1. domácí úkol - MIN201 - jaro 2023 - odevzdat do 9.4.2023
(i) Určete následující limitu bez použití ĽHospitalova pravidla:
..   t- ^/3ŕT4 lim-.
í^4      4 - t
(ii) Určete následující limitu (jakýmkoliv způsobem):
lim x2(arctanx--) + x.
X^řOO 2
(iii) Určete následující limitu (jakýmkoliv způsobem):
lim ( -
n-ovsinrr (iv) Určete limitu
lim M,
kde [x\ označuje dolní celou část reálného čisla x. Nestačí limitu uhádnou, je třeba výsledek nějak dokázat (třeba přímo z definice limity).
Řešení:
(i) Po vynásobení čitatele i jmenovatele výrazem t + y/3t + 4 dostaneme
..   í-^/3ŕT4             ŕ2-(3ŕ + 4) t + 1
lim- = lim-, = — lim
í^4     A-t (4-ŕ)(ŕ +V3í + 4) t + V3í + 4 8'
(ii) Po úpravě použijeme ĽHospitalovo pravidlo:
^ cLX*c1j ctil íí/ _       ~~0   j   — ———2" — ~~^2 CC*^
lim x2(arctanx--)+x = lim -=—--- = lim -^-^—=—— = — lim —---— =
x^oo 2 X^OO x^oo       —x^oo X2{1 + X2)
(ii) Po úpravě
sinrr
upravíme exponent použitím ĽHospitalova pravidla
o i„/   x   \ o sin x sin x—x cos x 0
lim 31n(ř} = lim 3~^^ = 3- lim ^x~xcosx.
2:^0 2x 2 2:^0 sin x
Následně je třeba ještě dvakrát použít ĽHospitalovo pravidlo, limita vyjde |, takže výsledek je y/ě.
(iv) Lehce se uhádne, že lim^oo      = 1, což dokážeme přímo z definice. Tedy pro libovolné e > 0 potřebujeme najít M G IR takové, že x > M implikuje 1 — e<-^|J-<l + e. Zjevně < 1; pro zvolené e tedy chceme      > 1 — e pro dostatečně velké x. Jelikož |_^J = x — a pro a <G [0,1), chceme
I x I     x — a
— = - > 1 - e
x x
neboli ekvivalentně - < x. Toto jistě platí pro x > M := -.