Matematická kartografie 1. Základní charakteristiky nepravých zobrazení 2. Nepravá válcová zobrazení 3. Nepravá kuželová zobrazení 4. Nepravá azimutální zobrazení 5. Polykónická zobrazení 6. Obecná zobrazení 2 1 ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY NEPRAVÝCH ZOBRAZENÍ 3 Základní charakteristiky nepravých zobrazení • Zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. • Tvary zeměpisných poledníků jsou však odlišné - složité křivky. • Jedna zobrazovací rovnice je funkcí obou souřadnic na referenční ploše. • Jejich zobrazovací rovnice nelze odvozovat jako u jednoduchých zobrazení. • Hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek. • Úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. • Tím pádem nemohou být tato zobrazení konformní. • Zobrazení však mohou být ekvidistantní a ekvivalentní zároveň. • U jednoduchých zobrazení platí: m / = m m • Kdyby mp a mpi byly rovny 1, pak by mr taky muselo být rovno 1, což nelze. • U nepravých zobrazení zmíněný vzorec neplatí, takže je možné, aby mpi i mp byly rovny 1. 4 Základní charakteristiky nepravých zobrazení • Zobrazení se odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebojsou definována konstrukčním návodem, nelze si je představit geometricky. • Často se využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listu - planisféry. • Většina zobrazení se proto používá v pólové poloze z referenční koule. 5 Základní charakteristiky nepravých zobrazení Jen výjimečně jsou používána v rovníkové nebo šikmé poloze nebo z elipsoidu. NEPRAVÁ VÁLCOVÁ ZOBRAZENÍ Nepravá válcová zobraz x = f (U) y = f (u, v) Z tvaru zobrazovacích rovnic je zřejmé, jaký tvar budou mít rovnoběžky. Jaký? Jako u jednoduchých válcových zobrazení. A to je jaký tvar? Soustava přímek rovnoběžných s obrazem rovníku. A proč? Která rovnice ovlivňuje tvar rovnoběžek? Rovnice pro x určuje na mapě vzdálenost od rovníku - tedy tvar rovnoběžky. Je stejná jako u jednoduchých zobrazení. Tedy i tvar rovnoběžky je stejný. 8 Nepravá válcová zobraz Tvar poledníků - rovnice pro y - kombinace obou souřadnic - složité křivky symetrické podle hlavního poledníku. Rozlišují se proto zobrazení: • sinusoidální, • eliptická, • kruhová, • přímková Póly jsou často úsečky, ale může to být i bod (u Mercator-Sansonova zobrazení). 9 Nepravá válcová zobrazení Odvození rovnice zkreslení - z obecných rovnic pro výpočet - viz skripta kap. 3.1. Rovnice zkreslení: m.. = 4g R cos U H /Tcosř/ Pozměněné Gaussovy koeficienty: E = F = G = dx ydUj dy dy Y f + dy_ KdUj dU dV H = KdVj dx dy dU dV Rovnice zkreslení s Gaussovými koeficienty platí obecně pro všechna zobrazení. Ale musí se vždy dosadit správný tvar Gaussova koeficientu. 10 Nepravé válcové sinusoidální zobrazení M e r cat o r-Sa n so n o vo (Flamsteedovo) Mercator-Sansonovo zobrazení: - poledníky se zobrazují jako části sinusoid: Sinusoidal projection - ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem - ekvivalentní m.. = 1. podmínka: R cos U m. ôy_ ÔV RcosU dy_ dV RcosU v jdy = RcosU $dV y = RVcosU 2. podmínka: mpl=1 mpl=r,2 H /r cost/ H = R2 cost/ dx dy _2 J R cos U dU dV dx ÔU = R = 1 m p mľ = 1 mpi =1 = Vl + sin2t/V: to— = — sin u4v 2 2 zobrazovací rovnice: x = RU y = RV cost/ íi Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) poledníky = části sinusoid pól = bod velké zkreslení ve vyšších zem. šířkách využito ve III. vojenském mapování délkové zkreslení v polednících Mercator-Sansonovo zobrazení 3,5 2,5 1,5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 U ■10° ■20° 30° 40° ■50° ■60° 70° ■80° 90° 100c 110c ■ 120c ■ 130c ■ 140c ■ 150c ■ 160c ■ 170c ■ 180c Znázornit se musí křivka pro více poledníků. Jakou zeměpisnou délku má nezkreslený poledník? 12 http://old.gis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni souborv/cechy.html Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) Nepravé válcové si Eckertovo < 1 / 5 2 £g-= — m +mr 2 2* p V tgs = — sin U' 2 -2 15 Eckert V Eckert VI Ve skriptech je popsáno zobrazení Eckert VI. 16 Nepravé válcové eliptické zobrazení Molweidovo • Pseudocylindrické ekvivalentní zobrazení s poledníky ve tvaru elips. • Celá Země je zobrazena do elipsy s poloosami v poměru a : b =1 : 2. • Poledníky V = ±90° se zobrazí jako kružnice o poloměru p = b = R^2 • Zobrazovací rovnice - z parametrických rovnic elipsy, jimiž jsou vyjádřeny poledníky. • Pól se zobrazí jako bod - velké zkreslení u krajních poledníků a u pólů. x = sin a 2Rv4l y = cos a 71 . , - (a'+ sin a-n sin U) Aa = —- y 1 +cos a' a = ď/2 71 TJ mn = —i=cosU sec a sec t P 2V2 2V t = —tga n mr =-sec U cos a 7T mPl =l ŕ 1 / 2 2 2 2 17 18 Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Molweidovo - Goodeho úprava V Pokus řešit poměrně velké zkreslení ve vyšších zem. šířkách u Molweidova zobrazení. Vyloučeny části povrchu Země s velkým zkreslením - využita plocha oceánů. Robinsonovo zobrazen Není konformní, ekvivalentní, ekvidistantní. Póly se zobrazují jako úsečky od délce 0,5322 rovníku, střední poledník má délku 0,5072 rovníku. Vytvořeno, aby vypadalo dobře. Teprve pak se odvodily matematické rovnice. 3 NEPRAVÁ KUŽELOVÁ ZOBRAZENÍ 21 Obraz rovnoběžek? Kružnice se společným středem P = /(£/) £ = f(U,V) Obraz poledníků? Složitější křivky symetrické podle hlavního poledníku. Obrazy pólů: body. Odvození rovnice zkreslení - z obecných rovnic pro výpočet zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic-viz skripta kap. 3.4. Pozměněné Gaussovy koeficienty: E = dp V J F = p G = p dU ds ds ds dU J dU dV V J H = -p dV dp ds dU dV 22 Rovnice zkreslení: • stejně jako u nepravých válcových • změní se jen Gaussovy koeficienty H mpl=—2 RzcosU tg Aco 1 2< m2p + m2 -2 m Pi E = F = p G = p dU 2 \UU J ds ds (ds\ V dU J dU dV íde^ v j H = -p dV dp ds dU dV mp = ( V dp dU 2 ( ds^ + P ) [duj p mr = tg pi Aco 1 R rds^ ydVj R cos U dp ds p—-- dU dV R2cos U 2Í m2p + m2 -2 m Pi 23 Nepravá kuželová Převod mezi polárními a pravoúhlými rovinnými souřadnicemi je stejný jako u jednoduchých kuželových zobrazení: x = xv - p cos s y - p sin s V xv= P0= RcotgU0 / y p°\r rovník p poloměr základní rovnoběžky Y\V X ' V • VE \\ U \ / u0 / 0 y xv vzdálenost počátku souřadnic polárních (vrcholu V) a počátku souřadnic pravoúhlých 24 Nepravé kuželové zobr mwfá VO x\y Ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem V0. P = /(£/) Souřadnice p je funkcí souřadnice U. Jako u jednoduchých kuželových zobrazení. Obrazy rovnoběžek jsou stejné jako u jednoduchého kuželového zobrazení. Jednoduché kuželové ekvidistantní jsme už odvozovali. 1. zobrazovací rovnice je stejná: p = Po-R(U-U0) P0 = R cot gU 0 Rovnoběžky jsou nezkreslené p ds mr = = 1 R cos U dV RcosU RcosU 1Tr ds =-d V P jde o RcosU P v jdV O s = V 2. zobrazovací rovnice P 25 Nepravé kuželové zobr • Rovnice zkreslení vznikají odvozením ze zobrazovacích rovnic. ( mp = Ji + y sin U - R cos U P J ™pi = 1 Zobrazení je zároveň ekvivalentní! Nepravé kuželové zobr mwfá VO x\y ekvidistantní v rovnoběžkách ekvivalentní Přesto se zdá použitelné jen pro umělecký efekt - „milujeme naši planetu". Ve větším měřítku je však využitené i pro běžné topografické mapy - např. dříve Francie. Uo = 60°, Vo=0° 27 Nepravé kuželové zobr onneovo Nepravé kuželové zobr onneovo INTERNATIONAL MAP YEAR 2015-2016 29 NEPRAVÁ AZIMUTÁLNÍ ZOBRAZENÍ Nepravá azimutální zobraz P = f(U) £ = f(U,V) x = pcoss y = /9sin£ • obrazy rovnoběžek: soustředné kružnice se společným středem • obrazy poledníků: různé křivky • obrazy pólů: body Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení. p m. = ydVj RcosU P mPi = dp ds dU dV f8 Aco 1 R2cos U 2Í m2 + m2r -2 m Pi zobrazení odvozená matematickou cestou zobrazení vzniklá afinním promítáním jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními 31 Nepravé azimutální zobrazení Werner-Staabovo • mezní případ Bonneova kuželového zobrazení (U0 = 90°) • obraz zemského pólu se ztotožňuje se středem rovnoběžkových kružnic • tedy pro U0 = 90° bude p0 = 0 (vzdálenost mezi počátkem polárních souřadnic a zobrazovací rovnoběžkou) dosazení do zobrazovacích rovnic Bonneova zobrazení: 32 Nepravé azimutální zobrazení Werner-Staabovo • Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazení: • ekvidistantní v rovnoběžkách • ekvivalentní 33 Nepravé azimutální zobrazení Werner-Staabovo Nepravé azimutální zobrazen Ginzburgovo ^^^^^^ • Zobrazení s oválnými ekvideformátami. • Zobrazení v obecné poloze - při odvození se využívají i kartografické souřadnice. 35 Modifikovaná azimutální • Vznikají úpravou jednoduchých azimutálních zobrazení v příčné poloze, nejčastěji jejich afinním promítnutím na šikmou rovinu. • Nemohou být konformní, ale jsou většinou ekvivalentní. • Póly se zobrazují jako křivky či body. • Obrazem základního poledníku a rovníku jsou úsečky, vše ostatní křivky. • Používají se pro mapy celého světa. vznik: • Kombinace jednoduchých a nepravých zobrazení. • Afinním promítnutím jednoduchých azimutálních zobrazení zástupci: • Aitovovo zobrazení • Hammerovo zobrazení • Wagnerovo zobrazení 36 Nepravé azimutální zobrazení Aitovovo (též Aitoff) ^^^^^^^^^^ • Zobrazení vniklo geometrickou cestou. • Afinní průmět ekvidistantního azimutálního zobrazení (Postelovo zobrazení, ale v rovníkové poloze) na rovinu odkloněnou o 150° od roviny rovníku (o 60°od průmětny). • Obrazem Země je elipsa. • Nezkreslený rovník, základní poledník zkrácen na polovinu. • Zobrazení není ekvidistantní. • Obrazy poledníků i rovnoběžek jsou obecné křivky. 90° Nepravé azimutální zobrazei ní Aitovovo (též Aitoff) "^^^^ lll§ Nepravé azimutální zobrazení Hammer Aitoff m Tak jako Aitov zobrazil Postelovo zobrazení v rovníkové poloze; Hammer stejně zobrazil Lambertovo jednoduché ekvivalentní azimutální zobrazení v rovníkové poloze. Obrysová kružnice Lambertova zobrazení se transformuje do obrysové elipsy s poloosami: a = 2R^2 b = R4l IRúnU x = + COSÍ/ cos AV IR^hcosU sin y l + cosí/ cos AV • h=a/b - poměr poloos elipsy • změna h umožňuje redukovat plošné zkreslení • při h=2 je zobrazení ekvivalentní 39 7S0SQS66C-- Nepravé azimutální zobrazeni Hammer-Aitoff ^^^^^^^ Aitovovo a Mollweidov • nepravé válcové x nepravé azimutální Jak poznat, které je které? • Rovnoběžky jsou rovné - nepravé válcové - Mollweidovo. • Rovnoběžky jsou elipsy - nepravé azimutální - Aitovovo. Nepravé azimutální zobrazení Wagnerovo • Zobrazení vzniklo geometrickou cestou a to transformací jednoduchého azimutálního ekvivalentního zobrazení v příčné (=rovníkové) poloze s přečíslováním poledníků a rovnoběžek. • Zobrazení je jako celek ekvivalentní. Nepravé azimutální zobrazení Wagnerovo 1) vyjmout část původního zobrazení 2) přečíslovat vyňatou část, aby vyjadřovala povrch celé Země • rovník zůstane rovníkem, základní poledník základním poledníkem • okrajové rovnoběžky budou obrazem zeměpisných pólů • okrajové poledníky budou obrazy poledníků V = ± 180°. 3) přečíslovat poledníky a rovnoběžky v' = n-v $muf = msmu m, n podle okrajových poledníků a rovnoběžek: m = smuk n=v^h 1 oU Pól se zobrazí jako křivka tím delší, čím bude m menší. Nepravé azimutální zobrazení Wagnerovo 4) zvětšit vyňatou část, aby měla stejnou plochu jako referenční koule. 5) transformovat vynásobením všech souřadnic y a dělením všech souřadnic x vhodnou konstantou Více zde: http://old.qis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni soubory/nepravá souborv/neazimut.html#waqner 44 POLYKÓNICKÁ ZOBRAZENÍ 45 Polykónická zobraze • Zobrazování na nekonečný počet kuželů. • Každá rovnoběžka zobrazována na samostatný kužel v této rovnoběžce tečný. • Jednoduchá kuželová zobrazení - obrazy rovnoběžek jsou kružnice. • Každá kružnice má však samostatný střed ležící na obraze základního poledníku. P = f(U) £ = f(U,V) zobrazovací rovnice podle nepravého kuželového zobrazení: transformace do rovinných souřadnic: x = xv-pcoss xv=f(u) y = psin s Xv není konstantní. - „třetí zobrazovací rovnice Polykónická zobraze Gaussovy symboly -pro polární souřadnice: rovnice zkreslení: dx,. dU coss- dp^2 f dU + J F = p ds dV í dU sin s + p dx^ KdU ds ^ sinf + p ds dU \2 dU G = p' H = p íds^2 dV ds dV f V dU coss- dp dU J J m f dU coss- dpY fdx„ . ds dU + X dU sin s + p R p m.. = ds dV RcosU p ds dV f dU coss dp dU J Pi R1 cos U dU J 47 Polykónické zobrazení H • ekvidistantní polykónické zobrazení • nezkreslují se rovnoběžky • není zkreslený základní poledník • pól se zobrazí jako bod 1. zobrazovací rovnice p = RcotgU s = RcosU P dosadí se do rovnice Bonneova zobrazení V vznikne 8 = V sin U 2. zobrazovací rovnice podmínka nezkresleného poledníku: xvi=pi+r(u1-u0) xv = p + r(u-u0) 3. zobrazovací rovnice x * Y to Polykónické zobrazení H rovnice zkreslení: • zobrazovací rovnice Hasslerova zobrazení se dosadí do obecných rovnic zkreslení pro polykónická zobrazení mp = ( ^ l + 2cotg2ř/sin2- seer r = arctg ŕ \ s - sin s 2sin2- + ŕg2£/ I 2 6 J m , = 1 + 2cotg2usin2 — Polykónické zobrazení H • „apple-shapeď • nezkreslují se rovnoběžky • není zkreslený základní poledník, ale ostatní poledníky ano. • velké zkreslení v okrajových částech, nevhodné pro zobrazení celé Země Polykónické zobrazení celého světa Polykónické zobrazení části světa, se základním poledníkem 15°. základní poledník 15°, základní rovnoběžka 50°. Proč se učíme o zobrazení, které je „nevhodné"? Polykónické zobrazení H Okrajové části: velké zkreslení, nevhodné pro zobrazení celé Země. 51 6 OBECNÁ ZOBRAZENÍ 52 Obecná zobrazení • obě zobrazovací rovnice jsou funkcí obou souřadnic na referenční ploše • zpravidla v pólové poloze • některá jsou konformní, většina z nich je vyrovnávací - zkreslují vše • tvary zobrazovacích rovnic: - referenční elipsoid - referenční koule referenční elipsoid: x = f(tp,A) y = f(