5. domácí úloha z MIN401, jaro 2023
Zadáno: 3. 5. 2023 Odevzdejte do: 19. 5. 2023
20. 6. 2023
Definice. Normální podgrupa H grupy G je taková podgrupa (tj. je uzavřená na násobení,
má neutrální a inverzní prvky) grupy G, pro kterou platí pro libovolné prvky h ∈ H a g ∈ G:
g · h · g−1
∈ H.
Příklad. Grupa An všech sudých permutací na n-prvkové množině je normální podgrupou
grupy Sn. Protože vezmeme-li libovolné h ∈ An a g ∈ Sn, pak g ◦ h ◦ g−1
lze vyjádřit složením
postupně „lichého + sudého + lichého nebo „sudého + sudého + sudého počtu transpozic,
v obou případech máme dohromady sudý počet transpozic, tedy prvek náleží An.
Zadání. U následujících případů popište prvky podgrupy1
H grupy G a určete, zda je zda je
H normální podgrupou grupy G. Pokud ano, určete pravé třídy rozkladu a jak vypadá operace
skládání ◦ v grupě G/H.
1. H = (12), (13) , G = S4;
2. H = (12) ◦ (34), (13) ◦ (24) , G = A4.
Hint: Podmínku g · h · g−1
∈ H stačí zkontrolovat pro g z generátorů G a h z generátorů H. Jak
víme, S4 je generovaná transpozicemi a A4 je generovaná trojcykly.
1
ostré závorky značí, že podgrupa je prvky uvnitř závorky generovaná
1