ostatních vrcholech 0.
Řešení u je aproximováno po částech lineární spojitou funkcí.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 10. přednáška 2 / 5
Řešení DR pomocí variačních metod
Metoda nejmenších čtverců
Definice
Řekneme, že systém funkcí Ψ = (ψn)∞
n=1 tvoří A-bázi prostoru
H, jestliže prvky Aψn tvoří bázi H.
Tedy ∀ε > 0 lze nalézt N a konstanty c1,. . . ,cN, že
∥
N
k=1
ckAψk − f ∥ < ε, t.j.
∥
N
k=1
A(ckψk) − f ∥ = ∥A
N
k=1
(ckψk) − f ∥ < ε.
MNČ: hledáme přibližné řešení ve tvaru uN =
N
k=1
akψk :
∥AuN − f ∥ → min
na L(ψ1, . . . , ψN).
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 10. přednáška 3 / 5
Derivací podle parametrů dostaneme podobně jako pro
Ritzovu metodu systém lineárních rovnic





(Aψ1, Aψ1) . . . (Aψ1, AψN)
(Aψ2, Aψ1) . . . (Aψ2, AψN)
...
...
(AψN, Aψ1) . . . (AψN, AψN)










a1
a2
...
aN





=





(f , Aψ1)
(f , Aψ2)
...
(f , AψN)





s Gramovou maticí soustavy.
Věta
Nechť A je pozitivně definitní operátor a nechť Ψ = (ψn)∞
n=1 je
A-báze prostoru H. Pak posloupnost uN určená metodou
nejmenších čtverců konverguje v HA a tedy i v H k zobecněnému
řešení u0 rovnice Au = f . Navíc platí
lim
N→∞
AuN = f .
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 10. přednáška 4 / 5
Courantova metoda
Nechť zobecně řešení u0 rovnice Au = f leží v DA. Sestrojíme
funkcionál
˜Fu = Fu + ∥Au − f ∥2
.
˜F nabývá minima v u0, protože u0 minimalizuje F a
∥Au0 − f ∥ = 0. Minimalizace ˜F Ritzovou metodou je pracnější
než minimalizace F, ale konvergence je rychlejší.
Obecnější předpoklady pro konvergenci MNČ
1 A je lineární, DA je hustý v H.
2 Ψ = (ψn)∞
n=1 je A-báze prostoru H.
3 Rovnice Au = f má řešení u0 ∈ DA.
4 Existuje K > 0, že pro každý u ∈ DA platí ∥Au∥ ≥ K∥u∥.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 10. přednáška 5 / 5