3. domácí úloha z MIN401, jaro 2022
Definice. Nechť G je svaz a A je podmnožina G. Řekneme, že A je ideál svazu G, pokud pro každé a, b E A platí a V b E A, a navíc pro každé c E Aa každé x E G platí, že pokud x < c, tak potom x G A.
Definice. Izomorfismus uspořádaných množin je bijektivní zobrazení /: (P,<p) —> (Q,<q) takové, že x <P y právě tehdy, když f{x) <q f(y).
Zadání. Nechť (J7", C) je uspořádaná množina všech ideálů svazu (Q, <), které nejsou tvaru {c E Q \ c < b} pro žádné b E Q. Ukažte, že uspořádaná množina (J7\ C) je izomorfní uspořádané množině (IR U {oo, — oo}, <).
Řešení. Množinu lU{oo,-oo} označme jako IR'. Pro b E Q označme J5 množinu {a E Q I a < b}.
Buď f (x) = {a E Q I a < x}. Ukážeme, že / zadává izomorfismus mezi (IR', <) a
(J,Q-
• f skutečně zadává zobrazení mezi zadanými množinami
f (x) je uzavřená na spojení, neboť a V b = max (a, b). Je li y < c E f (x), potom y < x a y E f (x), f (x) je ideál.
Chceme ještě ukázat, že f (x) ^ Ib pro všechna b. Je-li x < b, potom x f (x), avšak x E h- Je-li x > b, potom existuje q E Q takové, že b < q < x. q E f (x) avšak q h-
f (x) je ideál, který není tvaru I5.
• / je injektivní
Pro libovolné x, y E M.', x ^ y, búno x < y, existuje q E Q takové, že x < q < y. f(x) ŕ f {v), neboť q Í f (x), q E f {y) a / je tudíž injektivní.
• / je surjektivní
Buď I je libovolný ideál z J a x = sup I E M.'.
Toto supremum jistě existuje. Je-li 7 = 0, potom sup I = —00. Je-li I neomezená shora, sup I = 00. Jinak je I neprázdná a omezená shora a z axiomů reálných čísel má tudíž supremum.
Buď y E f (x) libovolné. Pokud by y bylo větší než všechny prvky J, bylo by horní závorou I menší než x, což by byl spor s x = sup I. Existuje tedy a E I,y < a a z vlastností ideálů je, y E I.
Je-li y E I, potom y < sup I = x a y E f (x).
Máme f (x) C J, f (x) D J, a tedy f (x) = I. f je surjektivní.
• / je izomorfismus (zachovává uspořádání)
Pro všechna x,y EM.' chceme ukázat x < y <í=^ f (x) C /(y). x<y ^ f (x) C /(y):
Je-li x < y, potom pro všechna a G Q platí a < x   =^   a < y a tudíž
a G /(x) ==>• a G f (y).
x < y <= f (x) C /(y) ukážeme obměnou, tj. x > y =^ /(x) <2 f (y):
Je-li y < x, existuje g G Q takové, že y < q < x. q    f (y) a q E f (x), a tudíž
f (x) £ f (y)
□
1