Pokročilé numerické metody
11. přednáška
Metody konečných diferencí pro eliptické rovnice
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka        Pokročilé numerické metody II, 11. prednáška 1/14
PDR, metody konečných diferencí (metody sítí)
Q: oblast v IRm s Lipschitzovskou hranicí ľ. Gauss, Green, Ostrogradský:
u^—dx = / uvvkdS — í v-^—dx q  oxk        Jv JQ dxk
Fridrichsova nerovnost:
Existují konstanty Ci, C2, že
u2dx <
m »
cí^L
1=1 jn
du
n \dxi
dx + c2 j u d S
Poincarého nerovnost:
Existují konstanty C3, c4, že
du
n \dxi
u2dx <
m „
1=1 Jn
Jiří Zelinka
dx + c4 (^J u\ dx
□    s ► < 1 ► < >
Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška
2/14
PDR, metody konečných diferencí (metody sítí)
Eliptické rovnice
Q: oblast v IRm s Lipschitzovskou hranicí ľ Rovnice:
m
d
du
/J=i
Okrajová podmínka
du
a(x)— + (3(x)u = 7(x)
a,y = ayn q, f: funkce definované v Q a, (3, 7: funkce definované na V
□ s
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 11. prednáška 3/14
du dnc
derivace ve směru konormály
du     ^ du
dn
/J=i
dx
7
cos(z/, xj): úhel, který svírá vnější normála v daném bodě s
osou x
7
Eliptičnost:
m
m
Y, aij(x)ziZj > po Y,zl Vxefi,zeMm 'j'=i
;=1
a,/3>0, a + /3>0
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška 4/14
Typy okrajových podmínek
a = 0: Dirichletova okrajová podmínka
/3 = 0: Neumannova okrajová podmínka a,/3 > 0: Newtonova okrajová podmínka
Sestavení diferenčního schématu
Lineární samoadjungovaná rovnice v IR2
Lu = -S- lp(x,y)du
dx
dx I   d y
dy
Síť: systém rovnoběžek x,- = x0 + ih, yj = yo + jh, h > 0: (integrační) krok.
Označení: u;j = i/(x/,j^)f podobně ostatní.
Diferenční proximace operátoru L:
trnitý   =   [Apy + třqtjluij-
h d p
v + ô^r-]"/+ij - [Pij ~ ôiH"/-ij "
2 dx
/7 <9p
b,   ■ ■ ~ f//1 r ■ ■ ~ fy i
2 <9x
2 <9y
2 dy
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška
6/14
Diferenční proximace operátoru L bez derivcí p Označení: P;+i/2j = p(*7 + 5? J0")» podobně další.
h2L2Uij   =   [p/+i/2j + P/-1/2J + P/j+1/2 + P/j-1/2 + hzqij]uij -
~    Pi+i/2jUi+ij ~ Pi-l/2jUi-lJ ~ ~    Pij+i/2UiJ+l ~ PiJ-l/2UiJ-l
Matice soustavy je symetrická. Věta 1
Nechť p má v Q spojité první parciální derivace a nechť q je spojitá v Q. Dále nechť u má v Q spojité parciální derivace do čtvrtého řádu. Pak platí
L'u^iLu^x^y^ + Oih2).
Jirí Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška 7/14
Věta 2
Nechť p má v Q spojité první parciální derivace a nechť q je spojitá v Q. Dále nechť u má v Q spojité parciální derivace do čtvrtého řádu. Pak platí
L2Uij = {Lu){xhyj) + 0{h2).
Příklady
Poissonova rovnice
-Au = -
d2u d2u
dx2 dy:
Laplaceova rovnice
-Au = -
d2u d2u
dx2 dy:
= 0
Aproximace: 1
h2
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška
8/14
Přepis okrajových podmínek
Uzly síte
vnitřní: všechny sousední uzly leží v Q
hraniční: pokud není vnitřní a aspoň jeden soused je vnitřní.
Dirichletova okrajová podmínka u(x,y) = 7(x,y) na V.
Collatzova lineární interpolace:
Potřebujeme rovnici pro bod A využijeme přímku spojující A,B\
n(x,y)   =   ^u(A) + ±u(B) + 0(h2) u(C)   =   (1 + a)u(A) - au(B) + 0{h2)
Hranina operátor:    {Ic)a   =   uA — ttzUB
Okrajová podmínka: (Ic)a =
l+<7
°     " ifc7(C)
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška 9/14
Rovnice pro bod A:
ua ~ t^—ub = t-—1ÍQ
l + <7
1 + a
Alternativní rovnice:
1 + r
1 + r
Zachování symetrie:
1 + a ,A + B.    1 + r ,A + D. ■P(—S—) + ^P(^^)
cr
r
"^-P(     a     )ub-P{     „ )ud
= -P —^7(C) + -p ——h E
a       2 r 2
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška 10/14
Různé tvary hranice
-p{—z—)uA ~ P{^—)uB = -p{—z—n{C)
a Z Z a Z
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška   11 / 14
■P(—) + P(—) + P(—^—)
+ e, + 1 ,A + B.
—^—)ub-p{—^—)ud-p{—^—)uh = -pi—^—mQ
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška 12/14
Neumannova okrajová podmínka:      = 7
					
					
				B	
	JÍ			■B'	
	1		g	d	
_(C) = ^) + 0(/l) =
+ 0(/»)
cos a
<9nc
u(fí') = tan au{D) + (1 - tan a)u(fí) + 0{h2) <9n,- n
- (1 - tan a)u(fí) - tan au(D) =
cos a
7(C)
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška 13/14
Newtonova okrajová podmínka:
Kombinací předchozích postupů, chyba je opět O(h).
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody II, 11. přednáška 14/14