Kvadratické nerovnice 1
Definice. Kvadratickou nerovnicí rozumíme nerovnici tvaru
ax2
+ bx + c µ 0 , kde µ ∈ {<; >; ≤; ≥} , a = 0, a, b, c ∈ R.
Čísla a, b , c nazýváme koeficienty kvadratické nerovnice, výrazy ax2
, bx a c nazýváme členy této nerovnice,
a to po řadě kvadratický, lineární a absolutní.
Řešení kvadratické nerovnice. Vhodné je nejprve vyřešit příslušnou kvadratickou rovnici ax2
+bx+c =
0. Již víme, že nastávají 3 případy:
1. Jestliže D < 0, rovnice v R nemá žádné řešení. Výraz ax2
+ bx + c tedy nemá žádný nulový bod.
Znamená to, že pro všechna x ∈ R je buď kladný, nebo záporný, tj.
ax2
+ bx + c > 0 , nebo ax2
+ bx + c < 0 .
To, která z variant nastává, poznáme podle znaménka koeficientu a. Platí
a > 0 ⇔ ax2
+ bx + c > 0 a podobně a < 0 ⇔ ax2
+ bx + c < 0 .
U následujících příkladů si sami ověřte, že všechny rovnice příslušné uvažovaným nerovnicím mají
záporné diskriminanty:
a) Nerovnice
3x2
+ 4x + 2 ≥ 0
má množinu kořenů K = R, neboť a = 3 > 0, takže pro všechna x ∈ R platí 3x2
+ 4x + 2 > 0.
b) Nerovnice
2x2
− 5x + 6 ≤ 0
má množinu kořenů K = ∅, neboť a = 2 > 0, takže pro všechna x ∈ R platí 2x2
− 5x + 6 > 0.
c) Nerovnice
−4x2
+ 6x − 3 > 0
má množinu kořenů K = ∅, neboť a = −4 < 0, takže pro všechna x ∈ R platí −4x2
+6x−3 < 0.
d) Nerovnice
−5x2
+ 8x − 4 < 0 i − 5x2
+ 8x − 4 ≤ 0
mají množinu kořenů K = R, neboť a = −5 < 0, takže pro všechna x ∈ R platí −5x2
+8x−4 < 0.
2. Pokud D = 0, rovnice tedy má 1 (tzv. dvojnásobný) kořen x1 = x2. Výraz ax2
+ bx + c tedy má
právě jeden nulový bod x1. Znamená to, že pro všechna x ∈ R, x = x1 je buď kladný, nebo záporný,
tj.
ax2
+ bx + c > 0 , nebo ax2
+ bx + c < 0 .
To, která z variant nastává, opět poznáme podle znaménka koeficientu a. Pro všechna x ∈ R, x = x1
tedy platí
a > 0 ⇔ ax2
+ bx + c > 0 a podobně a < 0 ⇔ ax2
+ bx + c < 0 .
U následujících příkladů si sami rozmyslete, že všechny rovnice příslušné uvažovaným nerovnicím
mají diskriminanty rovné nule:
a) Nerovnice
x2
+ 4x + 4 ≥ 0 ⇔ (x + 2)2
≥ 0
má množinu kořenů K = R, neboť jakýkoliv kvadrát je nezáporný.
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
b) Nerovnice
2x2
− 12x + 18 > 0 ⇔ 2 (x − 3)2
> 0
má množinu kořenů K = R − {3}, neboť výraz (x − 3)2
je nulový právě tehdy, když x = 3 a ve
všech ostatních případech je kladný.
c) Nerovnice
−3x2
+ 6x − 3 ≥ 0 ⇔ −3 (x − 1)2
≥ 0
má množinu kořenů K = {1}, neboť výraz −3 (x − 1)2
je nulový právě tehdy, když x = 1 a ve
všech ostatních případech je záporný.
d) Nerovnice
−4x2
+ 16x + 16 > 0 ⇔ −4 (x − 2)2
> 0
má množinu kořenů K = ∅, neboť výraz −4 (x − 2)2
je nekladný pro všechna x ∈ R.
3. Pro D > 0 má uvažovaná rovnice dva reálné různé kořeny x1 a x2, které umíme najít užitím známých
vzorců
x1,2 =
−b ±
√
D
2a
, kde D = b2
− 4ac .
Můžeme tedy psát
a (x − x1) (x − x2) = ax2
+ bx + c ,
čímž zadanou nerovnici převedeme do součinového tvaru a vyřešíme ji například analýzou znamének
jednotlivých činitelů.
Právě popsaným způsobem lze u následujících příkladů získat uvedené rozklady do součinového tvaru:
a) Nerovnice
−3x2
+ 10x + 8 ≥ 0 ⇔ −3 x +
2
3
(x − 4) ≥ 0
má množinu kořenů K = −2/3; 4 .
b) Nerovnice
6x2
+ 13x − 5 < 0 ⇔ 6 x +
5
2
x −
1
3
< 0
má množinu kořenů K = (−5/2; 1/3).
c) Nerovnice
−4x2
+ 5x + 6 ≤ 0 ⇔ −4 x +
3
4
(x − 2) ≤ 0
má množinu kořenů K = (−∞; −3/4 ∪ 2; ∞).
d) Nerovnice
√
3x2
+ 9x +
√
108 > 0 ⇔
√
3 x +
√
3 x + 2
√
3 > 0
má množinu kořenů K = −∞; −2
√
3 ∪ −
√
3; ∞ .
2
Zadání úloh.
1. V R vyřešte nerovnice
a)
2x2
− 12x + 19 > 0 ,
b)
2x2
− 6
√
2x + 9 ≤ 0 ,
c)
2x (x − 2) + (2 − x) (x + 3) < 0 ,
d)
2x2
+ 8x + 1 ≥ 0 .
2. Určete definiční obory následujících výrazů
a)
V1 =
√
x2 − 6 +
√
3x + 10 − x2 ,
b)
V2 =
√
x2 − 6x + 8 +
√
3 − x ,
c)
V3 =
√
x2 + 5x + 7 −
1
√
x2 − 9
,
d)
V4 =
x2 + 8x + 12
x2 − 6x − 40
a V5 =
√
x2 + 8x + 12
√
x2 − 6x − 40
.
3. Určete definiční obory následujících výrazů a poté je zjednodušte
a)
V6 =
√
x2 + 2x − 3
√
5x − 4 − x2
,
b)
V7 =
√
6 − x − x2
√
6 + 5x + x2
3
Návody k řešení a výsledky úloh.
1. a) K = R,
b) K = 3/
√
2 ,
c) K = (2; 3),
d) K = −∞; −4+
√
14
2
∪ −4+
√
14
2
; ∞ .
2. a) D (V1) =
√
6; 5 ,
b) D (V2) = (−∞; 2 ,
c) D (V3) = (−∞; −3) ∪ (3; ∞) ,
d) Aby byl definován výraz V4 je nutné a stačí, aby
x2
+ 8x + 12
x2 − 6x − 40
≥ 0 ⇔
(x + 2) (x + 6)
(x − 10) (x + 4)
≥ 0 .
Řešením této nerovnice dostáváme D (V4) = (−∞; −6 ∪ (−4; −2 ∪ (10; ∞). Zato nutnou a
dostatečnou podmínkou k tomu, aby byl definován výraz V5, je
x2
+ 8x + 12 ≥ 0 a současně x2
− 6x − 40 > 0 .
Vyřešením této soustavy nerovnic obdržíme D (V5) = (−∞; −6 ∪ (10; ∞). Vidíme, že D (V4) ⊃
D (V5). Dále víme, že pro všechna x ∈ D (V5) platí V4 = V5. Nelze však tvrdit, že tato rovnost
platí pro všechna x ∈ D (V4)!
3. a) D (V6) = (1; 4). Pro všechna x ∈ D (V6) platí
V6 =
√
x + 3
√
4 − x
=
x + 3
4 − x
.
b) D (V7) = (−2; 2 . Pro všechna x ∈ D (V7) platí
V7 =
√
2 − x
√
2 + x
=
2 − x
2 + x
.
4