Křovákovo zobrazení a souřadnicový systém
S-JTSK
Matematická kartografie
1. Základní charakteristiky zobrazení
2. Postup transformace zeměpisných souřadnic do zobrazovací roviny
3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
4. Meridiánová konvergence
5. Zákony zkreslení
2
ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY
ZOBRAZENÍ
■i MS
Základní charakteristiky zobrazení
_ ^^^^^^^^^
• Po vzniku ČSR budovány základy nového státního mapového díla - zejména pro katastrální účely.
• Ing. Josef Křovák (1884 - 1951)
• V roce 1922 navrhl konformní kuželové zobrazení v obecné poloze jako součást geodetického referenčního systému jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK).
Další soutěžní návrhy:
http://old.qis.zcuxz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni soubory /cechy. html#navrhv
Základní charakteristiky zobrazení
• Od roku 1922 používáno jako prozatímní.
• Od roku 1933 do roku 1938 používáno jako definitivní.
• Znovu zavedeno po druhé světové válce (např. Státní mapa odvozená 1:5000).
• V padesátých a šedesátých letech 20. století se státní mapy velkých měřítek vyhotovovaly v Gaussově zobrazení s třístupňovými poledníkovými pásy.
• Od roku 1968 začaly probíhat práce na Základní mapě středního měřítka. Opět použito Křovákovo zobrazení.
5
Základní charakteristiky zobrazení
• Zobrazení definováno s ohledem na tvar území bývalé ČSR tak, aby minimalizovalo na tomto území délkové zkreslení. Dnes je používáno pouze v České a Slovenské republice.
• V současné době jsou v tomto zobrazení vydávána státní mapová díla určená pro státní správu a samosprávu (viz Nařízení vlády ČR 430/2006). Jedná se zejména o:
• Katastrální mapy v měřítku 1:1000 (DKM a KMD)
• Státní mapu v měřítku 1 : 5 000
• Základní mapy ČR
6
Základní charakteristi
Gaussovo zobrazení šlo nejkratší cestou, Křovákovo nejdelší. Křovákovo zobrazení je dvojité zobrazení. Co to znamená?
REFERENČNÍ PLOCHA
ZOBRAZOVACÍ ROVINA
<p, Á -> U,V -> Š, D -> R, D\ p, s) -> X,Y
I
polární souřadnice v rovině
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
POLÁRNI SOUŘADNICE
Postup transformace:
1. Zobrazení Besselova elipsoidu na kouli
2. Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické
3. Zobrazení do roviny konformního kuželového zobrazení
4. Transformace polárních souřadnic na rovinné pravoúhlé
PRAVOÚHLE SOUŘADNICE
POSTUP TRANSFORMACE ZEMĚPISNÝCH SOUŘADNIC DO ZOBRAZOVACÍ ROVINY
Zobrazení Besselova elipsoi
• Besselův elipsoid je zobrazen na kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou cpo = 49o30', která probíhá přibližně středem území ČSR.
• Použito Gaussovo konformní zobrazení z elipsoidu na kouli.
v = aA
r=6 380 703,6105 m k= 1,0034191640 a= 1,000597498372
Vysvětlení konstant a odvození vzorců viz kap. 5.
9
Transformace zeměpisných souřadnic na
kartografické
Na kouli jsou definovány kartografické souřadnice Š, D - kvůli protáhlému a mírně stočenému tvaru ČSR.
Osa území - základní kartografická rovnoběžka Š0. Na ní zvolen bod A za nejvýchodnějším bodem státu. Následně je určena poloha kartografického pólu K.
Základní kartografická rovnoběžka Š0 = 78°30'.
Celé území ČSR leží v úzkém pásu mezi dvěma kartografickými rovnoběžkami v relativně malé vzdálenosti AŠ = 2°3ľ, což je asi 280 km.
<pA = 48°15' _+UA = 48°12'42,69689 AA = 42°30'       VA = 42°31 '31,41725
íyK= 59042'42569689" 1/Ar=42°31'31,41725"
Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické ^^^^^^^^^^É
Máme bod A na kartografické rovnoběžce Šo, jak z něj spočítat pól K?
V prezentaci máme vzorce ze 2 nebo ze 3 bodů...
Ing. Křovák ho určil „empiricky" - kružítkem
_.... ,
.-v
V
S0 = UA =
v,=
78°30'
48°12'42",69689 42°31'31",41725
1^ = 59°42'42",69689 \//c=42031'31"!41725
Kartografický pól K je obraz vrcholu kužele V. Vrchol kužele je relativně nízko nad terénem, asi 130 km.
dotyková rovnobežka
kartograf, rovník
Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické
Vk-V
90°-U,
180°-D
/D
So
a=90°-U*
Převod zeměpisných souřadnic na kartografické - rovnice viz kap. 1:
sin S = sin U cos a + cos U sin a cos(V —Vk)
. cosř7
sin D =--        sin( V - Vk)
cos Š
12
Transformace zeměpisných souřadnic na
kartografické
..,__...     ,    ...   ., <% = 48°15' (/, = 48°12'42",69689 UK = 59°42'42",69689
' \^ = 42°31'31",41725  VK= 42°31'31",41725
A
Chernyshkovskiy
48 2500000N. 42.5000000E
K
Ruská federace
N 59°42 00000'. E 42°31 0000(
X Smazat body
$> Přidat do oblíbených Ľ? Sdílet
* Exportovat
Kde je chyba?
Transformace zeměpi kartografické
fA  Anoln,  Souřadnice jsou měřeny od ferrského poledníku.
Äa = *+c- oU
r
co ~ 48°15'
^ J   o     od greenwichského poledníku
A^ — č—Q O U
Transformace zeměpi kartografické
Ferrský poledník
El Hierro [eľjero] - nejzápadnější ostrov Kanárských ostrovů
Od antiky západní konec známého světa.
1634 - odsouhlasen jako základní poledník většinou Evropy
Jeho souřadnice podle greenwichského poledníku? 24°50'- 42°30' = -17°40'
Proč Ing. Křovák použil ferrský poledník?
Ing. Křovák byl zeměměřič. Zobrazení mělo být hlavně pro katastr.
V jakém zobrazení byly katastrální mapy Rakousko-Uherska?
Cassini-Soldnerovo zobrazení
Transverzální válcové zobrazení - není konformní! Ekvidistantní v kartografických polednících. Zeměpisné délky A jsou počítány k poledníku Ferra.
http://old.gis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni souborv/cechy.html 15
Zobrazení do roviny kon
mm
kuželového zobrazen
Pro zobrazení referenční koule do roviny je použito Lambertovo jednoduché konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.
P = Pc
tg
(u ^
1 -^ + 45°
J
(u \ tg - + 45°
v ^ J
6 ~ vzorce kuželového konformního
p0 = m0RcotgU0  zobrazení s jednou nezkreslenou
rovnoběžkou
n = sinř/
o
Z důvodů zmenšení absolutní hodnoty zkreslení se dodatečně zkresluje pomocí měřítkového faktoru m0 = 0,9999. Zmenší se tak poloměr kužele,
Vzniknou tak dvě nezkreslené rovnoběžky: Š1 =79°18'03" Š2 = 77°40'50M
Základní rovnoběžka Šo = 78°30' Není tedy uprostřed.
16
Zobrazení do roviny kon
kuželového zobrazen
zobrazovací rovnice:
R, D'(p, s)
n
D' = nD		Rq = rriQrcotgŠ0		n = sin S{)
R0 = 1 298 039,0046 n = 0,9799247046 mn = 0,9999
o
17
Transformace polár rovinné pravoúhlé
li
c na
Lambertovo konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou kartografickou rovnoběžkou Šo.
A X
Obecný tvar výpočtu rovinných souřadnic pro kuželová zobrazení:
x = xv - p cos s y = psin s
Jenže Ing. Křovák sloučil počátky polární a pravoúhlé soustavy
18
Transformace polár rovinné pravoúhlé
c na
Y
So=78°30'
:49°30'      ^x P'L__
V
/ D
i
i
i
i
Ir
I
x = RcosD' y = RsinD'
Kontrola správného pořadí souřadnic:
y<x
Směry os - programátoři GIS a databází jsou zoufalí.
19
S-JTSK Krovak x S-JTS
East North
20
S-JTSK Krovak x S-J
S-JTSK EastNorth má v definici (v souboru PRJ), že otáčí původní systém Křováka o 90° a osu x násobí -1.
S-JTSK_Krovak
Projection: Krovak False_Easting: 0,00000000 False_Northing: 0,00000000 Pseudo_Standard_Parallel_1:78,50000000 Scale_Factor: 0,99990000 Azimuth: 30,28813975 Longitude_Of_Center: 24,83333333 Latitude Of Center: 49,50000000
S-JTSK_Krovak_East_North
Projection: Krovak False_Easting: 0,000000 False_Northing: 0,000000 Pseudo_Standard_Parallel_1: 78,500000 Scale_Factor: 0,999900 Azimuth: 30,288140 Longitude_Of_Center: 24,833333 Latitude Of Center: 49,500000
X_Scale: 1,00000000 Y_Scale: 1,00000000 XY_Plane_Rotation: 0,00000000
X_Scale: -1,000000
Y_Scale: 1,000000
XY Plane Rotation: 90,000000
Linear Unit: Meter
Linear Unit: Meter
21
INVERZNÍ FUNKCE K ZOBRAZOVACÍM ROVNICÍM
Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
^^^^^^^^^
Zpětná transformace se řeší podle postupu: X, Y     R, D'    Š, D    U, V    p, Ä
R
2 , 2 X
y
Š = 2< arctan
(
tg
S
^- + 45(
v
J
R
o
R
-45(
1    ř/ = arcsin^osasinS-sinacosScosZ))
D' = arcŕg — x
D =
D'
V = Vi- are sin
fcosí . ^
V
cosU
sin Z)
J
sin Šr
Výpočet zeměpisné šířky na elipsoidu se provádí v iteracích:
q>® = 2<! arctan
r (U
tan
V
—+ 45*
+ ď sin
ae
V
V
1 - ď sin U
J
a
-45*
qfo = 2\ arctan
tan
v
—h 45°
v2
^1 + esin
J)
V
1 - e sin 0?
ae 2
-45°
Vypočítaná zeměpisná délka je od poledníku Ferra.
kde i = 1,2...
Tři iterace většinou stačí.
23
MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE
Meridiánová konverge
Úhel mezi rovnoběžkou s osou x a obrazem místního zeměpisného poledníku. Směr osy x na mapě není totožný se směrem sever-jih.
v rovine:
y = U-v
•*-		
		1
		1
		1
		1
		1 1 1
		\    'D
		rj i
		
		i l
		
		1 1
		1   v l
		
		j i
		\ i
		\ i 1 /
		1 / / /
		/
		/ /
	ľ	/ /
		
a=90°-Uk
D' - polární souřadnice bodu (směrník) viz dříve - vzorce pro inverzní funkce
v - úhel mezi obrazem zeměpisného a kartografického poledníku (azimut) - v konformním zobrazení se nezmění. Lze ho tedy spočítat na kouli:
sin v =
sin a cosU
sin a
sin D =        sin (yk - V) cos S
A dosadit do rovnice v rovině.
25
Meridiánová konverge
Varianta, když není nutná vysoká přesnost (jako i u Gaussova zobrazení):
y = sin cpA
X\e odečítána od poledníku Xk = 42°30' východně Ferra, na kterém leží bod A a kart. pól K.
výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic:
Y
y = 0. 008257 Y + 2. 373 — [km] souřadnice x, y v km
Na celém území bývalého Československa konvergence má pouze záporné znaménko.
Tato skutečnost je obecně známá, hodnota konvergence se proto často uvádí bez znaménka.
Na území ČR konvergence dosahuje hodnot od -4°33' na východě území do -9°35' na západě.
Klad mapových listu Z
...» rí '
<_i' l»M h-h
1 »
'V
irr Zlín ^?T"-'ia,V.J
4r
ČESKA REPUBLIKA
KLAD LISTŮ ZÁKLADNÍCH MAP STŘEDNÍCH MĚŘÍTEK
CÍHtíůhiÉ nirrimlFlpfcf-i fcitwWIM. 't« 1.1 OQD D-QG
,TĽÍ,
1	2 ■	i- b ji j- ™o	
3   1 i		3 1 4	
		i	2 i
-	W/,	3	1 4
£22
■ ľi .   -T: 1H
l.SUDGD
■ ^ f
■- ■> r.
2=_ s
li
^4
Klad mapových listu Z
Klad listů vychází ze základního měřítka 1:200 000.
Pole map ZM200 jsou v rovině S-JTSK vymezena umělou konstrukcí pravidelně se sbíhajících čar, které velmi zhruba sledují obraz poledníků.
Klad je tedy vytvořen uměle - neodpovídá poledníkům a rovnoběžkám. •  Aby mapy nešly snadno využít vojensky.
Listy ZM jsou pravidelné lichoběžníky.
Délka základny listu kolísá od 47,03 cm (horní strana nejsevernějšího listu) do 49,22 cm (dolní strana nejjižnějšího listu). Výška libovolného listu je 38 cm.
28
ZÁKONY ZKRESLENI
Zákony zkreslení
• V Křovákově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Proč?
• Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové.
• Délkové zkreslení:
• při zobrazení referenčního elipsoidu na kouli
• při zobrazení koule do roviny
• Zkreslení při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli v rozsahu území bývalého Československa je zanedbatelné.
• Činí maximálně 0,07 mm/km v absolutní hodnotě.
• V běžných výpočtech se neuvažuje.
• Zkreslení při zobrazení referenční koule do zobrazovací roviny kuželového zobrazení má v případě Křovákova zobrazení tvar:
nR
m =--
r sin S
30
Zákony zkreslení
Šikmé zobrazení, kartografické rovnoběžky a poledníky... Jaký tvar mají zeměpisné poledníky a rovnoběžky?
• Složité křivky.
• Na území ČSR je však možné je nahradit přímkami a soustřednými kružnicemi.
31
1?* 13°        14* )5° 15* M* 18° H" ?0° ?1" 77'
Zákony zkreslení
• Nezkreslené rovnoběžky jsou vzdálené od základní rovnoběžky 89 km na sever a 91 km na jih.
• Základní kartografická rovnoběžka tedy není uprostřed mezi nimi.
• Ekvideformáty mají tvar kartografických rovnoběžek.
• Na základní kartografické rovnoběžce je zkreslení -10 cm/km, na severních a jižních výběžcích republiky je dosaženo hodnot 14 cm/km.
• Nepoužitelné pro jiná území. Rychle roste zkreslení.
32
1?* 13°        14* )5° 15* M* 18° H" ?0° ?1" 77'
Zákony zkreslení
Snaha minimalizovat délkové zkreslení:
• kužel v normální poloze: pás široký 3°20', 400 km, zkreslení 40 cm/km
• kužel v obecné poloze: užší pás 2°30', 280 km, zkreslení 24 cm/km
• použití multiplikační konstanty k=0,9999: snížení délkového zkreslení na 14 cm/km u okraje pásu, -10 cm/km na rovnoběžce šo.
14 cm/km
40 cm/km
3° 20
40 cm/km
24 cm/km