3. domácí úkol - MIN201 - jaro 2023 - odevzdat do 7.5.2023
(i) Určete interval konvergence mocninné řady
oo 1
y—-
t-^< n — A
, xn. n — 4 ln n
n=l
(ii) Funkci
rozviňte do mocninné řady a se středem v počátku. Dále určete všechna iGl, pro která tato řada konverguje.
(iii) Určete, pro která iGK konverguje řada
oo
X
H+x'
n=0
Řešení:
(i) Podle podílového kritéria spočteme
lim   n+i-^Cn+i) = Hm _n-A\nn_       = ^ _1-4^_      = i
n^infty -j-- n^oo n + 1 — 4 hlín + 1)       n^oo 1 _i_ I _ ^M"+l) '
n—Aian K ' n n
tj. poloměr konvergence je 1. V levém krajním bodě dostanem řadu
OO
V_-_í-ir
^ n - 4 ln n '
n=l
které konverguje podle Leibnizova kritéria. V pravém krajním bodě pak dostaneme divergující řadu
OO 1 OO 1
^ n — 4 ln n    ^—' n
n=l n=l
Tedy interval konvergence je [—1,1).
(ii) Buď najdeme Taylorovu řadu funkce /(rr) nebo si rovnou všimneme, že je to (až na konstantu) součet geometrické řady
V".
fí^ =_l_= —__l_= — Víí--)T = — VÍ--V
n}     16 + 2:r3     16   l-(-f)3     16 2} '      16^ 8}
v    2^ n=o n=0
Jelikož limn (l/8)n = |, je poloměr konvergence roven 2. Dosazením krajních bodů
se pak zjistí, že interval konvergence je (—2, 2).
(iii) Pro y =       se jedná o řadu ^2™=0yn, která konverguje pro —1 < y < 1. Tedy zadaná řada konverguje pro —1 <       < 1, tj. pro x > — |.