Výroky - slovní úlohy Zadání úloh
1. Uvažujme výrokové formy:
A : Součet čísel a a b je kladný.
B : Alespoň jedno z čísel a a b je kladné.
(a) Napište slovní formulaci ekvivalence A B a rozhodněte, zda tato ekvivalence platí pro libovolná reálna čísla a a b. Své tvrzení zdůvodněte.
(b) Napište slovní formulaci negace implikace A =>- B.
2. U následujících úloh zadané podmínky přepište do výrokových forem a následně je řešte pomocí tabulky pravdivostních hodnot.
(a) V jistém městě je možné natankovat pohonné hmnoty u čerpacích stanic A, B, C. Určete všechny možnosti otevření stanic, víte-li, že
• stanice A nebo C jsou vždy v provozu,
• stanice C je mimo provoz právě tehdy, když je otevřeno v A,
• je-li otevřeno v C, pak A není v provozu a je v provozu B.
(b) Pro funkci kontrolora obráběcích strojů jsou vyškoleni zaměstnanci A, B, C. Víme, že pro jejich přítomnost na pracovišti platí
• není-li přítomen aspoň jeden z dvojice A a C je přítomen B,
• jsou-li přítomni A a B, není přítomen C.
Kteří z nich mohou být v tomto okamžiku na pracovišti? Lze ze zadaných podnímek usoudit, že není-li přítomen B, je přítomen Cl
(c) Detektiv Babočka sleduje podvoníka, který vyhledává oběti v šesti kavárnách - A, B, C, D, E, F. Podvodník navštíví v temže dni vždy A nebo C, B nebo F a, D nebo E. V témž dni nikdy nenavštíví současně B a, D a, rovněž nejde do alespoň jedné z C a F. Babočka chce podvoníka dnes chytit. Ví, že dnes již navštívil podniky A, E, a F. Proto jde do kavárny B. Míří tam podvodník taky?
3. Následující úlohy se odehrávají na ostrově, kde žijí obyvatelé právě dvou povah - pravdomluvní a lháři. Jakékoliv sdělení pravdomluvného obyvatele tohoto ostrova je vždy pravdivé, každý výrok lháře je nepravdivý. U každé z následujících úloh najděte všechna řešení.
(a) Zjistěte povahy tří obyvatel tohoto ostrova, označme je A, B a C, kteří pronesli následující výroky. A: Všichni jsme lháři.
B: C je pravdomluvný nebo A je lhář. C: A a B nemají stejnou povahu.
(b) Zjistěte povahy tří obyvatel tohoto ostrova, označme je A, B a C, kteří pronesli následující výroky. A: Alespoň 2 z nás jsou lháři.
B: Pokud C je lhář, tak já jsem pravdomluvný.
(c) Zjistěte povahy tří obyvatel tohoto ostrova, označme je A, B a C, kteří pronesli následující výroky. A: Všichni jsme pravdomluvní.
B: Jestliže A je lhář, tak i C je lhář.
(d) Zjistěte povahy tří obyvatel tohoto ostrova, označme je A, B a C, kteří pronesli následující výroky. A: B je pravdomluvný a C je lhář.
B: A je pravdomluvný nebo C je lhář.
C: A je pravdomluvný právě tehdy, když i B je pravdomluvný. 1 Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
(e) Tři umělci z tohoto ostrova vyrobili celkem tři skříňky - zlatou, stříbrnou a dřevěnou. Každý umělec zhotovil jednu z těchto skříněk a umístil na ni svůj nápis. V právě jedné z těchto skříněk je ukrytý poklad. Zjistěte, kde tento poklad je a určete povahy autorů všech skříněk, víte-li, že jsou na nich následující nápisy.
Zlatá: Jestliže tuto skříňku zhotovil pravdomluvný umělec, pak stříbrnou skříňku vyrobil lhář. Stříbrná: Poklad je ve zlaté skříňce.
Dřevěná: Poklad je v této skříňce a autorem stříbrné skříňky je lhář.
(f) A řekne: "Pokud jsem poctivec, pak P." Dá se odtud určit, zda A je pravdomluvný nebo lhář? Můžeme rozhodnout o pravdivostní hodnotě výroku P? Své tvrzení zdůvodněte!
(g) Předpokládejme, že každého z obyvatel našeho ostrova lze zařadit do jedné ze skupin - boháč či chuďas. Jistý obyvatel, který se dá charakterizovat jako bohatý pravdomluvec se zamiluje do děvčete, o kterém ví, že si chce vzít jedině bohatého pravdomluvce. Jakým výrokem se jí má představit, aby z jediné jeho krátké věty (nikoliv souvětí) poznala, že on skutečně je bohatý pravdomluvec? Zdůvodněte!
4. Na výstavě psů bylo třeba umístit deset psů: dva německé ovčáky, dva pudly, jednoho buldoka a pět pinčů. K dispozici byly tři kotce. Pro umístění byly stanoveny tyto podmínky.
• Dva pudli budou umístěni v temže kotci.
• V prvním kotci bude alespoň jeden německý ovčák.
• Ve třetím kotci bude méně psů než v každém z předchozích dvou, avšak alespoň dva.
• V každém kotci bude alespoň jeden pinč.
• Pudl a buldok nesmí být spolu.
• Ve druhém kotci budou psi tří rozdílných ras.
Najděte všechna řešení úlohy (tzn. zjistěte, kolik existuje možných rozdělení podle ras psů - v patřičných počtech - do jednotlivých kotců). U každého z následujících tvrzení pak rozhodněte o jeho pravdivosti, případně vysvětlete proč se může jednat o nerozhodnutelné tvrzení. Své tvrzení zdůvodněte.
(a) Ve druhém kotci nebude německý ovčák.
(b) V prvním kotci nebude buldok.
(c) Ve třetím kotci bude pudl.
(d) Ve třetím kotci budou tři psi.
(e) Ve třetím kotci nebude německý ovčák.
Výsledky úloh
1. (a) Ekvivalence: „Součet čísel a a b je kladný právě tehdy, když alespoň jedno z čísel a a b je kladné" obecně neplatí. Ke zdůvodnění stačí uvést jakýkoliv konkrétní příklad - třeba součet —2 + 1 není kladný. Místo podtržených slov lze použít jiné spojení, např. tehdy a jen tehdy, když a jen když.
(b) Součet čísel a a b je kladný a žádné z čísel a a b není kladné. Případně lze použít jinou formulaci. Součet a + b je kladný a každé z čísel a a b je nekladné.
2. V závorce jsou uvedeny podmínky, které mají platit dle zadání, za závorkou pak výsledky (tj. výčet všech případů, kdy jsou uvedené podmínky splněny)
(a) (A V C, C <=> A a C     (A' A B)), A, B, C'\ A, B', C a A', B, C.
(b) ((A' VC')^Ba(AAB)^ C), mohou být přítomni A + B, A + C, B + C, B, ano.
(c) (Má platit A V C, B V F, D V E, {B A D)' a C V F'.) Ze zadání víme, že A = E = F = 1, aby byla splněna poslední podmínka, je nutné, aby C = 0. Takže stačí tabulka o 4 řádcích pro proměnné B a D, v níž ověřujeme platnost (B A D)'. Zjistíme tak, že pachatel jde buď do B, nebo do D, nebo dnes už nikam. Babočkovy šance na úspěch tedy nejsou nej vyšší...
2
3. Obecným postupem u tohoto typu úloh je předpokládat o jednom obyvateli nejprve, že je poctivec a dále vyvozovat, co z této skutečnosti a jeho výroku plyne. Bez ohledu na to, zda takto najdeme řešení či spor, je třeba dále uvažovat případ, že tento obyvatel je padouch, a postupovat stejně jako v předchozím. Podrobné řešení je rozepsáno v částech (a) a (e).
(a) Kdyby A byl pravdomluvný, lhal by o sobě, že je lhář, což by byl spor. Proto je výrok A nepravdivý, takže A je lhář. Druhá část alternativy, kterou vyslovil B, je pravdivý výrok, což znamená, že je pravdivá i celá tato alternativa, ovšem nelze z ní zjistit povahu C. B je tedy pravdomluvný. Vidíme proto, že C ve svém výroku nelže. C je tudíž také pravdomluvný. Úloha má jediné řešení.
(b) Úloha má 2 řešení: A je pravdomluvný, B a C lháři nebo A je lhář a B a C jsou pravdomluvní.
(c) Úloha má 3 řešení: všichni jsou pravdomluvní nebo jediným pravdomluvným je B nebo jediným pravdomluvným je C.
(d) Úloha má jediné řešení: A a B jsou lháři, C je pravdomluvný.
(e) Kdyby zlatou skříňku zhotovil lhář, pak by předpoklad implikace, která je na ní napsána, byl nepravdivý, což by ale znamenalo pravdivost této implikace. To by ovšem byl spor s tím, že jde o výrok lháře. Autor zlaté skříňky je tedy pravdomluvný, proto stříbrnou skříňku musel vyrobit lhář. Platí tedy, že poklad není ve zlaté skříňce. Nyní se řešení větví.
i. V případě, že je autor dřevěné skříňky pravdomluvný, je v ní poklad (první řešení).
ii. Je-li však autor dřevěné skříňky lhář, pak má platit, že poklad v dřevěné skříňce není nebo stříbrnou skříňku nevyrobil lhář. Protože však již víme, že autorem stříbrné skříňky je lhář, bude uvedená alternativa pravdivá jedině, platí-li její první část. To tedy znamená, že poklad je ve stříbrné skříňce (druhé řešení).
(f) A je pravdomluvný, proto platí předpoklad implikace, kterou vyslovil, takže i P je pravdivý výrok.
(g) Stačí, aby řekl: „Nejsem chudý pravdomluvec." Případně: „Jsem bohatý nebo padouch."
4. Úloha má 6 řešení. V každém z nich jsou v 1. a 2. kotci německý ovčák a pinč, ve 3. kotci pak pinč. Dále je uveden způsob rozdělení zbylých pěti psů.
(a) 1. kotec: 2 pudli, pinč; 2. kotec: buldok; 3. kotec: pinč,
(b) 1. kotec: 2 pudli; 2. kotec: buldok, pinč; 3. kotec: pinč,
(c) 1. kotec: buldok; 2. kotec: 2 pudli, pinč; 3. kotec: pinč,
(d) 1. kotec: buldok, pinč; 2. kotec: 2 pudli; 3. kotec: pinč,
(e) 1. kotec: 2 pinči; 2. kotec: 2 pudli; 3. kotec: buldok,
(f) 1. kotec: pinč; 2. kotec: 2 pudli, pinč; 3. kotec: buldok.
Proto jsou tvrzení (a), (c) a (d) nepravdivá, (b) nerozhodnutelné (existují řešení, pro něž je uvedené tvrzení pravdivé, ale existují jiná řešení, pro která uvedené tvrzení pravdivé není), (e) je pravdivé.
3