12. cvičení z MIN401 — Homomosfismy grup a kódy
Příklad 1: [11.48] Rozhodněte, zda předpis <p zadává zobrazení, případně zda jde o homo-morfismus grup (se sčítáním) - pak popište jádro/obraz a rozhodněte, zda je to surjekce či injekce:
(i) <p : Z4 x Z3 ->• Z12, V?([[a]4, [^3) = [a - b]12,
(ii) ^ : Z4 x Z3 ^ Z12, V9([[a]4, [6]3) = [6a + 46] 12,
(iii) ip : Z4 x Z3 -> Zi2, V9([[a]4, [6]3) = [0]12.
Příklad 2: [11.49] Rozhodněte, zda předpis 99 zadává zobrazení, případně zda jde o homo-morfismus grup (Z& se sčítáním a C* s násobením) - pak popište jádro/obraz a rozhodněte, zda je to surjekce či injekce:
(i) <p : Z4 -> C*, <p([a]4) = i\
(ii) V9:Z5^C*, v{[a]h)=ia,
(iii) V9:Z4^C*, V9([a]4) = (-l)a,
(iv) v? : Z -> C*, y?(a) = ^a
Příklad 3: [11.136] Uvažme (5, 3)-kód nad Z2 generovaný polynomem x2 + x + 1. Vypište všechna kódová slova, najděte generující matici a matici kontroly parity.