Podrobnější hint k 3. domácí úloze z MIN401, jaro 2022
Ukažte, že předpis f{x) := {a e Q \ a < x} definuje zobrazení / : 1U {oo, — 00} —?■ J, které je izomorfismem uspořádaných množin. Lze postupovat například následovně:
• Ukažte, že pro každé x G IR U {00, — 00} je f (x) ideál, který se nerovná množině {c G Q I c < b} pro žádné b e Q. Tímto ukážete, že f je opravdu zobrazení.
• Ukažte, že pokud x ^ y pro x,y G RU {00, —00}, potom f (x) ^ f (y)- Tímto ukážete injektivitu zobrazení /.
• Ukažte, že pokud I je ideál, který není tvaru {c G Q | c < b} pro žádné b e Q, potom existuje x G M. U {00, —00} takové, že f (x) = I. Tímto ukážete surjektivitu zobrazení /. Jako hledané x zvolte supremum množiny I. Odůvodněte existenci tohoto suprema, a poté ukažte inkluze f (x) C I & I C f (x).
• Ukažte, že pokud x < y pro x, y G M. U {00, —00}, tak potom f (x) C f (y). Tímto ukážete, že zobrazení / zachovává uspořádání.
• Ukažte, že pokud y < x pro x, y G M. U {00, —00}, tak potom f (x) % f {y). Tímto ukážete, že inverze zobrazení / zachovává uspořádání.
1