Písemná část zkoušky z MIN401 - 1. termín, jaro 2023
Jméno: Datum: 19. 5. 2023
UČO:
Příklad 1 (6b). Polynom x4
+ 5x3
+ 12x2
− 15x − 3 ∈ Z[x] rozložte na ireducibilní polynomy
nad Z a nad Z2.
Příklad 2 (2b). Uvažme permutaci
σ =
1 2 3 4 5 6 7
5 6 1 3 4 7 2
(i) Rozložte σ na součin nezávislých cyklů a určete řád prvku σ.
(ii) Rozložte σ na součin transpozic a určete paritu σ.
Příklad 3 (7b). Uvažme dvě podgrupy grupy S4:
D4 = (12) ◦ (34), (1234) ,
H = {id, (13), (24), (13) ◦ (24)}.
(i) Ukažte, že H je podgrupou D4.
(ii) Dále rozhodněte, zda je i její normální podgrupou a pokud ano, určete třídy rozkladu.
(iii) Rozhodněte, zda je H izomorfní s grupou Z×
8 (s násobením).
(iv) Nalezněte libovolný injektivní homomorfismus ϕ: Z4 → D4.
Příklad 4 (5b). Uvažme lineární (7, 3)-kód generovaný polynomem 1 + x2
+ x3
+ x4
.
(i) Určete generující matici a matici kontroly.
(ii) Zakódujte zprávu 101.
(iii) Přijali jsme kód 1101111. Můžeme jej za předpokladu nejmenšího počtu chyb jednoznačně
dekódovat?
Všechna svá tvrzení odůvodněte a výpočty opatřete komentářem tak, aby byl jasný váš postup.
Nesrozumitelný postup a neodůvodněná tvrzení se hodnotí počtem 0b. Nejsou povoleny žádné studijní
materiály ani elektronická zařízení. Na písemnou část máte 120 minut.