2. domácí úloha z MIN401, jaro 2022
Zadání. Nechť S(n) značí součet cifer zápisu přirozeného čísla n v desítkové soustavě. Spočtěte ^(^(S2007))).
Výsledek. Platí ^(^(S2007))) = 8.
Důkaz. Zřejmě platí 52007 < 102007, tedy ,S(52007) < 9 • 2007 = 18063. Z toho plyne S(S(52007)) < 9 • 4 = 36, a konečně dostaneme ^(^(S2007))) < 2 + 9 = 11.
Víme, že pro všechna přirozená čísla n platí S(n) = n (mod 9). Navíc platí íp(9) = 9-3 = 6. Tedy
^(^(^(S2007))) = 52007 = 5334'6+3 = 53 = 125 = 8   (mod 9).
Takže ^(^(^(S2007))) je číslo menší nebo rovno 11, které je kongruentní 8 modulo 9. Takové přirozené číslo existuje jediné, a to 8. □
i