Gaussovo zobrazeni, zobrazení UTM
Matematická kartografie
Osnova
1. Základní charakteristiky zobrazení
2. Zobrazovací rovnice
3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
4. Meridiánová konvergence
5. Zákony zkreslení
6. Mezipásmové transformace
ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY
ZOBRAZENÍ
3
		razení
Základní charakteristiky zo	1	
• Dosud spíše teorie, i když některá uvedená zobrazení se reálně používají.
• Ta nejpoužívanější ale uvedena nebyla.
• Který z dříve zmíněných typů je Gaussovo zobrazení?
• Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny.
• Nej kratší cesta -neznamená to ale, že je odvození jednodušší.
REFERENČNÍ PLOCHA
ZOBRAZOVACÍ ROVINA
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
POLÁRNI SOUŘADNICE
PRAVOÚHLE SOUŘADNICE
4
Základní charakteristik
• Někdy nazýváno též Gauss-Krugerovo.
• Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny.
• Bez použití referenční koule. U, V, R tedy ve vzorcích nenajdeme.
• Matematicky definováno.
• Přibližná geometrická představa: postupné zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze.
válec
		razení
Základní charakteristiky zo		
• Používá se pro řadu státních mapových děl včetně vojenských.
• Může být použito s různými elipsoidy - Besselův (S-1946), Krasovského...
• Může být použito s různými šířkami pásů - 6° (1:25000 a menší měřítka), 3° (pro větší měřítka). Čím užší pás, tím menší zkreslení.
• Na českých vojenských Topografických mapách (systém S-1942) nahrazeno od roku 2006 zobrazením UTM (systém WGS 84).
• UTM je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení.
Základní charakteristik
Pokrytí Země šestistupňovými pásy Gaussova zobrazení. Každý pás je vlastně samostatným zobrazením.
1803    156°W 132°W 108°W 843W 66°W 48°W 30°W12°W 6°E  24°E 423E 60°E 78°E 963E 114°E   138°E   162'E 180'
tlmím
Základní charakteristi
Gaussovo
4 XA
UTM
84°30'
Osa x nahoru, osa y doprava. UTM používá osy N a E.
Počátek se posouvá o 500 km na západ. K souřadnici Y se přičte 500000 metrů.
Když je potřeba zobrazit jižní polokouli, tak UTM posouvá počátek i na jih - o 10000 km.
U Gaussova zobrazení se zobrazuje i 90° z.š., v UTM ne.
8
		razení
Základní charakteristiky zo		
Pásy jsou číslovány arabskými číslicemi:
• od Greenwichského poledníku směrem na východ (Gaussovo),
• od poledníku 180° opět východním směrem (UTM).
Čísla pásů se používají jako součást jedné ze souřadnic (souřadnice Y vS-1942)
•  V S-1942 na území ČR souřadnice Y začínají buďto cifrou 3 nebo 4 - číslo poledníkového pásu počítáno od Greenwich.
- Př. Y = -123 700 m (západně od osového poledníku) ve 4. pásu.
- Přičte se 500 000 => 376 300
- Přidá se číslo pásu => 4 376 300 m
9
tlmím
Základni charakteristi
Jak dlouhý je 1°z.d. na rovníku?     111,... km Minimální a maximální hodnoty souřadnic v jednom pásu
<p	xv Gaussově zobr. [km]	A/vUTM [km]	yv Gaussově zobr. [km]	yv Gaussově zobr. vč. konst. 500 km [km]	EvUTM [km]	Ev UTM vč. konst. 500 km [km]
0° (rovník)	0	0	0 až + 334 (šířka pásu je asi 667 km)	166 až 834	0 až + 333,8	166,2 až 833,8
50° (cca poloha ČR)	5541	5538,8	0 až ±215	285 až 715	0 až ±214,8	285,2 až 714,2
90° (sev. pól)	10002	9998	0	500	0	500
• 6° pás = přibližně 667 km.
• Max. souřadnice x a y u Gaussova se liší od max. souřadnic N a E u UTM.
•  Válec zobrazení UTM je jakoby „zmenšený"
10
Základní charakteristik
500  0   500 10001500
-500  0   500 10001500
Osový poledník (střední poledník pásu) a rovník se zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky jsou křivky k nim symetrické. Jejich zakřivení lze spočítat - vzorce ve skriptech.
-500 0 50010001500
-500 0 50010001500
11
UTM
fSWŮ
ÄÉÉÉIl
Universal Transverse Mercator je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení s upraveným zkreslením.
Dříve se používalo i s jinými elipsoidy, dnes se používá elipsoid WGS84.
Používá se pro území od 84° severní zeměpisné šířky po 80° jižní zeměpisné šířky.
Neplést s jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení!
Central meridian
80=S
Imaginary secant cylinder
12
UPS
fSWŮ
ÄÉÉÉIl
Pro polární oblasti se používá zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic).
Je to konformní azimutální zobrazení - viz stereografická projekce, UPS je ale modifikováno pro použití z elipsoidu, ne z koule.
stereografická projekce
13
ZOBRAZOVACÍ ROVNICE
15
Zobrazovací rovnic
• Zobrazovací rovnice jsou platné pro libovolný poledníkový pás s libovolnou šířkou a pro libovolný elipsoid.
• Osový poledník bude mít hodnotu fa* = 0°, obecná zeměpisná délka bude vztahována k tomuto osovému poledníku.
z elipsoidu do roviny: zem. šířka nahrazena izometrickou:
x = f((p,Ä) x = f(q,Ä) Jaký je to typ zobrazení
y = f((p,A) y = f(q,A)
zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení pomocí izometrických souřadnic:
x + iy = f{q + iX)     x-iy = f{q-iX)
rovnice se rozvine v Taylorovu řadu a odvodí se obecné zobrazovací rovnice:
y = fm-fm(q)^ + r (q)~^
6 120
Zobrazovací rovnic
• Jde o konformní zobrazení.
• Navíc stanovena podmínka, že osový poledník zůstane nezkreslený.
Pro bod ležící na osovém poledníku (A = 0°) platí:
x0 — x0 =
f(q) 0
sp =sp
sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) ve zobrazovací rovině Sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) na referenčním elipsoidu
z toho plyne: f iq) = Sa
Po dosazení do obecné rovnice:
17
Zobrazovací rovnic
Pomocí dalšího odvození (viz skripta) vzniknou základní tvary zobrazovacích rovnic Gaussovo zobrazení:
x = Sp +7Vcos#>sin <p — + Nsm <pcos3(píp-t2 +9rj2 +4^4)I
+ Nsin<pcos5 <p(ól - 58ř2 + ř + 270rj2 - 330rj2t2)
720
y = Ncos(pA + Af cos3 qr^-t1 +rj2)—
6
+ Ncos5 cp(5-m2 +tA +U772 -58/72ř2)
120
/; = e coscp
t = tgp.
18
Zobrazovací rovnice UT
JMU
• Zobrazení se liší od původního Gaussova zobrazení použitím konstantního zkreslení m0 = 0,9996 (měřítkového faktoru, scale factor)
• To znamená zkreslení -40 cm/km.
• Z tečného válce se stane sečný a vzniknou tak dva nezkreslené poledníky v každém pásu.
N = mr
A2 s \
Sp + Nel cos q> sin q> — + Nel sin q>cos3 (p{5 - ŕ + 9ij2 + 4t/4)
A4
+
7Ve/ sin <pcos5 <p(ól -58r2 + ŕ4 + 270/;2 - 330r/2r)
A6
720
E — wic
( \A3 Nel cos    + Nel cos3 p(l -   + t;2 )—
o
+ Nel cos5 ^(5-m2+ŕ+ Utj2 -5877V)
A5
120
Central meridian
/; = e coscp
t = tg<p.
Nei - příčný poloměr křivosti elipsoidu
so=s
' Imaginary secant cylinder
INVERZNÍ FUNKCE K ZOBRAZOVACÍM ROVNICÍM
Inverzní funkce k zobra
mmm
ro
■ r
y
Pro výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných
y
Gaussovo zobrazení
^   (Pf   2MfNf íf
tf +■
y
2AMfNf
tf(i + 3t2f+5j]2f-9t2fj]2f)+
y
120MfNf
tf(61 + 91t2+45t4f+101j]2-162t2j]2-45t4fj]2)
5 "f
Ä
y
Nf cos (pf   6Nf cos (pf
(l-t2+t]2f)+
<p = <pf
2m20MfNelf
24mlMfNelf
3 "f
120 cos<pf tA + 3ň +5j]2-9t2j]2)+
(5 + 28^+24^+6^+8/7^)
120mbQMfNllf
^(61 + 91^+45^+107/7' -162t2?]2 -45ŕf?]2)
Ä =
E E / 2
---3—3-v-* f +
mnN r, cos (p, 6mnNr,cos"
+
0 ' e// £5
120moA/'e5?/ cos^
^   bm0Ndf cos(pf '
(5 + 28ŕ' + 24ň + 6/7' + 8/7'ř')
zobrazení UTM
poloměry křivosti elipsoidu:
h/t - cjl-é) f (l-^sirí^f2'
N a t -
Proč se v případě UTM píše Neif místo Nf?
21
4
MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE
Meridiánová konver
1» ^v.
Důsledek sbíhavosti poledníků.
Hrana mapového listu kopíruje poledníky a rovnoběžky. Nesměřuje kolmo vzhůru (jako osa x), úhel se liší o meridiánovou konvergenci.
• Úhel mezi rovnoběžkou s osou x (N) a obrazem zeměpisného poledníku.
• Může být záporná (západní část pásu) i kladná (východní část pásu).
• Potřebujeme pro převod mezi směrníkem a zeměpisným azimutem.
Y
1 rovnobi zka s osou X
•rV>e
Q'
a-a—y
Co je směrník a co azimut?
směrník o - úhel mezi (např.) kladným směrem osy x a určitým směrem, azimut a - úhel mezi severním směrem a určitým směrem
23
	
Směrník o	
• Úhel mezi určeným základním směrem a určitým směrem.
• Většinou se počítá od kladného směru osy x.
• V souřadnicovém systému S-JTSK tedy bude jinak než v systému UTM.
• Navíc se rozlišuje směrník Oab a Oba. Liší se o 180°. V označení je první ten bod, u kterého se měří.
24
tlmím
Meridianova konverae
vysoká přesnost:
ze zeměpisných souřadnic:
zjednodušený vzorec:
l + 3r/2 + 2rjA)— + sin cpcos4 cp\2 -12)~       Y ~ s^n(P^
z rovinných souřadnic:
Gaussovo = JLt   jLt (1+ř2 _ 2 _2^)+^Lř fo+5ř5 +v)      r = Zw
zobrazení nf f 3N} a   f  ,f    ,f) \5N5f a    f   f) n
zobrazení  r = _?_,^f{i+ŕf -ý-217;)+-^'/(2+^ +*;)     r = —
UTM ^m0 /   3A^m03 /V    /   7/     //;  157V>05 /V      /     f} Nelm0
Maximum meridiánové konvergence na okrajích pásů v naší zeměpisné šířce: 2°18'.
Pozor. Ve skriptech je na str. 129 na obr. 10-9 přehozeno dy a dx.
25
Meridiánová konvergen
lub
oo
CNJ
CO
LO LO
49'50'-
Projev meridiánové konvergence na TM
Na Rozhrai A657;
o
co
o
CNi
Branka 1 km
3 2 1 000m E
22
23
2
J 52 000m E
'53
'54
'55
26
ZÁKONY ZKRESLENI
27
Zákony zkreslení
V Gaussově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Odvozeno z obecných výrazů.
p M
dx \d(Pj
+
dy
M
mr -
4g \
+
N cos <p
N cos <p
Výpočet ze zeměpisných souřadnic:
vysoká přesnost:
Gaussovo zobrazení
= 1 + cos2 <p\l + u)— + c°s4 <Py - 4f2)^7
m
zjednodušený vzorec:
-1     2 ^
m - 1 + cos (í) — 2
zobrazení UTM
m — m,
1 + cos2 (p(l + rf)— + cos4 (p(5 - 4t2)—
2> 2> 4"
m = m,
1 + cos 0—
V L J
28
Zákony zkreslení
Výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic:
• elipsoid se nahradí koulí r = 4mň
• uvažuje se jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné poloze (Mercatorovo)
vysoká přesnost:
zjednodušený vzorec:
Gaussovo zobrazení
m = 1 +
y
y
2R2 24R'
m = 1 +
2R
zobrazení UTM
f
m - m,
1 +
2m2R2   24m;R ;
.4 r>4
V
^2 \
m = m,
o
1 +
V
2mlR2 j
29
Zákony zkreslení
Průběh zkreslení: Gaussovo zobrazení
Délkové zkreslení Gaussova zobrazení
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84
Na území ČR max. 0,58 m/km.
zobrazení UTM
Délkové zkreslení zobrazení UTM
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84
Osový poledník zkreslený (-0,40 m/km), o to menší zkreslení na okrajích (0,20 r?i°/km).
Zákony zkreslení
MEZIPÁSMOVÉ TRANSFORMACE
32
tlmím
Mezipasmove transfor
V Gaussově zobrazení (i v jeho variantě UTM) má každý pás má vlastní souřadnicovou soustavu.
V praxi se poměrně často řeší transformace souřadnic bodů ze souřadnicové soustavy jednoho pásu do souřadnicové soustavy druhého pásu.
• Při transformaci do souřadnicového systému jiného pásu je ale nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích.
33
• Možnosti:
• různé varianty rovinné transformace - byly zpracovány i výpočetní tabulky
• k rovinným transformacím lze počítat i grafickou transformaci použitou na vojenských topografických mapách (v tzv. překrytovém pásmu) - do mapy lze zakreslit síť ze sousedního pásu
• v současné době je nejběžnější univerzální metoda transformace podle schématu (s využitím inverzních rovnic k zobrazovacím rovnicím):
/      /     v _  o //
n
n
34
Můžeme si nakreslit síť ze sousedního pásu.
Mezipasmove transfor
Data Frame Properties ><
Feature Cache     annotation Groups     Extent Indicators     Frame     Size and Position General Data Frame        Coordinate System Illumination Grids
_\_L
X
Data Frame Properties
Feature Cache     annotation Groups     Extent Indicators     Frame     Size and Position General Data Frame Coordinate System Illumination Grids
H ® ®
1 of 5974 items shown
B E Projected Coordinate Systems B K UTM
B B WGS1934
3 £5 Northern Hemisphere
G WGS 19E4 UTM Zone 34N
Current coordinate system:
WGS_1984_UTM_Zone_34N WKIFJ: 32634 Authority: EPSG
Projection: Transverse_Mercator False_Easting: 500000,0 False_Northing: 0,0 Central_Meridiani 21,0 Scale_Factor: 0,9996 Latitude J3f_Origin: 0,0 Linear Unit: Meter [1,0)