Taylor
E 3011
Jan Böhm
RECETOX
March 20, 2024
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 1 / 13
Co nás dnes čeká
1 functions.py
2 e
3 π
4 Goniometrické funkce
5 Logaritmus funkce
6
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 2 / 13
Import vlastních funkcí
Vytvořené funkce (jako třeba factorial budeme udržovat ve vlastním
skriptu functions.py, ze kterého je pak můžeme importovat stejně, jako
externí knihovny.
1 import functions
2 print(functions.factorial(2))
3
4 import functions as f
5 print(f.factorial(3))
6
7 from functions import factorial
8 print(factorial(4))
9
10 from functions import *
11 print(factorial(5))
12
13 from functions import factorial as fac
14 print(fac(6))
Oba skripty musí být ve stejném adresáři. Pozor na neuložené změny.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 3 / 13
Co nás dnes čeká
1 functions.py
2 e
3 π
4 Goniometrické funkce
5 Logaritmus funkce
6
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 4 / 13
Přibližně e
e
Vytvořte funkci e(tol = 6), která vrací hodnotu e s přesností danou
parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty e využijte formuli
e =
∞
k=0
1
k!
,
která je odvozena z Taylorova rozvoje funkce ex .
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než 10−tol.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 5 / 13
Co nás dnes čeká
1 functions.py
2 e
3 π
4 Goniometrické funkce
5 Logaritmus funkce
6
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 6 / 13
Přibližně π
π
Vytvořte funkci pi(tol = 6), která vrací hodnotu π s přesností danou
parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty π využijte Leibnizovu formuli
π = 4
∞
k=0
(−1)k
2k + 1
,
která je odvozena z Taylorova rozvoje funkce arctan.
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než 10−tol.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 7 / 13
Co nás dnes čeká
1 functions.py
2 e
3 π
4 Goniometrické funkce
5 Logaritmus funkce
6
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 8 / 13
Přibližně sin
sin(x)
Vytvořte funkci sin(x, tol = 6), která vrací hodnotu sin(x) s přesností
danou parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty sin(x) využijte Taylorův rozvoj této funkce
v okolí nuly:
sin(x) =
∞
k=0
(−1)k
(2k + 1)!
x(2k+1)
.
Tato aproximace je vhodná pro x ∈ −π; π . Pro hodnoty mimo tento
interval využijte identity sin(x) = sin(x mod 2π).
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než 10−tol.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 9 / 13
Co nás dnes čeká
1 functions.py
2 e
3 π
4 Goniometrické funkce
5 Logaritmus funkce
6
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 10 / 13
Přibližně ln
ln(x)
Vytvořte funkci ln(x, tol = 6), která vrací hodnotu ln(x) s přesností
danou parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty ln(x) využijte Taylorův rozvoj této funkce v
okolí 1:
ln(x) =
∞
k=1
(−1)k+1
k
(x − 1)k
.
Pozor, tato aproximace konverguje jen pro x ∈ (0, 2 . Proto budete pro
x > 2 potřebovat identitu ln(x) = − ln(1
x ).
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než tol.
Nakonec vytvořte funkci log(x, base = 2, tol = 6), která počítá
logaritmus čísla x ve zvolené bázi base. Stačí využít identity
logb(x) =
loga(x)
loga(b)
.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 11 / 13
Co nás dnes čeká
1 functions.py
2 e
3 π
4 Goniometrické funkce
5 Logaritmus funkce
6
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 12 / 13
Takeaways
Po tomto cvičení byste měli mít připravené funkce
e(tol = 6) a pi(tol = 6), které vrací uvedené konstanty
sin(x, tol = 6), ln(x, tol = 6) a log(x, base = 2, tol =
6, které počítají funkční hodnoty sinu, přirozeného logaritmu resp.
logaritmu se zvolenou bází
Tyto funkce si přidejte do své ”knihovny” functions.py.
Po tomto cvičení byste měli umět:
Vyrobit další funkce postavené na (Taylorovu) polynomu, např.
zbytek goniometrických funkcí, exponenciální funkci nebo např.
hyperbolické funkce.
Zjistit, kolik iterací uvnitř funkce proběhlo, než došlo k požadovanému
výsledku (např. porovnejte počet iterací e(tol = 6) a pi(tol = 6).
Rozumět limitům a problémům funkcí, které jste nachystali. Jak jsou
přesné, rychlé, kdy selžou?
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 20, 2024 13 / 13