Fibonacci a zlatý řez ZDENĚK KADEŘÁBEK GYMNÁZIUM BRNO, KŘENOVÁ, P.O. Co mají společného počty korunních lístků? Mnoho sedmikrásek má 34 korunních lístků, nebo 55, 89 Měsíčky a Astry mívají 13, 21 korunních lístků Slunečnice mají obvykle 55, 89,144 Fibonacciho čísla Fibonacciho posloupnost: 0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ... Fn = Fn-i + Fn-2> kde F0 = 0,F1 = 1 Mnoho květin, zvláště příbuzných se sedmikráskami, má počet korunních lístků roven některému z Fibonacciho čísel Ostatní čísla se vyskytují vzácnejí (fuchsie 4 okvětní lístky, čtyřlístek...) --> Lucasova čísla 1, 3,4,1,11,18, 29 Zlatý řez u rostlin Ananas ° Povrch má šestiúhelníkovou strukturu (plody, které splynou během růstu) 0 Tři skupiny spirál na jeho povrchu ° 13 spirál otáčejících se proti směru otáčení hodinových ručiček, 8 spirál po směru, 5 spirál otáčejících se po směru Zlatý řez u rostlin Slunečnice - uspořádání semen ve spirálách 0 Jedna skupina spirál po směru hodinových ručiček, druhá proti směru Vytvoř Fibonacciho posloupnost Excel Google tabulky KDYŽ X ✓ fx =A1+A2 A B C D E 1 1 2 ll 3 =AH-A2 1 -* A3 1 A B 1 2 1 Z 4 5 6 7 3 3 5 S 13 9 = - +A2| fit =A1+A2 =A1+A2 _1 A 1 1 2 1 3 2 i 3 5 5 6 3 7 13 a 21 9 L, Fibonacciho posloupnost: http://www.math.muni.cz/~pr ibylova/Fibonacci/FP.html Jaký je poměr následujících členů Fibonacciho posloupnosti? Fibonacciho posloupnost: 1,1, 2, 3, S, 8,13, 21, Excel Google tabulky KDYŽ X >/ fx =A2/A1 A B C D [ 1 1 =A2/A1 2 1 3 2 4 3 = Z-' 1 A B 1 =A2/A1 2 3 2 4 3 1 1 2 1 3 2 5 3 8 5 1 2 1.5 1,666 1.6 13 8 21 13 34 21 55 34 89 55 1,625 1,615 1,619 1.617 1.618 Zlatý řez Rychlost růstu Fibonacciho posloupnosti konverguje k hodnotě zlatého řezu Fn+1 1 + VŠ =

(pz-(p-1 = 0 a CL (D — _ l+VŠ Jaká je hodnota zlatého řezu? ^ ~ 2 111 Řetězový zlomek zlatého řezu: & = !-{- — = 1 +-r = 1 -h - v 1 + ^ 1 Zlatý řez a řetězový zlomek l/Al - i i A B 1 2 2 4 1,666667 5 1.6 6 1,625 7 1,615335 & 1,619043 9 1,617647 10 1,618182 11 ■i n Google tabulky Jx = - A 1 1 2 =1+1 M" A I 4 5 ä 7 3 10 =1 +1 /A1 1.5 1.566656667 1.6 1,625 1,615384615 1.619047619 1.617647059 Zlatý úhel 1868 - německý botanik Wilhelm Hofmeister ° Studium růstu stonku rostlin Vývin stonku určen chováním rostoucí špičky a závisí na malém shluku buněk nazývaných primordia (zárodky listů) ° Tyto buňky leží na spirále - každá buňka oddělena od předchozí zlatým úhlem A, takže n-té semeno leží odkloněno o úhel nA (přitom vzdálenost od středu je úměrná odmocnině z n) --> vysvětlení uspořádání semen slunečnice --> korunní lístky se vytvářejí na konci spirál ° Fibonacciho čísla počtu spirál vedou k Fibonacciho číslům pro počet korunních plátků Semena slunečnice: http://www.math.muni.cz/~pribvlova/Fibonacci/slunecnice.html Zlatý úhel Rozdělte úhel 360° na dva úhly v poměru zlatého řezu 0 Větší úhel je 1,618 násobek menšího úhlu Zlatý úhel je přibližně 137,5° --> Klíč k nejefektivnějšímu rozmístění semen slunečnice, růstu listů rostlin... Růst listů: http://www.math.muni.cz /~pribylova/Fibonacci/Fib onacciRust.html Semena slunečnice: http://www.math.muni.cz /~pribylova/Fibonacci/slun ecnice.html Rozmístění semen v úhlech 137°, 137,5° a 138° Růst populace králíků Předpokládejme populaci králíků, která roste za následujících podmínek: ° První měsíc se narodí jediný pár. ° Nově narozené páry jsou produktivní od druhého měsíce svého života. ° Každý měsíc zplodí každý produktivní pár jeden další pár. ° Králíci nikdy neumírají, nejsou nemocní atd. Jaká bude velikost populace po n měsících? F! = l,F2 =?,... 11 11 u U H li li li li Fibonacciho čísla Fibonacciho posloupnost: 0,1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21,... Fn = Fn-i + Fn-2> kde F0 = 0,F1 = 1 0 Italský matematik Leonardo Pisano Bonacci (1175-1250) - popsání růstu populace králíků Číslo F(n) popisuje velikost populace po n měsících, pokud předpokládáme, že ° První měsíc se narodí jediný pár. ° Nově narozené páry jsou produktivní od druhého měsíce svého života. ° Každý měsíc zplodí každý produktivní pár jeden další pár. ° Králíci nikdy neumírají, nejsou nemocní atd. Zlatý řez kolem nás Poměr velikostí dvou po sobě jdoucích komůrek ulity některých plžů Pentagram - vzdálenosti mezi vrcholy jsou v poměru zlatého řezu. Šupiny borových šišek tvoří podobné spirály jako semena sunečnice V umění a fotografii je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez kolem nás Athény: Parthenon Leonardo da Vinci: Mona Lisa a ideální postava Literatura lan Stewart: Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta https://www.knihydobrovsky.cz/neuveritelna-cisla-profesora-stewarta-147638523 L Přibylová: Fibonacciho posloupnost, Přírodovědecká fakulta MU http://www.math.muni.cz/~pribvlova/Fibonacci/MathlNNature.pdf Fibonacci number https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci number Golden ratio https://en.wikipedia.org/wiki/Golden ratio M. Jarošová: Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matematickými pojmy, 2017