5. domácí úloha z MIN401, jaro 2022
Definice. Pokud G je grupa, tak potom Aut(G) značí grupu všech izomorfismů G —?■ G. Binární operace na grupě Aut(G) je skládání zobrazení.
Zadání. Nechť (H,-), (K,*) jsou grupy a (p: K —> Aut(iJ) je homomorfismus grup. Definujme binární operaci * na množině H x K následovně
Oi, kx) * (h2, k2) = (hx ■ if(k1)(h2), h * k2).
Ověřte, že (H x K, *) je grupa.
Řešení.
• * je operace
Potřebujeme ověřit, že množina H x K je, uzavřená na *. Nechť (hi, ki), (h2, k2) jsou libovolné prvky z H x K. íp(ki) je automorfismus grupy H - každý prvek H zobrazuje opět do H, a tudíž <p(ki)(h2) E H. Z uzavřenosti H na • a K na * je (/ii, ki) -k (h2, k2) = (hi ■ <p{ki){h2), kx * k2) E H x K.
• * je asociativní
((h1,k1) -k (h2,k2)) -k (hz,kz) = (hx ■ if(k1)(h2), h * k2) -k (h3, k3) = (Oi • ^(fci)(Äi2)) • {<f{k\ * k2)(h3)), (h * k2) * k3) = (hx ■ y(fci)(Äi2) • (ľih) ° (p(k2))(h3)), kľ*k2* k3)
(h1,k1)*((h2,k2)*(h3,k3)) = (hu fci) ★ {h2 ■ (p(k2)(h3), k2 * k3) = (hľ ■ {ip{k{){h2 • v(k2)(h3))), kľ -k (k2 * k3)) = Oi • <p{ki)(h2) ■ ip(h)(v(fa)(h3)), h*k2* k3) = (hx ■ v?(A;i)(/i2) • o ip(k2))(h3), kx * k2 * k3)
• H x K obsahuje neutrální prvek vzhledem k *
Hledaným prvkem je (eH, eK). Poznamenejme, že f(eK) je neutrální prvek grupy Aut(iJ) - tj. identická funkce na H a že pro libovolné k E K je íp(k)(eH) = e#, jelikož (p(k) je homomorfismus.
(eH, eK) -k (h, k) = {eH ■ ip{eK){h), ek * k) = (eH ■ idH(ti), ek* k) = (h, k)
(h, k) -k (eH, eK) = (h ■ ip{k){eH), k * eK) = (h ■ eH, k * eK) = (h, k)
• H x K obsahuje ke každému svému prvku inverzní prvek
Inverzní prvek k (h, k) je (<£(ä;)_1(/i_1), k^1). (p(k)^1 je inverzní zobrazení k if(k) - jistě existuje, neboť f {k) je automorfismus a tedy i bijekce. Ověříme, že tento prvek je skutečně inverzní.
(MW^fc)-1^-1),*:-1) = = (h-h-1,^-1) = (eH,eK)
□
i