5. domácí úkol - MIN201 - jaro 2023 - odevzdat do 25.5.2023
Na prostoru spojitých reálných funkcí na intervalu [0, e — 1] uvažme obvyklý skalární součin, který je pro dvě takové funkce f a g vztahem (f,g) = JQe 1 f(x)g(x) dx. Dále položme
1
f{x) =--h a \n(x + 1),    a G IR,
x + 1
kde a je parametr.
(i) Určete, pro která a G IR se minimalizuje velikost funkce /.
(ii) Určete, pro která a G IR jsou na sebe funkce f(x) a f(x) — 1 kolmé.
Řešení:
(i) Přímým výpočtem ověříme, že
fe-l re-l       y 2 \
2- /     f2(x)dx= /--\- a\n(x + 1)) dx = (e - 2)a2 + a + 1--,
Jo Jo     \x + l J e
ll/(*)ll
tj. velikost je (e — 2)a2 + a + 1 — K Chápeme-li to jako kvadratickou funkci závisející na a, její minimum najdeme pro a = — 2{e-2) •
(ii) Přímý výpočet dává
(/, / + 1) = /     (fix) + f(x))dx = (e - 2)a2 + a+ l---(a + 1) = (e - 2)a2 - -.
Jo e e
Tento výraz je nulový pro a
Ve(e-2)'