Transformace Matematická kartografie Obsah 1. Jaký to má význam? 2. Prostorové pravoúhlé souřadnice 3. Základní charakteristiky transformací 4. Prostorové transformace 5. Rovinné transformace 2 JAKÝ TO MÁ VÝZNAM? 3 1 Jaký to má význam? 4 Některé vrstvy mají jiný geodetický souřadnicový systém než ten, který chcete nastavit projektu. GIS vás vyzývá, abyste zkontrolovali, jakou transformaci má použít. Jaký to má význam? 5 V nabídce je velké množství různých transformací. Lze si vytvořit i vlastní. 6 Transformace můžete vybírat i ve funkci Project. Jaký to má význam? 7 Jaký to má význam? Mluví se o transformaci geodetického souřadnicového systému, ne rovinného! Když transformujete mezi systémy, které mají stejný geodetický systém (i když se liší kartografickým zobrazením), žádná transformace se nenabídne. 8 Jaký to má význam? Tlačítko New… se nezaktivní. Transformace geodetického systému není potřeba. V takovém případě stačí zobrazovací (a inverzní) rovnice převádějící zeměpisné souřadnice na rovinné a naopak. Taky je to transformace, ale ne geodetického systému. ArcGIS tomu Transformation neříká. 9 „On the fly“ transformace má své limity. Je li potřeba vyšší přesnost, je nutno vrstvy transformovat do stejného SRS. Jaký to má význam? PROSTOROVÉ PRAVOÚHLÉ SOUŘADNICE 10 2 Prostorové pravoúhlé souřadnice Druhy prostorových souřadnic: • zeměpisné φ, λ; U, V • izometrické q, λ; Q, V • kartografické Š, D 11 Jedny pravoúhlé souřadnice již známe – v rovině: • pravoúhlé rovinné x, y P Z X Y Pól b a 0   N Hel z0 ZP y0 yP x0 xP rovník základnípoledník Prostorové pravoúhlé souřadnice += HHel 12 ξ – výška geoidu (kvazigeoidu) nad elipsoidem. Tento rozdíl je někdy nutno zahrnout do výpočtů. prostorové pravoúhlé x, y, z – počátek ve středu elipsoidu (či koule) – „geocentrické souřadnice“ 1. bez výšek podle (kvazi)geoidu 3. s elipsoidickou výškou Hel 2. s nadmořskou výškou H (Mean Sea Level) ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY TRANSFORMACÍ 13 3 Transformace souřadnic 14 = převod souřadnic z jednoho geodetického referenčního systému a jednoho zobrazení do jiného geodetického referenčního systému a jiného zobrazení. • Podstata transformace souřadnic – změna souřadnic bodů, aniž by došlo ke změně jejich polohy na zemském povrchu. • Transformovat lze jak souřadnice reálných objektů a jevů, tak i souřadnice fiktivních bodů (rohů mapových listů, uzlových bodů zeměpisné sítě…). • Většinou jsou totiž přesně matematicky definované, není vliv nebo je minimalizovaný vliv generalizace. Transformace souřadnic Příčiny transformací Potřeba transformace souřadnic způsobena zejména následujícími příčinami: 15 – změna zobrazení polohy bodů do roviny při použití stejného referenčního tělesa v původním i novém souřadnicovém systému – změna referenčního tělesa v novém souřadnicovém systému při zachování použitého zobrazení – změna zobrazení polohy bodů do roviny při současné změně referenčního tělesa v původním i novém souřadnicovém systému • např. náhrada původního elipsoidu novým (v 50. letech přešla armáda u Gaussova zobrazení z Besselova na Krasovského el.) • mění se jak zeměpisné, tak i rovinné souřadnice • mění se jak zeměpisné, tak i rovinné souřadnice • např. S42 na WGS84 • nemění se zeměpisné souřadnice, mění se však rovinné souřadnice • stačí zobrazovací (a inverzní) rovnice obou zobrazení • např. UTM 33N na UTM 34N Druhy transformací 16 Podle charakteru změn a podle požadované přesnosti výstupních souřadnic – dva druhy transformací: – prostorové transformace – rovinné transformace Druhy transformací Prostorové transformace: 17 X1,Y1 > φ1,λ1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > U2,V2 > X2,Y2 – vstupy a výstupy prostorových transformací: • rovinné pravoúhlé souřadnice • zeměpisné souřadnice • prostorové pravoúhlé souřadnice • možno uvažovat i výšky bodů – nadmořské nebo elipsoidické • ale lze uvažovat i polohu bodů pouze na povrchu referenčních těles – typy prostorových transformací: • tříprvková transformace • sedmiprvková transformace • Moloděnského transformace • zjednodušená Moloděnského transformace Druhy transformací Rovinné transformace: 18 X1,Y1 > X2,Y2 – vstup i výstup – rovinné pravoúhlé souřadnice – nelze uvažovat výšky – typy transformací: • shodnostní transformace • podobnostní transformace • afinní transformace – k rovinným transformacím je možné zařadit i interpolační metody Druhy transformací • U všech transformací je nejprve nutné vypočítat jejich parametry – konstanty v transformačních rovnicích, tzv. transformačních klíčích. • Parametry transformačních klíčů se počítají z dostatečného množství identických bodů, u nichž jsou známé souřadnice v obou systémech. • Minimální počet identických bodů a znalost jejich souřadnic jsou závislé na počtu proměnných v transformačních klíčích. • Např. pro tříprvkovou transformaci prostorových pravoúhlých souřadnic, kde jsou tři neznámé, je nutná znalost minimálně tří identických souřadnic. Teoreticky stačí jeden bod. • Ale je nutnost kontroly správnosti výpočtu transformačního klíče – používají se nadbytečné počty identických bodů. • Parametry transformačního klíče se vyrovnávají vhodnou metodou, nejčastěji metodou nejmenších čtverců. 19 PROSTOROVÉ TRANSFORMACE 20 4 Prostorové transformace: 21 X1,Y1 > φ1,λ1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > U2,V2 > X2,Y2 – vstupy a výstupy prostorových transformací: • rovinné pravoúhlé souřadnice • zeměpisné souřadnice • prostorové pravoúhlé souřadnice • možno uvažovat i výšky bodů – nadmořské nebo elipsoidické • ale lze uvažovat i polohu bodů pouze na povrchu referenčních těles – typy prostorových transformací: • tříprvková transformace • sedmiprvková transformace • Moloděnského transformace • zjednodušená Moloděnského transformace Prostorové transformace Prostorové transformace 22 Schéma transformačního postupu mezi zobrazeními: X1,Y1 > φ1,λ1 > (x1,y1,z1 > x2,y2,z2) > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > (x1,y1,z1 > x2,y2,z2) > U2,V2 > X2,Y2 1. výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných pravoúhlých v původním zobrazení a v původním ref. systému – viz rovnice jednotlivých zobrazení 3. výpočet zeměpisných souřadnic v novém ref. systému při použití vhodného typu prostorové transformace 4. výpočet rovinných pravoúhlých souřadnic ze zeměpisných v novém zobrazení a v novém ref. systému – viz rovnice jednotlivých zobrazení 2. výpočet prostorových pravoúhlých souřadnic v původním (x1,y1,z1) a novém (x2,y2,z2) ref. systému Nutný v některých případech (tříprvková nebo sedmiprvková transformace). Transformace mezi prostorovými a zeměpisnými souřadnicemi na elipsoidu Transformace zeměpisných souřadnic ,  a výšky Hel bodu P na souřadnice prostorové pravoúhlé x, y, z. ( ) ( ) ( )     sin1 sincos coscos 2 el el el HeNz HNy HNx +−= += += 23 X1,Y1 > φ1,λ1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > φ2,λ2 > X2,Y2 Transformace mezi prostorovými a zeměpisnými souřadnicemi na elipsoidu Transformace prostorových pravoúhlých souřadnic x, y, z bodu P na zeměpisné souřadnice a výšku Hel. 0 0 0 0 0 22 0 222 0 sincoscoscos sin1 1 1 0 N y N x H e a N eyx z arctg x y arctg el −=−= − =         −+ =       =     ( ) 11 22 1 2 1 11 22 sincoscoscos sin1 1 −− −− −− −=−= − =         +− + + = i i i i el i i elii elii i N y N x H e a N HeN HN yx z arctg i    Další iterace: 24 X1,Y1 > φ1,λ1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > φ2,λ2 > X2,Y2 • Počítá se v iteracích. • Výpočet se ukončí, pokud je rozdíl mezi předcházející a počítanou hodnotou menší než požadovaná přesnost výpočtu. Transformace mezi prostorovými a zeměpisnými souřadnicemi na kouli Transformace zeměpisných souřadnic U, V a výšky H bodu P na souřadnice prostorové pravoúhlé x, y, z. Transformace prostorových pravoúhlých souřadnic x, y, z bodu P na zeměpisné souřadnice U, V a výšky H. ( ) ( ) ( ) UHRz VUHRy VUHRx sin sincos coscos += += += Ryx U R U z H yx z arctgU x y arctgV −+=−=         + =       = 22 22 cos 1 sin 25 X1,Y1 > U1,V1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > U2,V2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > U2,V2 > X2,Y2 • Jako výška se uvažuje pouze Mean Sea Level. • Zpravidla používáno pro práce s nižšími požadavky na přesnost). Transformace mezi prostorovými souřadnicemi • Střed elipsoidu 1 musím přesunout do středu elipsoidu 2, pootočit, aby souhlasily osy a zmenšit či zvětšit elipsoid. • V ArcGIS existuje nástroj Geographic Coordinate System Transformation. Pod tlačítkem Transformation... Schéma transformačního postupu mezi zobrazeními: 1. … 2. výpočet prostorových pravoúhlých souřadnic v původním (x1,y1,z1) a novém (x2,y2,z2) ref. systému Nutný v některých případech (tříprvková nebo sedmiprvková transformace). 3. … 4. … X1,Y1 > φ1,λ1 > (x1,y1,z1 > x2,y2,z2) > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > (x1,y1,z1 > x2,y2,z2) > U2,V2 > X2,Y2 Tříprvková prostorová transformace Rozdíl mezi původním a novým referenčním systémem prostorových pravoúhlých souřadnic je pouze v lineárním posunu počátků obou systémů o hodnoty dx, dy a dz.           +           =           z y x dz dy dx z y x n n n 0 Yn Xn ZnZ X Y dz dx dy Nový souøadnicový systém Pùvodní souøadnicový systém 0n 27 • Tři neznámé – potřebujeme minimálně tři identické souřadnice v obou systémech. X1,Y1 > φ1,λ1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > U2,V2 > X2,Y2 Tříprvková prostorová transformace • Posun středů z původního do nového – translace. • V ArcGIS se tomu říká Geocentric Translation. • Hodnoty souřadnic a lineárních posunů – v metrech. 28 Sedmiprvková prostorová transformace Sedmiprvková prostorová transformace (někdy nazývaná i jako prostorová podobnostní transformace):                     − − −           +           =           z y x rr rr rr m m m dz dy dx z y x xy xz yz n n n . 1 1 1 . 00 00 00 ry rx rz Pùvodní souøadnicový systém Z X Y dz dx dy Nový souøadnicový systém Yn Xn Zn 0 0n 29 • Sedm neznámých – potřebujeme minimálně sedm identických souřadnic v obou systémech. X1,Y1 > φ1,λ1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > x1,y1,z1 > x2,y2,z2 > U2,V2 > X2,Y2 - lineární posun dx, dy, dz - tři rotace kolem původních os rx, ry, rz - změna měřítka – měřítkovým faktorem m Sedmiprvková prostorová transformace • hodnoty souřadnic a lineárních posunů – v metrech • hodnoty rotací ve vteřinách • měřítkový faktor bývá v řádech 10-6 až 10-5 nebo v jednotkách ppm (parts per milion) 30 • Posun středu jednoho systému do druhého, matice rotací a změna měřítka. • V ArcGIS se tomu říká Position Vector nebo Coordinate Frame. Pozor na kladná a záporná znaménka u směrů rotací! Viz učebnice na str. 158. Např. Moloděnského transformace Přímá transformace zem. souřadnic bez převodu přes prost. prav. souřadnice. 31 X1,Y1 > φ1,λ1 > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > U2,V2 > X2,Y2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f e fa aedzdydxh HNdydx HM f a b N b a M a e e dzdydx el el  − − + −−++= ++−= +                     ++  − ++−− =          2 2/122 2/122 2/122 2 sin sin1 1 sin1sinsincoscoscos cos/cossin / cossin sin1 cossin cossinsincossin Nutná znalost parametrů původního elipsoidu: – velikost poloos a, b – lineární posuny dx, dy a dz – rozdíly parametrů použitých elipsoidů (původního a nového): • velké poloosy Δa • zploštění Δf Moloděnského transformace 32 • V ArcGIS je to pod názvem Molodenskij. • Musíme stanovit změnu parametrů obou elipsoidů. Zjednodušená Moloděnského transformace Použití pro méně přesné práce, například pro navigační účely. ( )  ( ) ( ) aaffadzdydxh Ndydx Maffadzdydx −++++= +−= +++−−=    2 sinsinsincoscoscos cos/cossin /cossin2cossinsincossin 33 X1,Y1 > φ1,λ1 > φ2,λ2 > X2,Y2 X1,Y1 > U1,V1 > U2,V2 > X2,Y2 Zjednodušená Moloděnského transformace 34 • V ArcGIS je to pod názvem Abridged Molodenskij. ROVINNÉ TRANSFORMACE 35 5 Rovinné transformace • Vstup i výstup – rovinné pravoúhlé souřadnice. • Nelze uvažovat výšky. • Umožňují přímo transformovat rovinné pravoúhlé souřadnice z jednoho zobrazení do druhého. • Např. když potřebuji umístit do souřadnic starou mapu a nevíme, jaké jsou geodetické základy. • Nelze zohlednit všechny typy zkreslení – vhodné spíše pro menší území. X1,Y1 > X2,Y2 • typy transformací: • shodnostní transformace • podobnostní transformace • afinní transformace • interpolační metody – někdy se zařazují k rovinným transformacím Shodnostní transformace • Výchozí souřadnicová soustava (0, X, Y) se transformuje do nové soustavy (0n, Xn, Yn).             − +      =      y x dy dx y x n n . cossin sincos   Xn Yn X Y 0n 0 dx dy x y xn yn  '   P • V soustavě rovnic jsou tři neznámé parametry: • lineární posuny dx a dy • rotace ε 37 • Nemění se měřítko. Zachovává tvar i rozměr. • Nelze tedy započítat ani případnou srážku papíru. • Pro výpočet neznámých parametrů je nutná znalost tří společných veličin: • např. souřadnice jednoho identického bodu v obou soustavách a jednu společnou souřadnici nebo hodnotu směrníku rotace ε • nebo dva identické body – tedy čtyři souřadnice Podobnostní transformace • Nazývá se též lineární konformní transformace.             −       +      =      y x m m dy dx y x n n . cossin sincos . 0 0   • K výpočtu parametrů podobnostní transformace je nutná znalost nejméně čtyř společných veličin. • Je tedy je třeba mít minimálně dva identické body se známými souřadnicemi v obou systémech. 38 • Rovnice shodnostní transformace se změnou měřítka pomocí měřítkového faktoru m. • Konformní = nemění úhly. Změna měřítka je stejná ve všech směrech. Zachovává tvar. Afinní transformace • Používá se, když se mění úhly. Měřítko se mění odlišně v obou osách. Transformace tedy není konformní.                 =      1 . y x fed cba y x n n • Koeficienty a, b, c, d, e, f se vypočítají ze souřadnic identických bodů. Je nutná znalost šesti společných hodnot. • Minimálně tři identické body se známými souřadnicemi v obou systémech. 39 • Zachovává vzájemnou rovnoběžnost. 40 Interpolační metody • Na základě hodnot v identických bodech se interpolují body mezi nimi. Xn1 Xn2 Xn3 Xn6 Xn5 Xn4 Xn8 Xn7 Xn9 P dx2 dx3 dx6 dx5 dxP dx2-5 dx3-6 • Transformované území se rozdělí do pravidelné sítě s konstantním přírůstkem buď v zeměpisných nebo v rovinných pravoúhlých souřadnicích. • V uzlových bodech sítě se vypočítají některou z předchozích metod (zpravidla některou z prostorových transformací) diference mezi oběma systémy. 41 Interpolační metody • Z diferencí v uzlových bodech se pomocí bilineární interpolace vypočítají příslušné diference pro požadovaný bod. • Pro výpočet osmi neznámých v této transformaci je nutná znalost souřadnic v obou systémech nejméně u čtyř identických bodů.       +      =      dy dx y x y x n n                   =      nn n n yx y x bbbb aaaa dy dx 1 . 11011000 11011000 • V ArcGIS jsou interpolační metody např. pod názvem Grid-based methods.