Obsah 1 Prekalkulus 3 1.1 Reálná čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Funkce a jejich základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Diferenční a sumační počet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7 Spojité funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 51 2.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Derivace vyšších řádů, diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3 Obecné věty o derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4 Taylorův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6 Rovinné křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3 Integrální počet funkcí jedné proměnné 77 3.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4 Integrál jako funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.6 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.7 Numerická integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.8 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4 Nekonečné řady 111 4.1 Pojem řady a jejího součtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2 Řady s nezápornými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4 Dvojné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5 Součin řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.6 Posloupnosti a řady funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.7 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.8 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.9 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 1 5 Metrické prostory 147 5.1 Pojem metriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.2 Podmnožiny metrického prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.3 Konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4 Úplné a kompaktní prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.5 Zobrazení metrických prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6 Fourierovy řady a integrální transformace 163 6.1 Hilbertův prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2 Prostor L2 (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3 Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.4 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.5 Fourierův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.6 Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2 Kapitola 1 Prekalkulus 1.1 Reálná čísla • Přirozená čísla: N = {1, 2, 3, ...} Dospějeme k nim při počítání prvků nějaké množiny. Lze na nich definovat základní početní operace, uspořádání. • Celá čísla: Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Doplnění množiny N tak, aby operace odčítání měla vždy výsledek. • Racionální čísla: Q = {m n : m ∈ Z, n ∈ N} Doplnění množiny Z tak, aby operace dělení měla vždy výsledek. • Iracionální čísla: I Čísla, která není možno vyjádřit ve tvaru m n , kde m ∈ Z, n ∈ N Iracionální čísla potřebujeme. Např. log10 3 ∈ I. D.: Sporem. Připusťme, že log10 3 = m n . Pak 10 m n = 3 10m = 3n 2m 5m = 3n Dostali jsme dva různé rozklady jednoho čísla na prvočinitele. To je spor. Nebo √ 2 ∈ I. D.: Sporem. Připusťme, že √ 2 = m n . Pak 2 = m2 n2 2n2 = m2 V rozkladu na prvočinitele čísla stojícího na levé straně rovnosti je 2 v liché mocnině, v rozkladu na prvočinitele čísla stojícího na pravé straně rovnosti (tedy téhož čísla) je 2 v sudé mocnině. To je spor. 1.1.1 Definice Buď M množina, na níž je definováno uspořádání ≤ . (Uspořádání je binární relace, která je (i) reflexivní: (∀a ∈ M) (a ≤ a) (ii) antisymetrická: (∀a, b ∈ M) (a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b) (iii) transitivní: (∀a, b, c ∈ M) (a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c) ) Buď a ∈ M, A ⊆ M. Řekneme, že a je horní (resp. dolní) závora množiny A v množině M, jestliže x ≤ a (resp. a ≤ x) pro každé x ∈ A. Řekneme, že množina A je ohraničená shora (resp. zdola), jestliže existuje její horní (resp. dolní) závora. Řekneme, že množina A je ohraničená, je-li ohraničená shora i zdola. 3 1.1.2 Příklady 1. Množina A = {1, 1+ 1 2 , 1+ 1 2 + 1 3 , ...} je ohraničená zdola (dolní závora je např. 1) a není ohraničená shora: Při označení an = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n je a1 = 1 a4 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 = 1 + 2 2 a8 = a4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 1 + 2 2 + 4 8 = 1 + 3 2 ... Indukcí lze dokázat, že a2n > 1 + n 2 a číslo 1 + n 2 může být libovolně velké. 2. Množina B = {1, 1 + 1 4 , 1 + 1 4 + 1 9 , ...} je ohraničená shora, b ≤ π2 6 pro každé b ∈ B. (Bude dokázáno později.) 1.1.3 Definice Buď A ⊆ M, kde M je množina, na níž je definováno uspořádání ≤. Řekneme, že a ∈ A je maximum nebo největší prvek (minimum nebo nejmenší prvek) a píšeme a = max A (a = min A), jestliže pro každé x ∈ A platí x ≤ a (a ≤ x). 1.1.4 Definice Buď M množina, na níž je definováno uspořádání ≤ a buď A ⊆ M. Řekneme, že a ∈ M je supremum množiny A, jestliže je nejmenší horní závorou množiny A, t.j. jestliže platí (s1) (∀x ∈ A) (x ≤ a), (s2) ((∀x ∈ A) (x ≤ b)) ⇒ a ≤ b. Píšeme a = sup A. 1.1.5 Definice Buď M množina, na níž je definováno uspořádání ≤ a buď A ⊆ M. Řekneme, že a ∈ M je infimum množiny A, jestliže je největší dolní závorou množiny A, t.j. jestliže platí (i1) (∀x ∈ A) (a ≤ x), (i2) ((∀x ∈ A) (b ≤ x)) ⇒ b ≤ a. Píšeme a = inf A. 1.1.6 Poznámky 1. Podmínku (s2) v 1.1.4 lze nahradit podmínkou (s2∗ ) (p ∈ M, p < a) ⇒ (∃x ∈ A) (p < x). (p < a je definováno jako p ≤ a a současně p = a; v dalším budeme používat i symboly ≥, >.) D.: Nechť a ∈ M splňuje (s2) a nechť p ∈ M, p < a. Pak p není horní závora množiny A (jinak by podle (s2) bylo a ≤ p). Odtud plyne, že existuje x ∈ A takové, že x > p, tedy platí (s2∗ ). Nechť a ∈ M splňuje (s2∗ ) a buď b ∈ M horní závora množiny A. Kdyby b < a, pak by existovalo x ∈ A takové, že b < x a tedy b by nebyla horní závora množiny A. Je tedy a ≤ b. 2. Analogicky lze dokázat, že podmínku (i2) v 1.1.5 lze nahradit podmínkou (i2∗ ) (p ∈ M, p > a) ⇒ (∃x ∈ A) (p > x). 3. Libovolná A ⊆ M má nejvýše jedno supremum a nejvýše jedno infimum. 4 D.: Nechť a = sup A, b = sup A. b je podle (s1) horní závora množiny A, tedy a ≤ b podle (s2). Analogicky a je horní závora A, tedy b ≤ a. Z antisymetrie relace ≤ plyne a = b. Analogicky se ukáže platnost tvrzení pro infimum. 4. Jestliže existuje max A (min A), pak existuje také sup A (inf A) a platí sup A = max A (inf A = min A). D.: Nechť a = max A. a splňuje (s1) přímo podle definice maxima 1.1.3 Nechť b je horní závora množiny A. Pak b ≥ x pro každé x ∈ A, zejména tedy b ≥ a ∈ A. Což znamená, že platí (s2). Tvrzení pro infimum a minimum se dokáže analogicky. 1.1.7 Definice Množina reálných čísel je množina R, na níž jsou definovány dvě binárním operace + (sčítání), · (násobení) a jedna binární relace < (menší než), které splňují podmínky (R1) pro všechna a, b ∈ R platí a + b = b + a (komutativní zákon pro sčítání) (R2) pro všechna a, b, c ∈ R platí (a + b) + c = a + (b + c) (asociativní zákon pro sčítání) (R3) existuje prvek 0 ∈ R takový, že pro všechna a ∈ R platí a + 0 = a (existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání) (R4) ke každému a ∈ R existuje prvek −a ∈ R takový, že a + (−a) = 0 (existence opačného prvku) (R5) pro všechna a, b ∈ R platí a · b = b · a (komutativní zákon pro násobení) (R6) pro všechna a, b, c ∈ R platí (a · b) · c = a · (b · c) (asociativní zákon pro násobení) (R7) existuje prvek 1 ∈ R, 1 = 0 takový, že pro všechna a ∈ R platí a · 1 = a (existence neutrálního prvku vzhledem k násobení) (R8) ke každému a ∈ R, a = 0 existuje prvek a−1 ∈ R takový, že a · a−1 = 1 (existence inversního prvku) (R9) pro všechna a, b, c ∈ R platí a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (distributivní zákon) (R10) každé dva prvky z množiny R jsou srovnatelné, podrobněji: každá dvojice prvků a, b ∈ R splňuje právě jeden ze vztahů a < b, a = b, b < a (zákon trichotomie) (R11) jestliže pro a, b, c ∈ R platí a < b a b < c, pak také a < c (transitivita relace <) (R12) jestliže pro a, b ∈ R platí a < b, pak pro každé c ∈ R je a + c < b + c (monotonie vzhledem ke sčítání) (R13) jestliže pro a, b, c ∈ R platí a < b a 0 < c, pak a · c < b · c (monotonie vzhledem k násobení) (R14) je-li M neprázdná shora (zdola) ohraničená podmnožina množiny R, pak existuje sup M ∈ R (inf M ∈ R) 1.1.8 Poznámky 1. (R1) – (R4) a (R5) – (R8) jsou axiomy komutativní grupy (R1) – (R9) jsou axiomy pole (R1) – (R13) jsou axiomy uspořádaného pole (R1) – (R14) jsou axiomy spojitě uspořádaného pole Existuje jediné (až na isomorfismus) uspořádané pole. Axiom (R14) se nazývá axiom spojitosti. 2. Přímka, na níž je zvolen počátek (obraz reálného čísla 0), jednotková délka a orientace (obraz čísla 1) se nazývá číselná osa. Existuje prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení množiny reálných čísel na číselnou osu. 5 3. Druhá část axiomu (R14) (existence infima) je důsledkem první části a ostatních axiomů. D.: Nejdříve ukážeme, že pro každé a ∈ R je −(−a) = a. Vyjdeme z (R4): (−a) + (−(−a)) = 0 / přičteme a zleva a + ((−a) + (−(−a))) = a + 0 / (R2), (R3) (a + (−a)) + (−(−a)) = a / (R4) 0 + (−(−a)) = a / (R1), (R3) −(−a) = a Dále ukážeme, že jestliže a < b pak −b < −a: a < b / +(−a) zprava a + (−a) < b + (−a) / (R4) 0 < b + (−a) / +(−b) zleva (−b) + 0 < (−b) + (b + (−a)) / (R3), (R2) −b < ((−b) + b) + (−a) / (R1), (R4) −b < 0 + (−a) / (R1), (R3) −b < −a Nechť nyní je ∅ = M ⊆ R zdola ohraničená, b její dolní závora. Položme M′ = {−x : x ∈ M}. Pak pro každé x ∈ M platí b ≤ x a tedy podle druhého kroku důkazu je −x ≤ −b pro každé −x ∈ M′ . To znamená, že M′ je shora ohraničená a podle první části (R14) existuje sup M′ = s ∈ R. Podle (R4) je −s ∈ R. Ukážeme, že −s = inf M: Buď x ∈ M libovolné. Pak podle (s1) je −x ≤ s a podle pomocných tvrzení na začátku důkazu je −s ≤ x. Poněvadž x bylo libovolné, je podmínka (i1) splněna. Buď c ∈ R takové, že c ≤ x pro každé x ∈ M. Pak −x ≤ −c pro každé −x ∈ M′ a podle (s2) je s ≤ −c, tedy −(−c) ≤ −s. Podle prvního kroku důkazu je c ≤ −s, což znamená, že i podmínka (i2) je splněna. 1.1.9 Příklad Nechť M = {m n : m, n ∈ N, m < n}. Ukažte, že sup M = 1, inf M = 0. Ř.: Platnost podmínky (s1): m n ≤ 1 pro m ≤ n. Platnost podmínky (s2∗ ): Buď p ∈ M, p < 1. Je-li p ≤ 0, pak např. pro 1 2 ∈ M platí p < 1 2 . Nechť tedy p > 0. Položme n = 1 + [ 1 1−p ]. (Přitom [x] označuje celou část z čísla x, t.j. celé číslo z takové, že x ≤ z < x + 1. Např. [π] = 3, [3 2 ] = 1, [−3.5] = −4 a p.) Pak n > 1 1−p n − np > 1 n − 1 > np n−1 n > p a zřejmě n−1 n ∈ M. Platnost podmínky (i1): m n > 0 pro všechna m, n ∈ N. Platnost podmínky (i2∗ ): Buď p ∈ M, p > 0. Je-li p ≥ 1, pak např. pro 1 2 ∈ M platí 1 2 < p. Nechť tedy p < 1. Položme n = 1 + [1 p ]. Pak n > 1 p a tedy p > 1 n ∈ M. 1.1.10 Definice Množinu R∗ = R ∪ {−∞, ∞} nazýváme rozšířená množina reálných čísel, symboly −∞, ∞ nazýváme nevlastní reálná čísla (nevlastní body číselné osy). Klademe −∞ < a < ∞ pro každé a ∈ R. Symboly −∞, ∞ nejsou čísla, nedefinujeme pro ně početní operace. 6 1.1.11 Definice Buďte a, b ∈ R, a < b. Uzavřeným intervalem o krajních (koncových, hraničních) bodech a, b rozumíme množinu [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, otevřeným intervalem množinu (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, polouzavřenými intervaly zprava (resp. zleva) množiny (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. Nekonečné intervaly definujeme jako množiny [a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a}, (a, ∞) = {x ∈ R : x > a}, (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}, (−∞, ∞) = R. Je-li J interval jakéhokoliv typu a x0 ∈ J, x0 není krajní, řekneme, že x0 je vnitřní bod intervalu J. 1.1.12 Definice Okolím (podrobněji (symetrickým) δ-okolím, δ > 0) bodu x0 ∈ R rozumíme interval (x0 − δ, x0 + δ). Okolím bodu ∞ rozumíme interval (a, ∞), kde a ∈ R. Okolím bodu −∞ rozumíme interval (−∞, a), kde a ∈ R. δ-okolí bodu x0 ∈ R∗ budeme označovat symbolem Oδ(x0), stručně O(x0). 1.1.13 Věta Okolí bodů z množiny R mají tyto vlastnosti: (o1) Jsou-li O1(x0) a O2(x0) dvě okolí téhož bodu x0 ∈ R∗ , pak O1(x0) ∩ O2(x0) je okolím bodu x0. (o2) Jsou-li x1, x2 ∈ R∗ , x1 = x2, pak existují O(x1) a O(x2) taková, že O(x1) ∩ O(x2) = ∅. D.: 1. • x0 ∈ R, O1(x0) = (x0 − δ1, x0 + δ1), O2(x0) = (x0 − δ2, x0 + δ2). Položme δ = min{δ1, δ2}. Pak O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) = O1(x0) ∩ O2(x0) je okolím bodu x0. • x0 = ∞, O1(x0) = (a1, ∞), O2(x0) = (a2, ∞). Položme a = max{a1, a2}. Pak O(x0) = (a, ∞) = O1(x0) ∩ O2(x0) je okolím bodu ∞. • x0 = −∞. Platnost tvrzení ukážeme analogicky jako v předchozím případě. 2. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že x1 < x2. • −∞ < x1 < x2 < ∞. Položme δ = 1 4 (x2−x1). Pak O(x1) = (x1−δ, x1+δ), O(x2) = (x2−δ, x2+δ) jsou okolí bodů x1, x2 s požadovanou vlastností. (Volba δ = 1 4 (x2 − x1) samozřejmě není jediná možná. Stačí volit δ = r(x2 − x1), kde r ≤ 1 2 .) • −∞ < x1 < x2 = ∞. Nechť δ > 0 je libovolné a položme a = x1 + 2δ. Pak O(x1) = (x1 − δ, x1 + δ), O(x2) = (a, ∞) mají požadovanou vlastnost. • Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech. 7 1.1.14 Definice Buď x0 ∈ R. Ryzím okolím bodu x0 rozumíme množinu O(x0) \ {x0}. Okolí nevlastního bodu je vždy ryzí. Ryzí okolí bodu x0 budeme označovat O′ (x0). 1.1.15 Definice Buď x0 ∈ R, δ > 0. Pravým (resp. levým) δ-okolím bodu x0 rozumíme interval [x0, x0 + δ) ((x0 − δ, x0]). Ryzím pravým (resp. levým) δ-okolím bodu x0 rozumíme otevřený interval (x0, x0 + δ) ((x0 − δ, x0)). Pravé (resp. levé) δ-okolí bodu x0 budeme označovat Pδ(x0), stručně P(x0) (resp. Lδ(x0), stručně L(x0)). Ryzí pravé (resp. levé) δ-okolí bodu x0 budeme označovat P′ δ(x0), stručně P′ (x0) (resp. L′ δ(x0), stručně L′ (x0)). 1.1.16 Poznámky 1. Také pravá a levá okolí, ryzí okolí mají vlastnosti (o1), (o2) z věty 1.1.13. D.: Snadnou modifikací důkazu 1.1.13. 2. Buď J ⊆ R interval a buď x0 vnitřní bod intervalu J. Pak existuje O(x0) takové, že O(x0) ⊆ J. D.: Nechť a, b ∈ R∗ jsou krajní body intervalu J. • Jsou-li a, b ∈ R, položíme δ = 1 2 min{x0 − a, b − x0)}. Pak δ > 0 a (x0 − δ, x0 + δ) je požadované okolí. • Jsou-li a ∈ R a b = ∞, položíme δ = 1 2 (x0 − a). Pak δ > 0 a (x0 − δ, x0 + δ) je opět požadované okolí. • Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech. 1.1.17 Věta 1. Mezi dvěma libovolnými reálnými čísly x1, x2, x1 < x2 leží racionální i iracionální číslo. 2. V libovolném okolí libovolného čísla x0 ∈ R leží racionální i iracionální číslo. (Stručně: Množina Q i množina I je hustá v množině R.) D.: 1. • Položme n = [ 1 x2−x1 ] + 1, m = [nx1] + 1. Pak m ∈ Z, n ∈ N a tedy q = m n ∈ Q. Dále platí m > nx1 m ≤ nx1 + 1 n > 1 x2−x1 x1 < m n nx2 − nx1 > 1 nx2 > nx1 + 1 Odtud x1 < m n ≤ nx1+1 n < nx2 n = x2, což znamená, že q je racionální číslo mezi čísly x1 a x2. • Položme s = [ √ 2 x2−x1 ] + 1, r = [ s√ 2 x1] + 1. Pak r ∈ Z, s ∈ N a w = √ 2 r s ∈ I, neboť v opačném případě by √ 2 ∈ Q, což by byl spor s tvrzením dokázaným v úvodu tohoto odstavce. Dále platí r > s√ 2 x1 r ≤ s√ 2 x1 + 1 s > √ 2 x2−x1 x1 < √ 2 r s s√ 2 x2 > s√ 2 x1 + 1 Odtud x1 < √ 2 r s ≤ √ 2 ( s√ 2 x1 + 1) s < √ 2 s√ 2 x2 s = x2, což znamená, že w je iracionální číslo mezi čísly x1 a x2. 2. je důsledkem 1., neboť mezi čísly x0 − δ a x0 + δ leží racionální i iracionální číslo. 8 1.2 Funkce a jejich základní vlastnosti 1.2.1 Definice Funkce f (podrobněji reálná funkce jedné reálné proměnné) je zobrazení z množiny R do množiny R. Množina Dom f = {x ∈ R : (∃y ∈ R)((x, y) ∈ f)} se nazývá definiční obor funkce f. (Domain) Množina ℑf = {y ∈ R : (∃x ∈ R)((x, y) ∈ f)} se nazývá obor hodnot funkce f. (Image) Je-li f funkce, pak zobrazení f : Dom f → ℑf je surjekce (zobrazení na). Je-li (x, y) ∈ f, píšeme y = f(x), x → y, x f → y. Prvky z Dom f se nazývají hodnoty nezávisle proměnné, argument. Prvky z ℑf se nazývají hodnoty závisle proměnné, funkční hodnota. Pokud není explicitně uvedeno jinak, definičním oborem rozumíme největší (vzhledem k množinové inklusi) množinu, pro jejíž prvky lze funkční hodnotu vypočítat. 1.2.2 Definice Grafem funkce f rozumíme množinu G = {(x, f(x)) : x ∈ Dom f}, kde (x, y) značí orthogonální kartézské souřadnice bodu v rovině. 1.2.3 Příklad 1. f(x) = |x| = max{x, −x}, Dom f = R, ℑf = [0, ∞). 2. f(x) = x √ 1 − x2 , Dom f = (−1, 1), neboť musí platit 1 − x2 > 0 1 > x2 1 > |x| ℑf = R, neboť pro libovolné r ∈ R je r = x√ 1−x2 (1 − x2 )r2 = x2 r2 = (1 + r2 )x2 x1,2 = ± |r| √ 1+r2 Znaménko u x musí být stejné jako znaménko u r, tedy x = r √ 1 + r2 3. f(x) = [x], kde [x] je celá část z čísla x, to jest celé číslo takové, že [x] ≤ x < [x] + 1. Dom f = R, ℑf = Z. 4. Dirichletova funkce χ(x) = 1, x ∈ Q 0, x ∈ I . Dom χ = R, ℑχ = {0, 1}. 1.2.4 Definice Buďte f, g funkce, Dom f ∩ Dom g = ∅. Pak definujeme součet funkcí f, g předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x) pro x ∈ Dom f ∩ Dom g, rozdíl funkcí f, g předpisem: (f − g)(x) = f(x) − g(x) pro x ∈ Dom f ∩ Dom g, součin funkcí f, g předpisem: (fg)(x) = f(x)g(x) pro x ∈ Dom f ∩ Dom g, podíl funkcí f, g předpisem: f g (x) = f(x) g(x) pro x ∈ Dom f ∩ (Dom g \ {x ∈ Dom g : g(x) = 0}), absolutní hodnotu funkce f předpisem |f|(x) = |f(x)| = max{f(x), −f(x)} pro x ∈ Dom f. 9 1.2.5 Definice Funkce f se nazývá ohraničená (shora ohraničená, zdola ohraničená), je-li množina ℑf ohraničená (shora ohraničená, zdola ohraničená) podmnožina množiny R. Funkce f je ohraničená právě tehdy, když existují a, b ∈ R taková, že a ≤ f(x) ≤ b pro každé x ∈ Dom f, což nastane právě tehdy, když existuje h ∈ R takové, že |f(x)| ≤ h pro každé x ∈ Dom f. Analogická tvrzení platí pro funkci ohraničenou shora nebo zdola. 1.2.6 Definice Funkce f se nazývá sudá, jestliže x ∈ Dom f ⇒ −x ∈ Dom f, f(−x) = f(x). Funkce f se nazývá lichá, jestliže x ∈ Dom f ⇒ −x ∈ Dom f, f(−x) = −f(x). Příklady sudé funkce: x2n , kde n ∈ N, |x|, cos x. Příklady liché funkce: x2n+1 , kde n ∈ N, sin x, tg x. Buď f sudá funkce, G její graf, (x, y) ∈ G. Pak (−x, y) ∈ G. Body (x, y) a (−x, y) jsou symetrické podle osy y, graf sudé funkce je symetrický podle osy y. Buď f lichá funkce, G její graf, (x, y) ∈ G. Pak (−x, −y) ∈ G. Body (x, y) a (−x, −y) jsou symetrické podle počátku souřadného systému, graf liché funkce je symetrický podle počátku souřadného systému. 1.2.7 Věta Má-li funkce f vlastnost: x ∈ Dom f ⇒ −x ∈ Dom f, pak ji lze vyjádřit jako součet funkce sudé a liché. D.: f(x) = 1 2 (f(x) + f(−x)) + 1 2 (f(x) − f(−x)) g(x) = 1 2 (f(x) + f(−x)); g(−x) = 1 2 (f(−x) + f(x)) = g(x); g(x) je sudá, h(x) = 1 2 (f(x) − f(−x)); h(−x) = 1 2 (f(−x) − f(x)) = −1 2 (f(x) − f(−x)) = −h(x); h(x) je lichá. 1.2.8 Definice Buď p ∈ R, p > 0. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, jestliže x ∈ Dom f ⇒ x + p ∈ Dom f, f(x + p) = f(x). Příklady: sin x, cos x — perioda 2π, tg x — perioda π, sin x 2π — perioda 1, konstatntní funkce f(x) = c ∈ R — periodou je jakékoliv p ∈ (0, ∞). Buď f funkce periodická s periodou p > 0, n ∈ N. Pak f je periodická s periodou np. D.: x ∈ Dom f ⇒ x + p ∈ Dom f ⇒ x + p + p = x + 2p ∈ Dom f ⇒ · · · ⇒ x + np ∈ Dom f. f(x + np) = f(x + (n − 1)p + p) = f(x + (n − 1)p) = f(x + (n − 2)p + p) = f(x + (n − 2)p) = · · · = f(x). Množina period periodické funkce f je nekonečná, tedy neprázdná a zdola ohraničená nulou. Podle 1.1.7 (R14) existuje p0 = inf{p : p je perioda funkce f}. Pokud p0 je periodou funkce f, nazýváme ji nejmenší nebo základní periodou funkce f. Periodická funkce nemusí mít nejmenší periodu. Např. periodou Dirichletovy funkce je každé kladné racionální číslo. 1.2.9 Definice Funkce f se nazývá rostoucí v bodě x0 ∈ Dom f, jestliže existuje O(x0) takové, že O(x0) ⊆ Dom f a platí x ∈ O(x0), x < x0 ⇒ f(x) < f(x0) x ∈ O(x0), x > x0 ⇒ f(x) > f(x0), 10 stručně: jestliže pro x ∈ O(x0) \ {x0} platí (x − x0)(f(x) − f(x0)) > 0. Funkce f se nazývá neklesající v bodě x0 ∈ Dom f, jestliže existuje O(x0) takové, že O(x0) ⊆ Dom f a platí x ∈ O(x0), x < x0 ⇒ f(x) ≤ f(x0) x ∈ O(x0), x > x0 ⇒ f(x) ≥ f(x0), stručně: jestliže pro x ∈ O(x0) platí (x − x0)(f(x) − f(x0)) ≥ 0. Analogicky definujeme funkci klesající a nerostoucí v bodě x0 ∈ Dom f. Funkce, která je v bodě x0 ∈ Dom f nerostoucí nebo neklesající, se nazývá monotonní v bodě x0 ∈ Dom f. Funkce, která je v bodě x0 ∈ Dom f rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní v bodě x0 ∈ Dom f. Funkce rostoucí v bodě x0 ∈ Dom f nemusí být rostoucí v žádném jiném bodě z Dom f. 1.2.10 Definice Řekneme, že funkce je rostoucí na intervalu J, jestliže J ⊆ Dom f a pro libovolná x1, x2 ∈ J platí x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Řekneme, že funkce je neklesající na intervalu J, jestliže J ⊆ Dom f a pro libovolná x1, x2 ∈ J platí x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2). Analogicky definujeme funkci klesající a nerostoucí na intervalu J. Funkce rostoucí nebo klesající na intervalu se nazývá ryze monotonní na intervalu, funkce nerostoucí nebo neklesající na intervalu se nazývá monotonní na intervalu. Monotonie v bodě — lokální vlastnost Monotonie na intervalu — globální vlastnost Slova „interval J “ v předchozí definici lze nahradit slovy „množina M ⊆ Dom f “. 1.2.11 Věta Funkce f je rostoucí na otevřeném intervalu J ⊆ Dom f právě tehdy, když je rostoucí v každém bodě tohoto intervalu. D.: „⇒“ Nechť f je rostoucí na J a nechť x0 ∈ J. J je otevřený ⇒ x0 je vnitřní bod ⇒(podle 1.1.16.2) existuje O(x0) ⊆ J. Tedy O(x0) ⊆ Dom f. Je-li x ∈ O(x0), x < x0, je f(x) < f(x0); je-li x ∈ O(x0), x > x0, je f(x) > f(x0). Tedy f je rostoucí v bodě x0. „⇐“ Nechť f je rostoucí v každém bodě intervalu J. Připusťme, že f není rostoucí na J. Existují tedy x1, x2 ∈ J, že x1 < x2 a f(x1) ≥ f(x2). Označme M = {x ∈ [x1, x2] : f(x) > f(x1)}. Platí a) M = ∅, neboť f rostoucí v x1 ⇒ ex. O(x1), že pro každé x > x1 je f(x) > f(x1). b) M je shora ohraničená, neboť x2 je horní závora M. Podle 1.1.7 (R14) existuje x0 = sup M ≤ x2. – Předpokládejme x0 = x2. f je rostoucí v bodě x2 ⇒ existuje O(x2) = (x2 − δ, x2 + δ) ⊆ Dom f, že pro x ∈ O(x2), x < x2 platí f(x) < f(x2). Podle 1.1.6(s2∗ ) existuje x ∈ M, x > x2 − δ. Poněvadž x ∈ M, je x ≤ x2. Jest x ∈ O(x2). Pokud x < x2, pak f(x) < f(x2), pokud x = x2, pak f(x) = f(x2). Tedy f(x) ≤ f(x2). Současně x ∈ M a tedy f(x) > f(x1) ≥ f(x2). Odtud f(x) > f(x2) — spor. – Musí tedy být x0 < x2. Poněvadž f je rostoucí v x0, existuje O(x0), že pro každé x ∈ O(x0)\{x0} platí (x−x0)(f(x)−f(x0)) > 0. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat O(x0) = (x0 −δ, x0 +δ) ⊆ [x1, x2]. Podle 1.1.6(s2∗ ) existuje x ∈ M, x > x0 − δ takové, že x ≤ x0. x ∈ O(x0) a tedy f(x) ≤ f(x0). Současně f(x) > f(x1), neboť x ∈ M. Odtud plyne f(x1) < f(x0). Zvolme x ∈ O(x0), x > x0. Pak f(x) > f(x0). Přitom x ∈ M, neboť x > x0 = sup M. Tedy f(x) ≤ f(x1). Odtud plyne f(x1) > f(x0). To je spor. 11 1.2.12 Poznámky 1. Analogická věta platí pro neklesající, klesající a nerostoucí funkci. 2. Pro uzavřený interval věta neplatí: Např. f(x) = sin(x), J = [−π 2 , π 2 ]. f je rostoucí na celém J, ale není rostoucí v krajních bodech. 3. Ve druhé části důkazu jsme nevyužili předpoklad, že interval J je otevřený. Platí tedy: Je-li funkce f rostoucí v každém bodě libovolného intervalu J, pak je rostoucí na celém intervalu J. 1.2.13 Definice Buďte f, ϕ funkce a nechť platí ℑϕ ⊆ Dom f. Pak F = {(x, y) ∈ R2 : (∃u ∈ R)((x, u) ∈ ϕ, (u, y) ∈ f)} se nazývá složená funkce. Funkce ϕ se nazývá vnitřní složka funkce F, funkce f se nazývá vnější složka funkce F. x → ϕ(x) = u → f(u) = f(ϕ(x)) Podmínka ℑϕ ⊆ Dom f je nutná a dostatečná pro existenci složené funkce. Není-li tato podmínka splněna, lze jí někdy dosáhnout vhodným zúžením Dom ϕ. 1.2.14 Příklady 1. ϕ(x) = x2 , ℑϕ = [0, ∞) f(u) = sin(u), Dom f = (−∞, ∞). Tedy ℑϕ ⊆ Dom f, F(x) = f(ϕ(x)) = sin x2 2. ϕ(x) = 1 − x2 , definujeme Dom f = [−1, 1]. Pak ℑϕ = [0, 1]. f(u) = √ u, Dom f = [0, ∞). [0, 1] ⊆ [0, ∞), F(x) = f(ϕ(x)) = √ 1 − x2. 3. ϕ(x) = −x2 , ℑϕ = (−∞, 0] f(x) = log u, Dom f = (0, ∞). Složená funkce neexistuje. Proces skládání funkcí lze opakovat a vytvářet funkce vícenásobně složené. Např.: y = log2 √ sin x: y = u2 u = log v v = √ w w = sin x 1.2.15 Definice Nechť f je funkce, která je bijekcí. Pak f−1 = {(y, x) ∈ R2 : (x, y) ∈ f} se nazývá inversní funkce k funkci f. Z definice plyne: Dom f = ℑf−1 , ℑf = Dom f−1 , x = f−1 (y) ⇔ y = f(x). Zobrazení f : Dom f → ℑf je surjekce. Aby toto zobrazení bylo bijekcí, musí být injekcí (prostým zobrazením), t.j. x1, x2 ∈ Dom f, x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2). 1.2.16 Poznámky 1. Graf inversní funkce f−1 je symetrický s grafem funkce f podle osy prvního a třetího kvadrantu. 2. Je-li funkce f ryze monotonní, pak je prostá. D.: Nechť pro určitost je f rostoucí a buďte x1, x2 ∈ Dom f, x1 = x2. Pokud x1 < x2 pak f(x1) < f(x2), pokud x1 > x2 pak f(x1) > f(x2) a tedy f(x1) = f(x2). 12 1.2.17 Věta Nechť funkce f je rostoucí (resp. klesající) na množině Dom f. Pak funkce f−1 je rostoucí (resp. klesající) na množině ℑf. D.: Nechť f je rostoucí na Dom f a buďte y1, y2 ∈ ℑf, y1 < y2. Označme x1 = f−1 (y1), x2 = f−1 (y2), t.j. y1 = f(x1), y2 = f(x2). Jest x1 = x2 podle 1.2.16.2. Kdyby x1 > x2, pak by y1 = f(x1) > f(x2) = y2, což by byl spor. Platí tedy x1 = f−1 (y1) < f−1 y2 = x2. 1.3 Posloupnosti 1.3.1 Definice Posloupnost je funkce f, pro niž Dom f = N. (t.j. f : N → R) Označení: fn = f(n), častěji an, bn, . . . {an}∞ n=1, stručně {an} — posloupnost an — člen posloupnosti Posloupnosti mohou mít vlastnosti: ohraničenost, monotonie, periodicita (s periodou p ∈ N) zavedené v 1.2. Naopak pojmy inversní nebo složená posloupnost nemají smysl. Platí: {an}∞ n=1 je rostoucí ⇔ (∀n ∈ N)(an < an+1) {an}∞ n=1 je neklesající ⇔ (∀n ∈ N)(an ≤ an+1) a podobně. 1.3.2 Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu a a píšeme lim n→∞ an = a, nebo stručněji lim an = a, an → a, jestliže ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí |an − a| < ε. Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní. 1.3.3 Věta (o jednoznačnosti limity) Libovolná posloupnost má nejvýše jednu limitu. D.: Připusťme, že pro {an} platí lim an = a, lim an = b, a = b. Nechť pro určitost a < b. Položme ε = b − a 2 . Pak ε > 0. Tedy existuje n1 ∈ N, že n ≥ n1 ⇒ |an − a| < ε a existuje n2 ∈ N, že n ≥ n2 ⇒ |an − b| < ε Položme n0 = max{n1, n2}. Pak pro n ≥ n0 platí a − ε < an < a + ε, b − ε < an < b + ε, tedy b − ε < an < a + ε a poněvadž b − ε = b − b − a 2 = b + a 2 a + ε = a + b − a 2 = a + b 2 platí b + a 2 < b + a 2 , což je spor. 1.3.4 Věta Konvergentní posloupnost je ohraničená. D.: Nechť lim an = a a buď ε > 0. Existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 platí a − ε < an < a + ε. Buď h = max{a1, a2, . . . , an0−1, a + ε}, d = min{a1, a2, . . . , an0−1, a − ε}. Pak pro každé n ∈ N platí d ≤ an ≤ h. 13 1.3.5 Poznámky 1. Buďte {an}, {bn} konvergentní posloupnosti, lim an = a, lim bn = b. Jestliže existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an < bn, pak a ≤ b. D.: Připusťme a > b a položme ε = a − b 2 . Pak ε > 0 a existují n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je a − ε < an < a + ε, n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 je b − ε < bn < b + ε. Pro n > n3 = max{n1, n2, n0} nyní je a − ε = a + b 2 < an < bn < b + ε = a + b 2 — spor. Tvrzení zůstane v platnosti i za předpokladu an ≤ bn pro n ≥ n0. 2. Řekneme, že posloupnost {an} je skorostacionární, jestliže existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 je an = a. Řekneme, že posloupnost {an} je stacionární, jestliže pro každé n ∈ N je an = a. (Skoro)stacionární posloupnost je konvergentní a platí lim an = a. 3. Buď {an} konvergentní posloupnost, lim an = 0 a {bn} buď ohraničená posloupnost. Pak lim anbn = 0. D.: {bn} je ohraničená ⇒ existuje h ∈ R, že |bn| < h pro každé n ∈ N. Buď ε > 0 libovolné. K ε h > 0 existuje n0 takové, že pro n ≥ n0 je |an| = |an − 0| < ε h . Pro n ≥ n0 platí |anbn| = |an||bn| < ε h h = ε, tedy lim anbn = 0. 4. Jestliže posloupnost {an} je monotonní a neohraničená, pak lim 1 an = 0. D.: Buď {an} neklesající a ε > 0 libovolné. Poněvadž je {an} neohraničená, existuje n0 ∈ N takové, že an0 > 1 ε . Poněvadž {an} je neklesající, pro každé n ≥ n0 platí an ≥ an0 > 1 ε > 0. Odtud plyne, že pro n ≥ n0 platí 1 an − 0 = 1 an = 1 an < ε, tedy lim 1 an = 0. Pro nerostoucí posloupnost se důkaz provede analogicky. 1.3.6 Věta Buďte {an}, {bn} konvergentní posloupnosti, lim an = a, lim bn = b. Pak 1. existuje lim |an| a platí lim |an| = |a|, 2. existuje lim(an + bn) a platí lim(an + bn) = a + b, 3. existuje lim anbn a platí lim anbn = ab, 4. existuje lim(an − bn) a platí lim(an − bn) = a − b, 5. pokud b = 0, pak existuje lim an bn a platí lim an bn = a b . D.: 1. Buď ε > 0 libovolné. Pak existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je |an − a| < ε. Pro n ≥ n0 tedy platí ||an| − |a|| ≤ |an − a| < ε, což znamená lim |an| = a. 2. Buď ε > 0 libovolné. K ε 2 > 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 je |an − a| < ε 2 , a existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |bn − b| < ε 2 . Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} platí |(an+bn)−(a+b)| = |(an−a)+(bn−b)| ≤ |an−a|+|bn−b| < ε 2 + ε 2 = ε a tedy lim(an + bn) = a + b. 14 3. Je-li a = 0, plyne tvrzení z 1.3.4 a z 1.3.5.3. Nechť a = 0 a buď ε > 0 libovolné. Podle 1.3.4 existuje h ∈ R takové, že |bn| < h pro každé n ∈ N. K ε 2h > 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 je |an − a| < ε 2h . K ε 2|a| > 0 existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |bn − b| < ε 2|a| . Pro n ≥ n0 max{n1, n2} platí obě nerovnosti současně, tedy |anbn − ab|= |anbn − abn + abn − ab| ≤ |anbn − abn| + |abn − ab| = |an − a||bn| + |a||bn − b| < < ε 2h h + |a| ε 2|a| = ε 2 + ε 2 = ε. 4. Plyne z 2., 3. a 1.3.5.2. 5. Podle 1. je lim |bn| = |b| a podle předpokladu |b| > 0. Tedy k |b| 2 > 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 je ||bn| − |b|| < |b| 2 , neboli |bn| > |b| − |b| 2 = |b| 2 . Odtud plyne, že pro n ≥ n1 je 1 |bn| < 2 |b| . Buď ε > 0 libovolné. K b2 ε 2 > 0 existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |bn − b| < b2 ε 2 . Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} je 1 bn − 1 b = |b − bn| |b||bn| < b2 ε 2 1 |b| 2 |b| = ε a tedy lim 1 bn = 1 b . Podle 3. je lim an bn = lim an lim 1 bn = a 1 b = a b . Poznamenejme, že z 1.3.6.3 a z 1.3.5.2 plyne: Jsou-li c ∈ R, {an} konvergentní posloupnost s lim an = a, pak existuje lim(can) = c lim an = ca. 1.3.7 Věta (o třech posloupnostech, o sevření) Buďte {an}, {bn}, {cn} posloupnosti takové, že existuje n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je an ≤ bn ≤ cn. Jestliže lim an = lim cn = a, pak také lim bn = a. D.: Buď ε > 0 libovolné. K němu existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |an − a| < ε, neboli an > a − ε. Dále existuje n3 ∈ N takové, že pro n ≥ n3 je |cn − a| < ε, neboli cn < a + ε. Pro n ≥ n0 = max{n1, n2, n3} platí a − ε < an ≤ bn ≤ cn < a + ε, neboli a − ε < bn < a + ε, což znamená lim bn = a. 1.3.8 Příklad Pro a ∈ R, a > 0 je lim n→∞ n √ a = 1. D.: • Pro a = 1 plyne tvrzení z 1.3.5.2. • Buď a > 1. Pak n √ a ≥ 1 pro každé n ∈ N, neboli n √ a = 1 + αn, kde αn ≥ 0. Dále a = (1 + αn)n = 1 + nαn + n 2 α2 n + · · · + n n − 1 αn−1 n + αn n ≥ 1 + nαn. Odtud αn ≤ a − 1 n . Celkem 0 ≤ αn ≤ a − 1 n . Podle 1.3.5.4 je lim a − 1 n = a lim 1 n − lim 1 n = 0 a tedy podle 1.3.7 a 1.3.5.2 je lim αn = 0. Podle 1.3.5.2 a 1.3.6.2 je lim n √ a = 1 + lim αn = 1. • Buď 0 < a < 1. Pak b = 1 a > 1 a tedy lim n √ b = 1. Avšak podle 1.3.6.5 je 1 = lim n √ b = lim 1 lim n √ a = 1 lim n √ a , z čehož plyne lim n √ a = 1. 15 1.3.9 Věta (o monotonních posloupnostech) Je-li posloupnost {an}∞ n=1 neklesající a shora ohraničená, pak je konvergentní a platí lim an = sup{an : n ∈ N}. Je-li posloupnost {an}∞ n=1 nerostoucí a zdola ohraničená, pak je konvergentní a platí lim an = inf{an : n ∈ N}. Je-li monotonní posloupnost {an}∞ n=1 ohraničená, pak je konvergentní. D.: Buď {an} neklesající a shora ohraničená posloupnost. Podle 1.1.7(R14) existuje a = sup{an : n ∈ N} ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. Pak a−ε < a a podle 1.1.6(s2∗ ) existuje an0 ∈ {an} takové, že an0 > a−ε. Poněvadž {an} je neklesající, je an > a − ε pro každé n ≥ n0. Tedy pro n ≥ n0 je a − ε < an ≤ a < a + ε, neboli lim an = a. Druhé tvrzení se dokáže analogicky, třetí je důsledkem prvního a druhého. 1.3.10 Příklad Posloupnost 1 + 1 n n ∞ n=1 je rostoucí a konvergentní. (Značíme lim 1 + 1 n n = e, jest e = 2.71828182846 · · ·.) D.: S využitím binomické věty a vztahu l n + 1 < l n , neboli 1− l n + 1 > 1− l n pro všechna n, l ∈ N dostaneme: 1 + 1 n + 1 n+1 = n+1 k=0 n + 1 k 1 (n + 1)k > n k=0 n + 1 k 1 (n + 1)k = = n k=0 (n + 1)n(n − 1) · · · (n − k + 2) k! 1 (n + 1)k = = n k=0 n(n − 1) · · · (n − k + 2) k! 1 (n + 1)k−1 = = n k=0 1 k! n n + 1 n − 1 n + 1 · · · n − k + 2 n + 1 = = n k=0 1 k! 1 − 1 n + 1 1 − 2 n + 1 · · · 1 − k − 1 n + 1 > > n k=0 1 k! 1 − 1 n 1 − 2 n · · · 1 − k − 1 n = = n k=0 1 k! n − 1 n n − 2 n · · · n − k + 1 n = = n k=0 (n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) k! 1 nk−1 = = n k=0 n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) k! 1 nk = n k=0 n k 1 nk = 1 + 1 n n To znamená, že posloupnost 1 + 1 n n ∞ n=1 je rostoucí. Položme an = 1 + 1 n n+1 . Pak an ≥ 0 a s využitím nerovnosti (1 + x)m ≥ 1 + mx pro x ≥ 0, m ∈ N (viz. 1.3.8) dostaneme: an an+1 = 1 + 1 n n+1 1 + 1 n+1 n+2 = n n + 1 n+1 n n+2 n+1 n+2 = n n + 1 n2 + 2n + 1 n2 + 2n n+2 = = n n + 1 1 + 1 n(n + 2) n+2 ≥ n n + 1 1 + n + 2 n(n + 2) = n n + 1 n + 1 n = 1. 16 Tedy an ≥ an+1, posloupnost {an} je nerostoucí, zdola ohraničená nulou. Podle 1.3.9 je konvergentní. Dále podle 1.3.6.2 a 1.3.5.4 platí lim 1 + 1 n = 1 a tedy podle 1.3.6.5 existuje lim 1 + 1 n n = lim 1 + 1 n n+1 1 + 1 n = lim 1 + 1 n n+1 lim 1 + 1 n = lim 1 + 1 n n+1 . 1.3.11 Definice Řekneme, že posloupnost {an} má nevlastní limitu ∞ a píšeme lim n→∞ an = ∞ (stručněji lim an = ∞, an → ∞) jestliže ke každému h ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an > h. Řekneme, že posloupnost {an} má nevlastní limitu −∞ a píšeme lim n→∞ an = −∞ (stručněji lim an = −∞, an → −∞) jestliže ke každému h ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an < h. Má-li posloupnost {an} nevlastní limitu, řekneme, že je určitě divergentní. Nemá-li posloupnost {an} limitu ani nevlastní limitu, řekneme, že je oscilující. Nahradíme-li v tvrzeních 1.3.3, 1.3.5.1, 1.3.7 slovo „limita“ slovem „nevlastní limita“, zůstanou tato tvrzení v platnosti. 1.3.12 Poznámky 1. Buď {an} konvergentní posloupnost, lim an = 0. Jestliže existuje n1 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n1 je an > 0 (resp. an < 0, resp. an = 0), pak lim 1 an = ∞ (resp. lim 1 an = −∞, resp. lim 1 |an| = ∞). D.: Buď h > 0 libovolné. Poněvadž lim an = 0, existuje n2 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n2 je |an| < 1 h . Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} platí 1 an = 1 |an| > h, a tedy lim 1 an = ∞. Druhé tvrzení se dokáže analogicky, třetí je jejich důsledkem. 2. Nechť lim an = ∞, (resp. lim an = −∞) a nechť posloupnost {bn} je zdola (resp. shora) ohraničená. Pak lim(an + bn) = ∞ (resp. lim(an + bn) = −∞). D.: Existuje k ∈ R, že bn > k pro každé n ∈ N. Buď h ∈ R libovolné. Poněvadž lim an = ∞, existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 je an > h − k. Tedy pro n ≥ n0 je an + bn > h − k + k = h, což znamená lim(an + bn) = ∞. Druhé tvrzení se dokáže analogicky. 3. Nechť lim an = ∞ a nechť {bn} je posloupnost taková, že existují n1 ∈ N, δ > 0 taková, že pro n ≥ n1 je bn > δ (resp. bn < −δ). Pak lim anbn = ∞ (resp. lim anbn = −∞). Nechť lim an = −∞ a nechť {bn} je posloupnost taková, že existují n1 ∈ N, δ > 0 taková, že pro n ≥ n1 je bn > δ (resp. bn < −δ). Pak lim anbn = −∞ (resp. lim anbn = ∞). D.: Buď h ∈ R libovolné. Existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je an > h δ . Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} platí anbn > h δ δ = h, což znamená lim anbn = ∞. Zbývající tvrzení se dokáží analogicky. Předpoklad bn > δ pro n ≥ n1 nelze zeslabit na bn > 0 pro n ≥ n1. Například pro {an} = {n}, {bn} = 1 n2 je podle 1.3.5.4 lim anbn = lim 1 n = 0. 4. Nechť lim |an| = ∞ a {bn} je ohraničená posloupnost. Pak lim 1 an = 0 a lim bn an = 0. 17 D.: Buď ε > 0 libovolné. Existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je |an| > 1 ε , tedy 1 an − 0 = 1 an = 1 |an| < ε. Druhé tvrzení nyní plyne z 1.3.5.3. 5. Je-li posloupnost {an} neklesající (resp. nerostoucí) a není ohraničená shora (resp. zdola), pak je určitě divergentní a lim an = ∞ (resp. lim an = −∞). D.: Buď h ∈ R libovolné. Poněvadž {an} není ohraničená shora, existuje n0 ∈ N takové, že an0 > h. Poněvadž {an} je neklesající, pro n ≥ n0 je an ≥ an0 > h, tedy lim an = ∞. Druhé tvrzení se dokáže analogicky. 1.3.13 Definice Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost a {nk}∞ k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost {ank }∞ k=1 se nazývá vybraná z posloupnosti {an}∞ n=1. Například {a2n} = {a2, a4, a6, . . . }, {an2 } = {a1, a4, a9, . . . }, {an}∞ n=m = {am, am+1, am+2, . . . } jsou posloupnosti vybrané z {an}. Poznámka: Snadno ověříme, že posloupnost {an} je rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, ohraničená shora, ohraničená zdola, ohraničená, stacionární právě tehdy, když každá posloupnost {ank } vybraná z posloupnosti {an} má stejnou vlastnost. 1.3.14 Věta lim n→∞ an = a ∈ R∗ právě tehdy, když pro každou posloupnost {ank }∞ k=1 vybranou z posloupnosti {an}∞ n=1 platí lim k→∞ ank = a. D.: „⇒“ Nechť a ∈ R a buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že |an − a| < ε pro každé n ≥ n0. Poněvadž {nk}∞ k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, existuje k0 ∈ N takové, že nk0 ≥ n0 a nk ≥ nk0 pro každé k ≥ k0. Tedy pro každé k ≥ k0 je |ank − a| < ε, což znamená lim k→∞ ank = a. Pro a = ∞ nebo a = −∞ dokážeme tvrzení analogicky. „⇐“ je triviální. Je-li lim k→∞ ank = a pro každou {nk}∞ k=1, platí to zejména pro nk = k. 1.3.15 Definice Číslo a ∈ R nazveme hromadným bodem posloupnosti {an}, jestliže ke každému n0 ∈ N a každému ε > 0 existuje n ≥ n0 takové, že |an − a| < ε. a je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho indexů m ∈ N takových, že |am − a| < ε pro každé ε > 0. Například posloupnost {(−1)n } = {−1, 1, −1, 1, −1, . . .} má dva hromadné body −1 a 1. 1.3.16 Věta Číslo a ∈ R je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje posloupnost {ank } vybraná z posloupnosti {an}, která konverguje k číslu a. 18 D.: „⇒“ Nechť a je hromadným bodem posloupnosti {an}. K ε1 = 1, n0 = 1 existuje n1 ∈ N, n1 ≥ 1 takové, že |an1 − a| < 1. K ε2 = 1 2 a k n1 + 1 ∈ N existuje n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že |an2 − a| < 1 2 . K ε3 = 1 3 a k n2 + 1 ∈ N existuje n3 ∈ N, n3 > n2 takové, že |an3 − a| < 1 3 . Tímto způsobem postupujeme dále. Výsledkem konstrukce je rostoucí posloupnost přirozených čísel {nk} takových, že |ank − a| < 1 k . Poněvadž lim k→∞ 1 k = 0, ke každému ε > 0 existuje k0 ∈ N takové, že |1 k − 0| = 1 k < ε pro každé k ≥ k0. Tedy pro k ≥ k0 platí |ank − a| < 1 k < ε, což znamená lim k→∞ ank = a. „⇐“ Jestliže existuje {ank } taková, že lim k→∞ ank = a, pak ke každému ε > 0 existuje k0 ∈ N takové, že pro každé k ≥ k0 — tedy pro nekonečně mnoho indexů k — platí |ank − a| < ε, což znamená, že a je hromadným bodem posloupnosti {an}. Z 1.3.14 plyne: Je-li lim an = a ∈ R, pak a je jediným hromadným bodem posloupnosti {an}. 1.3.17 Lemma Buď {an} posloupnost a M množina hromadných bodů této posloupnosti. Nechť M = ∅. Je-li M shora (resp. zdola) ohraničená, pak existuje max M (resp. min M). D.: Podle 1.1.7(R14) existuje a = sup M. Buď ε > 0 libovolné. Pak a − ε < a a podle 1.1.6(s2∗ ) existuje hromadný bod m ∈ M takový, že m > a − ε. Tedy ε1 = m − a + ε > 0. Dále m − ε1 = m − (m − a + ε) = a − ε, m + ε1 = m + (m − a + ε) ≤ a + a − a + ε = a + ε, neboť a = sup M ≥ m. Odtud plyne, že (m − ε1, m + ε1) ⊆ (a − ε, a + ε). Podle definice hromadného bodu leží v (m − ε1, m + ε1) nekonečně mnoho členů posloupnosti {an}, tedy i v (a − ε, a + ε) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti {an}, což znamená, že a je hromadný bod posloupnosti {an}, a ∈ M a tedy podle 1.1.6.4 a = max M. Druhá část tvrzení se dokáže analogicky. 1.3.18 Věta (Bolzano [1781 – 1848], Weierstrass [1815 – 1897]) Každá ohraničená posloupnost má alespoň jeden hromadný bod. D.: Buď {an} ohraničená posloupnost, h ≤ an ≤ H pro každé n ∈ N. Položme Mk = {an : n > k}. Mk = ∅, Mk je shora ohraničená (H je její horní závora). Existuje tedy bk = sup Mk. Zřejmě bk ≥ h pro každé k ∈ N a poněvadž Mk ⊇ Mk+1, platí bk ≥ bk+1. Tedy posloupnost {bk}∞ k=1 je nerostoucí a zdola ohraničená. Podle 1.3.9 je {bk}∞ k=1 konvergentní, lim k→∞ bk = b. Ukážeme, že b je hromadný bod posloupnosti {an}. Buď ε > 0 libovolné. Existuje k0 ∈ N, že pro každé k ≥ k0 jest |bk − b| < ε, neboli bk < b + ε. Pro k ≥ k0 je také bk = sup{an : n ≥ k} ≥ ak. Celkem ak ≤ bk < b + ε. Připusťme, že b není hromadný bod posloupnosti {an}. Pak v intervalu (b − ε, b + ε) leží pouze konečný počet členů této posloupnosti. To vzhledem k poslední nerovnosti znamená, že existuje n0 ≥ k0 takové, že pro k ≥ n0 je ak ≤ b − ε. Tedy i bk = sup{an : n ≥ k} ≤ b − ε. Podle 1.3.5.1 je b = lim k→∞ bk ≤ b − ε, což je spor. 1.3.19 Důsledky 1. Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat posloupnost konvergentní. D.: plyne z 1.3.16. 2. Je-li množina hromadných bodů posloupnosti prázdná, je posloupnost neohraničená. 19 1.3.20 Definice Buď {an}∞ n=1 posloupnost a M množina jejích hromadných bodů. • Nechť M = ∅. Je-li posloupnost {an} ohraničená shora, klademe lim sup n→∞ an = lim sup an = max M, je-li {an} ohraničená zdola, klademe lim inf n→∞ an = lim inf an = min M. Není-li {an} ohraničená shora, klademe lim sup an = ∞, není-li {an} ohraničená zdola, klademe lim inf an = −∞. • Nechť M = ∅. Je-li posloupnost {an} ohraničená shora, klademe lim sup an = lim inf an = −∞, je-li {an} ohraničená zdola, klademe lim sup an = lim inf an = ∞. Není-li {an} ohraničená shora ani zdola, klademe lim sup an = ∞, lim inf an = −∞. Číslo lim sup an se nazývá limes superior posloupnosti {an}∞ n=1, číslo lim inf an se nazývá limes inferior posloupnosti {an}∞ n=1. Stručně: lim sup an je největší hromadný bod posloupnosti {an}, pokud je tato posloupnost ohraničená shora, lim inf an je nejmenší hromadný bod posloupnosti {an}, pokud je tato posloupnost ohraničená zdola. 1.3.17 ukazuje, že definice je korektní. Analogickou úvahou jako v důkazu věty 1.3.18 lze ukázat, že lim sup n→∞ = lim k→∞ (sup{an : n > k}) , lim inf n→∞ = lim k→∞ (inf{an : n > k}) . Zřejmě platí: lim inf an ≤ lim sup an. lim inf an = lim sup an právě tehdy, když existuje vlastní nebo nevlastní limita lim an. 1.3.21 Definice Posloupnost {an} se nazývá cauchyovská, jestliže ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 a každé m ≥ n0 platí |am − an| < ε. 1.3.22 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium konvergence) Posloupnost {an}∞ n=1 je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská. D.: „⇒“ Nechť {an} je konvergentní, lim an = a. Buď ε > 0 libovolné. K ε 2 > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 je |an − a| < ε 2 a pro m ≥ n0 je |am − a| < ε 2 . Tedy pro n ≥ n0 a m ≥ n0 platí |am − an| = |am − a + a − an| ≤ |am − a| + |an − a| < ε 2 + ε 2 = ε. „⇐“ Nechť {an} je cauchyovská. K číslu 1 existuje ˜n takové, že pro n ≥ ˜n platí |an − a˜n| < 1, tedy a˜n − 1 < an < a˜n + 1. Položme h = min{a1, a2, . . . , a˜n−1, a˜n − 1}, H = max{a1, a2, . . . , a˜n−1, a˜n + 1}. Pak pro každé n ∈ N je h ≤ an ≤ H, tedy {an} je ohraničená a podle 1.3.19.1 existuje vybraná posloupnost {ank }∞ k=1 taková, že lim k→∞ ank = a ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. K ε 2 existuje k0 ∈ N takové, že pro každé k ≥ k0 je |ank − a| < ε 2 . Současně existuje n0 ∈ N takové, že pro m, n ≥ n0 je |am − an| < ε 2 . Buď n ≥ n0 libovolné. Zvolme k1 ≥ k0 takové, že nk1 ≥ n0. Pak |an − a| = |an − ank1 + ank1 − a| ≤ |an − ank1 | + |ank1 − a| < ε 2 + ε 2 = ε, tedy lim an = a. 20 1.4 Diferenční a sumační počet 1.4.1 Definice Buď {an}∞ n=1 posloupnost. Posloupnost {∆an}∞ n=1 jejíž členy jsou dány vztahem ∆an = an+1 − an nazýváme (první) diference (vpřed) posloupnosti {an}∞ n=1. Zřejmě platí: Posloupnost {an} je rostoucí (klesající) právě tehdy, když všechny členy posloupnosti {∆an} jsou kladné (záporné). 1.4.2 Definice Řekneme, že k ∈ N je uzel posloupnosti {an}, jestliže ak = 0 nebo akak−1 < 0. 1.4.3 Věta Buď {an} posloupnost, k ∈ N. Jestliže ak > ak−1 a ak ≥ ak+1, pak k je uzel posloupnosti {∆an}; jestliže ak < ak−1 a ak ≤ ak+1, pak k je uzel posloupnosti {∆an}. D.: Nechť ak > ak−1, ak > ak+1. Pak ∆ak = ak+1 − ak < 0, ∆ak−1 = ak − ak−1 > 0, tedy (∆ak)(∆ak−1) < 0. Nechť ak > ak−1, ak = ak+1. Pak ∆ak = ak+1 − ak = 0. Analogicky lze ukázat platnost druhého tvrzení. 1.4.4 Věta Buďte {an}, {bn} posloupnosti, c ∈ R. Pak platí 1. ∆(can) = c∆an, 2. ∆(an + bn) = ∆an + ∆bn, 3. ∆(an − bn) = ∆an − ∆bn, 4. ∆(anbn) = (∆an)bn+1 + an(∆bn) = (∆an)bn + an+1(∆bn), 5. Pokud bnbn+1 = 0, pak ∆ an bn = (∆an)bn − an(∆bn) bnbn+1 . D.: 1. ∆(can) = can+1 − can = c(an+1 − an) = c∆an. 2. ∆(an + bn) = (an+1 + bn+1) − (an + bn) = (an+1 − an) + (bn+1 − bn) = ∆an + ∆bn. 3. Plyne z 1. a 2. 4. Platí ∆(anbn) = an+1bn+1 − anbn = an+1bn+1 − anbn+1 + anbn+1 − anbn = = (an+1 − an)bn+1 + an(bn+1 − bn) = (∆an)bn + an+1(∆bn) , takže první vztah platí. Druhý plyne z prvního a z komutativity násobení. 5. ∆ 1 bn = 1 bn+1 − 1 bn = bn − bn+1 bnbn+1 = − ∆bn bnbn+1 . Podle 4. nyní je ∆ an bn = ∆an bn+1 + an∆ 1 bn = ∆an bn+1 − an ∆bn bnbn+1 = (∆an)bn − an(∆bn) bnbn+1 . 21 1.4.5 Definice Buďte {an} posloupnost, m, k ∈ N, m ≤ k. Sumu členů posloupnosti {an} v mezích od m do k definujeme vztahem k i=m ai = am + am+1 + · · · + ak . 1.4.6 Věta Buďte {an}, {bn} posloupnosti, c ∈ R, m, k ∈ N, m ≤ k. Pak k i=m cai = c k i=m ai , k i=m (ai ± bi) = k i=m ai ± k i=m bi . D.: Plyne přímo z distributivního a asociativního zákona. 1.4.7 Věta Buďte {an} posloupnost, m, k ∈ N, m ≤ k. Označme [an]k n=m = ak − am. Pak platí k i=m ∆ai = [ai]k+1 i=m . D.: k i=m ∆an = (am+1 − am) + (am+2 − am+1) + · · · + (ak − ak−1) + (ak+1 − ak) = ak+1 − am. Věta ukazuje, že diference a sumace jsou v jistém smyslu inversní operátory. 1.4.8 Věta (Sumace “per partes”) Buďte {an}, {bn} posloupnosti, m, k ∈ N, m ≤ k. Pak platí k i=m ai∆bi = [anbn]k+1 n=m − k i=m (∆ai)bi+1 . D.: Podle 1.4.7 a 1.4.4.4 platí [anbn]k+1 n=m = k i=m ∆(aibi) = k i=m ((∆ai)bi+1 + ai∆bi) = k i=m (∆ai)bi+1 + k i=m ai∆bi . Příklad: Najděte součet 1 + 4 + 9 + · · · + n2 . Ř.: n i=1 i2 = n i=1 i2 ((i + 1) − i) = n i=1 i2 ∆i = i3 n+1 i=1 − n i=1 ∆i2 (i + 1) = = (n + 1)3 − 1 − n i=1 (i + 1)2 − i2 (i + 1) = n3 + 3n2 + 3n − n i=1 (2i + 1)(i + 1) = = n3 + 3n2 + 3n − n i=1 (2i2 + 3i + 1) = n3 + 3n2 + 3n − n i=1 1 − 3 n i=1 i − 2 n i=1 i2 = = n3 + 3n2 + 3n − n − 3 n(n + 1) 2 − 2 n i=1 i2 = 2n3 + 6n2 + 4n − 3n2 − 3n 2 − 2 n i=1 i2 . 22 Odtud n i=1 i2 = 2n3 + 3n2 + n 6 = n(n + 1)(2n + 1) 6 . 1.4.9 Věta (Sztolz [1842 – 1903]) 1. Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost taková, že lim n→∞ an = 0 a {bn}∞ n=1 je ryze monotonní posloupnost taková, že lim n→∞ bn = 0. Jestliže lim n→∞ ∆an ∆bn = c ∈ R∗ , pak také lim n→∞ an bn = c. 2. Nechť {an} je posloupnost a {bn} je neohraničená rostoucí posloupnost. Jestliže lim n→∞ ∆an ∆bn = c ∈ R∗ , pak také lim n→∞ an bn = c. D.: 1. Nechť pro určitost je {bn}∞ n=1 klesající. • c ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n0 ∈ N takové, že pro každé k ∈ N, k ≥ n0 platí c − ε < ak+1 − ak bk+1 − bk = ak − ak+1 bk − bk+1 < c + ε, a poněvadž bk+1 < bk, platí (c − ε)(bk − bk+1) < ak − ak+1 < (c + ε)(bk − bk+1). Tato nerovnost platí pro každé k ≥ n0, tedy pro každé m, n ∈ N, m > n > n0 platí: (c − ε)(bn − bn+1) < an − an+1 < (c + ε)(bn − bn+1) (c − ε)(bn+1 − bn+2) < an+1 − an+2 < (c + ε)(bn+1 − bn+2) ... ... (c − ε)(bm−1 − bm) < am−1 − am < (c + ε)(bm−1 − bm). Seštením těchto nerovností dostaneme (c − ε)(bn − bm) < an − am < (c + ε)(bn − bm). Podle 1.3.5.2 a 1.3.6 je lim m→∞ (c − ε)(bn − bm) = (c − ε)(bn − lim m→∞ bm) = (c − ε)bn. Podobně lim m→∞ (c + ε)(bn − bm) = (c + ε)bn, lim m→∞ (an − am) = an. Tedy podle 1.3.5.1 je (c − ε)bn ≤ an ≤ (c + ε)bn . Poněvadž {bn}∞ n=1 je klesající a lim n→∞ bn = 0, je bn > 0 pro každé n ∈ N a tedy c − ε ≤ an bn ≤ c + ε . Tato nerovnost platí pro každé n > n0, což znamená, že lim n→∞ an bn = c. • c = ∞. Buď K ∈ R libovolné. Existuje n0 ∈ N takové, že pro každé k ∈ N, k ≥ n0 platí ak+1 − ak bk+1 − bk = ak − ak+1 bk − bk+1 > K . Odtud pro každé m, n ∈ N, m > n > n0 dostaneme: ak − ak+1 > K(bk − bk+1) / m−1 k=n an − am > K(bn − bm) / lim m→∞ an ≥ Kbn / 1 bn an bn ≥ K , 23 což znamená, že lim n→∞ an bn = ∞. • c = −∞. Analogicky jako předchozí případ. Je-li {bn}∞ n=1 rostoucí, provedeme důkaz analogicky. 2. • Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Jsou-li α1, α2, . . . , αk reálná čísla a β1, β2, . . . , βk kladná reálná čísla, m, M ∈ R taková, že pro každé i ∈ {1, 2, . . ., k} platí m < αi βi < M, pak m < α1 + α2 + · · · + αk β1 + β2 + · · · + βk < M . Důkaz provedem úplnou indukcí vzhledem ke k. m < α1 β1 < M je splněno triviálně. Z indukčního předpokladu m < α1 + α2 + · · · + αk−1 β1 + β2 + · · · + βk−1 < M, neboli m(β1 + β2 + · · · + βk−1) < α1 + α2 + · · · + αk−1 < M(β1 + β2 + · · · + βk−1) a z předpokladu tvrzení mβk < αk < Mβk dostaneme sečtením dokazovanou nerovnost. • c ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 platí c − ε 2 < an+1 − an bn+1 − bn < c + ε 2 . Poněvadž {bn} je podle předpokladu neohraničená a rostoucí, lze bez újmy na obecnosti předpokládat bn1 ≥ 0. Položme α1 = an1+1 − an1 , α1 = an1+2 − an1+1, . . . , αk = an − an−1, β1 = bn1+1 − bn1 , β1 = bn1+2 − bn1+1, . . . , βk = bn − bn−1 . Podle pomocného tvrzení je c − ε 2 < an − an1 bn − bn1 < c + ε 2 , neboli an − an1 bn − bn1 − c < ε 2 . Dále platí an bn − c = an − an1 bn + an1 bn − c = an − an1 bn − bn1 bn − bn1 bn + an1 bn − c = = an − an1 bn − bn1 − c bn − bn1 bn + bn − bn1 bn c + an1 bn − c = = an − an1 bn − bn1 − c bn − bn1 bn + (bn − bn1 )c + an1 − cbn bn = = an − an1 bn − bn1 − c 1 − bn1 bn + an1 − cbn1 bn ≤ ≤ an − an1 bn − bn1 − c 1 − bn1 bn + an1 − cbn1 bn . Poněvadž podle 1.3.12.5 a 1.3.12.4 je lim n→∞ bn1 bn = 0 a pro n > n1 je bn1 bn ≥ 0, tak existuje n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že pro n ≥ n2 platí 0 ≤ 1 − bn1 bn ≤ 1, neboli 1 − bn1 bn ≤ 1 . 24 Poněvadž lim n→∞ an1 − cbn1 bn = 0, existuje n3 ∈ N takové, že pro n ≥ n3 platí an1 − cbn1 bn < ε 2 . Tedy pro n ≥ n0 = max{n1, n2, n3} platí an bn − c < ε 2 + ε 2 = ε , což znamená, že lim n→∞ an bn = c. • c = ∞. Buďte h ∈ R, ε > 0 libovolná čísla. Poněvadž lim n→∞ an+1 − an bn+1 − bn = ∞, existuje n1 ∈ N takové, že pro k ≥ n1 je ak+1 − ak bk+1 − bk > 2(h + ε) , neboli vzhledem k tomu, že bk+1 − bk > 0 ak+1 − ak > 2(h + ε)(bk+1 − bk) . Sečtením těchto nerovnic pro k od n1 do n − 1 dostaneme an − an1 > 2(h + ε)(bn − bn1 ) an bn > 2(h + ε) 1 − bn1 bn + an1 bn . Poněvadž podle 1.3.12.5 a 1.3.12.4 je lim n→∞ bn1 bn = 0 a lim n→∞ an1 bn = 0, existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 platí bn1 bn < 1 2 , neboli 1 − bn1 bn > 1 2 a existuje n3 ∈ N, že pro n ≥ n3 platí an1 bn > −ε . Tedy pro n ≥ n0 = max{n1, n2, n3} platí an bn > 2(h + ε) 1 2 − ε = h , což znamená, že lim n→∞ an bn = ∞. • c = −∞. Analogicky jako předchozí případ. Poznámky: • Předpoklad o ryzí monotonii posloupnosti {bn}∞ n=1 v první části věty obecně nelze vynechat. Je-li například an = 1 n a bn = (−1)n n , pak lim n→∞ an = lim n→∞ bn = 0, lim n→∞ an+1 − an bn+1 − bn = lim n→∞ 1 n+1 − 1 n (−1)n+1( 1 n+1 + 1 n ) = lim n→∞ (−1)n+1 n − n − 1 n + n + 1 = lim n→∞ (−1)n 2n + 1 = 0 podle 1.3.12.4, avšak an bn = 1 n (−1)n n = (−1)n a posloupnost {(−1)n }∞ n=1 = {−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .} je oscilující. 25 • Jestliže neexistuje vlastní ani nevlastní lim n→∞ an+1 − an bn+1 − bn a ostatní předpoklady Sztolzovy věty jsou splněny, nelze nic tvrdit o existenci lim n→∞ an bn . Je-li například an = (−1)n n2 , bn = 1 n , pak lim n→∞ an = 0, {bn} je klesající a lim n→∞ bn = 0. Přitom ∆an ∆bn = (−1)n+1 (n + 1)2 − (−1)n n2 1 n + 1 − 1 n = (−1)n+1 n2 + (n + 1)2 n2(n + 1)2 n − (n + 1) n(n + 1) = (−1)n 2n2 + 2n + 1 n2 + n a posloupnost (−1)n 2n2 + 2n + 1 n2 + n = −5 2 , 13 6 , −25 12 , 41 20 , −61 30 , 85 42 , . . . nemá limitu. Ale lim n→∞ an bn = lim n→∞ (−1)n n2 1 n = lim n→∞ (−1)n n = 0 . Příklad: Rozhodněte, zda posloupnost (n!)2 (2n)! je konvergentní a pokud ano, určete její limitu. Ř.: Označme an = (n!)2 (2n)! . Pak pro každé n ∈ N platí an ≥ 0 a an+1 an = ((n + 1)!)2 (2(n + 1))! (2n)! (n!)2 = (n + 1)2 (2n + 2)(2n + 1) = n + 1 2(2n + 1) = n + 1 2 + 1 2 4(n + 1 2 ) = 1 4 + 1 8(n + 1 2 ) ≤ ≤ 1 4 + 1 8(1 + 1 2 ) ≤ 1 4 + 1 12 = 5 12 < 1 , neboli an+1 < an. To znamená, že {an} je klesající, zdola ohraničená posloupnost a tedy podle 1.3.9 existuje a = lim n→∞ an ∈ R. Posloupnost {(2n)!} je rostoucí a neohraničená, tedy a = lim n→∞ (n!)2 (2n)! = lim n→∞ ((n + 1)!)2 − (n!)2 (2n + 2)! − (2n)! = lim n→∞ (n!)2 ((n + 1)2 − 1) ((2n)!)2((2n + 2)(2n + 1) − 1) = = lim n→∞ (n!)2 (2n)! lim n→∞ n2 + 2n 4n2 + 6n + 1 = a lim n→∞ 1 + 2 n 4 + 6 n + 1 n2 = a 1 4 , neboli a = 1 4 a. Odtud a = 0. 1.5 Elementární funkce A. Polynomy 1.5.1 Definice Buďte n ∈ N ∪ {0}, a0, a1, . . . , an ∈ R, an = 0. Polynom (racionální funkce celistvá) je funkce tvaru P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0. Číslo n se nazývá stupeň polynomu, značíme n = st P. Čísla a0, a1, . . . , an se nazývají koeficienty polynomu. Je-li st P = 1, polynom se nazývá lineární. Je-li st P = 2, polynom se nazývá kvadratický. Je-li st P = 3, polynom se nazývá kubický. 26 Je-li st P = 4, polynom se nazývá bikvadratický. Číslo 0 nazveme nulovým polynomem. Nepřiřazujeme mu stupeň. Dom P = R, ℑP =    (−∞, ∞), st P je lichý [a, ∞), st P je sudý, an > 0 (−∞, a], st P je sudý, an < 0 . Komplexní čísla: C = {a + ib : a, b ∈ R}, kde i2 = −1 (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2) (a1 + ib1) · (a2 + ib2) = (a1a2 − b1b2) + i(a2b1 + a1b2) Je-li α = a + ib ∈ C, β ∈ C pak ¯α = a − ib — číslo komplexně sdružené (konjugované) |α| = √ α¯α = √ a2 + b2 — absolutní hodnota (modul) komplexního čísla α + β = ¯α + ¯β αβ = ¯α ¯β αn = ¯αn pro n ∈ N α ∈ R ⇔ b = 0 ⇔ α = ¯α Množina komplexních čísel s operacemi +, · splňuje (R1) – (R9) z 1.1.7. Tvoří tedy pole. Toto pole nelze uspořádat. 1.5.2 Definice Číslo α ∈ C se nazývá kořen (nulový bod) polynomu P, jestliže platí P(α) = 0. Je-li α kořenem polynomu P, pak lineární polynom x − α nazveme kořenovým faktorem polynomu P. 1.5.3 Základní věta algebry Každý polynom stupně n ≥ 1 s komplexními koeficienty má komplexní kořen. Tato věta je známá od 17. století. První (chybný) pokus o důkaz publikoval d’Alembert roku 1746, větu dokázal Gauss roku 1799. 1.5.4 Věta Buď P(x) polynom, st P = n ≥ 1. Číslo α ∈ C je kořenem polynomu P právě tehdy, když existuje polynom Q, st Q = n − 1 takový, že P(x) = (x − α)Q(x). D.: „⇒“ Nechť P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, α je kořenem P. Pak P(x) = P(x) − 0 = P(x) − P(α) = = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 − (anαn + an−1αn−1 + · · · + a1α + a0) = = an(xn − αn ) + an−1(xn−1 − αn−1 ) + · · · + a1(x − α) + a0(1 − 1). Pro každé k ∈ N platí (xk − αk ) : (x − α) = xk−1 + xk−2 α + xk−3 α2 + · · · + xαk−2 + αk−1 . Tedy P(x) = an(x−α)(xn−1 +xn−2 α+· · ·+αn−1 )+an−1(x−α)(xn−2 +xn−3 α+· · ·+αn−2 )+· · ·+a1(x−α). Označíme Q(x) = an(xn−1 + xn−2 α + · · · + αn−1 ) + an−1(xn−2 + xn−3 α + · · · + αn−2 ) + · · · + a1 a dostaneme tvrzení. „⇐“ je zřejmé. P(x), st P = n ≥ 1. Podle 1.5.3 má P kořen α1, a tedy P(x) = (x − α1)Q1(x). Je-li st Q1 ≥ 1, pak Q1(x) = (x − α2)Q2(x), tedy P(x) = (x − α1)(x − α2)Q2(x). Analogicky pokračujeme a po n krocích dostaneme P(x) = an(x − α1)(x − α2) · · · (x − αn). Může se stát, že α1 = α2 = · · · = αk, k ≤ n. Pak (x − α1)(x − α2) · · · (x − αk) = (x − α1)k . Celkem P(x) = an(x − α1)k1 (x − α2)k2 · · · (x − αm)km , přičemž k1, k2, . . . , km ∈ N, k1 + k2 + · · · + km = n. 27 1.5.5 Definice Číslo α ∈ C se nazývá k-násobný kořen polynomu P(x), jestliže P(x) = (x − α)k Q(x), kde Q(x) je polynom nemající kořen α. (1-násobný kořen se nazývá jednoduchý.) 1.5.6 Věta (o rozkladu polynomu na kořenové faktory) Nechť P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 je polynom, st P = n ≥ 1. Nechť α1, α2, . . . , αm jsou všechny jeho navzájem různé kořeny, přičemž α1 je k1-násobný, α2 je k2-násobný,..., αm je km-násobný. Pak P(x) = an(x − α1)k1 (x − α2)k2 · · · (x − αm)km , k1, k2, . . . , km ∈ N, k1 + k2 + · · · + km = n . Důsledek: Polynom stupně n má právě n kořenů, jestliže k-násobný kořen počítáme k krát. 1.5.7 Příklad P(x) = x5 + x4 + x3 − x2 − x − 1 = x3 (x2 + x + 1) − (x2 + x + 1) = (x3 − 1)(x2 + x + 1) = = (x − 1)(x2 + x + 1)(x2 + x + 1) = (x − 1) x − −1 2 + i √ 3 2 2 x − −1 2 − i √ 3 2 2 1.5.8 Věta Nechť polynom P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 má reálné koeficienty a komplexní kořen α. Pak má také komplexně sdružený kořen ¯α a násobnosti kořenů α a ¯α jsou stejné. D.: Pro x ∈ R je ¯x = x a tedy P(x) = ¯an ¯xn + ¯an−1 ¯xn−1 + · · · + ¯a0 = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 = P(x). Podle 1.5.6 je P(x) = an(x − α1)k1 (x − α2)k2 · · · (x − αm)km a tedy P(x) = an(x − ¯α1)k1 (x − ¯α2)k2 · · · (x − ¯αm)km . Z rovnosti P(x) = P(x) plyne tvrzení. Polynom s reálnými koeficienty se nazývá reálný polynom. 1.5.9 Věta (o rozkladu reálného polynomu v reálném oboru na ireducibilní poly- nomy) Buď P(x) = anxn +an−1xn−1 +· · ·+a1x+a0 reálný polynom, st P = n ≥ 1. Nechť α1, α2, . . . , αm jsou všechny jeho reálné kořeny, přičemž α1 je k1-násobný, ..., αm je km-násobný. Nechť a1 ± ib1, a2 ± ib2, . . . , ar ± ibr jsou všechny jeho imaginární kořeny, přičemž a1 ± ib1 je l1-násobný, ..., ar ± ibr je lr násobný. Pak je P(x) = an(x − α1)k1 (x − α2)k2 · · · (x − αm)km [(x − a1)2 + b2 1]l1 [(x − a2)2 + b2 2]l2 · · · [(x − ar)2 + br 2]lr , k1 + k2 + · · · + km + 2l1 + 2l2 + · · · + 2lr = n . D.: Podle 1.5.6 a 1.5.8 v rozkladu polynomy P(x) vystupuje součin faktorů (x − (aj + ibj))lj (x − (aj − ibj))lj = (x2 − (aj + ibj)x − (aj − ibj)x + (aj + ibj)(aj − ibj))lj = = (x2 − 2ajx + a2 j + b2 j + i(ajbj − ajbj))lj = (x2 − 2ajx + a2 j + b2 j )lj = [(x − aj)2 + b2 j ]lj . Faktory (x−aj)2 +b2 j se někdy nahrazují kvadratickým polynomem x2 +pjx+qj se záporným diskriminantem p2 j − 4qj. 1.5.10 Příklad Viz též 1.5.7. x5 + x4 + x3 − x2 − x − 1 = (x − 1) x − −1 2 + i √ 3 2 2 x − −1 2 − i √ 3 2 2 = (x − 1) x + 1 2 2 + 3 4 2 nebo x5 + x4 + x3 − x2 − x − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)2 . 28 B. Racionální funkce 1.5.11 Definice Buďte P(x), Q(x) nenulové polynomy. Funkce R(x) = P(x) Q(x) se nazývá racionální lomená funkce. Je-li st P < st Q, funkce R se nazývá ryze lomená; je-li st P ≥ st Q, funkce R se nazývá neryze lomená. Dom R = R \ {α1, α2, . . . , αk}, kde α1, α2, . . . , αk jsou všechny reálné kořeny polynomu Q(x). Je-li R(x) neryze lomená, lze provést naznačené dělení. Výsledkem je polynom S(x) a zbytek — polynom T (x), který je buď nulový nebo st T < st Q. Tedy R(x) = S(x) nebo R(x) = S(x) + T (x) Q(x) . Odtud plyne, že platí 1.5.12 Poznámka Neryze lomená funkce je buď polynomem nebo ji lze vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené funkce. 1.5.13 Lemma Buď R(x) = P(x) Q(x) ryze lomená racionální funkce a nechť α je reálný k-násobný kořen polynomu Q(x), tj. Q(x) = (x − α)k Q1(x), Q1(α) = 0. Pak existují reálná čísla a1, a2, . . . , ak taková, že pro všechna x ∈ Dom R platí R(x) = P(x) (x − α)kQ1(x) = ak (x − α)k + ak−1 (x − α)k−1 + · · · + a2 (x − α)2 + a1 x − α + P1(x) Q1(x) , kde P1(x) je buď nulový polynom, nebo st P1 < st Q1. D.: Pro každé a ∈ R je P(x) (x − α)kQ1(x) = a (x − α)k + P(x) − aQ1(x) (x − α)kQ1(x) . Položme a = ak = P(α) Q1(α) . Pak P(α) − akQ1(α) = 0. Je-li P(x) − akQ1(x) nulový polynom, tvrzení platí. Nechť P(x) − akQ1(x) není nulový. Pak α je jeho kořen a podle 1.5.4 je P(x) − αkQ1(x) = (x − α)Pk(x), P(x) (x − α)kQ1(x) = ak (x − α)k + Pk(x) (x − α)k−1Q1(x) . Stejný postup aplikujeme na racionální funkci Pk(x) (x − α)k−1Q1(x) a po k krocích dostaneme tvrzení. 1.5.14 Lemma Buď R(x) = P(x) Q(x) ryze lomená racionální funkce a nechť α = a + ib je imaginární r-násobný kořen polynomu Q(x), tj. Q(x) = [(x − a)2 + b2 ]r Q1(x), Q1(a + ib) = 0. Pak existují reálná čísla m1, n1, m2, n2, . . . , mr, nr, taková, že pro všechna x ∈ Dom R platí R(x) = P(x) [(x − a)2 + b2]rQ1(x) = = mrx + nr [(x − a)2 + b2]r + mr−1x + nr−1 [(x − a)2 + b2]r−1 + · · · + m2x + n2 [(x − a)2 + b2]2 + m1x + n1 (x − a)2 + b2 + P1(x) Q1(x) , kde P1(x) je buď nulový polynom, nebo st P1 < st Q1. 29 D.: Pro každá dvě m, n ∈ R je P(x) [(x − a)2 + b2]rQ1(x) = mx + n [(x − a)2 + b2]r + P(x) − (mx + n)Q1(x) [(x − a)2 + b2]rQ1(x) . Nechť P(α) Q1(α) = P(a + ib) Q1(a + ib) = p + iq. Položme m = mr = q b , n = nr = pb − qa b . Pak je P(α) − (mrα + nr)Q1(α) = P(α) − q b a + i q b b + p − qa b Q1(α) = P(α) − (p + iq)Q1(α) = = P(α) − P(α) Q1(α) Q1(α) = 0 . Je-li P(x) − (mrx + nr)Q1(x) nulový polynom, tvrzení platí. Nechť P(x)−(mrx+nr)Q1(x) není nulový. Pak je číslo α jeho kořenem. Podle 1.5.8 je také ¯α jeho kořenem a P(x) − (mrx + nr)Q1(x) = (x − α)(x − ¯α)Pr(x) = [(x − a)2 + b2 ]Pr(x) , P(x) [(x − a)2 + b2]rQ1(x) = mrx + nr [(x − a)2 + b2]r + Pr(x) [(x − a)2 + b2]r−1 . Stejný postup aplikujeme na racionální funkci Pr(x) [(x − a)2 + b2]r−1 a po r krocích obdržíme tvrzení. Zlomky tvaru a (x − α)k , mx + n [(x − a)2 + b2]r − 1 nazýváme parciální zlomky. Z 1.5.13 a 1.5.14 plyne 1.5.15 Věta (o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky) Každou ryze lomenou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků. Každému reálnému k-násobnému kořenu α jmenovatele odpovídá skupina zlomků ak (x − α)k + ak−1 (x − α)k−1 + · · · + a2 (x − α)2 + a1 x − α a každému imaginárnímu r-násobnému kořenu a + ib jmenovatele odpovídá skupina zlomků mrx + nr [(x − a)2 + b2]r + mr−1x + nr−1 [(x − a)2 + b2]r−1 + · · · + m2x + n2 [(x − a)2 + b2]2 + m1x + n1 (x − a)2 + b2 . 1.5.16 Poznámka Koeficienty v rozkladu racionální funkce lze vypočítat postupem naznačeným v důkazech pomocných vět 1.5.13 a 1.5.14. V praxi se však používá metoda neurčitých koeficientů: Napíšeme formální tvar rozkladu se zatím neurčenými konstantami. Celou rovnost vynásobíme polynomem Q(x). Tím obdržíme rovnost mezi polynomy platnou pro všechna x s výjimkou kořenů Q(x). Porovnáním určitých koeficientů na levé straně a neurčitých koeficientů na pravé straně obdržíme rovnice pro neznámé konstanty. Do zmíněné rovnosti mezi polynomy lze též dosazovat konkrétní reálná nebo komplexní čísla. Výhodné je například dosazování reálných kořenů jmenovatele Q(x). Příklad: Rozložte na parciální zlomky funkci 3x2 − 5x + 8 x3 − 2x2 + x − 2 . Ř.: Rozklad jmenovatele: x3 − 2x2 + x − 2 = x2 (x − 2) + x − 2 = (x2 + 1)(x − 2) Formální tvar rozkladu: 3x2 − 5x + 8 x3 − 2x2 + x − 2 = A x − 2 + Bx + C x2 + 1 3x2 − 5x + 8 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x − 2) 3x2 − 5x + 8 = (A + B)x2 + (C − 2B)x + (A − 2C) Dosadíme x = 2: 12 − 10 + 8 = A · 5 → A = 2 Koeficient u x0 : 8 = A − 2C → C = A − 8 2 = −3 Koeficient u x2 : 3 = A + B → B = 3 − A = 1. Celkem: 3x2 − 5x + 8 x3 − 2x2 + x − 2 = 2 x − 2 + x − 3 x2 + 1 . 30 C. Funkce exponenciální a logaritmická Jde o zavedení obecné mocniny ax pro a ∈ R, a > 0, x ∈ R. x = n ∈ N : an = a · a · · · · · a n krát x = 1 n ∈ Q : a 1 n = n √ a je číslo splňující a 1 n n = a; x = 0 : a0 = 1; x = m n ∈ Q : a m n = n √ am = ( n √ a) m x = −n ∈ Z : a−n = 1 an Pro všechna x, y ∈ Q, a > 0 platí: ax · ay = ax+y ax ay = ax−y (ax )y = axy a > 1, x < y ⇒ ax < ay 0 < a < 1, x < y ⇒ ax > ay Poznamenejme, že podle 1.1.17 ke každému x ∈ R existuje posloupnost racionálních čísel {xn} s lim xn = x. 1.5.17 Lemma Buď a ∈ R, a > 0, x ∈ R. Je-li {xn} libovolná posloupnost racionálních čísel taková, že lim xn = x, pak existuje lim axn = α ∈ R. Při tom je α > 0 a α nezávisí na volbě posloupnosti {xn}. D: • Nechť a > 1. Buď {xn} neklesající posloupnost racionálních čísel s limitou x. Z x1 ≤ x2 ≤ x3 · · · plyne ax1 ≤ ax2 ≤ ax3 · · · a tedy {axn } je neklesající. Buď t ∈ Q, t ≥ x. Pak t ≥ xn pro každé n a tedy at ≥ axn pro každé n, což znamená, že {axn } je shora ohraničená a tedy podle 1.3.4 existuje lim axn = α ∈ R, α ≥ axn > 0. Buď {yn} libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x. Položíme zn = yn − xn. Pak yn = zn + xn a podle 1.3.6 je lim zn = lim yn − lim xn = x − x = 0, ayn = azn+xn = azn axn . Ukážeme, že lim azn = 1: Podle 1.3.8 je lim n √ a = lim a 1 n = 1. Tedy lim a− 1 n = lim 1 an = 1. Buď ε > 0 libovolné. Pak existuje n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je 1 − ε < a 1 n < 1 + ε, a existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 je 1 − ε < a− 1 n < 1 + ε. Tedy pro m = max{n1, n2} platí 1 − ε < a− 1 m < 1 < a 1 m < 1 + ε. Poněvadž lim zn = 0, existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 je − 1 m < zn < 1 m a tedy 1 − ε < a− 1 m < azn < a 1 m < 1 + ε, což znamená, že lim azn = 1. • Nechť a = 1. Tvrzení je triviální, neboť 1xn = 1 pro každé xn ∈ Q. • Nechť 0 < a < 1. Pak b = 1 a > 1. Je-li {xn} libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x, pak podle první části důkazu existuje β = lim bxn , přičemž β > 0 a β nezávisí na volbě posloupnosti {xn}. Podle 1.3.6.5 existuje lim axn = lim 1 bxn = 1 β . 1.5.18 Definice Buď a ∈ R, a > 0. Exponenciální funkce f(x) = ax je definována pro každé x ∈ R předpisem ax = lim axn , kde {xn} je libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x. 1.5.19 Věta Nechť a ∈ R, a > 0, a = 1. Exponenciální funkce f(x) = ax má vlastnosti: 1. Dom f = R, ℑf ⊆ (0, ∞). 31 2. Pro každá dvě x, y ∈ R platí: ax ay = ax+y , ax ay = ax−y , (ax )y = axy . 3. Pro a > 1 je rostoucí, pro 0 < a < 1 je klesající. D: 1. Plyne přímo z definice a z 1.5.17. 2. Tvrzení platí pro x, y ∈ Q. Nechť x, y ∈ R a {xn}, {yn} ⊆ Q takové, že xn → x, yn → y. ax ay = lim axn lim ayn = lim axn ayn = lim axn+yn = ax+y , neboť lim(xn + yn) = x + y. ax ay = ax−y analogicky. y = n ∈ N: (ax )y = (ax )n = ax · ax · · · · · ax n krát = ax+x+···+x = anx y = −n ∈ Z: (ax )y = (ax )−n = 1 (ax)n = 1 anx = a−nx = axy y = m n ∈ Q: (ax ) m n = n (ax)m = n √ axm současně (axy )n = ax m n = axm ⇒ n √ axm = axy , takže axy = (ax ) m n = (ax ) y . y ∈ I: zvolme {yn} ⊆ Q, yn → y. Pak (ax )y = lim(ax )yn = lim axyn = axy podle 1.5.20 (tuto poznámku totiž můžeme považovat v této chvíli již za dokázanou, neboť v jejím důkazu je využit pouze první vztah z části 2., který je již dokázán), neboť lim xyn = x lim yn = xy. 3. Nechť a > 1, x, y ∈ R, x < y. Zvolme u, v ∈ Q, x ≤ u < v ≤ y. Platí au < av . Buď {xn} neklesající posloupnost racionálních čísel s limitou x a buď {yn} nerostoucí posloupnost racionálních čísel s limitou y. Pak xn ≤ x ≤ u, což znamená, že axn ≤ au a tedy lim axn = ax ≤ u. v ≤ y ≤ yn, což znamená, že ayn ≥ av a tedy lim ayn = ay ≥ v. Z nerovnosti au < av plyne ax < ay . Případ 0 < a < 1 analogicky. Později (1.7.17) bude dokázáno, že ℑf = (0, ∞). 1.5.20 Poznámky 1. Je-li x = m p ∈ Q, definice 1.5.18 souhlasí s definicí a m p . (Stačí volit xn = m p pro každé n ∈ N.) 2. Je-li {xn} libovolná posloupnost reálných čísel s lim xn = x, pak lim axn = ax . D.: Pro každé n ∈ N zvolíme yn ∈ Q tak, aby xn − 1 n < yn ≤ xn (to lze podle 1.1.17). Podle 1.3.7 je lim yn = x. Tedy lim ayn = ax a dále lim axn = lim ayn+xn−yn = lim ayn lim axn−yn = ax lim axn−yn a analogicky jako v důkazu 1.5.17 ukážeme, že lim axn−yn = 1. Z exponenciálních funkcí má největší význam funkce f(x) = ex , kde e = lim 1 + 1 n n . Někdy se označuje ex = exp x. Tuto funkci nazýváme přirozená exponenciální funkce. 1.5.21 Definice Buď a ∈ R, a > 0, a = 1. Inversní funkce k funkci f(x) = ax se nazývá logaritmická funkce. Značíme ji loga x. 32 1.5.22 Věta Buď a ∈ R, a > 0, a = 1. Funkce f(x) = loga x má vlastnosti: 1. Dom f = (0, ∞), ℑf = (−∞, ∞). 2. Pro každá dvě x, y ∈ (0, ∞) platí: loga(xy) = loga x + loga y, loga x y = loga x − loga y, pro x ∈ (0, ∞) a y ∈ R platí: loga xy = y loga x. 3. Je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1. D: 1., 3. Plyne z 1.5.19 a obecných vlastností inversních funkcí. 2. Označme loga x = u, loga y = v. Pak au = x, av = y a xy = au av = au+v , tedy loga(xy) = u + v = loga x + loga y, x y = au av = au−v , tedy loga x y = u − v = loga x − loga y, xy = (au )y = auy , tedy loga xy = uy = y loga x. 1.5.23 Poznámka Buďte a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a = 1 = b. Pro každé x ∈ (0, ∞) platí logb x = loga x loga b . D.: y = logb x. Pak by = x a tedy y loga b = loga by = loga x. Odtud y = loga x loga b . Podobně jako u exponenciální funkce má největší význam logaritmická funkce loge x. Značí se ln x a nazývá přirozená nebo přirozený logaritmus. Libovolný logaritmus lze převést na přirozený: loga x = ln x ln a . Také obecnou exponenciální funkci lze převést na přirozenou, neboť pro a ∈ R, a > 0, x ∈ R platí ex ln a = eln a x = ax . D. Mocninná funkce 1.5.24 Definice Buď a ∈ R. Funkce f(x) = xa definovaná vztahem xa = ea ln x se nazývá obecná mocninná funkce. 1.5.25 Věta Buď a ∈ R. Mocninná funkce f(x) = xa má vlastnosti: 1. Dom f = (0, ∞), ℑf = (0, ∞). 2. Pro každá dvě x, y ∈ (0, ∞) platí: (xy)a = xa ya , x y a = xa ya . 3. Je rostoucí pro a > 0 a klesající pro a < 0. D: 1. Plyne z 1.5.19.1 a z 1.5.22.1. 33 2. (xy)a = ea ln xy = ea(ln x+ln y) = ea ln x ea ln y = xa ya . Druhý vztah analogicky. 3. Buď a > 0, 0 < x < y. Pak podle 1.5.22.3 je ln x < ln y a tedy a ln x < a ln y. Podle 1.5.19.3 je také ea ln x < ea ln y , tj. xa < ya . Pro a < 0 analogicky. 1.5.26 Poznámka Mocninná funkce f(x) = xa má v některých speciálních případech definiční obor širší než (0, ∞). Zejména: Je-li a ∈ N ∪ {0}, pak Dom f = (−∞, ∞). Je-li a ∈ Z, a < 0, pak Dom f = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Je-li a = m n ∈ Q, m ∈ Z, n ∈ N, m, n nesoudělná a n liché, pak pro a ≥ 0 je Dom f = (−∞, ∞), a < 0 je Dom f = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). E. Funkce goniometrické a cyklometrické Na jednotkovou kružnici se středem v počátku naneseme od bodu A = (1, 0) oblouk délky |x| v kladném smyslu pro x ≥ 0 a v záporném smyslu pro x < 0. Obdržíme bod B, jehož první souřadnici označíme cos x a druhou sin x. Dále klademe tg x = sin x cos x , cotg x = cos x sin x . Tento popis není definicí, neboť se používá vágní pojem „délka oblouku“, který nebyl přesně zaveden. Goniometrické funkce sin, cos, tg, cotg tedy nejsou zatím přesně definovány. Poněvadž jsou ale velice užitečné, budeme je používat již před jejich přesným definováním. Vlastnosti goniometrických funkcí: 1. Dom sin = Dom cos = R, ℑ sin = ℑ cos = [−1, 1], Dom tg = R \ {π 2 + kπ : k ∈ Z}, Dom cotg = R \ {kπ : k ∈ Z}, ℑ tg = ℑ cotg = R. 2. sin, cos jsou periodické se základní periodou 2π, tg, cotg jsou periodické se základní periodou π. 3. sin je rostoucí na [−π 2 + 2kπ, π 2 + 2kπ], klesající na [π 2 + 2kπ, 3π 2 + 2kπ], k ∈ Z. cos je rostoucí na [(2k − 1)π, 2kπ], klesající na [2kπ, (2k + 1)π], k ∈ Z. tg je rostoucí na (−π 2 + kπ, π 2 + kπ), k ∈ Z. cotg je klesající na (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z. 4. sin, cos, tg, cotg jsou liché, cos je sudá funkce 5. sin2 x + cos2 x = 1, tg x cotg x = 1, sin x = cos(x − π 2 ) = cos(π 2 − x), cos x = sin(x + π 2 ) = sin(π 2 − x) pro všechna přípustná x. 6. Součtové vzorce: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y, tg(x + y) = tg x + tg y 1 − tg x tg y , sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2 x − sin2 x, | sin x 2 | = 1 − cos x 2 , | cos x 2 | = 1 + cos x 2 , sin x + sin y = 2 sin x+y 2 cos x−y 2 , sin x − sin y = 2 cos x+y 2 sin x−y 2 , cos x + cos y = 2 cos x+y 2 cos x−y 2 , cos x − cos y = −2 sin x+y 2 sin x−y 2 , sin x cos y = 1 2 (sin(x + y) + sin(x − y)), cos x cos y = 1 2 (cos(x + y) + cos(x − y)), sin x sin y = 1 2 (cos(x − y) − cos(x + y)). 34 7. Jsou-li A, B ∈ R, A = 0 pak A sin x + B cos x = P sin(x + q), kde P = √ A2 + B2, tg q = B A . D.: tg q = sin q cos q = B A = B √ A2 + B2 A √ A2 + B2 , −1 < A √ A2 + B2 < 1 , −1 < B √ A2 + B2 < 1, cos q = A √ A2 + B2 , sin q = B √ A2 + B2 , A sin x + B cos x = A2 + B2 A √ A2 + B2 sin x + B √ A2 + B2 cos x = = A2 + B2 (cos q sin x + sin q cos x) = A2 + B2 sin(x + q). Funkce cyklometrické jsou funkce inversní k funkcím goniometrickým. Ve všech případech je nutno zúžit definiční obor příslušné goniometrické funkce tak, aby funkce byla ryze monotonní (tedy prostá). Je přirozené tento interval vzít „co nejblíže počátku“. Pro sin cos tg cotg vezmeme interval [−π 2 , π 2 ] [0, π] (−π 2 , π 2 ) (0, π) . Funkce cyklometrické se nazývají arcus a značí se arcsin, arccos, arctg, arccotg. Vlastnosti cyklometrických funkcí 1. Dom arcsin = Dom arccos = [−1, 1], ℑ arcsin = [−π 2 , π 2 ], ℑ arccos = [0, π] Dom arctg = Dom arccotg = R, ℑ arctg = (−π 2 , π 2 ), ℑ arccotg = (0, π). 2. Pro každé x ∈ [−1, 1] platí arcsin x + arccosx = π 2 . D.: y = arcsin x, x = sin y = cos(π 2 − y) ⇒ arccosx = π 2 − y; y ∈ [−π 2 , π 2 ] ⇒ π 2 − y ∈ [0, π]. 3. Pro každé x ∈ R platí arctg x + arccotg x = π 2 . D.: x ∈ R, y = arctg x ⇒ x = tg y = sin y cos y = cos(π 2 − y) sin(π 2 − y) = cotg(π 2 − y) ⇒ arccotg x = π 2 − y. F. Dodatek • Polární souřadnice r, ϕ. Transformace kartézských souřadnic na polární: r = x2 + y2 ϕ je řešením soustavy rovnic cos ϕ = x x2 + y2 , sin ϕ = y x2 + y2 , tj. ϕ =    arctg y x + 2kπ, x > 0 π 2 + kπ, x = 0 arctg y x + (2k + 1)π, x < 0 Transformace polárních souřadnic na kartézské: x = r cos ϕ y = r sin ϕ 35 • Parametrické vyjádření Buďte ϕ, ψ funkce, J ⊆ Dom ϕ ∩ Dom ψ interval. x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ J je tzv. parametrické vyjádření nějaké podmnožiny R2 . 1.6 Limita funkce 1.6.1 Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ R∗ limitu a ∈ R∗ a píšeme lim x→x0 f(x) = a, jestliže ke každému okolí O(a) čísla a existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} čísla x0 takové, že pro každé x ∈ O(x0) \ {x0} je f(x) ∈ O(a). Definice dostane konkrétní tvar podle toho, zda x0 ∈ R nebo x0 = ±∞ a a ∈ R nebo a = ±∞: 1. Vlastní limita ve vlastním bodě • x0 ∈ R, a ∈ R : lim x→x0 f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) 2. Nevlastní limita ve vlastním bodě • x0 ∈ R, a = ∞ : lim x→x0 f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) > h) • x0 ∈ R, a = −∞ : lim x→x0 f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) < h) 3. Vlastní limita v nevlastním bodě • x0 = ∞, a ∈ R : lim x→∞ f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃h ∈ R)(∀x)(x > h ⇒ |f(x) − a| < ε) • x0 = −∞, a ∈ R : lim x→−∞ f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃h ∈ R)(∀x)(x < h ⇒ |f(x) − a| < ε) 4. Nevlastní limita v nevlastním bodě • x0 = ∞, a = ∞ : lim x→∞ f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x > k ⇒ f(x) > h) • x0 = −∞, a = ∞ : lim x→−∞ f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x < k ⇒ f(x) > h) • x0 = ∞, a = −∞ : lim x→∞ f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x > k ⇒ f(x) < h) • x0 = −∞, a = −∞ : lim x→−∞ f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x < k ⇒ f(x) < h) 1.6.2 Poznámky 1. V definici 1.6.1 se nevyskytuje žádný požadavek na f(x0). Existence a hodnota lim x→x0 f(x) nezávisí na tom, zda x0 ∈ Dom f, a pokud ano, tak nezávisí na hodnotě f(x0). Existuje-li však lim x→x0 f(x), musí být funkce f definována v nějakém ryzím okolí bodu x0. 2. Buďte f, g funkce, x0 ∈ R∗ a nechť existuje lim x→x0 f(x) = a ∈ R∗ . Jestliže existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé x ∈ O(x0) \ {x0} je f(x) = g(x), pak existuje také lim x→x0 g(x) a platí lim x→x0 g(x) = a. 3. Logickou negací definice 1.6.1 obdržíme výrok „neplatí lim x→x0 f(x) = a“: Existuje okolí O(a) bodu a takové, že v každém okolí O(x0) bodu x0 existuje číslo x takové, že f(x) ∈ O(a). Jestliže neplatí lim x→x0 f(x) = a, pak buď lim x→x0 f(x) = b = a nebo lim x→x0 f(x) neexistuje. 4. Existence a hodnota limity funkce f v bodě x0 je lokální vlastností této funkce. 36 1.6.3 Příklady 1. lim x→0 x2 = 0. D.: Buď ε > 0 libovolné. Položme δ = √ ε. Je-li 0 < |x − 0| = |x| < δ = √ ε, pak |x2 − 0| = |x2 | = |x|2 < ε. 2. lim x→0 g(x) = 0 pro g = x2 , x = 0 1, x = 0 . D.: Stejně jako v 1. 3. lim x→0 χ(x) neexistuje. D.: Připusťme, že lim x→0 χ(x) = a ∈ R. Nechť a = 0. Položme ε = |a| 2 > 0. Buď δ > 0 libovolné a x ∈ (−δ, δ) ∩ I. Pak χ(x) = 0 ∈ a − |a| 2 , a + |a| 2 . Je tedy a = 0. Položme ε = 1 2 > 0. Buď δ > 0 libovolné a x ∈ (−δ, δ)∩Q. Pak χ(x) = 1 ∈ (−1 2 , 1 2 ). Nemůže tedy být lim x→0 χ(x) = a ∈ R. Připusťme, že lim x→0 χ(x) = ∞. Avšak pro libovolné x ∈ R je χ(x) ∈ {0, 1}, tedy pro h > 1 nemůže být χ(x) > h pro žádné x ∈ R. Z podobných důvodů nemůže být lim x→0 χ(x) = −∞. 1.6.4 Věta (Heineova podmínka [1821 – 1881]) Funkce f má v bodě x0 ∈ R∗ limitu a ∈ R∗ právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞ n=1 ⊆ Dom f takovou, že lim n→∞ xn = x0 a xn = x0 pro n ∈ N platí lim n→∞ f(xn) = a. D.: „⇒“ Nechť lim x→x0 f(x) = a ∈ R∗ a nechť {xn} je posloupnost splňující předpoklady. Buď O(a) libovolné. Pak existuje ryzí O(x0) \ {x0} takové, že pro x ∈ O(x0) \ {x0} je f(x) ∈ O(a). Poněvadž xn → x0, xn = x0, existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 jest xn ∈ O(x0) a tedy f(xn) ∈ O(a), což znamená, že lim n→∞ f(xn) = a. „⇐“ Nechť platí tvrzení věty. Zvolme libovolnou {xn}, xn → x0, xn = x0. Pak existuje lim n→∞ f(xn) = a ∈ R∗ . Ukážeme, že lim x→x0 f(x) = a. Připusťme, že existuje O(a) takové, že v každém ryzím okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 existuje x takové, že f(x) ∈ O(a). Je-li x0 ∈ R x0 = ∞ x0 = −∞ položíme On(x0) = (x0 − 1 n , x0) ∪ (x0, x0 + 1 n ) On(x0) = (n, ∞) On(x0) = (−∞, −n) Pro libovolné n ∈ N existuje yn ∈ On(x0) takové, že f(yn) ∈ O(a). Z konstrukce On(x0) plyne, že yn → x0, yn = x0 a tedy lim n→∞ f(yn) = a. To ovšem není možné, neboť f(yn) ∈ O(a). 1.6.5 Poznámka Nechť lim x→∞ f(x) = a ∈ R∗ a nechť pro každé n ∈ N je an = f(n). Pak lim n→∞ an = a. D.: Buď O(a) libovolné. Pak existuje k ∈ R takové, že pro x > k je f(x) ∈ O(a). Volme n0 = [k] + 1. Pak pro n ≥ n0 je an = f(n) ∈ O(a) a tedy lim x→∞ f(x) = a. 37 Heineova podmínka umožňuje převádět vlastnosti limity a nevlastní limity posloupnosti na vlastnosti limity funkce: 1.6.6 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium pro existenci vlastní limity) Funkce f má v bodě x0 ∈ R∗ limitu a ∈ R právě tehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé dva body x1, x2 ∈ O(x0) \ {x0} platí |f(x1) − f(x2)| < ε. D.: 1.3.22 a 1.6.4 1.6.7 Věta (vlastnosti limity) 1. Každá funkce má v libovolném bodě x0 ∈ R∗ nejvýše jednu limitu. (viz 1.3.3) 2. Má-li funkce f v bodě x0 ∈ R∗ vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce f ohraničená. (viz 1.3.4) Jestliže lim x→x0 f(x) = a > 0 (resp. lim x→x0 f(x) = a < 0), pak existuje ryzí okolí O′ (x0) bodu x0 takové, že pro každé x ∈ O′ (x0) je f(x) > 0 (resp. f(x) < 0). D.: Nechť lim x→x0 f(x) = a > 0 a buď ε = a 2 > 0. Existuje δ > 0 takové, že pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ) je f(x) ∈ (a − ε, a + ε), zejména tedy f(x) > a − ε = a 2 > 0. Platnost druhého tvrzení ukážeme analogicky. 3. Nechť lim x→x0 f(x) = 0, x0 ∈ R∗ a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce g ohraničená. Pak je lim x→x0 f(x)g(x) = 0. (viz 1.3.5.3) 4. Nechť x0 ∈ R∗ a lim x→x0 f(x) = a ∈ R, lim x→x0 g(x) = b ∈ R. Pak • existuje lim x→x0 |f(x)| a platí lim x→x0 |f(x)| = |a|, • existuje lim x→x0 (f(x) + g(x)) a platí lim x→x0 (f(x) + g(x)) = a + b, • existuje lim x→x0 (f(x) − g(x)) a platí lim x→x0 (f(x) − g(x)) = a − b, • existuje lim x→x0 f(x)g(x) a platí lim x→x0 f(x)g(x) = ab, • pokud b = 0 existuje lim x→x0 f(x) g(x) a platí lim x→x0 f(x) g(x) = a b . (viz 1.3.6) 5. Nechť f, g, h jsou funkce, x0 ∈ R∗ a existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Jestliže lim x→x0 f(x) = lim x→x0 h(x) = a ∈ R∗ , pak lim x→x0 g(x) = a. (viz 1.3.7) 6. Nechť x0 ∈ R∗ , lim x→x0 f(x) = 0 a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je f(x) = 0 (resp. f(x) > 0, resp. f(x) < 0). Pak lim x→x0 1 |f(x)| = ∞ (resp. lim x→x0 1 f(x) = ∞, resp. lim x→x0 1 f(x) = −∞). (viz 1.3.12.1) 7. Nechť x0 ∈ R∗ a lim x→x0 |f(x)| = ∞. Pak lim x→x0 1 f(x) = 0. (viz 1.3.12.4) 38 8. Nechť x0 ∈ R∗ , lim x→x0 f(x) = ∞ (resp. lim x→x0 f(x) = −∞) a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce g zdola (resp. shora) ohraničená. Pak lim x→x0 (f(x) + g(x)) = ∞ (resp. lim x→x0 (f(x) + g(x)) = −∞). (viz 1.3.12.2) 9. Nechť x0 ∈ R∗ , lim x→x0 f(x) = ∞ a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) ≥ δ > 0 (resp. g(x) ≤ δ < 0). Pak lim x→x0 f(x)g(x) = ∞ (resp. lim x→x0 f(x)g(x) = −∞). Nechť lim x→x0 f(x) = −∞ a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) ≥ δ > 0 (resp. g(x) ≤ δ < 0). Pak lim x→x0 f(x)g(x) = −∞ (resp. lim x→x0 f(x)g(x) = ∞). (viz 1.3.12.3) 10. Funkce signum (znaménko) je pro každé x ∈ R definována předpisem sgn x =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 . Nechť x0 ∈ R∗ , lim x→x0 f(x) = a = 0, lim x→x0 g(x) = 0 a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) = 0 a sgn f(x) = sgn g(x) (resp. sgn f(x) = − sgn g(x)). Pak lim x→x0 f(x) g(x) = ∞ (resp. lim x→x0 f(x) g(x) = −∞). (viz 1.3.12.1 a předchozí tvrzení) 11. Nechť x0 ∈ R∗ , lim x→x0 f(x) = a, lim x→x0 g(x) = b a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je f(x) < g(x). Pak a ≤ b. (viz 1.3.5.1) 1.6.8 Věta (o limitě složené funkce) Nechť x0 ∈ R∗ , lim x→x0 ϕ(x) = α ∈ R∗ a lim y→α f(y) = a ∈ R∗ . Nechť existuje ryzí okolí O1(x0) \ {x0} bodu x0, v němž platí ϕ(x) = α. Pak lim x→x0 f(ϕ(x)) = a. (Tj. lim x→x0 f(ϕ(x)) = lim y→ lim x→x0 ϕ(x) f(y) = a.) D.: Buď O(a) libovolné okolí bodu a. K němu existuje ryzí okolí O(α) \ {α} takové, že pro y ∈ O(α) \ {α} je f(y) ∈ O(a). K O(α) existuje ryzí okolí O2(x0) \ {x0} takové, že pro x ∈ O2(x0) \ {x0} je ϕ(x) ∈ O(α). Položme O(x0) = (O1(x0) \ {x0}) ∩ (O2(x0) \ {x0}). Pak pro x ∈ O(x0) je ϕ(x) ∈ O(α) a ϕ(x) = α, tj. ϕ(x) ∈ O(α) \ {α}. Tedy f(ϕ(x)) ∈ O(a), neboli lim x→x0 f(ϕ(x)) = a. 1.6.9 Příklady 1. Nechť f(x) = c ∈ R pro každé x ∈ R. Pak pro každé x0 ∈ R∗ jest lim x→x0 f(x) = c. D.: Buď ε > 0 libovolné, O(x0) \ {x0} libovolné ryzí okolí x0. Pro x ∈ O(x0) \ {x0} je |f(x) − c| = |c − c| = 0 < ε. 2. Nechť f(x) = x pro každé x ∈ R. Pak pro každé x0 ∈ R jest lim x→x0 x = x0 a dále lim x→∞ x = ∞, lim x→−∞ x = −∞. D.: Buď ε > 0 libovolné a δ = ε. Pak pro x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ) je |f(x) − x0| = |x − x0| < δ = ε. Buď h ∈ R libovolné a k = h. Pak pro x > k je f(x) = x > k = h a pro x < k je f(x) = x < k = h. 3. Buď P(x) polynom. Pak pro libovolné x0 ∈ R jest lim x→x0 P(x) = P(x0). D.: S využitím předchozího výsledku a 1.6.7.4 jest lim x→x0 xn = lim x→x0 xxn−1 = lim x→x0 x lim x→x0 xn−1 = x0 lim x→x0 xn−1 = x0 lim x→x0 x lim x→x0 xn−2 = = x0x0 lim x→x0 xn−2 = . . . = xn−1 0 lim x→x0 x = xn 0 . 39 Tvrzení nyní plyne z 1.6.7.4. 4. Buď R(x) racionální lomená funkce a x0 ∈ Dom R. Pak lim x→x0 R(x) = R(x0). D.: plyne z 3. a 1.6.7.4. 5. f(x) = x4 − 1 x3 − 1 . Pro x = 1 platí x4 − 1 x3 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1 a tedy podle 1.6.2.4 a předchozího výsledku je lim x→1 x4 − 1 x3 − 1 = lim x→1 x3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1 = 4 3 . 6. Buď a > 0, f(x) = ax . Pak pro libovolné x0 ∈ R je lim x→x0 ax = ax0 . D.: plyne z 1.5.20.2 a 1.6.4. 7. Buď a > 0, f(x) = xa , x0 ∈ Dom f. Pak lim x→x0 xa = xa 0. D.: plyne z 1.5.24, předchozího tvrzení a 1.6.8. 8. Pro libovolné x0 ∈ R je lim x→x0 sin x = sin x0, lim x→x0 cos x = cos x0. Plyne z geometrického názoru. (Funkce sin a cos nebyly přesně definovány.) 9. lim x→0 sin x x = 1. D.: Pro x ∈ (0, π 2 ) platí: 0 < sin x. Plocha kruhové výseče OAC je P0 = 1 2 x, plocha trojúhelníka OAC je P1 = 1 2 sin x a plocha trojúhelníka OAB je P2 = 1 2 tg x. Jest P1 < P0 < P2, neboli sin x < x < tg x 1 < x sin x < 1 cos x cos x < sin x x < 1 Všechny funkce v poslední nerovnosti jsou sudé, to znamená, že tato nerovnost platí i pro x ∈ (−π 2 , 0). Dále podle předchozího lim x→0 cos x = cos 0 = 1. Tvrzení nyní plyne z 1.6.7.5. 10. lim x→0 1 − cos x x2 = lim x→0 1 − cos x x2 1 + cos x 1 + cos x = lim x→0 1 − cos2 x x2(1 + cos x) = lim x→0 sin2 x x2 1 1 + cos x = 11 2 = 1 2 1.6.10 Poznámka Předpoklad o existenci ryzího okolí O1(x0) \ {x0} bodu x0 nelze v 1.6.8 obecně vynechat. Např. pro ϕ(x) = 0, f(y) = 0, y = 0 1, y = 0 platí f(ϕ(x)) = 1 a tedy podle 1.6.9.1 pro libovolné x0 ∈ R∗ je lim x→x0 f(ϕ(x)) = 1, avšak lim x→x0 ϕ(x) = 0, lim y→0 f(y) = 0. 1.6.11 Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ R limitu zprava (resp. zleva) rovnou a ∈ R∗ a píšeme lim x→x0+ f(x) = a (resp. lim x→x0− f(x) = a), jestliže ke každému okolí O(a) bodu a existuje pravé (resp. levé) ryzí okolí (x0, x0 + δ) (resp. (x0 − δ, x0)) takové, že pro každé x ∈ (x0, x0 + δ) (resp. x ∈ (x0 − δ, x0)) platí f(x) ∈ O(a). Limita zprava a limita zleva se souhrnně nazývají jednostranné limity. 40 • a ∈ R: lim x→x0+ f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x − x0 < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) lim x→x0− f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x0 − x < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) • a = ∞: lim x→x0+ f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x − x0 < δ ⇒ f(x) > h) lim x→x0− f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x0 − x < δ ⇒ f(x) > h) • a = −∞: lim x→x0+ f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x − x0 < δ ⇒ f(x) < h) lim x→x0− f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x0 − x < δ ⇒ f(x) < h) 1.6.12 Věta Funkce f má v bodě x0 ∈ R limitu a ∈ R∗ právě tehdy, když má v tomto bodě limitu zprava i zleva a platí lim x→x0+ f(x) = lim x→x0− f(x) = a. D.: plyne přímo z definic limity a jednostranných limit a z faktu O(x0) \ {x0} = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ). 1.6.13 Poznámka I pro jednostranné limity platí analogie Heineovy podmínky 1.6.4: lim x→x0+ f(x) = a ⇔ pro každou {xn} takovou, že lim n→∞ xn = x0, xn > x0 platí lim n→∞ f(xn) = a, lim x→x0− f(x) = a ⇔ pro každou {xn} takovou, že lim n→∞ xn = x0, xn < x0 platí lim n→∞ f(xn) = a. V důsledku toho i pro jednostranné limity platí 1.6.6, 1.6.7 a 1.6.8. 1.6.14 Příklad lim x→0 ex − 1 x = 1. Ř.: • Podle 1.3.10 posloupnost 1 + 1 n n je rostoucí a její limita je e, takže podle 1.3.9 pro každé n ∈ N 1 + 1 n n < e . • Vyšetříme lim x→0+ ex − 1 x : Buďte x ∈ (0, 1 2 ), n = 1 x , tedy 1 n + 1 < x ≤ 1 n . Podle 1.3.10 a prvního kroku řešení je 1 + 1 n + 1 n+1 < e < 1 + 1 n − 1 n a tedy podle 1.5.19.3 je ex ≤ e 1 n < 1 + 1 n − 1 , ex > e 1 n+1 > 1 + 1 n + 1 . Poněvadž n ≤ 1 x , jest n + 1 ≤ 1 x + 1 = 1 + x x , tedy x 1 + x ≤ 1 n + 1 . Poněvadž n + 1 > 1 x , jest n − 1 > 1 x − 2 = 1 − 2x x , tedy x 1 − 2x > 1 n − 1 . Celkem 1 + x 1 + x < ex < 1 + x 1 − 2x x 1 + x < ex − 1 < x 1 − 2x 1 1 + x < ex − 1 x < 1 1 − 2x 41 a podle 1.6.7.5 je lim x→0+ ex − 1 x = 1. • Vyšetříme lim x→0− ex − 1 x : Buď x ∈ (− 1 2 , 0) Položíme y = −x. Pak y ∈ (0, 1 2 ) a s využitím předchozího kroku dostaneme 1 + y 1 + y < ey < 1 + y 1 − 2y 1 + 2y 1 + y < ey < 1 − y 1 − 2y 1 − 2y 1 − y < e−y < 1 + y 1 + 2y 1 + 2x 1 + x < ex < 1 − x 1 − 2x x 1 + x < ex − 1 < x 1 − 2x 1 1 + x > ex − 1 x > 1 1 − 2x a podle 1.6.7.5 je lim x→0− ex − 1 x = 1. Nyní lim x→0 ex − 1 x = 1 podle 1.6.12. 1.6.15 Věta Nechť funkce f je monotonní v nějakém levém (resp. pravém) ryzím okolí bodu x0 ∈ R∗ . Pak existuje lim x→x0− f(x) (resp. lim x→x0+ f(x)). Podrobněji: 1. Nechť funkce f je neklesající v nějakém levém ryzím okolí L(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {∞}. Je-li f shora ohraničená v L(x0), je lim x→x0− f(x) = sup{f(x) : x ∈ L(x0)}, není-li f shora ohraničená v L(x0), je lim x→x0− f(x) = ∞. 2. Nechť funkce f je nerostoucí v nějakém levém ryzím okolí L(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {∞}. Je-li f zdola ohraničená v L(x0), je lim x→x0− f(x) = inf{f(x) : x ∈ L(x0)}, není-li f zdola ohraničená v L(x0), je lim x→x0− f(x) = −∞. 3. Nechť funkce f je neklesající v nějakém pravém ryzím okolí P(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {−∞}. Je-li f zdola ohraničená v P(x0), je lim x→x0+ f(x) = inf{f(x) : x ∈ P(x0)}, není-li f zdola ohraničená v P(x0), je lim x→x0+ f(x) = −∞. 4. Nechť funkce f je nerostoucí v nějakém pravém ryzím okolí P(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {−∞}. Je-li f shora ohraničená v P(x0), je lim x→x0+ f(x) = sup{f(x) : x ∈ P(x0)}, není-li f shora ohraničená v P(x0), je lim x→x0+ f(x) = ∞. D.: Provedeme pouze pro tvrzení 1. Důkazy ostatních lze provést analogicky. • Nechť x0 ∈ R a f je shora ohraničená v L(x0) = (x0 − α, x0). Množina {f(x) : x ∈ L(x0)} je neprázdná a shora ohraničená, tedy podle 1.1.7 (R14) existuje sup{f(x) : x ∈ L(x0)} = a ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. Podle 1.1.6 (s2∗ ) existuje x1 ∈ L(x0) takové, že f(x1) > a − ε. Položíme 42 δ = x0 − x1. Pak je (x1, x0) = (x0 − δ, x0) ⊆ L(x0). Poněvadž f je na L(x0) neklesající, pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) platí f(x) ≥ f(x1) > a − ε. Poněvadž a = sup{f(x) : x ∈ L(x0)}, pro x ∈ (x0 − δ, x0) platí f(x) ≤ a. Celkem pro x ∈ (x0 − δ, x0) je a − ε < f(x) ≤ a, což znamená lim x→x0− f(x) = a. • Nechť x0 = ∞ a f je shora ohraničená v L(x0) = (α, ∞). Zopakujeme úvahy z předchozího kroku s tím rozdílem, že nedefinujeme δ. Dojdeme k tomu, že pro x ∈ (x1, ∞) je a − ε < f(x) ≤ a. • Nechť x0 ∈ R a f není shora ohraničená v L(x0) = (x0 − α, x0). Buď h ∈ R libovolné. Poněvadž f není shora ohraničená, v (x0 − α, x0), existuje x1 ∈ (x0 − α, x0) takové, že f(x1) > h. Položíme δ = x0 − x1. Poněvadž f je neklesající na (x0 − α, x0), pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) platí f(x) ≥ f(x1) > h, což znamená lim x→x0− f(x) = ∞. • Nechť x0 = ∞ a f není shora ohraničená v L(x0) = (α, ∞). Zopakujeme úvahy z předchozího kroku s tím rozdílem, že nedefinujeme δ. Pak pro x ∈ (x1, ∞) je f(x) > h. Poznámka: (Oboustranná) limita nemusí existovat. 1.6.16 Definice Řekneme, že a ∈ R je limitní bod funkce f pro x0 ∈ R∗ , jestliže existuje posloupnost{xn} taková, že xn = x0 pro každé n ∈ N, lim n→∞ xn = x0 a lim n→∞ f(xn) = a. Označme Ω(f, x0) množinu limitních bodů funkce f pro x0 ∈ R∗ . Je-li funkce f ohraničená shora v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗ a Ω(f, x0) = ∅, klademe lim sup x→x0 f(x) = sup Ω(f, x0). Je-li funkce f ohraničená shora v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗ a Ω(f, x0) = ∅, klademe lim sup x→x0 f(x) = −∞. Není-li funkce f ohraničená shora v každém okolí bodu x0 ∈ R∗ , klademe lim sup x→x0 f(x) = ∞. Je-li funkce f ohraničená zdola v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗ a Ω(f, x0) = ∅, klademe lim inf x→x0 f(x) = inf Ω(f, x0). Je-li funkce f ohraničená zdola v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗ a Ω(f, x0) = ∅, klademe lim inf x→x0 f(x) = ∞. Není-li funkce f ohraničená zdola v každém okolí bodu x0 ∈ R∗ , klademe lim inf x→x0 f(x) = −∞. Snadno ověříme, že lim sup x→x0 f(x) = lim x→x0 (sup{f(ξ) : 0 < |x0 − ξ| < |x0 − x|}) lim inf x→x0 f(x) = lim x→x0 (inf{f(ξ) : 0 < |x0 − ξ| < |x0 − x|}). Jestliže lim x→x0 f(x) = a ∈ R∗ , pak a je limitním bodem funkce f pro x0 ∈ R∗ . Zřejmým způsobem lze zavéstpravéa levé limitní body a lim sup x→x0+ f(x), lim sup x→x0− f(x), lim inf x→x0+ f(x), lim inf x→x0− f(x). Přímo z definice plyne 1.6.17 Věta lim inf x→x0 f(x) ≤ lim sup x→x0 f(x). Rovnost nastane právě tehdy, když existuje vlastní nebo nevlastní lim x→x0 f(x). 1.7 Spojité funkce 1.7.1 Definice Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R, jestliže lim x→x0 f(x) = f(x0). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R zprava (resp. zleva), jestliže lim x→x0+ f(x) = f(x0) (resp. lim x→x0− f(x) = f(x0)). 43 1.7.2 Poznámky 1. Z definice 1.7.1 bezprostředně plyne: Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) platí |f(x) − f(x0)| < ε. 2. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ R, pak je v nějakém okolí tohoto bodu ohraničená. 3. Spojitost je definována pouze v bodech z R. Nelze definovat spojitost v nevlastním bodě. 4. Spojitost funkce je lokální vlastností této funkce. 1.7.3 Terminologická poznámka Není-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ R a je při tom definovaná na nějakém okolí (případně ryzím okolí) bodu x0, mohou nastat možnosti: A) lim x→x0 f(x) neexistuje A1) lim x→x0+ f(x), lim x→x0− f(x) existují a jsou reálné různé — bod nespojitosti 1. druhu (Např.: f(x) = [x], x0 = 1) A2) Alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje — bod nespojitosti 2. druhu (Např.: f(x) = sin 1 x , x0 = 0; χ(x), x0 libovolné) A3) lim x→x0+ f(x), lim x→x0− f(x) existují, jsou různé a alespoň jedna z nich je nevlastní (Např.: f(x) = tg(x), x0 = π 2 ) B) lim x→x0 f(x) = a ∈ R∗ , a = f(x0) B1) lim x→x0 f(x) je nevlastní (Např.: f(x) = 1 x2 , x0 = 0) B2) lim x→x0 f(x) = a ∈ R a f(x0) = a nebo x0 ∈ Dom f — bod odstranitelné nespojitosti Nespojitost lze odstranit změnou f(x0) nebo dodefinováním f(x0): ˜f(x) = f(x), x ∈ Dom f \ {x0} lim x→x0 f(x), x = x0 . (Např.: f(x) = x2 , x = 0 1, x = 0 , x0 = 0, g(x) = x − 1 x2 − 1 , x0 = 1 Nespojitost odstraníme definováním ˜f(0) = 0, ˜g(1) = 1 2 ) 1.7.4 Věta Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva. D.: plyne z 1.6.12. 1.7.5 Věta Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞ n=1 takovou, že lim n→∞ xn = x0 platí lim n→∞ f(xn) = f(x0). Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R zprava (resp. zleva) právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞ n=1 takovou, že xn ≥ x0 (resp. xn ≤ x0) a lim n→∞ xn = x0 platí lim n→∞ f(xn) = f(x0). D.: plyne z 1.6.4 a 1.6.13. 44 1.7.6 Věta Jsou-li funkce f a g spojité v bodě x0 ∈ R, pak jsou také funkce |f|, f + g, f − g, fg spojité v bodě x0. Je-li navíc g(x0) = 0, je i funkce f g spojitá v bodě x0. D.: plyne z 1.6.7.4 1.7.7 Věta Nechť funkce ϕ je spojitá v bodě x0 a funkce f je spojitá v bodě ϕ(x0). Pak je také funkce x → f(ϕ(x)) spojitá v bodě x0. D.: Buď ε > 0 libovolné. K němu existuje η > 0 takové, že pro y ∈ (ϕ(x0) − η, ϕ(x0) + η) platí |f(y) − f(ϕ(x0))| < ε. K η > 0 existuje δ > 0 takové, že pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) platí |ϕ(x) − ϕ(x0)| < η. Tedy pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) je |f(ϕ(x)) − f(ϕ(x0))| < ε, což znamená lim x→x0 f(ϕ(x)) = f(ϕ(x0)). Tato věta není důledkem 1.6.8, neboť má jiné předpoklady. 1.7.8 Definice Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I ⊆ Dom f, jestliže platí (i) f je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I. (ii) Patří-li levý (resp. pravý) krajní bod intervalu I do tohoto intervalu, pak je v něm funkce f spojitá zprava (resp. zleva). Zejména: Funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) právě tehdy, když je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] právě tehdy, když je spojitá v každém bodě intervalu (a, b), v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Spojitost na intervalu je globální vlastnost. 1.7.9 Věta Nechť funkce f je spojitá a ryze monotonní na intervalu I1 a zobrazuje tento interval na interval I2. Pak funkce inversní f−1 je spojitá na intervalu I2. D.: Nechť f je rostoucí na I1, y0 ∈ I2, y0 není levý koncový bod I2. Ukážeme, že f−1 je spojitá zleva v bodě y0 = f(x0): Buď ε > 0 libovolné takové, že x0 − ε ∈ I1. Pak f(x0 − ε) < f(x0). Označme δ = f(x0) − f(x0 − ε) > 0. Buď y ∈ (y0 − δ, y0] libovolný. Poněvadž podle 1.2.17 je f−1 rostoucí, je f−1 (y0 − δ) < f−1 (y). f−1 (y0 − δ) = f−1 (f(x0) − f(x0) + f(x0 − ε)) = x0 − ε, tedy x0 − ε = f−1 (y0) − ε < f−1 (y), neboli f−1 (y0) − f−1 (y) < ε. Ostatní možnosti rozebereme analogicky. Z této věty, z 1.7.6, 1.7.7 a z 1.6.9 bezprostředně plyne 1.7.10 Důsledek Elementární funkce jsou spojité na svém definičním oboru. 45 1.7.11 Věta (1. Weierstrassova [1815 – 1897]) Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená. D.: Sporem. Připusťme, že funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] není ohraničená shora. Pak ke každému n ∈ N existuje xn ∈ [a, b] takové, že f(xn) > n. Takto definovaná posloupnost {xn}∞ n=1 je ohraničená (a ≤ xn ≤ b) a tedy podle 1.3.19.1 existuje posloupnost {xnk }∞ k=1 z ní vybraná a taková, že lim k→∞ xnk = x0. Poněvadž a ≤ xnk ≤ b, podle 1.3.5.1 je a ≤ x0 ≤ b, neboli x0 ∈ [a, b]. Poněvadž f je spojitá (případně jednostranně spojitá), podle 1.7.5 je lim k→∞ f(xnk ) = f(x0) ∈ R. Současně ale f(xnk ) > nk, lim k→∞ nk = ∞, a tedy podle 1.3.5.1 a poznámky za 1.3.11 je lim k→∞ f(xnk ) = ∞. To je spor. Analogicky vyloučíme možnost, že by funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] nebyla ohraničená zdola. Poznámka: Oba předpoklady jsou podstatné. 1.7.12 Věta (2. Weierstrassova [1815 – 1897]) Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu své největší i nejmenší hodnoty. D.: Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Podle 1.7.11 je na tomto intervalu ohraničená a tedy existuje m = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Ukážeme, že existuje x1 ∈ [a, b], že f(x1) = m. Připusťme, že f(x) < m pro každé x ∈ [a, b]. Pak m−f(x) > 0 a tedy podle 1.7.6 je funkce x → 1 m − f(x) spojitá. Podle 1.7.11 existuje K ∈ R, že 1 m − f(x) < K pro každé x ∈ [a, b]. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že K > 0. Tedy f(x) < m − 1 K . Podle 1.1.6 (s2∗ ) existuje x0 ∈ [a, b], že f(x0) ≥ m − 1 K , neboli m − f(x0) ≤ 1 K , K ≤ 1 m − f(x0) , což je spor. Analogicky ukážeme, že existuje x2 ∈ [a, b], že x2 = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}. 1.7.13 Věta (1. Bolzanova [1781 – 1848]) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] a nechť platí f(a)f(b) < 0. Pak existuje c ∈ (a, b), že f(c) = 0. D.: Položme d = b − a 2 . Pak d ∈ (a, b). Pokud f(d) = 0, je c = d. Nechť f(d) = 0. Jestliže f(a)f(d) < 0, položme a1 = a, b1 = d; jestliže f(a)f(d) > 0, položme a1 = d, b1 = b. Jest b1 − a1 = b − a 2 , f(a)f(b1) < 0, f(a1)f(b) < 0, a1 ≥ a, b1 ≤ b. Dále položme d1 = b1 − a1 2 . Pak d1 ∈ (a1, b1) ⊆ (a, b). Pokud f(d1) = 0, je c = d1. Nechť f(d1) = 0. Jestliže f(a1)f(d1) < 0, položme a2 = a1, b2 = d1; jestliže f(a1)f(d1) > 0, položme a2 = d1, b2 = b1. Jest b2 − a2 = b − a 22 , f(a)f(b2) < 0, f(a2)f(b) < 0, a2 ≥ a1, b2 ≤ b1. Analogicky postupujeme dále. Buď po konečném počtu kroků nalezneme dk takové, že f(dk) = 0, nebo dostaneme dvě posloupnosti {an}, {bn} takové, že bn − an = b − a 2n , f(a)f(bn) < 0, f(an)f(b) < 0. V prvním případě je c = dk. Nechť nastane druhý případ. {an} je neklesající, ohraničená shora číslem b a tedy podle 1.3.9 existuje c1 = lim n→∞ an ≤ b. {bn} je nerostoucí, ohraničená zdola číslem a a tedy existuje c2 = lim n→∞ bn ≥ a. Platí c1 − c2 = lim n→∞ an − lim n→∞ bn = lim n→∞ (an − bn) = lim n→∞ a − b 2n = 0, tedy c1 = c2 = c ∈ [a, b]. 46 Kdyby f(a)f(c) < 0 a f(c)f(b) < 0, pak by f(a)f(c)f(c)f(b) > 0, neboli f(a)f(b) > 0, což by byl spor. Pokud f(a)f(c) ≥ 0, pak podle 1.3.5.1 je 0 ≤ f(a) lim f(bn) = lim f(a)f(bn) ≤ 0, tedy f(a)f(c) = 0, což je možné jen tak, že f(c) = 0. Pokud f(c)f(b) ≥ 0, pak 0 ≤ (lim f(an))f(b) = lim f(an)f(b) ≤ 0, tedy f(c)f(b) = 0, což je možné jen tak, že f(c) = 0. 1.7.14 Důsledek (Speciální případ Brouwerovy [1881 – 1966] věty o pevném bodě) Buď f spojitá funkce zobrazující uzavřený interval [a, b] do sebe. Pak existuje c ∈ [a, b] takové, že f(c) = c. D.: Platí f(a) ≥ a, f(b) ≤ b. Pokud f(a) = a, položíme c = a, pokud f(b) = b, položíme c = b. Nechť f(a) > a, f(b) < b. Definujme funkci g předpisem g(x) = x − f(x). Funkce g je spojitá na [a, b], g(a) < 0, g(b) > 0, takže podle 1.7.13 existuje c ∈ (a, b) takové, že g(c) = c − f(c) = 0. 1.7.15 Věta (2. Bolzanova [1781 – 1848]) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. Pak na tomto intervalu nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. D.: Buďte M = max{f(x) : x ∈ [a, b]}, m = min{f(x) : x ∈ [a, b]}, p ∈ R takové, že m < p < M. Podle 1.7.12 existují x1 ∈ [a, b], x2 ∈ [a, b] takové, že f(x1) = M, f(x2) = n. f(x1)− p > 0, f(x2)− p < 0, tedy (f(x1)− p)(f(x2)− p) < 0. Podle 1.7.13 existuje v uzavřeném intervalu s krajními body x1 a x2 číslo c takové, že 0 = (f − p)(c) = f(c) − p, tedy f(c) = p. 1.7.16 Důsledek Spojitým obrazem uzavřeného intervalu je buď jednoprvková množina nebo uzavřený interval. 1.7.17 Poznámka Nyní můžeme dokázat tvrzení uvedené za 1.5.19: Je-li a ∈ R, a > 0, a = 1, f(x) = ax , pak ℑf = (0, ∞). D.: Nechť a > 1. Vzhledem k 1.5.19.1 stačí ukázat, že (0, ∞) ⊆ ℑf. Buď tedy y0 ∈ (0, ∞) libovolné. Poněvadž lim n→∞ an = ∞, lim n→∞ a−n = 0, existují n1, n2 ∈ N, že a−n1 < y0 < an2 . Funkce f(x) = ax je podle 1.7.10 spojitá na (−∞, ∞), je tedy spojitá na uzavřeném intervalu [−n1, n2]. Podle 1.5.19.3 je f(−n1) = a−n1 < y0 < an2 = f(n2) a tedy podle 1.7.15 existuje x0 ∈ [−n1, n2] takové, že f(x0) = y0. To znamená, že y0 ∈ ℑf. Platnost tvrzení dokážeme analogicky i v případě 0 < a < 1. 1.7.18 Definice Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá na intervalu I ⊆ Dom f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková, že |x1 − x2| < δ platí |f(x1) − f(x2)| < ε. 1.7.19 Poznámky 1. Stejnoměrně spojitá funkce na intervalu je na tomto intervalu spojitá. Spojitá funkce na intervalu nemusí být na tomto intervalu spojitá stejnoměrně. 2. Stejnoměrná spojitost je globální vlastnost. 47 3. Nechť funkce f je stejnoměrně spojitá na otevřeném intervalu (a, b). Podle 1.6.6 existují lim x→a+ f(x) ∈ R, lim x→b− f(x) ∈ R. Funkce ˜f zadaná předpisem ˜f(x) =    lim x→a+ f(x), x = a f(x), x ∈ (a, b) lim x→b− f(x), x = b je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. (Funkci stejnoměrně spojitou na otevřeném intervalu lze spojitě prodloužit na krajní body tohoto inter- valu.) 4. Funkce stejnoměrně spojitá na libovolném intervalu je na tomto intervalu ohraničená. D.: Plyne z předchozího tvrzení a 1.7.12. 1.7.20 Věta (Heine [1821 – 1881] - Cantor [1845 – 1918]) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. Pak je na tomto intervalu spojitá stejnoměrně. D.: Sporem: Připusťme, že f je spojitá na [a, b] nikoliv stejnoměrně. Existuje tedy ε0 > 0 takové, že ke každému δ > 0 existuje dvojice bodů x, y ∈ [a, b], že |x − y| < δ a zároveň |f(x) − f(y)| ≥ ε0. Zejména tedy pro δ = 1 n existují xn, yn ∈ [a, b], že |xn − yn| < 1 n a |f(xn) − f(yn)| ≥ ε0. Posloupnost {xn} je ohraničená a tedy podle 1.3.19.2 existuje posloupnost {xnk } vybraná z {xn} taková, že lim k→∞ xnk = x0 ∈ [a, b]. Dále podle 1.3.5.1 lim k→∞ |xnk − ynk | ≤ lim k→∞ 1 nk = 0, tedy lim k→∞ |xnk − ynk | = 0, což znamená lim k→∞ ynk = x0. Poněvadž f je spojitá v x0, je lim k→∞ f(xnk ) = f(x0) = lim k→∞ f(ynk ). To je spor s |f(xnk ) − f(ynk )| ≥ ε0. 1.8 Cvičení Určete definiční obor funkcí 1) f(x) = x2 − 5x + 6 x2 − 5x + 4 , 2) f(x) = log sin 2x. Rozhodněte, zda funkce je sudá nebo lichá 3) f(x) = − 3 √ x, 4) f(x) = √ x. Najděte nejmenší periodu funkcí 5) f(x) = sin 1 3 x, 6) f(x) = tg ax. Najděte intervaly, na nichž jsou ryze monotonní funkce 7) f(x) = x + |x|, 8) f(x) = 21/x . Najděte inversní funkci k funkci 9) f(x) = 23x−1 , 10) f(x) = x + [x]. Rozhodněte, zda je posloupnost {an} ohraničená 11) an = 1 − cosn π n , 12) an = nn n! . Rozhodněte, zda je posloupnost {an} monotonní 13) an = n2 + 1 n + 1 , 14) an = log n − n. Vypočítejte limitu posloupnosti {an} 15) an = 2n2 − n + 3 3n2 + n − 5 16) an = 3n+1 + (−5)n−1 3n + (−5)n , 17) an = √ n2 + 3n + 2 − √ n2 − n + 1, 18) an = 12 n3 + 32 n3 + · · · + (2n − 1)2 n3 , 19) an = 1 n2 + 1 (n + 1)2 + · · · + 1 (2n)2 , 20) an = 1 √ n + 1 √ n + 1 + · · · + 1 √ 2n . 48 21) Zjistěte, zda posloupnost { 1 1! + 1 2! + · · · + 1 n! } je konvergentní. 22) Najděte limes superior a inferior posloupnosti (−1)n n √ 2 + 1 + 1 2n 2n + n √ 2 . Polynomy rozložte v reálném oboru 23) x4 − x3 + 2x2 − x + 1, 24) x6 + 1. Racionální funkce rozložte na parciální zlomky 25) x4 + 6x2 + x − 2 x4 − 2x3 , 26) x − 1 x4 + 3x2 + 2 . 27) jaký je vztah mezi grafy funkcí f(x) = ax a g(x) = 1 a x , a > 0? Určete definiční obor funkce f, zjednodušte její vyjádření a znázorněte ji graficky 28) f(x) = logx a, 29) f(x) = arcsin(sin x). Vypočítejte 30) lim x→1 x2 − 1 x3 − 1 , 31) lim x→1 xm − 1 xn − 1 , 32) lim x→1 3 √ x − 1 √ x − 1 , 33) lim x→0 3 √ 1 + x − 3 √ 1 − x √ 1 + x − √ 1 − x , 34) lim x→0 sin ax sin bx , 35) lim x→0 1 − cos3 x x sin 2x , 36) lim x→∞ √ x2 + x + 1 − √ x2 − 4x + 1 , 37) lim x→−∞ √ x2 + 5x + x , 38) lim x→1+ x + 1 x + 3 cotg πx , 39) lim x→π+ sin2 x tg x/2 . 40) Vysvětlete význam podmínky (∃ε > 0)(∀δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε). Najděte body nespojitosti následujících funkcí a určete jejich typ 41) f(x) = x3 − 1 x2 − 1 , 42) f(x) = sin π x . Výsledky: 1) (−∞, 1) ∪ [2, 3] ∪ (4, ∞) 2) {x ∈ R : kπ < x < (2k + 1)π 2 , k ∈ Z} 3) sudá 4) ani sudá, ani lichá 5) 6π 6) π a 7) na [0, ∞) rostoucí 8) na (−∞, 0) a na (0, ∞) klesající 9) f−1 (y) = 1 3 (1 + log2 y) 10) f−1 (y) = y − k pro y ∈ [2k, 2k + 1), k ∈ Z 11) ano, 0 ≤ an ≤ 2 12) ohraničená zdola an > 0 13) rostoucí 14) klesající 15) 2 3 16) −1 5 17) 2 18) 4 3 19) 0 20) ∞ 21) ano; je rostoucí a shora ohraničená 22) 2 + e, −e 23) (x2 + 1) x − 1 2 2 + 3 4 24) (x2 − √ 3 x + 1)(x2 + √ 3 x + 1)(x2 + 1) 25) 1 + 1 x3 − 3 x + 5 x−2 26) x−1 x2+1 − x−1 x2+2 27) souměrné kolem osy y 28) Dom f = (0, 1) ∪ (1, ∞), f(x) − ln a ln x 29) Dom f = R, f je 2-π periodické rozšíření funkce g(x) = x, x ∈ [−π 2 , π 2 ) π − x, x ∈ [π 2 , 3π 2 ) 30) 2 3 31) m n 32) 2 3 33) 2 3 34) a b 35) 3 4 36) 5 2 37) −∞ 38) 0 39) ∞ 40) f je ohraničená v R \ {x0} 41) x = 1 odstranitelná, x = −1 typu A3 42) x = 0 druhého druhu 49 50 Kapitola 2 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 2.1 Derivace 2.1.1 Definice Nechť f je funkce a x0 ∈ R. Existuje-li vlastní limita lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 , nazýváme ji derivace funkce f v bodě x0 a označujeme ji f′ (x0). Je-li tato limita nevlastní, řekneme, že funkce f má v bodě x0 nevlastní derivaci. Neexistuje-li tato limita, řekneme, že funkce f nemá derivaci v bodě x0. 2.1.2 Poznámky 1. Má-li funkce f derivaci v bodě x0, pak je v tomto bodě a nějakém jeho okolí definována. (Existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že O(x0) ⊆ Dom f.) (Viz 1.6.2.1) 2. Funkce f má v libovolném bodě x0 ∈ Dom f nejvýše jednu derivaci. (Viz 1.6.7.1) 3. Derivace je definována pouze v x0 ∈ R. Nelze definovat derivaci v ∞ nebo −∞. 4. Existence a hodnota derivace f′ (x0) je lokální vlastností funkce f v bodě x0. 5. Označíme-li x = x0 + h, lze v definici 2.1.1 psát lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h místo lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 . 6. Lze definovat i jednostranné derivace funkce f v bodě x0: Derivace zleva f′ −(x0) = lim x→x0− f(x) − f(x0) x − x0 = lim h→0+ f(x0) − f(x0 − h) h Derivace zprava f′ +(x0) = lim x→x0+ f(x) − f(x0) x − x0 = lim h→0+ f(x0 + h) − f(x0) h . Funkce f má v bodě x0 derivaci právě tehdy, když v něm má derivaci zprava a derivaci zleva a platí f′ +(x0) = f′ −(x0). (Viz 1.6.12) 7. Nechť (x, y) ∈ R2 : y = f(x) vyjadřuje křivku v rovině (s kartézskými souřadnicemi). Rovnice tečny k této křivce v bodě (x0, f(x0)) = (x0, y0) je y − y0 = f′ (x0)(x − x0) , rovnice normály v témže bodě je y − y0 = − 1 f′(x0) (x − x0) . 51 2.1.3 Věta Má-li funkce f v bodě x0 ∈ Dom f derivaci, je v tomto bodě spojitá. D.: Nechť f′ (x0) existuje. Pak lim x→x0 f(x) = lim x→x0 (f(x) − f(x0) + f(x0)) = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 (x − x0) + f(x0) = = f′ (x0) lim x→x0 (x − x0) + f(x0) = f′ (x0) · 0 + f(x0) = f(x0) , a tvrzení plyne přímo z definice 1.7.1. 2.1.4 Poznámky 1. Opačné tvrzení neplatí. Funkce spojitá v bodě x0 nemusí mít v tomto bodě derivaci. Například pro f(x) = |x| je f′ +(x0) = lim x→0+ |x| − |0| x − 0 = lim x→0+ x x = 1 , f′ −(x0) = lim x→0− |x| − |0| x − 0 = lim x→0− −x x = −1 . 2. Analogicky platí: Má-li funkce f v bodě x0 ∈ Dom f derivaci zprava (resp. zleva), pak je v tomto bodě spojitá zprava (resp. zleva). 2.1.5 Věta Nechť funkce f, g mají derivaci v bodě x0 ∈ Dom f ∩ Dom g. Pak platí: 1. Pro každé c ∈ R je (cf)′ (x0) = cf′ (x0). 2. (f + g)′ (x0) = f′ (x0) + g′ (x0), (f − g)′ (x0) = f′ (x0) − g′ (x0). 3. (fg)′ (x0) = f′ (x0)g(x0) + f(x0)g′ (x0). 4. Je-li g(x0) = 0, pak f g ′ (x0) = f′ (x0)g(x0) − f(x0)g′ (x0) g2(x0) . Analogická tvrzení platí i o jednostranných derivacích. D.: 1. lim x→x0 cf(x) − cf(x0) x − x0 = c lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 = cf′ (x0). 2. lim x→x0 f(x) ± g(x) − (f(x0) ± g(x0)) x − x0 = lim x→x0 f(x) − f(x0) ± (g(x) − g(x0)) x − x0 = f′ (x0) ± g′ (x0). 3. lim x→x0 f(x)g(x) − f(x0)g(x0) x − x0 = lim x→x0 f(x)g(x) − f(x0)g(x) + f(x0)g(x) − f(x0)g(x0) x − x0 = = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 g(x) + f(x0) g(x) − g(x0) x − x0 = f′ (x0)g(x0) + f(x0)g′ (x0). (Poslední rovnost platí, poněvadž podle 2.1.3 je lim x→x0 g(x) = g(x0).) 4. 1 g ′ (x0) = lim x→x0 1 g(x) − 1 g(x0) x − x0 = lim x→x0 g(x0) − g(x) x − x0 1 g(x)g(x0) = − g′ (x0) g2(x0) . Dokazovaný vztah nyní plyne z předchozího. Tvrzení věty lze stručně zapsat: (cu)′ = cu′ , (u ± v)′ = u′ ± v′ , (uv)′ = u′ v + uv′ , u v ′ = u′ v − uv′ v2 . 52 Matematickou indukcí lze tvrzení zobecnit: (c1f1 + c2f2 + · · · + cnfn)′ (x0) = c1f′ 1(x0) + c2f′ 2(x0) + · · · + cnf′ n(x0), (f1f2f3 · · · fn−1fn) ′ (x0) = f′ 1(x0)f2(x0)f3(x0) · · · fn−1(x0)fn(x0) + +f1(x0)f′ 2(x0)f3(x0) · · · fn−1(x0)fn(x0) + · · · + +f1(x0)f2(x0)f3(x0) · · · fn−1(x0)f′ n(x0). 2.1.6 Věta (o derivaci složené funkce) Nechť funkce f má derivaci v bodě u0 ∈ R a nechť funkce ϕ má derivaci v bodě x0 ∈ R takovém, že ϕ(x0) = u0. Pak složená funkce F : x → f(ϕ(x)) má derivaci v bodě x0 a platí F′ (x0) = f′ (u0)ϕ′ (x0) = f′ (ϕ(x0))ϕ′ (x0). D.: F(x) − F(x0) x − x0 = f(ϕ(x)) − f(ϕ(x0)) ϕ(x) − ϕ(x0) ϕ(x) − ϕ(x0) x − x0 . Jestliže existuje ryzí O(x0) takové, že ϕ(x) = ϕ(x0) pro každé x ∈ O(x0), pak podle 1.6.8 je F′ (x0) = lim x→x0 F(x) − F(x0) x − x0 = lim u→u0 f(u) − f(u0) u − u0 lim x→x0 ϕ(x) − ϕ(x0) x − x0 = f′ (u0)ϕ′ (x0) . Nechť v každém ryzím O(x0) \ {x0} existují body x takové, pro něž ϕ(x) = ϕ(x0). Ukážeme, že pak ϕ′ (x0) = 0 a také F′ (x0) = 0, tedy že platí dokazovaný vztah. Buď {xn} taková, že ϕ(xn) = ϕ(x0), xn = x0, xn → x0. Pak podle 1.6.4 ϕ′ (x0) = lim x→x0 ϕ(x) − ϕ(x0) x − x0 = lim n→∞ ϕ(xn) − ϕ(x0) xn − x0 = 0. Buď nyní {xn} libovolná taková, že xn = x0, xn → x0. Označme A = {n ∈ N : ϕ(xn) = ϕ(x0)} , B = {n ∈ N : ϕ(xn) = ϕ(x0)} . Pro n ∈ A jest F(xn) − F(x0) xn − x0 = f(ϕ(xn)) − f(ϕ(x0)) xn − x0 = 0. Je-li B konečná, existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je n ∈ A, tedy pro n ≥ n0 je F(xn) − F(x0) xn − x0 = 0, což znamená, že lim n→∞ F(xn) − F(x0) xn − x0 = 0. Je-li B nekonečná, existuje vybraná posloupnost {xnk }∞ k=1 ⊆ B. Dále lim k→∞ F(xnk ) − F(x0) xnk − x0 = lim k→∞ f(ϕ(xnk )) − f(ϕ(x0)) ϕ(xnk ) − ϕ(x0) ϕ(xnk ) − ϕ(x0) xnk − x0 = = f′ (ϕ(x0)) lim k→∞ ϕ(xnk ) − ϕ(x0) xnk − x0 = 0, neboť lim k→∞ ϕ(xnk ) = ϕ(x0), jelikož ϕ je spojitá v x0. Z 1.6.4 plyne F′ (x0) = 0. 2.1.7 Věta (o derivaci inversní funkce) Nechť funkce f je ryze monotonní a spojitá na intervalu J. Nechť y0 je vnitřní bod intervalu J a nechť funkce f má v tomto bodě derivaci f′ (y0) = 0. Pak funkce f−1 inversní k funkci f má derivaci v bodě x0 = f(y0) a platí (f−1 )′ (x0) = 1 f′(y0) . D.: Poněvadž f je ryze monotonní, pro x = x0 platí y = f−1 (x) = f−1 (x0) = y0. Tedy podle 1.6.8 platí: lim x→x0 f−1 (x) − f−1 (x0) x − x0 = lim x→x0 1 x − x0 f−1(x) − f−1(x0) = lim x→x0 1 f(f−1 (x)) − f(f−1 (x0)) f−1(x) − f−1(x0) = = lim y→y0 1 f(y) − f(y0) y − y0 = 1 f′(y0) . (Předposlední rovnost plyne ze spojitosti funkce f.) 53 2.1.8 Definice Buď M ⊆ Dom f množina bodů, v nichž má funkce f derivaci. Pak zobrazení x0 → f′ (x0) je funkcí s definičním oborem M. Tato funkce se nazývá derivace funkce f a označuje se f′ . 2.1.9 Přehled vzorců pro derivaci (1) pro každé c ∈ R je c′ = 0 (11) (arcsin x)′ = 1 √ 1 − x2 (2) (xa )′ = axa−1 (12) (arccosx)′ = − 1 √ 1 − x2 (3) (ex )′ = ex (13) (arctg x)′ = 1 1 + x2 (4) (ax )′ = ax ln a (14) (arccotg x)′ = − 1 1 + x2 (5) (ln x)′ = 1 x (15) (cu)′ = cu′ (6) (loga x)′ = 1 x ln a (16) (u ± v)′ = u′ ± v′ (7) (sin x)′ = cos x (17) (uv)′ = u′ v + uv′ (8) (cos x)′ = − sin x (18) u v ′ = u′ v − uv′ v2 (9) (tg x)′ = 1 cos2 x (19) (uv ) ′ = uv v′ ln u + v u′ u (10) (cotg x)′ = − 1 sin2 x (20) (f(ϕ(x))′ = f′ (ϕ(x))ϕ′ (x) D.: (1) lim x→x0 c − c x − x0 = 0. (3) lim h→0 ex0+h − ex0 h = ex0 lim h→0 eh − 1 h a vzorec plyne z 1.6.14. (5) Podle 2.1.7 je (ln x)′ = 1 ey = 1 eln x = 1 x . (2) S využitím 2.1.6 dostaneme (xa )′ = (ea ln x )′ = ea ln x (a ln x)′ = xa a x = axa−1 . (4) (ax )′ = (ex ln a )′ = ex ln a (x ln a)′ = ax (x)′ ln a = ax ln a. (6) (loga x)′ = ln x ln a ′ = 1 ln a (ln x)′ = 1 x ln a . (7) S využitím 1.6.9.9 dostaneme lim h→0 sin(x + h) − sin x h = lim h→0 sin x cos h + cos x sin h − sin x h = = sin x lim h→0 cos h − 1 h + cosx lim h→0 sin h h = sin x lim h→0 cos h − 1 h + cos x. Dále lim h→0 cos h − 1 h = lim h→0 cos2 h − 1 h(cos h + 1) = lim h→0 − sin2 h h(cos h + 1) = − lim h→0 sin h h lim h→0 sin h cos h + 1 = 1 · 0 = 0. (8) (cos x)′ = (sin(x + π 2 ))′ = cos(x + π 2 ) · 1 = − sin x. (9) (tg x)′ = sin x cos x ′ = cos2 x + sin2 x cos2 x = 1 cos2 x . (10) (cotg x)′ = cos x sin x ′ = − sin2 x − cos2 x sin2 x = − 1 sin2 x . 54 (11) Podle 2.1.7 je (arcsin x)′ = 1 (sin y)′ = 1 cos y = 1 1 − sin2 y = 1 √ 1 − x2 . (12) Podle 2.1.7 je (arccosx)′ = 1 (cos y)′ = − 1 sin y = − 1 1 − cos2 y = − 1 √ 1 − x2 . (13) Podle 2.1.7 je (arctg x)′ = 1 (tg y)′ = 1 1 cos2 y = 1 sin2 y+cos2 y cos2 y = 1 tg2 y + 1 = 1 x2 + 1 . (14) Podle 2.1.7 je (arccotg x)′ = 1 (cotg y)′ = 1 − 1 sin2 y = 1 − sin2 y−cos2 y cos2 y = − 1 x2 + 1 . (15)-(18) 2.1.5 (19) (uv )′ = ev ln u ′ = ev ln u v′ ln u + v u′ u = uv v′ ln u + v u′ u . (20) 2.1.6 2.1.10 Příklady 1. y = arccos ax2 + 1 bx2 + 1 , a, b ∈ R, 0 < a < b. y′ = − 1 1 − ax2 + 1 bx2 + 1 1 2 bx2 + 1 ax2 + 1 2ax(bx2 + 1) − 2bx(ax2 + 1) (bx2 + 1)2 = = − (bx2 + 1)(abx3 + ax − abx3 − bx) √ bx2 − ax2 √ ax2 + 1 (bx2 + 1)2 = − (a − b)x |x| √ b − a √ ax2 + 1 (bx2 + 1) = = sgn x √ b − a √ ax2 + 1 (bx2 + 1) . 2. y = x √ x = x 1 x = e 1 x ln x . y′ = x √ x − 1 x2 ln x + 1 x · 1 x = x √ x x2 (1 − ln x) 3. Napište rovnici tečny a normály k hyperbole xy = 1 v bodě A = (1 2 , 2). y = 1 x , y′ = − 1 x2 , y′ (1 2 ) = −4. tečna: y − 2 = −4(x − 1 2 ) 2y − 4 = −8x + 4 4x + y − 4 = 0 normála: y − 2 = 1 4 (x − 1 2 ) 8y − 16 = 2x − 1 2x − 8y + 15 = 0 4. y = 3 √ x, x0 = 0. y′ = 1 3 1 3 √ x2 pro x = 0, lim x→0 1 3 1 3 √ x2 = ∞, derivace v bodě 0 je nevlastní. 5. y = 3 √ x2, x0 = 0. y′ = 2 3 1 3 √ x , y′ +(0) = lim x→0+ 2 3 1 3 √ x = +∞ y′ −(0) = lim x→0− 2 3 1 3 √ x = −∞ Funkce tedy nemá v bodě 0 derivaci ani nevlastní derivaci. 6. y = sgn x, x0 = 0 (sgn x)′ x=0 = lim x→0 sgn x − sgn 0 x − 0 = lim x→0 sgn x x = ∞ Pro nevlastní derivaci neplatí tvrzení věty 2.1.3. (Proto také nevlastní derivaci nepovažujeme za derivaci.) 55 2.2 Derivace vyšších řádů, diferenciál 2.2.1 Definice Buď f funkce, která má derivaci na množině M1 ⊆ Dom f a buď x0 ∈ M1. Má-li funkce f′ derivaci v bodě x0, nazýváme tuto derivaci druhou derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji f′′ (x0). Obecně: Buď f funkce, která má na množině Mn−1 ⊆ Dom f (n − 1)-tou derivaci f(n−1) a buď x0 ∈ Mn−1. Má-li funkce f(n−1) derivaci v bodě x0, nazýváme tuto derivaci n-tou derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji f(n) (x0). 2.2.2 Vzorce pro n-tou derivaci (1) (xa ) (n) = a(a − 1) · · · (a − n + 1)xa−n (2) (ex ) (n) = ex (3) (ax ) (n) = ax lnn a (4) (ln x)(n) = (−1)n−1 (n − 1)! xn (5) (sin x)(n) = sin x + nπ 2 (6) (cos x)(n) = cos x + nπ 2 (7) (uv)(n) = n 0 u(n) v + n 1 u(n−1) v′ + · · · + n n − 1 u′ v(n−1) + n n uv(n) = = n i=0 n i u(n−i) v(i) (Leibnizova formule) D.: Ve všech případech matematickou indukcí. První krok indukce vždy bezprostředně plyne z 2.1.9. Ukážeme indukční krok. (1) (xa )(n) = (xa )(n−1) ′ = a(a − 1) · · · (a − n + 2)xa−n+1 ′ = a(a − 1) · · · (a − n + 2) xa−n+1 ′ = = a(a − 1) · · · (a − n + 2)(a − n + 1)xa−n (2) (ex )(n) = (ex )(n−1) ′ = (ex )′ = ex (3) (ax ) (n) = (ax )(n−1) ′ = ax lnn−1 a ′ = (ax )′ lnn−1 a = (ax ln a) lnn−1 a = ax lnn a (4) (ln x)(n) = (ln x)(n−1) ′ = (−1)n−2 (n − 2)! xn−1 ′ = (−1)n−2 (n − 2)! (−n + 1) xn = (−1)n−1 (n − 1)! xn (5) (sin x)(n) = (sin x)(n−1) ′ = sin x + (n − 1)π 2 ′ = cos x + (n − 1)π 2 = sin x + nπ 2 (6) Analogicky jako (5) (7) (uv)(n) = (uv)(n−1) ′ = n−1 i=0 n − 1 i u(n−1−i) v(i) ′ = = n−1 i=0 n − 1 i u(n−i) v(i) + u(n−1−i) v(i+1) = = n−1 i=0 n − 1 i u(n−i) v(i) + n i=1 n − 1 i − 1 u(n−i) v(i) = = n − 1 0 u(n) v + n−1 i=1 n − 1 i + n − 1 i − 1 u(n−i) v(i) + n − 1 n − 1 uv(n) = = u(n) v + n−1 i=1 n i u(n−i) v(i) + uv(n) = n i=0 n i u(n−i) v(i) 2.2.3 Definice Buď f funkce definovaná v nějakém okolí bodu x0 ∈ R. Řekneme, že tato funkce je diferencovatelná v bodě x0, jestliže existuje δ ∈ R, δ > 0 takové, že (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ Dom f, a existuje funkce τ : (x0 − δ, x0 + δ) → R 56 taková, že lim h→0 τ(h) = 0 a existuje a ∈ R takové, že pro h ∈ R, |h| < δ je f(x0 + h) − f(x0) = ah + hτ(h). V tomto případě se lineární funkce h → ah nazývá diferenciál funkce f v bodě x0 a značí se df(x0). 2.2.4 Poznámky 1. Vyjádření f(x0 + h) − f(x0) = ah + hτ(h) je možné při libovolném a ∈ R. Stačí položit τ(h) = f(x0 + h) − f(x0) − ah h . Podstatné je však volit a tak, aby lim h→0 τ(h) = 0. 2. Rozdíl f(x0 +h)−f(x0) se nazývá přírůstek funkce f v bodě x0 při přírůstku h nezávisle proměnné a značí se ∆f(x0)(h), stručně ∆f(x0). Pro diferencovatelnou funkci platí ∆f(x0)(h) = df(x0)(h) + hτ(h). 2.2.5 Věta Funkce f je diferencovatelná v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když má v tomto bodě derivaci. V tomto případě a = f′ (x0). D.: ⇒: f′ (x0) = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h = lim h→0 (a + τ(h)) = a + lim h→0 τ(h) = a. ⇐: Nechť f má derivaci v bodě x0. Položme a = f′ (x0), τ(h) = f(x0 + h) − f(x0) − f′ (x0)h h . Pak lim h→0 τ(h) = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h − f′ (x0) = f′ (x0) − f′ (x0) = 0. Platí tedy df(x0)(h) = f′ (x0) · h, df(x0)(h) h = f′ (x0); stručně df(x0) h = f′ (x0) Z tohoto vyjádření plyne geometrická interpretace diferenciálu: Diferenciál je přírůstek funkce naměřený na tečně, tedy ∆f(x0) ≈ df(x0). Toho lze využít k přibližnému výpočtu funkčních hodnot. Například: Výpočet √ 4.02. f(x) = √ x, x0 = 4, h = 0.02, f(x0) = √ 4 = 2 f′ (x) = 1 2 √ x , f′ (4) = 1 2 √ 4 = 1 4 , df(4) = f′ (4) · h = 0.02 4 = 0.005 f(x0 +h) = f(x0)+∆f(x0) ≈ f(x0)+df(x0) = 2+0.005 = 2.005 (Přesná hodnota je 2.00499) Je-li f(x) = x, pak f′ (x0) = 1 pro každé x0 ∈ R, df(x0)(h) = h, stručně dx = h. Lze tedy psát df(x0) = f′ (x0)dx, neboli f′ (x0) = df(x0) dx , stručně f′ = df dx . Je-li y = f(x), lze psát y′ = dy dx . Za použití této symboliky dostanou názorný tvar vzorce pro • derivaci složené funkce: df dx = df dϕ dϕ dx . • derivaci inversní funkce: df−1 dy = 1 df dx = dx df , neboli dx dy = 1 dy dx . 2.2.6 Poznámka — zavedení diferenciálů vyšších řádů Nechť funkce f má v bodě x0 n-tou derivaci f(n) (x0), n ≥ 1. n-tý diferenciál (diferenciál n-tého řádu) definujeme jako zobrazení dn f(x0) : h → f(n) (x0) · hn , symbolicky dn f(x0) = f(n) (x0)dxn . Za použití této symboliky lze n-tou derivaci zapsat f(n) (x) = dn f(x) dxn = dn y dxn . 57 2.3 Obecné věty o derivaci 2.3.1 Věta (Rolle [1652 – 1719]) Nechť funkce f splňuje předpoklady: (i) je spojitá na [a, b], (ii) v každém bodě intervalu (a, b) má vlastní nebo nevlastní derivaci, (iii) f(a) = f(b). Pak existuje c ∈ (a, b) takové, že platí f′ (c) = 0. D.: Je-li f konstantní, lze podle 2.1.9.1 za c vzít libovolný bod z (a, b). Nechť f není konstantní. Podle 1.7.12 existuje c ∈ (a, b) takové, že f(c) = max{f(x) : x ∈ [a, b]}. Nechť nejprve f(c) > f(a) = f(b). Podle (ii) existuje f′ (c) ∈ R∗ . Připusťme f′ (c) > 0, tedy lim x→c f(x) − f(c) x − c > 0. Existuje ryzí okolí O(c) \ {c} takové, že pro x ∈ O(c) \ {c} je f(x) − f(c) x − c > 0. Zvolme x1 ∈ [a, b] ∩ (O(c) \ {c}), x1 > c. Pak x1 − c > 0, f(x1) − f(c) ≤ 0, tedy f(x) − f(c) x − c ≤ 0, což je spor. Analogicky vyloučíme možnost f′ (c) < 0. Je tedy f′ (c) = 0. Pokud f(a) = f(b) = max{f(x) : x ∈ [a, b]}, položíme c = min{f(x) : x ∈ [a, b]} a provedeme analogické úvahy. Z důkazu plyne, že za c lze volit bod, v němž nabývá funkce f své extrémní hodnoty. Neplyne z něho, že jiné body s vlastností f′ (c) = 0 neexistují. Všechny tři předpoklady věty jsou podstatné. 2.3.2 Důsledek Buď f funkce spojitá na intervalu J, která má na tomto intervalu n-tou derivaci. Má-li f na J n kořenů (t.j. existují x0, x1, . . . , xn ∈ J, že f(x0) = f(x1) = · · · = f(xn) = 0), pak existuje c ∈ J takové, že f(n) (c) = 0. D.: Volme označení tak, že x0 < x1 < · · · < xn. Na intervalech [xi, xi+1] ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 1 splňuje f předpoklady Rolleovy věty. Existují tedy c1 i ∈ (xi, xi+1) ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 1 taková, že f′ (c1 i ) = 0. Na intervalech [c1 i , c1 i+1] ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 2 splňuje f′ předpoklady Rolleovy věty. Existují tedy c2 i ∈ (c1 i , c1 i+1) ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 2 taková, že f′′ (c2 i ) = 0. Analogicky postupujeme dále. V n − 1-ním kroku ukážeme, že existují cn−1 0 , cn−1 1 ∈ J taková, že f(n−1) (cn−1 0 ) = f(n−1) (cn−1 1 ) = 0. Na intervalu [cn−1 0 , cn−1 1 ] splňuje tedy f(n−1) předpoklady Rolleovy věty a tedy existuje c ∈ (cn−1 0 , cn−1 1 ) ⊆ J takové, že f(n) (c) = 0. 2.3.3 Věta (Lagrange [1736 – 1813], 1. věta o střední hodnotě, věta o přírůstku funkce) Nechť funkce f splňuje předpoklady: (i) je spojitá na [a, b], (ii) v každém bodě intervalu (a, b) má vlastní nebo nevlastní derivaci. Pak existuje c ∈ (a, b) takové, že platí f′ (c) = f(b) − f(a) b − a . 58 D.: Položme F(x) = (b − a)f(x) − (f(b) − f(a))x. Funkce F splňuje předpoklady 2.3.1: (i): plyne z 1.7.6 (ii): plyne z 2.1.9(2) a 2.1.5. (iii): F(a) = (b − a)f(a) − (f(b) − f(a))a = f(a)(b − a + a) − f(b)a = bf(a) − af(b) F(b) = (b − a)f(b) − (f(b) − f(a))b = f(b)(b − a − b) + f(a)b = bf(a) − af(b) Existuje tedy c ∈ (a, b), že F′ (c) = 0. F′ (x) = (b− a)f′ (x)− (f(b)− f(a)), 0 = F′ (c) = (b− a)f′ (c)− (f(b)− f(a)), z čehož f′ (c) = f(b) − f(a) b − a . 2.3.4 Důsledky 1. Splňuje-li funkce f na intervalu [a, b] předpoklady 2.3.3, pak pro libovolná x1, x2 ∈ [a, b], x1 = x2 existuje ξ mezi x1 a x2 tak, že platí f′ (ξ) = f(x2) − f(x1) x2 − x1 , neboli f(x2) − f(x1) = f′ (ξ)(x2 − x1). f(x2) − f(x1) — přírůstek funkce f mezi body x1, x2. Odtud je odvozen jeden z názvů věty. 2. Nechť funkce f je spojitá na [a, b] a nechť pro každé x ∈ (a, b) je f′ (x) = 0. Pak je f konstatntní na [a, b]. D.: Buďte x1, x2 ∈ [a, b] libovolné. Pak podle předchozího f(x2) = f′ (ξ)(x2 − x1) + f(x1) = f(x1). 3. Nechť funkce f, g jsou spojité na [a, b]. Mají-li f, g vlastní nebo nevlastní derivaci na [a, b] a platí-li f′ (x) = g′ (x) pro každé x ∈ (a, b), pak existuje c ∈ R taková konstanta, že f(x) = g(x) + c identicky na [a, b]. D.: Položme h(x) = f(x) − g(x). Pak h′ (x) = f′ (x) − g′ (x) = 0 a podle předchozího h(x) = c. 2.3.5 Věta (Cauchy [1789 – 1857], 2. věta o střední hodnotě, věta o podílu přírůstků funkce) Nechť funkce f, g splňují předpoklady: (i) jsou spojité na [a, b], (ii) v každém bodě intervalu (a, b) existuje vlastní nebo nevlastní derivace f′ (x) a vlastní derivace g′ (x) = 0. Pak existuje c ∈ (a, b) takové, že platí f(b) − f(a) g(b) − g(a) = f′ (c) g′(c) . D.: g splňuje předpoklady 2.3.3, existuje tedy d ∈ (a, b) takové, že g(b) − g(a) b − a = g′ (d) = 0, z čehož plyne g(b) − g(a) = 0, takže zlomek na levé straně tvrzení věty má smysl. Položme F(x) = (g(b)− g(a))f(x)− (f(b)− f(a))g(x). Přímo ověříme, že tato funkce splňuje předpoklady 2.3.1. Existuje tedy c ∈ (a, b) takové, že F′ (c) = 0. Tedy 0 = (g(b) − g(a))f′ (c) − (f(b) − f(a))g′ (c), z čehož plyne tvrzení. x = g(t) y = f(t) t ∈ [a, b] — parametrické vyjádření nějaké křivky. f(b) − f(a) g(b) − g(a) — směrnice sečny, vedené body A = (g(a), f(a)), B = (g(b), f(b)). y = f(g−1 (x)), y′ = f′ (g−1 (x)) g′(t) = f′ (t) g′(t) , tedy f′ (c) g′(c) je směrnice tečny v bodě C = (g(c), f(c)). Z důkazu Lagrangeovy věty je vidět, že Lagrangeova věta je důsledkem Rolleovy věty. Z důkazu Cauchyovy věty je vidět, že Cauchyova věta je důsledkem současně Rolleovy a Lagrangeovy věty. Bezprostředně je ale vidět, že Lagrangeova věta je důsledkem Cauchyovy věty a Rolleova věta je důsledkem Lagrangeovy věty. Všechny tři věty jsou tedy ekvivalentní. 59 2.3.6 Věta (Johann Bernoulli [1667 – 1748], de l’Hospitalovo pravidlo [1696]) Nechť f, g jsou funkce, x0 ∈ R∗ a nechť lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0 nebo lim x→x0 |g(x)| = ∞. Existuje-li lim x→x0 f′ (x) g′(x) ∈ R∗ , existuje i lim x→x0 f(x) g(x) a platí lim x→x0 f(x) g(x) = lim x→x0 f′ (x) g′(x) . Stejné tvrzení platí i pro jednostranné limity. Je-li lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0 a funkce f′ g′ je spojitá v bodě x0 ∈ R, důkaz je snadný: lim x→x0 f′ (x) g′(x) = f′ (x0) g′(x0) = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 lim x→x0 g(x) − g(x0) x − x0 = lim x→x0 f(x) − f(x0) g(x) − g(x0) = lim x→x0 f(x) − 0 g(x) − 0 = lim x→x0 f(x) g(x) . Důkazy de l’Hospitalova pravidla v ostatních případech lze nalézt v literatuře. Poznámka: Jestliže lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0 nebo lim x→x0 |g(x)| = ∞ a lim x→x0 f′ (x) g′(x) neexistuje, nelze z toho usuzovat nic o existenci a hodnotě lim x→x0 f(x) g(x) . Například lim x→∞ x − sin x x − cos x = lim x→∞ 1 − sin x x 1 − cos x x = 1 − 0 1 − 0 = 1, ale lim x→∞ (x − sin x)′ (x − cos x)′ = lim x→∞ 1 − cos x 1 + sin x neexistuje. 2.3.7 Zobecnění: Nechť n ∈ N a nechť pro k ∈ {1, 2, . . ., n − 1} platí lim x→x0 f(k) (x) = lim x→x0 g(k) (x) = 0 nebo lim x→x0 |g(k) (x)| = ∞. Existuje-li lim x→x0 f(n) (x) g(n)(x) , existuje i lim x→x0 f(x) g(x) a obě limity jsou shodné. Jinými slovy: de l’Hospitalovo pravidlo lze používat opakovaně 2.3.8 Poznámka o neurčitých výrazech Nechť f, g jsou funkce, x0 ∈ R∗ takové, že lim x→x0 f(x) = a ∈ R∗ , lim x→x0 g(x) = b ∈ R∗ . 1. a = b = 0, typ 0 0 : lim x→x0 f(x) g(x) = lim x→x0 f′ (x) g′(x) . 2. a = ±∞, b = ±∞, typ ∞ ∞ : lim x→x0 f(x) g(x) = lim x→x0 f′ (x) g′(x) . 3. a = 0, b = ±∞, typ 0 · ∞: lim x→x0 f(x)g(x) = lim x→x0 f(x) 1 g(x) = lim x→x0 g(x) 1 f(x) , což je některý z předchozích typů. 4. a = b = ±∞, typ ∞ − ∞: lim x→x0 (f(x) − g(x)) = lim x→x0 1 g(x) − 1 f(x) 1 f(x)g(x) , což je typ 0 0 . 5. a = b = 0, typ 00 : f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) , lim x→x0 f(x)g(x) = e lim x→x0 g(x) ln f(x) , což je typ 0 · ∞. 6. a = ∞, b = 0, typ ∞0 : lim x→x0 f(x)g(x) = e lim x→x0 g(x) ln f(x) , což je typ 0 · ∞. 7. a = 1, b = ∞, typ 1∞ : lim x→x0 f(x)g(x) = e lim x→x0 g(x) ln f(x) , což je typ ∞ · 0. 60 2.4 Taylorův vzorec 2.4.1 Označení Buďte f, g funkce, x0 ∈ R∗ . Symbol f(x) = O(g(x)), x → x0, stručněji f = O(g), x → x0 značí: existuje okolí O(x0) ⊆ Dom f ∩ Dom g bodu x0 a konstanta k ∈ R tak, že pro všechna x ∈ O(x0) platí |f(x)| ≤ k |g(x)|. Někdy se v takovém případě říká, že funkce f je malá řádu g. Symbol f(x) = o(g(x)), x → x0, stručněji f = o(g), x → x0 značí lim x→x0 f(x) g(x) = 0. Někdy se v takovém případě říká, že funkce f je nekonečně malá řádu g. 2.4.2 Definice Buďte f, g spojité funkce, x0 ∈ Dom f ∩ Dom g, n ∈ N ∪ {0}. Řekneme, že funkce f, g mají v bodě x0 styk řádu alespoň n, jestliže lim x→x0 f(x) − g(x) (x − x0)n = 0. Funkce f, g mají v bodě x0 styk řádu alespoň n, pokud f(x) − g(x) = o ((x − x0)n ) , x → x0. Poznámka: Je-li rovinná křivka grafem funkce f, která má v x0 ∈ Dom f derivaci a funkce g je dána předpisem g(x) = f(x0) + f′ (x0)(x − x0), pak funkce f a g mají v bodě x0 styk řádu alespoň 1. (Tečna ke grafu funkce má s grafem funkce styk řádu alespoň 1.) D.: lim x→x0 f(x) − g(x) x − x0 = lim x→x0 f(x) − f(x0) − f′ (x0)(x − x0) x − x0 = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 − f′ (x0) = 0 2.4.3 Věta Nechť n ∈ N a funkce f, g mají v bodě x0 ∈ Dom f ∩ Dom g spojitou n-tou derivaci. Funkce f a g mají v bodě x0 styk řádu alespoň n právě tehdy, když platí f(x0) = g(x0), f′ (x0) = g′ (x0), f′′ (x0) = g′′ (x0), · · · , f(n) (x0) = g(n) (x0). D.: V obou částech důkazu budeme používat označení F(x) = f(x)−g(x), Gk(x) = (x−x0)k pro k ∈ N∪{0}. Poněvadž existuje F(n) (x0), existují na jistém okolí bodu x0 i F(k) pro k ∈ {0, 1, 2, · · · , n − 1} a jsou to podle 2.1.3 funkce spojité v bodě x0. Podle 2.2.2.1 je G (l) k (x) = k(k − 1) · · · (k − l + 1)(x − x0)k−l . Všechny funkce G (l) k jsou v bodě x0 spojité a platí G (l) k (x0) = 0, l = k k!, l = k . ⇐: Nechť F(x0) = F′ (x0) = F′′ (x0) = · · · = F(n) (x0) = 0. Pak s využitím 2.3.7 platí 0 = F(n) (x0) n! = F(n) (x0) G (n) n (x0) = lim x→x0 F(n) (x) G (n) n (x) = lim x→x0 F(x) Gn(x) = lim x→x0 F(x) (x − x0)n . ⇒: Nechť lim x→x0 F(x) (x − x0)n = 0. Kdyby existovalo k ∈ {1, 2, . . ., n} takové, že F(x0) = F′ (x0) = F′′ (x0) = · · · = F(k−1) (x0) = 0 a F(k) (x0) = 0, pak by s využitím 2.3.7 platilo 0 = F(k) (x0) k! = F(k) (x0) G (k) k (x0) = lim x→x0 F(k) (x) G (k) k (x) = lim x→x0 F(x) Gk(x) = lim x→x0 F(x) (x − x0)k = = lim x→x0 F(x) (x − x0)n (x − x0)n−k = 0, což by byl spor. 61 2.4.4 Definice Buďf funkce, a ∈ Dom f. Nechť funkce f má v bodě a derivace až do n-té včetně. Polynom Tn,f,a(x) = Tn(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′′ (a) 2! (x − a)2 + · · · + f(n) (a) n! (x − a)n = n k=0 f(k) (a) k! (x − a)k se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě a (se středem a). Je-li a = 0, nazývá se tento polynom Maclaurinův. 2.4.5 Věta Pro Taylorův polynom platí Tn(a) = f(a), T ′ n(a) = f′ (a), T ′′ n (a) = f′′ (a), · · · , T (n) n (a) = f(n) (a) . D.: Tn(a) = f(a) + f′ (a) 1! (a − a) + f′′ (a) 2! (a − a)2 + · · · + f(n) (a) n! (a − a)n = f(a) T ′ n(x) = f′ (a) 1! + f′′ (a) 2! 2(x − a) + · · · + f(n) (a) n! n(x − a)n−1 ; T ′ n(a) = f′ (a) T ′′ n (x) = f′′ (a) 2! 2 + f′′′ (a) 3! 3 · 2 · (x − a) + · · · + f(n) (a) n! n(n − 1)(x − a)n−2 ; T ′′ n (a) = f′′ (a) ... T (n) n (x) = f(n) (a) n! n(n − 1) · · · 2; T (n) n (a) = f(n) (a) Z vět 2.4.3 a 2.4.5 bezprostředně plyne 2.4.6 Důsledek Nechť funkce f má v bodě a ∈ Dom f n-tou derivaci a nechť Tn,f,a je Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě a. Pak funkce f a Tn,f,a mají v bodě x0 styk řádu alespoň n. 2.4.7 Příklad (Maclaurinovy polynomy některých elementárních funkcí 1. f(x) = ex f(x) = f′ (x) = f′′ (x) = · · · = f(n) (x) = ex , tedy f(0) = f′ (0) = f′′ (0) = · · · = f(n) (0) = 1 Tn(x) = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! = n k=0 xk k! 2. f(x) = sin x f(0) = 0, f′ (0) = cos 0 = 1, f′′ (0) = − sin 0 = 0, f′′′ (0) = − cos 0 = −1, f′′′′ (0) = sin 0 = 0, . . . , f(2n−1) (0) = (−1)n−1 , f2n (0) = 0 T2n−1(x) = T2n(x) = x − x3 3! + x5 5! − · · · + (−1)n−1 x2n−1 (2n − 1)! = n k=1 (−1)k−1 x2k−1 (2k − 1)! 3. f(x) = cos x f(0) = 1, f′ (0) = − sin 0 = 0, f′′ (0) = − cos0 = −1, f′′′ (0) = sin 0 = 0, f′′′′ (0) = cos 0 = 1, . . . , f(2n) (0) = (−1)n , f2n+1 (0) = 0 T2n(x) = T2n+1(x) = 1 − x2 2! + x4 4! − · · · + (−1)n x2n (2n)! = n k=0 (−1)k x2k (2k)! 4. f(x) = ln(1 + x) f(0) = 0, Podle 2.2.2.4 je f(k) (x) = (−1)k−1 (k − 1)! (1 + x)k , a tedy f(k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)!. Tn(x) = x − x2 2 + x3 3 − x4 4 + · · · + (−1)n−1 xn n = n k=1 (−1)k−1 xk k 62 5. f(x) = (1 + x)α , α ∈ R f(0) = 1, Podle 2.2.2.1 je [(1 + x)α ](k) = α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)(1 + x)α−k , a tedy f(k) (0) = α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1). Definujme α k = α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1) k! . Pak Tn(x) = 1 + α 1 x + α 2 x2 + α 3 x3 + · · · + α n xn = n k=0 α k xk . Pro α ∈ N, α ≤ n je Maclaurinův polynom rozepsáním výrazu (1 + x)α podle binomické věty. 2.4.8 Věta (Brook Taylor [1685 – 1731]) Buď f funkce, a ∈ Dom f, n ∈ N. Nechť existuje okolí O(a) bodu a takové, že funkce f má (n + 1)-tou derivaci v každém bodě z O(a). Buď x ∈ O(a). Pak v otevřeném intervalu s krajními body a a x existuje číslo c takové, že platí f(x) = f(a) + f′ (a) 1! (x − a) + f′′ (a) 2! (x − a)2 + · · · + f(n) (a) n! (x − a)n + f(n+1) (c) (n + 1)! (x − a)n+1 . D.: Buď x0 > a, x0 ∈ O(a) libovolné. Položíme K = f(x0) − Tn(x0) (x0 − a)n+1 , neboli f(x0) = Tn(x0) + K(x0 − a)n+1 . Dále položíme F(x) = f(x) − Tn(x) − K(x − a)n+1 pro x ∈ [a, x0]. Funkce F má podle 2.1.3 a 2.1.5 na [a, x0] spojité derivace až do n-té, neboť f má na tomto intervalu (n + 1)-tou derivaci a Tn(x), (x − a)n+1 mají derivace všech řádů. Podle 2.4.5 platí F(a) = F′ (a) = F′′ (a) = · · · F(n) (a) = 0. Dále F(x0) = 0. Tedy F splňuje na [a, x0] předpoklady 2.3.1. odtud plyne, že existuje c1 ∈ (a, x0) že F′ (c1) = 0. To dále znamená, že funkce F′ splňuje na [a, c1] předpoklady 2.3.1, z čehož plyne, že existuje c2 ∈ (a, c1) že F′′ (c2) = 0. Tak pokračujeme dále. Nakonec ukážeme, že existuje cn, a < cn < x0 takové, že F(n) (c) = 0. Celkem tedy dostaneme, že funkce F(n) splňuje na [a, cn] předpoklady 2.3.1, z čehož plyne, že existuje c ∈ (a, cn) ⊆ (a, x0) že F(n+1) (c) = 0. Přitom F(n+1) (c) = f(n+1) (c) − 0 − K(n + 1)!, z čehož plyne K = f(n+1) (c) (n + 1)! . Dokázali jsme tedy platnost vzorce pro x = x0 > a, x0 ∈ O(a). Poněvadž x0 > a byl libovolný, platí vzorec na pravém okolí bodu a. Jeho platnost na levém okolí bodu a dokážeme analogicky. Poznámky • Vzorec uvedený ve větě lze zapsat: f(x) = Tn(x) + Rn(x). Tento vzorec se nazývá Taylorův (pro a = 0 Maclaurinův); výraz Rn(x) se nazývá zbytek v Taylorově vzorci nebo Taylorův zbytek. Výraz Rn(x) = f(n+1) (c) (n + 1)! (x − a)n+1 se nazývá Lagrangeův tvar (Taylorova) zbytku. Existují i jiné tvary zbytku, vždy však platí Rn(x) = o ((x − a)n ) , x → a. • Číslo c lze napsat ve tvaru c = a + Θ(x − a), kde Θ ∈ (0, 1). • Je vidět, že Lagrangeova věta 2.3.3 je speciálním případem věty Taylorovy (pro n = 1). Naopak, Taylorova věta byla dokázána jako důsledek věty Rolleovy 2.3.1 2.4.9 Příklad (Zbytky Maclaurinových polynomů některých elementárních funkcí) Sr. 2.2.2 1. f(x) = ex , Rn(x) = eΘx (n + 1)! xn+1 63 2. f(x) = sin x, R2n−1(x) = sin(Θx + nπ) (2n)! x2n 3. f(x) = cos x, R2n(x) = cos(Θx + 2n+1 2 π) (2n + 1)! x2n+1 4. f(x) = ln(x + 1), Rn(x) = (−1)n xn+1 (n + 1)(1 + Θx)n+1 5. f(x) = (1 + x)α , Rn(x) = α n + 1 (1 + Θx)α−n−1 xn+1 Taylorova věta slouží k přibližnému výpočtu funkčních hodnot 2.4.10 Příklad Najděte Maclaurinův polynom, který na intervalu (−π 2 , π 2 ) aproximuje funkci f(x) = sin x s přesností 10−5 . Ř.: sin x = T2n−1(x) + R2n−1(x) = n k=1 (−1)k−1 x2k−1 (2k − 1)! + sin(Θx + nπ) (2n)! x2n |R2n−1(x)| = sin(Θx + nπ) (2n)! x2n ≤ |x2n | (2n)! ≤ (π 2 )2n (2n)! Snadno ověříme, že |R9(x)| ≤ 0.00002 a |R11| ≤ 0.0000005 < 10−5 . Tedy stačí vzít T11(x) = x − x3 6 + x5 120 − x7 5 040 + x9 362 880 − x11 39 916 800 . 2.5 Průběh funkce 2.5.1 Věta Nechť funkce f má v bodě x0 ∈ Dom f vlastní nebo nevlastní derivaci. Je-li f′ (x) > 0 (resp. f′ (x) < 0), pak je f v bodě x0 rostoucí (resp. klesající). D.: Nechť lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 > 0. Pak existuje O(x0) takové, že f(x) − f(x0) x − x0 > 0 pro každé x ∈ O(x0). Je-li x ∈ O(x0), x < x0, pak x − x0 < 0 a tedy f(x) − f(x0) < 0, tj. f(x) < f(x0). Je-li x ∈ O(x0), x > x0, pak x − x0 > 0 a tedy f(x) − f(x0) > 0, tj. f(x) > f(x0). Druhé tvrzení dokážeme analogicky. 2.5.2 Věta Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má zde vlastní nebo nevlastní derivaci. f je rostoucí (resp. klesající) na J právě tehdy, když f′ (x) ≥ 0 (resp. f′ (x) ≤ 0) na J, přičemž rovnost f′ (x) = 0 neplatí na žádném subintervalu intervalu J. D.: ⇒: Nechť f je rostoucí na J, x0 ∈ J libovolný. Pro x ∈ J, x > x0 je f(x) > f(x0) a pro x ∈ J, x < x0 je f(x) < f(x0), tedy f(x) − f(x0) x − x0 > 0 pro x ∈ J. Odtud plyne, že f′ (x0) = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 ≥ 0. Kdyby rovnost f′ (x0) = 0 platila na intervalu I ⊆ J, byla by podle 2.3.4.2 funkce f konstantní na I. ⇐: Buďte x1, x2 ∈ J, x1 < x2. Na [x1, x2] funkce f splňuje předpoklady 2.3.3 a tedy existuje ξ ∈ (x1, x2) takové, že f(x1) − f(x2) x1 − x2 = f′ (ξ) ≥ 0, což znamená, že f(x1) ≤ f(x2). f je tedy neklesající na J a poněvadž na žádném subintervalu není konstantní, je rostoucí. Druhé tvrzení se dokáže analogicky. 64 2.5.3 Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ Dom f lokální maximum (resp. minimum), jestliže existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že pro každé x ∈ O(x0) ∩ Dom f bodu x0 platí f(x) ≤ f(x0) (resp. f(x) ≥ f(x0)). Lokální maximum (resp. minimum) se nazývá ostré, jestliže existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé x ∈ (O(x0) \ {x0}) ∩ Dom f platí f(x) < f(x0) (resp. f(x) > f(x0)). Lokální maxima a minima souhrnně nazýváme lokální extrémy, případně ostré lokální extrémy. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ M ⊆ Dom f absolutní maximum (resp. minimum), na množině M, jestliže pro každé x ∈ M platí f(x) ≤ f(x0) (resp. f(x) ≥ f(x0)). Absolutní maximum (resp. minimum) se nazývá ostré, jestliže příslušné nerovnosti jsou ostré. Absolutní maxima a minima souhrnně nazýváme absolutní extrémy. 2.5.4 Poznámky 1. Má-li funkce v bodě x0 ∈ Dom f lokální extrém a existuje-li vlastní nebo nevlastní f′ (x0), pak f′ (x0) = 0. (Plyne bezprostředně z 2.5.1.) 2. Body, v nichž f′ (x0) = 0 nazýváme stacionární body funkce f. Bezprostředně z předchozího tvrzení vyplývá, že funkce může mít lokální extrém buď ve stacionárním bodě a nebo v bodě, kde neexistuje vlastní ani nevlastní derivace. 3. Stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. f(x) = x3 , f′ (0) = 0, f′ (x) = 3x2 > 0 pro x = 0. Tedy podle 2.5.2 je f rostoucí na R. 2.5.5 Věta Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ Dom f. Existuje-li levé ryzí okolí L(x0) \ {x0} bodu x0, v němž je f neklesající (resp. nerostoucí) a pravé ryzí okolí P(x0) \ {x0} bodu x0, v němž je f nerostoucí (resp. neklesající), pak má funkce f v bodě x0 lokální maximum (resp. lokální minimum). Existuje-li levé ryzí okolí L(x0)\{x0} bodu x0, v němž je f rostoucí (resp. klesající) a pravé ryzí okolí P(x0)\{x0} bodu x0, v němž je f klesající (resp. rostoucí), pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum (resp. ostré lokální minimum). D.: Nechť f je v L(x0) \ {x0} neklesající a v P(x0) \ {x0} nerostoucí. Podle 1.6.15 je lim x→x0− f(x) = sup{f(x) : x ∈ L(x0) \ {x0}}, lim x→x0+ f(x) = sup{f(x) : x ∈ P(x0) \ {x0}}. Poněvadž f je spojitá v x0, je f(x0) = lim x→x0− f(x) = lim x→x0+ f(x) = sup{f(x) : x ∈ (P(x0) ∪ L(x0)) \ {x0}}. Nechť f je v L(x0) \ {x0} rostoucí a v P(x0) \ {x0} klesající. Buď x ∈ L(x0) \ {x0} libovolný. Pro x1 ∈ (x, x0) ⊆ L(x0) \ {x0} je f(x) < f(x1) ≤ f(x0) = sup{f(x) : x ∈ L(x0) \ {x0}}. Podobně ukážeme, že pro x ∈ P(x0) \ {x0} je f(x0) > f(x). Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech. Obrácená věta neplatí. Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém, nemusí být v žádném ryzím jednostranném okolí monotonní. Předpoklad o spojitosti funkce f je podstatný. 2.5.6 Důsledky 1. Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ Dom f a existuje levé ryzí okolí L(x0)\{x0} bodu x0 a pravé ryzí okolí P(x0)\{x0} bodu x0 taková, že funkce f má vlastní nebo nevlastní derivaci f′ (x) na (P(x0)∪L(x0))\{x0}, přičemž f′ (x) > 0 (resp. f′ (x) < 0) na L(x0) \ {x0} a f′ (x) < 0 (resp. f′ (x) > 0) na P(x0) \ {x0}. Pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum (resp. minimum). D.: plyne z 2.5.5 a z 2.5.1 2. Nechť f′ (x0) = 0 a nechť funkce f má v bodě x0 vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. Je-li f′′ (x0) < 0, má f v bodě x0 ostré lokální maximum, je-li f′′ (x0) > 0, má f v bodě x0 ostré lokální minimum. 65 D.: Je-li f′′ (x0) < 0, je f′ (x0) v bodě x0 podle 2.5.1 klesající. Existuje tedy ryzí levé okolí L(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že f′ (x) > 0 na L(x0)\ {x0} a existuje ryzí pravé okolí P(x0)\ {x0} bodu x0 takové, že f′ (x) < 0 na P(x0) \ {x0}. Analogicky ukážeme platnost druhého tvrzení. 2.5.7 Poznámka o absolutních extrémech Nechť funkce f je spojitá na [a, b]. Podle 1.7.12 nabývá f na [a, b] své největší i nejmenší hodnoty, tedy svého absolutního maxima a absolutního minima. Absolutních extrémů nabývá buď v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu [a, b]. 2.5.8 Definice Řekneme, že funkce f je konvexní (resp. konkávní) na intervalu J ⊆ Dom f, jestliže pro každé tři body x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 platí f(x2) ≤ f(x1) + f(x3) − f(x1) x3 − x1 (x2 − x1) (resp. f(x2) ≥ f(x1) + f(x3) − f(x1) x3 − x1 (x2 − x1) ). Řekneme, že funkce f je ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na intervalu J ⊆ Dom f, jestliže pro každé tři body x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 platí f(x2) < f(x1) + f(x3) − f(x1) x3 − x1 (x2 − x1) (resp. f(x2) > f(x1) + f(x3) − f(x1) x3 − x1 (x2 − x1) ). 2.5.9 Věta Funkce f je konvexní na intervalu J ⊆ Dom f právě tehdy, když pro každé tři body x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 je splněna některá z ekvivalentních podmínek (∨1) f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≤ f(x3) − f(x1) x3 − x1 , (∨2) f(x3) − f(x1) x3 − x1 ≤ f(x3) − f(x2) x3 − x2 , (∨3) f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≤ f(x3) − f(x2) x3 − x2 . Nerovnost v těchto podmínkách je ostrá právě tehdy, když funkce f je ryze konvexní na intervalu J. Funkce f je konkávní na intervalu J ⊆ Dom f právě tehdy, když pro každé tři body x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 je splněna některá z ekvivalentních podmínek (∧1) f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≥ f(x3) − f(x1) x3 − x1 , (∧2) f(x3) − f(x1) x3 − x1 ≥ f(x3) − f(x2) x3 − x2 , (∧3) f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≥ f(x3) − f(x2) x3 − x2 . Nerovnost v těchto podmínkách je ostrá právě tehdy, když funkce f je ryze konkávní na intervalu J. D.: Podmínka (∨1) je zřejmě ekvivalentní s podmínkou v definici 2.5.8. Upravíme podmínku (∨1): (x3 − x1)(f(x2) − f(x1)) ≤ (x2 − x1)(f(x3) − f(x1)) x3f(x2) − x3f(x1) − x1f(x2) + x1f(x1) ≤ x2f(x3) − x2f(x1) − x1f(x3) + x1f(x1) x2f(x1) + x3f(x2) + x1f(x3) ≤ x1f(x2) + x2f(x3) + x3f(x1) 66 Dále upravíme podmínku (∨2): (x3 − x2)(f(x3) − f(x1)) ≤ (x3 − x1)(f(x3) − f(x2)) x3f(x3) − x3f(x1) − x2f(x3) + x2f(x1) ≤ x3f(x3) − x3f(x2) − x1f(x3) + x1f(x2) x2f(x1) + x3f(x2) + x1f(x3) ≤ x1f(x2) + x2f(x3) + x3f(x1) Odtud je vidět, že podmínky (∨1) a (∨2) jsou ekvivalentní. Stejně (prostým roznásobením) ukážeme ekvivalenci podmínky (∨3) s podmínkami (∨1) a (∨2). Tvrzení pro konkávní funkce dokážeme analogicky. 2.5.10 Věta Nechť funkce f má na intervalu J ⊆ Dom f derivaci f′ . Je-li funkce f konvexní (resp. konkávní) na J, pak pro každé dva různé vnitřní body x, x0 ∈ J platí f(x) ≥ f(x0)+f′ (x0)(x−x0) (resp. f(x) ≤ f(x0)+f′ (x0)(x−x0)). Je-li funkce f ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na J, pak pro každé dva různé vnitřní body x, x0 ∈ J platí f(x) > f(x0) + f′ (x0)(x − x0) (resp. f(x) < f(x0) + f′ (x0)(x − x0)). D.: • Buď f konvexní funkce na J a x, x0 libovolné vnitřní body intervalu J. Nechť nejprve x0 < x. Podle (∨1) pro libovolné ξ ∈ (x0, x) platí f(ξ) − f(x0) ξ − x0 ≤ f(x) − f(x0) x − x0 . Limitním přechodem ξ → x0 dostaneme f′ (x0) ≤ f(x) − f(x0) x − x0 , neboli f(x0)+f′ (x0)(x−x0) ≤ f(x). Nechť nyní x < x0. Podle (∨2) pro libovolné ξ ∈ (x, x0) platí f(x0) − f(x) x0 − x ≤ f(x0) − f(ξ) x0 − ξ . Limitním přechodem ξ → x0 dostaneme f(x0) − f(x) x0 − x ≤ f′ (x0), neboli f(x) ≥ f(x0)+f′ (x0)(x−x0). • Je-li f ryze konvexní na J, pak podle již dokázaného pro každé dva vnitřní body x, x0 ∈ J platí f(x) ≥ f(x0) + f′ (x0)(x − x0). Připusťme, že existují vnitřní body x1, x3 ∈ J, x1 < x3 takové, že f(x3) = f(x1) + f′ (x1)(x3 − x1). Podle (∨1) — s nodifikací pro ryze konvexní funkce — pro každé x2 ∈ (x1, x3) platí f(x2) − f(x1) x2 − x1 < f(x1) + f′ (x1)(x3 − x1) − f(x1) x3 − x1 f(x2) − f(x1) x2 − x1 < f′ (x1) f(x2) < f(x1) + f′ (x1)(x2 − x1) , což je spor s již dokázaným (při označení x = x2, x0 = x1). Analogicky s využitím (∨2) vyloučíme možnost existence vnitřních bodů x1, x3 ∈ J takových, že f(x1) = f(x3) + f′ (x3)(x1 − x3). Tedy pro všechny vnitřní body x, x0 ∈ J platí f(x) > f(x0) + f′ (x0)(x − x0). • Tvrzení o konkávní funkci dokážeme analogicky. 2.5.11 Věta Nechť funkce f má na intervalu J ⊆ Dom f derivaci f′ . Funkce f je ryze konvexní (resp. konkávní) na intervalu J právě tehdy, když f′ je na J rostoucí (resp. klesající). D.: ⇒: Buďte x1, x2 ∈ J, x1 < x2 libovolné. Podle 2.5.10 je f(x2) > f(x1) + f′ (x1)(x2 − x1) a f(x1) > f(x2) + f′ (x2)(x1 − x2), neboli f(x2) − f(x1) x2 − x1 > f′ (x1) a f(x1) − f(x2) x1 − x2 < f′ (x2). Odtud f′ (x1) < f′ (x2). 67 ⇐: Sporem. Nechť f′ je rostoucí na J a připusťme, že f není ryze konvexní, tedy že existují x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 takové, že f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≥ f(x3) − f(x2) x3 − x2 (sr. (∨3)). Podle 2.3.3 existují ξ1 ∈ (x1, x2) a ξ2 ∈ (x2, x3), že f(x2) − f(x1) x2 − x1 = f′ (ξ1) a f(x3) − f(x2) x3 − x2 = f′ (ξ2). Zřejmě ξ1 < ξ2 a poněvadž f′ je rostoucí, je f′ (ξ1) < f′ (ξ2), což je spor. Tvrzení o konkávní funkci dokážeme analogicky. Odtud a z 2.5.2 plyne 2.5.12 Důsledek Nechť funkce f má na intervalu J spojitou první derivaci a vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. f je ryze konvexní (resp. konkávní) na J právě tehdy, když f′′ (x) ≥ 0 (resp. f′′ (x) ≤ 0) na J, přičemž rovnost f′′ (x) = 0 neplatí na žádném subintervalu intervalu J. 2.5.13 Definice Nechť f je funkce spojitá v x0 ∈ Dom f a nechť existuje vlastní nebo nevlastní derivace f′ (x0). Řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje levé ryzí okolí L(x0)\ {x0} bodu x0 a pravé ryzí okolí P(x0)\ {x0} bodu x0 taková, že f je ryze konvexní na L(x0) \ {x0} a ryze konkávní na P(x0) \ {x0}, nebo naopak f je ryze konvexní na P(x0) \ {x0} a ryze konkávní na L(x0) \ {x0}. 2.5.14 Poznámky 1. Je-li x0 inflexní bod funkce f a f′ je spojitá v bodě x0. Pak f′ má v bodě x0 ostrý lokální extrém. (sr. 2.5.6.1, a 2.5.12). 2. Je-li x0 inflexní bod funkce f a existuje vlastní nebo nevlastní druhá derivace f′′ (x0), pak f′′ (x0) = 0 Opačné tvrzení neplatí. Z f′′ (x0) = 0 neplyne, že by x0 byl inflexní bod funkce f. Například: f(x) = x4 , f′′ (x) = 12x2 , f′′ (0) = 0 a v bodě x0 = 0 není inflexní bod funkce f. 2.5.15 Definice Řekneme, že přímka p : x = x0 je asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže funkce f má v x0 alespoň jednu nevlastní jednostrannou limitu. Řekneme, že přímka p : y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce f, jestliže funkce f je definována v okolí ∞ (resp. −∞) a platí lim x→∞ (ax + b − f(x)) = 0 (resp. lim x→−∞ (ax + b − f(x)) = 0). Libovolná funkce může mít nejvýše dvě asymptoty se směrnicí, může však mít libovolný počet asymptot bez směrnice. 2.5.16 Věta Přímka y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce f právě tehdy, když lim x→∞ f(x) x = a, lim x→∞ (f(x) − ax) = b lim x→−∞ f(x) x = a, lim x→−∞ (f(x) − ax) = b . D.: ⇒: Pokud lim x→±∞ (ax + b − f(x)) = 0 pak podle 1.6.7.7 a 1.6.7.4 také lim x→±∞ ax + b − f(x) x = 0, tedy 0 = a − lim x→±∞ f(x) x , neboli lim x→±∞ f(x) x = a. Dále z lim x→±∞ (ax + b − f(x)) = 0 plyne 0 = lim x→±∞ (ax − f(x)) + b a tedy lim x→±∞ (f(x) − ax) = b. ⇐: Jestliže lim x→±∞ (f(x) − ax) = b, pak lim x→±∞ (ax + b − f(x)) = lim x→±∞ (ax − f(x)) + b = −b + b = 0. 68 2.5.17 Postup při vyšetřování průběhu funkce 1. Určíme Dom f; pokud je to možné, tak nulové body funkce f a intervaly, na nichž je f kladná a záporná. 2. Vypočítáme f′ ; určíme nulové body f′ (stacionární body); body, v nichž f′ není definována; body, v nichž f′ je kladná a záporná (Tj. určíme intervaly monotonnosti a lokální extrémy.) 3. Vypočítáme f′′ ; určíme nulové body f′′ ; body, v nichž f′′ není definována; body , v nichž f′′ je kladná a záporná (Tj. určíme intervaly konvexity a konkavity, inflexní body.) 4. Vypočítáme příslušné jednostranné limity v „hraničních bodech“ Dom f (Tj. najdeme všechny asymptoty bez směrnice). Najdeme obě asymptoty se směrnicí (pokud existují). 5. Vypočítáme funkční hodnoty ve význačných bodech (stacionárních, inflexních), případně v několika dalších bodech. V inflexních bodech může být užitečné vypočítat hodnotu derivace. 2.6 Rovinné křivky 2.6.1 Definice Nechť I ⊆ R je interval, ϕ, ψ : I → R spojité funkce. Množina C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} ⊆ R2 se nazývá (rovinná) křivka, funkce ϕ, ψ se nazývají parametrizace křivky C. Je-li I = [a, b], body A = (ϕ(a), ψ(a)), B = (ϕ(b), ψ(b)) se nazývají krajní body křivky C. Křivka C se nazývá uzavřená, jestliže A = B. • Jedna křivka může mít více parametrizací. Například ϕ(t) = cos t ψ(t) = sin t , t ∈ [0, 2π], ˜ϕ(t) = cos 2t ˜ψ(t) = sin 2t , t ∈ [0, π], ˆϕ(t) = cos t ˆψ(t) = − sin t , t ∈ [0, 2π], jsou tři různé parametrizace kružnice se středem (0, 0) a poloměrem 1. • Je-li f spojitá funkce, Dom f je interval, pak graf funkce f je křivka s parametrizací ϕ(t) = t ψ(t) = f(t) , t ∈ Dom f. • Je-li C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} křivka, t0 vnitřní bod intervalu I a funkce ϕ je na okolí bodu t0 ryze monotonní (k tomu stačí, aby ϕ měla v bodě t0 spojitou derivaci a ϕ′ (t0) = 0), pak existuje interval J ⊆ R, který obsahuje bod ϕ(t0) a existuje funkce f definovaná na J tak, že {(x, f(x)) : x ∈ J} ⊆ C. D.: Nechť existuje okolí O(t0) bodu t0 takové, že ϕ je na O(t0) ryze monotonní. Na O(t0) existuje funkce ϕ−1 inversní k funkci ϕ. Označme J = ϕ(O(t0)). Pro x = ϕ(t) ∈ J definujme f(x) = ψ(ϕ−1 (x)). 2.6.2 Poznámka o derivaci funkcí daných parametricky • Nechť C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} je křivka, ϕ, ψ mají spojitou derivaci na I a nechť ϕ′ (t) = 0 pro každé t ∈ I. Pak existuje funkce f definovaná na intervalu J = {ϕ(t) : t ∈ I}, která má na tomto intervalu derivaci, přičemž platí f′ (x) = ψ′ (t) ϕ′(t) pro x = ϕ(t) ∈ J. D.: Ze spojitosti ϕ′ a z podmínky ϕ′ (t) = 0 na I plyne, že ϕ′ (t) > 0 pro každé t ∈ I, nebo ϕ′ (t) < 0 pro každé t ∈ I a tedy podle 2.5.2 je ϕ na I ryze monotonní. Podle 1.2.16.2 existuje funkce ϕ−1 inversní k ϕ. Definujme f(x) = ψ(ϕ−1 (x)) pro x = ϕ(t). Podle 2.1.6 a 2.1.7 je f′ (x) = [ψ(ϕ−1 (x))]′ = ψ′ (ϕ−1 (x)) 1 ϕ′(t) = ψ′ (t) ϕ′(t) . • Nechť jsou splněny podmínky předchozího tvrzení a nechť funkce ϕ, ψ mají na I druhé derivace. Pak také funkce f má na J druhou derivaci a platí f′′ (x) = ϕ′ (t)ψ′′ (t) − ϕ′′ (t)ψ′ (t) (ϕ′(t))3 pro x = ϕ(t) ∈ J. 69 D.: f′′ (x) = (f′ (x))′ = ψ′ (ϕ−1 (x)) ϕ′(ϕ−1(x)) ′ = ϕ′ (ϕ−1 (x))ψ′′ (ϕ−1 (x)) − ϕ′′ (ϕ−1 (x))ψ′ (ϕ−1 (x)) (ϕ′(ϕ−1(x)))2 1 ϕ′(t) . • Analogicky lze postupovat při výpočtu vyšších derivací. • S použitím „diferenciální symboliky“ lze předchozí tvrzení zapsat: f′ (x) = dy dx = dψ(t) dϕ(t) = ψ′ (t)dt ϕ′(t)dt = ψ′ (t) ϕ′(t) = dy dt dx dt , f′′ (x) = df′ (x) dx = dψ′ (t) ϕ′(t) ϕ′(t)dt = ψ′′ (t)ϕ′ (t)−ψ′ (t)ϕ′′ (t) (ϕ′(t))2 dt ϕ′(t)dt = ψ′′ (t)ϕ′ (t) − ψ′ (t)ϕ′′ (t) (ϕ′(t))3 = d2 y dt2 dx dt − dy dt d2 x dt2 (dx dt )3 . 2.6.3 Definice Řekneme, že křivka C je oblouk (jednoduchá křivka), jestliže existuje její parametrizace ϕ, ψ taková, že zobrazení t → (ϕ(t), ψ(t)) je bijektivní. Křivka se nazývá jordanovská (jednoduchá uzavřená), jestliže je uzavřená a existuje její parametrizace ϕ, ψ : [a, b] → R taková, že platí implikace t1, t2 ∈ [a, b], 0 < |t1 − t2| < b − a ⇒ (ϕ(t1), ψ(t1)) = (ϕ(t2), ψ(t2)). Jestliže křivka C není uzavřená a není obloukem, pak pro její libovolnou parametrizaci ϕ, ψ : I → R existují t1, t2 ∈ I, t1 = t2 tak, že (ϕ(t1), ψ(t1)) = (ϕ(t2), ψ(t2)). Bod (ϕ(t1), ψ(t1)) = (ϕ(t2), ψ(t2)) se nazývá vícenásobný bod (bod větvení) křivky C. 2.6.4 Definice Buď C křivka, ϕ, ψ : I → R její parametrizace. Nechť t0 je vnitřní bod intervalu I a A = (ϕ(t0), ψ(t0)) není vícenásobný bod křivky C a nechť existují derivace ϕ′ (t0), ψ′ (t0) a platí (ϕ′ (t0))2 + (ψ′ (t0))2 = 0. Přímka τ procházející bodem A, jejíž směrový vektor je (ϕ′ (t0), ψ′ (t0)) se nazývá tečna ke křivce C v bodě A. 2.6.5 Poznámka Nechť křivka C je grafem funkce f, Dom f je interval a f má derivaci v bodě x0. Pak ϕ(t) = t ψ(t) = f(t) , t ∈ Dom f je parametrizací C. ϕ′ (t) = 1, ψ′ (t) = f′ (t). Tečna ke křivce C v bodě (x0, f(x0)) má parametrické rovnice x = x0 + t y = f(x0) + f′ (x0)t . Eliminací parametru t dostaneme obecnou rovnici tečny x − x0 = y − f(x0) f′(x0) , neboli y − y0 = f′ (x0)(x − x0). Tedy definice 2.6.4 souhlasí s tím, jak byla tečna ke grafu funkce zavedena v 2.1.2.7. Příklad: C : x = ϕ(t) = a cos3 t y = ψ(t) = a sin3 t , t ∈ [0, 2π], a ∈ R, a > 0 je jordanovskou křivkou. ϕ′ (t) = −3a cos2 t sin t, ψ′ (t) = 3a sin2 t cos t. Tečna ke křivce C existuje v každém bodě (ϕ(t), ψ(t)) takovém, že 0 = (ϕ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 = 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t = 9a2 sin2 t cos2 t, tedy pro t ∈ {0, 1 2 π, π, 3 2 π}. 2.6.6 Definice Nechť C je oblouk nebo jordanovská křivka. C se nazývá hladká, existuje-li její parametrizace ϕ, ψ : I → R taková, že (i) ϕ′ (t), ψ′ (t) existují pro každý vnitřní bod t ∈ I. Je-li C uzavřená, I = [a, b], existují ϕ′ +(a), ϕ′ −(b), ψ′ +(a), ψ′ −(b) a platí ϕ′ +(a) = ϕ′ −(b), ψ′ +(a) = ψ′ −(b). (ii) (ϕ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 = 0 pro každý vnitřní bod t ∈ I. Je-li C uzavřená, I = [a, b], navíc platí (ϕ′ +(a))2 + (ψ′ +(a))2 = 0 = (ϕ′ −(b))2 + (ψ′ −(b))2 . 70 C se nazývá po částech hladká, existuje-li konečný počet hladkých křivek C1, C2, . . . , Cn takových, že C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn. Křivka je hladká, jestliže nemá vícenásobné body a existuje k ní tečna v každém bodě, který není krajní. 2.6.7 Definice Buďte C1 = {(ϕ1(t), ψ1(t)) : t ∈ I1}, C2 = {(ϕ2(t), ψ2(t)) : t ∈ I2} křivky a nechť (x0, y0) = (ϕ1(t1), ψ1(t1)) = (ϕ2(t2), ψ2(t2)) ∈ C1 ∩ C2 není ani krajní ani vícenásobný bod žádné z křivek C1, C2. Řekneme, že křivky C1 a C2 mají v bodě (x0, y0) styk řádu alespoň n ∈ N ∪ {0}, jestliže buď existují kladná čísla δ0, δ a funkce f1, f2 takové, že (t1 − δ, t1 + δ) ⊆ I1, (t2 − δ, t2 + δ) ⊆ I2, (x0 − δ0, x0 + δ0) ⊆ Dom f1 ∩ Dom f2, {(x, f1(x)) : x0 − δ0 < x < x0 + δ0} = {(ϕ1(t), ψ1(t)) : t1 − δ < t < t1 + δ}, {(x, f2(x)) : x0 − δ0 < x < x0 + δ0} = {(ϕ2(t), ψ2(t)) : t2 − δ < t < t2 + δ}, a funkce f1, f2 mají v bodě x0 styk řádu alespoň n, nebo existují kladná čísla ε0, ε a funkce g1, g2 takové, že (t1 − ε, t1 + ε) ⊆ I1, (t2 − ε, t2 + ε) ⊆ I2, (y0 − ε0, y0 + ε0) ⊆ Dom g1 ∩ Dom g2, {(g1(y), y) : y0 − ε0 < y < y0 + ε0} = {(ϕ1(t), ψ1(t)) : t1 − ε < t < t1 + ε}, {(g2(y), y) : y0 − ε0 < y < y0 + ε0} = {(ϕ2(t), ψ2(t)) : t2 − ε < t < t2 + ε}, a funkce g1, g2 mají v bodě y0 styk řádu alespoň n 2.6.8 Definice Nechť C je křivka, K je kružnice se středem (xS, yS) a poloměrem r a (x0, y0) ∈ C ∩ K. Kružnice K se nazývá oskulační kružnice křivky C v bodě (x0, y0), jestliže křivky C, K mají v bodě (x0, y0) styk řádu alespoň 2. Střed oskulační kružnice se nazývá střed křivosti křivky C v bodě (x0, y0), poloměr oskulační kružnice se nazývá poloměr křivosti křivky C v bodě (x0, y0), jeho převrácená hodnota 1 r se nazývá křivost křivky C v bodě (x0, y0). Množina všech středů křivosti křivky C ve všech jejích bodech se nazývá evoluta křivky C. 2.6.9 Věta Buď C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} hladká křivka, t0 vnitřní bod intervalu I a nechť funkce ϕ, ψ mají v bodě t0 druhé derivace. Nechť (x0, y0) = (ϕ(t0), ψ(t0)) není vícenásobný bod křivky C a platí ϕ′ (t0)ψ′′ (t0) − ϕ′′ (t0)ψ′ (t0) = 0. Pak má křivka C v bodě (x0, y0) jedinou oskulační kružnici o středu (xS, yS) a poloměru r, kde xS = ϕ(t0) − (ϕ′ (t0))2 + (ψ′ (t0))2 ϕ′(t0)ψ′′(t0) − ϕ′′(t0)ψ′(t0) ψ′ (t0) , yS = ψ(t0) + (ϕ′ (t0))2 + (ψ′ (t0))2 ϕ′(t0)ψ′′(t0) − ϕ′′(t0)ψ′(t0) ϕ′ (t0) , r = ((ϕ′ (t0))2 + (ψ′ (t0))2 )3/2 |ϕ′(t0)ψ′′(t0) − ϕ′′(t0)ψ′(t0)| . D.: Poznamenejme, že z existence druhé derivace funkce ϕ v bodě t0 plyne spojitost její první derivace v tomto bodě. Nechť nejprve ϕ′ (t0) = 0. Pak nastává první případ z definice 2.6.7. Nechť K = {(xS + r cos t, yS + r sin t) : t ∈ [0, 2π]} je oskulační kružnice křivky C v bodě (x0, y0) = (ϕ(t0), ψ(t0)) = (xS + r cos τ0, yS + r sin τ0). Podle 2.4.3 je ψ(ϕ−1 (x0)) = f(x0), ψ′ (ϕ−1 (x0)) = f′ (x0), ψ′′ (ϕ−1 (x0)) = f′′ (x0), 71 kde f je funkce definovaná v okolí bodu x0 a daná parametricky rovnicemi kružnice K. Podle 2.6.2 je ψ′ (ϕ−1 (x0)) = ψ′ (t0) ϕ′(t0) = r cos τ0 −r sin τ0 = − cotg τ0 , ψ′′ (ϕ−1 (x0)) = ϕ′ (t0)ψ′′ (t0) − ϕ′′ (t0)ψ′ (t0) (ϕ′(t0))3 = (−r sin τ0)(−r sin τ0) − (−r cos τ0)(r cos τ0) −r3 sin3 τ0 = = − 1 r sin3 τ0 . Máme tedy soustavu čtyř rovnic pro čtyři neznámé τ0, xS, yS, r: ϕ(t0) = xS + r cos τ0 , ψ(t0) = yS + r sin τ0 , ψ′ (t0) ϕ′(t0) = − cotg τ0 , ϕ′ (t0)ψ′′ (t0) − ϕ′′ (t0)ψ′ (t0) (ϕ′(t0))3 = − 1 r sin3 τ0 , která má jediné řešení dáné formulemi v tvrzení věty. Nechť nyní ϕ′ (t0) = 0. Pak, poněvadž křivka C je hladká, ze vztahu (ϕ′ (t0))2 + (ψ′ (t0))2 = 0 plyne ψ′ (t0) = 0 a nastává druhý případ z definice 2.6.7. Tento případ vyšetříme analogicky. 2.6.10 Důsledek Nechť funkce f má v bodě x0 druhou derivaci f′′ (x0) = 0. Pak graf funkce f má v bodě (x0, f(x0)) oskulační kružnici, pro jejíž střed a poloměr platí xS = x0 − 1 + (f′ (x0))2 f′′(x0) f′ (x0) , yS = f(x0) + 1 + (f′ (x0))2 f′′(x0) , r = (1 + (f′ (x0))2 )3/2 |f′′(x0)| . Příklady: 1. Určete křivost paraboly y = x2 v jejím vrcholu. Ř.: f(x) = x2 , f′ (x) = 2x, f′ (0) = 0, f′′ (x) = 2, 1 r = 2. 2. Najděte evolutu elipsy ϕ(t) = a cos t ψ(t) = b sin t , t ∈ [0, 2π]. Ř.: ϕ′ (t) = −a sin t, ϕ′′ (t) = −a cos t, ψ′ (t) = b cost, ψ′′ (t) = −b sint, (ϕ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 = a2 sin2 t + b2 cos2 t, ϕ′ (t)ψ′′ (t) − ϕ′′ (t)ψ′ (t) = ab sin2 t + ab cos2 t = ab. Parametrické rovnice evoluty: x = a cos t − a2 sin2 t + b2 cos2 t ab b cos t = cos t a (a2 − a2 sin2 t − b2 cos2 t) = a2 − b2 a cos3 t y = b sin t − a2 sin2 t + b2 cos2 t ab a sin t = sin t b (b2 − a2 sin2 t − b2 cos2 t) = b2 − a2 b sin3 t 72 2.7 Cvičení Vypočítejte derivaci funkce 1) f(x) = ( √ x + 1) 1 √ x − 1 , 2) f(x) = x x √ x, 3) f(x) = 1 + x − x2 1 − x + x2 , 4) f(x) = √ sin x, 5) f(x) = xex (cos x + sin x), 6) f(x) = 1 − ex 1 + ex , 7) f(x) = x2 log3 x, 8) f(x) = tg(sin x), 9) f(x) = ln 1 − sin x 1 + sin x , 10) f(x) = x arcsin x x + 1 + arctg √ x − √ x, 11) f(x) = ln √ 1 + x − √ 1 − x √ 1 + x + √ 1 − x + 2 arctg 1 − x 1 + x , 12) f(x) = 3sin2 x , 13) f(x) = xxx , 14) f(x) = 1 2 arctg 4 √ 1 + x4 + 1 4 ln 4 √ 1 + x4 + 1 4 √ 1 + x4 − 1 . Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 15) y = 8 4 + x2 v bodě (2, ?), 16) y = x2 v bodě (x0, ?). 17) Úhlem křivek rozumíme úhel tečen těchto křivek ve společném bodě. Určete úhel grafu funkce y = x2 a křivky x2 + y2 = 1. 18) Na grafu funkce y = x3 najděte bod, v němž je tečna rovnoběžná se sečnou spojující body (−1, ?) a (?, 8). Vypočítejte limity 19) lim x→ π 4 tg x − 1 sin 4x , 20) lim x→0+ ln x ln sin x , 21) lim x→∞ x sin a x , 22) lim x→0 1 x − 1 ex − 1 , 23) lim x→0+ xxx −1 , 24) lim x→1 xx − x ln x − x + 1 , 25) lim x→∞ 6 √ x6 + x5 − 6 √ x6 − x5 , 26) lim x→∞ x − x2 ln 1 + 1 x . Najděte Maclaurinův polynom stupně n dané funkce 27) f(x) = x2 + x + 1 x2 − x + 1 , n = 4, 28) f(x) = √ 1 − 2x + x3 − 3 √ 1 − 3x + x3, n = 3, 29) f(x) = 3 √ sin x3, n = 7, 30) f(x) = tg x, n = 5. Vyšetřete průběh funkce 31) f(x) = x 3 √ x2 − 1 , 32) f(x) = x3 2(x + 1)2 , 33) f(x) = xe− x2 2 , 34) f(x) = 3 √ 1 − x3. 35) Najděte nejmenší a největší hodnotu součinu m-té a n-té mocniny kladných čísel, jejichž součet je a. 36) Jaký největší povrch může mít válec vepsaný kouli o poloměru R? 37) Jaký nejmenší objem může mít kužel opsaný kouli o poloměru R? 38) Na elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 najděte v prvním kvadrantu bod takový, že tečna k elipse vedená tímto bodem vytvoří se souřadnými osami trojúhelník nejmenšího obsahu. 39) Jakou výseč je třeba vyříznout z kruhu o poloměru R, aby zbývající část bylo možno svinout do kornoutu o maximálním objemu? Výsledky: 1) −x+1 2x 3 √ x2 2) 7 8 8 √ x 3) 2−4x (1+x−x2)2 4) √ cos x cotg x 2 5) ex (sin x + (2x + 1) cos x) 6) − ex (1+ex) √ 1−e2x 7) x log3 ex2 8) cos x (sin sin x)2 9) − 1 cos x 10) arcsin x x+1 11) √ 1−x2 2x(1+x) 12) 3sin2 x sin 2x ln 3 13) (2 ln x + 1)xxx +1 14) − 1 x 4 √ (1+x4)3 15) x + 2y − 4 = 0, 2x − y − 1 = 0 16) 2x0x − y − x2 0 = 0, x + 2x0y − x0 − 2x3 0 = 0 17) asi 70◦ 37′ 46′′ 18) (−1, −1), (1, 1) 19) −1 2 20) 1 21) a 22) 1 2 23) 1 24) −2 25) 1 3 26) 1 2 27) 1 + 2x + 2x2 − 2x4 28) 1 2 x2 − 4 3 x3 29) x − 1 18 x7 30) x + 1 3 x3 + 2 15 x5 31) Dom f = R \ {−1, 1}; lichá; nulový bod 0; rostoucí (−∞, − √ 3], [ √ 3, ∞); 73 klesající [− √ 3, −1), (−1, 1), (1, √ 3]; lokální minimum f( √ 3) = √ 3 3 √ 2 ; lokální maximum f(− √ 3) = − √ 3 3 √ 2 ; konvexní (−∞, −3), (−1, 0], (1, 3]; konkávní [−3, −1), [0, 1), [3, ∞); inflexní body f(3) = 3 2 , f(−3) = −3 2 ; asymptoty x = 1, x = −1 32) Dom f = R \ {−1}; nulový bod 0; rostoucí (−∞, −3], (−1, ∞); klesající [−3, −1); lokální maximum f(−3) = −27 8 ; konvexní [0, ∞); konkávní (−∞, −1), (−1, 0]; inflexní bod f(0) = 0; asymptoty x = −1, x − 2y − 2 = 0 33) Dom f = R; lichá; nulový bod 0; rostoucí [−1, 1]; klesající (−∞, −1], [1, ∞]; lokální minimum f(−1) = − 1√ e ; lokální maximum f(1) = 1√ e ; konvexní [− √ 3, 0], [ √ 3, ∞); konkávní (−∞, − √ 3], [0, √ 3]; inflexní body f(− √ 3) = − 3 e3 , f(0) = 0, f( √ 3) = 3 e3 ; asymptota y = 0 34) Dom f = R; nulový bod 1; klesající (−∞, ∞); konvexní (−∞, 0], [1, ∞); konkávní [0, 1]; inflexní body f(0) = 1, f(1) = 0; asymptota y = −x 35) největší hodnota a m+n m+n mm nn , nejmenší hodnota není 36) πR2 (1+ √ 5) 37) 8 3 πR3 38) a√ 2 , b√ 2 , Pmin = ab 39) vyříznout úhel 2π 1 − 2 3 , Vmax = 2 √ 3 27 πR3 74 Rovnice v kartézských Parametrické rovnice Rovnice v polárních souřadnicích souřadnicích Kružnice x2 + y2 = a2 x = a cos t r = a y = a sin t Elipsa x2 a2 + y2 b2 = 1 x = a cos t r = p 1 + ε cos ϕ , 0 < ε < 1 y = b sin t Parabola y2 = 2px x = 1 2p t2 r = p 1 + cos ϕ y = t Hyperbola x2 a2 − y2 b2 = 1 x = a cos t r = p 1 + ε cos ϕ , ε > 1 y = ±b tg t Cassiniovy (x2 + y2)2 − 2e2(x2 − y2) = a4 − e4 r2 = e2 cos2 2ϕ ± e4 cos2 2ϕ + a4 − e4 křivky Bernoulliova (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2) x = √ 2 at 1 + t2 1 + t4 r = a 2 cos2 2ϕ, lemniskáta y = √ 2 at 1 − t2 1 + t4 ϕ ∈ [− π 4 , π 4 ] ∪ [ 3π 4 , 5π 4 ] Cykloida x + 2ay − y2 = a arccos a − y a x = a(t − sin t) x − 2ay − y2 = a 2π − arccos a − y a y = a(1 − cos t) Kardioida (x2 + y2 − a2)2 = 4a2((x − a)2 + y2) x = a(2 cos t − cos 2t) r = 2a(1 − cos ϕ) (srdcovka) y = a(2 sin t − sin 2t) Asteroida x2/3 + y2/3 = a2/3 x = a cos3 t 4 (hvězdice) y = a sin3 t 4 Archimedova y x = tg x2 + y2 a r = aϕ, ϕ ≥ 0 spirála Hyperbolická y x = tg a x2 + y2 r = a ϕ spirála Logaritmická y x = tg 1 k ln x2 + y2 a r = aekϕ spirála Tabulka 2.1: Některé křivky 75 76 Kapitola 3 Integrální počet funkcí jedné proměnné 3.1 Primitivní funkce 3.1.1 Definice Buďte f, F funkce definované na intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní k funkci (je neurčitým integrálem z funkce) f na I, jestliže na tomto intervalu platí F′ = f. Označení: F(x) = f(x)dx. 3.1.2 Poznámky 1. Pokud některý z krajních bodů intervalu I do tohoto intervalu patří, je potřeba v tomto bodě uvažovat příslušnou jednostrannou derivaci. 2. Primitivní funkce je podle 2.1.3 spojitá na I. 3. Primitivní funkce bývá někdy definována obecněji: F je primitivní k f na I, jestliže množina {x ∈ I : F′ (x) = f(x)} je nejvýše spočetná. (F′ (x) = f(x) skoro všude na I.) V tomto smyslu je například F(x) = |x| zobecněnou primitivní funkcí k f(x) = sgn x na I = (−∞, ∞). 3.1.3 Příklady 1. x3 3 = x2 dx na (−∞, ∞). 2. ln x = 1 x dx na (0, ∞) ln(−x) = 1 x dx na (−∞, 0) ⇒ ln |x| = 1 x dx na intervalu, který neobsahuje 0. 3.1.4 Věta (o existenci primitivní funkce) Ke každé funkci spojité na intervalu I existuje na tomto intervalu funkce primitivní. D.: Bude proveden později (3.4.6). 3.1.5 Věta Je-li F funkce primitivní k f na I a c ∈ R, pak F + c je rovněž primitivní k f na I. Jsou-li F a G funkce primitivní k funkci f na intervalu I, pak existuje konstanta c ∈ R taková, že G(x) = F(x)+c pro každé x ∈ I. Je-li F funkce primitivná k f na I pak {F + c : c ∈ R} je množina všech funkcí primitivních k funkci f na I. D.: (F(x) + c)′ = F′ (x) + 0 = f(x), druhé tvrzení plyne z 2.3.4.3, třetí je důsledkem prvních dvou. 77 3.1.6 Nejdůležitější neurčité integrály xn dx = xn+1 n + 1 , n = −1 ex dx = ex dx x = ln |x| ax dx = ax ln a , a > 0, a = 1 dx 1 + x2 = arctg x = − arccotg x sin xdx = − cosx dx 1 − x2 = 1 2 ln 1 + x 1 − x cos xdx = sin x dx √ 1 − x2 = arcsin x = − arccosx dx sin2 x = − cotg x dx √ x2 ± 1 = ln |x + √ x2 ± 1| dx cos2 x = tg x f′ (x) f(x) dx = ln |f(x)|. Každý z uvedených vzorců platí na libovolném intervalu, na němž je funkce za znakem definována. Platnost uvedených vzorců lze ověřit derivováním. 3.1.7 Věta Nechť fi(x)dx = Fi(x) na intervalu I, ci ∈ R pro i ∈ {1, 2, . . ., n}. Pak (c1f1(x) + c2f2(x) + · · · + cnfn(x))dx = c1F1(x) + c2F2(x) + · · · + cnFn(x) na I. D.: Plyne přímo z 2.1.5. Věta říká, že neurčitý integrál je lineární operátor na množině funkcí. 3.1.8 Věta Nechť f(x)dx = F(x) na I. Pak f(ax + b)dx = 1 a F(ax + b) na J = {x ∈ R : ax + b ∈ I}. D.: Podle 2.1.6 je 1 a F(ax + b) ′ = 1 a F′ (ax + b)[ax + b]′ = F′ (ax + b) = f(ax + b). 3.1.9 Příklad cos2 xdx = 1 + cos 2x 2 dx = 1 2 x + sin 2x 2 = x + sin x cos x 2 3.1.10 Věta (metoda “per partes”) Nechť funkce u, v mají derivaci na intervalu I. Existuje-li na I primitivní funkce k jedné z funkcí u′ v, uv′ , existuje i ke druhé z nich a platí u′ (x)v(x)dx + u(x)v′ (x)dx = u(x)v(x) na I. D.: Nechť existuje primitivní funkce k u′ v. Podle 2.1.5 je (uv)′ = u′ v + uv′ , tedy uv′ = (uv)′ − u′ v. (u(x)v(x))′ dx = u(x)v(x) na I, u′ (x)v(x)dx existuje a tedy podle 3.1.7 u(x)v′ (x)dx = u(x)v(x) − u′ (x)v(x)dx na I, což je vzorec z tvrzení věty. 3.1.11 Poznámky 1. Je-li alespoň jedna z derivací u′ , v′ spojitá na I, jsou předpoklady věty 3.1.10 splněny. 78 2. Vzorec uvedený v 3.1.10 ve tvaru u(x)v′ (x)dx = u(x)v(x) − u′ (x)v(x)dx dává metodu integrace v případě, kdy integrovaná funkce je součinem dvou funkcí, z nichž jedna je derivací známé funkce. 3. Metodou „per partes“ jsou řešitelné zejména tyto typy integrálů: • xn eax dx : u(x) = xn , v′ = eax • xn cos axdx : u(x) = xn , v′ = cosax • xn sin axdx : u(x) = xn , v′ = sin ax • xn arctg axdx : u(x) = arctg ax, v′ = xn • xn arccotg axdx : u(x) = arccotg ax, v′ = xn • xn arccosaxdx : u(x) = arccosax, v′ = xn • xn arcsin axdx : u(x) = arcsin ax, v′ = xn • xa logn b xdx : u(x) = logn b x, v′ = xa Příklad: ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x = x ln x e u = ln x u′ = 1 x v′ = 1 v = x 3.1.12 Věta (substituční metoda) Nechť f je funkce definovaná na intervalu I a ϕ je prostá funkce, která má derivaci na intervalu J takovém, že ϕ(J) = I. f(x)dx existuje na I právě tehdy, když na J existuje f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt; v tomto případě platí: F(x) = f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt = F(ϕ(t)) , G(t) = f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt = f(x)dx = G(ϕ−1 (x)) . D.: Podle 2.1.6 pokud d dx F(x) = f(x), pak d dt F(ϕ(t)) = F′ (ϕ(t))ϕ′ (t) = f(ϕ(t))ϕ′ (t). Podle 2.1.6 a 2.1.7 pokud d dt G(t) = f(ϕ(t))ϕ′ (t), pak d dx G(ϕ−1 (x)) = G′ (ϕ−1 (x)) 1 ϕ′(t) = f(ϕ(ϕ−1 (x)))ϕ′ (ϕ−1 (x)) 1 ϕ′(ϕ−1(x)) = f(x). Schéma použití věty je jednoduché: f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt = f(x)dx = F(x) = F(ϕ(t)) ϕ(t) = x ϕ′ (t)dt = dx nebo f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt = G(t) = G(ϕ−1 (x)) x = ϕ(t) dx = ϕ′ (t)dt 3.1.13 Příklad √ 1 − x2 dx = 1 − sin2 t cos tdt = cos2 tdt = t + sin t cost 2 = arcsin x + x √ 1 − x2 2 x = sin t dx = cos tdt Předposlední rovnost platí podle 3.1.9. f(x) = √ 1 − x2, I = [−1, 1], ϕ(t) = sin t, J = [−π 2 , π 2 ]. 79 3.1.14 Integrace racionálních funkcí V rozkladu racionální funkce na parciální zlomky (viz 1.5.15) se vyskytují zlomky tvaru p (x − α)m a cx + d [(x − a)2 + b2]n . dx (x − α)m = dt tm =    1 1 − m 1 tm−1 = 1 1 − m 1 (x − α)m−1 , m = 1 ln |t| = ln |x − α|, m = 1 x − α = t dx = dt cx + d [(x − a)2 + b2]n = c 2 2(x − a) [(x − a)2 + b2]n + ac + d [(x − a)2 + b2]n 2(x − a) [(x − a)2 + b2]n dx = dt tn =    1 1 − n 1 tn−1 = 1 1 − n 1 ((x − a)2 + b2)n−1 , n = 1 ln |t| = ln |(x − a)2 + b2 |, n = 1 (x − a)2 + b2 = t 2(x − a)dx = dt dx [(x − a)2 + b2]n = bdt (b2t2 + b2)n = 1 b2n−1 dt (t2 + 1)n x − a = bt dx = bdt Označme Kn = dt (t2 + 1)n . Pak K1 = dt t2 + 1 = arctg t Kn = dt (t2 + 1)n = t (t2 + 1)n + 2n t2 (t2 + 1)n+1 dt = u = 1 (t2 + 1)n u′ = −2nt (t2 + 1)n+1 v′ = 1 v = t = t (t2 + 1)n + 2n dt (t2 + 1)n − dt (t2 + 1)n+1 = = t (t2 + 1)n + 2n(Kn − Kn+1) Tedy Kn = t (t2 + 1)n + 2nKn − 2nKn+1. Odtud Kn+1 = t 2n(t2 + 1)n + 2n − 1 2n Kn. Neboli (píšeme-li n − 1 místo n) Kn = t 2(n − 1)(t2 + 1)n−1 + 2n − 3 2n − 2 Kn−1 3.1.15 Poznámka Je-li R racionální funkce pak následující integrály lze transformovat na integrály z racionální funkce: • R(u(x))u′ (x)dx, kde u je libovolná funkce — substituce u(x) = t • R(eax )dx — substituce eax = t 80 3.1.16 Definice Polynom ve dvou proměnných je funkce P : R2 → R tvaru P(x, y) = an,0xn +an−1,1xn−1 y+an−2,2xn−2 y2 +· · ·+a0,nyn +· · ·+a2,0x2 +a1,1xy+a0,2y2 +a1,0x+a0,1y+a0,0 . Racionální funkce ve dvou proměnných je funkce R : R2 → R tvaru R(x, y) = P(x, y) Q(x, y) , kde P, Q jsou polynomy ve dvou proměnných. 3.1.17 Integrály, které lze transformovat na integrály z racionální funkce Symbolem R(x, y) budeme značit racionální funkci ve dvou proměnných x, y. 1. R x, n ax + b cx + d dx — substituce ax + b cx + d = tn . 2. R x, √ ax2 + bx + c dx (Eulerovy substituce) a > 0 : ± √ ax2 + bx + c = ± √ a x + t c > 0 : ± √ ax2 + bx + c = xt ± √ c ax2 + bx + c = a(x − α1)(x − α2) : ± √ ax2 + bx + c = t(x − α1) 3. Binomické integrály xm (a + bxn )p dx, kde m, n, p ∈ Q. p ∈ Z : x = tN , kde N je společný jmenovatel čísel m a n m + 1 n ∈ Z : a + bxn = tN , kde N je jmenovatel zlomku p m + 1 n + p ∈ Z : a xn + b = tN , kde N je jmenovatel zlomku p 4. R(sin x, cos x)dx — substituce tg x 2 = t V některých případech lze volit jednodušší substituci: R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) : sin x = t R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) : cos x = t R(− sin x, − cosx) = R(sin x, cos x) : tg x = t 3.1.18 Poznámka Primitivní funkce k funkci elementární nemusí být elementární, může být tzv. vyšší funkcí. Vyššími funkcemi jsou zejména sin x x dx = Si(x) „integrálsinus“ cos x x dx = Ci(x) „integrálcosinus“ dx ln x = Li(x) „logaritmusintegrál“ e−x2 dx Gaussova funkce sin x2 dx, cos x2 dx Fresnelovy integrály Binomické integrály xm (a + bxn )p dx, pokud žádné z čísel p, m + 1 n , m + 1 n + p není celé. Není známo obecné pravidlo, které by umožnilo rozhodnout, zda primitivní funkci neumíme vyjádřit jako elementární v důsledku nevhodných integračních metod, nebo zda skutečně vyjadřuje vyšší funkci. 81 3.2 Určitý integrál V celém tomto odstavci bude f ohraničená funkce definovaná na uzavřeném intervalu [a, b]. 3.2.1 Definice Dělením uzavřeného intervalu [a, b] rozumíme množinu D = {x0, x1, . . . , xn} takovou, že a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b. Čísla x0, x1, . . . , xn nazýváme dělící body, intervaly [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn] nazýváme dělící intervaly dělení D. Číslo ν(D) = max{xi − xi−1 : i = 1, 2, . . ., n} nazýváme norma dělení D. Symbolem ϑ([a, b]) označíme množinu všech dělení intervalu [a, b]. Jsou-li D1 ∈ ϑ([a, b]), D2 ∈ ϑ([a, b]) taková, že D1 ⊆ D2 (tj. každý dělící bod D1 je současně dělícím bodem D2), řekneme, že dělení D2 je zjemněním dělení D1. 3.2.2 Definice Buďte D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]), mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Číslo s(D, f) = n i=1 mi(xi − xi−1) nazveme dolním součtem a číslo S(D, f) = n i=1 Mi(xi − xi−1) nazveme horním součtem příslušným k funkci f a dělení D. (Poznamenejme, že existence čísel mi a Mi je zaručena ohraničeností funkce f.) 3.2.3 Tvrzení 1. Pro libovolné D ∈ ϑ([a, b]) platí s(D, f) ≤ S(D, f). D.: plyne z toho, že mi ≤ Mi a xi − xi−1 > 0 pro i = 1, 2, . . ., n. 2. Je-li D2 ∈ ϑ([a, b]) zjemněním D1 ∈ ϑ([a, b]), pak s(D1, f) ≤ s(D2, f), S(D1, f) ≥ S(D2, f). (Při zjemnění dělení se dolní součet nezmenší a horní součet nezvětší.) D.: Nechť D2 má o jeden dělící bod více, než D1, tj. D1 = {x0, x1, . . . , xk−1, xk, . . . , xn}, D2 = {x0, x1, . . . , xk−1, z, xk, . . . , xn}. Označme mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, i = 1, 2, . . ., n m′ k = inf{f(x) : x ∈ [xk−1, z]}, m′′ k = inf{f(x) : x ∈ [z, xk]}. Pak zřejmě mk ≤ m′ k, mk ≤ m′′ k a tedy mk(xk − xk−1) = mk(xk − z) + mk(z − xk−1) ≤ m′′ k(xk − z) + m′ k(z − xk−1). Odtud plyne s(D1, f) = k−1 i=1 mi(xi − xi−1) + mk(xk − xk−1) + n i=k+1 mi(xi − xi−1) ≤ ≤ k−1 i=1 mi(xi − xi−1) + m′′ k(xk − z) + m′ k(z − xk−1) + n i=k+1 mi(xi − xi−1) = s(D2, f) . Analogicky ukážeme, že S(D1, f) ≥ S(D2, f). Pokud D2 má o p dělících bodů více než D1, ukážeme platnost tvrzení p-násobným opakováním téže úvahy. 82 3. Nechť m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Pak pro každé D ∈ ϑ([a, b]) platí m(b − a) ≤ s(D, f) ≤ S(D, f) ≤ M(b − a). D.: plyne z 1. a 2., neboť {a, b} ∈ ϑ([a, b]) a každé jiné dělení je zjemněním {a, b}. Množiny {s(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} a {S(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} jsou tedy ohraničené. Obě jsou zřejmě neprázdné. To podle 1.1.7(R14) znamená, že následující definice je korektní. 3.2.4 Definice Číslo b a f(x)dx = sup{s(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} nazýváme dolní integrál funkce f na intervalu [a, b] a číslo b a f(x)dx = inf{S(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} nazýváme horní integrál funkce f na intervalu [a, b]. 3.2.5 Tvrzení Nechť m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Pak platí m(b − a) ≤ b a f(x)dx ≤ b a f(x)dx ≤ M(b − a) . D.: plyne z 3.2.3.3 a z definice 3.2.4. 3.2.6 Definice Řekneme, že ohraničená funkce f je na intervalu [a, b] integrace schopna (integrovatelná, integrabilní) v Riemannově smyslu, jestliže b a f(x)dx = b a f(x)dx . V tomto případě definujeme její Riemannův integrál b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx . Jestliže b a f(x)dx < b a f(x)dx , řekneme, že funkce f není na intervalu [a, b] integrace schopna v Riemannově smyslu. 83 3.2.7 Příklady 1. f(x) = c ∈ R pro x ∈ [a, b]. Pak m = M = c a tedy podle 3.2.5 je c(b − a) ≤ b a f(x)dx ≤ b a f(x)dx ≤ c(b − a) , z čehož plyne b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx = c(b − a) . 2. f(x) = χ(x) na [0, 1]. D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([0, 1]), mi = 0, Mi = 1 pro každé i ∈ {1, 2, . . ., n}. Tedy s(D, f) = n i=1 mi(xi − xi−1) = n i=1 0(xi − xi−1) = 0, b a χ(x)dx = 0 , S(D, f) = n i=1 Mi(xi − xi−1) = n i=1 1(xi − xi−1) = xn − x0 = 1, b a f(x)dx = 1 a χ(x) není integrabilní na [0, 1]. 3.2.8 Definice Nechť D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]), ξi ∈ [xi−1, xi]. Množina Ξ = {ξ1, ξ2, . . . , ξn} se nazývá výběr representantů dělících intervalů dělení D. Číslo σ(D, f, Ξ) = n i=1 f(ξi)(xi − xi−1) se nazývá integrální součet příslušný k funkci f, dělení D a výběru representantů Ξ. Poněvadž mi ≤ f(ξi) ≤ Mi, platí s(D, f) ≤ σ(D, f, Ξ) ≤ S(D, f). Posloupností v širším smyslu rozumíme zobrazení množiny N do libovolné množiny. Lze tedy mluvit o posloupnosti dělení daného intervalu: N → ϑ([a, b]). Řekneme, že posloupnost dělení {Dn}∞ n=1 ⊆ ϑ([a, b]) je nulová, jestliže lim n→∞ ν(Dn) = 0. Ke každému δ > 0 existuje D ∈ ϑ([a, b]) takové, že ν(D) < δ. (Stačí položit n = b − a δ + 1 a interval [a, b] rozdělit na n stejně dlouhých dělících intervalů.) 3.2.9 Věta Buď {Dn}∞ n=1 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Pak platí lim n→∞ s(Dn, f) = b a f(x)dx , lim n→∞ S(Dn, f) = b a f(x)dx . Je-li navíc f integrabilní na [a, b] a Ξn je libovolný výběr representantů dělících intervalů dělení Dn, pak platí lim n→∞ s(Dn, f) = lim n→∞ S(Dn, f) = lim n→∞ σ(Dn, f, Ξn) = b a f(x)dx . 84 D.: Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé D ∈ ϑ([a, b]), ν(D) < δ platí S(D, f) < b a f(x)dx + ε . Poněvadž f je ohraničená, existuje h ∈ R, h > 0, že |f(x)| ≤ h pro x ∈ [a, b]. Podle 3.2.4 a podle 1.1.6(s2∗ ) existuje D1 = {y0, y1, . . . , yp} ∈ ϑ([a, b]), že b a f(x)dx ≤ S(D1, f) < b a f(x)dx + ε 2 . Položme δ = ε 4hp . Pak δ > 0. Buď D = {x1, x2, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) libovolné takové, že ν(D) < δ. Dále položme D2 = D ∪ D1 = {z1, z2, . . . , zm} Podle 3.2.3.2 je S(D2, f) ≤ S(D, f). Dělící intervaly [xi−1, xi] rozdělíme do dvou druhů: intervaly 1. druhu, jestliže uvnitř něho neleží žádný dělící bod yj intervaly 2. druhu v opačném případě Každý dělící interval 1. druhu je rovněž dělícím intervalem dělení D2. Tento interval přispívá k S(D, f) i k S(D2, f) týmž sčítancem Mi(xi − xi−1), tedy v rozdílu S(D, f) − D(D2, f) se neprojeví. Uvnitř každého intervalu [xi−1, xi] 2. druhu leží alespoň jedno z čísel y1, y2, . . . , yp−1, což znamená, že intervalů 2. druhu je nejvýše p − 1. Interval druhého druhu přispívá k S(D, f) sčítancem Mi(xi − xi−1), který je v absolutní hodnotě menší nebo roven hν(D) < hδ. Absolutní hodnota příspěvku všech intervalů 2. druhu k S(D, f) je tedy < hδp. V D2 je každý interval [xi−1, xi] 2. druhu rozdělen dělícími body xi−1 = zr < zr+1 < · · · < zs = xi. Označme M′ k = sup{f(x) : x ∈ [zk−1, zk]}. Opět |M′ k| ≤ h a tedy absolutní hodnota příspěvku intervalu [xi−1, xi] do součtu S(D2, f) jest s k=r+1 M′ k(zk − zk−1) ≤ s k=r+1 h(zk − zk−1) = h(zs − zr) = h(xi − xi−1) < hν(D) < hδ . Absolutní hodnota příspěvků všech intervalů 2. druhu k S(D2, f) je tedy < hδp. Odtud plyne, že S(D, f) − S(D2, f) < 2hδp = ε 2 , neboli S(D, f) < S(D2, f) + ε 2 . Podle 3.2.3.2 je S(D2, f) ≤ S(D1, f) a tedy S(D, f) < S(D2, f) + ε 2 ≤ S(D1, f) + ε 2 < b a f(x)dx + ε 2 + ε 2 , což je pomocné tvrzení. Buď nyní ε ∈ R, ε > 0 libovolné. Podle pomocného tvrzení existuje δ ∈ R, δ > 0 takové, že pro každé D ∈ ϑ([a, b]), ν(D) < δ platí S(D, f) < b a f(x)dx + ε . Poněvadž S(D, f) ≥ b a f(x)dx , platí S(D, f) − b a f(x)dx < ε . 85 Poněvadž posloupnost {Dn} je nulová, k δ > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 platí ν(Dn) < δ. To znamená, že pro n ≥ n0 platí S(Dn, f) − b a f(x)dx < ε , neboli lim n→∞ S(Dn, f) = b a f(x)dx . Analogicky dokážeme lim n→∞ s(Dn, f) = b a f(x)dx . Je-li f integrabilní na [a, b], je b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx , takže lim n→∞ S(Dn, f) = lim n→∞ s(Dn, f) = b a f(x)dx . Poslední tvrzení věty nyní plyne z nerovnosti s(D, f) ≤ σ(D, f, Ξ) ≤ S(D, f) a z 1.3.7. 3.2.10 Věta (Nutná a dostatečná podmínka integrability) Funkce f je na [a, b] integrabilní právě tehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje D ∈ ϑ([a, b]) takové, že S(D, f) − s(D, f) < ε. D.: ⇒: Nechť f je integrabilní. Buďte ε > 0 libovolné a {Dn}∞ n=1 ⊆ ϑ([a, b]) libovolná nulová. Podle 3.2.9 existuje n0 ∈ N, že s(Dn0 , f) − b a f(x)dx < ε 2 , S(Dn0 , f) − b a f(x)dx < ε 2 . Tedy pro Dn0 platí S(Dn0 , f) − s(Dn0 , f) = |S(Dn0 , f) − s(Dn0 , f)| ≤ ≤ S(Dn, f) − b a f(x)dx + b a f(x)dx − s(Dn, f) < < ε 2 + ε 2 = ε . ⇐: Nechť je podmínka splněna. Buď ε > 0 a D ∈ ϑ([a, b]) takové dělení, že S(d, f) − s(D, f) < ε. Protože b a f(x)dx ≤ S(D, f), b a f(x)dx ≥ s(D, f) , platí b a f(x)dx − b a f(x)dx < ε . 86 Poněvadž ε je libovolné, je možno poslední nerovnost splnit pouze tehdy, když b a f(x)dx ≤ b a f(x)dx . Poněvadž opačná nerovnost platí podle 3.2.5 vždy, jest b a f(x)dx = b a f(x)dx a f je integrabilní. 3.2.11 Věta Je-li funkce f monotonní na [a, b], pak je na tomto intervalu integrabilní. D.: Nechť pro určitost je f na [a, b] neklesající. Je-li f(a) = f(b), je f na [a, b] konstantní a podle 3.2.7.1 je integrabilní. Nechť f(a) < f(b). Buď ε > 0 libovolné a D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) takové, že ν(D) < ε f(b) − f(a) . mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} = f(xi−1), Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} = f(xi), tedy S(D, f) − s(D, f) = n i=1 f(xi)(xi − xi−1) − n i=1 f(xi−1)(xi − xi−1) = = n i=1 (f(xi) − f(xi−1))(xi − xi−1) ≤ n i=1 (f(xi) − f(xi−1))ν(D) = = ν(D)(f(x1) − f(x0) + f(x2) − f(x1) + · · · + f(xn) − f(xn−1)) = = ν(D)(f(xn) − f(x0)) = ν(D)(f(b) − f(a)) < ε f(b) − f(a) (f(b) − f(a)) = = ε . Podle 3.2.10 je f integrabilní na [a, b]. 3.2.12 Věta Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak je na tomto intervalu integrabilní. D.: Buď f spojitá a ε > 0 libovolné. Podle 1.7.20 je f na [a, b] spojitá stejnoměrně, tedy k ε b − a > 0 existuje δ > 0 takové, že pro x, y ∈ [a, b], |x − y| < δ je |f(x) − f(y)| < ε b − a . Buď D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]), ν(D) < δ, mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Podle 1.7.12 existují yi ∈ [xi−1, xi], zi ∈ [xi−1, xi] takové, že f(yi) = mi, f(zi) = Mi. Dále |yi − zi| < δ a tedy f(zi) − f(yi) = Mi − mi < ε b − a . Odtud S(D, f) − s(D, f) = n i=1 f(zi)(xi − xi−1) − n i=1 f(yi)(xi − xi−1) = n i=1 (f(zi) − f(yi))(xi − xi−1) < < ε b − a n i=1 (xi − xi−1) = ε b − a (b − a) = ε a podle 3.2.10 je f integrabilní na [a, b]. 87 3.2.13 Definice Množina M ⊆ R se nazývá nulová, jestliže ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje konečný počet otevřených intervalů (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) takových, že n i=1 (bi − ai) < ε a M ⊆ (a1, b1) ∪ (a2, b2) ∪ · · · ∪ (an, bn). Platí • Každá konečná množina je nulová. • Sjednocení konečně mnoha nulových množin je nulová množina. • Množina členů konvergentní posloupnosti je nulová. • Množina členů posloupnosti, která má konečný počet hromadných bodů, je nulová. 3.2.14 Věta Je-li množina bodů nespojitosti funkce f na intervalu [a, b] nulová, pak je f integrabilní na [a, b]. D.: Bude proveden později (3.3.15). Příklad: [a, b] = [0, 1], f(x) =    (−1)n , x ∈ 1 2n+1 , 1 2n , n = 0, 1, 2, · · · 0, x = 0 . Množina bodů nespojitosti M = 1 2n : n ∈ N tvoří konvergentní posloupnost. Je to tedy nulová množina, což znamená, že f je integrabilní na [0, 1]. (Platí b a f(x)dx = 1 3 .) 3.2.15 Věta (Leibnizova [1646 – 1716] – Newtonova [1642 – 1727] formule) Nechť funkce f je integrabilní na [a, b] a nechť funkce F je spojitá na [a, b] a na (a, b) primitivní k f. Pak b a f(x)dx = F(b) − F(a) . D.: Buď D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]). F splňuje na [xi−1, xi] předpoklady 2.3.3. Existuje tedy ξi ∈ (xi−1, xi) takové, že F(xi) − F(xi−1) = F′ (ξi)(xi − xi−1) = f(ξi)(xi − xi−1). Označme Ξ = {ξ1, ξ2, . . . ξn}. Pak σ(D, f, Ξ) = n i=1 f(ξi)(xi − xi−1) = n i=1 (F(xi) − F(xi−1)) = F(b) − F(a) . To znamená: Pro libovolné D ∈ ϑ([a, b]) existuje výběr representantůΞ takový,že σ(D, f, Ξ) = F(b)−F(a). Buď nyní {Dn}∞ n=1 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Ke každému Dn existuje výběr representantů Ξn takový, že σ(Dn, f, Ξn) = F(b) − F(a). Podle 3.2.9 je b a f(x)dx = lim n→∞ σ(Dn, f, Ξn) = F(b) − F(a) . Budeme používat označení [F(x)]b a = F(b) − F(a). 88 3.2.16 Poznámka Je-li funkce G spojitá na [a, b] a na (a, b) primitivní k f, pak podle 3.1.5 je G(x) = F(x) + c a tedy [G(x)]b a = [F(x) + c]b a = (F(b) + c) − (F(a) + c) = F(b) − F(a) = [F(x)]b a . To znamená, že formule z věty 3.2.15 nezávisí na výběru primitivní funkce. 3.2.17 Příklad 1 0 x2 arctg xdx x2 arctg x je na [0, 1] spojitá, tedy podle 3.2.12 integrabilní. x3 3 arctg x + 1 6 ln(x2 + 1) − x2 6 je primitivní k x2 arctg x a na [0, 1] spojitá. Tedy 1 0 x2 arctg xdx = x3 3 arctg x + 1 6 ln(x2 + 1) − x2 6 1 p = 1 3 arctg 1 + 1 6 ln 2 − 1 6 − 1 6 ln 1 = = 1 3 π 4 + 1 6 ln 2 − 1 6 = 1 12 (π − 2 + ln 2) . 3.2.18 Definice Řekneme, že funkce f definovaná na (a, b) je na tomto intervalu integrace schopna (integrovatelná, integrabilní) v Newtonově smyslu, jestliže existuje funkce F spojitá na [a, b] a primitivní k f na (a, b). V tomto případě definujeme její Newtonův integrál b a f(x)dx = F(b) − F(a) . Věta 3.2.15 říká, že je-li funkce f integrabilní na [a, b] v Riemannově i v Newtonově smyslu, pak se její Riemannův a Newtonův integrál rovnají. 3.2.19 Poznámky 1. Integrace „per partes“ pro určité integrály: b a u(x)v′ (x)dx = [u(x)v(x)]b a − b a u′ (x)v(x)dx 2. Substituční metoda pro určité integrály: b a f(ϕ(x))ϕ′ (x)dx = ϕ(b) ϕ(a) f(t)dt b a f(x)dx = ϕ−1 (b) ϕ−1(a) f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt 3.3 Vlastnosti Riemannova integrálu V celém odstavci bude pojem „integrabilní funkce“ znamenat funkci integrace schopnou v Riemannově smyslu. 89 3.3.1 Věta Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b], c, d ∈ R, c ≤ f(x) ≤ d pro každé x ∈ [a, b]. Pak c(b − a) ≤ b a f(x)dx ≤ d(b − a) . D.: Plyne z 3.2.5, neboť c ≤ inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, d ≥ sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. 3.3.2 Důsledky 1. Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže f(x) ≥ 0 pro každé x ∈ [a, b], pak b a f(x)dx ≥ 0 . 2. Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže |f(x)| ≤ c pro každé x ∈ [a, b], pak b a f(x)dx ≤ c(b − a) . D.: Plyne z nerovnosti −c(b − a) ≤ b a f(x)dx ≤ c(b − a). 3.3.3 Věta (aditivita vzhledem k integrovaným funkcím) Nechť f a g jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Pak je i funkce f + g integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a (f(x) + g(x))dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx . D.: Buď D = {x0, x1, x2, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) libovolné a označme mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ni = inf{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, pi = inf{f(x) + g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Na intervalu [xi−1, xi] platí mi + ni ≤ f(x) + g(x) a tedy mi + ni ≤ pi, což znamená, že mi(xi − xi−1) + ni(xi − xi−1) ≤ pi(xi − xi−1). Sečtením těchto nerovností pro i od 1 do n dostaneme s(D, f) + s(D, g) ≤ s(D, f + g). Buď nyní {Dn}∞ n=0 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Pak platí s(Dn, f) + s(Dn, g) ≤ s(Dn, f + g) a limitním přechodem n → ∞ dostaneme podle 3.2.9, 1.3.5.1 a 1.3.6.2 b a f(x)dx + b a g(x)dx ≤ b a (f(x) + g(x))dx . Analogicky odvodíme b a (f(x) + g(x))dx ≤ b a f(x)dx + b a g(x)dx . Z těchto nerovností plyne tvrzení. 90 3.3.4 Věta (homogenita vzhledem k integrovaným funkcím) Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b] a c ∈ R. Pak funkce cf je integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a cf(x)dx = c b a f(x)dx . D.: Nechť D = {x0, x1, x2, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) libovolné a označme mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ni = inf{cf(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Ni = sup{cf(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Pro c = 0 je tvrzení zřejmé. Nechť c > 0. Pak je ni = cmi, Ni = cMi a tedy s(D, cf) = cs(D, f), S(D, cf) = cS(D, f). Pro libovolnou nulovou {Dn}∞ n=1 ⊆ ϑ([a, b]) platí: b a cf(x)dx = lim n→∞ s(Dn, cf) = c lim n→∞ s(Dn, f) = c b a f(x)dx , b a cf(x)dx = lim n→∞ S(Dn, cf) = c lim n→∞ S(Dn, f) = c b a f(x)dx , z čehož plyne tvrzení. Nechť c < 0. Pak ni = cMi, Ni = cmi a tedy s(D, cf) = cS(D, f), S(D, cf) = cs(D, f) a důkaz dokončíme s využitím nulové posloupnosti {Dn}∞ n=1 ⊆ ϑ([a, b]). 3.3.5 Důsledek (linearita Riemannova integrálu) Nechť f1, f2, . . . , fn jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b] a c1, c2, . . . , cn ∈ R. Pak je funkce c1f1 + c2f2 + · · · + cnfn integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a (c1f1(x) + c2f2(x) + · · · + cnfn(x))dx = c1 b a f1(x)dx + c2 b a f2(x)dx + · · · + cn b a fn(x))dx . 3.3.6 Věta (monotonie vzhledem k integrovaným funkcím) Nechť f a g jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže pro každé x ∈ [a, b] platí f(x) ≤ g(x), pak b a f(x)dx ≤ b a g(x)dx . D.: Pro x ∈ [a, b] je g(x) − f(x) ≥ 0 a tedy podle 3.3.2.1 a 3.3.5 je 0 ≤ b a (g(x) − f(x))dx = b a g(x)dx − b a f(x)dx. 3.3.7 Věta Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b]. Pak je také funkce fg integrabilní na intervalu [a, b]. D.: Nechť nejprve f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pro x ∈ [a, b]. Poněvadž funkce f a g jsou integrabilní, jsou ohraničené a tedy existuje k ∈ R, k > 0 takové, že f(x) ≤ k, g(x) ≤ k pro x ∈ [a, b]. Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. K číslu ε 2k > 0 existují podle 3.2.10 dělení D1, D2 intervalu [a, b] taková. že S(D1, f) − s(D1, f) < ε 2k , S(D2, g) − s(D2, g) < ε 2k . Položme D = {x0, x1, . . . , xn} = D1 ∪ D2. Podle 3.2.3.2 platí s(D1, f) ≤ s(D, f), S(D1, f) ≥ S(D, f) a tedy 91 S(D, f) − s(D, f) ≤ S(D1, f) − s(D1, f) < ε 2k . Obdobně: S(D, g) − s(D, g) < ε 2k . Označme mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ni = inf{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Ni = sup{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, pi = inf{f(x)g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Pi = sup{f(x)g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Na intervalu [xi−1, xi] platí 0 ≤ mi ≤ f(x) ≤ Mi, 0 ≤ ni ≤ g(x) ≤ Ni a tedy mini ≤ f(x)g(x) ≤ MiNi. Odtud dále plyne mini ≤ pi ≤ Pi ≤ MiNi, neboli Pi − pi ≤ MiNi − mini = Ni(Mi − mi) + mi(Ni − ni). Poněvadž Ni ≤ k, mi ≤ k, platí Pi − pi ≤ k((Mi − mi) + (Ni − ni)). Poslední nerovnost vynásobíme (xi − xi−1) a takto vzniklé nerovnosti sečteme pro i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme: S(D, fg) − s(D, fg) ≤ k(S(D, f) − s(D, f) + S(D, g) − s(D, g)) ≤ k ε 2k + ε 2k = ε . Podle 3.2.10 je funkce fg integrabilní. Nechť nyní jsou f, g libovolné. Opět existuje k ∈ R, že f(x) ≤ k, g(x) ≤ k pro x ∈ [a, b]. Podle 3.3.5 jsou funkce k − f(x) ≥ 0, k − g(x) ≥ 0 integrabilní a podle první části důkazu je integrabilní i funkce h(x) = (k − f(x))(k − g(x)). Poněvadž f(x)g(x) = h(x)+ kf(x)+ kg(x)− k2 , je funkce fg podle 3.3.5 integrabilní na intervalu [a, b]. 3.3.8 Věta Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b]. Je=li |g(x)| ≥ c > 0 pro x ∈ [a, b], pak je také funkce f g integrabilní na intervalu [a, b]. D.: Nechť g(x) ≥ c > 0 pro x ∈ [a, b]. Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. K číslu c2 ε > 0 existuje podle 3.2.10 takové D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]), že S(D, g) − s(D, g) < c2 ε. Označme mi = inf{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ni = inf 1 g(x) : x ∈ [xi−1, xi] , Ni = sup 1 g(x) x ∈ [xi−1, xi] . Platí ni = 1 Mi , Ni = 1 mi , mi ≥ c, Mi ≥ c. Odtud dostaneme Ni − ni = 1 mi − 1 Mi = Mi − mi miMi ≤ 1 c2 (Mi − mi). Tyto nerovnice vynásobíme (xi − xi−1) a sečteme pro i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme S D, 1 g − s D, 1 g ≤ 1 c2 (S(D, g) − s(D, g)) < ε. Podle 3.2.10 je funkce 1 g integrabilní na [a, b]. Je-li g(x) ≤ −c < 0 pro x ∈ [a, b], je podle první části důkazu funkce − 1 g integrabilní na [a, b] a tedy podle 3.3.4 je také 1 g integrabilní na [a, b]. Tvrzení věty je nyní důsledkem 3.3.7, neboť f g = f 1 g . Poznámka: Předpoklad |g(x)| ≥ c > 0 nelze obecně nahradit slabším předpokladem |g(x)| > 0, neboť v takovém případě funkce f g nemusí být ohraničená. Např.: [a, b] = [0, 1], f(x) = 1, g(x) = x, x ∈ (0, 1] 1, x = 0 . g je integrabilní na [0, 1] podle 3.2.14, f(x) g(x) =    1 x , x ∈ (0, 1] 1, x = 0 není ohraničená. 92 3.3.9 Věta Je-li funkce f integrabilní na intervalu [a, b], pak také funkce |f| je integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a f(x)dx ≤ b a |f(x)|dx . D.: Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. Existuje D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) takové, že S(D, f) − s(D, f) < ε. Označme mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ni = inf{|f(x)| : x ∈ [xi−1, xi]}, Ni = sup{|f(x)| : x ∈ [xi−1, xi]}. Buďte x, y ∈ [xi−1, xi]. Pak |f(x)|−|f(y)| ≤ |f(x)−f(y)| ≤ Mi−mi. Odtud plyne, že pro pevně zvolené y je |f(x)| ≤ |f(y)|+Mi−mi. Z vlastností suprema plyne Ni ≤ |f(y)|+Mi−mi, neboli |f(y)| ≥ Ni−(Mi−mi). Z vlastností infima nyní plyne ni ≥ Ni − (Mi − mi), neboli Ni − ni ≤ Mi − mi. Poslední nerovnice vynásobíme (xi − xi−1) a sečteme přes i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme S(D, |f|) − s(D, |f|) ≤ S(D, f) − s(D, f) < ε a podle 3.2.10 je funkce |f| integrabilní. Dále pro x ∈ [a, b] platí f(x) ≤ |f(x)|, −f(x) ≤ |f(x)| a tedy podle 3.3.6 b a f(x)dx ≤ b a |f(x)|dx, − b a f(x)dx ≤ b a |f(x)|dx, což znamená − b a |f(x)|dx ≤ b a f(x)dx ≤ b a |f(x)|dx, a to je nerovnost v tvrzení věty. Poznámka: Obrácené tvrzení neplatí. Např. pro f(x) = χ(x) − 1 2 je |f(x)| = 1 2 , což je funkce integrabilní, ale 1 0 f(x)dx = − 1 2 < 1 2 = 1 0 f(x)dx . (Sr. 3.2.7) 3.3.10 Věta (1. věta o střední hodnotě integrálního počtu) Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b], g(x) ≥ 0 pro x ∈ [a, b], m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Pak existuje µ ∈ [m, M] takové, že b a f(x)g(x)dx = µ b a g(x)dx . D.: Poněvadž m ≤ f(x) ≤ M a g(x) ≥ 0, platí mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x) a tedy podle 3.3.6 a 3.3.4 je m b a g(x)dx ≤ b a f(x)g(x)dx ≤ M b a g(x)dx . Je-li b a g(x)dx = 0, pak podle 3.3.6 a 3.3.4 je 0 = m b a g(x)dx = b a mg(x)dx ≤ b a f(x)g(x)dx ≤ b a Mg(x)dx = M b a g(x)dx = 0 93 a tedy b a f(x)g(x)dx = 0. Rovnost v tvrzení věty je splněna pro libovolné µ ∈ R. Je-li b a g(x)dx > 0, položíme µ = b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx . Pak m = m b a g(x)dx b a g(x)dx ≤ b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx = µ = b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx ≤ M b a g(x)dx b a g(x)dx = M . 3.3.11 Důsledky 1. Nechť funkce f je navíc spojitá. Pak existuje c ∈ [a, b] takové, že b a f(x)g(x)dx = f(c) b a g(x)dx . D.: plyne z 1.7.15. 2. Nechť m a M mají stejný význam jako v 3.3.10. Pak existuje µ ∈ [m, M] takové, že b a f(x)dx = µ(b − a) . D.: volbou g(x) = 1. 3. Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Pak existuje c ∈ [a, b] takové, že b a f(x)dx = f(c)(b − a) . 3.3.12 Věta (aditivita vzhledem k integračnímu oboru) Nechť a, b, c ∈ R, a < b < c a f je ohraničená funkce definovaná na [a, c]. Pak platí c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx, c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx. Je-li funkce f integrabilní na [a, b] i na [a, c], pak je integrabilní i na [a, c] a platí c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx. D.: Nechť {D′ n} je nulová posloupnost dělení intervalu [a, b] a {D′′ n} je nulová posloupnost dělení intervalu [b, c]. Pro každé n ∈ N položme Dn = D′ n ∪ D′′ n. Pak je Dn ∈ ϑ([a, b]), ν(Dn) = max{ν(D′ n), ν(D′′ n)}. Tedy lim n→∞ ν(Dn) = 0, neboli {Dn}∞ n=1 je nulová 94 posloupnost dělení intervalu [a, c]. Dále s(Dn, f) = s(D′ n, f)+s(D′′ n, f), S(Dn, f) = S(D′ n, f)+S(D′′ n, f), z čehož limitním přechodem n → ∞ s využitím 3.2.9 dostaneme první tvrzení. Je-li funkce f integrabilní na intervalech [a, b] a [b, c], platí c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx = c a f(x)dx , což je druhé tvrzení. 3.3.13 Poznámky 1. Druhé tvrzení věty 3.3.12 neplatí pro Newtonův integrál. Např.: a = −1, b = 0, c = 1, f(x) = sgn x. 2. Větu 3.3.12 lze indukcí zobecnit na libovolný konečný počet intervalů: Jsou-li a1, a2, . . . , an ∈ R taková, že a1 < a2 < · · · < an a funkce f je integrabilní na každém intervalu [ai−1, ai], i = 2, 3 . . ., n, pak je f integrabilní i na intervalu [a1, an] a platí an a1 f(x)dx = n i=2 ai ai−1 f(x)dx . Analogické tvrzení platí pro horní a dolní integrál. 3.3.14 Věta (monotonie vzhledem k integračnímu oboru) Nechť funkce f je integrabilní na intervalu [a, b] a nechť [c, d] ⊆ (a, b). Pak je f integrabilní i na intervalu [c, d]. D.: Nechť {D′ n}, resp. {D′′ n}, resp. {D′′′ n } je nulová posloupnost dělení intervalu [a, c], resp. [c, d], resp. [d, b]. Pro každé n ∈ N položme Dn = D′ n ∪ D′′ n ∪ D′′′ n . Pak je {Dn}∞ n=1 nulová posloupnost dělení intervalu [a, b] a platí s(Dn, f) = s(D′ n, f) + s(D′′ n) + s(D′′′ n ), S(Dn, f) = S(D′ n, f) + S(D′′ n) + S(D′′′ n ). Odtud dostaneme limitním přechodem n → ∞ s využitím 3.2.9 b a f(x)dx = c a f(x)dx + d c f(x)dx + b d f(x)dx, b a f(x)dx = c a f(x)dx + d c f(x)dx + b d f(x)dx . Odečtením těchto rovností dostaneme 0 =   c a f(x)dx − c a f(x)dx   +   d c f(x)dx − d c f(x)dx   +    b d f(x)dx − b d f(x)dx    . Poněvadž všechny sčítance jsou nezáporné, musí být nulové. Zejména d c f(x)dx = d c f(x)dx . 95 3.3.15 Důkaz věty 3.2.14 D.: Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. Poněvadž funkce f je na intervalu [a, b] ohraničená, existuje k ∈ R, k > 0 takové, že −k ≤ f(x) ≤ k pro každé x ∈ [a, b]. Buď M množina bodů nespojitosti funkce f. Poněvadž je tato množina nulová, existují a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn ∈ R, a ≤ a1 < b1 < a2 < b2 < · · · < an < bn ≤ b takové, že M ⊆ (a1, b1) ∪ (a2, b2) ∪ · · · ∪ (an, bn) a n i=1 (bi − ai) < ε 2k . Předpokládejme, že a < a1, bn < b. (V opačném případě bychom provedli analogické úvahy.) Na každém z intervalů [a, a1], [b1, a2], . . . , [bn−1, an], [bn, b] je funkce f spojitá a tedy podle 3.2.12 integrabilní. Na každém intervalu (a1, b1), (a2, b2), · · · , (an, bn) podle 3.2.5 platí −k(bi − ai) ≤ bi ai f(x)dx ≤ bi ai f(x)dx ≤ k(bi − ai), i = 1, 2, . . . , n . Podle 3.3.13.2 je b a f(x)dx = a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n−1 i=1 ai+1 bi f(x)dx + n i=1 bi ai f(x)dx ≥ ≥ a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n−1 i=1 ai+1 bi f(x)dx − k n i=1 (bi − ai) > > a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n−1 i=1 ai+1 bi f(x)dx − k ε 2k = = a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n−1 i=1 ai+1 bi f(x)dx − ε 2 . Analogicky ukážeme, že b a f(x)dx < a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n−1 i=1 ai+1 bi f(x)dx + ε 2 . Odtud 0 ≤ b a f(x)dx − b a f(x)dx < ε . Poněvadž ε > 0 bylo libovolné, je b a f(x)dx = b a f(x)dx . 3.3.16 Věta Nechť f, g jsou ohraničené funkce na intervalu [a, b] a nechť množina M = {x ∈ [a, b] : f(x) = g(x)} je nulová. Je-li jedna z funkcí f, g integrabilní na [a, b], je integrabilní i druhá z nich a platí b a f(x)dx = b a g(x)dx . 96 D.: Nechť funkce f je integrabilní a buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. Buď k ∈ R, k > 0 takové, že −k ≤ g(x) ≤ k pro x ∈ [a, b]. Poněvadž M je nulová, existují a ≤ a1 < b1 < a2 < b2 < · · · < an < bn ≤ b takové, že M ⊆ (a1, b1) ∪ (a2, b2) ∪ · · · ∪ (an, bn), n i=1 (bi − ai) ≤ ε 2k . Podle 3.3.14 je funkce f na každém z intervalů [a, a1], [b1, a2], [b2, a3], . . . , [bn, b] integrabilní. Na každém z těchto intervalů jsou funkce f, g shodné, tedy i g je na nich integrabilní a platí a1 a f(x)dx = a1 a g(x)dx, a2 b1 f(x)dx = a2 b1 g(x)dx, . . . , b bn f(x)dx = b bn g(x)dx. Na každém z intervalů [ai, bi] platí −k(bi − ai) ≤ bi ai g(x)dx ≤ bi ai g(x)dx ≤ k(bi − ai) . Analogicky jako v důkazu věty 3.2.14 ukážeme b a g(x)dx > a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n−1 i=1 ai+1 bi f(x)dx − ε 2 , b a g(x)dx < a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n−1 i=1 ai+1 bi f(x)dx + ε 2 , z čehož opět vyplyne b a g(x)dx = b a g(x)dx. V důsledku věty 3.3.16 není při úvahách o Riemannovu integrálu nutné předpokládat, že ohraničená funkce je definovaná na celém intervalu [a, b]. Stačí, je-li definovaná na [a, b] s výjimkou nulové množiny. Zejména lze tedy hovořit o funkci integrabilní na otevřeném intervalu (a, b). 3.4 Integrál jako funkce horní meze 3.4.1 Úmluva Nechť a ∈ R a funkce f je definována v a (tj. a ∈ Dom f). Pak klademe a a f(x)dx = 0. Nechť a, b ∈ R, a > b a nechť funkce f je integrabilní na intervalu [b, a]. Pak klademe b a f(x)dx = − a b f(x)dx. Snadno ověříme, že při této rozšířené definici zůstávají v platnosti všechna tvrzení předchozího odstavce. Nechť funkce f je integrabilní na [a, b] a x ∈ [a, b]. Podle 3.3.14 je funkce f integrabilní na [a, x]. Funkci F(x) = x a f(t)dt definovanou na [a, b] nazýváme integrál jako funkce horní meze. 97 3.4.2 Věta Nechť funkce f je integrabilní na [a, b]. Pak je funkce F(x) = x a f(t)dt spojitá na [a, b]. D.: Buď x0 ∈ [a, b], ε > 0 libovolné. Poněvadž f je integrabilní, je ohraničená a tedy existuje c ∈ R takové, že |f(x)| ≤ c pro x ∈ [a, b]. Položme δ = ε c . Buď x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ) libovolný. Pak |F(x0) − F(x)| = x0 a f(t)dt − x a f(t)dt = x x0 f(t)dt ≤ |x − x0|c < δc = ε c c = ε. (První nerovnost plyne z 3.3.2.2) 3.4.3 Věta Nechť je funkce f integrabilní na [a, b] a spojitá v x0 ∈ [a, b]. Pak funkce F(x) = x a f(t)dt má derivaci v x0 a platí F′ (x0) = f(x0). V případě x0 = a nebo x0 = b se jedná o příslušnou jednostrannou derivaci. D.: Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž f je spojitá v x0, k ε 2 > 0 existuje δ > 0 takové, že pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b] platí |f(x) − f(x0)| ≤ ε 2 . Tedy pro x = x0, x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b] platí F(x) − F(x0) x − x0 − f(x0) = 1 x − x0   x a f(t)dt − x0 a f(t)dt   − f(x0)(x − x0) x − x0 = = 1 x − x0   x x0 f(t)dt − x x0 f(x0)dt   = = 1 |x − x0| x x0 (f(t) − f(x0))dt ≤ ≤ 1 |x − x0| x x0 |f(t) − f(x0)|dt ≤ 1 |x − x0| x x0 ε 2 dt = = 1 |x − x0| |x − x0| ε 2 < ε . Tedy lim x→x0 F(x) − F(x0) x − x0 = f(x0). 3.4.4 Důsledek Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak F(x) = x a f(x)dt má na [a, b] derivaci a platí F′ (x) = f(x). Buď f integrabilní na [a, b], c ∈ [a, b] libovolný, pevně zvolený bod. Funkce f je na intervalu s krajními body c, x ∈ [a, b] (tj. na intervalu [c, x] pro x > c nebo [x, c] pro x < c) podle 3.3.14 integrabilní. Lze tedy definovat funkci F(x) = x c f(t)dt. 98 3.4.5 Poznámka Nechť f je funkce integrabilní na [a, b] a c ∈ [a, b]. Pak je funkce F(x) = x c f(t)dt spojitá na [a, b]. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ [a, b], má funkce F = x c f(t)dt v tomto bodě derivaci a platí F′ (x0) = f(x0). D.: Podle 3.4.1 a 3.3.12 je x c f(t)dt = x a f(t)dt − c a f(t)dt. c a f(t)dt je konstanta, tedy spojitá funkce mající nulovou derivaci. Tvrzení nyní plyne z 3.4.2 a z 3.4.3. 3.4.6 Věta (o existenci primitivní funkce) K funkci f spojité na intervalu J existuje na tomto intervalu funkce primitivní. D.: Je-li interval J uzavřený, plyne tvrzení z 3.4.4. Nechť J není uzavřený. Zvolme pevně c ∈ J a položme F(x) = x c f(t)dt. F je definována na celém J, neboť pro x ∈ J je funkce f spojitá na uzavřeném intervalu s krajními body c a x a tedy podle 3.2.12 integrabilní. Buď x0 ∈ J libovolný. Zvolme a, b ∈ J, a ≤ min{c, x0}, b ≥ max{c, x0}. Pak c ∈ [a, b], x0 ∈ [a, b] a f je spojitá na [a, b]. Podle 3.4.5 tedy platí F′ (x0) = f(x0). Poněvadž x0 ∈ J byl libovolný, platí F′ (x0) = f(x0) pro každé x ∈ J. Je-li f integrabilní funkce na [a, b], lze analogicky uvažovat integrál jako funkci dolní meze G(x) = b x f(t)dt, nebo obecněji G(x) = c x f(t)dt pro c ∈ [a, b]. 3.4.7 Poznámka Nechť funkce f je integrabilní na [a, b], c ∈ [a, b]. Pak je funkce G(x) = c x f(t)dt spojitá na [a, b]. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ [a, b], má funkce G v tomto bodě derivaci a platí G′ (x0) = −f(x0). 3.5 Nevlastní integrály V dosavadních úvahách o b a f(x)dx jsme předpokládali (i) a, b ∈ R, tj. interval (a, b) má konečnou délku, (ii) f je ohraničená na (a, b). V tomto odstavcirozšířímepojem integráluna případy, kdy některý z těchto předpokladů není splněn. V takovém případě mluvíme o nevlastních integrálech. Nejdříve budeme uvažovat nesplnění prvního předpokladu. 3.5.1 Definice Nechť a ∈ R a f je funkce definovaná na [a, ∞), která je integrabilní na každém intervalu [a, b], kde b > a, b ∈ R. Položme F(t) = t a f(x)dx. Existuje-li vlastní limita lim t→∞ F(t), řekneme, že nevlastní integrál ∞ a f(x)dx konverguje a klademe 99 ∞ a f(x)dx = lim t→∞ F(t). Neexistuje-li vlastní limita lim t→∞ F(t), řekneme, že nevlastní integrál ∞ a f(x)dx diverguje. Analogicky definujeme konvergenci nevlastního integrálu a −∞ f(x)dx, a ∈ R. Je-li funkce f definována na R a integrabilní na každém uzavřeném intervalu, pak pravíme, že nevlastní integrál ∞ −∞ f(x)dx konverguje, jestliže pro nějaké a ∈ R konvergují nevlastní integrály a −∞ f(x)dx a ∞ a f(x)dx a klademe ∞ −∞ f(x)dx = a −∞ f(x)dx + ∞ a f(x)dx. 3.5.2 Příklady 1. ∞ 1 dx xk , k ∈ R k = 1 : F(t) = t 1 dx xk = 1 −k + 1 1 xk−1 t 1 = 1 1 − k 1 tk−1 − 1 , lim t→∞ F(t) =    1 k − 1 , k > 1 ∞, k < 1 k = 1 : F(t) = t 1 dx x = [ln x]t 1 = ln t − ln 1, lim t→∞ F(t) = ∞ Tedy ∞ 1 dx xk konverguje pro k > 1 a diverguje pro k ≤ 1. 2. ∞ 0 e−kx dx, k ∈ R k = 0 : F(t) = t 0 e−kx dx = − e−kx k t 0 = 1 k − e−kt k , lim t→∞ F(t) =    1 k , k > 0 ∞, k < 0 k = 0 : F(t) = t 0 dx = t, lim t→∞ F(t) = ∞ Tedy ∞ 0 e−kx dx konverguje pro k > 0 a diverguje pro k ≤ 0. 3. ∞ −∞ dx 1 + x2 ∞ 0 dx 1 + x2 = lim t→∞ t 0 dx 1 + x2 = lim t→∞ [arctg x]t 0 = lim t→∞ arctg t = π 2 0 −∞ dx 1 + x2 = lim t→−∞ 0 t dx 1 + x2 = lim t→−∞ [arctg x]0 t = lim t→−∞ (− arctg t) = π 2 Tedy ∞ −∞ dx 1 + x2 = π. 4. ∞ 0 cos xdx F(t) = t 0 cos xdx = [sin x]t 0 = sin t, lim t→∞ F(t) neexistuje, ∞ 0 cos xdx diverguje. 5. ∞ 0 f(x)dx, kde f(x) = n, x = n ∈ N 0, x ∈ N F(t) = t 0 f(x)dx = 0, tedy ∞ 0 f(x)dx = 0. Nevlastní integrál může konvergovat, i když je integrovaná funkce neohraničená. 100 V tvrzeních 3.5.3 – 3.5.8 budeme předpokládat, že všechny uvažované funkce jsou definovány na [a, ∞), a ∈ R a integrabilní na [a, b] pro každé b > a. Tato tvrzení se týkají integrálů typu ∞ a f(x)dx. Po příslušné úpravě předpokladů však platí i pro integrály typu a −∞ f(x)dx. 3.5.3 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium) Integrál ∞ a f(x)dx konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje x0 ≥ a takové, že pro každá dvě t1, t2 ∈ R, t1 > x0, t2 > x0 platí t2 t1 f(x)dx < ε. D.: Plyne z 1.6.6. 3.5.4 Věta (Srovnávací kriterium) Nechť na intervalu [a, ∞) platí 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Konverguje-li ∞ a g(x)dx, konverguje i ∞ a f(x)dx. Diverguje-li ∞ a f(x)dx, diverguje i ∞ a g(x)dx. D.: Nechť ∞ a g(x)dx konverguje. Podle 3.5.3 existuje x0 ≥ a takové, že pro každá t1, t2 ∈ R, t1 > x0, t2 > x0 platí t2 t1 g(x)dx < ε. Volme označení tak, že t1 < t2. Pak podle 3.3.2.1 je t2 t1 g(x)dx ≥ 0, t2 t1 f(x)dx ≥ 0. Tedy t2 t1 f(x)dx = t2 t1 f(x)dx ≤ t2 t1 g(x)dx = t2 t1 g(x)dx < ε. (První nerovnost plyne z 3.3.6) Podle 3.5.3 ∞ a f(x)dx konverguje. Nechť ∞ a f(x)dx diverguje. Podle první části důkazu nemůže ∞ a g(x)dx konvergovat. 3.5.5 Věta (limitní srovnávací kriterium) Nechť funkce f, g jsou nezáporné na [a, b) a nechť existuje lim x→∞ f(x) g(x) = c ∈ R∗ . Je-li c < ∞ a konverguje-li ∞ a g(x)dx, pak konverguje i ∞ a f(x)dx. Je-li c > 0 a diverguje-li ∞ a g(x)dx, pak diverguje i ∞ a f(x)dx. D.: Nechť c < ∞ a ∞ a g(x)dx konverguje. Buď ε > 0 libovolné. Existuje x0 ∈ R, x0 ≥ a takové, že pro x ≥ x0 platí c − ε < f(x) g(x) < c + ε, neboli f(x) < (c + ε)g(x). Z konvergence ∞ a g(x)dx plyne konvergence ∞ x0 g(x)dx a tedy i konvergence ∞ x0 (c + ε)g(x)dx. Odtud podle 101 3.5.4 plyne konvergence ∞ x0 f(x)dx a tedy i konvergence ∞ a f(x)dx. Nechť c > 0 a ∞ a g(x)dx diverguje. lim x→∞ g(x) f(x) =    1 c , c < ∞ 0, c = ∞ . Kdyby ∞ a f(x)dx konvergoval, pak by podle první části důkazu ∞ a g(x)dx konvergoval. 3.5.6 Důsledky 1. Nechť funkce f, g jsou nezáporné na [a, b). Jestliže lim x→∞ f(x) g(x) = c ∈ (0, ∞), pak oba nevlastní integrály ∞ a f(x)dx a ∞ a g(x)dx buď současně konvergují, nebo současně divergují. 2. Buď f nezáporná funkce na intervalu [a, ∞). • Jestliže existuje k ∈ R, k > 1 takové, že lim x→∞ xk f(x) < ∞, pak ∞ a f(x)dx konverguje. • Jestliže existuje k ∈ R, k ≤ 1 takové, že lim x→∞ xk f(x) > 0, pak ∞ a f(x)dx diverguje. • Jestliže existuje k ∈ R, k > 0 takové, že lim x→∞ ekx f(x) < ∞, pak ∞ a f(x)dx konverguje. • Jestliže existuje k ∈ R, k ≤ 0 takové, že lim x→∞ ekx f(x) > 0, pak ∞ a f(x)dx diverguje. D.: 3.5.5, 3.5.2.1 a 3.5.2.2. 3.5.7 Věta (Nutná podmínka konvergence nevlastního integrálu) Nechť ∞ a f(x)dx konverguje a nechť existuje lim x→∞ f(x) = c ∈ R∗ . Pak c = 0. D.: Připusťme c > 0. Podle definice limity existují x0 ≥ a a k > 0 takové, že pro x ≥ x0 je f(x) > k. ∞ x0 kdx = lim t→∞ k(t − x0) = ∞. Podle 3.5.4 diverguje ∞ x0 f(x)dx a tedy i ∞ a f(x)dx — spor. Možnost c < 0 vyloučíme analogicky. Poznámka: Předpoklad o existenci lim x→∞ f(x) nelze obecně vynechat, jak ukazuje 3.5.2.5. 3.5.8 Věta Konverguje-li ∞ a |f(x)|dx, pak konverguje i ∞ a f(x)dx. D.: Buď ε > 0 libovolné. Podle 3.5.3 existují x0 ≥ a a t1, t2 > x0 takové, že t2 t1 |f(x)|dx < ε. Volme t1 < t2. Pak t2 t1 f(x)dx ≤ t2 t1 |f(x)|dx = t2 t1 |f(x)|dx < ε (první nerovnost platí podle 3.3.9). Tvrzení nyní plyne z 3.5.3. 102 3.5.9 Definice Nechť f je funkce definovaná na [a, ∞) a integrabilní na [a, b] pro každé b > a. Řekneme, že nevlastní integrál ∞ a f(x)dx konverguje absolutně, jestliže konverguje ∞ a |f(x)|dx. Poznámky: • Z 3.5.8 plyne, že konverguje-li ∞ a f(x)dx absolutně, pak konverguje. • Je-li f nezáporná funkce na [a, ∞) a integrál ∞ a f(x)dx konverguje, pak konverguje absolutně. Nyní budeme uvažovat nesplnění druhého z předpokladů uvedených na začátku odstavce. 3.5.10 Definice Nechť a, b ∈ R, a < b a nechť funkce f je definována na [a, b). Řekneme, že b je singulární bod funkce f, jestliže f není ohraničená na [a, b) a pro každé β ∈ (a, b) je integrabilní na [a, β]. 3.5.11 Definice Nechť f je funkce definovaná na [a, b) a nechť b je jejím singulárním bodem. Pro t ∈ [a, b) položme F(t) = t a f(x)dx. Existuje-li vlastní lim t→b− F(t), řekneme, že nevlastní integrál b a f(x)dx konverguje a klademe b a f(x)dx = lim t→b− F(t). Neexistuje-li vlastní lim t→b− F(t), řekneme, že nevlastní integrál b a f(x)dx diverguje. Analogicky definujeme singulární bod a pro funkci definovanou na intervalu (a, b] a konvergenci nebo divergenci nevlastního integrálu b a f(x)dx. 3.5.12 Příklad 1 0 dx xk , k ∈ R, k > 0 k = 1 : F(t) = 1 t dx xk = 1 1 − k 1 xk−1 1 t = 1 1 − k 1 − 1 tk−1 , lim t→0+ F(t) =    1 1 − k , k < 1 ∞, k > 1 k = 1 : F(t) = 1 t dx x = [ln x]t 1 = ln 1 − ln t = − ln t, lim t→0+ F(t) = ∞ Tedy 1 0 dx xk konverguje pro k < 1 a diverguje pro k ≥ 1. Pro nevlastní integrály typu b a f(x)dx platí tvrzení analogická 3.5.3, 3.5.4, 3.5.5 a 3.5.8. Důkazy se provedou shodným způsobem. 103 3.5.13 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium) Integrál b a f(x)dx, kde b je singulární bod funkce f konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje x0 ∈ [a, b) takové, že pro každá dvě t1, t2 ∈ (x0, b) platí t2 t1 f(x)dx < ε. 3.5.14 Věta (Srovnávací kriterium) Nechť b je singulárním bodem funkce f i funkce g a nechť na intervalu [a, b) platí 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Konverguje-li b a g(x)dx, konverguje i b a f(x)dx. Diverguje-li b a f(x)dx, diverguje i b a g(x)dx. 3.5.15 Věta (limitní srovnávací kriterium) Nechť b je singulárním bodem funkce f i funkce g, funkce f, g jsou nezáporné na [a, b) a nechť existuje lim x→b− f(x) g(x) = c ∈ R∗ . Je-li c < ∞ a konverguje-li b a g(x)dx, pak konverguje i b a f(x)dx. Je-li c > 0 a diverguje-li b a g(x)dx, pak diverguje i b a f(x)dx. 3.5.16 Věta Nechť b je singulárním bodem funkce f. Konverguje-li b a |f(x)|dx, pak konverguje i b a f(x)dx. Analogická tvrzení platí i pro nevlastní integrály typu b a f(x)dx, je-li a singulárním bodem funkce f. 3.6 Aplikace určitého integrálu 3.6.1 Průměrná hodnota (integrální průměr) veličiny y = f(x) na intervalu [a, b] ¯y = 1 b − a b a f(x)dx 3.6.2 Plocha rovinného obrazce 1. Obrazec v kartézských souřadnicích určený nerovnostmi a ≤ x ≤ b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x). S = b a (f2(x) − f1(x))dx 2. Obrazec v kartézských souřadnicích ohraničený uzavřenou křivkou o parametrických rovnicích x = x(t) y = y(t) , t ∈ [α, β]. Křivka je orientována kladně, tj. tak, že plocha leží nalevo od křivky. S = − β α y(t)x′ (t)dt = β α x(t)y′ (t)dt = 1 2 β α (x(t)y′ (t) − x′ (t)y(t))dt 104 3. Plocha, kterou opisuje průvodič křivky, zadané v polárních souřadnicích rovnicí r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β. S = 1 2 β α (r(ϕ))2 dϕ 3.6.3 Délka rovinné křivky 1. Křivka zadána parametrickými rovnicemi x = x(t) y = y(t) , t ∈ [α, β]. s = β α (x′(t))2 + (y′(t))2 dt 2. Křivka je grafem funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. s = b a 1 + (f′(x))2 dx 3. Křivka zadána v polárních souřadnicích rovnicí r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β. s = β α (r(ϕ))2 + (r′(ϕ))2dϕ 3.6.4 Objem tělesa 1. Těleso ohraničené rovnoběžnými rovinami vzdálenými od sebe na vzdálenost a se známými plochami řezů S(x) rovinami rovnoběžnými s podstavami ve vzdálenosti x. V = a 0 S(x)dx 2. Těleso vzniklé rotací podgrafu funkce f na intervalu [a, b] kolem osy x. V = π b a (f(x))2 dx 3. Těleso vzniklé rotací podgrafu funkce f na intervalu [a, b] kolem osy y. V = 2π b a xf(x)dx 3.6.5 Plocha pláště rotačního tělesa 1. Těleso vzniklé rotací křivky o parametrických rovnicích x = x(t) y = y(t) , t ∈ [α, β]. S = 2π β α |y(t)| (x′(t))2 + (y′(t))2 dt 2. Těleso vzniklé rotací grafu funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. S = 2π b a |f(x)| 1 + (f′(x))2 dx 105 3.7 Numerická integrace 3.7.1 Lemma Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) druhou derivaci. Pak ke každému x ∈ [a, b] existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f(x) = f(a) + f(b) − f(a) b − a (x − a) − f′′ (ξ) 2 (x − a)(b − x) . D.: Označme P(x) = f(a)+ f(b) − f(a) b − a (x− a). Pak P je jineární polynom a platí P(a) = f(a), P(b) = f(b). Tedy pro x = a nebo x = b platí formule v tvrzení při libovolném ξ ∈ (a, b). Buď x0 ∈ (a, b) libovolný pevně zvolený bod a položme F(x) = f(x)−P(x)− f(x0) − P(x0) (x0 − a)(b − x0) (x−a)(b−x). Pak platí F(a) = F(b) = F(x0) = 0. Podle 2.3.1 existují ξ1 ∈ (a, x0) a ξ2 ∈ (x0, b) takové, že F′ (ξ1) = F′ (ξ2) = 0. Dále opět podle 2.3.1 existuje ξ ∈ (ξ1, ξ2) takové, že F′′ (ξ) = 0. Pro každé x ∈ (a, b) platí P′′ (x) = 0, [(x − a)(b − x)]′′ = −2, tedy 0 = F′′ (ξ) = f′′ (ξ) + 2 f(x0) − P(x0) (x0 − a)(b − x0) . Odtud f(x0) = − f′′ (ξ) 2 (x0 −a)(b−x0)+P(x0) a poněvadž x0 ∈ (a, b) bylo libovolné, je tvrzení dokázáno. 3.7.2 Lemma Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) druhou derivaci takovou, že |f′′ (x)| ≤ M pro každé x ∈ (a, b). Pak pro každé x ∈ [a, b] platí f(a)+ f(b) − f(a) b − a (x−a)+ M 2 (x2 −(a+b)x+ab) ≤ f(x) ≤ f(a)+ f(b) − f(a) b − a (x−a)− M 2 (x2 −(a+b)x+ab) . D.: Podle 3.7.1 je pro každé x ∈ [a, b] f(x) − f(a) − f(b) − f(a) b − a (x − a) = |f′′ (ξ(x))| 2 (x − a)(b − x) ≤ M 2 (−x2 + (a + b)x − ab) , z čehož plyne tvrzení. 3.7.3 Věta (lichoběžníkové pravidlo) Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) ohraničenou druhou derivaci a buď n ∈ N. Označme h = b − a n , xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . ., n , In(f, a, b) = h 2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + f(xn)) , M = sup{|f′′ (x)| : x ∈ (a, b)} . Pak In(f, a, b) − b a f(x)dx ≤ M 12 (b − a)3 n2 . 106 D.: Pro každé i ∈ {0, 1, 2, . . ., n − 1} je xi+1 xi f(xi) + f(xi+1) − f(xi) xi+1 − xi (x − xi) ± M 2 (x2 − (xi + xi+1)x + xixi+1) dx = = xi+1 xi f(xi) + f(xi+1) − f(xi) h (x − xi) ± M 2 (x2 − (xi + xi+1)x + xixi+1) dx = = f(xi)(xi+1 − xi) + f(xi+1) − f(xi) h (x − xi)2 2 xi+1 xi ± M 2 x3 3 − (xi + xi+1) x2 2 + xixi+1x xi+1 xi = = hf(xi) + f(xi+1) − f(xi) h h2 2 ± M 2 x3 i+1 − x3 i 3 − (xi + xi+1) x2 i+1 − x2 i 2 + xixi+1(xi+1 − xi) = = h 2 (f(xi) + f(xi+1)) ± M 2 h x2 i+1 + xi+1xi + x2 i 3 − x2 i+1 + 2xi+1xi + x2 i 2 + xi+1xi = = h 2 (f(xi) + f(xi+1)) ± M 12 h(2xi+1xi − x2 i+1 − x2 i ) = h 2 (f(xi) + f(xi+1)) ∓ M 12 h3 . Podle 3.7.2 a 3.3.6 platí h 2 (f(xi) + f(xi+1)) − M 12 h3 ≤ xi+1 xi f(x)dx ≤ h 2 (f(xi) + f(xi+1)) + M 12 h3 . Sečtením těchto nerovností pro n od 0 do n − 1 a s využitím 3.3.13.2 dostaneme h 2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + f(xn)) − M 12 h3 n ≤ xn x0 f(x)dx ≤ ≤ h 2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + f(xn)) + M 12 h3 n , což je tvrzení. Poněvadž lim n→∞ M 12 (b − a)3 n2 = 0, je podle 1.3.7 lim n→∞ In(f, a, b) = b a f(x)dx. 3.7.4 Věta (Simpsonovo [1710 – 1761] pravidlo) Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) ohraničenou čtvrtou derivaci a buď m ∈ N sudé. Označme h = b − a m , xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . ., m , Jm(f, a, b) = h 3 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + · · · + 4f(xm−1) + f(xm)) , N = sup{|f(4) (x)| : x ∈ (a, b)} . Pak Jm(f, a, b) − b a f(x)dx ≤ N 180 (b − a)5 m4 . Myšlenka důkazu: Na každém z intervalů [x2k, x2k+2] nahradíme funkci f kvadratickým polynomem P(x) = (x − x2k+1)(x − x2k+2)f(x2k) (x2k − x2k+1)(x2k − x2k+2) + (x − x2k)(x − x2k+2)f(x2k+1) (x2k+1 − x2k)(x2k+1 − x2k+2) + (x − x2k)(x − x2k+1)f(x2k+2) (x2k+2 − x2k)(x2k+2 − x2k+1) , pro který platí f(x2k) = P(x2k), f(x2k+1) = P(x2k+1), f(x2k+2) = P(x2k+2). 107 3.8 Cvičení Najděte primitivní funkci 1) 1 − x x 2 dx, 2) (1 − x)3 x 3 √ x dx, 3) x2 1 − x2 dx, 4) √ 1 + x2 + √ 1 − x2 √ 1 − x4 dx, 5) 2x+1 − 5x−1 10x dx, 6) e3x + 1 ex + 1 dx, 7) √ 1 − sin 2x dx, 8) tg2 x dx, 9) dx (5x − 2)5 , 10) dx √ 3x2 − 2 , 11) dx 1 + cos x , 12) dx 1 + sin x , 13) x3 dx x8 − 2 , 14) dx (1 + x) √ x , 15) 1 x2 sin 1 x dx, 16) tg x dx, 17) dx ex + e−x , 18) dx √ 1 + e2x , 19) xn ln x dx, 20) x2 sin 2x dx, 21) sin x ln(tg x) dx, 22) arctg x dx, 23) 1 − √ x + 1 1 + 3 √ x + 1 dx, 24) dx 1 + √ x + √ 1 + x , 25) dx (1 − x)2 √ 1 − x2 , 26) dx x3 √ x2 + 1 , 27) dx x + √ x2 + x + 1 , 28) cos5 dx, 29) sin 5x cos x dx, 30) dx (2 + cos x) sin x , 31) dx 2 sin x − cos x + 5 , 32) dx (a sin x + b cosx)2 , 33) x dx 1 + 3 √ x2 . Rozhodněte o konvergenci nevlastních integrálů 34) ∞ 0 x2 x4 − x2 + 1 dx, 35) 2 0 dx ln x , 36) ∞ 2 lnk x x dx. Vypočítejte plochu obrazce ohraničeného danými křivkami (x, y jsou kartézské souřadnice, r, ϕ polární) 37) y = |log10 x| , y = 0, x = 1 10 , x = 10, 38) y = (x + 1)2 , x = sin πx, y = 0, 39) x2 a2 + y2 b2 = 1, 40) y2 = x2 (a2 − x2 ), 41) x = 2t − t2 , y = 2t2 − t3 , 42) x = a2 − b2 a cos3 t, y = a2 − b2 b sin3 t, 43) r = a sin 3ϕ, 44) r = p 1 − cos ϕ , ϕ = π 4 , ϕ = π 2 , 45) x2 + y2 2 = 2a2 xy. Vypočítejte délku křivky 46) y = √ x3, 0 ≤ x ≤ 4, 47) y = ln(cos x), 0 ≤ x ≤ a < π 2 , 48) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, 49) x = a2 − b2 a cos3 t, y = a2 − b2 b sin3 t, 50) r = a sin3 ϕ 3 , 51) r = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Vypočítejte objem tělesa ohraničeného plochami 52) x2 a2 + y2 b2 = 1, z = c a x, z = 0, 53) x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1, z = ±c. 54) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 2x − x2 , y = 0 kolem osy x a objem tělesa vzniklého rotací téhož obrazce kolem osy y. 108 55) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami o parametrických rovnicích x = a sin3 t, y = b cos3 t kolem osy x a objem tělesa vzniklého rotací téhož obrazce kolem osy y. 56) Vypočítejte povrch tělesa vzniklého rotací asteroidy x2/3 + y2/3 = a2/3 kolem osy x. 57) Vypočítejte 1 0 dx 1 + x pomocí lichoběžníkového pravidla s n = 8 a odhadněte chybu. Výsledek porovnejte s přesnou hodnotou. Výsledky: 1) x − 1 x − ln x2 2) − 3 3 √ x 1 + 3 2 x − 3 5 x2 + 1 8 x3 3) 1 2 ln 1+x 1−x − x 4) arcsin x + ln x + √ 1 + x2 5) 1 5 ln 2 1 2 x − 2 ln 5 1 5 x 6) 1 2 e2x −ex +x 7) sgn x − π 4 (sin x−cos x) 8) tg x−x 9) 2 (30−75x) √ 5x−2 10) 1√ 3 ln √ 3 x − √ 3x2 − 2 11) tg x 2 12) tg x 2 − π 4 13) √ 2 16 ln x4 − √ 2 x4+ √ 2 14) 2 arctg √ x 15) cos 1 x 16) − ln | cos x| 17) arctg ex 18) ln √ 1 + e2x − 1 −x 19) xn+1 n+1 ln x − xn+1 (n+1)2 20) x sin x cos x − 2x2 −1 4 cos 2x 21) ln tg x 2 − cos x ln(tg x) 22) x arctg x − ln √ 1 + x2 23) −6 7 t7 +6 5 t5 +3 2 t4 −2t3 −3t2 +6t+3 ln(t2 +1)−6 arctg t, kde t = 6 √ x + 1 24) √ x− x− √ x(1+x) 2 −1 2 ln √ x + √ 1 + x 25) 2−x 3(1−x)2 √ 1 − x2 26) √ x2+1 2x2 + 1 2 ln 1+ √ x2+1 |x| 27) 3 2+4t + 1 2 ln t4 |1+2t|3 , kde t = x + √ x2 + x + 1 28) sin x − 2 3 sin3 x + 1 5 sin5 x 29) −1 8 cos 4x − 1 12 cos 6x 30) 1 6 ln (1−cos x)(2+cos x)2 (1+cos x)3 31) 1√ 5 arctg 3 tg x 2 +1 √ 5 32) − cos x a(a sin x+b cos x) 33) 3 5 t5 − 2t3 + 3t, kde t = 1 + 3 √ x2 34) konverguje 35) diverguje 36) konverguje pro k < −1, diverguje pro k ≥ −1 37) 99 ln 10−81 ln 100 38) π+2 3π 39) πab 40) 4 3 a3 41) 8 15 42) 3 8 π (a2 −b2 )2 ab 43) πa2 4 44) p2 6 3 + 4 √ 2 45) a2 46) 8 27 10 √ 10 − 1 47) ln tg π 4 + a 2 48) 8a 49) 4(a3 −b3 ) ab 50) 3πa 2 51) |a| π √ 1 + 4π2 + ln 2π + √ 1 + 4π2 52) 2 3 abc 53) 8 3 πabc 54) 16 15 π, 8 3 π 55) 32 105 πab2 , 32 105 πa2 b 56) 12 5 πa2 57) 0.6941, chyba≤ 0.003, přesná hodnota 0.6932 109 110 Kapitola 4 Nekonečné řady 4.1 Pojem řady a jejího součtu 4.1.1 Definice Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost reálných čísel. Položme s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , ... sn = a1 + a2 + · · · + an . Posloupnost {sn}∞ n=1 se nazývá posloupnost částečných součtů nekonečné řady ∞ n=1 an. Poznámka: Budeme uvažovat i nekonečné řady tvaru ∞ n=0 an, ∞ n=k an a p. Prvky posloupnosti {an}∞ n=1 se nazývají členy řady ∞ n=1 an. 4.1.2 Definice Buď ∞ n=1 an nekonečná řada a {sn}∞ n=1 posloupnost jejích častečných součtů. Jestliže existuje vlastní limita lim sn = s, řekneme, že řada ∞ n=1 an konverguje, číslo s nazýváme jejím součtem a píšeme s = ∞ n=1 an. Neexistuje-li vlastní limita lim sn, řekneme, že řada ∞ n=1 an diverguje. Je-li přitom lim sn = ±∞, řekneme, že řada ∞ n=1 an určitě diverguje, neexistuje-li ani nevlastní lim sn, řekneme, že řada ∞ n=1 an osciluje. 4.1.3 Příklad — Geometrická řada ∞ n=1 aqn−1 = a + aq + aq2 + aq3 + · · · Členy řady: an = aqn−1 Částečné součty: sn = a1 + a2 + · · · + an = a + aq + · · · + aqn−1 = a(1 + q + · · · + qn−1 ) 111 Platí: sn+1 = a(1 + q + · · · + qn−1 + qn ) = a + aq(1 + q + · · · + qn−1 ) = a + qsn sn+1 = an+1 + sn = aqn + sn Odtud aqn + sn = a + qsn sn(1 − q) = a(1 − qn ) sn = a 1 − qn 1 − q Je-li |q| < 1, pak lim qn = 0; je-li q > 1, pak lim qn = ∞; je-li q ≤ −1, pak neexistuje vlastní ani nevlastní limita posloupnosti {qn }∞ n=1; je-li q = 1, nemá předchozí vyjádření smysl a je sn = na. Celkem: Geometrická řada ∞ n=1 aqn−1 konverguje pro |q| < 1 a má součet a 1 − q , určitě diverguje pro q ≥ 1 a osciluje pro q ≤ −1. 4.1.4 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Řada ∞ n=1 an konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 a m ∈ N platí |an+1 + an+2 + · · · + an+m| < ε. D.: Plyne bezprostředně z 1.3.22. 4.1.5 Věta (nutná podmínka konvergence) Jestliže řada ∞ n=1 an konverguje, pak lim an = 0. D.: Nechť ∞ n=1 an = lim sn = s. Pak lim an = lim(sn − sn−1) = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0. Poznámka: Tato podmínka není postačující — lim 1 n = 0 ale ∞ n=1 1 n určitě diverguje do +∞. Viz 1.1.2.1. 4.1.6 Definice Buďte ∞ n=1 an nekonečná řada, n ∈ N libovolné pevně zvolené. Řada Rn = ∞ k=1 an+k = an+1 + an+2 + an+3 + · · · (utvořená vynecháním prvních n členů řady ∞ n=1 an) se nazývá n-tý zbytek řady ∞ n=1 an. 4.1.7 Věta Konverguje-li řada ∞ n=1 an, konverguje i každý její zbytek a platí lim Rn = 0. Konverguje-li alespoň jeden zbytek řady ∞ n=1 an, konverguje i tato řada. D.: Nechť ∞ n=1 an konverguje. Označme {σk}∞ k=1 posloupnost částečných součtů zbytku Rn. Je σk = sn+k − sn. Posloupnost {sn+k}∞ k=1 konverguje a tedy podle 1.3.6.4 konverguje i {σk}∞ k=1. Dále lim n→∞ Rn = lim n→∞ ( lim k→∞ σk) = lim n→∞ ( lim k→∞ (sn+k − sn)) = lim n→∞ (s − sn) = s − s = 0. Konverguje-li Rn, je Rn ∈ R a tedy ∞ k=1 ak = n k=1 ak + Rn, což jakožto součet dvou reálných čísel je reálné číslo. 112 4.1.8 Věta (asociativní zákon) Nechť řada ∞ n=1 an konverguje a nechť {nk}∞ k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Označme n0 = 0 a položme bk = ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank . Pak řada ∞ k=1 bk konverguje a platí ∞ k=1 bk = ∞ n=1 an. D.: Posloupnost částečných součtů řady ∞ k=1 bk je vybraná z posloupnosti částečných součtů řady ∞ n=1 an: a1 + a2 + a3 + · · · = = (a1 + a2 + · · · + an1 ) + (an1+1 + an1+2 + · · · + an2 ) + · · · + ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank + · · · = = b1 + b2 + · · · + bk + · · · Tvrzení nyní plyne z 1.3.14. Poznámka: Předpoklad o konvergenci řady ∞ n=1 an je podstatný: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · osciluje, posloupnost částečných součtů je 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1 Řada 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ∞ n=1 (−1)n+1 se nazývá Grandiho. 4.1.9 Věta (distributivní zákon) Nechť řada ∞ n=1 an konverguje a nechť c ∈ R je libovolné číslo. Pak konverguje i řada ∞ n=1 can a platí ∞ n=1 can = c ∞ n=1 an . D.: Označme sn částečné součty řady ∞ n=1 an s′ n částečné součty řady ∞ n=1 can. Pak s′ n = ca1 + ca2 + · · · + can = c(a1 + a2 + · · · + an) = csn. Tvrzení nyní plyne z poznámky za 1.3.6. Poznámka: Komutativní zákon obecně neplatí. 4.1.10 Věta Konvergují-li řady ∞ n=1 an, ∞ n=1 bn, pak konverguje i řada ∞ n=1 (an + bn) a platí ∞ n=1 (an + bn) = ∞ n=1 an + ∞ n=1 bn . D.: Označme sn částečné součty řady ∞ n=1 an s′ n částečné součty řady ∞ n=1 bn Sn částečné součty řady ∞ n=1 (an + bn). Pak Sn = (a1 + b1) + (a2 + b2) + · · · + (an + bn) = (a1 + a2 + · · · + an) + (b1 + b2 + · · · + bn) = sn + s′ n. Tvrzení nyní plyne z 1.3.6.2 113 4.1.11 Věta Nechť řady ∞ n=1 a1 n, ∞ n=1 a2 n, . . . , ∞ n=1 ak n konvergují a nechť c1, c2, . . . , ck jsou reálná čísla. Pak řada ∞ n=1 (c1a1 n + c2a2 n + · · · + ckak n) konverguje a platí ∞ n=1 (c1a1 n + c2a2 n + · · · + ckak n) = c1 ∞ n=1 a1 n + c2 ∞ n=1 a2 n + · · · + ck ∞ n=1 ak n , neboli ∞ n=1 k m=1 cmam n = k m=1 cm ∞ n=1 am n . D.: Úplnou indukcí z 4.1.9 a 4.1.10. Poznámka: Zejména pro c1 = c2 = · · · = ck = 1 dostaneme ∞ n=1 k m=1 am n = k m=1 ∞ n=1 am n . Symbol k v poslední formuli nelze nahradit symbolem ∞. 4.1.12 Věta (Cauchyova o aritmetických průměrech) Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost taková, že lim n→∞ an = a ∈ R∗ . Pak lim n→∞ a1 + a2 + · · · + an n = a. D.: Označme bn = a1 + a2 + · · · + an n . Připusťme lim sup n→∞ bn > lim n→∞ an. Zvolme čísla α, β ∈ R tak, že lim n→∞ an < α < β < lim sup n→∞ bn . Existuje n1 ∈ N, že pro každé n ≥ n1 je an < α. Pro n > n1 tedy platí bn = a1 + a2 + · · · + an n = a1 + a2 + · · · + an1 n + an1+1 + an1+2 + · · · + an n < < a1 + a2 + · · · + an1 n + α(n − n1) n . Pro n → ∞ konverguje pravá strana této nerovnosti k α. To znamená, že existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je bn ≤ α < β. Odtud plyne, že lim sup n→∞ bn ≤ β, což je spor. Platí tedy lim sup n→∞ bn ≤ lim n→∞ an. Analogicky ukážeme, že lim n→∞ an ≤ lim inf n→∞ bn. Celkem tedy je lim n→∞ an ≤ lim inf n→∞ bn ≤ lim sup n→∞ bn ≤ lim n→∞ an, z čehož vyplyne tvrzení. 4.1.13 Poznámka o sumaci divergentních řad Oscilujícím řadám jsme dosud nepřiřazovali žádný symbol jako jejich součet. Někdy je ale užitečné i takovým řadám nějaký „součet“ přiřadit. Taková zobecněná sumace musí splňovat jisté přirozené podmínky: (i) Je-li an = a ve smyslu definice 4.1.2, musí být an = a v zobecněném smyslu. (ii) Je-li an = a, bn = b v zobecněném smyslu a α, β jsou reálná čísla, pak (αan + βbn) = αa + βb v zobecněném smyslu. 114 Sumace, která splňuje (i) a (ii), se nazývá regulární. Cesàrova [1859 – 1906] metoda (metoda aritmetických průměrů): Nechť ∞ n=1 an je řada a {sn}∞ n=1 posloupnost jejích částečných součtů. Jestliže platí lim n→∞ s1 + s2 + · · · + sn n = a, pak klademe ∞ n=1 an = a v Cesàrově smyslu. Z 4.1.12 plyne, že Cesàrova sumace je regulární. 4.2 Řady s nezápornými členy ∞ n=1 an, an ≥ 0 pro každé n ∈ N. 4.2.1 Věta Řada ∞ n=1 s nezápornými členy buď konverguje nebo určitě diverguje k +∞. Konverguje právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů je ohraničená. D.: sn+1 = sn + an+1 ≥ sn. Posloupnost částečných součtů je neklesající a tvrzení plyne z 1.3.4, 1.3.9 a 1.3.12.5. Poznámka: Všechna následující tvrzení mohou být formulována se změněnými předpoklady. Místo „pro každé n ∈ N“ lze psát „existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 “. (Sr. 4.1.7) 4.2.2 Věta (Integrální Cauchyovo - Maclaurinovo kriterium) Nechť f je funkce definovaná na [1, ∞), která je zde nezáporná a nerostoucí. Nechť f(n) = an pro každé n ∈ N Pak řada ∞ n=1 konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál ∞ 1 f(x)dx. D.: Poněvadž je f na [1, ∞) monotonní, je podle 3.2.11 integrabilní na [1, b] pro každé b > 1. Označme Jn = n 1 f(x)dx. Pro každé x ∈ [i, i + 1], i ∈ N platí ai = f(i) ≥ f(x) ≥ f(i + 1) = ai+1 a tedy ai = i+1 i aidx ≥ i+1 i f(x)dx ≥ i+1 i ai+1dx = ai+1 . Sečtením těchto nerovností pro i = 1, 2, . . ., n − 1 dostaneme a1 + a2 + · · · + an−1 = sn−1 ≥ n 1 f(x)dx = Jn ≥ a2 + a3 + · · · + an = sn − a1 , neboli sn − a1 ≤ Jn ≤ sn−1 . Nechť ∞ 1 f(x)dx konverguje. Pak podle 1.6.4 konverguje posloupnost {Jn} a tedy podle 1.3.4 je ohraničená. Existuje K ∈ R, že Jn ≤ K pro každé n ∈ N. Celkem sn ≤ K + a1, je shora ohraničená a neklesající, tedy konvergentní (podle 1.3.9) a podle 4.2.1 je i ∞ n=1 an konvergentní. Nechť ∞ 1 f(x)dx diverguje. Poněvadž f je nezáporná, je funkce F(t) = t 1 f(x)dx neklesající a tedy ∞ 1 f(x)dx = ∞. Odtud lim Jn = ∞ a také podle poznámky za 1.3.11 lim sn−1 = lim sn = ∞. 115 4.2.3 Příklad ∞ n=1 1 nk konverguje pro k > 1 a diverguje pro k ≤ 1. (Viz 3.5.2.) 4.2.4 Věta (první srovnávací kriterium) Nechť ∞ n=1 an, ∞ n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť pro všechna n ∈ N platí an ≤ bn. Pak platí: Konverguje-li řada ∞ n=1 bn, konverguje i řada ∞ n=1 an; diverguje-li řada ∞ n=1 an, diverguje i řada ∞ n=1 bn. D.: Označme sn částečné součty řady ∞ n=1 an s′ n částečné součty řady ∞ n=1 bn. Pak sn = a1 + a2 + · · · + an ≤ b1 + b2 + · · · + bn = s′ n. Je-li lim s′ n = b < ∞, pak pro všechna n ∈ N platí sn ≤ s′ n ≤ b, neboť posloupnost {s′ n}∞ n=1 je neklesající. Posloupnost {sn}∞ n=1 je také neklesající a je shora ohraničená, což podle 1.3.9 znamená, že je konvergentní. Je-li lim sn = ∞, je podle poznámky za 1.3.11 také lim s′ n = ∞. 4.2.5 Definice Buďte ∞ n=1 an a ∞ n=1 bn řady s nezápornými členy. Je-li an ≤ bn pro všechna n ∈ N, nazývá se řada ∞ n=1 bn majorantou řady ∞ n=1 an, řada ∞ n=1 an se nazývá minorantou řady ∞ n=1 bn. Větu 4.2.4 lze přeformulovat: S konvergentní řadou s nezápornými členy konverguje i každá její minoranta, s divergentní řadou s nezápornými členy diverguje i každá její majoranta. 4.2.6 Věta (limitní srovnávací kriterium) Nechť ∞ n=1 an je řada s nezápornými, ∞ n=1 bn řada s kladnými členy a nechť existuje lim an bn = c ∈ R∗ . Pak platí: Je-li c < ∞ a řada ∞ n=1 bn konverguje, pak konverguje i řada ∞ n=1 an. Je-li c > 0 a řada ∞ n=1 bn diverguje, pak diverguje i řada ∞ n=1 an. D.: Nechť c < ∞ a řada ∞ n=1 bn konverguje. Posloupnost an bn ∞ n=1 je podle 1.3.4 ohraničená, existuje tedy K ∈ R, že pro všechna n ∈ N je an bn ≤ K, neboli an ≤ Kbn. Řada ∞ n=1 Kbn je podle 4.1.9 konvergentní, takže podle 4.2.4 je konvergentní i řada ∞ n=1 an. Nechť c > 0 a řada ∞ n=1 an diverguje. K ε ∈ (0, c) > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 je an bn > c − ε > 0. Položme k = min a1 b1 , a2 b2 , . . . , an0 bn0 , c − ε . Pak pro všechna n ∈ N je an bn ≥ k, neboli an ≥ kbn. Kdyby řada ∞ n=1 bn konvergovala, pak by podle 4.1.9 a 4.2.4 konvergovala i řada ∞ n=1 an, což by byl spor. 116 Důsledek: Buďte ∞ n=1 an a ∞ n=1 bn řady s kladnými členy. Jestliže existuje lim an bn ∈ (0, ∞), pak řady ∞ n=1 an, ∞ n=1 bn současně konvergují nebo divergují. 4.2.7 Věta (odmocninové (Cauchyovo) kriterium) Nechť ∞ n=1 an je řada s nezápornými členy. Existuje-li takové q ∈ [0, 1), že pro všechna n ∈ N platí n √ an ≤ q, pak řada ∞ n=1 an konverguje. Platí-li pro nekonečně mnoho indexů n nerovnost n √ an ≥ 1, pak řada ∞ n=1 an určitě diverguje. D.: Je-li n √ an ≤ q, pak an ≤ qn a první tvrzení plyne z 4.2.4 a 4.1.3. Je-li n √ an ≥ 1 pro nekonečně mnoho indexů n, pak an ≥ 1 pro nekonečně mnoho indexů n a nemůže být lim an = 0. Druhé tvrzení tedy plyne z 4.1.5 a 4.2.1. 4.2.8 Věta (limitní odmocninové kriterium) Nechť ∞ n=1 an je řada s nezápornými členy a nechť existuje lim n √ an = c ∈ R∗ . Je-li c < 1, pak řada ∞ n=1 an konverguje, je-li c > 1, pak řada ∞ n=1 an určitě diverguje. D.: Nechť c < 1 a buď ε ∈ (0, 1 − c). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je n √ an < c + ε < 1. První tvrzení plyne z 4.2.7 a 4.1.7. Nechť c > 1 a buď ε ∈ (0, c − 1). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je n √ an > c − ε > 1. Druhé tvrzení plyne z 4.2.7. 4.2.9 Věta (druhé srovnávací kriterium) Buďte ∞ n=1 an a ∞ n=1 bn řady s kladnými členy a nechť pro všechna n ∈ N je an+1 an ≤ bn+1 bn . Pak platí: Konverguje-li řada ∞ n=1 bn, konverguje i řada ∞ n=1 an; diverguje-li řada ∞ n=1 an, diverguje i řada ∞ n=1 bn. D.: 0 < a2 a1 ≤ b2 b1 , 0 < a3 a2 ≤ b3 b2 , . . . , 0 < an an−1 ≤ bn bn−1 . Vynásobením těchto nerovností dostaneme 0 < an a1 ≤ bn b1 , neboli an ≤ a1 b1 bn. Konverguje-li řada ∞ n=1 bn, konverguje podle 4.1.9 i řada ∞ n=1 a1 b1 bn a tedy podle 4.2.4 konverguje řada ∞ n=1 an. Nechť řada ∞ n=1 an diverguje. Kdyby řada ∞ n=1 bn konvergovala, pak by podle již dokázané části věty řada ∞ n=1 an konvergovala a to by byl spor. 4.2.10 Věta (podílové (d’Alembertovo [1717 – 1783]) kriterium) Nechť ∞ n=1 an je řada s kladnými členy. Existuje-li takové q ∈ [0, 1), že pro všechna n ∈ N platí nerovnost an+1 an ≤ q, pak řada ∞ n=1 an konverguje. Platí-li pro všechna n ∈ N nerovnost an+1 an ≥ 1, pak řada ∞ n=1 an diverguje. 117 D.: an+1 an ≤ q = qn+1 qn a první tvrzení plyne z 4.2.9 a 4.1.3. Je-li an+1 an ≥ 1, pak an+1 ≥ an, posloupnost {an}∞ n=1 je kladná a neklesající, nemůže tedy být lim an = 0. Druhé tvrzení plyne z 4.1.5. 4.2.11 Věta (limitní podílové kriterium) Nechť ∞ n=1 an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim an+1 an = c ∈ R∗ . Je-li c < 1, pak řada ∞ n=1 an konverguje, je-li c > 1, pak řada ∞ n=1 an určitě diverguje. D.: Nechť c < 1 a buď ε ∈ (0, 1 − c). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je an+1 an < c + ε < 1. První tvrzení plyne z 4.2.10 a 4.1.7. Nechť c > 1 a buď ε ∈ (0, c − 1). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je an+1 an > c − ε, tedy an+1 > (c − ε)an > an, posloupnost {an}∞ n=1 je kladná a rostoucí, nemůže tedy být lim an = 0. Druhé tvrzení plyne z 4.1.5. 4.2.12 Lemma Buď {an} posloupnost kladných čísel. Jestliže lim n→∞ an+1 an = a ∈ R∗ , pak lim n→∞ n √ an = a. D.: Ukážeme, že lim sup n→∞ n √ an ≤ lim n→∞ an+1 an = a. Je-li a = ∞, je tvrzení triviální. Nechť a < ∞ a zvolme b ∈ R, b > a. Existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je an+1 an < b. Tedy an0+1 an0 < b, an0+2 an0+1 < b, . . . , an an−1 < b , z čehož vynásobením dostaneme an an0 < bn−n0 . Odtud n √ an < n √ an0 b n−n0 n . Ze spojitosti exponenciální funkce plyne lim n→∞ b n−n0 n = lim n→∞ b1− n0 n = b . Dále lim n→∞ n √ an0 = lim n→∞ e 1 n ln an0 = 1 . Celkem tedy lim sup n→∞ n √ an ≤ b. Poněvadž b > a bylo libovolné, je lim sup n→∞ n √ an ≤ a. Analogicky ukážeme lim inf n→∞ n √ an ≥ lim n→∞ an+1 an = a, takže celkem a ≤ lim inf n→∞ n √ an ≤ lim sup n→∞ n √ an ≤ a. Z lemma plyne: pokud lze dokázat konvergenci řady s nezápornými členy pomocí podílového kriteria, pak ji lze dokázat i pomocí kriteria odmocninového. Podílové kriterium tedy není silnější, než odmocninové. 118 4.2.13 Další kriteria konvergence Buď ∞ n=1 an řada s kladnými členy. 1. Logaritmické kriterium: Nechť existuje lim ln an ln n = c. Je-li c < −1, pak řada ∞ n=1 an konverguje, je-li c > −1, pak řada ∞ n=1 an diverguje. 2. Raabeovo kriterium: Nechť existuje lim n an an+1 − 1 = c. Je-li c > 1, pak řada ∞ n=1 an konverguje, je-li c < 1, pak řada ∞ n=1 an diverguje. 3. Gaussovo [1777 – 1855] kriterium: Nechť existuje ε > 0 a ohraničená posloupnost {Θn}∞ n=1 takové že an an+1 = λ + µ n + Θn n1+ε . Je-li λ > 1, pak řada ∞ n=1 an konverguje. Je-li λ < 1, pak řada ∞ n=1 an diverguje. Je-li λ = 1 a µ > 1, pak řada ∞ n=1 an konverguje. Je-li λ = 1 a µ ≤ 1, pak řada ∞ n=1 an diverguje. 4.3 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní 4.3.1 Věta Buď {an}∞ n=1 posloupnost. Jestliže konverguje řada ∞ n=1 |an|, pak konverguje i řada ∞ n=1 an. D.: Nechť ∞ n=1 |an| konverguje a buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé m ∈ N a n ≥ n0 platí | |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| | = |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| < ε a tedy |an+1 + an+2 + · · · + an+m| ≤ |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| < ε, což podle 4.1.4 znamená, že ∞ n=1 an konverguje. 4.3.2 Definice Buď {an}∞ n=1 posloupnost. Řekneme, že řada ∞ n=1 an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∞ n=1 |an|. Řekneme, že řada ∞ n=1 an konverguje neabsolutně (relativně), jestliže konverguje, avšak řada ∞ n=1 |an| určitě di- verguje. 4.3.3 Poznámky 1. Jestliže konverguje řada s nezápornými (nekladnými) členy, pak konverguje absolutně. 2. Poněvadž řada ∞ n=1 |an| má nezáporné členy, platí pro absolutní konvergenci analogická kriteria jako v 4.2. 119 3. Konverguje-li řada ∞ n=1 an neabsolutně, pak má podle 4.1.7 nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů. 4.3.4 Věta Jestliže řada ∞ n=1 an konverguje absolutně, pak ∞ n=1 an ≤ ∞ n=1 |an|. D.: Označme sn posloupnost částečných součtů řady ∞ n=1 an a Sn posloupnost částečných součtů řady ∞ n=1 |an|. Pak |sn| = |a1 + a2 + · · · + an| ≤ |a1| + |a2| + · · · + |an| = Sn. Podle 1.3.6.1 a 1.3.5.1 je ∞ n=1 an = lim n→∞ sn = lim n→∞ |sn| ≤ lim n→∞ Sn = ∞ n=1 |an|. 4.3.5 Věta Jestliže řada ∞ n=1 an konverguje absolutně a {cn}∞ n=1 je ohraničená posloupnost, pak řada ∞ n=1 cnan konverguje absolutně. D.: Existuje k ∈ R, že |cn| < k pro každé n ∈ N. Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 a každé m ∈ N platí |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| < ε k . Tedy také |cn+1an+1| + |cn+2an+2| + · · · + |cn+man+m| = |cn+1| |an+1| + |cn+2| |an+2| + · · · + |cn+m| |an+m| < < k|an+1| + k|an+2| + · · · + k|an+m| = k(|an+1| + |an+2| + · · · + |an+m|) < k ε k = ε, a tedy podle 4.1.4 řada ∞ n=1 cnan konverguje. 4.3.6 Definice Řada ∞ n=1 an se nazývá alternující, jestliže platí anan+1 < 0 pro každé n ∈ N. (T.j. členy řady střídají znaménka.) Je-li {an}∞ n=1 posloupnost kladných čísel, pak jsou řady ∞ n=1 (−1)n−1 an a ∞ n=1 (−1)n an alternující. 4.3.7 Věta (Leibnizovo [1646 – 1716] kriterium) Nechť {an}∞ n=1 je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Alternující řada ∞ n=1 (−1)n−1 an konverguje právě tehdy, když lim n→∞ an = 0. D.: Nutnost plyne z 4.1.5. Nechť lim n→∞ an = 0. Poněvadž {an} je nerostoucí posloupnost kladných čísel, pro každé k ∈ N platí ak − ak+1 ≥ 0. Pro všechna n ∈ N a každé m ∈ N sudé platí 0 ≤ (an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + · · · + (an+m−1 − an+m) = = an+1 − (an+2 − an+3) − · · · − (an+m−2 − an+m−1) − an+m ≤ ≤ an+1 , a pro všechna n ∈ N a každé m ∈ N liché platí 0 ≤ (an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + · · · + (an+m−2 − an+m−1) + an+m = = an+1 − (an+2 − an+3) − (an+4 − an+5) − · · · − (an+m−1 − an+m) ≤ ≤ an+1 . 120 Tedy pro všechna n, m ∈ N platí 0 ≤ an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + · · · + (−1)m−1 an+m ≤ an+1 . Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž lim n→∞ an = 0, existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an < ε. Pro libovolné n ≥ n0 a každé m ∈ N tedy platí |(−1)n an+1 + (−1)n+1 an+2 + · · · + (−1)n+m−1 an+m| = = |(−1)n ||an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + · · · + (−1)m−1 an+m| = = an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + · · · + (−1)m−1 an+m ≤ an+1 < ε , což podle 4.1.4 znamená, že řada ∞ n=1 (−1)n−1 an konverguje. 4.3.8 Příklad Leibnizova řada ∞ n=1 (−1)n−1 n konverguje. Poněvadž podle 1.1.2.1 řada ∞ n=1 1 n diverguje, konverguje Leibnizova řada neabsolutně. 4.3.9 Poznámka Předpoklad, že {an}∞ n=1 je nerostoucí posloupnost, nelze v 4.3.7 vynechat. Například řada ∞ n=1 (−1)n 2 + (−1)n n = −1 + 3 2 − 1 3 + 3 4 − 1 5 + 3 6 − · · · − 1 2n + 1 + 3 2n + 2 − · · · diverguje. Kdyby tato řada konvergovala, pak by podle 4.1.8 konvergovala také řada −1 + 3 2 + − 1 3 + 3 4 + − 1 5 + 3 6 +· · ·+ − 1 2n + 1 + 3 2n + 2 +· · · = 1 2 + 5 12 + 9 30 +· · ·+ 4n + 1 4n2 + 6n + 2 +· · · , avšak podle 4.2.6 řada n n=0 4n+1 4n2+6n+2 diverguje, neboť lim n→∞ 4n+1 4n2+6n+2 1 n = lim n→∞ 4n2 + n 4n2 + 6n + 2 = 1 a harmonická řada ∞ n=1 1 n podle 4.2.3 diverguje. 4.3.10 Další kriteria neabsolutní konvergence 1. Dirichletovo [1805 – 1859] kriterium Nechť {cn}∞ n=1 je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel s lim n→∞ cn = 0 a nechť posloupnost částečných součtů řady ∞ n=1 an je ohraničená. Pak řada ∞ n=1 cnan konverguje. 2. Abelovo [1802 – 1829] kriterium Nechť řada ∞ n=1 an konverguje a {cn}∞ n=1 je monotonní ohraničená posloupnost. Pak řada ∞ n=1 cnan kon- verguje. 121 4.3.11 Definice Nechť {λn}∞ n=1 je permutace množiny N (posloupnost přirozených čísel taková, že každé číslo se v ní vyskytuje právě jednou) a nechť ∞ n=1 an je nekonečná řada. Pak řada ∞ n=1 aλn se nazývá přeřazením řady ∞ n=1 an. (Řada ∞ n=1 aλn vznikla z řady ∞ n=1 an přeřazením.) Například: a1 + a2 + a3 + a4 + · · · a2 + a1 + a4 + a3 + a6 + a5 + · · · a1 + a3 + a2 + a5 + a7 + a4 + a9 + a11 + a6 + · · · 4.3.12 Definice Řekneme, že pro konvergentní řadu ∞ n=1 an platí komutativní zákon, jestliže každá řada ∞ n=1 aλn vzniklá z této řady přeřazením konverguje a má týž součet. Řada, pro niž platí komutativní zákon, se nazývá bezpodmínečně konvergentní, řada, pro niž neplatí komutativní zákon, se nazývá podmíněně konvergentní. 4.3.13 Věta Pro absolutně konvergentní řadu ∞ n=1 an platí komutativní zákon, t.j. absolutně konvergentní řada je bezpodmínečně konvergentní. D.: Nechť ∞ n=1 |an| konverguje a buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje r ∈ N takové, že pro každé n ≥ r, m ∈ N platí |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| < ε. Čísla 1, 2, . . . , r se vyskytují v permutaci {λn}∞ n=1 množiny N. Poněvadž jich je konečně mnoho, existuje t ∈ N, že {1, 2, . . ., r} ⊆ {λn}t n=1. Pro libovolné n ≥ t a k ∈ N platí aλn+1 + aλn+2 + · · · + aλn+k ≤ |ar+1| + |ar+2| + · · · + |ar+m|, kde r + m je největší z indexů λn+1, λn+2, . . . , λn+k. Tedy aλn+1 + aλn+2 + · · · + aλn+k < ε a podle 4.1.4 řada ∞ n=1 aλn konverguje absolutně. Označme sn částečné součty řady ∞ n=1 an a Sn částečné součty řady ∞ n=1 aλn . Pro n ≥ max{r, t} platí |sn − Sn| = |a1 + a2 + · · · + ar + ar+1 + ar+2 + · · · + an − (aλ1 + aλ2 + · · · + aλn )| ≤ ≤ |ar+1| + |ar+2| + · · · + |ar+m| < ε, tedy lim n→∞ (sn − Sn) = 0, což znamená lim n→∞ sn = lim n→∞ Sn. 4.3.14 Lemma Nechť ∞ n=1 an je neabsolutně konvergentní řada. Pak řada sestavená z jejích kladných (resp. záporných) členů je určitě divergentní k +∞ (resp. k −∞). D.: Nechť ∞ n=1 pn je řada s kladnými členy sestavená z kladných členů řady ∞ n=1 an a ∞ n=1 (−qn) je řada s kladnými členy sestavená ze záporných členů řady ∞ n=1 an. Označme sn částečné součty řady ∞ n=1 an, s+ n částečné součty řady ∞ n=1 pn, s− n částečné součty řady ∞ n=1 (−qn). Buďte k, l taková přirozená čísla, že sn = s+ k − s− l . Přitom k + l = n a pro n → ∞ také k → ∞, l → ∞. Kdyby lim k→∞ s+ k ∈ R a lim l→∞ s− l ∈ R, pak by |a1| + |a2| + · · · + |an| = s+ k + s− l , z čehož by vyplynulo, že řada 122 ∞ n=1 an konverguje absolutně. Kdyby lim k→∞ s+ k = ∞ a lim l→∞ s− l ∈ R, pak by podle 1.3.12.2 a 1.3.4 platilo lim l→∞ sn = ∞ a řada ∞ n=1 an by divergovala. Kdyby lim k→∞ s+ k ∈ R a lim l→∞ s− l ∞, pak by platilo lim l→∞ sn = −∞ a řada ∞ n=1 an by divergovala. Podle 4.2.1 tedy je lim k→∞ s+ k = lim l→∞ s− l = ∞. 4.3.15 Věta (Riemann [1826 – 1866]) Z libovolné neabsolutně konvergentní řady lze vhodným přeřazením obdržet řadu konvergentní k libovolnému předem danému číslu, řadu určitě divergentní nebo řadu oscilující. D.: Nechť ∞ n=1 an je neabsolutně konvergentní řada a nechť {pn}∞ n=1 je posloupnost jejích kladných členů, {−qn}∞ n=1 je posloupnost jejích zápornných členů. Podle 4.3.14 jsou řady ∞ n=1 pn, ∞ n=1 qn určitě divergentní k +∞. Buď a ∈ R libovolné. Buď n1 ∈ N nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + · · · + pn1 > a . Buď m1 ∈ N nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 < a . Dále buď n2 > n1 nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 > a a m2 > m1 nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 − qm1+1 − qm1+2 − · · · − qm2 < a . Atd. Výsledkem je jistá řada vzniklá přeřazením řady ∞ n=1 an. Nechť {sn}∞ n=1 je její posloupnost částečných součtů. Je-li sn > a, pak sn − a poslední záporný člen. Tedy ql < sn − a < pk pro vhodná k, l. Poněvadž ∞ n=1 an konverguje, je podle 4.1.5 lim l→∞ ql = lim k→∞ pk = 0 a tedy lim n→∞ sn = a. Dále ukážeme, že řadu ∞ n=1 an lze přeřadit tak, aby vzniklá řada divergovala k +∞. Buď n1 ∈ N takové, že p1 + p2 + · · · + pn1 > 1 . Buď n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 > 2 . Buď n3 ∈ N, n3 > n2 takové, že p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 − q2 + pn2+1 + pn2+2 + · · · + pn3 > 3 . Atd. Výsledkem je řada určitě divergující k +∞. 123 Analogicky lze ukázat, že řadu ∞ n=1 an lze přeřadit tak, aby vzniklá řada divergovala k −∞. Nakonec řadu ∞ n=1 an přeřadíme tak, aby výsledkem byla řada oscilující. Buď n1 ∈ N takové, že p1 + p2 + · · · + pn1 > 1 . Buď m1 ∈ N takové, že p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 < −1 . Buď n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 > 1 . Atd. Výsledkem je oscilující řada. Z Riemannovy věty plyne, že neabsolutně konvergentní řada je podmíněně konvergentní. 4.4 Dvojné řady 4.4.1 Definice Zobrazení f : N2 → R se nazývá dvojná posloupnost. Zápis: f(m, n) = fmn, nebo amn, bmn, . . . {amn}∞ m,n=1, stručně {amn} Čísla amn se nazývají členy této posloupnost. Lze je uspořádat do schématu (nekonečné matice): a11 a12 a13 . . . a21 a22 a23 . . . a31 a32 a33 . . . ... ... ... ... 4.4.2 Poznámky Snadno lze definovat ohraničenost dvojné posloupnosti: Existují konstanty k, K ∈ R že pro všechna m, n ∈ N je k ≤ amn ≤ K. Nelze definovat monotonnost dvojné posloupnosti. Lze definovat monotonnost vzhledem k jednomu indexu: {amn}∞ m,n=1 je monotonní vzhledem k druhému indexu, je-li posloupnost {amn}∞ n=1 monotonní pro každé m ∈ N. 4.4.3 Definice Řekneme, že dvojná posloupnost {amn}∞ m,n=1 má limitu a ∈ R, jestliže ke každému ε > 0 existují čísla m0, n0 ∈ N taková, že pro každá dvě m, n ∈ N, m ≥ m0, n ≥ n0 platí |amn − a| < ε. Píšeme lim m,n→∞ amn = a, lim amn = a, amn → a. Má-li posloupnost {amn} limitu a ∈ R, řekneme, že je konvergentní. 4.4.4 Poznámky 1. Analogicky lze definovat nevlastní limity dvojné posloupnosti. 2. Některé věty o limitách posloupnosti lze snadno přenést na dvojné posloupnosti. Zejména 1.3.3, 1.3.5.1–3, 1.3.6 a 1.3.7. 124 3. Konvergentní dvojná posloupnost nemusí být ohraničená. Například 1 2 3 4 . . . 1 1 1 1 . . . 1 1 1 1 . . . 1 1 1 1 . . . ... ... ... ... ... má limitu 1 a není ohraničená. 4.4.5 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Dvojná posloupnost {amn} konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé dvě dvojice (m, n), (p, q) ∈ N2 takové, že m ≥ n0, n ≥ n0, p ≥ n0, q ≥ n0 platí |amn − apq| < ε. D.: „⇒“ Triviální (analogicky jako 1.3.22). „⇐“ Položme bn = ann (diagonální posloupnost). {bn}∞ n=1 je cauchyovská, existuje tedy lim n→∞ bn = a ∈ R. Ukážeme, že také lim m,n→∞ amn = a. Buď ε > 0 libovolné. K ε 2 > 0 existuje n1 ∈ N, že pro m ≥ n1, n ≥ n1, p ≥ n1, q ≥ n1 platí |amn − apq| < ε 2 . K ε 2 > 0 existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 platí |bn − a| < ε 2 . Pro každé n ≥ n0 = max{n1, n2} platí |amn − a| = |amn − ann + bn − a| ≤ |amn − ann| + |bn − a| < ε 2 + ε 2 = ε. 4.4.6 Definice Buď {amn}∞ m,n=1 dvojná posloupnost a položme smn = m i=1 n j=1 aij = i ≤ m j ≤ n aij . Dvojná posloupnost {smn} se nazývá posloupnost částečných součtů dvojné řady ∞ m,n=1 amn = amn. Řekneme, že dvojná řada amn konverguje a má součet s, jestliže lim m,n→∞ smn = s ∈ R. Řekneme, že tato dvojná řada určitě diverguje k ∞ (k −∞), jestliže lim m,n→∞ smn = ∞ ( lim m,n→∞ smn = −∞). 4.4.7 Poznámky Snadno lze dokázat následující tvrzení: 1. Nutná podmínka konvergence dvojné řady ∞ m,n=1 amn je lim m,n→∞ amn = 0. (amn = smn − sm−1 n − sm n−1 + sm−1 n−1) 2. Cauchyovo - Bolzanovo kriterium: Dvojná řada ∞ m,n=1 amn konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé dvě dvojice (m, n), (p, q) ∈ N2 takové, že m ≥ n0, n ≥ n0 platí n ≤ i ≤ n + p m ≤ j ≤ m + q aij < ε . 125 3. Jestliže ∞ m,n=1 amn = a ∈ R, ∞ m,n=1 bmn = b ∈ R, c1, c2 ∈ R, pak ∞ m,n=1 (c1amn + c2bmn) = c1 ∞ m,n=1 amn + c2 ∞ m,n=1 bmn. 4. Nechť amn ≥ 0 pro všechna m, n ∈ N. Dvojná řada ∞ m,n=1 amn konverguje právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů je shora ohraničená. 5. Nechť pro všechna m, n ∈ N platí 0 ≤ amn ≤ bmn. Potom: konverguje-li řada ∞ m,n=1 bmn, pak konverguje i řada ∞ m,n=1 amn; diverguje-li řada ∞ m,n=1 amn, pak diverguje i řada ∞ m,n=1 bmn. 6. Konverguje-li řada ∞ m,n=1 |amn|, pak konverguje i řada ∞ m,n=1 amn. 4.4.8 Definice Řekneme, že dvojná řada ∞ m,n=1 amn konverguje absolutně, jestliže konverguje dvojná řada ∞ m,n=1 |amn|. 4.4.9 Věta (komutativní zákon pro dvojné řady) Nechť dvojná řada ∞ m,n=1 amn konverguje absolutně a nechť N2 = k∈I Nk je disjunktní rozklad množiny N2 a nechť každá množina Nk je vyjádřena ve tvaru konečné nebo spočetné posloupnosti. Je-li množina Nk nekonečná, pak řada (m,n)∈Nk amn absolutně konverguje. Označíme-li (m,n)∈Nk amn = zk, pak platí k∈I zk = ∞ m,n=1 amn. Přitom je-li množina I nekonečná, řada k∈I zk konverguje absolutně. Náznak důkazu: Množinu N2 lze vyjádřit jako prostou posloupnost {(m1, n1), (m2, n2), . . . , (ml, nl), . . . }. Označíme-li bl = aml,nl , lze řadu ∞ l=1 bl považovat za přeřazení dvojné řady ∞ m,n=1 amn. Podle 4.3.13 řada ∞ l=1 bl konverguje absolutně a platí ∞ l=1 bl = ∞ m,n=1 amn. Zřejmě (m,n)∈Nk |amn| ≤ ∞ m,n=1 |amn| a tedy podle 4.4.7.4 řada (m,n)∈Nk amn konverguje absolutně. Řadu k zk = k (m,n)∈Nk amn lze považovat za přeřazení řady ∞ l=1 bl. Podle 4.3.13 řada k zk konverguje absolutně a platí k zk = l bl. (Podrobný důkaz viz např. Jarník, Diferenciální počet II, Věta 39) 4.4.10 Sumační metody dvojných řad Konstrukce popsaná v předchozí větě se nazývá sumační metoda dvojné řady. Aplikovat sumační metodu na dvojnou řadu amn znamená — Množinu N2 vyjádřit jako sjednocení konečné nebo spočetné posloupnosti po dvou disjunktních množin Nk. — Každou množinu Nk uspořádat do konečné nebo spočetné posloupnosti. 126 — Utvořit součty (řady) (m,n)∈Nk amn = zk. — Utvořit součet (řadu) k zk. Jestliže dvojná řada amn konverguje absolutně, pak konverguje absolutně i každá takto vytvořená řada a platí amn = zk. Některé významné sumační metody: • Sumace po čtvercích N1 = {(1, 1)} N2 = {(2, 1), (2, 2), (1, 2)} N3 = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3)} ... Pak amn = a11 + (a21 + a22 + a12) + (a31 + a32 + a33 + a23 + a13) + · · · • Sumace po diagonálách N1 = {(1, 1)} N2 = {(2, 1), (1, 2)} N3 = {(3, 1), (2, 2), (1, 3)} ... Pak amn = a11 + (a21 + a12) + (a31 + a22 + a13) + · · · • Dvojnásobné řady Nk = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), . . .} (k-tý řádek) nebo Nk = {(1, k), (2, k), (3, k), . . .} (k-tý sloupec) Pak ∞ m,n=1 amn = ∞ m=1 ∞ n=1 amn nebo ∞ m,n=1 amn = ∞ n=1 ∞ m=1 amn 4.5 Součin řad 4.5.1 Definice Buďte ∞ n=1 an, ∞ n=1 bn nekonečné řady. Jejich součinem rozumíme dvojnou řadu ∞ m,n=1 cmn, kde cmn = ambn. 4.5.2 Věta Nechť řady ∞ n=1 an = a, ∞ n=1 bn = b konvergujíabsolutně. Pak jejich součin ∞ m,n=1 cmn konvergujerovněžabsolutně a platí ∞ m,n=1 cmn = ab. D.: Označme s = |am|, t = |bn|, ρm částečné součty řady |am|, σn částečné součty řady |bn|, ˜ρm částečné součty řady am, ˜σn částečné součty řady bn, smn částečné součty dvojné řady |cmn| = |ambn|. smn = m i=1 n j=1 |aibj| = m i=1 |ai| n j=1 |bj| = ρmσn ≤ st a podle 4.4.7.4 |cmn| konverguje, tedy cmn konverguje absolutně. Na dvojnou řadu cmn lze aplikovat sumaci po čtvercích. Dostaneme cmn = c11 + (c21 + c22 + c12) + (c31 + c32 + c33 + c23 + c13) + · · · . Částečné součty této řady jsou s1 = c11 = a1b1 = ˜ρ1 ˜σ1 s2 = c11 +(c21 +c22 +c12) = a1b1 +a2b1 +a2b2 +a1b2 = (a1 +a2)b1 +(a1 +a2)b2 = (a1 +a2)(b1 +b2) = ˜ρ2 ˜σ2 127 ... sn = ˜ρn ˜σn Aplikací nějaké sumační metody dostaneme konkrétní tvary součinů řad. Sumace po čtvercích ⇒ Dirichletův součin řad ∞ n=1 an ∞ n=1 bn = a1b1 + (a2b1 + a2b2 + a1b2) + (a3b1 + a3b2 + a3b3 + a2b3 + a1b3) + · · · = = ∞ n=1 an n−1 i=1 bi + anbn + bn n−1 i=1 ai Sumace po diagonálách ⇒ Cauchyův součin řad ∞ n=1 an ∞ n=1 bn = a1b1 + (a2b1 + a1b2) + (a3b1 + a2b2 + a1b3) + · · · = ∞ n=1 n k=1 akbn−k+1 ∞ n=0 an ∞ n=0 bn = ∞ n=0 n k=0 akbn−k 4.5.3 Věta Nechť ∞ n=1 an = a, ∞ n=1 bn = b jsou konvergentní řady a nechť ∞ n=1 cn je jejich Dirichletův součin. Pak ∞ n=1 cn konverguje a platí ∞ n=1 cn = ab. D.: Označíme-li ρn částečné součty řady ∞ n=1 an, σn částečné součty řady ∞ n=1 bn, sn částečné součty řady ∞ n=1 cn, pak analogicky jako v důkazu věty 4.5.2 ukážeme, že sn = ρnσn, z čehož podle 1.3.6.3 vyplyne lim n→∞ sn = ab, tedy ∞ n=1 cn = ab. Poznámka: Pro Cauchyův součin podobné tvrzení neplatí: Položme an = bn = (−1)n √ n + 1 . Podle 4.3.7 řady ∞ n=0 an, ∞ n=0 bn konvergují. Nechť ∞ n=0 cn je jejich Cauchyův součin, tedy cn = (−1)n 1 √ 1 √ n + 1 + 1 √ 2 √ n + 1 √ 3 √ n − 1 + · · · + 1 √ n + 1 √ 1 , |cn| = 1 √ 1 √ n + 1 + 1 √ 2 √ n + 1 √ 3 √ n − 1 + · · · + 1 √ n + 1 √ 1 ≥ ≥ 1 √ n + 1 √ n + 1 + 1 √ n + 1 √ n + 1 + 1 √ n + 1 √ n + 1 + · · · + 1 √ n + 1 √ n + 1 = n + 1 n + 1 = 1 , takže nemůže platit lim n→∞ cn = 0 a podle 4.1.5 řada ∞ n=0 cn nekonverguje. 128 4.5.4 Věta (Mertens [1840 – 1927]) Nechť řady ∞ n=0 an = a, ∞ n=0 bn = b konvergují a alespoň jedna z nich absolutně. Nechť ∞ n=0 cn je jejich Cauchyův součin. Pak ∞ n=0 cn konverguje a platí ∞ n=0 cn = ab. D.: Nechť an konverguje absolutně a označme ρn, resp. σn, resp. sn částečné součty řady an, resp. bn, resp. cn. Pak lim n→∞ ρn = a, lim n→∞ σn = b, sn = a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b1 + a2b0) + · · · + (a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0) = = a0(b0 + b1 + · · · + bn) + a1(b0 + b1 + · · · + bn−1) + · · · + anb0 = = a0σn + a1σn−1 + · · · + anσ0 Označme βn = σn − b. Pak σn = b + βn a lim n→∞ βn = 0. Tedy sn = a0(b + βn) + a1(b + βn−1) + · · · + an(b + β0) = b(a0 + a1 + · · · + an) + a0βn + a1βn−1 + · · · + anβ0 . Označme ωn = a0βn + a1βn−1 + · · · + anβ0 Pak sn = bρn + ωn. Nyní stačí ukázat, že lim n→∞ ωn = 0, neboť lim n→∞ bρn = b lim n→∞ ρn = ab. Řada |an| konverguje, to znamená, že má ohraničené částečné součty, neboli existuje m ∈ R, m > 0, že |a0| + |a1| + · · · + |an| ≤ m, n = 0, 1, 2, . . . lim n→∞ βn = 0, to znamená, že posloupnost {βn}∞ n=0 je ohraničená, neboli existuje k ∈ R, k > 0, že |βn| < k, n = 0, 1, 2, . . . Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž lim n→∞ βn = 0, k číslu ε 2m > 0 existuje n1 ∈ N, že pro každé n ≥ n1 platí |βn| < ε 2m . |an| konverguje, takže podle 4.1.4 k číslu ε 2k > 0 existuje n2 ∈ N, že pro každé n ≥ n2 a p ∈ N platí |an+1| + |an+2| + · · · + |an+p| < ε 2k . Buď n0 = max{n1, n2}. Pro libovolné n > 2n0 platí |ωn| = |a0βn + a1βn−1 + · · · + anβ0| ≤ ≤ |a0| |βn| + |a1| |βn−1| + · · · + |an0 | |βn−n0 | + |an0+1| |βn−n0−1| + · · · + |an| |β0| ≤ ≤ (|a0| + |a1| + · · · + |an0 |) ε 2m + (|an0+1| + |an0+2| + · · · + |an|)k ≤ m ε 2m + ε 2k k = ε , což znamená lim n→∞ ωn = 0. 4.5.5 Věta (Cesàro [1859 – 1906]) Nechť ∞ n=0 an = a, ∞ n=0 bn = b jsou konvergentní řady a nechť ∞ n=0 cn je jejich Cauchyův součin. Je-li {sn}∞ n=0 posloupnost částečných součtů řady ∞ n=0 cn, pak lim n→∞ s0 + s1 + · · · + sn n + 1 = ab. 129 D.: Označme ρn, resp σn částečný součet řady ∞ n=0 an, resp. ∞ n=0 bn a dále αn = ρn − a, βn = σn − b. Pak lim n→∞ ρn = a, lim n→∞ σn = b, lim n→∞ αn = lim n→∞ βn = 0, ρn = a + αn, σn = b + βn. V důkazu věty 4.5.4 jsme ukázali, že sn = a0σn + a1σn−1 + · · · + anσ0. Odtud plyne s0 + s1 + · · · + sn = a0σ0 + (a0σ1 + a1σ0) + · · · + (a0σn + a1σn−1 + · · · + anσ0) = = (a0 + a1 + · · · + an)σ0 + (a0 + a1 + · · · + an−1)σ1 + · · · + a0σn = = (a + αn)(b + β0) + (a + αn−1)(b + β1) + · · · + (a + α0)(b + βn) = = (n + 1)ab + a(β0 + β1 + · · · + βn) + b(α0 + α1 + · · · + αn) + +αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn . Dále s0 + s1 + · · · + sn n + 1 = ab + a β0 + β1 + · · · + βn n + 1 + b α0 + α1 + · · · + αn n + 1 + αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn n + 1 . Podle 4.1.12 je lim n→∞ β0 + β1 + · · · + βn n + 1 = lim n→∞ α0 + α1 + · · · + αn n + 1 = 0. K dokončení důkazu tedy stačí ukázat, že lim n→∞ αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn n + 1 = 0. Posloupnosti {αn}, {βn} jsou podle 1.3.4 ohraničené, a tedy existuje k ∈ R, k > 0 takové, že |αn| ≤ k, |βn| ≤ k pro každé n ∈ N. Buď nyní ε > 0 libovolné. K ε k > 0 existuje n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je |αn| < ε k a existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 je |βn| < ε k . Buď n0 = max{n1, n2}. Pro n > 2n0 platí |α0βn + α1βn−1 + · · · + αn0 βn−n0 + αn0+1βn−n0−1 + · · · + αnβ0| ≤ (|α0| |βn| + |α1| |βn−1| + · · · + |αn0 | |βn−n0 |) + (|αn0+1| |βn−n0−1| + · · · + |αn| |β0|) < k ε k + k ε k + · · · + k ε k + ε k k + ε k k + · · · + ε k k = (n + 1)ε . To znamená, že pro n > n0 je αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn n + 1 < ε. Z 4.1.12 a 4.5.5 bezprostředně plyne 4.5.6 Věta (Abel [1802 – 1829]) Buďte ∞ n=0 an = a, ∞ n=0 bn = b konvergentní řady a ∞ n=0 cn jejich Cauchyův součin. Jestliže ∞ n=0 cn konverguje, pak ∞ n=0 cn = ab. Poznámka: Porovnáním s 4.1.13 vidíme, že platí i obecnější tvrzení: Buďte ∞ n=0 an = a, ∞ n=0 bn = b konvergentní řady. Jestliže jejich Cauchyův součin ∞ n=0 cn konverguje v Cesàrově smyslu, pak ∞ n=0 cn = ab v Cesàrově smyslu. 4.6 Posloupnosti a řady funkcí 4.6.1 Definice Nechť fn, n ∈ N a f jsou reálné funkce takové, že Dom f ⊆ ∞ n=1 Dom fn. Řekneme, že posloupnost funkci {fn}∞ n=1 bodově konverguje k funkci f na množině M ⊆ ∞ n=1 Dom fn a píšeme 130 lim n→∞ fn = f, jestliže pro každé x ∈ M číselná posloupnost {fn(x)} konverguje k f(x), neboli když pro každé x ∈ M je lim n→∞ fn(x) = f(x). Množina x ∈ ∞ n=1 Dom fn : {fn(x)} konverguje , se nazývá obor bodové konvergence posloupnosti funkcí {fn}. Posloupnost funkcí {fn} bodově konverguje k funkci f na množině M, jestliže ke každému ε > 0 a každému x ∈ M existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 je |fn(x) − f(x)| < ε. Všimněme si, že číslo n0 závisí na ε i na x. Má-li každá z funkcí posloupnosti {fn} nějakou vlastnost, limitní funkce f = lim n→∞ fn tutéž vlastnost mít může, ale nemusí. — Jsou-li všechny funkce fn nezáporné (nekladné), je i funkce f nezáporná (nekladná). — Jsou-li všechny funkce fn neklesající (nerostoucí), je i funkce f neklesající (nerostoucí). — Jsou-li všechny funkce fn klesající (rostoucí), nemusí být funkce f klesající (rostoucí). Např. fn(x) = x n , f(x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ x n = 0 — Jsou-li všechny funkce fn ohraničené, nemusí být funkce f ohraničená. Např. fn(x) = n nx + 1 na intervalu (0, ∞), f(x) = lim n→∞ fn(x) = 1 x — Jsou-li všechny funkce fn spojité, nemusí být funkce f spojitá. Např. fn(x) = x2n , x ∈ [−1, 1], f(x) = lim n→∞ fn(x) = 0, x ∈ (−1, 1) 1, |x| = 1 4.6.2 Definice Řekneme, že posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M ⊆ ∞ n=1 Dom fn k funkci f a píšeme fn → → f, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 a každé x ∈ M platí |fn(x) − f(x)| < ε. Všimněme si, že číslo n0 závisí pouze na ε. Jestliže posloupnost funkcí {fn} konverguje na množině M k funkci f stejnoměrně, pak na této množině konverguje k funkci f bodově. Opak obecně neplatí. Je-li množina M uzavřeným intervalem [a, b] a každá z funkcí fn je spojitá, je stejnoměrná konvergence těchto funkcí konvergencí posloupnosti v metrickém prostoru (C[a, b], ρC) (sr. 5.1.2.4). Podle 5.4.2.6 je tento prostor úplný, což znamená, že stejnoměrná limita spojitých funkcí je funkcí spojitou. 4.6.3 Příklady Nechť fn(x) = 2nx 1 + n2x2 . • Posloupnost funkcí {fn} konverguje na intervalu [1, 2] stejnoměrně k funkci f(x) ≡ 0. D.: Buď ε > 0 libovolné. Položme n0 = 2 ε + 1 . Pak n0 > 2 ε , 2 n0 < ε. Pro n ≥ n0 platí |fn(x) − f(x)| = |fn(x)| = 2nx 1 + n2x2 < 2nx n2x2 = 2 nx ≤ 2 n ≤ 2 n0 < ε. • Posloupnost funkcí {fn} konverguje na intervalu [0, 1] bodově k funkci f(x) ≡ 0, ale tato konvergence není stejnoměrná. 131 D.: lim n→∞ 2nx 1 + n2x2 = lim n→∞ 2x n 1 n2 + x2 = 0 pro libovolné x ∈ R. fn( 1 n ) = 2n 1 n 1 + n2 1 n2 = 2 2 = 1 pro každé n ∈ N. Pro ε ∈ (0, 1) je tedy |fn( 1 n ) − f(x)| = |fn( 1 n )| = 1 > ε. 4.6.4 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M ⊆ ∞ n=1 Dom fn právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0, m ≥ n0 a každé x ∈ M platí |fm(x) − fn(x)| < ε. D.: „⇒“ analogie 1.3.22 „⇐“ Pro každé x ∈ M je číselná posloupnost {fn(x)} cauchyovská. Existuje tedy bodová lim n→∞ fn = f. Ukážeme, že fn → → f. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n0 ∈ N, že pro n, m ≥ n0 a každé x ∈ M platí |fm(x) − fn(x)| < ε 2 . Odtud |fn(x) − f(x)| = lim m→∞ |fn(x) − fm(x)| ≤ ε 2 < ε. Poznámka: Posloupnost funkcí, která má vlastnost z 4.6.4, se nazývá stejnoměrně cauchyovská. 4.6.5 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M ⊆ ∞ n=1 Dom fn k funkci f a nechť g je funkce ohraničená na M. Pak gfn → → gf na M. D.: Existuje k ∈ R, že |g(x)| < k pro každé x ∈ M. Buď ε > 0 libovolné. K ε k > 0 existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 a x ∈ M platí |fn(x) − f(x)| < ε k . Nyní pro každé x ∈ M a n ≥ n0 platí |g(x)fn(x) − g(x)f(x)| = |g(x)||fn(x) − f(x)| < k ε k = ε. 4.6.6 Věta Buďte {fn}, {gn} posloupnosti funkcí a M ⊆ ∞ n=1 Dom fn ∩ ∞ n=1 Dom gn Jestliže fn → → f, gn → → g na M pak fn + gn → → f + g na M. D.: Buď ε > 0 libovolné. K ε 2 > 0 existuje n1 ∈ N, že pro všechna x ∈ M a n ≥ n1 je |fn(x) − f(x)| < ε 2 . K ε 2 > 0 existuje n2 ∈ N, že pro všechna x ∈ M a n ≥ n2 je |gn(x) − g(x)| < ε 2 . Tedy pro všechna x ∈ M a n ≥ n0 = max{n1, n2} platí |fn(x) + gn(x) − f(x) − g(x)| ≤ |fn(x) − f(x)| + |gn(x) − g(x)| < ε 2 + ε 2 = ε. 4.6.7 Důsledek Nechť f1 n → → f1 , f2 n → → f2 , . . . , fk n → → fk , c1, c2, . . . , ck ∈ R. Pak c1f1 n + c2f2 n + · · · + ckfk n = k i=1 cifi n → → k i=1 cifi . 132 4.6.8 Definice Buď {fn} posloupnost funkcí, M ⊆ ∞ n=1 Dom fn. Pro každé n ∈ N položme sn = f1 + f2 + · · · + fn. Posloupnost funkcí {sn} se nazývá posloupnost částečných součtů řady funkcí ∞ n=1 fn. Řekneme, že řada funkcí ∞ n=1 fn bodově konverguje na množině M a má zde součet s, jestliže {sn} bodově konverguje k funkci s na M. Množina x ∈ ∞ n=1 Dom fn : fn(x) konverguje , se nazývá obor bodové konvergence řady funkcí ∞ n=1 fn. Řekneme, že řada funkcí ∞ n=1 fn stejnoměrně konverguje na množině M a má zde součet s, jestliže {sn} stejnoměrně konverguje k funkci s na M. ∞ n=1 fn = s bodově na M, jestliže pro každé x ∈ M je ∞ n=1 fn(x) = s(x). Jestliže řada funkcí konverguje na nějaké množině stejnoměrně, pak na ní konverguje bodově. Opak obecně neplatí. 4.6.9 Věta Nechť řady funkcí ∞ n=1 f1 n = s1 , ∞ n=1 f2 n = s2 , . . . , ∞ n=1 fk n = sk konvergují ke svým součtům stejnoměrně na množině M ⊆ k j=1 ∞ n=1 Dom fj n a c1, c2, . . . , ck ∈ R. Pak řada ∞ n=1 k j=1 cjfj n konverguje stejnoměrně k k j=1 cjsj na M. D.: Plyne z 4.6.7. 4.6.10 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Řada funkcí ∞ n=1 fn konverguje stejnoměrně na množině M ⊆ ∞ n=1 Dom fn právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0, m ∈ N a x ∈ M platí |fn+1(x) + fn+2(x) + · · · + fn+m(x)| < ε. D.: Aplikací 4.6.4 na posloupnost částečných součtů. 4.6.11 Definice Řekneme, že řada funkcí ∞ n=1 fn konverguje na množině M ⊆ ∞ n=1 Dom fn absolutně, jestliže pro každé x ∈ M konverguje (číselná) řada ∞ n=1 |fn(x)|. 4.6.12 Věta (srovnávací kriterium) Buďte {fn}∞ n=1 a {gn}∞ n=1 posloupnosti funkcí, M ⊆ ∞ n=1 Dom fn ∩ ∞ n=1 Dom gn a nechť |fn(x)| ≤ gn(x) pro všechna n ∈ N a x ∈ M. Jestliže řada funkcí ∞ n=1 gn konverguje stejnoměrně na M, pak řada funkcí ∞ n=1 fn konverguje na M stejnoměrně a absolutně. D.: Nejprve poznamenejme, že z podmínky |fn(x)| ≤ gn(x) plyne, že všechny funkce gn jsou nezáporné. Absolutní bodová konvergence plyne z 4.2.4. Ukážeme, že konvergence je stejnoměrná. Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.6.10 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0, m ∈ N, x ∈ M platí |gn+1(x) + gn+2(x) + · · · + gn+m(x)| = gn+1(x) + gn+2(x) + · · · + gn+m(x) < ε . 133 Tedy |fn+1(x) + fn+2(x) + · · · + fn+m(x)| ≤ |fn+1(x)| + |fn+2(x)| + · · · + |fn+m(x)| ≤ ≤ gn+1(x) + gn+2(x) + · · · + gn+m(x) < ε . 4.6.13 Důsledek (Weierstrassovo [1815 – 1897] kriterium) Buď {fn}∞ n=1 posloupnosti funkcí, M ⊆ ∞ n=1 Dom fn a nechť pro všechna n ∈ N a x ∈ M platí |fn(x)| ≤ an ∈ R. Jestliže (číselná) řada ∞ n=1 an konverguje, pak řada funkcí ∞ n=1 fn konverguje absolutně a stejnoměrně na M. 4.6.14 Kriteria stejnoměrné konvergence Buď {fn}∞ n=1 posloupnosti funkcí, M ⊆ ∞ n=1 Dom fn. {fn}∞ n=1 se nazývá nerostoucí (resp. neklesající) na M, jestliže pro každé x ∈ M je číselná posloupnost {fn(x)}∞ n=1 nerostoucí (resp. neklesající). Je-li {fn}∞ n=1 nerostoucí nebo neklesající, nazývá se monotonní. {fn}∞ n=1 se nazývá stejnoměrně ohraničená na M, jestliže existuje konstanta k ∈ R taková, že pro všechna x ∈ M a všechna n ∈ N je |fn(x)| ≤ k. 1. Dirichletovo kriterium: Nechť posloupnost funkcí {gn}∞ n=1 je monotonní na M, gn → → 0 na M a posloupnost částečných součtů řady funkcí ∞ n=1 fn je stejnoměrně ohraničená na M. Pak řada ∞ n=1 fngn stejnoměrně konverguje na M. 2. Důsledek Dirichletova kriteria: Nechť číselná posloupnost {an}∞ n=1 je monotonní taková, že lim n→∞ an = 0 a posloupnost částečných součtů řady funkcí ∞ n=1 fn je stejnoměrně ohraničená M. Pak řada funkcí ∞ n=1 anfn stejnoměrně konverguje na M. 3. Abelovo kriterium: Nechť posloupnost funkcí {gn}∞ n=1 je stejnoměrně ohraničená na M a nechť řada funkcí ∞ n=1 fn stejnoměrně konverguje na M. Pak řada ∞ n=1 fngn stejnoměrně konverguje na M. 4.7 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad 4.7.1 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Je-li každá z funkcí fn spojitá v bodě x0 ∈ J, pak je f spojitá v bodě x0. D.: Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž fn → → f na J, existuje n1 ∈ N, že pro n ≥ n1, x ∈ J platí |fn(x) − f(x)| < ε 3 . Poněvadž fn je spojitá v x0, existuje δ > 0, že pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ J platí |fn(x) − fn(x0)| < ε 3 . Poněvadž fn(x0) → f(x0), existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 platí |fn(x0) − f(x0)| < ε 3 . Pro n ≥ max{n1, n2} a každé x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ J platí |f(x) − f(x0)| = |f(x) − fn(x) + fn(x) − fn(x0) + fn(x0) − f(x0)| ≤ ≤ |f(x) − fn(x)| + |fn(x) − fn(x0)| + |fn(x0) − f(x0)| < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε . 134 4.7.2 Důsledek Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Je-li každá z funkcí fn spojitá na J, pak je f spojitá na J. 4.7.3 Věta (Moore [1882–1974] - Osgood [1864–1943]) Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť x0 ∈ J nebo x0 je krajní bod intervalu J a nechť pro všechna n ∈ N existuje lim x→x0 fn(x) = an ∈ R. (V případě, že x0 je krajní bod intervalu J, jedná se o příslušnou jednostrannou limitu.) Pak existuje lim n→∞ an ∈ R a lim x→x0 f(x) ∈ R a platí lim n→∞ an = lim x→x0 f(x), neboli lim n→∞ lim x→x0 fn(x) = lim x→x0 lim n→∞ fn(x) . D.: Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.6.4 existuje n1 ∈ N takové, že pro všechna m, n ≥ n0, x ∈ J platí |fm(x) − fn(x)| < ε 2 . Limitním přechodem pro x → x0 dostaneme |am − an| ≤ ε 2 < ε. Posloupnost {an} je tedy Cauchyovská a podle 1.3.22 existuje lim n→∞ an = a ∈ R. Ukážeme, že lim x→x0 f(x) = a: fn → → f na J ⇒ existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2, x ∈ J je |fn(x) − f(x)| < ε 3 . lim x→x0 fn(x) = an ⇒ existuje δ > 0, že pro x ∈ ((x0 − δ, x0 + δ) \ {x0}) ∩ J je |fn(x) − an| < ε 3 . lim n→∞ an = a ⇒ existuje n3 ∈ N, že pro n ≥ n3 je |an − a| < ε 3 . Pro n ≥ max{n2, n3} platí |f(x) − a| = |f(x) − fn(x) + fn(x) − an + an − a| < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. 4.7.4 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu a x0 ∈ [a, b] je libovolný. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a pro každé x ∈ [a, b] platí x x0 f(t)dt = lim n→∞ x x0 fn(t)dt, neboli x x0 lim n→∞ fn(t) dt = lim n→∞   x x0 fn(t)dt   , přičemž konvergence posloupnosti funkcí na pravé straně je stejnoměrná na intervalu [a, b]. D.: Nejdříve ukážeme, že f = lim n→∞ fn je integrabilní. Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž fn → → f, existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna x ∈ [a, b] platí |fn0 (x) − f(x)| < ε 4(b − a) . Poněvadž funkce fn0 je integrabilní, podle 3.2.10 existuje dělení D = {x0, x1, . . . , xk} ∈ ϑ([a, b]) takové, že S(D, fn0 ) − s(D, fn0 ) < ε 2 . Označme ˜mi = inf{fn0 (x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ˜Mi = sup{fn0 (x) : x ∈ [xi−1, xi]}, mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. 135 Pak | ˜mi − mi| < ε 4(b − a) , | ˜Mi − Mi| < ε 4(b − a) , takže Mi − mi < ˜Mi − ˜mi + ε 2(b − a) . Dále S(D, f) − s(D, f) = k i=1 Mi(xi − xi−1) − k i=1 mi(xi − xi−1) = k i=1 (Mi − mi)(xi − xi−1) ≤ ≤ k i=1 ˜Mi − ˜mi + ε 2(b − a) (xi − xi−1) = = k i=1 ˜Mi − ˜mi (xi − xi−1) + ε 2(b − a) k i=1 (xi − xi−1) = = S(D, fn0 ) − s(D, fn0 ) + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε , což podle 3.2.10 znamená, že funkce f je integrabilní. Označme R[a, b] množinu všech Riemannovsky integrabilních (a tedy ohraničených) funkcí definovaných na intervalu [a, b]. Pro ϕ, ψ ∈ R[a, b] položme ρS(ϕ, ψ) = sup{|ϕ(x) − ψ(x)| : x ∈ [a, b]} . Analogicky jako v 5.1.2.4 ověříme, že (R[a, b], ρS) je metrický prostor a snadno nahlédneme, že stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí integrabilních na intervalu [a, b] je konvergencí posloupnosti v prostoru (R[a, b], ρS). (Podle první části důkazu je prostor (R[a, b], ρS) úplný.) Definujme zobrazení F : R[a, b] → C[a, b] předpisem F(ϕ)(x) = x x0 ϕ(t)dt . Pro ϕ, ψ ∈ R[a, b] platí: ρC(F(ϕ), F(ψ)) = max {|F(ϕ)(x) − F(ψ)(x)| : x ∈ [a, b]} = = max    x x0 ϕ(t)dt − x x0 ψ(t)dt : x ∈ [a, b]    = = max    x x0 (ϕ(t) − ψ(t))dt : x ∈ [a, b]    ≤ ≤ max    x x0 |ϕ(t) − ψ(t)|dt : x ∈ [a, b]    ≤ ≤ max    x x0 sup{|ϕ(τ) − ψ(τ)| : τ ∈ [a, b]}dt : x ∈ [a, b]    = = max {|(x − x0)| ρS(ϕ, ψ) : x ∈ [a, b]} = max {(b − x0), (x0 − a)} ρS(ϕ, ψ) . Označíme-li tedy L = max{(b − x0), (x0 − a)}, je ρC(F(ϕ), F(ψ)) ≤ LρS(ϕ, ψ), což znamená, že F je Lipschitzovské zobrazení a podle 5.5.10 spojité. Podle 5.5.3 převádí spojité zobrazení metrických prostorů konvergentní posloupnost na konvergentní posloupnost a platí lim n→∞ F(fn) = F lim n→∞ fn , což je formule z tvrzení věty. Navíckonvergenceposloupnosti v prostoruC[a, b] je stejnoměrnou konvergencí posloupnosti funkcí. 136 4.7.5 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a platí b a f(t)dt = lim n→∞ b a fn(t)dt, neboli b a lim n→∞ fn(t) dt = lim n→∞   b a fn(t)dt   . D.: plyne bezprostředně z 4.7.4 a z toho, že z konvergence stejnoměrné plyne bodová. 4.7.6 Věta Buď {fn} posloupnost funkcí diferencovatelných na otevřeném intervalu J ⊆ Dom fn. Nechť existuje x0 ∈ J takový bod, že (číselná) posloupnost {fn(x0)} konverguje. Jestliže posloupnost funkcí {f′ n} konverguje stejnoměrně na J, pak posloupnost {fn} konverguje stejnoměrně na J k diferencovatelné funkci f, pro niž platí f′ (x) = lim n→∞ f′ n(x) pro každé x ∈ J, neboli lim n→∞ fn(x) ′ = lim n→∞ f′ n(x) , tj. d dx lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ d dx fn(x) . D.: Především poznamenejme, že vzhledem k 3.3.16 zůstává věta 4.7.4 v platnosti, zaměníme-li [a, b] za (a, b). Podle 3.4.3 a 3.1.5 existuje posloupnost {cn} taková, že fn(x) = cn + x x0 f′ n(t)dt . Odtud plyne, že fn(x0) = cn a tedy podle předpokladu existuje c = lim n→∞ cn. Podle předpokladu dále existuje funkce g taková, že f′ n → → g na J. Pro x ∈ J položme f(x) = c + x x0 g(t)dt . Funkce f je podle 3.4.3 diferencovatelná. Podle 4.7.4 x0 f′ n(t)dt → → x0 g(t)dt, takže fn = cn + x0 f′ n(t)dt → → c + x0 g(t)dt = f a podle 3.4.3 pro každé x ∈ J je f′ (x) = g(x) = lim n→∞ f′ n(x). Poznámky: 1. Předpoklad o existenci x0 ∈ J takového, že existuje lim n→∞ fn(x0) ∈ R nelze obecně vynechat. Např.: fn(x) ≡ n, f′ n ≡ 0 → → 0, avšak {fn} nekonverguje. 2. Z předpokladu stejnoměrné konvergence posloupnosti diferencovatelných funkcí {fn} neplyne (ani bodová) konvergence posloupnosti funkcí {f′ n}. Např.: fn(x) = 1 n sin nx, J = (−2π, 2π). Pak fn → → 0, f′ n(x) = cos nx, f′ n(π) = cos nπ = (−1)n . Následující věty plynou z předchozích užitím posloupnosti částečných součtů řady funkcí. 4.7.7 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Je-li každá z funkcí fn spojitá na J, pak je f spojitá na J. 137 4.7.8 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť x0 ∈ J nebo x0 je krajní bod intervalu J a nechť pro všechna n ∈ N existuje lim x→x0 fn(x) = an ∈ R. (V případě, že x0 je krajní bod intervalu J, jedná se o příslušnou jednostrannou limitu.) Pak řada an konverguje, existuje lim x→x0 f(x) ∈ R a platí an = lim x→x0 f(x), neboli lim x→x0 fn(x) = lim x→x0 fn(x) . 4.7.9 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu a x0 ∈ [a, b] je libovolný. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a pro každé x ∈ [a, b] platí x x0 f(t)dt = x x0 fn(t)dt, neboli x x0 fn(t) dt =   x x0 fn(t)dt   , přičemž konvergence řady funkcí na pravé straně je stejnoměrná na intervalu [a, b]. 4.7.10 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a platí b a f(t)dt = b a fn(t)dt, neboli b a fn(t) dt =   b a fn(t)dt   . 4.7.11 Věta Buď fn řada funkcí diferencovatelných na otevřeném intervalu J ⊆ Dom fn. Nechť existuje x0 ∈ J takový bod, že (číselná) řada fn(x0) konverguje. Jestliže řada funkcí f′ n konverguje stejnoměrně na J, pak řada fn konverguje stejnoměrně na J k diferencovatelné funkci f, pro niž platí f′ (x) = f′ n(x) pro každé x ∈ J, neboli fn(x) ′ = f′ n(x) , tj. d dx fn(x) = d dx fn(x) . 4.8 Mocninné řady 4.8.1 Definice Buď {an}∞ n=0 posloupnost reálných čísel, x0 ∈ R. Mocninná (potenční) řada se středem x0 a koeficienty an je řada funkcí ∞ n=0 an(x − x0)n . Specielně pro x0 = 0 jde o řadu ∞ n=0 anxn = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + · · · . Substituce y = x − x0 převede řadu ∞ n=0 an(x − x0)n v řadu ∞ n=0 anyn . Proto se v první části tohoto odstavce (po 4.8.11) omezíme na mocninné řady tvaru ∞ n=0 anxn . 138 Mocninná řada konverguje ve svém středu a má zde součet a0. 4.8.2 Definice Buď ∞ n=0 anxn mocninná řada. Jestliže tato řada konverguje pro každé x ∈ R, řekneme, že řada ∞ n=0 anxn vždy konverguje. Jestliže tato řada pro každé x = 0 diverguje, řekneme, že řada ∞ n=0 anxn vždy diverguje. Příklady: 1. Řada ∞ n=1 nn xn vždy diverguje. Buď x1 ∈ R libovolné. Pro n ≥ 2 |x1| je |nn xn 1 | ≥ 2n → ∞, a tedy nemůže být lim n→∞ nn xn 1 = 0. Podle 4.1.5 (číselná) řada ∞ n=1 nn xn 1 diverguje. 2. Řada ∞ n=1 xn n! vždy konverguje. lim n→∞ xn+1 (n+1)! xn n! = lim n→∞ |x| n + 1 = 0, takže podle 4.2.11 číselná řada ∞ n=1 xn n! řada absolutně konverguje. 4.8.3 Věta Buď ∞ n=0 anxn mocninná řada. Jestliže existuje x0 ∈ R takové, že (číselná) řada ∞ n=0 anxn 0 konverguje, pak pro každé x ∈ R, |x| < |x0| řada ∞ n=0 anxn konverguje absolutně. Jestliže existuje x0 ∈ R takové, že (číselná) řada ∞ n=0 anxn 0 diverguje, pak pro každé x ∈ R, |x| > |x0| řada ∞ n=0 anxn diverguje. Jestliže mocninná řada ∞ n=0 anxn ani vždy nekonverguje, ani vždy nediverguje, pak existuje r ∈ R takové, že tato řada konverguje absolutně pro každé x ∈ R, |x| < r a diverguje pro každé x ∈ R, |x| > r. D.: • Nechť ∞ n=0 anxn 0 konverguje. Buď x ∈ R, |x| < x0. Poněvadž ∞ n=0 anxn 0 konverguje, podle 4.1.5 je lim n→∞ |anxn 0 | = 0 a tedy podle 1.3.4 existuje k ∈ R, že |anxn 0 | ≤ k pro každé n ∈ N. Pro x ∈ R, |x| < |x0| platí |anxn | = anxn 0 xn xn 0 = |anxn 0 | x x0 n < k x x0 n . Podle 4.1.3 řada ∞ n=0 k x x0 n konverguje a tedy podle 4.2.4 konverguje i řada ∞ n=0 |anxn |, neboli ∞ n=0 anxn konverguje absolutně. • Nechť ∞ n=0 anxn 0 diverguje. Kdyby existovalo x1 ∈ R, |x1| > |x0| takové, že by ∞ n=0 anxn 1 konvergovala, pak by podle již dokázané části konvergovala i řada ∞ n=0 anxn 0 . • Označme M = x ∈ R : x ≥ 0, ∞ n=0 anxn konverguje . Poněvadž ∞ n=0 anxn vždy nediverguje, existuje podle předchozího tvrzení horní závora množiny M. Podle 1.1.7 existuje r = sup M ∈ R. 139 Je-li x ∈ R, |x| > r, pak x ∈ M, ∞ n=0 anxn diverguje. Je-li x ∈ R, |x| < r, pak podle 1.1.6(s2∗ ) existuje x0 ∈ M takové, že x0 > |x|. Podle prvního tvrzení řada ∞ n=0 anxn konverguje absolutně. 4.8.4 Definice Číslo r z 4.8.3 se nazývá poloměr konvergence mocninné řady ∞ n=0 anxn , a otevřený interval (−r, r) se nazývá konvergenční interval této řady. Jestliže řada ∞ n=0 anxn vždy konverguje, klademe r = ∞, jestliže tato řada vždy diverguje, klademe r = 0. Příklad: ∞ n=1 xn n Pro x = 1 se jedná o řadu harmonickou, tedy podle 1.1.2.1 divergentní. Pro x = −1 se jedná o řadu Leibnizovu, tedy podle 4.3.8 konvergentní. V tomto případě je tedy r = 1, konvergenční interval je (−1, 1), obor konvergence je [−1, 1). 4.8.5 Věta (Cauchy [1789 –1857] - Hadamard [1865 – 1963]) Buď anxn mocninná řada a r její poloměr konvergence. Pak 1 r = lim sup n→∞ n |an| . Přitom klademe r = 0 pro lim sup n→∞ n |an| = ∞ a r = ∞ pro lim sup n→∞ n |an| = 0. D.: • Nechť lim sup n→∞ n |an| = 0. Ukážeme, že anxn vždy konverguje. Buď x0 ∈ R, x0 = 0 libovolné. Pak 1 2|x0| > 0 = lim sup n→∞ n |an|. Tedy existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 platí 1 2|x0| > n |an|, tedy 1 2 n 1 |x0|n > |an|. Odtud |an| |x0|n < 1 2 n . Řada 1 2 n podle 4.1.3 konverguje a tedy podle 4.2.4 řada anxn 0 konverguje absolutně. • Nechť lim sup n→∞ n |an| = ∞. Ukážeme, že anxn vždy diverguje. Buď x0 ∈ R, x0 = 0 libovolné. Pak pro nekonečně mnoho indexů n platí n |an| > 1 |x0| a tedy pro nekonečně mnoho indexů n platí |an| |x0|n > 1. To znamená, že nemůže být lim n→∞ anxn 0 = 0 a tedy podle 4.1.5 řada anxn 0 diverguje. • Nechť 0 < a = lim sup n→∞ n |an|. – Buď x0 ∈ R, 0 < |x0| < 1 a . Ukážeme, že anxn 0 konverguje. Zvolme b ∈ R, |x0| < b < 1 a . Pak 1 b > a a tedy existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je n |an| < 1 b . Odtud n |an| |x0| < |x0| b , |anxn 0 | < 1 bn |x0|n = |x0| b n . Poněvadž |x0| b < 1, řada |x| b n podle 4.1.3 konverguje, a tedy podle 4.2.4 řada anxn 0 konverguje absolutně. – Buď x0 ∈ R, |x0| > 1 a . Ukážeme, že anxn 0 diverguje. Pro nekonečně mnoho indexů n platí n |an| > 1 |x0| , |anxn 0 | > 1 a nemůže být lim n→∞ |anxn 0 | = 0. Podle 4.1.5 řada anxn 0 diverguje. 140 4.8.6 Důsledek Buď {an} posloupnost kladných čísel. Jestliže existuje lim n→∞ an+1 an = a ∈ R∗ , pak mocninná řada anxn má poloměr konvergence r = 1 a (přitom klademe r = 0 pro a = ∞ a r = ∞ pro a = 0). D.: Plyne z 4.2.12. 4.8.7 Věta Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak tato řada konverguje stejnoměrně na libovolném uzavřeném intervalu [a, b] ⊆ (−r, r). Konverguje-li řada anrn , pak mocninná řada anxn konverguje stejnoměrně na uzavřeném intervalu [a, r] pro libovolné a ∈ (−r, r). Konverguje-li řada an(−r)n , pak mocninná řada anxn konverguje stejnoměrně na uzavřeném intervalu [−r, a] pro libovolné a ∈ (−r, r). D.: Položme c = r − 1 2 (r − max{|a|, |b|}). Pak pro každé x0 ∈ [a, b] je |x0| < c, tedy |anxn 0 | < |ancn |. Podle 4.8.3 řada |ancn | konverguje a tedy podle 4.6.13 řada anxn konverguje absolutně a stejnoměrně na [a, b]. Nechť řada anrn konverguje. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat r = 1. (V opačném případě lze použít substituci x → x r .) (Číselná) řada an = an1n konverguje. Ukážeme, že řada funkcí anxn konverguje stejnoměrně na [0, 1]. Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 a libovolné m ∈ N je |an+1 + an+2 + · · · + an+m| < ε 2 . Buď x ∈ [0, 1). Pak |an+1xn+1 + an+2xn+2 + · · · + an+mxn+m | = = |an+1(xn+1 − xn+2 + xn+2 − xn+3 + xn+3 − · · · − xn+m + xn+m ) + +an+2(xn+2 − xn+3 + xn+3 − · · · − xn+m + xn+m ) + · · · + +an+m−1(xn+m−1 − xn+m + xn+m ) + an+mxn+m | = = |an+1(xn+1 − xn+2 ) + (an+1 + an+2)(xn+2 − xn+3 ) + +(an+1 + an+2 + an+3)(xn+3 − xn+4 ) + · · · + (an+1 + an+2 + · · · + an+m−1)(xn+m−1 − xn+m ) + +(an+1 + an+2 + · · · + an+m)xn+m | = = |(1 − x)[an+1xn+1 + (an+1 + an+2)xn+2 + (an+1 + an+2 + an+3)xn+3 + · · · + +(an+1 + an+2 + · · · + an+m−1)xn+m−1 ] + (an+1 + an+2 + · · · + an+m)xn+m | ≤ ≤ (1 − x)ε(xn+1 + xn+2 + xn+3 + · · · + xn+m−1 ) + εxn+m = = (1 − x) ε 2 xn+1 1 − xn+m−1 1 − x + ε 2 xn+m = ε 2 (xn+1 − x2n+m + xn+m ) ≤ εxn+1 < ε . Tedy pro každé x ∈ [0, 1] je |an+1xn+1 + an+2xn+2 + · · · + an+mxn+m | < ε, což podle 4.6.10 znamená, že řada funkcí anxn konverguje stejnoměrně na [0, 1]. Třetí tvrzení lze dokázat analogicky. 4.8.8 Věta (Abel [1802 – 1829]) Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r. Pak součet s této řady je funkce spojitá na intervalu (−r, r). Nechť 0 < r < ∞ a řada anrn (resp. řada an(−r)n ) je konvergentní. Pak součet s řady anxn je funkce zleva spojitá v bodě r (resp. zprava spojitá v bodě −r). D.: Věta plyne z 4.8.7, 4.7.7 a 4.7.8. 141 4.8.9 Poznámky 1. Nechť mocninná řada ∞ n=0 anxn má poloměr konvergence r. Pak řada ∞ n=0 an n + 1 xn+1 = ∞ n=1 an−1 n xn = x 0 ∞ n=0 antn dt má také poloměr konvergence r. (sr. 4.7.9) D.: lim sup n→∞ n |an| n + 1 = lim sup n→∞ n 1 n + 1 · lim sup n→∞ n |an| = 1 · r = r 2. Nechť mocninná řada ∞ n=0 anxn má poloměr konvergence r. Pak řada ∞ n=0 (n + 1)an+1xn = ∞ n=1 nanxn−1 = ∞ n=0 anxn ′ má také poloměr konvergence r. (sr. 4.7.11) 3. Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r. Pak součet s(x) této řady má na (−r, r) derivace všech řádů, přičemž k-tou derivaci obdržíme k-násobným derivováním této řady „člen po členu“ a vzniklá mocninná řada má opět poloměr konvergence r. 4.8.10 Příklad arctg(x) = x 0 d dt arctg tdt = x 0 dt 1 + t2 = x 0 ∞ n=0 (−1)n t2n dt = = ∞ n=0 (−1)n x 0 t2n dt = ∞ n=0 (−1)n t2n+1 2n + 1 x 0 = ∞ n=0 (−1)n x2n+1 2n + 1 π 4 = arctg 1 = ∞ n=0 (−1)n 1 2n + 1 ⇒ π = 4 ∞ n=0 (−1)n 1 2n + 1 4 499999 n=0 (−1)n 1 2n + 1 = 3.141590653589793240462643383269502884197 (Podtržením jsou vyznačeny nesprávné cifry; jsou čtyři na prvních čtyřiceti desetinných místech.) 4.8.11 Definice Buď f funkce, která má v bodě x0 ∈ R derivace všech řádů. Taylorovou řadou funkce f v bodě x0 rozumíme mocninnou řadu f(x0) + f′ (x0) 1! (x − x0) + f′′ (x0) 2! (x − x0)2 + f′′′ (x0) 2! (x − x0)3 + · · · = ∞ n=0 f(n) (x0) n! (x − x0)n . Specielně pro x0 = 0 mluvíme o Maclaurinově řadě. 4.8.12 Věta Nechť funkce f má v bodě x0 ∈ R derivace všech řádů. Její Taylorova řada konverguje na nějakém intervalu J obsahujícím bod x0 k funkci f právě tehdy, když pro posloupnost jejích Taylorových zbytků platí lim n→∞ Rn = 0. D.: Využijeme větu 2.4.8 a označení v ní používané. Pro posloupnost {sn} částečných součtů Taylorovy řady platí sn(x) = Tn(x) = f(x) − Rn. 142 4.8.13 Věta Nechť mocninná řada ∞ n=0 an(x − x0)n má poloměr konvergence r. Pak je tato řada Taylorovou řadou svého součtu f v konvergenčním intervalu (f(n) (x0) = ann!). D.: Analogicky jako 2.4.5. 4.8.14 Definice Funkce f se nazývá analytická v bodě x0 ∈ R, jestliže existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že na něm lze f vyjádřit jako součet mocninné řady. T.j. pro x ∈ O(x0) platí f(x) = ∞ n=0 an(x − x0)n . Funkce f se nazývá analytická na otevřeném intervalu J, je-li analytická v každém x ∈ J. Je-li funkce f analytická, její vyjádření mocninou řadou (rozvoj do mocninné řady) je Taylorovou řadou. Zejména analytická funkce f má derivace všech řádů. Opačné tvrzení neplatí. Funkce, která má derivace všech řádů nemusí být analytická. Příklad: Funkce f(x) = e−1/|x| , x = 0 0, x = 0 má v bodě 0 derivace všech řádů rovny 0, tedy její Maclaurinova řada 0 + 0x + 0x2 + 0x3 + · · · má na intervalu (−∞, ∞) součet 0, a přitom f(x) > 0 pro x = 0, což znamená, že funkce f není v bodě 0 analytická. D.: Je-li x > 0, pak f(x) = e−1/x , f′ (x) = 1 x2 e−1/x , f′′ (x) = − 2 x3 e−1/x + 1 x4 e−1/x = P2 1 x e−1/x , kde P2 je polynom, f′′′ = P′ 2 1 x − 1 x2 e−1/x + 1 x2 P2 1 x e−1/x = P3 1 x e−1/x , kde P3 je polynom, atd. lim x→0+ f(n) (x) = lim x→0+ Pn 1 x e−1/x = lim t→∞ Pn(t)e−1/x = 0. Je-li x < 0, pak f(x) = e1/x , f′ (x) = − 1 x2 e1/x = Q1 1 x e1/x , kde Q1 je polynom, f′′ (x) = 2 x3 e1/x + 1 x4 e1/x = Q2 1 x e1/x , kde Q2 je polynom, atd. lim x→0− f(n) (x) = lim x→0− Qn 1 x e1/x = lim t→∞ Qn(−t)e−t = 0. Celkem tedy je f(n) (0) = lim x→0 f(n) (x) = 0. 4.8.15 Maclaurinovy řady některých elementárních funkcí 1. ex = ∞ n=0 xn n! , r = ∞ 2. sin x = ∞ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)! , r = ∞ 3. cos x = ∞ n=0 (−1)n x2n (2n)! , r = ∞ 4. ln(1 + x) = ∞ n=1 (−1)n+1 xn n , r = 1, x ∈ (−1, 1] 5. (1 + x)α = ∞ n=0 α n xn , r = 1, x ∈ (−1, 1) 6. arctg x = ∞ n=0 (−1)n x2n+1 2n + 1 , r = 1, x ∈ [−1, 1] Sr. 2.4.7 a 4.8.10. 143 4.8.16 Aplikace mocninných řad 1. Výpočet funkčních hodnot 2. Výpočet limit 3. Výpočet derivací 4. Výpočet určitých i neurčitých integrálů 5. Sumace číselných řad 6. Výpočet obecného členu posloupnosti zadané rekurentně 7. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice 4.9 Cvičení Najděte součty řad 1) 1 1·3 + 1 3·5 + 1 5·7 + 1 7·9 + . . . 2) 1 3 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 48 + . . . 3) 2 3 + 3 9 + 4 27 + 5 81 + 6 243 + . . . 4) 1 + q cos α + q2 cos 2α + q3 cos 3α + . . . Rozhodněte o konvergenci řad 5) ∞ n=1 n 1 1000 6) ∞ n=1 1 1000n+1 7) ∞ n=1 1 n √ n+1 8) ∞ n=1 n! nn 9) ∞ n=1 3n n! nn 10) ∞ n=1 n−1 n+1 n(n−1) 11) ∞ n=1 n5 2n+3n 12) ∞ n=2 ln 1 + (−1)n n 13) Dokažte, že řada převrácených hodnot členů aritmetické posloupnosti diverguje. Rozhodněte o konvergenci a absolutní konvergenci řad 14) ∞ n=1 (−1)n n √ n 15) ∞ n=2 (−1)n √ n+(−1)n 16) ∞ n=1 ln n2 +1 n2 cos πn2 n2+1 17) Ukažte, že druhá mocnina (chápaná jako Cauchyův součin) konvergentní řady ∞ n=1 (−1)n √ n je řada divergentní. Najděte obory konvergence a absolutní konvergence řad funkcí 18) ∞ n=1 n xn 19) ∞ n=1 xn 1−xn 20) ∞ n=1 (−1)n+1 x+n 21) ∞ n=1 1 nx 22) ∞ n=0 xn 1+x2n 23) ∞ n=1 x(x+n) n n 24) ∞ n=1 n·22n 3n xn (1 − x) 25) ∞ n=0 n n+1 x 2x+1 n 26) ∞ n=1 ln(1+xn ) n2 Rozhodněte, zda uvedené řady konvergují na daném intervalu stejnoměrně 27) ∞ n=1 (−1)n x+2n , (−2, 2) 28) ∞ n=1 (1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n )xn , [−1 2 , 2 3 ] 29) ∞ n=0 x−1 xn , [1, 2] Najděte poloměry konvergence mocninných řad 30) ∞ n=1 n! an2 (a > 1) 31) ∞ n=0 xn an+bn (a > 0, b > 0) 32) ∞ n=0 n 2n+1 n x2n Najděte obory konvergence mocninných řad 33) ∞ n=1 nxn 2n 34) ∞ n=0 (−1)n 2n+1 x2n+1 35) ∞ n=0 en n+1 xn Funkce rozviňte v Maclaurinovu řadu 36) x 1+x−2x2 37) 1 1−x−x2 38) 1− 1 2 x 1−x+x2 39) x (1−x)(1−x2) 40) 1 (1−x2) √ 1−x2 41) x arctg x − ln √ 1 + x2 Najděte součet mocninné řady 42) ∞ n=0 n2 +1 2nn! xn 43) ∞ n=1 xn n 44) ∞ n=1 (−1)n−1 n(2n−1) x2n 45) ∞ n=1 n2 xn−1 46) ∞ n=0 2n+1 n! x2n 47) ∞ n=1 n n+1 xn Najděte součet číselné řady 144 48) 1 − 1 4 + 1 7 − 1 10 + 1 13 − . . . 49) ∞ n=0 n+1 2nn! 50) 1 − 1 2 + 1·3 2·4 − 1·3·5 2·4·6 + 1·3·5·7 2·4·6·8 − . . . 51) ∞ n=0 n (2n+1)! S přesností alespoň 0.001 vypočítejte integrály 52) 0.2 0 sin x2 dx 53) 0.4 0 1−e−x x dx 54) 0.1 0 dx√ 1+x4 Vypočítejte limity 55) lim x→0 cos x−e− x2 2 x4 56) lim x→∞ ((x3 − x2 + x 2 )e 1 x − √ x6 + 1) 57) lim x→0 1−(cos x)sin x x3 Výsledky: 1)1 2 2)3 4 3)5 4 4) 1−q cos α 1−2q cos α+q2 5)diverguje 6)diverguje 7)konverguje 8)konverguje 9)diverguje 10)konverguje 11)konverguje 12)konverguje 14)diverguje 15)konverguje relativně 16)konverguje absolutně 18)absolutně pro x ∈ (−∞, −1)∪(1, ∞) 19)absolutně pro x ∈ (−1, 1) 20)relativně pro x ∈ R\{−1, −2, −3, . . .} 21)absolutně pro x ∈ (1, ∞) 22)absolutně pro x ∈ R \ {−1, 1} 23)absolutně pro x ∈ (−1, 1), relativně pro x < 1 24)absolutně pro x ∈ 1− √ 2 2 , 1 2 ∪ 1 2 , 1+ √ 2 2 25)absolutně pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1 3 , ∞) 26)absolutně pro x ∈ (−1, 1] 27)ano 28)ano 29)ne 30)∞ 31)max{a, b} 32) √ 2 33)(−2, 2) 34)[−1, 1] 35) −1 e , 1 e 36)1 3 ∞ n=1 (1 − (−2)n )xn , |x| < 1 2 37) 1√ 5 ∞ n=0 √ 5+1 2 n+1 + (−1)n √ 5−1 2 n+1 xn = ∞ n=0 anxn , kde {an} je Fibonacciho posloupnost 1,1,2,3,5,8,13,21,..., an = an−1 + an−2, |x| < √ 5−1 2 38) ∞ n=0 (cos nπ 3 )xn , |x| < 1 39)1 2 ∞ n=1 n + 1−(−1)n 2 xn , |x| < 1 40) ∞ n=0 (2n+1)!! (2n)!! x2n , |x| < 1 41) ∞ n=1 (−1)n+1 x2n 2n(2n−1) , |x| ≤ 1 42) e x 2 (1+ x 2 + x2 4 ) 43)ln 1 1−x , −1 ≤ x < 1 44) 2x arctg x−ln(1+x2 ), |x| ≤ 1 45) 1+x (1−x)3 , |x| < 1 46) ex2 (1+2x2 ) 47)ln(1−x) x + 1 1−x , |x| < 1 48)1 3 ln 2 + √ 3 9 π 49)3 2 √ e 50) √ 2 2 51) 1 2e 52) 0.001 53) 0.364 54) 0.1 55) − 1 12 56) 1 6 57) 1 2 145 146 Kapitola 5 Metrické prostory 5.1 Pojem metriky 5.1.1 Definice Buď P = ∅ množina a ρ : P2 → [0, ∞) zobrazení, které pro všechna x, y, z ∈ P splňuje (M1) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y (axiom totožnosti) (M2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (axiom symetrie) (M3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) (trojúhelníková nerovnost) Zobrazení ρ nazýváme metrika na P, prvky množiny P nazýváme body metrického prostoru (P, ρ), číslo ρ(x, y) nazýváme vzdálenost bodů x, y. 5.1.2 Příklady 1. Diskrétní metrický prostor P = ∅ libovolná množina, ρ(x, y) = 1, x = y 0, x = y . 2. Metrika na R P = R, ρ(x, y) = |x − y|. 3. Metriky na Rn P = Rn , x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn ρ2(x, y) = n i=1 (xi − yi)2 euklidovská metrika ρ1(x, y) = n i=1 |xi − yi| součtová metrika (taxíkářská metrika) ρ∞(x, y) = max{|xi − yi| : i = 1, 2, . . . , n} maximální metrika Axiomy (M1), (M2) jsou splněny triviálně. (M3) ověříme postupně: ρ1: ρ1(x, y) + ρ1(y, z) = n i=1 |xi − yi| + n i=1 |yi − zi| = n i=1 (|xi − yi| + |yi − zi|) ≥ n i=1 |xi − zi| = ρ1(x, z) ρ∞: ρ∞(x, y) + ρ∞(y, z) = max{|xi − yi| : i = 1, 2, . . . , n} + max{|yi − zi| : i = 1, 2, . . . , n} ≥ ≥ max{|xi − yi| + |yi − zi| : i = 1, 2, . . ., n} ≥ |xi − yi| + |yi − zi| ≥ |xi − zi| pro libovolné i ∈ {1, 2, 3, . . ., n} a tedy ρ∞(x, y) + ρ∞(y, z) ≥ max{|xi − zi| : i = 1, 2, . . ., n} = ρ∞(x, z) ρ2: Vyjdeme z nerovnosti n i=1 uivi ≤ n i=1 u2 i n i=1 v2 i (Cauchy-Buňakovski-Schwarz) ui = pi + qi, vi = qi : n i=1 (pi + qi)qi ≤ n i=1 (pi + qi)2 n i=1 q2 i 147 ui = pi, vi = pi + qi : n i=1 pi(pi + qi) ≤ n i=1 p2 i n i=1 (pi + qi)2 Sečtením: n i=1 (pi + qi)2 ≤ n i=1 (pi + qi)2 n i=1 p2 i + n i=1 q2 i neboli n i=1 (pi + qi)2 ≤ n i=1 p2 i + n i=1 q2 i (Minkowského nerovnost) Píšeme-li v poslední nerovnosti xi − yi místo pi a yi − zi místo qi, dostaneme n i=1 (xi − zi)2 ≤ n i=1 (xi − yi)2 + n i=1 (yi − zi)2, tedy ρ2(x, z) ≤ ρ2(x, y) + ρ2(y, z). 4. Buď P = C[a, b] — množina funkcí spojitých na intervalu [a, b] ρC(f, g) = max{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a, b]} metrika stejnoměrné konvergence ρI(f, g) = b a |f(x) − g(x)|dx integrální metrika 1.7.12 ukazuje, že ρC je definována korektně. (M1) a (M2) jsou opět splněny triviálně. Platnost (M3) pro ρC ověříme podobně jako v případě ρ∞ na Rn . Platnost (M3) pro ρI ověříme s využitím 3.3.6 a 3.3.3: ρI(f, h) = b a |f(x) − h(x)|dx = b a |f(x) − g(x) + g(x) − h(x)|dx ≤ ≤ b a (|f(x) − g(x)| + |g(x) − h(x)|)dx = b a |f(x) − g(x)|dx + b a |g(x) − h(x)|dx = = ρI(f, g) + ρI(g, h) . 5. Buď P = ℓ∞ — množina ohraničených posloupností ρ∞({an}, {bn}) = sup{|an − bn| : n ∈ N} Platnost (M1), (M2) a (M3) ověříme stejně, jako v případě ρ∞ na Rn . 5.1.3 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor. Pro a ∈ P, r ∈ R, r > 0 definujeme: K[a, r] = {x ∈ P : ρ(x, a) ≤ r} — uzavřená koule se středem a a poloměrem r, K(a, r) = {x ∈ P : ρ(x, a) < r} — otevřená koule se středem a a poloměrem r, Speciálně: otevřená koule Oε(a) = O(a) = K(a, ε) se nazývá (epsilonové) okolí bodu a. Zřejmě platí: ε ≤ δ ⇒ Oε(a) ⊆ Oδ(a). 5.1.4 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor. Pro ∅ = A, B ⊆ P definujeme: ρ(A, B) = inf{ρ(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} — vzdálenost množin A, B, d(A) = sup{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ A} — průměr množiny A. Jestliže množina {ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ A} není ohraničená shora, klademe d(A) = ∞ Vzdálenost bodu x od množiny A definujeme: ρ(x, A) = ρ({x}, A). 5.1.5 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Řekneme, že množina A je ohraničená, jestliže d(A) < ∞. Množina A je zřejmě ohraničená, jestliže existuje bod a a číslo r > 0, že A ⊆ K(a, r). 148 5.1.6 Poznámka Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Pro x, y ∈ A definujeme ρA(x, y) = ρ(x, y). Zobrazení ρA je zřejmě metrika na A. 5.1.7 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Metriku ρA zavedenou v 5.1.6 nazýváme metrikou indukovanou na množině A metrikou ρ. Metrický prostor (A, ρA) nazýváme podprostorem metrického prostoru (P, ρ). Píšeme (A, ρA) ⊆ (P, ρ). 5.1.8 Věta Buďte (P1, σ1), (P2, σ2) metrické prostory. Položme P = P1 × P2 a definujme zobrazení ρ : P2 → [0, ∞) předpisem ρ ((x1, x2), (y1, y2)) = (σ1(x1, y1)) 2 + (σ2(x2, y2)) 2 . Pak ρ je metrika na P. D.: Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Nechť (R, σ) je metrický prostor a a, b, c ∈ R. Pak existují α, β, γ ∈ R2 takové body, že σ(a, b) = ρ2(α, β), σ(b, c) = ρ2(β, γ), σ(a, c) = ρ2(α, γ), kde ρ2 je euklidovská metrika na R2 . Pro stručnost označme r = σ(a, b), s = σ(a, c), t = σ(b, c). Nyní stačí volit α = (0, 0), β = (r, 0), γ = r2 + s2 − t2 2r , (2rs − r2 − s2 + t2)(2rs + r2 + s2 − t2) 2r . (Jedná se o konstrukci trojúhelníka v rovině, známe-li délky stran.) Nechť (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) ∈ P. • Pro (x1, x2), (y1, y2) je ρ ((x1, x2), (y1, y2)) = 0 právě tehdy, když σ1(x1, y1) = 0 a σ2(x2, y2) = 0, což podle (M1) nastane právě tehdy, když x1 = y1 a x2 = y2, tedy (x1, x2) = (y1, y2). ρ splňuje (M1). • ρ ((x1, x2), (y1, y2)) = (σ1(x1, y1)) 2 + (σ2(x2, y2)) 2 = (σ1(y1, x1)) 2 + (σ2(y2, x2)) 2 = = ρ ((y1, y2), (x1, x2)), takže ρ splňuje (M2). • Podle pomocného tvrzení existují reálná čísla ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, η1, η2, η3, η4, ζ1, ζ2, ζ3, ζ4 taková, že σ1(x1, y1) = 2 i=1 (ξi − ηi)2, σ1(x1, z1) = 2 i=1 (ξi − ζi)2, σ1(y1, z1) = 2 i=1 (ηi − ζi)2, σ2(x2, y2) = 4 i=3 (ξi − ηi)2, σ2(x2, z2) = 4 i=3 (ξi − ζi)2, σ2(y2, z2) = 4 i=3 (ηi − ζi)2 . Pak ρ ((x1, x2), (y1, y2)) = 4 i=1 (ξi − ηi)2 = ρ2 ((ξ1, ξ2, ξ3, ξ4), (η1, η2, η3, η4)) , ρ ((y1, y2), (z1, z2)) = 4 i=1 (ηi − ζi)2 = ρ2 ((η1, η2, η3, η4), (ζ1, ζ2, ζ3, ζ4)) , ρ ((x1, x2), (z1, z2)) = 4 i=1 (ξi − ζi)2 = ρ2 ((ξ1, ξ2, ξ3, ξ4), (ζ1, ζ2, ζ3, ζ4)) , kde ρ2 je euklidovská metrika na R4 . Poněvadž ρ2 splňuje nerovnost (M3), splňuje ji také ρ. 149 5.1.9 Definice Buďte (P1, σ1), (P2, σ2) metrické prostory, P = P1 ×P2 a ρ metrika definovaná v 5.1.8. Prostor (P, ρ) nazýváme (kartézským) součinem prostorů (P1, σ1) a (P2, σ2). 5.1.10 Definice Buďte (P1, ρ1), (P2, ρ2) metrické prostory. Zobrazení f : P1 → P2 se nazývá isometrické (izometrie), jestliže ρ2(f(x), f(y)) = ρ1(x, y) pro všechny dvojice bodů (x, y) ∈ P2 . Jestliže existuje izometrie f : P1 → P2, řekneme, že prostory (P1, ρ1), (P2, ρ2) jsou isometrické. Například všechna shodná zobrazení známá z geometrie jsou izometriemi. 5.1.11 Poznámka Isometrické zobrazení je prosté. D.: Kdyby existovaly body x, y ∈ P1 takové, že f(x) = f(y), pak by podle (M1) platilo 0 = ρ2(f(x), f(y)) = ρ1(x, y) = 0, což by byl spor. Tedy metrický prostor a jeho isometrický obraz lze považovat za dvě kopie téhož prostoru. 5.2 Podmnožiny metrického prostoru 5.2.1 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Bod a ∈ P se nazývá – vnitřní bod množiny A, jestliže existuje ε > 0 takové, že Oε(a) ⊆ A, – vnější bod množiny A, jestliže existuje ε > 0 takové, že Oε(a) ∩ A = ∅, – hraniční bod množiny A, jestliže pro každé ε > 0 platí Oε(a) ∩ A = ∅, Oε(a) ∩ (P \ A) = ∅, – bod uzávěru množiny A, jestliže ρ(a, A) = 0, – hromadný bod množiny A, jestliže pro každé ε > 0 platí (Oε(a) ∩ A) \ {a} = ∅, – izolovaný bod množiny A, jestliže existuje ε > 0 takové, že Oε(a) ∩ A = {a}. Množina všech vnitřních bodů množiny A se nazývá vnitřek množiny A a značí se A◦ (někdy int A), Množina všech hraničních bodů množiny A se nazývá hranice množiny A a značí se ∂A (někdy fr A), Množina všech bodů uzávěru množiny A se nazývá uzávěr množiny A a značí se A (někdy cl A), Množina všech hromadných bodů množiny A se nazývá derivace množiny A a značí se A′ . Příklad P = R, ρ(x, y) = |x − y| a) A = (0, 1) : A◦ = (0, 1), ∂A = {0, 1}, A = [0, 1], A′ = [0, 1] b) A = [0, 1) ∩ Q : A◦ = ∅, ∂A = [0, 1], A = [0, 1], A′ = [0, 1] b) A = [0, 1] ∪ {2} : A◦ = (0, 1), ∂A = {0, 1, 2}, A = [0, 1] ∪ {2}, A′ = [0, 1] 150 5.2.2 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor, A, B ⊆ P. Pak platí 1. ∅ = ∅, ∅◦ = ∅. 2. P = P, P◦ = P. 3. A◦ ⊆ A ⊆ A. 4. A ⊆ B ⇒ A ⊆ B, A◦ ⊆ B◦ . 5. A ∪ B = A ∪ B, A◦ ∩ B◦ = (A ∩ B)◦ . 6. A = P \ (P \ A)◦ , A◦ = P \ P \ A. 7. A = A, (A◦ )◦ = A◦ . D.: 1. – 4. je triviální 6. x ∈ P \ (P \ A)◦ ⇔ x ∈ (P \ A)◦ ⇔ (∀ε > 0)(∅ = Oε(x) ∩ (P \ (P \ A)) = Oε(x) ∩ A) ⇔ ⇔ ρ(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A x ∈ P \ P \ A ⇔ x ∈ P \ A ⇔ ε := ρ(x, P \ A) > 0 ⇔ (∀y ∈ P \ A)(ρ(x, y) ≥ ε) ⇔ ⇔ Oε(x) ∩ (P \ A) = ∅ ⇔ Oε(x) ⊆ A ⇔ x ∈ A◦ 5. x ∈ A◦ ∩ B◦ ⇒ x ∈ A◦ ∧ x ∈ B◦ ⇒ (∃ε1)(Oε1 (x) ⊆ A) ∧ (∃ε2)(Oε2 (x) ⊆ B) ⇒ ⇒ Omin{ε1,ε2}(x) ⊆ A ∩ B ⇒ x ∈ (A ∩ B)◦ x ∈ (A ∩ B)◦ ⇒ (∃ε > 0)(Oε(x) ⊆ A ∩ B) ⇒ (∃ε > 0)(Oε(x) ⊆ A ∧ Oε(x) ⊆ B) ⇒ ⇒ x ∈ A◦ ∧ x ∈ B◦ ⇒ x ∈ A◦ ∩ B◦ S využitím 6., již dokázané části a de Morganových pravidel dostaneme A ∪ B = [P \ (P \ A)◦ ] ∪ [P \ (P \ B)◦ ] = P \ [(P \ A)◦ ∩ (P \ B)◦ ] = P \ [(P \ A) ∩ (P \ B)] ◦ = = P \ [P \ (A ∪ B)]◦ = A ∪ B 7. Buď x ∈ A. Pak 0 = ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A} ≥ inf{ρ(x, y) : y ∈ A}, neboť podle 3. je A ⊆ A a tedy {ρ(x, y) : y ∈ A} ⊇ {ρ(x, y) : y ∈ A}. Poněvadž ale inf{ρ(x, y) : y ∈ A} = ρ(x, A) ≥ 0, jest ρ(x, A) = 0 a tedy x ∈ A, t.j. A ⊆ A. Opačná inkluze plyne z 3. Druhou část tvrzení dokážeme analogicky. 5.2.3 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A se nazývá otevřená, jestliže A = A◦ , množina A se nazývá uzavřená, jestliže A = A. Zejména podle 5.2.2.6 A◦ je otevřená množina, A je uzavřená množina. 5.2.4 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A je otevřená právě tehdy, když P \ A je uzavřená; množina A je uzavřená právě tehdy, když P \ A je otevřená. D.: Nechť A = A◦ . Podle 5.2.2.6 je A = P \ P \ A. Z toho plyne, že P \ A = P \ (P \ P \ A) = P \ A a tedy P \ A je uzavřená. Nechť P \ A = P \ A. Pak podle 5.2.2.6 je A◦ = P \ P \ A = P \ (P \ A) = A. Platnost druhého tvrzení ukážeme analogicky. 151 5.2.5 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor a T soustava všech otevřených množin prostoru (P, ρ). Pak platí (T1) P ∈ T , ∅ ∈ T , (T2) A ∈ T , B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T , (T3) (∀ι ∈ I)(Aι ∈ T ) ⇒ ι∈I Aι ∈ T . D.: (T1) Plyne z 5.2.2.1 a 5.2.2.2. (T2) Je-li x ∈ A ∩ B, pak x ∈ A = A◦ , x ∈ B = B◦ a tedy existují ε1, ε2, že Oε1 (x) ⊆ A, Oε2 (x) ⊆ B. Položíme-li ε = min{ε1, ε2}, pak Oε(x) ⊆ A ∩ B, tedy každý x ∈ A ∩ B je vnitřním bodem, což znamená, že A ∩ B je otevřená. (T3) Nechť x ∈ ι∈I Aι. Pak existuje ι0 ∈ I, že x ∈ Aι0 . Poněvadž Aι0 je otevřená, existuje ε > 0 takové, že Oε(x) ⊆ Aι0 ⊆ ι∈I Aι. 5.2.6 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor a F soustava všech uzavřených množin prostoru (P, ρ). Pak platí (i) P ∈ F, ∅ ∈ F, (ii) A ∈ F, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F, (iii) (∀ι ∈ I)(Aι ∈ F) ⇒ ι∈I Aι ∈ F. D.: Plyne z 5.2.4, 5.2.5 a z de Morganových pravidel. 5.2.7 Poznámky Z 5.2.5 plyne, že průnik libovolného konečného systému otevřených množin je otevřená množina; z 5.2.6 plyne, že sjednocení libovolného konečného systému uzavřených množin je uzavřená množina. Průnik nekonečného systému otevřených množin nemusí být otevřená množina: An = − 1 n , 1 n , n ∈ N. ∞ n=1 An = {0}, což není otevřená množina v R s metrikou ρ(x, y) = |x − y|. Sjednocení nekonečného systému uzavřených množin nemusí být uzavřená množina: An = −1 + 1 n , 1 − 1 n , n ∈ N. ∞ n=1 An = (−1, 1) . 5.2.8 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Pak ∂A = A ∩ P \ A. D.: x ∈ ∂A ⇔ (∀ε > 0)(Oε(x) ∩ A = ∅ = Oε(x) ∩ (P \ A)) ⇔ (∀ε > 0)(ρ(x, A) < ε ∧ ρ(x, P \ A) < ε) ⇔ ⇔ ρ(x, A) = 0 ∧ ρ(x, P \ A) = 0 ⇔ x ∈ A ∩ P \ A . 5.2.9 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A se nazývá hustá v prostoru (P, ρ), jestliže A = P. 152 5.2.10 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A je hustá v P právě tehdy, když ke každému ε > 0 a každému x ∈ P existuje a ∈ A, že ρ(x, a) < ε, t.j. a ∈ Oε(x). (Neboli když každý bod x ∈ P je hromadným bodem množiny A.) D.: „⇒“: Nechť A = P. Vezmeme ε > 0 a x ∈ P libovolná. S využitím vlastnosti 1.1.6(i2∗ ) dostaneme x ∈ P = A ⇒ ρ(x, A) = 0 ⇒ inf{ρ(x, a) : a ∈ A} = 0 ⇒ existuje a ∈ A, že ρ(x, a) < ε . „⇐“: Jestliže existuje x ∈ P \ A, pak podle 5.2.4 a definice otevřené množiny existuje ε > 0, že Oε(x) ⊆ P \ A, tedy ρ(x, a) ≥ ε pro každé a ∈ A. Podle 5.2.2.3 je A ⊆ A, což znamená, že ρ(x, a) ≥ ε pro každé a ∈ A. 5.3 Konvergence 5.3.1 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞ n=1 posloupnost bodů z P (t.j. zobrazení N → P). Řekneme, že posloupnost {xn}∞ n=1 konverguje k bodu x ∈ P (je konvergentní v P) a píšeme lim n→∞ xn = x (stručně lim xn = x, xn → x), jestliže lim n→∞ ρ(xn, x) = 0. 5.3.2 Příklady 1. (P, ρ) diskrétní (viz 5.1.2.1) xn → x ⇔ (∃n0 ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ xn = x) 2. (R2 , ρ1) (viz 5.1.2.3) (xn, yn) → (x, y) ⇔ xn → x, yn → y v R s metrikou ρ(x, y) = |x − y|. D.: (xn, yn) → (x, y) ⇔ 0 = lim(|xn − x| + |yn − y|) = lim |xn − x| + lim |yn − y|. Avšak podle 1.3.5.1 lim |xn − x| ≥ 0, lim |yn − y| ≥ 0, takže lim |xn − x| = 0, lim |yn − y| = 0. Analogické tvrzení platí pro všechny metrické prostory z 5.1.2.3. 3. (C[a, b], ρC) (viz 5.1.2.4) fn → f v tomto prostoru ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(∀x ∈ [a, b])(|fn(x) − f(x)| < ε). (Má-li posloupnost funkcí definovaných na intervalu [a, b] vlastnost uvedenou na pravé straně ekvivalence, řekneme, že posloupnost funkcí {fn}∞ n=1 stejnoměrně konverguje na intervalu [a, b] k funkci f.) D.: fn → f v (C[a, b], ρC) ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(ρC (fn, f) < ε) ⇔ ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(max{|fn(x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} < ε) ⇔ ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(∀x ∈ [a, b])(|fn(x) − f(x)| < ε) 5.3.3 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞ n=1 posloupnost bodů z P. Řekneme, že posloupnost {xn}∞ n=1 je ohraničená, jestliže množina {xn : n ∈ N} je ohraničená ve smyslu definice 5.1.5. 5.3.4 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor. Pak platí 1. Každá posloupnost {xn} ⊆ P má nejvýše jednu limitu v P. 2. Posloupnost konvergentní v (P, ρ) je ohraničená v (P, ρ). 3. lim n→∞ xn = x ∈ P právě tehdy, když pro každou posloupnost {xnk } vybranou z {xn} platí lim k→∞ xnk = x. D.: 1.3.3, 1.3.4, 1.3.14. 153 5.3.5 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞ n=1 posloupnost bodů z P. Řekneme, že posloupnost {xn}∞ n=1 je cauchyovská, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N, že pro všechna m, n ≥ n0 je ρ(xm, xn) < ε. 5.3.6 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞ n=1 posloupnost bodů z P. Je-li {xn}∞ n=1 konvergentní v (P, ρ), pak je cauchyovská. D.: Nechť xn → x a buď ε > 0 libovolné. K ε 2 > 0 existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je ρ(xn, x) < ε 2 . Pro libovolné m ≥ n0 a libovolné n ≥ n0 tedy s využitím trojúhelníkové nerovnosti platí ρ(xm, xn) ≤ ρ(xm, x) + ρ(xn, x) < ε 2 + ε 2 = ε. Obrácené tvrzení obecně neplatí: P = (0, 1), ρ(x, y) = |x − y|, {xn}∞ n=1 = { 1 n }∞ n=1 je cauchyovská, ale není konvergentní; 0 ∈ P. 5.3.7 Věta Buď (P, ρ) metrický prostor a A ⊆ P. Množina A je uzavřená v (P, ρ) právě tehdy, když pro každou konvergentní posloupnost {xn} ⊆ A, xn → x platí x ∈ A. D.: „⇒“ Nechť A = A, {xn} libovolná konvergentní, xn → x. Kdyby x ∈ A, pak by ε = ρ(x, A) > 0 a tedy pro každé xn by platilo ρ(xn, x) > ε, což by bylo ve sporu s xn → x. „⇐“ Nechť platí podmínka. Buď y ∈ A libovolný bod. Pak ρ(y, A) = 0. Podle 1.1.6(i2∗ ) ke každému 1 n > 0 existuje xn ∈ A, že ρ(xn, y) < 1 n . To znamená, že pro takto vytvořenou posloupnost {xn} platí lim ρ(xn, y) = 0, xn → y. Z podmínky plyne, že y ∈ A. Tedy A ⊆ A a podle 5.2.2.3 A = A. 5.3.8 Definice Buď P množina a ρ, σ metriky na P. Řekneme, že ρ a σ jsou ekvivalentní metriky na P, jestliže pro každou posloupnost {xn}∞ n=1 ⊆ P platí: xn → x v (P, ρ) právě tehdy když xn → x v (P, σ). 5.3.9 Příklady 1. P = Rn . Metriky ρ1, ρ2, ρ∞ zavedené v 5.1.2.3 jsou ekvivalentní: xk = (xk 1, xk 2, . . . , xk n) ∈ Rn , x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn . lim k→∞ xk = x v (Rn , ρ1) ⇔ (∀ε > 0)(∃k0 ∈ N)(∀k ≥ k0)(∀i ∈ {1, 2, . . ., n})(|xk i − xi| < ε) lim k→∞ xk = x v (Rn , ρ2) ⇔ (∀ε > 0)(∃k0 ∈ N)(∀k ≥ k0)(∀i ∈ {1, 2, . . ., n})(|xk i − xi| < ε) lim k→∞ xk = x v (Rn , ρ∞) ⇔ (∀ε > 0)(∃k0 ∈ N)(∀k ≥ k0)(∀i ∈ {1, 2, . . ., n})(|xk i − xi| < ε) 2. P = C[a, b]. Metriky ρI a ρC (viz 5.1.2.3) nejsou ekvivalentní: fn(x) =    0, x ∈ a, (n + 1)a + (n − 1)b 2n ∪ (n − 1)a + (n + 1)b 2n , b 2nx − (n + 1)a − (n − 1)b b − a , x ∈ (n + 1)a + (n − 1)b 2n , a + b 2 −2nx + (n − 1)a + (n + 1)b b − a , x ∈ a + b 2 , (n − 1)a + (n + 1)b 2n , f ≡ 0 154 ρI(fn, f) = b a fn(x)dx = b − a 2n → 0 ρC(fn, f) = 1 5.3.10 Poznámka Buďte ρ, σ ekvivalentní metriky na P. Z 5.3.7 plyne, že množina A ⊆ P je uzavřená v (P, ρ) právě tehdy, když je uzavřená v (P, σ). Z 5.2.4 dále plyne, že množina A ⊆ P je otevřená v (P, ρ) právě tehdy, když je otevřená v (P, σ). 5.3.11 Věta Buďte ρ, σ metriky na množině P. Jestliže existují kladné konstanty a, b takové, že pro všechny dvojice bodů (x, y) ∈ P2 je aσ(x, y) ≤ ρ(x, y) ≤ bσ(x, y), pak jsou metriky ρ a σ ekvivalentní. D.: Nechť je podmínka splněna, x ∈ P, a nechť {xn}∞ n=1 ⊆ P je taková posloupnost, že lim n→∞ σ(xn, x) = 0. Pak aσ(xn, x) ≤ ρ(xn, x) ≤ bσ(xn, x) a z 1.3.7 plyne lim n→∞ ρ(xn, x) = 0. Důkaz se dokončí analogickou úvahou s využitím nerovnosti 1 b ρ(x, y) ≤ σ(x, y) ≤ 1 a ρ(x, y), která je ekvivalentní s nerovností v podmínce věty. 5.4 Úplné a kompaktní prostory 5.4.1 Definice Metrický prostor (P, ρ) se nazývá úplný, jestliže v něm má každá cauchyovská posloupnost limitu. 5.4.2 Příklady 1. Prostor R s metrikou ρ(x, y) = |x − y| je podle 1.3.22 úplný. 2. Prostory (Rn , ρ1), (Rn , ρ2), (Rn , ρ∞) (viz 5.1.2) jsou úplné: Je-li posloupnost {xk }∞ k=1 = {(xk 1, xk 2, . . . , xk n)}∞ k=1 cauchyovská v prostoru (Rn , ρ1), pak je zřejmě každá z posloupností {xk 1}∞ k=1, {xk 2}∞ k=1, . . . , {xk n}∞ k=1 cauchyovská v prostoru (R, ρ1). Pak podle 1.3.22 každá tato posloupnost je konvergentní v (R, ρ1), lim k→∞ xk 1 = x1, lim k→∞ xk 2 = x2, . . . , lim k→∞ xk n = xn. Odtud vyplyne, že i posloupnost {xk }∞ k=1 je konvergentní v prostoru (Rn , ρ1), lim k→∞ xk 1 = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn . Podle 5.3.9.1 jsou metriky ρ1, ρ2, ρ∞ ekvivalentní. 3. Diskrétní metrický prostor (P, ρ) (viz 5.1.2.1) je úplný. Buď ε = 1 2 . ρ(xn, xm) < 1 2 právě tehdy, když xn = xm. Tedy je-li {xn}∞ n=1 cauchyovská, pak je od jistého indexu počínaje stacionární a to podle 5.3.2.1 znamená, že je konvergentní. 4. Q s metrikou indukovanou ρ1 není úplný: Např. {(1 + 1 n )n }∞ n=1 konverguje v (R, ρ1) k e ∈ Q. 5. Prostor (C[a, b], ρI) (viz 5.1.2.4) není úplný: [a, b] = [−1, 1] fn(x) =    −1, x ∈ [−1, 1 n ) nx, x ∈ [− 1 n , 1 n ] 1, x ∈ ( 1 n , 1] , ρI(fn, fn+p) = p n2 + np , lim n→∞ ρI(fn, fn+p) = 0, tedy {fn} je cauchyovská. Avšak jediná možná limita posloupnosti funkcí {fn} je 155 funkce f(x) =    −1, x ∈ [−1, 0) 0, x = 0 1, x ∈ (0, 1] , což není spojitá funkce, f ∈ C[−1, 1] a tedy {fn} není v (C[−1, 1], ρI) konvergentní. 6. Prostor (C[a, b], ρC) (viz 5.1.2.4) je úplný: Buď {fn}∞ n=1 libovolná posloupnost funkcí cauchyovská v (C[a, b], ρC). Buď ε > 0 libovolné číslo. K němu existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n, m ≥ n0 je ρC(fn, fm) < ε. Buď x0 ∈ [a, b] libovolný bod. Pak pro n, m ≥ n0 je |fn(x0) − fm(x0)| ≤ max{|fn(x) − fm(x)| : x ∈ [a, b]} = ρC(fn, fm) < ε, což znamená, že číselná posloupnost {fn(x0)}∞ n=1 je cauchyovská a tedy podle 1.3.22 konvergentní. Poněvadž x0 ∈ [a, b] byl libovolný bod, existuje lim n→∞ fn(x) pro každé x ∈ [a, b]. Definujme funkci f : [a, b] → R předpisem: f(x) = lim n→∞ fn(x). Ukážeme, že sup{|fn(x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} → 0: Poněvadž {fn} je cauchyovská, tak k ε 2 > 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro všechna n, m ≥ n1 je ρC(fn, fm) < ε 2 . Pro každé x ∈ [a, b] a všechna n, m ≥ n1 je tedy |fn(x) − fm(x)| < ε 2 , což podle 1.3.5.1 znamená, že pro každé x ∈ [a, b] a každé n ≥ n1 je lim m→∞ |fn(x) − fm(x)| ≤ ε 2 . Tedy pro n ≥ n1 a každé x ∈ [a, b] je |fn(x) − f(x)| = lim m→∞ |fn(x) − fm(x)| ≤ ε 2 , takže pro n ≥ n1 je sup{|fn(x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} ≤ ε 2 < ε. Zbývá ukázat, že funkce f je spojitá. Podle předchozího tvrzení k ε 3 > 0 existuje n2 ∈ N, že sup{|fn2 (x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} < ε 3 . Buď x1 ∈ [a, b] libovolný bod. Poněvadž funkce fn2 je spojitá, k číslu ε 3 > 0 existuje δ > 0, že pro všechna x ∈ [a, b] taková, že |x1 − x| < δ je |fn2 (x1) − fn2 (x)| < ε 3 . Pro x ∈ [a, b] takové, že |x1 − x| < δ tedy platí |f(x1) − f(x)| = |f(x1) − fn2 (x1) + fn2 (x1) − fn2 (x) + fn2 (x) − f(x)| ≤ ≤ |f(x1) − fn2 (x1)| + |fn2 (x1) − fn2 (x)| + |fn2 (x) − f(x)| ≤ ≤ sup{|fn2 (x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} + |fn2 (x1) − fn2 (x)| + sup{|fn2 (x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} < < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, což znamená, že funkce f je spojitá v bodě x1 ∈ [a, b]. Poněvadž tento bod byl libovolný, je f spojitá na [a, b]. 5.4.3 Věta Je-li metrický prostor (P, ρ) úplný a množina A ⊆ P je uzavřená, pak metrický prostor (A, ρA), kde ρA je metrika indukovaná metrikou ρ, je úplný. D.: Buď {xn}∞ n=1 libovolná cauchyovská posloupnost. Poněvadž (P, ρ) je úplný, existuje lim n→∞ xn = x ∈ P. Podle 5.3.7 je x ∈ A. 5.4.4 Definice Buď (P, ρ) metrický prostor. Řekneme, že metrický prostor (Q, σ) je úplným obalem metrického prostoru (P, ρ), jestliže (i) (Q, σ) je úplný prostor, (ii) (P, ρ) ⊆ (Q, σ), (iii) Množina P je hustá v (Q, σ). Například (R, ρ1) je úplným obalem (Q, ρ1). 156 5.4.5 Věta Ke každému metrickému prostoru (P, ρ) existuje jeho úplný obal. Tento úplný obal je určen jednoznačně v tomto smyslu: Jsou-li (Q1, σ1) a (Q2, σ2) dva úplné obaly prostoru (P, ρ), pak (Q1, σ1) a (Q2, σ2) jsou isometrické. Kroky důkazu: 1. Na množině všech cauchyovských posloupností z prostoru (P, ρ) definujeme relaci ∼ vztahem: {xn} ∼ {yn} ⇔ ρ(xn, yn) → 0. 2. Ukážeme, že ∼ je ekvivalence. 3. Položíme Q = P| ∼ (rozklad množiny P podle ekvivalence ∼). Prvky množiny Q jsou třídy ekvivalence ∼. Označíme [{xn}] ∈ Q takovou třídu ekvivalence, že {xn} ∈ [{xn}]. 4. Položíme σ([{xn}], [{yn}]) = lim n→∞ ρ(xn, yn). Ukážeme, že σ nezáleží na výběru representantů a že σ je metrikou na Q. 5. Ztotožníme [{x, x, . . . }] ∈ Q s x ∈ P. Pak je (P, ρ) ⊆ (Q, σ). 6. Ukážeme, že prostor (Q, σ) je úplný. 7. Ukážeme, že P = Q. 8. Ukážeme, že je-li (Q1, σ1) úplným obalem prostoru (P, ρ), pak (Q, σ) a (Q1, σ1) jsou isometrické. 5.4.6 Definice Řekneme, že metrický prostor (P, ρ) je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti jeho bodů lze vybrat posloupnost konvergentní. Řekneme, že množina A ⊆ P je kompaktní, jestliže podprostor (A, ρA) je kompaktní. 5.4.7 Věta Je-li A kompaktní množina v metrickém prostoru (P, ρ), pak je A uzavřená a ohraničená. D.: Připusťme, že A = A, tedy že existuje x ∈ A \ A. Pak ρ(x, A) = 0 a podle definice infima existuje {xn} ⊆ A, že ρ(xn, x) → 0, neboli xn → x. Pro každou vybranou posloupnost {xnk } z posloupnosti {xn} je podle 5.3.4.3 lim k→∞ xnk = x ∈ A, což je spor s kompaktností A. Připusťme, že A není ohraničená. Buď x1 ∈ A libovolný bod. Existuje x2 ∈ A \ K(x1, 1). (Kdyby neexistoval, byla by množina A ohraničená.) Dále existuje x3 ∈ A \ K(x1, ρ(x1, x2) + 1) atd. Posloupnost {xn} i každá posloupnost z ní vybraná není cauchuovská, neboť ρ(xn, xm) ≥ 1 a tedy podle 5.3.6 nemůže být konvergentní. 5.4.8 Věta Množina A ⊆ Rn je kompaktní v (Rn , ρ1) právě tehdy, když je v tomto prostoru uzavřená a ohraničená. D.: Nutnost podmínky plyne z 5.4.7. Dokážeme její dostatečnost. Buď {xk }∞ k=1 = {(xk 1, xk 2, . . . , xk n)}∞ k=1 posloupnost bodů z A. Poněvadž A je ohraničená, je každá z číselných posloupností {xk i }∞ k=1, i = 1, 2, . . . , n ohraničená. Podle 1.3.19.1 lze z každé {xk i }∞ k=1 vybrat posloupnost {xkl i }∞ l=1 konvergentní. Vybereme tedy z posloupnosti xk 1 ∞ k=1 konvergentní posloupnost {xκ1 1 } ∞ κ1=1 a označíme x0 1 = lim κ1→∞ xκ1 1 . Potom z posloupnosti {xκ1 2 } ∞ κ1=1 vybereme konvergentní posloupnost {xκ2 2 } ∞ κ2=1 a označíme x0 2 = lim κ2→∞ xκ2 1 . Tak postupujeme dále, až z posloupnosti x κn−1 n ∞ κn−1=1 vybereme konvergentní posloupnost {xκn n } ∞ κn=1, kterou budeme pro přehlednost značit xl n ∞ l=1 , a označíme x0 n = lim l→∞ xl n. Tímto postupem získáme posloupnost (xl 1, xl 2, . . . , xl n) ∞ l=1 , která je vybraná z posloupnosti (xk 1, xk 2 , . . . , xk n) ∞ l=1 a platí lim l→∞ (xl 1, xl 2, . . . , xl n) = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = x0 . Poněvadž A je uzavřená, je podle 5.3.7 x0 ∈ A. Z ekvivalence metrik ρ1, ρ2, ρ∞ (viz 5.3.9.1) plyne, že analogické tvrzení platí i pro (Rn , ρ2) a (Rn , ρ∞). 157 5.4.9 Věta Je-li metrický prostor (P, ρ) kompaktní, pak je úplný. D.: Buď {xn}∞ n=1 libovolná cauchyovská posloupnost v prostoru (P, ρ). Poněvadž (P, ρ) je kompaktní, existuje posloupnost {xnk }∞ k=1 vybraná z posloupnosti {xn}∞ n=1 taková, že lim k→∞ xnk = x ∈ P. Ukážeme, že x = lim n→∞ xn. Buď ε > 0 libovolné číslo. Poněvadž {xnk }∞ k=1 konverguje k x, tak k ε 2 > 0 existuje k0 ∈ N takové, že pro k ≥ k0 je ρ(xnk , x) < ε 2 . Poněvadž {xn}∞ n=1 je cauchyovská, tak k ε 2 > 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 a m ≥ n1 platí ρ(xn, xm) < ε 2 . Položme n0 = max{n1, nk0 } a nechť n ≥ n0 a k > k0 jsou libovolná čísla. Pak také nk > n0. S využitím trojúhelníkové nerovnosti dostaneme ρ(xn, x) ≤ ρ(xn, xnk ) + ρ(xnk , x) < ε 2 + ε 2 = ε , což znamená, že x = lim n→∞ xn. 5.5 Zobrazení metrických prostorů 5.5.1 Definice Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q. Řekneme, že zobrazení F je spojité v bodě x0 ∈ P, jestliže ke každému okolí V bodu F(x0) v (Q, σ) existuje okolí U bodu x0 v (P, ρ) tak, že F(U) ⊆ V . Řekneme, že zobrazení F je spojité na P, jestliže je spojité v každém bodě x ∈ P. Zobrazení F je spojité v bodě x0, jestliže (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ P)(ρ(x, x0) < δ ⇒ σ(F(x), F(x0)) < ε). 5.5.2 Věta Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory. Zobrazení F : P → Q je spojité na P právě tehdy, když ke každé otevřené množině V ⊆ F(P) existuje otevřená množina U ⊆ P taková, že F(U) ⊆ V . D.: ⇒: Nechť F je spojité, V ⊆ F(P) otevřená. Ke každému y0 ∈ V existuje x0 ∈ P takové, že F(x0) = y0. Poněvadž V je otevřená, k libovolnému y0 ∈ V existuje εy0 > 0 takové, že Oεy0 (y0) ⊆ V . K εy0 existuje δy0 > 0 takové, že F(Oδy0 (x0)) ⊆ Oεy0 . Množina U = y0∈V Oδy0 (x0) je podle 5.2.5(T3) otevřená a zřejmě platí F(U) = V . ⇐: Buď x0 ∈ P libovolný bod, V okolí bodu F(x0). Existuje otevřená U ⊆ P taková, že F(U) ⊆ V . Poněvadž U je otevřená, existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že O(x0) ⊆ U. Pak F(O(x0)) ⊆ F(U) ⊆ V a tedy F je spojité v bodě x0. 5.5.3 Věta (Heineova podmínka) Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory. Zobrazení F : P → Q je spojité v bodě x0 ∈ P právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞ n=1 bodů z P takovou, že xn → x0 v (P, ρ) platí F(xn) → F(x0) v (Q, σ). D.: ⇒: Nechť {xn} ⊆ P, xn → x0. Buď Oε(F(x0)), ε > 0, libovolné okolí bodu F(x0) . Existuje δ > 0 takové, že F(Oδ(x0)) ⊆ Oε(F(x0)). K δ > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 je ρ(xn, x0) < δ, neboli xn ∈ Oδ(x0). Odtud plyne, že F(xn) ∈ Oε(F(x0)) pro všechna n ≥ n0, neboli σ(F(xn), F(x0)) < ε pro všechna n ≥ n0. To ovšem znamená, že F(xn) → F(x0). 158 ⇐: Nechť platí podmínka a připusťme, že F není spojité v bodě x0. Pak existuje okolí V = Oε(F(x0)) bodu F(x0) takové, že v každém okolí U bodu x0 existuje x, že F(x) ∈ V . Zejména v okolí O 1 n (x0) existuje bod xn takový, že F(xn) ∈ V . Platí xn → x0 a tedy F(xn) → F(x0), což znamená, že existuje n0 ∈ N takové, že σ(F(xn0 ), F(x0)) < ε, tedy F(xn0 ) ∈ Oε(F(x0)) = V , což je spor. 5.5.4 Věta Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, A ⊆ P, F : P → Q spojité zobrazení. Je-li množina A kompaktní, pak je i F(A) kompaktní. D.: Nechť A je kompaktní a buď {yn} libovolná posloupnost bodů z F(A). Ke každému yn ∈ F(A) existuje xn ∈ A takové, že F(xn) = yn. Poněvadž A je kompaktní, lze z posloupnosti {xn} vybrat posloupnost konvergentní {xnk }, lim k→∞ xnk = x0 ∈ A v (P, ρ). Označme y0 = F(x0). Pak y0 ∈ F(A) a podle 5.5.3 lim k→∞ ynk = lim k→∞ F(xnk ) = F(x0) = y0 v (Q, σ). Našli jsme tedy posloupnost {ynk } vybranou z {yn}, která konverguje k y0 ∈ F(A). To znamená, že F(A) je kompaktní množina. 5.5.5 Důsledek (Weierstrassovy věty) Reálná funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená a nabývá na něm své největší a nejmenší hodnoty. D.: Uzavřený interval [a, b] je podle 5.4.8 kompaktní v (R, ρ1) a tedy podle 5.5.4 je f([a, b]) kompaktní. Podle 5.4.8 je f([a, b]) ohraničená a uzavřená. K 1 n > 0 existuje yn ∈ f([a, b]) takové, že sup f([a, b]) − 1 n < yn, yn → sup f([a, b]) a podle 5.3.7 je sup f([a, b]) ∈ f([a, b]). Funkce f nabývá na [a, b] svého suprema, tedy své největší hodnoty. Analogicky ukážeme, že funkce f nabývá na [a, b]) i své nejmenší hodnoty. 5.5.6 Věta Buďte (P, ρ), (Q, σ), (R, τ) metrické prostory, F : P → Q, G : Q → R. Je-li zobrazení F spojité v bodě x0 ∈ P a zobrazení G je spojité v bodě F(x0) ∈ Q, pak je složené zobrazení G ◦ F : P → R spojité v bodě x0. Je-li zobrazení F spojité na P a zobrazení G je spojité na Q, pak je složené zobrazení G ◦ F : P → R spojité na P. D.: K O(G(F(x0))) ⊆ R existuje O(F(x0)) ⊆ Q, že G(O(F(x0))) ⊆ O(G(F(x0))), poněvadž G je spojité v F(x0). K O(F(x0)) ⊆ Q existuje O(x0) ⊆ P, že F(O(x0)) ⊆ O(F(x0)), neboť F je spojité v x0. Nyní G ◦ F(O(x0)) = G(F(O(x0))) ⊆ G(O(F(x0))) ⊆ O(G(F(x0))). Druhé tvrzení je důsledkem prvního. 5.5.7 Definice Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q. Řekneme, že zobrazení F je stejnoměrně spojité na P, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé dva body x, y ∈ P taková, že ρ(x, y) < δ platí σ(F(x), F(y)) < ε. Stejnoměrně spojité zobrazení je zřejmě spojité. 5.5.8 Věta (Heine - Cantor) Buď (P, ρ) kompaktní metrický prostor, (Q, σ) metrický prostor, F : P → Q spojité zobrazení. Pak je F stejnoměrně spojité. D.: Nechť (P, ρ) je kompaktní a F : P → Q spojité. Připusťme, že F není stejnoměrně spojité. Pak existuje ε0 > 0 takové, že ke každému δ > 0 existují x, y ∈ P tak, že ρ(x, y) < δ a σ(F(x), F(y)) ≥ ε0. K δ = 1 n existují xn, yn ∈ P, že ρ(xn, yn) < 1 n a σ(F(xn), F(yn)) ≥ ε0. Poněvadž P je kompaktní, lze z posloupnosti {xn}∞ n=1 vybrat posloupnost {xnk }∞ k=1 tak, že lim k→∞ xnk = x0 ∈ P. 159 Dále ρ(x0, ynk ) ≤ ρ(x0, xnk ) + ρ(xnk , ynk ) → 0 pro k → ∞ a tedy také lim k→∞ ynk = x0. Podle 5.5.3 platí σ(F(xnk ), F(ynk )) ≤ σ(F(xnk ), F(x0)) + σ(F(x0), F(ynk )) → 0 pro k → ∞, což je spor s σ(F(x), F(y)) ≥ ε0. 5.5.9 Definice Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q. Řekneme, že zobrazení F je lipschitzovské, jestliže existuje konstanta L ∈ R, L > 0 taková, že pro všechny x, y ∈ P je σ(F(x), F(y)) ≤ Lρ(x, y). Konstanta L se nazývá Lipschitzova konstanta. Řekneme, že zobrazení F je kontrakce, je-li lipschitzovské s konstantou L < 1. 5.5.10 Věta Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q. Je-li zobrazení F lipschitzovské, pak je stejnoměrně spojité (a tedy také spojité). D.: Nechť F je lipschitzovské s konstantou L. Buď ε > 0 libovolné. Položíme δ = ε L . Jsou-li x, y ∈ P libovolné body takové, že ρ(x, y) < δ, pak σ(F(x), F(y)) ≤ Lρ(x, y) < Lδ = L ε L = ε. 5.5.11 Příklady 1. Buď f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na tomto intervalu ohraničenou první derivaci. Pak f je lipschitzovská s konstantou L = sup{|f′ (x)| : x ∈ [a, b]}. D.: Podle 2.3.4.1 ke každým x, y ∈ [a, b] existuje ξ z intervalu o krajních bodech x a y takové, že f(x) − f(y) = f′ (ξ)(x − y). Odtud |f(x) − f(y)| = |f′ (ξ)| |x − y| ≤ L|x − y|. 2. (C[a, b], ρC), (R, ρ1), F : C[a, b] → R definované předpisem F(f) = b a f(x)dx. • ρ1(F(f), F(g)) = b a f(x)dx − b a g(x)dx = b a (f(x) − g(x))dx ≤ b a |f(x) − g(x)|dx ≤ ≤ b a max{|f(ξ) − g(ξ)| : ξ ∈ [a, b]}dx = max{|f(ξ) − g(ξ)| : ξ ∈ [a, b]} b a dx = = (b − a)ρC(f, g) (první nerovnost platí podle 3.3.9, druhá podle 3.3.6.) Zobrazení F je tedy lipschitzovské s konstantou b − a, což podle 5.5.10 znamená, že je spojité. • Z 5.5.3 plyne: Jestliže posloupnost funkcí {fn}∞ n=1 spojitých na intervalu [a, b] konverguje k funkci f v prostoru (C[a, b], ρC) (stejnoměrně konverguje k funkci f, sr. 5.3.2.3), pak platí b a f(x)dx = b a lim n→∞ fn(x)dx = lim n→∞ b a fn(x)dx. 5.5.12 Definice Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q a x0 ∈ P hromadný bod. Řekneme, že zobrazení F má v bodě x0 ∈ P limitu y0 ∈ Q a píšeme lim x→x0 F(x) = y0, jestliže ke každému okolí V bodu y0 v (Q, σ) existuje okolí U bodu x0 v (P, ρ) tak, že F(U \ {x0}) ⊆ V . Zřejmě platí: • lim x→x0 F(x) = y0 ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ P)(0 < ρ(x, x0) < δ ⇒ σ(F(x), F(x0)) < ε). • Jestliže má zobrazení F v bodě x0 limitu F(x0), pak je v tomto bodě spojité. • lim x→x0 F(x) = y0 právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞ n=1 bodů z P takovou, že pro každé n ∈ N je xn = x0 a xn → x0 v (P, ρ) platí F(xn) → y0 v (Q, σ). 160 5.5.13 Definice Nechť P je množina a F : P → P. Bod x ∈ P se nazývá pevný bod zobrazení F, jestliže F(x) = x. 5.5.14 Věta (Banach [1892–1945], o kontrakci) Buď (P, ρ) úplný metrický prostor, F : P → P kontrakce. Pak existuje jediný pevný bod zobrazení F. Tento pevný bod je limitou posloupnosti {xn}∞ n=1, kde x1 ∈ P je libovolný bod a xn+1 = F(xn). D.: • Nejdříve ukážeme, že posloupnost {xn}, xn+1 = F(xn) je cauchyovská: Pro libovolné n ∈ N platí ρ(xn, xn+1) = ρ (F(xn−1), F(xn)) ≤ Lρ(xn−1, xn) = Lρ (F(xn−2), F(xn−1)) ≤ ≤ L2 ρ(xn−2, xn−1) = · · · ≤ Ln−1 ρ(x1, x2). Odtud a z (M3) plyne, že pro libovolná n, p ∈ N platí ρ(xn, xn+p) ≤ ρ(xn, xn+1) + ρ(xn+1, xn+2) + · · · + ρ(xn+p−1, xn+p) ≤ ≤ Ln−1 ρ(x1, x2) + Ln ρ(x1, x2) + Ln+1 ρ(x1, x2) + · · · + Ln+p−2 ρ(x1, x2) = = Ln−1 + Ln + Ln+1 + · · · + Ln+p−2 ρ(x1, x2) = 1 + L + L2 + · · · + Lp−1 Ln−1 ρ(x1, x2) = = 1 − Lp 1 − L Ln−1 ρ(x1, x2) ≤ Ln−1 ρ(x1, x2) 1 − L → 0 pro n → ∞, neboť Ln−1 → 0 pro n → ∞. • Poněvadž (P, ρ) je úplný, existuje x0 = lim n→∞ xn ∈ P. • ρ(x0, F(x0)) ≤ ρ(x0, xn) + ρ(xn, F(x0)) = ρ(x0, xn) + ρ(F(xn−1), F(x0)) ≤ ≤ ρ(x0, xn) + Lρ(xn−1, x0) → 0 pro n → ∞ neboť lim n→∞ ρ(x0, xn) = lim n→∞ ρ(xn−1, x0) = 0 pro n → ∞. • Je-li y jiný pevný bod zobrazení F, pak ρ(y, x0) = ρ(F(y), F(x0)) ≤ Lρ(y, x0). Odtud plyne, že (1 − L)ρ(y, x0) ≤ 0 a poněvadž O < L < 1, musí být ρ(y, x0) = 0. 5.5.15 Aplikace (Newtonova iterační metoda) Nechť reálná funkce g má na uzavřeném intervalu I druhou derivaci a nenulovou první derivaci. Jestliže existuje ε > 0 takové, že pro každé x ∈ I platí |g(x)g′′ (x)| (g′(x)) 2 < 1 − ε, pak rovnice g(x) = 0 má na intervalu I jediný kořen x0 a platí x0 = lim n→∞ xn, kde posloupnost {xn}∞ n=1 je dána rekurentně: x1 ∈ I je libovolné číslo, xn+1 = xn − g(xn) g′(xn) . D.: Uvažujme metrický prostor (I, ρ) s přirozenou metrikou ρ(x, y) = |x − y|. Tento prostor je podle 5.4.8 kompaktní. Definujme funkci f : I → R předpisem f(x) = x− g(x) g′(x) . Číslo x0 je kořenem rovnice g(x) = 0 právě tehdy, když je pevným bodem zobrazení (funkce) f. Podle 2.3.3platí ρ (f(x), f(y)) = |f(x)−f(y)| = |f′ (ξ)| |x−y|, kde ξ je nějaké číslo mezi x a y. Označme L = sup{|f′ (ξ)| : ξ ∈ I}. Podle předpokladu |f′ (ξ)| = 1 − (g′ (ξ)) 2 − g(ξ)g′′ (ξ) (g′(ξ)) 2 = g(ξ)g′′ (ξ) (g′(ξ)) 2 < 1 − ε pro každé ξ ∈ I. Funkce f je tedy kontrakcí a tvrzení plyne z 5.5.14. 5.6 Cvičení 1) Ověřte, že ρ(x, y) = ln(1+|x−y|) a σ(x, y) = |x − y| 1 + |x − y| jsou metriky na R. Jsou tyto metriky ekvivalentní? 2) Vypočítejte vzdálenost funkcí f(x) = ln(1 + x) a g(x) = x e − 1 v prostoru C[0, 1] s metrikami ρC a ρI. 3) Vypočítejte vzdálenost množiny M = (x, y) ∈ R : y ≥ |x|3 od bodu (1 2 , 0) v prostoru (R2 , ρ2) 161 4) Vypočítejte vzdálenost bodu (3, 2) od množiny M = (x, y) ∈ R2 : y + bx ≤ 0 , kde b ≥ 0, v prostoru (R2 , ρ1). 5) Vypočítejte průměr množiny M = {f(x) = xn : n ∈ N} v prostoru (C[0, 1], ρI). 6) Najděte vnitřek, uzávěr, hranici a derivaci množiny A = 1 n : n ∈ N ∪ [1, 2) ∪ ((2, 3) ∩ Q) v prostoru (R, ρ). 7) Rozhodněte, zda platí tvrzení: Jsou-li množiny A, B uzavřené a ρ(A, B) = 0, pak A ∩ B = ∅. Pokud ano, dokažte; pokud ne, uveďte protipříklad. 8) Mohou existovat neprázdné podmnožiny A, B metrického prostoru takové, že A ⊆ B, A = B a A ∩ B = ∅? Pokud ne, dokažte; pokud ano, udejte příklad. 9) Nechť F je zobrazeníprostoru(C[a, b], ρC) do prostoru(R, ρ) dané předpisem F(f) = f a + b 2 . Rozhodněte, zda je toto zobrazení spojité. Je stejně definované zobrazení spojité na prostoru (C[a, b], ρI)? 10) Nechť A, B jsou neprázdné uzavřené a disjunktní množiny v prostoru (P, ρ). Najděte spojité zobrazení F : P → R (R uvažujeme s přirozenou metrikou ρ) takové, že F(x) = 1, x ∈ A 0, x ∈ B . 11) Rozhodněte, zda zobrazení F : [0, 1] → [0, 1] dané předpisem F(x) = √ x je Lipschitzovské. Existuje pevný bod tohoto zobrazení? 12) Najděte kořen rovnice cos x = x s přesností na čtyři desetinná místa. Výsledky: 1) Ano 2) ln(e − 1) − e−2 e−1 . = 0.1233, 2 ln 2 − 1−2e 2−2e . = 0.0953 3) 7 108 4) 2 + 3b pokud b < 1, 3 + 2 b , pokud b ≥ 1 5) 1 2 6) A◦ = (1, 2) ∪ (2, 3), A = 1 n : n ∈ N ∪ [1, 3], ∂A = 1 n : n ∈ N ∪ [2, 3], A′ = {0} ∪ [1, 3] 7) Ne. Např. v prostoru R2 , ρ2 jsou množiny A = {(x, 0) : x ≥ 1}, B = (x, 1 x ) : x ≥ 1 uzavřené a ρ(A, B) = 0. 8) Ano. Např. v prostoru (R, ρ) množiny A = [0, 1] ∩ I, B = [0, 2] ∩ Q. 9) Ano, ne 10) F(x) = ρ(x,B) ρ(x,A)+ρ(x,B) 11) Ne. Dokonce dva: 0 a 1 12) 0.7391 162 Kapitola 6 Fourierovy řady a integrální transformace 6.1 Hilbertův prostor 6.1.1 Definice Buď V reálný vektorový prostor a · · : V × V → R zobrazení, které pro všechna u, v, w ∈ V splňuje podmínky: (U1) u = 0 ⇒ u u > 0, (U2) u v = v u , (U3) αu v = α u v , (U4) u + v w = u w + v w . Zobrazení · · se nazývá skalární (nebo též vnitřní) součin vektorů. 6.1.2 Poznámky 1. u = 0 ⇔ u u = 0 D.: Je-li u = 0 pak u = 0v pro libovolný vektor v ∈ V a tedy podle (U3) je u u = 0v u = 0 v u = 0 Je-li u u = 0, podle (U1) nemůže být u = 0. 2. u αv = α u v D.: u αv = αv u = α v u = α u v První rovnost plyne z (U2), druhá z (U3) a třetí opět z (U2). 3. u v + w = u v + u w D.: u v + w = v + w u = v u + w u = u v + u w První rovnost plyne z (U2), druhá z (U4) a třetí opět z (U2). 6.1.3 Věta (Cauchyova [1789 – 1857] - Bunjakovského [1804 – 1889] - Schwarzova [1843 – 1921] nerovnost) Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · . Pak pro všechna u, v ∈ V platí u v ≤ u u v v , přičemž rovnost nastane právě tehdy, když vektory u, v jsou lineárně závislé. 163 D.: Nechť u v = 0. Pro každé α ∈ R podle (U1), 6.1.2.1 a pravidel pro počítání se skalárním součinem platí 0 ≤ αu + v αu + v = α2 u u + 2α u v + v v , což znamená, že kvadratická rovnice s neznámou α u u α2 + 2 u v α + v v = 0 (6.1) má nejvýše jeden reálný kořen, tedy 4 u v 2 − 4 u u v v ≤ 0, neboť koeficient u α2 je kladný. Odtud plyne dokazovaná nerovnost. Ukážeme, že jsou-li vektory u, v lineárně závislé, nastane ve Schwarzově nerovnosti rovnost. Nechť tedy v = βu, pak | u v | = |β u u | = β2 u u u u = u u βu βu = = u u v v . Nakonec ukážeme, že nastává-li ve Schwarzověnerovnosti rovnost, jsou vektory u, v lineárně závislé. Nechť tedy u v 2 = u u v v . Je-li u u = 0, má rovnice (6.1) kořen α = − u v u u a pro takové α je αu + v αu + v = 0, což podle 6.1.2.1 znamená, že αu + v = 0, neboli v = −αu. Je-li u u = 0, je tvrzení triviální. 6.1.4 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · . Pro u ∈ V položme ||u|| = u u . Pak pro všechna u, v ∈ V, α ∈ R platí (N1) u = 0 ⇔ ||u|| > 0, (N2) ||αu|| = |α| ||u||, (N3) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||. D.: Jediné netriviální tvrzení je (N3). S využitím 6.1.3 dostaneme: ||u + v||2 = u + v u + v = u u + 2 u v + v v = = ||u||2 + 2| u v | + ||v||2 ≤ ||u||2 + 2 u u v v + ||v||2 = (||u|| + ||v||)2 . Cauchyovu - Bunjakovského - Schwarzovu nerovnost lze zapsat: u v ≤ ||u|| ||v|| nebo u v 2 ≤ ||u|| 2 ||v|| 2 . 6.1.5 Definice Buď V reálný vektorový prostor a ||·|| : V → R zobrazení, které pro všechna u, v ∈ V, α ∈ R splňuje podmínky (N1), (N2), (N3) z 6.1.4. Pak ||·|| se nazývá norma (na vektorovém prostoru V ). 6.1.6 Věta Buď V reálný vektorový prostor s normou ||·||. Definujme zobrazení ρ : V × V → R předpisem ρ(u, v) = ||u − v||. Pak ρ je metrika na V . D.: Axiomy totožnosti a symetrie jsou zřejmé. Trojúhelníková nerovnost plyne z (N3): ρ(u, w) = ||u − w|| = ||u − v + v − w|| ≤ ||u − v|| + ||v − w|| = ρ(u, v) + ρ(v, w). Je-li V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , budeme V uvažovat současně s normou zavedenou v 6.1.4 a s metrikou zavedenou v 6.1.6. 164 6.1.7 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , pak zobrazení · · : V × V → R je spojité. D.: Na V × V zavedeme metriku ρ2 předpisem ρ2((u1, v1), (u2, v2)) = ||u1 − u2|| 2 + ||v1 − v2|| 2 . Pro všechny dvojice (u1, v1), (u2, v2) ∈ V × V platí ||u1 − u2|| ≤ ρ2((u1, v1), (u2, v2)), ||v1 − v2|| ≤ ρ2((u1, v1), (u2, v2)) . Buď (u0, v0) ∈ V × V libovolná dvojice a ε > 0 libovolné číslo. Položme δ = (||u0|| + ||v0||) 2 + 2ε − ||u0|| − ||v0|| 2 . Pak δ > 0 a δ2 + (||u0|| + ||v0||) δ = ε 2 . Buď dále (u1, v1) ∈ V × V libovolná dvojice taková, že ρ2((u1, v1), (u0, v0)) < δ. Pak s využitím 6.1.3 dostaneme | u1 v1 − u0 v0 | = | u1 − u0 v1 − v0 + u0 v1 − v0 + u1 − u0 v0 | ≤ ≤ | u1 − u0 v1 − v0 | + | u0 v1 − v0 | + | u1 − u0 v0 | ≤ ≤ ||u1 − u0|| ||v1 − v0|| + ||u0|| ||v1 − v0|| + ||v0|| ||u1 − u0|| ≤ ≤ δ2 + ||u0|| δ + ||v0|| δ = ε 2 < ε , což znamená, že zobrazení · · je spojité v (u0, v0). Poněvadž (u0, v0) byla libovolná dvojice z V × V , je toto zobrazení spojité na V × V . 6.1.8 Důsledek Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · a {vn}∞ n1 posloupnost vektorů taková, že lim n→∞ vn = v. Pak lim n→∞ ||vn|| = ||v|| a pro libovolný vektor u ∈ V platí lim n→∞ vn u = v u . D.: Plyne z 5.5.3. 6.1.9 Definice Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · . Řekneme, že vektory u, v ∈ V jsou ortogonální a píšeme u⊥v, jestliže u = 0 = v a u v = 0. Řekneme, že množina S ⊆ V je ortogonální, jestliže pro každé dva různé vektory u, v ∈ S je u⊥v. Jestliže navíc pro každý vektor u ∈ S platí ||u|| = 1, nazývá se množina S ortonormální. Je-li množina S ortogonální, je množina 1 ||u|| u : u ∈ S zřejmě ortonormální. Označení: Je-li V vektorový prostor a S ⊆ V , pak podprostor generovaný množinou S (lineární obal množiny S, množinu všech lineárních kombinací vektorů z S) označíme Lin(S). Mohutnost množiny M označíme cardM. 6.1.10 Věta (Gramova [1850–1916] - Schmidtova [1876–1959] ortogonalizace) Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · a S ⊆ V konečná nebo spočetná lineárně nezávislá množina. Pak existuje ortonormální množina R ⊆ V taková, že Lin(S) = Lin(R) a card S = card R. 165 D.: Nechť S = {u1, u2, . . . }. Definujme vektory x1, x2, . . . a u1, u2, . . . takto: x1 = u1 v1 = 1 ||x1|| x1 x2 = u2 − u2 v1 v1 v2 = 1 ||x2|| x2 ... ... xk+1 = uk+1 − k i=1 uk+1 vi vi vk+1 = 1 ||xk+1|| xk+1 ... ... Tento postup končí, je-li množina S konečná vyčerpáním všech jejích prvků. Jinak můžeme neomezeně pokračovat. Položíme R = {v1, v2, . . . }. Zřejmě je card S = card R. Úplnou indukcí ověříme, že vektor vn je lineární kombinací vektorů u1, u2, . . . , un a naopak, vektor un je lineární kombinací vektorů v1, v2, . . . , vn. Tedy Lin(S) = Lin(R). Je-li množina {x1, x2, . . . , xk} ortogonální, tak pro každé j ∈ {1, 2, . . ., k} platí xk+1 xj = uk+1 − k i=1 uk+1 vi vi xj = = uk+1 xj − k i=1 uk+1 vi vi xj = = uk+1 xj − k i=1 uk+1 xi 1 ||xi|| 2 xi xj = = uk+1 xj − uk+1 xj = 0 . Tedy xk+1⊥xj pro každé j ∈ {1, 2, . . ., n}, což znamená, že množina {x1, x2, . . . , xk, xk+1} je ortogonální. Z principu matematické indukce plyne, že množina {x1, x2, . . . } je ortogonální a tedy množina R je ortonormální. 6.1.11 Poznámka Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · a {un}∞ n=1 posloupnost vektorů z V . Pro každé n ∈ N položme sn = n i=1 ui. Řekneme, že nekonečná řada vektorů ∞ n=1 un konverguje k vektoru s a píšeme ∞ n=1 un = s, jestliže lim n→∞ sn = s v prostoru s metrikou zavedenou v 6.1.4. 6.1.12 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , {un}∞ n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V a {γn}∞ n=1 posloupnost reálných čísel. • Je-li prostor V úplný a číselná řada ∞ n=1 γ2 n konverguje, pak také řada vektorů ∞ n=1 γnun konverguje. • Jestliže řada vektorů ∞ n=1 γnun konverguje k vektoru v ∈ V , pak číselná řada ∞ n=1 γ2 n konverguje a pro každé n ∈ N platí γn = v un . D.: Označme sn = n k=1 γkuk. Nechť V je úplný a ∞ n=1 γ2 n konverguje. Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že pro 166 n ≥ n0, m ∈ N je n+m k=n+1 γ2 k < ε. Pro n ≥ n0, p ≥ n0, p > n je tedy ||sp − sn|| 2 = p k=n+1 γkuk 2 = p k=n+1 γkuk p k=n+1 γkuk = = p k=n+1 p j=n+1 γkγj uk uj = p k=n+1 γ2 k < ε , což znamená, že posloupnost {sn}∞ n=1 je cauchyovská a protože je V úplný, je tato posloupnost konver- gentní. Nechť ∞ n=1 γnun = v ∈ V . Kdyby ∞ n=1 γ2 n = ∞, pak by z analogického výpočtu jako v předchozím kroku vyplynulo, že posloupnost {sn}∞ n=1 by nebyla cauchyovská, což by byl spor s její předpokládanou konver- gencí. S využitím 6.1.8 dostaneme v uk = lim n→∞ n i=1 γiui uk = lim n→∞ n i=1 γi ui uk = lim n→∞ γk = γk . 6.1.13 Definice Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , {un}∞ n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V a v ∈ V . Čísla γn = v un se nazývají Fourierovy koeficienty vektoru v vzhledem k ortonormální posloupnosti {un}∞ n=1 a řada ∞ n=1 γnun se nazývá Fourierova řada vektoru v vzhledem k ortonormální posloupnosti {un}∞ n=1. 6.1.14 Věta Buď V reálný vektorovýprostor se skalárním součinem · · , {un}∞ n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V , v ∈ V , {γn}∞ n=1 posloupnost Fourierových koeficientů vektoru v vzhledem k posloupnosti {un}∞ n=1 a {βn}∞ n=1 libovolná posloupnost reálných čísel. Pak pro každé n ∈ N platí nerovnost v − n i=1 γiui ≤ v − n i=1 βiui (mezi všemi lineárními kombinacemi vektorů u1, u2, . . . , un má od vektoru v nejmenší vzdálenost ta, jejíž koeficienty jsou Fourierovými koeficienty vektoru v) a v − n i=1 γiui 2 = ||v||2 − n i=1 γ2 i (Besselova identita). 167 D.: Dokazovaná nerovnost i Besselova identita plynou z rovnosti v − n i=1 βiui 2 = v − n i=1 βiui v − n i=1 βiui = = ||v||2 − n i=1 βi ui v − n i=1 βi v ui + n i=1 n j=1 βiβj ui uj = = ||v||2 − 2 n i=1 βiγi + n i=1 β2 i = ||v||2 + n i=1 (β2 i − 2βiγi) = = ||v|| 2 + n i=1 (βi − γi)2 − γ2 i = ||v|| 2 − n i=1 γ2 i + n i=1 (βi − γi)2 . 6.1.15 Důsledek (Besselova [1784 – 1846] nerovnost) Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , {un}∞ n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V , v ∈ V , {γn}∞ n=1 posloupnost Fourierových koeficientů vektoru v vzhledem k posloupnosti {un}∞ n=1. Pak platí n i=1 γ2 i ≤ ||v|| 2 . Z Besselovynerovnostia z 6.1.12plyne, že v úplném prostoruFourierovařada libovolnéhovektorukonverguje. 6.1.16 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , který je úplný, {un}∞ n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V a v ∈ V . Fourierova řada ∞ n=1 γnun vektoru v vzhledem k {un}∞ n=1 konverguje k vektoru v právě tehdy, když platí ∞ n=1 γ2 n = ||v||2 (Parsevalova rovnost). D.: Podle 6.1.8 a 6.1.14 platí v − ∞ n=1 γnun 2 = lim n→∞ v − n i=1 γiui 2 = lim n→∞ ||v||2 − n i=1 γ2 i = ||v||2 − ∞ n=1 γ2 n . 6.1.17 Definice Reálný vektorový prostor, který je úplný a v němž existuje nekonečná ortonormální podmnožina se nazývá Hilbertův prostor. 6.1.18 Příklad Nechť ℓ2 je množina posloupností {αi}∞ i=1 takových, že řada ∞ i=1 α2 i konverguje. Jsou-li {αi}∞ i=1, {βi}∞ i=1 ∈ ℓ2 pak řada ∞ i=1 αiβi konverguje absolutně. 168 D.: |αiβi| ≤ max{α2 i , β2 i } k i=1 max{α2 i , β2 i } ≤ k i=1 α2 i + k i=1 β2 i ≤ ∞ i=1 α2 i + ∞ i=1 β2 i < ∞. Řada s nezápornými členy ∞ i=1 max{α2 i , β2 i } má ohraničenou posloupnost částečných součtů. Podle 4.2.1 tato řada konverguje, takže podle 4.2.4 konverguje i řada ∞ i=1 |αiβi|. ℓ2 tvoří reálný vektorový prostor a lze snadno ověřit, že zobrazení · · : ℓ2 × ℓ2 → R definované pro u = {αi}∞ i=1 ∈ ℓ2 , v = {βi}∞ i=1 ∈ ℓ2 předpisem u v = ∞ i=1 αiβi je skalární součin. Položme en = {δni}∞ i=1, kde δij = 0, i = j 1, i = j . Pak zřejmě pro každé n ∈ N je en ∈ ℓ2 , ||en|| = 1, en em = 0 pro n = m. Tedy {en}∞ n=1 je ortonormální posloupnost v ℓ2 . Buď u = {αi}∞ i=1 ∈ ℓ2 libovolný vektor. Fourierovy koeficienty tohoto vektoru vzhledem k {en}∞ n=1 jsou γn = u en = ∞ i=1 αiδni = αn . Dále lim n→∞ u − n i=1 αiei 2 = lim n→∞ u − n i=1 αiei u − n i=1 αiei = = lim n→∞   u u − 2 n i=1 αi u ei + n i=1 n j=1 αiαj ei ej   = = lim n→∞ ∞ i=1 α2 i − 2 n i=1 α2 i + n i=1 α2 i = lim n→∞ ∞ i=n+1 α2 i = 0 , takže Fourierova řada libovolného vektoru u ∈ ℓ2 konverguje k u. 6.2 Prostor L2 (a, b) Nechť a, b ∈ R∗ , a < b. Symbolem C2 (a, b) označíme množinu všech funkcí f spojitých na intervalu (a, b), pro něž b a (f(x))2 dx < ∞. Jsou-li a, b ∈ R a lim x→a+ f(x) ∈ R, lim x→b− f(x) ∈ R, je nerovnost triviální. V opačném případě říká, že příslušný nevlastní integrál konverguje. 6.2.1 Poznámky 1. Jsou-li f, g ∈ C2 (a, b), pak b a |f(x)g(x)|dx < ∞ a −∞ < b a f(x)g(x)dx < ∞. D.: Nechť uvažované integrály jsou nevlastní. (V opačném případě by tvrzení bylo triviální.) b a |f(x)g(x)|dx ≤ b a max{(f(x))2 , (g(x))2 }dx ≤ b a (f(x))2 dx + b a (g(x))2 dx < ∞ . Druhá nerovnost plyne z 3.5.8. 2. Jsou-li f, g ∈ C2 (a, b), pak také f + g ∈ C2 (a, b) a pro každé α ∈ R je αf ∈ C2 (a, b). 169 D.: b a (f(x) + g(x))2 dx = b a (f(x))2 dx + 2 b a f(x)g(x)dx + b a (g(x))2 dx ≤ ≤ b a (f(x))2 dx + 2 b a f(x)g(x)dx + b a (g(x))2 dx ≤ ≤ b a (f(x))2 dx + 2 b a |f(x)g(x)| dx + b a (g(x))2 dx < ∞ , b a (αf(x))2 dx = α2 b a (f(x))2 dx < ∞ . 3. C2 (a, b) tvoří reálný vektorový prostor, nulovým vektorem je funkce f ≡ 0. (Budeme ji značit 0.) D.: Plyne bezprostředně z předchozího tvrzení. 4. Zobrazení Φ : C2 (a, b) × C2 (a, b) → R dané předpisem Φ(f, g) = b a f(x)g(x)dx je skalárním součinem. D.: Nejprve poznamenejme, že zobrazení Φ je podle 1. definováno korektně. Ověříme platnost podmínky (U1): Nechť f = 0. Pak existuje x0 ∈ (a, b) takové, že f(x0) = 0 a ze spojitosti funkce f plyne existence okolí O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ (a, b) bodu x0 takového, že (f(x0))2 ≥ ε > 0 pro všechna x ∈ O(x0). Podle 3.3.1 je x0+δ x0−δ (f(x))2 dx ≥ 2εδ a tedy Φ(f, f) = b a (f(x))2 dx = x0−δ a (f(x))2 dx + x0+δ x0−δ (f(x))2 dx + b x0+δ (f(x))2 dx ≥ 0 + 2εδ + 0 > 0. Platnost podmínek (U2) – (U4) je zřejmá. 5. Jsou-li f, g ∈ C2 (a, b), pak b a f(x)g(x)dx ≤ b a (f(x))2dx b a (g(x))2dx . D.: Plyne z předchozího tvrzení a z 6.1.3. 6.2.2 Definice Buď f funkce definovaná na intervalu (a, b). Řekneme, že funkce f je po částech spojitá, je-li množina jejich bodů nespojitosti konečná. Řekneme, že funkce f je po částech monotonní, existují-li čísla x0, x1, . . . , xn ∈ R∗ taková, že a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b a funkce f je monotonní na každém z intervalů (xi−1, xi), i = 1, 2, . . ., n. Symbolem ˜L2 (a, b) označíme množinu všech po částech spojitých funkcí f definovaných na intervalu (a, b), pro něž b a (f(x))2 dx < ∞. Pro každou funkci f ∈ ˜L2 (a, b) označíme symbolem N(f) množinu jejích bodů nespojitosti. 6.2.3 Poznámky 1. Na množině ˜L2 (a, b) definujme relaci ∼ předpisem: f ∼ g ⇔ b a (f(x) − g(x))2 dx = 0. Pak ∼ je relací ekvivalence na množině ˜L2 (a, b). 170 D.: Reflexivita a symetrie jsou zřejmé. Nechť f ∼ g, g ∼ h. Buďte x0, x1, . . . , xn ∈ R∗ taková, že a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b a N(f) ∪ N(g) ∪ N(h) ⊆ {x0, x1, . . . , xn}. Pak každá z funkcí f, g, h je spojitá v každém intervalu (xi−1, xi) a platí xi xi−1 (f(x) − g(x))2 dx = xi xi−1 (g(x) − h(x))2 dx = 0, i = 1, 2, . . ., n. S využitím 6.2.1.5 dostaneme 0 ≤ b a (f(x) − h(x))2 dx = b a (f(x) − g(x) + g(x) − h(x))2 dx = = b a (f(x) − g(x))2 dx + 2 b a (f(x) − g(x))(g(x) − h(x))dx + b a (g(x) − h(x))2 dx = = 0 + 2 n i=1 xi xi−1 (f(x) − g(x))(g(x) − h(x))dx + 0 ≤ ≤ 2 n n=1 xi xi−1 (f(x) − g(x))(g(x) − h(x))dx ≤ ≤ 2 n n=1 xi xi−1 (f(x) − g(x))2dx xi xi−1 (g(x) − h(x))2dx = 0 . takže b a (f(x) − h(x))2 dx = 0, což znamená f ∼ h. 2. Jsou-li f, g, f1, g1 ∈ ˜L2 (a, b) a platí f ∼ f1, g ∼ g1, pak −∞ < b a f(x)g(x)dx = b a f1(x)g1(x)dx < ∞. D.: Buďte x0, x1, . . . , xn ∈ R∗ taková, že a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b a N(f) ∪ N(g) ∪ N(f1) ∪ N(g1) ⊆ {x0, x1, . . . , xn}. Pak b a f(x)g(x)dx = n i=1 xi xi−1 f(x)g(x)dx a f, g ∈ C2 (xi−1, xi) pro každé i = 1, 2, . . . , n. Z 6.2.1.1 tedy plyne −∞ < b a f(x)g(x)dx < ∞. Dále podle 6.2.1.2 f, g1, f−f1, g−g1 ∈ C2 (xi−1, xi) a xi xi−1 (f(x)−f1(x))2 dx = xi xi−1 (g(x)−g1(x))2 dx = 0 pro každé i = 1, 2, . . ., n. S využitím 6.2.1.5 dostaneme 0 ≤ b a f(x)g(x)dx − b a f1(x)g1(x)dx = b a (f(x)g(x) − f1(x)g1(x))dx = = b a (f(x)g(x) − f(x)g1(x) + f(x)g1(x) − f1(x)g1(x))dx = = b a f(x)(g(x) − g1(x))dx + b a (f(x) − f1(x))g1(x)dx ≤ ≤ b a f(x)(g(x) − g1(x))dx + b a (f(x) − f1(x))g1(x)dx = 171 = n i=1 xi xi−1 f(x)(g(x) − g1(x))dx + n i=1 xi xi−1 (f(x) − f1(x))g1(x)dx ≤ = n i=1 xi xi−1 f(x)(g(x) − g1(x))dx + n i=1 xi xi−1 (f(x) − f1(x))g1(x)dx ≤ ≤ n i=1 xi xi−1 (f(x))2dx xi xi−1 (g(x) − g1(x))2dx+ + n i=1 xi xi−1 (f(x) − f1(x))2dx xi xi−1 (g1(x))2dx = 0 . Odtud plyne rovnost mezi integrály. 3. Jsou-li f1, g1, f2, g2 ∈ ˜L2 (a, b) takové, že f1 ∼ f2, g1 ∼ g2 a α ∈ R, pak f1 + g1 ∼ f2 + g2 a αf1 ∼ αf2. D.: 0 = b a (f1(x) − f2(x))2 dx = b a ((f1(x) − f2(x)) − 0)2 dx, takže f1 − f2 ∼ 0. Podle předchozího je b a (f1(x) − f2(x))(g1(x) − g2(x))dx = b a 0(g1(x) − g2(x))dx = 0, tedy b a ((f1(x) + g1(x)) − (f2(x) + g2(x)))2 dx = b a ((f1(x) − f2(x)) + (g1(x) − g2(x)))2 dx = = b a (f1(x) − f2(x))2 dx + 2 b a (f1(x) − f2(x))(g1(x) − g2(x))dx + b a (g1(x) − g2(x))2 dx = 0 . Dále b a (αf1(x) − αf2(x))2 dx = α2 b a (f1(x) − f2(x))2 dx = 0 . Pro každé f ∈ ˜L2 (a, b) položme f = {h ∈ ˜L2 (a, b) : f ∼ h}. Neboli: množiny f jsou třídy rozkladu množiny ˜L2 (a, b) podle ekvivalence ∼, f ∈ ˜L2 (a, b)/ ∼; f = g ⇔ f ∼ g. Označme L2 (a, b) = ˜L2 (a, b)/ ∼ . Dále pro f , g ∈ L2 (a, b), α ∈ R klademe f + g = f1 + g1 (součet) α f = αf (násobení skalárem) přičemž f1 ∈ f , g1 ∈ g . Podle 6.2.3.3 součet ani násobení skalárem nezávisí na výběru representantů f1, g1. Množina L2 (a, b) tvoří reálný vektorový prostor. Jeho nulovým prvkem 0 je třída obsahující funkci f ≡ 0. Zobrazení · · : L2 (a, b) × L2 (a, b) → R definované pro f , g ∈ L2 (a, b) předpisem f g = b a f1(x)g1(x)dx , kde f1 ∈ f , g1 ∈ g , nezávisí podle 6.2.3.2 na výběru representantů f1, g1. 172 Nechť f1 ∈ f . Pak platí f f = b a (f1(x))2 dx ≥ 0 , f f = 0 ⇒ b a (f1(x))2 dx = 0 ⇒ f1 ∼ 0 ⇒ 0 ∈ f ⇒ f = 0 . Je tedy splněna podmínka (U1) z 6.1.1. Platnost podmínek (U2) – (U4) je zřejmá. Zobrazení · · je skalárním součinem na L2 (a, b). V dalším budeme pro zjednodušení zápisu prvky množiny L2 (a, b) značit stejně jako funkce z množiny ˜L2 (a, b). (Třídy rozkladu ztotožňujeme s representanty.) Vzdálenost dvou funkcí f, g v prostoru L2 (a, b) je ||f − g|| = b a (f(x) − g(x))2dx a nazývá se střední odchylka funkcí f, g. Konvergenceposloupnosti funkcí v prostoruL2 (a, b) se nazývákonvergence (posloupnosti funkcí) podle středu. 6.3 Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému Uvažujme prostor L2 (−π, π) a posloupnost funkcí {1, cosx, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cosnx, sin nx, . . . }. Platí 1 1 = π −π dx = 2π , cos nx cos nx = π −π cos2 nxdx = π −π 1 + cos 2nx 2 dx = 1 2 x + sin 2nx 4n π −π = π , sin nx sin nx = π −π sin2 nxdx = π −π 1 − cos 2nx 2 dx = 1 2 x − sin 2nx 4n π −π = π , 1 cos nx = π −π cos nxdx = 1 n sin nx π −π = 0 , 1 sin nx = π −π sin nxdx = − 1 n cos nx π −π = − 1 n ((−1)n − (−1)n ) = 0 , sin nx cos mx = π −π sin nx cos mxdx = 1 2 π −π (sin(n + m)x + sin(n − m)x)dx = 0 . Odtud plyne, že uvažovaná posloupnost funkcí je ortogonální v prostoru L2 (−π, π) a tedy posloupnost funkcí 1 √ 2π , 1 √ π cos x, 1 √ π sin x, 1 √ π cos 2x, 1 √ π sin 2x, . . . , 1 √ π cos nx, 1 √ π sin nx, . . . 173 je ortonormální posloupností funkcí v prostoru L2 (−π, π). Tato posloupnost se nazývá trigonometrický systém funkcí. Je-li f ∈ L2 (−π, π), pak Fourierova řada této funkce vzhledem ke zmíněné ortonormální posloupnosti je α0 1 √ 2π + ∞ n=1 αn cos nx √ π + βn sin nx √ π , kde α0 = 1 √ 2π π −π f(x)dx, αn = 1 √ π π −π f(x) cos nxdx, βn = 1 √ π π −π f(x) sin nxdx, n = 1, 2, 3, . . .. Tuto řadu lze zapsat v přehlednějším tvaru a0 2 + ∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx) , kde an = 1 π π −π f(x) cos nxdx , n = 0, 1, 2, . . . bn = 1 π π −π f(x) sin nxdx , n = 1, 2, . . . . Z 6.1.16 a 4.3.13 plyne 6.3.1 Věta Buď f ∈ L2 (−π, π). Fourierova řada funkce f vzhledem k trigonometrickému systému konverguje k funkci f podle středu (v metrice prostoru L2 (−π, π)) právě tehdy, když a2 0 2 + ∞ n=1 a2 n + ∞ n=1 b2 n = ||f|| 2 . Z 6.1.4 a 4.1.5 plyne 6.3.2 Věta Nechť f ∈ L2 (−π, π) a a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . jsou Fourierovy koeficienty této funkce vzhledem k trigonometrickému systému. Pak lim n→∞ an = lim n→∞ bn = 0. 6.3.3 Věta (Dirichlet [1805 – 1859]) Nechť funkce f je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu [−π, π]. Pak její Fourierova řada vzhledem k trigonometrickému systému bodově konverguje na intervalu [−π, π] k funkci ˜f, přičemž ˜f(x) =    f(x), x ∈ (−π, π), f je spojitá v x 1 2 lim t→x− f(t) + lim t→x+ f(t) , x ∈ (−π, π), f není spojitá v x 1 2 lim t→−π+ f(t) + lim t→π− f(t) , x ∈ {−π, π} . D.: Viz V. Novák, Nekonečné řady. Poznamenejme jen, že podle 1.6.15 příslušné jednostranné limity existují. 174 Zřejmě ˜f ∼ f, t.j. ˜f = f v prostoru L2 (−π, π). (Bodový) součet Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému je 2π-periodická funkce. Tedy (bodový) součet Fourierovy řady je 2π-periodické rozšíření funkce, která je na intervalu (−π, π) ekvivalentní (ve smyslu 6.2.3.1) funkci f. Je-li f ∈ L∈ (−π, π) sudá funkce, pak bn = 0, n = 1, 2, . . . a Fourierova řada této funkce vzhledem k trigonometrickému systému má tvar a0 2 + ∞ n=1 an cos nx kde an = 2 π π 0 f(x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . . . Tato řada se nazývá kosinová (řada funkce f). Je-li f ∈ L2 (−π, π) lichá funkce, pak an = 0, n = 0, 1, 2, . . . a Fourierova řada této funkce vzhledem k trigonometrickému systému má tvar ∞ n=1 bn sin nx kde bn = 2 π π 0 f(x) sin nxdx, n = 1, 2, . . . . Tato řada se nazývá sinová (řada funkce f). 6.3.4 Příklad Nechť f(x) = x pro x ∈ [−π, π]. Je to funkce lichá, proto an = 0, n = 0, 1, 2, . . .. bn = 1 π π −π x sin nxdx = 1 π   − 1 n x cos nx π −π + 1 n π −π cos nxdx   = = 1 π − 1 n π cos nπ − 1 n π cos nπ) + 1 n2 [sin nx] π −π = = − 2 n cos nπ = − 2 n (−1)n = (−1)n+1 2 n Tedy pro x ∈ (−π, π) je x = 2 ∞ n=1 (−1)n+1 n sin nx . Zejména pro x = π 2 je π 2 = 2 ∞ n=1 (−1)n+1 n sin nπ 2 = 2(1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · ) = 2 ∞ n=0 (−1)n 2n + 1 , tedy π = 4 ∞ n=0 (−1)n 2n + 1 . 6.3.5 Věta (Dirichlet [1805 – 1859] - Jordan [1838 – 1922]) Nechť funkce f je 2π-periodická, ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu [−π, π]. Jeli f spojitá na intervalu (a, b), pak Fourierova řada funkce f vzhledem k trigonometrickému systému konverguje stejnoměrně k funkci f na každém uzavřeném podintervalu intervalu (a, b). D.: Viz V. Novák, Nekoneěné řady. Poznamenejme jen, že interval (a, b) nemá žádný vztah k intervalu [−π, π]. 175 6.3.6 Příklad f(x) = x2 pro x ∈ [−π, π]. S využitím výsledku 6.3.4 dostaneme f(x) = 2 x 0 tdt = 2 x 0 2 ∞ n=1 (−1)n+1 n sin nt dt = 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n x 0 sin ntdt = = 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n 1 n [− cosnt]x 0 = 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 (cos 0 − cos nx) = = 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 (1 − cos nx) = 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 − 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 cos nx (Výpočet je korektní, neboť řada ∞ n=1 (−1)n+1 n2 (1 − cos nx) konverguje absolutně.) Současně platí a0 2 = 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 = 1 2π π −π f(x)dx = 1 2π π −π x2 dx = 1 6π [x3 ]π −π = π2 3 . Tedy pro x ∈ [−π, π] je x2 = π2 3 − 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 cos nx . Zejména pro x = π je π2 = π2 3 − 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 cos nπ = π2 3 − 4 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 (−1)n = π2 3 + 4 ∞ n=1 1 n2 , z čehož π2 = 6 ∞ n=1 1 n2 . Mimochodem také vyšlo π2 = 12 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 . 6.3.7 Fourierovy řady funkcí z prostoru L2 (a, b) Nechť f ∈ L2 (a, b) je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní. Položme g(t) = f b − a 2π t + a + b 2 . Pak g je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní funkce definovaná na intervalu [−π, π] a platí f(x) = g 2x − a − b b − a π . Podle 6.3.3 je g(t) ∼ α0 2 + ∞ n=1 (αn cos nt + βn sin nt) , kde αn = 1 π π −π g(t) cos ntdt , n = 0, 1, 2, . . . βn = 1 π π −π g(t) sin nxdt , n = 1, 2, . . . . 176 Substitucí t = 2x − a − b b − a π, dt = 2π b − a dx a při označení ϕn = 2 b − a nπ, ψn = b + a b − a nπ dostaneme cos nt = cos(ϕnx − ψ) = cos ϕnx cos ψn + sin ϕnx sin ψn , sin nt = sin(ϕnx − ψ) = sin ϕnx cos ψn − cos ϕnx sin ψn , αn = 2 b − a b a g(ϕnx − ψ) cos(ϕnx − ψ)dx = = 2 b − a  cos ψn b a f(x) cos ϕnxdx + sin ψn b a f(x) sin ϕnxdx   , βn = 2 b − a b a g(ϕnx − ψ) sin(ϕnx − ψ)dx = = 2 b − a  cos ψn b a f(x) sin ϕnxdx − sin ψn b a f(x) cos ϕnxdx   . Označme an = 2 b − a b a f(x) cos 2nπ b − a xdx , n = 0, 1, 2, . . . , (6.2) bn = 2 b − a b a f(x) sin 2nπ b − a xdx , n = 1, 2, . . . . Tedy f(x) = g 2x − a − b b − a π ∼ a0 2 + ∞ n=1 [(an cos ψn + bn sin ψn)(cos ϕnx cos ψn + sin ϕnx sin ψn) + +(bn cos ψn − an sin ψn)(sin ϕnx cos ψn − cos ϕnx sin ψn)] = = a0 2 + ∞ n=1 [(cos ϕnx cos2 ψn + sin ϕnx sin ψn cos ψn − − sin ϕnx sin ψn cos ψn + cos ϕnx sin2 ψn)an + (cos ϕnx sin ψn cos ψn + sin ϕnx sin2 ψn + + sin ϕnx cos2 ψn − cos ϕnx sin ψn cos ψn)bn] = = a0 2 + ∞ n=1 (an cos ϕnx + bn sin ϕnx) . To znamená, že f(x) ∼ a0 2 + ∞ n=1 an cos 2nπ b − a x + bn sin 2nπ b − a x , (6.3) kde koeficienty an, bn jsou dány vztahy (6.2). Pro bodovou a stejnoměrnou konvergenci řady (6.3) platí věty analogické 6.3.3 a 6.3.5. Vzorec (6.3) můžeme ještě upravit. Položme ωn = 2nπ b − a , An = a2 n + b2 n, ϕn = arctg bn an . 177 Pak platí an cos ωnx + bn sin ωnx = a2 n + b2 n an a2 n + b2 n cos ωn + bn a2 n + b2 n sin ωn = = An (cos ϕn cos ωnx + sin ϕ sin ωnx) = An cos(ωnx − ϕn) a formuli (6.3) můžeme přepsat na tvar f(x) ∼ a0 2 + ∞ n=1 An cos(ωnx − ϕn). Hodnoty ωn, An a ϕn se nazývají frekvence, amplituda a fáze n-tého členu Fourierovy řady funkce f. Rozložení frekvencí, amplitud a fází se (zejména v elektrotechnické literatuře) nazývá frekvenční spektrum funkce f. 6.3.8 Příklad Definujme funkci ( · ) zvanou vzdálenost k nejbližžšímu celému číslu předpisem (x) = min{x − [x], [x + 1] − x}. Tato funkce má zřejmě periodu 1. Najdeme její Fourierovu řadu na intervalu [0, 1]. a0 = 2    1 2 0 xdx + 1 1 2 (1 − x)dx    = 2 x2 2 1 2 0 − (1 − x)2 2 1 1 2 = 2 1 8 + 1 8 = 1 2 , an = 2    1 2 0 x cos 2nπxdx + 1 1 2 (1 − x) cos 2nπxdx    = = 2 x 2nπ sin 2nπx + 1 4n2π2 cos 2nπx 1 2 0 + 1 2nπ sin 2nπx − x 2nπ sin 2nπx − 1 4n2π2 cos 2nπx 1 1 2 = = 2 1 4n2π2 cos nπ − 1 4n2π2 − 1 4n2π2 + 1 4n2π2 cos nπ = 1 n2π2 ((−1)n − 1) =    0, n sudé − 2 n2π2 , n liché bn = 2    1 2 0 x sin 2nπxdx + 1 1 2 (1 − x) sin 2nπxdx    = = 2 1 4n2π2 sin 2nπx − x 2nπ cos 2nπx 1 2 0 + x 2nπ cos 2nπx − 1 4n2π2 sin 2nπx − 1 2nπ cos 2nπx 1 1 2 = = 2 − 1 4nπ cos nπ + 1 2nπ − 1 2nπ − 1 4nπ cos nπ + 1 2nπ cos nπ = 0 Celkem (x) = 1 4 − 2 π2 ∞ n=0 1 (2n + 1)2 cos 2(2n + 1)πx . Zejména pro x = 0 dostaneme 0 = 1 4 − 2 π2 ∞ n=0 1 (2n + 1)2 , tj. π2 = 8 ∞ n=0 1 (2n + 1)2 . 178 6.3.9 Komplexní tvar Fourierovy řady Fourierova řada funkce f ∈ L2 (−1 2 T, 1 2 T ) vzhledem k trigonometrickému systému je podle 6.3.7 dána formulí f(x) ∼ 1 2 a0 + ∞ k=1 ak cos 2kπ T x + bk sin 2kπ T x , kde ak = 2 T T 2 − T 2 f(x) cos 2kπ T xdx, k = 0, 1, 2, . . ., bk = 2 T T 2 − T 2 f(x) sin 2kπ T xdx, k = 0, 1, 2, . . .. Přitom je splněna Parsevalova rovnost (sr. 6.1.16, 6.3.1) 1 2 a2 0 + n k=1 a2 k + b2 k = 2 T T 2 − T 2 f(x) 2 dx. Položme nyní c0 = 1 2 a0, ck = 1 2 (ak − ibk) , c−k = 1 2 (ak + ibk) , k = 1, 2, 3, . . ., (6.4) neboli a0 = 2c0, ak = ck + c−k, bk = i (ck − c−k) , k = 1, 2, 3, . . .. (6.5) Fourierovu řadu při tomto označení můžeme přepsat do tvaru f(x) ∼ 1 2 (2c0) + ∞ k=1 (ck + c−k) cos 2kπ T x + i (ck − c−k) sin 2kπ T x = = c0 + ∞ k=1 ckei 2kπ T + c−ke−i 2kπ T = −1 k=−∞ ckei 2kπ T + c0 + −1 k=1 ckei 2kπ T = ∞ k=−∞ ckei 2kπ T . Přitom c0 = 1 2 2 T T 2 − T 2 f(x)dx = 1 T T 2 − T 2 f(x)e−i 2·0π T dx, ck = 1 2    2 T T 2 − T 2 f(x) cos 2kπ T xdx − i 2 T T 2 − T 2 f(x) sin 2kπ T xdx    = = 1 T T 2 − T 2 f(x) cos 2kπ T x − i sin 2kπ T x dx = 1 T T 2 − T 2 f(x)e−i 2kπ T x dx, k = 1, 2, 3, . . ., c−k = 1 2    2 T T 2 − T 2 f(x) cos 2kπ T xdx + i 2 T T 2 − T 2 f(x) sin 2kπ T xdx    = 1 T T 2 − T 2 f(x)ei 2kπ T x dx, k = 1, 2, 3, . . .. Ještě přepíšeme Parsevalovu rovnost. Ze vztahů (6.4) vidíme, že c−k = ck, |ck| = |c−k| a ze vztahů (6.5) vypočítáme a2 k + b2 k = c2 k + 2ckc−k + c2 −k − c2 k − 2ckc−k + c2 −k = 4ckc−k = 4ckck = 4 |ck| 2 . 179 Parsevalova rovnost tedy bude mít tvar 2 T T 2 − T 2 f(x) 2 dx = 1 2 a2 0 + ∞ k=1 a2 k + b2 k = 2c2 0 + 4 ∞ k=1 |ck| 2 = 2 ∞ k=−∞ |ck| 2 . Z provedených výpočtů vidíme, že Fourierovu řadu funkce f vzhledem k trigonometrickému systému můžeme přepsat v komplexním tvaru f(x) ∼ ∞ k=−∞ ckei 2kπ T , kde ck = 1 T T 2 − T 2 f(x)e−i 2kπ T x dx, k ∈ Z; (6.6) přitom nutná a dostatečná podmínka konvergence této řady je Parsevalova rovnost ∞ k=−∞ |ck|2 = 1 T T 2 − T 2 f(x) 2 dx. (6.7) 6.4 Fourierova transformace Druhou z relací (6.6) můžeme chápat jako definici zobrazení, které funkci z množiny L2 přiřadí komplexní posloupnost {ck} ∞ k=−∞ s vlastností ∞ k=−∞ |ck|2 < ∞. Jinak řečeno, označme S = {ck} ∞ k=−∞ ⊆ C : ∞ k=−∞ |ck|2 < ∞ a definujme zobrazení G : L2 → S vztahem G(f) =    1 T T 2 − T 2 f(x)e−i 2kπ T x dx    ∞ k=−∞ , tj. při rozepsání do složek G(f)k = 1 T T 2 − T 2 f(x)e−i 2kπ T x dx, k = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .. Naopak, první z relací (6.6) můžeme chápat tak, že posloupnosti {ck}∞ k=−∞ ∈ S přiřazuje funkci f ∈ L2 takovou, že f(x) ∼ ∞ k=−∞ ckei 2kπ T . Máme tak definováno inversní zobrazení G−1 : S → L2 , G−1 {ck} ∞ k=−∞ (x) ∼ ∞ k=−∞ ckei 2kπ T . Integrál je podle 3.3.5 lineární funkcionál (lineární zobrazení, které funkci – vektoru – přiřadí číslo reálné nebo komplexní – skalár). To znamená, že také zobrazení G je lineární. 180 Dostali jsme tak jedno-jednoznačnou korespondenci mezi funkcemi definovanými na intervalu −1 2 T, 1 2 T symetrickém kolem počátku – nebo, což je totéž, mezi T -periodickými funkcemi – a komplexními posloupnostmi {ck}∞ k=−∞. Tuto skutečnost můžeme vyjádřit také tak, že máme transformaci G vektorového prostoru L2 reálných funkcí na vektorový prostor S komplexních posloupností a transformaci inversní. Definujme nyní funkci g jako analogii zobrazení G předpisem g(ξ) = ∞ −∞ f(x)e−iξx dx = lim T →∞ T 2 − T 2 f(x)e−iξx dx. (6.8) pokud tato limita existuje; takto definovaný integrál, nazývaný nevlastní integrál ve smyslu hlavní hodnoty, nemusí být nevlastním integrálem ve smyslu definice 3.5.1. Funkce g je komplexní funkcí jedné reálné proměnné ξ. Položme dále ξk = 2kπ T (6.9) pro každé k ∈ Z. Pak D = {. . . , ξ−3, ξ−2, ξ−1, ξ0, ξ1, ξ2, ξ3, . . . } představuje dělení intervalu (−∞, ∞), pro jehož normu platí ν(D) = ξk+1 − ξk = 2π T a lim T →∞ ν(D) = 0. Porovnáním s relací (6.6), vidíme, že ck = 1 T g(ξk), k ∈ Z. (6.10) Pro x z intervalu −1 2 T, 1 2 T můžeme proto psát f(x) ∼ ∞ k=−∞ 1 T g(ξk)eixξk = 1 2π ∞ k=−∞ g(ξk)eixξk (ξk+1 − ξk). Poslední sumu můžeme chápat jako integrální součet příslušný ke komplexní funkci reálné proměnné definované vztahem x → g(ξ)e−ixξ , dělení D a výběru reprezentantů D; pojmy „dělení intervalu“ a „integrální součet“ jsou analogiemi pojmů zavedených v 3.2.1 a 3.2.8 pro ohraničený interval a omezenou reálnou funkci. Můžeme očekávat, že bude platit f(x) ∼ 1 2π ∞ −∞ g(ξ)eixξ dξ. (6.11) Z rovností (6.7), (6.9) a (6.10) můžeme ještě odvodit 1 T ∞ −∞ f(x) 2 dx = ∞ k=−∞ |ck|2 = ∞ k=−∞ 1 T 2 |g(ξk)|2 = 1 T 1 2π ∞ k=−∞ |g(ξk)|2 (ξk+1 − ξk) a očekávat platnost rovnosti ∞ −∞ f(x) 2 dx = 1 2π ∞ −∞ g(ξ) 2 dξ. (6.12) Komplexní funkce g jedné reálné proměnné ξ ∈ (−∞, ∞) je zavedená formulí (6.8) pomocí reálné funkce f jedné reálné proměnné x ∈ (−∞, ∞). Tuto relaci můžeme interpretovat jako přiřazení komplexní funkce g funkci reálné f, nebo jako transformaci funkce f na funkci g. Formule (6.11) pak vyjadřuje zpětnou transformaci. Zatím se však jedná o vyjádření pouze formální, nevíme, zda uvedené nevlastní integrály mají skutečný význam, zda v nějakém smyslu konvergují. Lze ovšem dokázat, že pokud je funkce f : R → R absolutně integrovatelná, tj. ∞ −∞ f(x) dx < ∞ 181 (ve smyslu definice 3.5.1), pak příslušné integrály konvergují. Zavedeme množiny funkcí F =    f : R → R : ∞ −∞ f(x) dx < ∞    a G =    g : R → C : ∞ −∞ g(x) 2 dx < ∞    a zobrazení F : F → G, f → F(f) = ˆf definované vztahem ˆf(ξ) = ∞ −∞ f(x)e−ixξ dx. (6.13) Na množinách F a G je přirozeně definován součet a vnější součin (f + g)(x) = f(x) + g(x) pro f, g ∈ F a x ∈ R nebo f, g ∈ G a x ∈ C, (αf)(x) = αf(x) pro f ∈ F, α, x ∈ R nebo f ∈ G, α, x ∈ C, množina F je tedy vektorovým prostorem nad polem reálných čísel a množina G je vektorovým prostorem nad polem komplexních čísel. Zobrazení F je podle 3.3.5 lineární. Zobrazení F nazýváme Fourierovou transformací funkce f, komplexní funkci ˆf = F(f) nazýváme Fourierovým obrazem funkce f. Vztah funkce a jejího Fourierova obrazu je podle (6.12) dána rovností ∞ −∞ f(x) 2 dx = 1 2π ∞ −∞ ˆf(ξ) 2 dξ, kterou nazýváme Plancherelova. Přísně vzato, zobrazení F není prosté. Například pro dvě různé funkce f1(x) = 0 a f2(x) = 0, x = 0, 1, x = 0 platí F(f1) = 0 = F(f2), tedy jádro lineárního zobrazení F není jednoprvkové. Proto (podobně jako při konstrukci prostorů L2 ) definujeme ekvivalenci ∼ na množinách F a G vztahy pro f1, f2 ∈ F klademe f1 ∼ f2, pokud ∞ −∞ f1(x) − f2(x) e−ixξ dx = 0 pro všechna ξ ∈ R, pro g1, g2 ∈ G klademe g1 ∼ g2, pokud ∞ −∞ g1(x) − g2(x) 2 eixξ dξ = 0 pro všechna x ∈ R a ekvivalentní funkce z množin F, G ztotožňujeme. Pak již zobrazení F je prosté a tedy invertovatelné. Inversní Fourierova transformace F−1 : G → F je podle (6.11) definována vztahem f(x) = 1 2π ∞ −∞ ˆf(ξ)eixξ dξ. (6.14) 6.4.1 Vlastnosti Fourierovy transformace Uvažujme funkci f ∈ F, která je navíc diferencovatelná. Pak je tato funkce podle 2.1.3 spojitá a podle 3.5.7 platí lim x→−∞ f(x) = 0 = lim x→∞ f(x). 182 Odtud s využitím 3.1.10 a skutečnosti, že funkce e−ixξ = cos xξ + i sin xξ má reálnou i imaginární část ohraničenou, dostaneme f′(ξ) = ∞ −∞ f′ (x)e−ixξ dx = f(x)e−ixξ ∞ x=−∞ + iξ ∞ −∞ f(x)e−ixξ dx = iξ ˆf(ξ). To znamená, že Fourierova transformace převádí derivaci funkce na násobení jejího obrazu ryze imaginárním číslem; jinak řečeno, převádí infinitesimální operaci na operaci algebraickou. 6.5 Fourierův integrál Buď f spojitá funkce definovaná na intervalu (−∞, ∞) taková, že ∞ −∞ |f(t)|dt konverguje. Dále buď ℓ > 0. Podle 6.3.7 pro každé x ∈ − ℓ 2 , ℓ 2 je f(x) = a0 2 + ∞ n=1 an cos 2nπ ℓ x + bn sin 2nπ ℓ x , kde an = 2 ℓ ℓ 2 − ℓ 2 f(t) cos 2nπ ℓ tdt, n = 0, 1, 2, . . . bn = 2 ℓ ℓ 2 − ℓ 2 f(t) sin 2nπ ℓ tdt, n = 1, 2, . . . . Tedy f(x) = 1 ℓ ℓ 2 − ℓ 2 f(t)dt + ∞ n=1 2 ℓ ℓ 2 − ℓ 2 f(t) cos 2nπ ℓ t cos 2nπ ℓ x + sin 2nπ ℓ t sin 2nπ ℓ x dt = = 1 ℓ ℓ 2 − ℓ 2 f(t)dt + 1 π ℓ 2 − ℓ 2 f(t) ∞ n=1 2π ℓ cos 2nπ ℓ (t − x) dt . Abychom dostali vzorec platný pro každé x ∈ (−∞, ∞), provedeme limitní přechod ℓ → ∞. Z konvergence nevlastního integrálu ∞ −∞ |f(t)|dt plyne lim ℓ→∞ ℓ 2 − ℓ 2 f(t)dt < ∞ a tedy lim ℓ→∞ 1 ℓ ℓ 2 − ℓ 2 f(t)dt = 0 . Výraz m n=1 2π ℓ cos 2nπ ℓ (t − x) je integrální součet příslušný k funkci g(λ) = cos λ(t−x), dělení D = 0, 2π ℓ , 4π ℓ , . . . , 2mπ ℓ intervalu 0, 2mπ ℓ a výběru representantů 2π ℓ , 4π ℓ , . . . , 2mπ ℓ (sr. 3.2.8). Lze tedy očekávat, že za jistých předpokladů bude platit lim ℓ→∞ ∞ n=1 2π ℓ cos 2nπ ℓ (t − x) = ∞ 0 cos λ(t − x)dλ 183 a také f(x) = 1 π ∞ 0   ∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt   dλ = 1 π ∞ 0  cos λx ∞ −∞ f(t) cos λtdt + sin λx ∞ −∞ f(t) sin λtdt   dλ . 6.5.1 Věta Nechť funkce f je definována na intervalu (−∞, ∞) s případnou výjimkou izolované množiny bodů. Je-li splněna alespoň jedna z podmínek (i) integrál ∞ −∞ f(t)dt absolutně konverguje, (ii) funkce f a její derivace jsou po částech spojité na každém konečném intervalu, přičemž případné body nespojitosti jsou prvního druhu a navíc platí lim x→−∞ f(x) = lim x→∞ f(x) = 0, pak pro každé x ∈ R platí 1 2 lim t→x+ f(t) + lim t→x− f(t) = ∞ 0 (a(λ) cos λx + b(λ) sin λx) dλ , kde a(λ) = 1 π ∞ −∞ f(t) cos λtdt, b(λ) = 1 π ∞ −∞ f(t) sin λtdt. D.: V. Jarník, Integrální počet II, str. 524 – 533. (Věta je tam dokázána s poněkud obecnějšími předpoklady.) Zejména je-li f v bodě x spojitá, platí f(x) = ∞ 0 (a(λ) cos λx + b(λ) sin λx) dλ . Je-li funkce f sudá, pak a(λ) = 2 π ∞ 0 f(t) cos λtdt, b(λ) ≡ 0 , Je-li funkce f lichá, pak a(λ) ≡ 0, b(λ) = 2 π ∞ 0 f(t) sin λtdt. Příklad: Funkci f(x) = e−αx , 0 < x < ∞, α > 0 vyjádřit Fourierovým integrálem a) jako sudou funkci a(λ) = 2 π ∞ 0 e−αt cos λtdt = 2 π ∞ 0 e−αt Re eiλt dt = 2 π Re ∞ 0 e(iλ−α)t dt = = 2 π Re 1 iλ − α e(iλ−α)t ∞ 0 = 2 π Re 1 iλ − α = 2 π Re α + iλ α2 + λ2 = 2α π(α2 + λ2) e−αx = 2α π ∞ 0 cos λx α2 + λ2 dλ 184 b) jako lichou funkci b(λ) = 2 π ∞ 0 e−αt sin λtdt = 2 π ∞ 0 e−αt Im eiλt dt = 2λ π(α2 + λ2) e−αx = 2 π ∞ 0 λ sin λx α2 + λ2 dλ 6.6 Laplaceova transformace Buď M množina reálných funkcí definovaných na intervalu (0, ∞) takových, že integrál ∞ 0 f(t)e−pt dt konverguje a lim t→∞ f(t)e−pt = 0 pro všechna p > 0. Laplaceova transformace L převádí reálnou funkci f ∈ M na reálnou funkci Lf definovanou na intervalu (0, ∞) vztahem Lf(p) = ∞ 0 f(t)e−pt dt. Z uvedeného definičního vztahu plyne, že Laplaceův obraz funkce f ∈ M je funkcí ohraničenou a že Laplaceova transformace je lineární, tj. L(c1f1 + c2f2)(p) = c1Lf1(p) + c2Lf2(p). Obrazy některých funkcí v Laplaceově transformaci jsou uvedeny v tabulce 6.1. Vypočítáme Laplaceův obraz derivace funkce: L (f′ ) (p) = ∞ 0 f′ (t)e−pt dt = f(t)e−pt ∞ t=0 + p ∞ 0 f(t)e−pt dt = − lim t→0+ f(t) + pLf(p). Při označení f(0+) = lim t→0+ f(t) tedy platí L (f′ ) (p) = pLf(p) − f(0+). (6.15) 6.6.1 Ukázka užití Laplaceovy transformace – negativní zpětná vazba Uvažujme dvě veličiny x a y závislé na čase, tj. x = x(t), y = y(t). Tyto veličiny na sebe působí tak, že růst veličiny x je úměrný velikosti veličiny y, a noaopak, pokles veličiny y je úměrný velikosti veličiny x. Navíc předpokládejme, že na počátku, tj. v čase t = 0, je první veličina nulová a druhá jednotková. Veličiny x a y chceme vyjádřit nějakým předpisem. Změna veličiny je její derivace, tedy růst veličiny x je roven x′ (t), pokles veličiny y je roven −y′ (t). Označme koeficienty úměrnosti α a βů jsou to kladná reálná čísla. Hledáme tedy funkce x = x(t) a y = y(t), které vyhovují relacím x′ (t) = αy(t), −y′ (t) = βx(t), x(0) = 0, y(0) = 1. (6.16) Pro zjednodušení zápisu označíme X(p) = L(x)(p), Y (p) = L(x)(p). Využijeme linearitu Laplaceovy transformace, vztah (6.15), třetí a čtvrtou rovnost (6.16) a napíšeme Laplaceovy obrazy prvních dvou rovnic (6.16). Dostaneme pX(p) = αY (p), − pY (p) − 1 = βX(p), po úpravě pX(p) − αY (p) = 0, βX(p) + pY (p) = 1. 185 f(t) Lf(p) = ∞ 0 f(t)e−pt dt f(t) Lf(p) = ∞ 0 f(t)e−pt dt 1 1 p t sin ωt 2ωp (p2 + ω2)2 t 1 p2 t cos ωt p2 − ω2 (p2 + ω2)2 tn , n = 1, 2, . . . n! pn+1 eat sin ωt ω (p − a)2 + ω2 ta , a > −1 Γ(a + 1) pa+1 eat cos ωt p − a (p − a)2 + ω2 eat 1 p − a sin2 ωt 2ω2 p(p2 + 4ω2) teat 1 (p − a)2 cos2 ωt p2 + 2ω2 p(p2 + 4ω2) tn eat , n = 1, 2, . . . n! (p − a)n+1 sinh at a p2 − a2 tν eat , ν > −1 Γ(ν + 1) (p − a)ν+1 cosh at p p2 − a2 sin ωt ω p2 + ω2 t sinh at 2ap (p2 − a2)2 cos ωt p p2 + ω2 t cosh at p2 + a2 (p2 − a2)2 Tabulka 6.1: „Operátorový slovník“ pro Laplaceovu transformaci To je soustava dvou rovnic pro neznámé X(p) a Y (p), její řešení je X(p) = α p2 + αβ = α β √ αβ p2 + αβ , Y (p) = p p2 + αβ . Z osmého a devátého řádku v prvním sloupci Tabulky 6.1 nyní vidíme, že x(t) = α β sin αβ t, y(t) = cos αβ t. 6.7 Cvičení Rozviňte ve Fourierovu řadu na intervalu [−π, π] funkce 1) f(x) = x2 2) f(x) = |x| 3) f(x) = | sin x| Rozviňte ve Fourierovu řadu funkce 4) f(x) = ex , x ∈ [−h, h] 5) f(x) = x, x ∈ [a, a + 2l] 6) f(x) = x cos x, x ∈ [−π 2 , π 2 ] Rozviňte ve Fourierovu řadu periodické funkce 7) f(x) = sgn(cos x) 8) f(x) = arcsin(sin x) 9) f(x) = x − [x] Rozviňte ve Fourierovu řadu 2π-periodické funkce, jestliže 10) f(x) = x pro x ∈ [0, π) a f je sudá, 11) f(x) = x pro x ∈ [0, π) a f je lichá, 12) f(x) = π 4 pro x ∈ [0, π) a f je lichá, 13) f(x) = π2 8 − πx 4 pro x ∈ [0, π) a f je sudá, a určete součty těchto řad. Najděte součty řad 186 14) ∞ k=1 (−1)k−1 k2 15) ∞ k=1 1 k2 16) ∞ k=1 1 (2k−1)2 17) 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + . . . 18) 1 + 1 5 − 1 7 − 1 11 + 1 13 + 1 17 − . . . 19) 1 − 1 5 + 1 7 − 1 11 + 1 13 + . . . Výsledky: 1)π2 3 + 4 ∞ k=1 (−1)k k2 cos kx 2) π 2 − 4 π ∞ k=0 1 (2k+1)2 cos(2k + 1)x 3) 2 π − 4 π ∞ k=1 1 (2k−1)(2k+1) cos 2kx 4) 2 sinh h 1 2h + ∞ k=1 (−1)k h2+(kπ)2 (h cos kπx h − πk sin kπx h 5) a + l + 2l π ∞ k=1 1 k (sin kπa l cos kπx l − cos kπa l sin kπx l ) 6) 16 π ∞ k=1 (−1)k+1 k (4k2−1)2 sin 2kx 7) 4 π ∞ k=0 (−1)k 2k+1 cos(2k + 1)x 8) 4 π ∞ k=0 (−1)k (2k+1)2 sin(2k + 1)x 9) 1 2 − 1 π ∞ k=1 sin 2πkx k 10) π 2 − 4 π ∞ k=0 1 (2k+1)2 cos(2k + 1)x 11) 2 ∞ k=1 (−1)k−1 k sin kx 12) ∞ k=0 sin(2k+1)x 2k+1 13) ∞ k=1 cos(2k−1)x (2k−1)2 14) π2 12 15) π2 6 16) π2 8 17) π 4 18) π 3 19) π 2 √ 3 187