Matematická kartografie
1. Pojem zkreslení
2. Délkové zkreslení
3. Úhlové zkreslení
4. Plošné zkreslení
5. Zákony zkreslení při použití polárních souřadnic
6. Vizualizace zkreslení
2
POJEM ZKRESLENÍ
Pojem zkreslení
Terminologický slovník zeměměřictví a katastru nemovitostí: Kartografické zkreslení:
• odchylka úhlů, délek a ploch na mapě od skutečnosti na zemském povrchu, způsobená jejich zobrazením na referenční ploše
4
Pojem zkreslení
• rovinný obraz referenční plochy je vždy zkreslen
• obecně jsou deformovány jak vzájemné polohy bodů, tak tvary (křivosti) čar
• zkreslení (distortion) roste se zvětšujícím se rozsahem zobrazovaného území, pokud je zobrazováno do roviny jako celek
• některé charakteristiky zkreslení jsou společné pro celou skupinu zobrazení
• při odvozování jednotlivých zobrazení se uvažují požadavky na průběh zkreslení rovinného obrazu
• základní odvození vždy pro pólovou polohu z referenčního elipsoidu
• případ při použití koule se odvodí následně
• v případě jiné než pólové polohy se dosazují kartografické souřadnice
5
DÉLKOVÉ ZKRESLENÍ
Délkové zkreslení
• základní posuzované zkreslení - z něj se odvozují ostatní
• délkové zkreslení souvisí s měřítkem zobrazeného území na mapě
• Co je měřítko mapy?
Poměr délky na mapě a ve skutečnosti.
• je uváděno jako konstantní pro celou mapu
• jedná se však pouze o hlavní měřítko, které je vztaženo k určité poloze nebo k určitým směrům
Přesněji (Terminologický slovník):
• poměr zmenšení nezkreslené délky v mapě k odpovídající délce ve skutečnosti;
• označuje se výrazem 1 : M, kde M je měřítkové číslo.
Délkové zkreslení
Délkové zkreslení
• skutečné měřítko v určitém místě závisí na délkovém zkreslení m
• hodnota m se většinou blíží k 1
• m > 1 - zobrazení prodlužuje délky
• m < 1 - zobrazení zkracuje délky
„Ekvidistantní zobrazení nezkresluje délky." Souhlas? Každé zobrazení zkresluje aspoň nějaké délky.
Délkové zkreslení je poměr nekonečně malé délky v obraze a originále.
Proto se při odvození používá element mezi „diferenciálně blízkými body P a Q".
9
délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše
zeměpisný (geodetický) azimut elementu je A (na ploše) nebo A' (v rovině)
p | NcoscpdA,
sin( 90° - A) =
cos(90°-A) =
Md<p ds
N cos (pdX ds
,     cos A , dep =-ds
M
ji sin A j dÁ =-ds
Ncosp
ds2 = M2d(p2 + N2 cos2 cpdX
poledník: A = 0° nebo 180° —P rovnoběžka: A = 90° nebo 270° ds
dS2 = dx + dy
m =
dS_
ds
ds=
Mdcp
N cos <pd'A
10
Délkové zkreslení
dS2 = dx + dy2 x = f(cp,A)
y = f((p,A)
dx ,    dx ,„  ,    ay ,    dy ,„ totální diferenciály z obecných
<ix = —+ — dA dy = —dcp + — dA
dep       dA dep dA
zobrazovacích rovnic
dS2 =
(dx)	z	M		f dep2 + V
{d<pj	+			
		[dep]		
dxdx ôyôy
dcpdA dcpdA
IdcpdA +
J
(dx\2 ídy^2
\dAj
+
\dAj
dA2
součty kvadrátů a součinů parciálních derivací = Gaussovy symboly
n dxdx dydy F =-+
dcpdA dcpdA
dS2 = Edcp2 + IFdepdA + GdA2
dosazení do původního vzorce:
dS
m = — ds2 = M 2dep2 + N2 cos2 cpdA2
ds
2 Edcp + IFdcpdA + GdA tri —-
M2dep2 +N2 cos2 cpdA2
11
Délkové zkreslení
m =
Edcp2 + IFdcpdPi + GdPi
M2dcp2 + N2 cos2 (pdX2 dosadíme
vztahy z obrázku   a    goniometrické funkce
Mdcp
sin( 90° - A) =
cos(90° -A) = o E
ds
N cos cpdÁ ds
2 sin A cos A = sin 2A cos2 A + sin2 A = 1
m
M
cos2 Ah--—-sin 2Ah--n ^ n—sin2 A
MN cos q>
N2 cos2 q>
poledník: A = 0° nebo 180°
4Ě
mp =
M
ds - Mdcp
m2 = ml cos2 A +
rovnoběžka: A = 90° nebo 270°
4g
m.. =
F
N cos cp
sin 2A + m:sin A
dsr = N cos cpdA
MNcoscj)
12
Délkové zkreslení je tedy závislé na poloze bodu (<p,A) a azimutu A (směru).
Délkové zkreslení na referenční k
pozmění se Gaussovy symboly:
dLBV dlBV
G=
ydVj
+
OJ
V
dV)
zkreslení v polednících: m _4Ě
R
zkreslení v rovnoběžkách: iq
"l=RcoiJ
zkreslení v obecném azimutu:
ni = ní co š A+ w,    . j&xxQA+ní úúA p /rcosL/
Extrémní délkové zkreslei
Hledání extrému funkce: derivace funkce a položení rovno 0.
F
dm     _   dm       2^ • *
-= 2m— = -mn 2 sin An cos An H--
dA dA       p        a       a MNcQS(p
2 cos 2 A„ + m,, 2 sin A„ cos A= 0
r)A 2F funkce tg je dvojznačná - vztah platí pro 2 azimuty:
Ab = 90° - Aa
Extrémní délková zkreslení ma a mb ve dvou vzájemně kolmých směrech - hlavní paprsky zkreslení:
m. =     cos A. +
F
MN cos <p
ry ry
sin 2A„ + mr sin Afl
2 2 2 4,
ra/? = m/? cos Afc +
MNcoscp
sin 2Ar + mr sin Ab
pnp.
m,2 = m] sin2 Afl + —-sin 2Afl + m] cos2 Afl
M7V cos <p
14
77
Extrémní délkové zkreslei
Hlavní paprsky zkreslení = směry extrémů, zůstávají na sebe ve všech zobrazeních kolmé i po zobrazení do roviny.
kružnice o poloměru ds
da=dszo$i
elipsa zkreslení = Tissotova indikatrix poloosy a = ma ds, b = rrib ds
dS —nydd +n%dB
Další vzorec pro výpočet délkového zkreslení
M = A-Aa
OOO 00
m =ma cos ju + mh sin ju
„mí" - směrník uvažovaný od hlavního paprsku zkreslení
15
Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli
Extrémní délková zkreslení řá£4 = (n?-t^^coíJ
ve dvou vzájemně kolmých
směrech:
ni -nícož4/ +      JTsíri24 +mrsiif 4,
ni -ni siif 4; + řv - * rSÍri24 +w£ co ž 4,
16
3
ÚHLOVÉ ZKRESLENÍ
17
Úhlové zkreslení
Úhlové zkreslení Ato = rozdíl velikosti úhlu v rovině (na zobrazovací ploše) a velikosti odpovídajícího úhlu na referenční ploše.
AúJ = CD* — CO   zkreslení úhlu
Q2
Q'2
Aco = (A'2-A\)-(A2-Al) = (A'2-A2)-(A\-Ai) = AA2 - Mj
AA = A'—A   zkreslení azimutu
rovinný obraz zeměpisného poledníku 2 a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A' a směrník je a'
A = \m°-{ďp-ď)
tgA = -tg(ďp-ď)
tgď-tgď
p
í + tgcr ptgcr
y Pro určení azimutu je tedy nutné stanovit tangenty směrníků. 18
Úhlové zkreslení
X	\	
		
	\ ! <^	Q'
		
		
	\ a p-a,	1 lo'p
,   , dy
dx
dy j dy ,0 dx , 7,
-č/#H--úf/L
5/L
dy cos A,    Oy  sinA   ,     dy , T ,   dy ,, . „
—--^H—^--ŕfo   -^Arcos#?cosA + —Msin A
dep  M        dA N cos cp    _ dep d A
dx cos A , & sinA , dx A T dx . _ . . --as H---—cos c/? cos A H--M sin A
dep  M        dA N cos d#? d A
Dosadí se Gaussovy koeficienty:
E =
Kdcpj
+
idy}2
dy
dx dy dx dy dep dA   dA dep
dep
rdx^
Kdepj
+
Kdepj
M dx dx    dy dy
cos ep cot gA +--+--
dep dA   dep dA
N
n    dxdx dydy F =-+
dcpdA dcpdA dx dy    dx dy
H =
dep dA   dA dep
tgA'=
H
E—cos  cot gA + F N
známe A, vypočítáme A, vypočítáme úhlové zkreslení dľ
Úhlové zkreslení
Zkreslení azimutu je možné vypočítat i z extrémních hodnot délkového zkreslení. Konformní zobrazení - kružnice zůstane kružnicí.
*gM =
da
m
b
tgjU = —tgjU
m
a
tgM'=
mbdb
mada
zjistíme zkreslení směrníku: A/u
z výpočtu délkového zkreslení:   ju = A — Aa
zkreslení azimutu: AA = A-A = A// + A\-Aa
známe A, vypočítáme A', vypočítáme úhlové zkreslení oo
20
Uhlové zkreslení na koul
Tvar Gaussova symbolu
H=
dc dý  čk dý
dUdV dVdU
Výpočet azimutu ve zobrazovací rovině:
ô EcoUCQ^ArF
21
Extrémní úhlové zkreslení
• v elipse zkreslení existují symetrické směry, ve kterých úhlové zkreslení dosahuje extrému
• označují se symbolem s
• jejich směrníky v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení budou |lls a |u's a jim odpovídající azimuty As a A'e
velikost extrémního zkreslení azimutu -AA = A'e - As
B 2
velikost extrémního zkreslení směrníku -
sin AjUg =
sin
mb+ma
mb +ma
Extrémní úhlové zkreslení na kouli?
Vzorec se nemění, mění se jen dosazená extrémní délková zkreslení.
22
4
PLOŠNÉ ZKRESLENÍ
23
základní vztah:
dP - odpovídající diferenciální dP plocha v zobrazovací rovině mpi =
dp - diferenciální (= nekonečně malá) plocha na referenční ploše
vzorec plochy kosodélníku:
dp = MNcoscpdcpdÁ dP = m^MNcos cpdcpdÁsm Ár r
mpl =mpmr sin A/
24
dp - 7ľds2 dP - 7onadsmhds
mpl = mamb
ZÁKONY ZKRESLENÍ PŘI POUŽITÍ POLÁRNÍCH SOUŘADNIC
26
Zákony zkreslení souřadnic
Doposud vše na základě rovnic:
rních
x = f(<p,Á) y = f(cp,X)
V případě zobrazení kuželového nebo azimutálního:
P =
8 =
x   —> xv  —> cp
-> p -> (p
-> X —> s   —> (p -> X
-> x
—» s —> cp -> X
f {cp A) f {cp A)
x = xv - p cos s y = p sin s
Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné.
(
E =
V
v
d(p
í
+
J
ds
p sin s--cos s
V
d(p
dp d(p
J
dx.
+
dep   {dep J
dp
Kdcpj
F =
í
ds
psin s--cos£
H =
f
dx
dp
~ďx
j
dxv dp dp 2 ds ds —- + — — + p--
dep   dep dX       dep dX
dp ds sin s--h pcoss—
dX dX
dx,.
J
'd p d s d p d s dep   \dX dep   dep dXy
G =
+
P
27
Zákony zkreslení př souřadnic na kou
Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné.
(Phr V
A
[ÔUJ   r—dU      cUfclJ \dU)   ŕ \cU)
í5 \ í\    í5 í5
F=\ psine^-cosř^
ôVjdU oilôV ŕ WW
g4&
\dV)
do?   J Sev
3 \
3*;, Yôpds_ôpôs
Xn^cV+^°^cV)cU\cVcU dUÔV
28
6
VIZUALIZACE ZKRESLENÍ
29
• charakter průběhu zkreslení je možné vizualizovat pomocí čar stejných hodnot zkreslení, tzv. ekvideformát
• ekvideformáty mohou být konstruovány pro průběh všech druhů zkreslení
• vzhledem ke skutečnosti, že plošné a úhlové zkreslení je možné vyjádřit i pomocí délkového zkreslení m, jsou nejčastěji zobrazovány ekvideformáty délkových zkreslení (izometrické čáry)
30
Vizualizace zkreslení
• Zkreslení se nejvíce mění v kolmém směru na směr ekvideformát.
• U jednoduchých zobrazení jsou ekvideformáty totožné s obrazem rovnoběžek - zeměpisných nebo kartografických.
• U nepravých a obecných zobrazení je tvar ekvideformát složitější.
vyjádření zkreslení číslem - poměrovou formou
poměrová forma délkového zkreslení:
v = m -1
m
poměrová forma plošného zkreslení:
Při m = 1 by tedy bylo vm = 0. Zkreslení není.
Při mp| = 1 není zkreslení. v = 0%
32
Vizualizace zkreslení
elipsy zkreslení (Tissotovy indikatrix)
- zobrazené v uzlových bodech zeměpisné sítě:
Lze zjistit:
• délkové zkreslení,
• orientace hlavních paprsků zkreslení vůči obrazu poledníků a rovnoběžek,
• plošné zkreslení.
33