4. domácí úloha z MIN401, jaro 2022
Zadání. Určete všechna a E Z taková, že polynom x4 + 2x3 — 3x2 + ax — A má alespoň jeden racionální kořen.
Výsledek. Všechna taková a E Z jsou a E {—83, —8,4,19}.
Důkaz. Racionální kořen x zadaného polynomu musí byt tvaru p/q, kde p dělí 4 a q dělí 1. Celkem tedy racionální kořeny mohou nabývat pouze hodnot {—4,—2,—1,1, 2,4}. Všechny tyhle hodnoty x jsou nenulové a můžeme tedy z rovnosti x4+2x3 — 3x2+ax—4 = 0 vyjádřit
-x4 - 2x3 + 3x2 + 4 a =-.
Dosazením hodnot 1,-1,2, —2,4, —4 do tohoto vyjádření za proměnnou x dostaneme následující hodnoty a:
4,-8,-8,-8,-83,19.
□
i