1
KRIGING
geostatistické metody interpolace
Kriging
K této optimalizaci se provádí tzv. strukturní analýza založená na
studiu tzv. strukturních funkcí – např. semivariogramu.
Semivariogram z empiricky zjištěných dat je nahrazen teoretickým
modelem a parametry tohoto modelu jsou použity ve vlastním
krigování.
∑=
⋅=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(ˆ λ
Skupina interpolačních metod, které
optimalizují výběr bodů okolí, ze
kterých je odhadována nová
hodnota podle obecného modelu:
Kriging je založen na odhadu závislosti
průměrné změny v hodnotách studované
veličiny a vzdálenosti měřených bodů.
Metoda krigování se často označuje akronymem BLUE (Best Linear
Unbiased Estimator – tedy nejlepší lineární nezkreslený odhad).
Výchozí podmínky krigování:
Vlastnosti krigování
Odhadovaná hodnota je vypočtena jako lineární kombinace
vstupních hodnot
Nezkreslený (nestranný) odhad značí, že průměrná chyba tohoto
odhadu je rovna nule
Odhad je nejlepší, protože je minimalizován rozptyl odhadu
∑=
⋅=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(ˆ λ kde pro váhy platí ∑=
=
n
i
i
1
1λ
.min)ˆ(
2
=−∑ ii zz
( ) 0ˆ =− ii zzE
Pokud prostorově závislá náhodná kolísání nejsou překryta nekorelovaným
šumem, potom může být semivariogram využit k určení vah λi potřebných
pro interpolaci, kdy váhy jsou odhadnuty geostatistickými metodami.
Váhy λi jsou zvoleny tak, aby odhad byl nestranný a odhad rozptylu byl
menší, než jakákoliv jiná lineární kombinace pozorovaných hodnot
(minimální).
Vlastnosti krigování
Přitom pro minimální rozptyl hodnot platí výraz :
∑=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(ˆ φγλσ
)(ˆ 0xz
),( 0xxiγ semivariance proměnné z mezi body xi a x0
Lagrangeův multiplikátor, který zajišťuje požadavek minimalizace
odchylek a zároveň podmínku, že suma vah je rovna jedné.
φ
∑=
=+
n
i
jjii xxxx
1
0 ),(),( γφγλ pro všechna j.kde
PŘÍKLAD: Výpočet neznámé hodnoty v bodě metodou základního krigingu.
Postup řešení:






















=












































1
.
.
.
.
.
.
*.
01...11
1...
...
...
...
1...
1...
0
20
10
2
1
21
22221
11211
nnnnnn
n
n
γ
γ
γ
φ
λ
λ
λ
γγγ
γγγ
γγγ
2
Postup řešení:
2. Řešíme soustavu rovnic, kde jednotlivé členy mají následující význam:
bA =⋅λ
A – matice semivariancí mezi všemi dvojicemi bodů
b – vektor semivariancí mezi všemi body a bodem predikovaným
λ – vektor vah jednotlivých bodů
Φ – tzv. Lagrangeův člen
3. Soustavu rovnic řešíme pro váhy λ, tak, aby byla splněna podmínka
1=∑λ (proto je v soustavě použit člen Φ)






=⋅−
φ
λ
bA 1
1. Na základě předem provedené strukturní
analýzy použijeme vhodnou strukturní
funkci (např. sférický semivariogram) s
příslušnými hodnotami parametrů
4. K určení hodnot semivariancí je zapotřebí vytvořit matici
vzdáleností mezi datovými body a vektor vzdáleností mezi měřenými
body a bodem predikovaným
5. Řešením soustavy rovnic získáme hodnoty vah λ a hodnotu Φ
6. Vypočteme predikovanou hodnotu v bodě (i=0):
7. Vypočteme rozptyl odhadu:
∑=
⋅=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(ˆ λ
∑=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(ˆ φγλσ
Z(xi=0) =4,560
σe
2 = 4,008
Postup řešení:
Prediction map, základní krigování (ordinary kriging) Prediction standard error map, základní krigování (ordinary kriging)
• krigování s bodovým odhadem
• krigování s blokovým odhadem
• základní (ordinary) krigování
• jednoduché (simple) krigování
• univerzální krigování
• indikátorové krigování
• pravděpodobnostní krigování
• co-kriging
• lognormální krigování.
Typy krigování
Základní krigování (ordinary kriging)
( ) )()( iii xxxZ εµ +=
kde µ je neznámá hodnota trendu.
3
Jednoduché krigování (Simple kriging)
( ) )()( iii xxxZ εµ +=
kde µ je známá konstanta.
Univerzální krigování (Universal kriging)
( ) )()( iii xxxZ εµ +=
kde µ(x) je deterministická funkce
Indikátorové krigování
( ) )( ii xxI εµ += kde µ neznámá konstanta, ε(x)
autokorelovaná náhodná
proměnná a I(x) je binární
proměnná, která nabývá hodnot 0
nebo 1 - indikátor
Výsledkem odhadu je
pravděpodobnost překročení
určité prahové hodnoty
Pravděpodobnostní krigování (probalility kriging)
( ) )())(( 111 xcxZIxI εµ +=>= ( ) )(22 xxZ εµ +=
kde µ1 a µ2 jsou neznámé konstanty. I(x) je binární proměnná vytvořená
indikátorovým prahováním (I(Z(x) > c1) a ε1(x) a ε2(x) jsou dvě náhodné
chyby.
Co-kriging
Proměnné z1 a z2 vykazují prostorovou korelaci.
Proměnná z2 je snáze získatelná
Hodnot proměnné z2 je využito k interpolaci hodnot proměnné z1.
Základní co-kriging využívá následujících modelů:
( ) )(111 xxZ εµ +=
( ) )(222 xxZ εµ +=
kde µ1 a µ2 jsou neznámé konstanty a ε1(x) a ε2(x) dvě náhodné chyby.
K odhadům se používají vzájemné (cross) semivariaogramy
Blokový odhad při základním krigování
4
Hodnocení a verifikace modelů
Krigování jako interpolační metoda umožňuje
pro každý interpolovaný bod odhadnout
potenciální velikost chyby odhadu.
Mapy druhé odmocniny
tzv. směrodatné chyby (odchylky) krigingu (Standard error map),
2
eσ
Mají-li chyby predikce normální rozdělení, potom 95% interval
spolehlivosti predikovaných hodnot lze určit z následujícího
vztahu:
2
0 96,1)( exZ σ⋅±
kde Z(x0) je odhad hodnoty proměnné z v bodě x0 a σe
2 je rozptyl
odhadu.
Při opakovaném použití stejného modelu padne 95 % odhadovaných
hodnot do uvedeného intervalu
Probability map
Jaká je pravděpodobnost, že predikovaná hodnota bude v daném bodě
větší než prahová hodnota (např. 1 na obr. vlevo)?
Při konstantní prahové hodnotě se její pravděpodobnost výskytu pro
jednotlivé body mění – tedy lze z ní vytvořit mapu pravděpodobností
(probability map).
P > 100 mm
Quantile map
Jaká je v daném bodě hodnota překročená se zadanou pravděpodobností?
Při konstantní pravděpodobnosti se budou měnit hodnoty kvantilů a lze je
opět prezentovat ve formě tzv. kvantilové mapy (quantile map).
P = 90%
Křížová validace modelu
Jednotlivé body měření (červené) jsou po jednom postupně vynechány ze
vstupní množiny dat
Ze zbývajících (modrých) je vypočtena hodnota v místě vynechaného bodu.
Následně jsou porovnány pozorované a vypočtené hodnoty
Validace modelu
Vstupní soubor měřených hodnot rozdělí na dvě části – data trénovací a
testovací.
Trénovací množina dat se použije pro odhad trendu a autokorelačního
modelu.
Pokud sestavený model vyhovuje trénovacím datům, je ověřen na datech
testovacích.
Korelační pole měřených a predikovaných hodnot
Obecnou vlastností krigingu jako interpolační metody je podhodnocení
vysokých hodnot a naopak nadhodnocení hodnot nízkých.
Sumární statistika rozdílů
pozorovaných a vypočtených
hodnot
Rozdíly pozorovaných a vypočtených
hodnot lze hodnotit dále uvedenými
měrami:
MPE – mean prediction error - průměr rozdílů měřených a předikovaných
hodnot - hodnoty chyb odhadů by měly být nestranné – tedy jejich průměr by se
měl rovnat nule.
n
xzxZ
MPE
n
i
ii∑=
−
= 1
))()(ˆ(
RMSPE (root mean square prediction error) – druhá odmocnina průměrného
čtverce vzdálenosti vypočtených hodnot od teoretických. Slouží k porovnání
několika různých modelů. Čím menší je RMSPE, tím vhodnější je model (tím
bližší jsou vypočtené hodnoty hodnotám měřeným).
n
xzxZ
RMSPE
n
i
ii∑=
−
= 1
2
))()(ˆ(
5
Porovnání metod interpolace
a) Thiessenovy polygony
b) IDW
c) Globální polynom 6. řádu)
d) Spline s různými parametry (tension)
e) Kriging (nulový zbytkový rozptyl,
„dlouhý“ dosah
f) Kriging velký zbytkový rozptyl, dlouhý
dosah resp. nulový zbytkový rozptyl,
velmi krátky dosah
Porovnání metod interpolace (Burrough, 1986)