Teorie zobrazení Matematická kartografie Osnova 1. Východiska 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 2 VÝCHODISKA 3 1 Východiska • minule – zákony zkreslení • možnost matematicky definovat zobrazení – stanovení počátečních podmínek • odvození jednotlivých typů zobrazení: • ekvidistantní • ekvivalentní • konformní • základní odvození vždy pro pólovou polohu z referenčního elipsoidu • případ při použití koule se odvodí následně • v případě jiné než pólové polohy se dosazují kartografické souřadnice 4 EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ 5 2 Ekvidistantní zobrazení • požadavek nezkreslení délek nějaké soustavy čar • matematicky vyjádřeno pomocí: • základních vzorců pro délkové zkreslení • Gaussových symbolů ds dS m = 1=pm 1= Md dSp 1= RdU dS p 2 1 ME M E == 2 1 RE R E == M E mp = Mddsp = 6 • základ – délkové zkreslení • ekvidistantní zobrazení v polednících Ekvidistantní zobrazení 1=rm 1 cos = dN dSr 1 cos = UdVR dSr   22 cos1 cos NG N G == URG UR G 22 cos1 cos == cosN G mr = dNdsr cos= 7 • ekvidistantnost v jiných soustavách čar • šikmá poloha • kartografické souřadnice Š a D • ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ 8 3 Ekvivalentní zobrazení • nezkreslené nebo konstantně zkreslené plochy 1=plm 1´sin =rrp Amm 1=rpmm   cos1 cos MNH MN H == URH UR H cos1 cos 2 2 == 9 • jednoduchá zobrazení • obecný vzorec je zjednodušený pro A’r = 90° • nepravá a obecná zobrazení • zpravidla Gaussovy symboly KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ 10 4 Konformní zobrazení • Nezkreslují se úhly – přesněji v diferenciálním okolí. 0= ab ab mm mm + − =  2 sin  ba mm =z toho plyne: ba mm =z toho také plyne: 11 • Kružnice zůstane kružnicí – nezkreslí se na elipsu. Konformní zobrazení AmA MN F Amm rp 22222 sin2sin cos cos ++=  rp mm = 12 • Platí tedy: • mp = mr • F = 0 • Extrémní hodnoty délkového zkreslení jsou tedy stejné. • To je možné, když délkové zkreslení je: • konstantní • nezávislé na směru azimutu délkového elementu Konformní zobrazení • podmínku lze vyjádřit i pomocí Gaussových koeficientů  22 2 coscos N M G E N G M E == UG E UR G R E 2 cos 1 cos == 13 rp mm = • definice zobrazení pomocí Gaussových koeficientů a zeměpisných souřadnic • na elipsoidu • na kouli Konformní zobrazení • Obecné zobrazovací rovnice konformního zobrazení lze vyjádřit i pomocí izometrických souřadnic: ( )iqfiyx +=+ ( )iqfiyx −=− • Konformní zobrazení je definováno pomocí izometrických souřadnic. • q = izometrická šířka na elipsoidu • Q = izometrická šířka na kouli 14 15 Konformní zobrazení geodetické čáry • Geodézie – měření pomocí trigonometrických sítí. • Strany trojúhelníků trigonometrických sítí (a taky rovnoběžky a poledníky) jsou geodetickými čarami: • Koule – části hlavních kružnic • Referenční elipsoid – části geodetických čar • Geodetická čára = nejkratší spojnice dvou bodů na referenční ploše. Její geodetická křivost je v každém jejím bodě rovna 0. • Většina úloh praktické geodézie je řešena v rovině konformního zobrazení. • Úhly se měří nejpřesněji. 16 Konformní zobrazení geodetické čáry • Na referenčním elipsoidu: diferenciální pravoúhlý čtyřúhelník. • Po zobrazení do roviny konformního zobrazení se zachovají pravé úhly. • Avšak každá strana bude jinak zakřivena a bude délkově zkreslena. • Zobrazení geodetické čáry do roviny konformního zobrazení způsobí změnu průběhu geodetické čáry. Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení • Pro výpočty v geodetické praxi je nutné znát: • tvar geodetické čáry – především na jejím počátečním a koncovém bodě • délku jejího obrazu. • Tyto vlastnosti lze určit pomocí výpočtů korekce ze zobrazení tzv. směrové a délkové korekce geodetické čáry. • Viz skripta. 17 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení dT dm m 1 = • m - délkové zkreslení • dm/dT - změna zkreslení ve směru kolmém ke geodetické čáře křivost 18 • geodetická čára vedena kolmo k ekvideformátám: • směr kolmý na geod. čáru je rovnoběžný s ekvideformátami • dm/dT = 0 • obraz bude přímka • geodetická čára ve směru ekvideformát • směr kolmý na geod. čáru je kolmý na ekvideformáty • dm/dT = max • křivost čáry bude maximální jednoduchá zobrazení – ekvideformáty totožné s rovnoběžkami geodetické čáry na Google Maps 19 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení