Nekonečné řady Jak poznat, že konvergují? Petr Liška Masarykova univerzita 18.04.2023 Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 1 / 9 Kritéria konvergence Věta (Nutná podmínka konvergence) Nechť ∞󰁓 n=1 an konverguje. Pak lim n→∞ an = 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 2 / 9 Kritéria konvergence Věta (Nutná podmínka konvergence) Nechť ∞󰁓 n=1 an konverguje. Pak lim n→∞ an = 0. Věta (Integrální kritérium) Nechť funkce f je kladná a klesající na intervalu [1, ∞). A nechť an = f(n). Pak ∞󰁓 n=1 an konverguje právě tehdy, když konverguje inte- grál 󰁕 ∞ 1 f(x) dx. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 2 / 9 Věta (Srovnávací kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an a ∞󰁓 n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť an ≤ bn pro skoro všechna n ∈ N. Potom platí: konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 bn, konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an; diverguje-li řada ∞󰁓 n=1 an, diverguje i ∞󰁓 n=1 bn. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 3 / 9 Věta (Srovnávací kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an a ∞󰁓 n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť an ≤ bn pro skoro všechna n ∈ N. Potom platí: konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 bn, konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an; diverguje-li řada ∞󰁓 n=1 an, diverguje i ∞󰁓 n=1 bn. Věta (Limitní srovnávací kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an a ∞󰁓 n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť existuje lim n→∞ an bn = L . Je-li L < ∞ a konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 bn, pak konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an. Je-li L > 0 a diverguje-li řada ∞󰁓 n=1 bn, pak diverguje i řada ∞󰁓 n=1 an . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 3 / 9 Věta (Limitní podílové kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim n→∞ an+1 an = q. Je-li q < 1, pak ∞󰁓 n=1 an konverguje, je-li q > 1, pak ∞󰁓 n=1 an diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 4 / 9 Věta (Limitní podílové kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim n→∞ an+1 an = q. Je-li q < 1, pak ∞󰁓 n=1 an konverguje, je-li q > 1, pak ∞󰁓 n=1 an diverguje. Věta (Limitní odmocninové kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada s nezápornými členy a nechť existuje lim n→∞ n √ an = q, kde q ∈ R 󰂏 . Je-li q < 1, pak ∞󰁓 n=1 an konverguje a je-li q > 1, pak ∞󰁓 n=1 an diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 4 / 9 Alternují řady aneb když nutná je i dostatečná Definice Nekonečná řada ∞󰁓 n=1 an se nazývá alternující, právě když platí sgn an+1 = −sgn an pro všechna n ∈ N. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 5 / 9 Alternují řady aneb když nutná je i dostatečná Definice Nekonečná řada ∞󰁓 n=1 an se nazývá alternující, právě když platí sgn an+1 = −sgn an pro všechna n ∈ N. Věta (Leibnitzovo kritérium) Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada ∞󰁓 n=1 (−1)n−1an konverguje právě tehdy, když platí lim n→∞ an = 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 5 / 9 Absolutní konvergence Věta Konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 |an|, pak konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 6 / 9 Absolutní konvergence Věta Konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 |an|, pak konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an . Definice Řekneme, že řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∞󰁓 n=1 |an|. Jestliže řada ∞󰁓 n=1 an konverguje a ∞󰁓 n=1 |an| diverguje, říkáme, že řada ∞󰁓 n=1 an konverguje neabsolutně. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 6 / 9 Kritéria konvergence Věta Nechť ∞󰁓 n=1 bn je konvergentní řada s nezápornými členy a ∞󰁓 n=1 an je řada s libovolnými členy. Jestliže pro všechna n ∈ N platí |an| ≤ bn, pak řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 7 / 9 Kritéria konvergence Věta Nechť ∞󰁓 n=1 bn je konvergentní řada s nezápornými členy a ∞󰁓 n=1 an je řada s libovolnými členy. Jestliže pro všechna n ∈ N platí |an| ≤ bn, pak řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně. Věta Existuje-li lim n→∞ n 󰁳 |an| = q ∈ R 󰂏, pak v případě q < 1 řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně a v případě q > 1 řada diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 7 / 9 Kritéria konvergence Věta Nechť ∞󰁓 n=1 bn je konvergentní řada s nezápornými členy a ∞󰁓 n=1 an je řada s libovolnými členy. Jestliže pro všechna n ∈ N platí |an| ≤ bn, pak řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně. Věta Existuje-li lim n→∞ n 󰁳 |an| = q ∈ R 󰂏, pak v případě q < 1 řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně a v případě q > 1 řada diverguje. Věta Existuje-li lim n→∞ 󰀏 󰀏 󰀏 an+1 an 󰀏 󰀏 󰀏 = q ∈ R 󰂏, pak v případě q < 1 řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně a v případě q > 1 řada diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 7 / 9 Přerovnání řad Definice Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada, {kn} permutace množiny N. Pak říkáme, že řada ∞󰁓 n=1 akn vznikla přerovnáním řady ∞󰁓 n=1 an. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 8 / 9 Přerovnání řad Definice Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada, {kn} permutace množiny N. Pak říkáme, že řada ∞󰁓 n=1 akn vznikla přerovnáním řady ∞󰁓 n=1 an. Věta Nechť řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně. Pak konverguje absolutně také každá řada ∞󰁓 n=1 akn vzniklá přerovnáním řady ∞󰁓 n=1 an a platí ∞󰁛 n=1 an = ∞󰁛 n=1 akn . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 8 / 9 Hodně překvapivý výsledek Věta (Riemann) Nechť řada ∞󰁓 n=1 an konverguje neabsolutně a nechť s ∈ R je libovolné. Pak existuje takové přerovnání řady ∞󰁓 n=1 an, že ∞󰁓 n=1 akn = s, takové přerovnání, že ∞󰁓 n=1 apn určitě diverguje a takové přerovnání, že ∞󰁓 n=1 aqn osciluje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 18.04.2023 9 / 9