Jednoduchá azimutální zobrazení, azimutální projekce Matematická kartografie Osnova 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Azimutální projekce 2 základni vztahy a vzorce 3 Základní vztahy a vzo kuželová zobrazení: s = nV azimutální zobrazení jsou mezní případ kuželových zobrazení, kdy konstanta n = 1 počátek polární soustavy - vrchol kužele - splyne s pólem (zeměpisným nebo kartografickým) počátek rovinné pravoúhlé sítě -ztotožnění s obrazem pólu (středem zobrazení) osa x (svislá) se vloží do základního poledníku 4 Základní vztahy a vzo obrazem pólu je bod obrazem sítě poledníků jsou polopřímky z pólu obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v pólu je to jednoduché zobrazení, poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé ekvideformáty mají tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení 5 Základní vztahy a vzo Odvozeno pro kouli, ale lze i pro elipsoid. Odvozeno pro pólovou polohu, ale používá se i šikmá nebo rovníková: • Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složitými křivkami. • Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem (a tedy i s osou X), je zobrazen jako přímka. 40WN 30"0'0"N O'O'O'N 10"0'0"& 30 WW 60"0'0"N 100WW 180WE 60*0'0"N 40WN -10WS 10-0'0"W 0"0'0"E 1CWE 30WE 50"0'0"E BO'OITE 70WE 6 Základní vztahy a vzo zobrazovací rovnice v polárních souřadnicích použití zenitové vzdálenosti Z místo U p = f(Z) Z = 90°-U s = V A X pj přepočet do pravoúhlých souřadnic: x = pcoss y = psin^ Podobné jako u kuželového zobrazení, ale: • bez konstanty n, • se Z místo U, • bez záporného znaménka - Z a p mají stejný směr. rovnice zkreslení: dp p . Aco mr-mp sm RdZ R srn Z mPi =mrMp 2 mr+mp 8 ekvidistantni zobrazeni 9 Ekvidistantní azimutální asi nejběžnější ekvidistantní azimutální zobrazení - Postelovo ekvidistantní v polednících m p = _dp_ = ^ podmínka RdZ $dp = R$dZ o o p = RZ -j zobrazovací rovnice s = V 2. zobrazovací rovnice mp=l mr = mpl = sin Z sin Aa> Z - sin Z 130°0'0"W 140-0'0"W 11 11 160-0'0"W 180°0'0"W 160"0'0"E 140=0'0"E 130"0'0"E II M 120'0'0'W 40'0'0"N' 100"0'0"W* 90"0'0"W 80"0'0"W 40°0'0"M 60"0'0"W ■120WE B-4u"u'u"rj •100WE •90°0'0"E :0"0'0"E MďWN 0'0"E II I II I I I I I II I II 5ďWW 40°0'0"W 20°0'0"W 0°0'0"E 20°0'0"E 40°0'0"E 50'0'0"E 2 Z + sin Z Kde se typicky používá? 10 Ekvidistantní azimutální Zachovává vzdálenosti od pólu k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru • vzdálenosti obrazů rovnoběžek jsou stejné • zkreslení v polednících není (mP=1) Vhodné pro rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa - např. displeje radiolokátorů. Jaké je zkreslení u pólu? A jaké na 60° rovnoběžce? 11 Ekvidistantní azimutální ekvideformáty 12 Ekvidistantní azimutální mm Tissotovy indikatrix 13 razení Ekvidistantní azimutální zo i Šikmá poloha zobrazení - obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složité křivky. 40"0'0"N 60"0'0"N 100"0'0"W 180°0'0"E 60'0'0"N 40°0'0"N 30°0'0"W 10°0'0"W 0"0'0"E 10°0'0"E 30°0'0"E 50°0'0"E 60"0'0"E 70°0'0"E Ukázka - kartografický pól v Brně (Uk = 49°12', Vk =16°36'). 14 Ekvidistantni azimutaln varianta zobrazení: -doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0 -doplní se parametr c (redukční konstanta) m. c = 1 dosazení Z o sin Z c = o sin Z( Z. /? = c/?Z 1. zobrazovací rovnice s = V 2. zobrazovací rovnice Z - sin Z Z + sin Z rovnice zkresleni: cZ c Z Aco m —c mr-- m, =- srn- sin Z sin Z 2 c je konstanta, zkreslení v polednících není nulové, ale konstantní 3 ekvivalentní zobrazení 16 Ekvivalentní azimutalni z Wmm, Ekvivalentní azimutální zobrazení - též Lambertovo. Lambert Azimuthal Equal Area (zkratka LAEA). Využíváno v rámci Evropského souřadnicové sítě Grid_ERTS_89-LAEA. Nezkresluje vzájemnou velikost kontinentů - používáno při zobrazování velkých územních celků na jedné mapě - napr. hemisféry. Kartografický pól může být umístěn kdekoliv - např. na rovníku. Zmenšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy. mpmr = 1 podmínka dp p RdZ RsmZ p z j*pdp - R2 Jsin ZdZ p = 2Rsm — 2 1. zobrazovací rovnice s = V 2. zobrazovací rovnice Ekvivalentní azimutalni z Wmm, rovnice zkreslení zobrazovací rovnice m, P <~ R srn Z Z p - 2R sin — 2 1 z 2R sin — 2 mp R sin Z 1 1 mp Z cos — 2z A 1 - cos Ekvivalentní azimutální zobrazení 1 9 1 ,^ -i H 1,1 " m 1 -n q -mp -mr u,y n r u,o n 7 u, / 0 20 30 40 50 60 70 80 Ekvivalentní azimutalni z Wmm, Zmenšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy. Neplatí tedy, že u jednoduchých ekvivalentních zobrazení se šířka poledníkového pásu zkracuje vždy směrem k pólům nebo vždy směrem od pólů! Vždy od středu mapy nebo od osové přímky. ekvideformáty Ekvivalentní azimutalni z mm konformní zobrazeni 21 tlmím Konformní azimutalni z mp =mr podmínka P dp RdZ RsmZ dp r dZ p J sin Z neurčitý integrál - protože Z a p může nabývat i hodnotu 0 ln/? = liug — + lnc závis|é na parametru c (integrační konstanta) - musíme ho určit Z P = ctg~ 1. zobrazovací rovnice s = V 2. zobrazovací rovnice rovnice zkreslení: c m = 2Z 2/?cos — 2 mpl=m Aa) = 0 22 tlmím Konformní azimutalni z Musíme zjistit parametr c. A) doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0 dosazení zobrazovací rovnice mr = 1 p 0 Rsm Z = 1 c = 27? cos 2 ^0 0 zobrazovací rovnice: p = 2R cos2 ^rg- ^ = V rovnice zkreslení: 23 tlmím Konformní azimutalni z Musíme zjistit parametr c. B) doplňkový požadavek na nezkreslený pól Zo=0° (střed mapy) Tzv. stereografická projekce - ukázka viz dále. m =1 r0 c = 2R zobrazovací rovnice: s = V p = 2Rtg^- rovnice zkreslení: 1 m = cos2 — 2 mpl = m A co = 0 Někdy se nastavuje hodnota délkového zkreslení na pólu (měřítkový faktor). Např. při definování zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic). 24 Konformní azimutalni zo Konformní azimutální zobrazení - šikmá poloha pól = U0=50°, V0=15° Co je nezkreslené? 25 Konformní azimutalni zo Zvětšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy. Tissotovy indikatrix 26 Konformní azimutalni zo mum Konformní azimutalni zo mmm Jak odlišit kuželové v pólové poloze a azimutální v obecné poloze? 70*_50' ' :un:i::"c;--.o" jy go° egj 70° eo°_701 40' 20" 50" Nápověda: Poledníky. 28 azimutalní projekce 29 Azimutální projekc Síl a* * projections" = kartografická zobrazení „Projekce" = odvoditelné geometrickou cestou Projekce - odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů. Projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu Existují i válcové a kuželové projekce. Ale používají se méně. Azimutální projekc podobné trojúhelníky: p _ C + R R sin Z C + R cos Z _ (C + 7?)7?sinZ ^ ~ ~~7* ň V~ 1 ■ zobrazovací rovnice C + 7? cos Z C - odlišuje různé verze projekcí s = V 2. zobrazovací rovnice Obecné zákony zkreslení jako u jiných azimutálních zobrazení. dp RdZ P R sin Z mPl = mrmP sin Aco mr-m in. + in tlmím Gnómonická projekc ■k Gnómonická (centrální) projekce vzniká při promítání ze středu koule. C = 0 lze zobrazit jen jednu polokouli nejde zobrazit rovník ortodromy se zobrazují jako přímky Thales z Milétu dosazení C do zobrazovací rovnice: P = RtgZ s = V dosazení p do rovnice zkreslení: 1 m = p 2 ry cos Z Aú) cosZ — 1 sin—- =--—- 2 cosZ + 1 sin r cos Z 1 pl ~ cos3 Z Aco 2 2Z Všimli jste si na vzorcích zkreslení něčeho? Není délkojevné, úhlojevné ani plochojevné. 32 Gnómonická projekce ^^^^^ • Ve skutečnosti jde zobrazit i rovník - při správně nastavené polokouli. • pólová poloha - rovnoběžky soustředné kružnice, poledníky polopřímky • rovníková poloha - poledníky jsou rovnoběžné úsečky, rovnoběžky jsou hyperboly se středem na rovníku. 3: Gnómonická projekc 1«te 1we 1jce 110'e 10o"e we »*s ioirw ww ecrw r Stereografická projekc mm- mfflffin Stereografická projekce vzniká při promítání z protějšího pólu koule. • C = R • projekce je konformním azimutálním zobrazením - viz dříve • vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od středu mapy • Hipparchos z Nikaie P' P Ps \ s pX / \ I \ 1 \ 1 \ \ R \ RcosZ \ 0 rovník ] [ \ ; i i \ \ \ \ \ \ c / \ \ i dosazení C do zobrazovací rovnice: 2R sin Z ^n Z P = —-~ = 2Rtg- 1 + cos Z 2 s = V dosazení p do rovnice zkreslení: 2 1 mp =mr = 1 + cos Z 2Z cos — 2 1 mPi = cos Aco = 0 36 Stereografická projekc mm x\ \ \ /-1 \ \^i'B/ \ \ \ \ ■ 1 / / X / / '/ \ / --\-- ------"\ ^^m/ //ít~ f / ir^á > ♦"•z / / / -,-_-í-, Odkud se promítalo? tlmím Ortografická projekc Ortografická projekce vzniká při promítání z nekonečna. • C = nekonečno • „pohled z vesmíru" • projekce je ekvidistantním zobrazením v rovnoběžkách odvodí se z obrázku (nekonečno do vzorce nedosadíme): p = RsinZ s = V dosazení p do rovnice zkreslení: • Rovníková poloha: rovnoběžky úsečky, poledníky elipsy. • Pólová poloha: rovnoběžky kružnice, poledníky polopřímky. • Obecná poloha: poledníky i rovnoběžky elipsy. 39 Ortografická projekc K/Mm* Tissotovy indikatrix Srovnání různých azimutá razeni 41 Ortografická projekce n Pozor! Ne všechny projekce jsou azimutální. Zobrazení Lambertovo válcové plochojevné. Viz válcová zobrazení. Ortografická válcová projekce. Střed promítání v nekonečnu. Ekvivalentní Nezkreslený rovník i i x = R sin u y — Rv 42