Pokročilé numerické metody II
13. přednáška
Parabolické rovnice
Hyperbolické rovnice
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 1 / 9
Parabolické DR
Rovnice vedení tepla ve více dimenzích
∂
∂t
u = α∆u + f
Rovnici řešíme na Ω × R+, Ω ⊆ Rn
.
Např. pro n = 2 a explicitní schéma vyjde (viz eliptické
rovnice):
uk+1
ij = r uk
i,j−1 + r uk
i−1,j + (1 − 4r)uk
ij + r uk
i+1,j + r uk
i,j+1 + τf k
ij .
Podmínka stability: r ≤ 1
4
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 2 / 9
Metoda střídavých směrů
Snaha o ekonomický výpočet – pouze třídiagonální matice:
Při přechodu od vrstvy k k vrstvě k + 1 použijeme mezivrstvu
k + 1/2 a použijeme různé typy aproximací.
V prvním půlkroku aproximujeme uxx implicitně (pomocí vrstvy
k + 1/2) a uyy explicitně (pomocí vrstvy k). V druhém
půlkroku je to obráceně. Časový krok je τ/2.
Pro homogenní rovnici máme:
u
k+1/2
i,j − uk
i,j
τ
=
α
2
u
k+1/2
i−1,j − 2u
k+1/2
i,j + u
k+1/2
i+1,j
h2
x
+
uk
i,j−1 − 2uk
i,j + uk
i,j+1
h2
y
uk+1
i,j − u
k+1/2
i,j
τ
=
α
2
u
k+1/2
i−1,j − 2u
k+1/2
i,j + u
k+1/2
i+1,j
h2
x
+
uk+1
i,j−1 − 2uk+1
i,j + uk+1
i,j+1
h2
y
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 3 / 9
Schéma je absolutně stabilní s diskretizační chybou
O(τ2
+ h2
x + h2
y ).
Problémy mohou být pro obecnou oblast s aproximací na
hranici.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 4 / 9
Hyperbolické DR
Vlnová rovnice
∂2
∂t2
u = c2 ∂2
∂x2
u + f
Interpretace:
u(x, t) je vychýlení struny v daném bodě a daném čase.
c je rychlost šíření vlny, často klademe c = 1.
Počáteční podmínky:
u(x, 0) = u0(x), ∂
∂t
u(x, 0) = u1(x), x ∈ [0, 1]
Okrajové podmínky (Dirichletovy):
u(i, t) = gi (t), t ≥ 0, i ∈ {0, 1}
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 5 / 9
Přibližné řešení hledáme na [0, 1] × [0, T], T > 0.
Definice uzlů:
h = 1/N, x0 = 0, xN = 1, xi = i h,
τ = T/M, t0 = 0, tM = T, tk = k τ.
Označení: uk
i ≈ u(xi , tk).
Přibližné řešení počítáme postupně pomocí tří časových vrstev:
1
τ2
[uk+1
i − 2uk
i + uk−1
i ] =
σ
h2
[uk+1
i−1 − 2uk+1
i + uk+1
i+1 ] +
+
1 − 2σ
h2
[uk
i−1 − 2uk
i + uk
i+1] +
+
σ
h2
[uk−1
i−1 − 2uk−1
i + uk−1
i+1 ] + f k
i
Diskretizační chyba: O(τ2
+ h2
)
σ ≥ 0: váha diferenčního schématu.
σ = 0: explicitní schéma, podmínka stability je τ/h ≤ 1.
σ = 1: implicitní schéma, absolutně stabilní.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 6 / 9
Začátek výpočtu
Počáteční vrstvu (k = 0) získáme z počáteční podmínky pro
u0.
První vrstvu získáme z odhadu první derivace (funkce u1),
s využitím centrální diferenční formule pro počáteční vrstvu
s chybou O(τ2
), fiktivních bodů (vrstva pro k = −1)
a rovnice pro vrstvy −1, 0, 1.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 7 / 9
Metoda přímek (klasická)
Metodu lze použít pro časově závislé rovnice s jednou
prostorovou proměnnou.
Princip spočívá v tom, že diskretizujeme pouze prostorovou
proměnnou a rovnici pak řešíme jako systém ODR.
Rovnice:
ut = f (x, t, ux , uxx ), 0 < x < 1, t > 0.
Počáteční podmínka:
u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, 1]
Okrajové podmínky (Dirichletovy):
u(i, t) = gi (t), t ≥ 0, i ∈ {0, 1}
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 8 / 9
Definice uzlů:
h = 1/N, x0 = 0, xN = 1, xi = i h
Označme ui (t) = u(xi , t), jedná se o restrikci funkce u na
přímku x = xi .
Použijeme „klasické“ diferenční aproximace parciálních derivací
podle x, derivace funkcí ui je derivací podle času:
u′
i = f (xi , t,
ui+1 − ui−1
2h
,
ui+1 − 2ui + ui−1
h2
)
= Fi (t, ui−1, ui , ui+1), i = 1, . . . , N − 1.
u0 a uN jsou dány okrajovými podmínkami,
počáteční podmínky ui (0) = u0(xi ).
Metodu lze použít i pro rovnice vyšších řádů s příslušnými
počátečními podmínkami.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 13. přednáška 9 / 9