Postřehy a materiály k výuce celku „Funkce“
1) Grafy funkcí
• Precizní zápis posunutí soustavy souřadnic - např.
f : y =
2x + 3
x + 1
=
2(x + 1) + 1
x + 1
= 2 +
1
x + 1
, tedy y − 2 =
1
x + 1
.
Označíme-li x = x + 1 a y = y − 2, pak má uvažovaná funkce f v posunutých „čárkovaných“
souřadnicích předpis
f : y =
1
x
.
Uvedená transformace představuje posunutí souřadnicových os. Posunutý počátek P má souřadnice
P = [−1; 2]. Je tedy evidentní, že grafem funkce f je stejná křivka, která je grafem funkce g : y = 1/x
(tedy rovnoosá hyperbola). Je proto pouze potřeba známou křivku umístit do posunuté polohy, která
je určena pomocnými souřadnicovými osami x a y , jejímž průsečíkem je bod P .
• Grafické řešení rovnic a nerovnic - často opomíjená metoda, která je vhodná zejména v situaci, kdy
algebraické úpravy studované (ne)rovnice nevedou k jejímu zjednodušení. Pro průkaznost řešení je
vhodné úlohy zadávat tak, aby v příslušném intervalu jedna z uvažovaných funkcí byla rostoucí a
druhá klesající. Je-li totiž funkce f na intervalu I rostoucí a funkce g je na tomto intervalu klesající,
pak mají jejich grafy na intervalu I nejvýše jeden průsečík. Úlohy navíc lze volit tak, aby studenti
byli nuceni uvažovat na grafu funkce několik bodů, kterými prochází.
Úlohy. V R řešte
1
(x + 3)4 ≥
1
2
(x + 4)3
− 3 , 2
√
3 − x − 5 =
−8
x + 2
− 1 ,
3
2
5
√
64 − 32x − 2 =
2
|3 − x|
.
Výsledky. (−∞; −3) ∪ (−3; −2 , {−6; 2}, {1}.
2) Inverzní funkce
• Jak vypadá inverzní funkce k funkci f : y = k/x (k ∈ R − {0})? Inverzní funkce f−1
má stejný
předpis:
f−1
: x =
k
y
⇔ y =
k
x
.
Funkce f je tedy inverzní sama k sobě. To znamená, že křivka, která je grafem funkce f (tzv. rovnoosá
hyperbola) je souměrná podle osy o rovnici y = x (a dále zřejmě i podle osy o rovnici y = −x). To
je vhodné ukázat vzhledem k pozdějšímu studiu kuželoseček, kdy uvažujeme hyperboly o rovnicích
tvaru
(x − m)2
a2
−
(y − n)2
b2
= 1
a hovoříme o jejích poloosách délek a a b.
• Na základě vlastnosti, že grafy funkcí f a f−1
jsou souměrné podle osy o rovnici y = x lze vyšetřit
průběhy funkcí, které obvykle přímo nestudujeme. Máme-li například načrtnout graf funkce
f : y =
1
3
√
x
,
stačí uvážit funkci k ní inverzní
f−1
: x =
1
3
√
y
, tedy y =
1
x3
,
jejíž graf by středoškolští studenti měli znát.
1
• Rozšíření definice liché odmocniny - v R jí lze uvažovat i ze záporných čísel. Například funkce
f : y = x3
má definiční obor i obor hodnot R a je v celém svém definičním oboru rostoucí. Proto
k ní existuje funkce inverzní s předpisem
f−1
: x = y3
, tedy y = 3
√
x ,
která má opět definiční obor i obor hodnot R a je také v celém svém definičním oboru rostoucí. V R
např. platí 3
√
−8 = −2, neboť (−2)3
= −8. Toto pojetí není jednotné. Argumentem pro nerozšíření
definice liché odmocniny i pro záporná čísla bývá to, že pak by ne každý vzorec pro počítání s odmocninami
platil pro jakékoliv x, např. vztahy ( 6
√
x)
2
= 3
√
x nebo
6
√
x2 = 3
√
x platí pouze pro x ≥ 0.
Zdůrazněme, že v prvním vztahu je důvodem to, že výraz ( 6
√
x)
2
je definován pouze pro nezáporná
x, zatímco ve druhém vztahu je sice výraz
6
√
x2 definovaný i pro záporná x, je však pro ně kladný,
ale výraz 3
√
x nabývá pro záporná x záporných hodnot, tudíž by rovnost byla porušena.
Uvědomme si, že diskusi podmínek se však zcela nevyhneme ani v případě, že jakoukoliv odmocninu
budeme vždy uvažovat výhradně z nezáporného čísla! Například u rovností
6
√
x2 = ( 6
√
x)
2
nebo
4
√
x2 =
√
x je jistě vhodné studenty upozornit na skutečnost, že jejich levé strany jsou definovány pro
všechna reálná čísla, avšak jejich pravé strany pouze pro čísla nezáporná a tudíž pouze pro čísla nezáporná
platí. Naopak výraz
√
−x je definován pouze pro nekladná čísla a právě pro všechna nekladná
čísla platí rovnost
4
√
x2 =
√
−x. Domnívám se rovněž, že je vhodné se studenty projít vlastnosti
funkcí
f1 (x) =
√
x , f2 (x) = −
√
x , f3 (x) =
√
−x a f4 (x) = −
√
−x
a jejich grafy.
V souvislosti s podmínkami a definičními obory funkcí si uvědomme, že podobný problém nastává
i u jiných funkcí - např. logaritmických. Vzorec
log x2
= 2 log x (1)
platí pouze pro x > 0. Jen za této podmínky je definována jeho pravá strana, strana levá je však
definována pro každé x ∈ R − {0}.
3) Podmínky a řešení rovnic, využití oboru hodnot funkcí
• Uvažujme rovnici log x2
= 4. Tato rovnice je definována pro všechna x ∈ R−{0}. Správným postupem
řešení je rovnici odlogaritmovat a dále dořešit následujícími úpravami
log x2
= 4 ⇔ x2
= 104
⇔ |x| = 102
⇔ x = ±100 . (2)
Protože veškeré úpravy byly za uvedené podmínky ekvivalentní, je množina všech kořenů uvažované
rovnice dvojprvková, tj. K = {±100}. Chybný by ovšem byl postup s využitím vzorce (1), který
platí pouze pro kladná x! Záporný kořen uvažované rovnice bychom tak nenašli
log x2
= 4 2 log x = 4 ⇔ log x = 2 ⇔ x = 100 .
Byla-li by však rovnice zadána ve tvaru 2 log x = 4, pak by byla definována jen pro x > 0 a měla by
tedy jediný kořen x = 100 (viz výše uvedené ekvivalentní úpravy). Poznamenejme ještě, že by při
řešení rovnice 2 log x = 4 bylo možné (avšak ne výhodné) použít důsledkovou úpravu
2 log x = 4 ⇒ log x2
= 4 ,
dále pokračovat jako v (2) a provést zkoušku, která by při tomto postupu byla nedílnou součástí
řešení (případně místo zkoušky stanovit podmínky), čímž se vyloučí záporný výsledek.
• Vhodné je studentům zadat rovnici, u níž podmínky některý kořen vyloučí. Obzvlášť poučné to může
být v situaci, je-li vyloučeno řešení kladné. Toto lze například demonstrovat řešením rovnice
log3 (x + 5) + log3 (2 − x) − log3 (−1 − x) = log3 2 .
2
Argument každého logaritmu musí být kladný. Takto zjistíme, že uvedená rovnice má smysl pro
všechna x ∈ (−5; −1). S využitím vlastností logaritmů, pak za této podmínky platí
log3 (x + 5) + log3 (2 − x) − log3 (−1 − x) = log3 2 ⇔ log3
(x + 5) (2 − x)
−1 − x
log3 2 .
Po odlogaritmování a roznásobení pak dostaneme rovnici, kterou snadno upravíme do součinového
tvaru
−x2
− 3x + 10 = −2 − 2x ⇔ 0 = x2
+ x − 12 ⇔ (x + 4) (x − 3) = 0 .
Vzhledem k uvedeným podmínkám, za nichž byly veškeré popsané úpravy ekvivalentní, je množina
všech kořenů řešené rovnice pouze jednoprvková, K = {−4}.
• Rovnici
5
x
2 + 2x
+ 3−x
= 0
nelze zjednodušit obvyklými úpravami používanými při řešení exponenciálních rovnic. Pokud si však
všimneme, že její levá strana je tvořena součtem tří kladných sčítanců, snadno zdůvodníme, že tato
rovnice nemá řešení.
• Pozorným pohledem na rovnici
√
2 − x +
√
x2 − 2x +
√
x2 − 4 = 0
si můžeme výrazně usnadnit práci s jejím řešením. Protože její levá strana je tvořena součtem tří
nezáporných sčítanců, musí být každý z nich nulový. První sčítanec je nulový právě tehdy, když x = 2
a pro tuto hodnotu jsou nulové i zbývající dva sčítance, takže má řešená rovnice jediný kořen x = 2.
Dodejme, že tato rovnice je řešitelná i obvyklým způsobem. Je jí však třeba upravit, poté umocnit,
abychom po dalších úpravách a vytknutí dostali součinový tvar
√
2 − x +
√
x2 − 2x = −
√
x2 − 4 ⇒ . . . ⇒ (2 − x) 2 + 2
√
−x = 0 .
Zbývá zdůvodnit, že druhá závorka nemůže být rovna nule a provést zkoušku, neboť umocnění rovnice
je úprava důsledková. Tento postup je tedy výrazně pracnější.
• Uvědomíme-li si, že oborem hodnot funkcí sinus a kosinus je interval −1; 1 , můžeme opět elegantně
vyřešit rovnici
sin 2x + cos x −
π
4
= 2 .
Z uvedeného vyplývá, že pro splnění rovnosti je nutné a stačí, aby každý sčítanec na levé straně
rovnice byl roven jedné
sin 2x = 1 ⇔ 2x =
π
2
+ k · 2π ⇔ x =
π
4
+ kπ , k ∈ Z
a
cos x −
π
4
= 1 ⇔ x −
π
4
= k · 2π ⇔ x =
π
4
+ k · 2π , k ∈ Z .
Tedy pro množinu všech kořenů dostáváme K = π
4
+ k · 2π , k ∈ Z .
Naznačme ještě způsob řešení uvažované rovnice pomocí „obvyklých“ úprav, který však rozhodně
není výhodnější. Využitím součtových vzorců nejprve získáme stejný argument x
sin 2x + cos x −
π
4
= 2 ⇔
√
2
2
(sin x + cos x) = 2 − sin 2x .
Po vynásobení dvěma a umocnění rovnice po důsledkové úpravě dostaneme
2 sin2
x + 2 sin x cos x + cos2
x = 4 4 − 4 sin 2x + sin2
2x .
S využitím známých vzorců přepíšeme levou stranu do tvaru
2 sin2
x + 2 sin x cos x + cos2
x = 2 (1 + sin 2x) .
Po provedení substituce y = sin 2x dostáváme v pomocné proměnné y kvadratickou rovnici, takže již
úlohu algoritmickým způsobem dořešíme.
3
4) Vlastnosti logaritmů
• Běžně ukazujeme, že vhodné odmocniny jsou čísly iracionálními. Podobně lze ukázat, že ani „většinu“
logaritmů nelze zapsat ve tvaru zlomku s celočíselným čitatelem a jmenovatelem. Dokažme např., že
log 3 /∈ Q .
Vzhledem k tomu, že log 3 > 0, můžeme sporem předpokládat, že log 3 = p/q, kde p, q ∈ N. Pak platí
10
p
q = 3 ⇒ 10p
= 3q
⇔ 2p
· 5p
= 3q
,
což je spor s větou o existenci a jednoznačnosti rozkladu přirozeného čísla na součin prvočísel.
• Pomocí logaritmů se dá jednoduše ukázat, že množina iracionálních čísel není uzavřená vůči operaci
součtu. Jednoduše řečeno, že součtem dvou iracionálních čísel nemusí být číslo iracionální. Např.
log 2+log 5 = 1. Podobně to platí i pro operaci součinu, kde tuto skutečnost snáze ukážeme s využitím
odmocnin, např.
√
2 ·
√
8 = 4.
5) Určení oboru hodnot funkce
I u funkcí, jejichž obor hodnot není vidět bezprostředně z jejich předpisu, jej lze zjistit bez komplexního
studia průběhu funkce. Jedná se o jednoduchou aplikaci problematiky rovnic s parametrem. Na předpis
uvažované funkce stačí nahlížet jako na rovnici o proměnné x s parametrem y a potřebujeme zjistit, pro
jaké hodnoty parametru má tato rovnice alespoň jedno (reálné) řešení.
Úlohy. Určete obory hodnot následujících funkcí
f1 : y =
x2
x − 4
, f2 : y =
(x − 3)2
x2 + 1
, f3 : y =
2x2
− 6
x2 + 2
.
Výsledky a návody. Předpis funkce f1 upravíme do tvaru x2
− yx + 4y = 0. Jedná se o kvadratickou
rovnici (bez ohledu na hodnoty parametru y), která má alespoň jedno řešení právě tehdy, když je její
diskriminant nezáporný, tj. y2
−16y = y (y − 16) ≥ 0. Odtud vidíme, že obor hodnot funkce f1 je H(f1) =
(−∞; 0 ∪ 16; ∞). Podobně zjistíme, že H(f2) = 0; 10 (příslušná rovnice je tvaru (y − 1) x2
+6x+y−9 = 0
a je třeba se u ní zvlášť věnovat hodnotě y = 1, pro kterou je rovnice lineární) a H(f3) = −3; 2) (u této
funkce se nabízí také možnost úpravy jejího předpisu do tvaru y = 2 − 10/ (x2
+ 2), ze kterého je tvar
oboru hodnot možné zdůvodnit rovnou).
6) Goniometrické a cyklometrické funkce
• Grafy funkcí sinus a kosinus se nazývají sinusoida resp. kosinusoida - viz. učebnice Goniometrie pro
gymnázia. Jedná se však o tutéž křivku, která je pouze posunutá do jiného počátku, protože platí
cos x = sin x +
π
2
.
Podobná situace pak nastává u funkcí tangens a kotangens, jejichž grafy tvoří rovněž totožné křivky.
Platí totiž
cot x = − tan x −
π
2
.
• Goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou periodické, zejména tedy nejsou prosté.
Přesto k nim však uvažujeme funkce inverzní. Abychom je mohli definovat, musíme zúžit jejich
definiční obory.
4
7) Úlohy
Zadání
1. Udejte příklad funkcí následujících vlastností. Případně zdůvodněte, proč požadovaným podmínkám
nelze vyhovět.
a) Funkce f1, která je prostá, ale není ani rostoucí ani klesající.
b) Sudé funkce f2, která má právě jedno ostré globální minimum a právě jedno ostré globální
maximum.
c) Funkce f3, která má nejmenší periodu 4π a obor hodnot −2; 4 .
d) Funkce f4, která má obor hodnot H (f4) = (0; 1 .
e) Funkce f5, která je současně sudá i lichá.
f) Funkce f6, která má své globální minimum v bodě [3; −1].
g) Funkce f7, která je rostoucí v R a má právě jedno lokální maximum.
h) Funkce f8, která je sudá a má právě tři body nespojitosti.
i) Funkce f9, která má definiční obor D (f9) = (−1; 2 .
j) Nekonstantní funkce f10, která je periodická, ale neexistuje její nejmenší perioda.
2. Najděte všechna a ∈ R taková, aby pro libovolnou funkci tvaru f(x) = ax + 1 a každé x ∈ −2; 2
platilo, že f(x) ∈ −7; 9 .
3. Najděte všechna b ∈ R taková, aby pro libovolnou funkci tvaru f(x) = 3x + b a každé x ∈ −1; 3
platilo, že f(x) ∈ −5; 10 .
4. Porovnejte čísla
−
49
16
160
a
3
5
−320
.
5. Určete definiční obory následujících funkcí
f(x) = log1
2
x2
− 2x + 1
x + 2
a g(x) =
2x
1 − log8(x − 1)3
.
6. Najděte všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které je funkce f definovaná předpisem
f(x) =
1 − a2
2 + a
x
klesající exponenciální funkcí.
7. Určete všechna x ∈ R, pro která nabývá funkce
f(x) = log1
7
5
x − 3
nezáporných hodnot.
8. Zjednodušte
2 log2 6 + log2 12 − 3 log4 9 + log3 15 + log1
3
5 .
5
9. Nechť jsou dány funkce
f1 : y = log1
3
(x − 1) a f2 : y = 2x−2
− 5 .
Do jednoho obrázku načrtněte věrně jejich grafy (vyznačte v nich důležité body, případné prvky
souměrnosti, průsečíky se souřadnicovými osami) a určete jejich definiční obory a obory hodnot. Na
základě těchto grafů najděte všechna řešení rovnice
log1
3
(x − 1) = 2x−2
− 5 .
Zdůvodněte přitom, proč má tato rovnice Vámi uváděný počet řešení.
10. V R vyřešte rovnice
3−5x−1
= 81 ,
1
2y−3
= 1 , 101−3z
= 5 , 2u+1
+ 2u+2
= 96 .
11. V R vyřešte rovnice
2(x−4)·
√
x2+x−6
= 1 , 3y
− 2y
= 2y+1
+ 3y−2
, 4 · 9
1
z − 9 · 4
1
z = 5 · 6
1
z .
12. V R vyřešte rovnice
log5(6x + 1) = 2 , log1
2
log3(1 + 20 log2 y) = −2 ,
2 log 3z
log(2 − 7z)
= 1 .
13. V R vyřešte rovnice
3 log 2x2
+ 2 log 3x3
= 5 log x + 2 log 6x3
, log2
2 y + 2 log2 y = 3 , log2 z − log4 z + log16 z =
3
4
.
14. V R2
vyřešte soustavy rovnic
log x + log y = 2,
2log x
· 3log y
=
√
54,
3
√
5u ·
√
3v = 45,
uv = 12.
15. V R vyřešte nerovnice
2x
· 4x
≤ 64 , 25y
− 9 · 5y
+ 20 < 0 , 2
√
z−6
≤ 8 ·
1
8
4−z
3
.
16. V R vyřešte nerovnice
log1
2
(2x + 4) ≥ −3 , logy 2 > 1 , log z · log(z + 1) ≤ 0 , log2
1
3
u + log1
3
u ≥ 2 .
17. S využitím definice (tj. pomocí jednotkové kružnice, nikoliv kalkulačky) vypočtěte
sin
41π
6
− cot −
17π
4
.
18. S využitím goniometrických vzorců, tj. aniž určíte x, vypočtěte sin x, cos x
2
a cot 2x, víte-li, že
tan x = −
4
3
a x ∈
π
2
; π .
6
19. Bez užití kalkulaček vypočtěte
sin 11,25◦
.
20. Najděte všechna x ∈ R, pro něž platí
cos x
1 + cos x
·
sin 2x
1 + cos 2x
= tan
x
2
.
21. Dokažte, že v libovolném trojúhelníku ABC, kde a, b, c značí délky jeho stran, α, β, γ velikosti jeho
vnitřních úhlů a S jeho obsah, platí
S =
c2
sin α sin β
2 sin (α + β)
.
22. Určete velikosti všech ostatních stran a úhlů trojúhelníku ABC, v němž platí
a)
b = 2
√
2 cm c =
√
2 +
√
6 cm, α = 30◦
,
b)
a − c = 12,86 cm, β = 47◦
39 , r = 32,84 cm,
kde a, b, c značí délky stran, α, β, γ velikosti vnitřních úhlů a r poloměr kružnice opsané trojúhelníku
ABC.
23. V R vyřešte rovnice
sin 4x −
π
3
=
1
2
, sin 2y = cos y ,
√
2 sin z = −
√
3 tan z , tan 3u − cot 3u =
2
√
3
.
24. V R vyřešte nerovnice
cos x <
√
3
2
, cot 2y +
π
6
≥ 1 , sin z + sin2
z ≥ cos2
z .
25. Určete definiční obory funkcí
f(x) =
√
1 − 2 cos x a g(x) =
√
3 − cot 2x .
7
Návody a výsledky
1. Jednotlivé úlohy májí obvykle buď nekonečně mnoho řešení nebo nemají řešení žádné. Uvedený
přehled řešení není tedy komletní.
a) f1 (x) = 1/x.
b) Neexistuje. Je-li minimum (resp. maximum) sudé funkce v bodě x0, nastává stejný extrém
i v bodě −x0. Jedinou hodnotou, pro níž x0 = −x0 je x0 = 0, takže extrém realizovaný v tomto
bodě může být jediný, ostatní extrémy už se musí vyskytovat v sudém počtu.
c) f3 (x) = 3 sin x
2
+ 1.
d) f4 (x) = 1
|x|+1
.
e) f5 (x) = 0.
f) f6 (x) = (x − 3)2
− 1.
g) Nelze, protože funkce f7 má být definována na otevřeném intervalu. Neexistuje tedy největší
realné číslo, v němž by funkce f7 měla nabývat své největší hodnoty.
h) f8 (x) = 1/ [x2
(x2
− 1)].
i) f1 (x) =
√
2 − x · log (x + 1).
j) Periodou funkce
f10 (x) =
1 pro x ∈ Q ,
0 pro x /∈ Q
je libovolné kladné racionální číslo. Protože neexistuje nejmenší kladné racionální číslo, nemá
funkce f10 nejmenší periodu.
2. Je výhodné uvažovat grafy funkcí a vyznačit si zadáním vymezenou oblast. Graf libovolné funkce
tvaru f(x) = ax + 1 prochází bodem [0; 1] - viz připravený soubor v programu Graph. Výsledek
a ∈ −4; 4 .
3. Přímka, která je graf libovolné funkce tvaru f(x) = 3x + b je rovnoběžná s přímkou o rovnici y = 3x
- viz připravený soubor v programu Graph. Výsledek b ∈ −2; 1 .
4. Neboť funkce f : y = xn
je pro x > 0 rostoucí, platí
−
49
16
160
=
7
4
320
>
5
3
320
=
3
5
−320
.
5. D(f) = (−2; ∞) − {1}, D(g) = 2; ∞) − {3} (návod: 0 ≤ log8(x − 1)3
= 1).
6. a ∈ (−1; 1) (návod: 0 < 1−a2
2+a
< 1).
7. x ∈ 8; ∞).
8. Užitím základních vzorců a pravidel pro počítání s logaritmy dostaneme výsledek 5.
9. Protože f1 je klesající funkce a f2 naopak rostoucí funkce v celém svém definičním oboru, mohou
se jejich grafy protnout nejvýše v jednom bodě. Na základě vlastností obou funkcí snadno najdeme
x-ovou souřadnici jejich průsečíku, což je kořen řešené rovnice: x = 4.
10. x = −1, y = 3, z = 1−log 5
3
, u = 4,
11. x1 = −3, x2 = 2, x3 = 4, y = 3, z = 1
2
,
12. x = 4, y = 16, z = 2
9
,
8
13. x = 1
2
, y1 = 2, y2 = 1
8
, z = 2,
14. x =
√
10, y = 10
√
10, u1 = 3, v1 = 4, u2 = 6 log5 3, v2 = 2 log3 5,
15. x ∈ (−∞; 2 , y ∈ (log5 4; 1), z ∈ {6} ∪ 10; ∞),
16. x ∈ (−2; 2 , y ∈ (1; 2), z ∈ (0; 1 , u ∈ 0; 1
3
∪ 9; ∞).
17. Platí sin 41π
6
− cot −17π
4
= sin 5π
6
+ cot 17π
4
= 1
2
+ cot π
4
= 3
2
.
18. Pro všechna x ∈ π
2
; π platí sin x > 0, cos x < 0 a cos x
2
> 0. Řešením rovnice tan x = sin x
−
√
1−sin2 x
=
−4
3
za uvedených podmínek dostáváme sin x = 4
5
, proto cos x = − 1 − sin2
x = −3
5
. Dále platí
cos x
2
= 1+cos x
2
= 1√
5
a cot 2x = cos 2x
sin 2x
= cos2 x−sin2 x
2 sin x cos x
= 7
24
.
19. Platí sin 11,25◦
= sin 22,5◦
2
= 1−cos 22,5◦
2
. Ale cos 22,5◦
= 1+cos 45◦
2
= 2+
√
2
4
= 1
2
2 +
√
2, takže
sin 11,25◦
=
2−
√
2+
√
2
4
= 1
2
2 − 2 +
√
2.
20. Algebraickými úpravami lze levou stranu rovnice upravit do tvaru tan x
2
, tzn. rovnice je splněna pro
všechna x ∈ R, pro něž je definována, tj. x = π + 2kπ a x = π
2
+ kπ, kde k ∈ Z je libovolné.
21. Podle sinové věty platí a = c sin α
sin γ
. V libovolném trojúhelníku navíc platí sin γ = sin [180◦
− (α + β)] =
sin (α + β). Uvážíme-li, že S = 1
2
ac sin β, a dosadíme-li a = c sin α
sin(α+β)
, dostaneme dokazovaný vztah.
22. a) Podle kosinové věty vypočteme a = 2 cm. Pomocí sinové věty určíme úhel β, o kterém vzhledem
k tomu, že nyní již známe délky všech stran trojúhelníku, víme, že je ostrý. Zjistíme, že β = 45◦
a dopočteme γ = 105◦
.
b) Pomocí sinové věty snadno vypočteme b = 2r sin β = 48, 54 cm. Na straně BC pak uvažme
pomocný bod P takový, aby |AB| = |BP|. Vzhledem k tomu, že trojúhelník ABP je rovnoramenný
se zadaným úhlem β při hlavním vrcholu, můžeme určit velikost tupého úhlu APC.
Trojúhelník APC je nyní jednoznačně určen podle věty Ssu a úlohu lze dořešit užitím sinové a
kosinové věty. Výsledky a = 64, 71 cm, c = 51, 85 cm, α = 80◦
12 a γ = 52◦
09 .
23. x = π
8
+ kπ
2
, x = 7π
24
+ kπ
2
, y = π
2
+ kπ, y = π
6
+ 2kπ, y = 5π
6
+ 2kπ, z = kπ, z = 5π
6
+ 2kπ, u = π
9
+ kπ
3
,
u = 5π
18
+ kπ
3
, k ∈ Z.
24. x ∈ π
6
+ 2kπ; 11π
6
+ 2kπ , y ∈ − π
12
+ kπ
2
; π
24
+ kπ
2
, z ∈ π
6
+ 2kπ; 5π
6
+ 2kπ ∪ 3π
2
+ 2kπ , k ∈ Z.
25. D(f) = π
3
+ 2kπ; 5π
3
+ 2kπ , D(g) = π
12
+ kπ
2
; π
2
+ kπ
2
, k ∈ Z.
9