Klíčová aktivita „Podpora gramotností", část „Matematická gramotnost” je realizována v rámci projektu Implementace KAP JMK II, registrační číslo CZ.02.3.68/0.0/0.0/19_078/0017177 v rámci Operačního programu Výzkum, vývoj a vzdělávání, s finanční podporou z Evropské unie a Ministerstva školství mládeže a tělovýchovy. Výpočet Ludolfova čísla π – Buffonova úloha o jehle Autor: Zdeněk Kadeřábek Anotace: Vzdělávací materiál je vytvořen především jako rozšíření výuky pro nadanější studenty. Pracovní list lze také využít jako zpestření výuky po probrání obvodu a obsahu kruhu, iracionálních čísel nebo pravděpodobnosti. Studenti se zde seznámí s jiným způsobem řešení matematických problémů než jsou zvyklí z klasické hodiny. QR kódy motivují studenty k dalšímu zamyšlení se nad řešenými problémy. Pracovní list je určen pro starší studenty ZŠ a studenty SŠ. Časová délka materiálu odpovídá jedné vyučovací hodině. 1 Výpočet Ludolfova čísla π Ludolfovo číslo je matematická konstanta udávající poměr obvodu kruhu k jeho průměru. Jeho hodnotu lze snadno nalézt například měřením obvodu a průměru mince 𝜋 = 𝑜 𝑑 Už žáci na základní škole rychle zjistí, že π je konstanta, protože jim vychází stejná hodnota uvedeného poměru bez ohledu na velikost mince. • Pro odhad hodnoty π lze využít vepsaného pravidelného n-úhelníku do kružnice, viz animace v Geogebře: https://www.geogebra.org/m/fhgfhyjj Lze určit hodnotu Ludolfova čísla pomocí náhody? Představme si rovinu, na níž jsou narýsovány rovnoběžky a jejichž vzdálenost je 𝑑. Na tuto rovinu házíme náhodně jehlu délky 𝑙, 𝑙 ≤ 𝑑. Ptáme se: Jaká je pravděpodobnost, že jehla přetne některou z rovnoběžek? Takto zní slavná matematická úloha, kterou v roce 1777 vymyslel francouzský matematik Georges Louis Leclerc de Buffon a je známá pod názvem Buffonova úloha o jehle. Nejpozoruhodnější na tomto jevu je, že při dostatečném počtu hodů jehlou umožňuje spočítat přibližnou hodnotu čísla π. Rozbor úlohy: Pravděpodobnost, že hozená jehla dopadne na čáru, spočítáme takto: 𝑃 = 𝑣 𝑛 = počet průsečíků jehly s linkou počet hodů Pro 𝑙 ≈ 𝑑 dostaneme 𝑃 = 2𝑙 𝜋𝑑 , z čehož při dosazení z prvního vztahu pro P dostáváme 𝝅 = 𝟐𝒍𝒏 𝒗𝒅 . Platí, že čím více hodů provedeme, tím bude odhad hodnoty π přesnější (přibližování se k přesné hodnotě není moc rychlé). Video: Buffon's needle experiment https://www.youtube.com/watch?v=3VHp_E5FfQM Pozn.: Například Volf v roce 1850 provedl 5 000 hodů a dostal pro π odhad 3.1596. Problém Buffonovy jehly poprvé převedl do praxe Lazaroni v roce 1901, když provedl 34 080 hodů jehlou a došel k hodnotě 𝜋 = 3.1415929. Po zavedení počítačů se však naskytla příležitost tento pokus nasimulovat na počítači a rychlost „pokusů” o několik řádů zrychlit. Metoda řešení matematických úloh pomocí modelování náhodných veličin a statistického odhadu se nazývá metodou Monte Carlo. 2 Pravděpodobnost jevu, kdy jehla stejné délky, jako je vzdálenost mezi rovnoběžkami, po dopadu na papír zůstane ležet na papíře tak, že protíná některou z linek je rovna 2 𝜋 . Nyní už zbývá vzít si linkovaný papír, tyčku přibližně stejné délky jako jsou mezery mezi linkami a začít náhodně házet. Jaká hodnota π Ti vychází? Při výpočtu využij vztah pro pravděpodobnost: 𝑃 = 2 𝜋 = počet průsečíků jehly s linkou počet hodů Jak vyjádřit hodnotu 𝜋? Kolik Ti vyšla přibližná hodnota? Jak výsledek zpřesnit? • Pokud nemáte tyčku, lze využít i animaci v Geogebře: https://www.geogebra.org/m/cmzHmeJ9 • Rozšiřující video: Estimate π with pasta? Why is pi here? Buffon's noodle problem (3blue1brown) https://www.youtube.com/watch?v=e-RUyCs9B08 3 Podobně lze stanovit hodnotu Ludolfova čísla π pomocí následujícího příkladu. Řešení této jednodušší úlohy nám objasní, jak lze uvažovat při řešení Buffonovy úlohy. Příklad: Narýsujme čtverec o straně délky r a do něj čtvrtkruh se středem v jednom rohu čtverce s poloměrem také r. Nyní házejme náhodně kuličky do čtverce a výsledný poměr počtu všech hodů a hodů do čtvrtkruhu stanoví hodnotu π. • Nápověda: Při náhodném dopadu kuličky bude pravděpodobnost dopadu do určitého místa úměrná velikosti dané plochy. Napadá Tě, jak vypočítat pravděpodobnost a hodnotu 𝝅? Výpočet: Jaké jsou obsahy jednotlivých ploch? Jak vypočítat pravděpodobnost dopadu do čtvrtkruhu? 𝑃 = Co platí pro Ludolfovo číslo 𝜋? Jaké jsou Tvé výsledky? 𝑃 = počet hodů do čtvrkruhu počet hodů = výsledná pravděpodobnost z výpočtu Jaká vychází hodnota 𝜋? 4 Zdroje: • Joan Gómez – Neeuklidovské geometrie (když se přímky zakřivují), str. 105-107 • Š. Voráčová – Animace v Geogebře: https://www.geogebra.org/m/fhgfhyjj • Buffonova jehla v Geogebře: https://www.geogebra.org/m/vnAZxxzN nebo https://www.geogebra.org/m/cmzHmeJ9 • Rozšiřující prezentace prof. Ing. Martin Krejsa, Ph.D., FAST VŠB Ostrava: http://fast10.vsb.cz/krejsa/studium/ppk_tema03.pdf • Rozšiřující videa: o Buffon's needle experiment https://www.youtube.com/watch?v=3VHp_E5FfQM o Estimate π with pasta? Why is pi here? Buffon's noodle problem (3blue1brown) https://www.youtube.com/watch?v=e-RUyCs9B08 Rozbor příkladu: • Obsah čtverce je 𝑆1 = 𝑟2 • Obsah čtvrtkruhu je 𝑆2 = 𝜋𝑟2 4 Pravděpodobnost, že kulička náhodně dopadne do čtvrtkruhu je dána poměr obsahů jednotlivých ploch: 𝑃 = 𝑆2 𝑆1 = 𝜋𝑟2 4 𝑟2 = 𝜋 4 --> Pro Ludolfovo číslo platí 𝝅 = 𝟒 ∙ 𝑺 𝟐 𝑺 𝟏 , kde počet hodů do čtvrtkruhu je S2 a celkový počet hodů S1.