Taylor
E 3011
Jan Böhm
RECETOX
March 20, 2024
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 1 / 15
Co nás dnes čeká
1 Neprogramování
My bad
for4
Tak trochu jiný while
2 Opakování matematiky
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 2 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
4 IndentationError: expected an indented block after
'for' statement on line 3
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
4 IndentationError: expected an indented block after
'for' statement on line 3
5 TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and
'str'
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
4 IndentationError: expected an indented block after
'for' statement on line 3
5 TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and
'str'
6 TypeError: type str doesn't define __round__ method
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
4 IndentationError: expected an indented block after
'for' statement on line 3
5 TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and
'str'
6 TypeError: type str doesn't define __round__ method
7 ModuleNotFoundError: No module named 'E3011'
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
4 IndentationError: expected an indented block after
'for' statement on line 3
5 TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and
'str'
6 TypeError: type str doesn't define __round__ method
7 ModuleNotFoundError: No module named 'E3011'
8 ZeroDivisionError: division by zero
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
4 IndentationError: expected an indented block after
'for' statement on line 3
5 TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and
'str'
6 TypeError: type str doesn't define __round__ method
7 ModuleNotFoundError: No module named 'E3011'
8 ZeroDivisionError: division by zero
9 ValueError: math domain error
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Chyby
Napište program, který při pokusu jej spustit vypíše následující chybovou
hlášku:
1 SyntaxError: expected ':'
2 SyntaxError: unterminated string literal (detected at
line 3)
3 SyntaxError: '(' was never closed
4 IndentationError: expected an indented block after
'for' statement on line 3
5 TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and
'str'
6 TypeError: type str doesn't define __round__ method
7 ModuleNotFoundError: No module named 'E3011'
8 ZeroDivisionError: division by zero
9 ValueError: math domain error
10 NameError: name 'cos' is not defined
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 3 / 15
Fóry
Cyklus I:
O programu níže rozhodněte:
Kolik operací + proběhně?
Co vypíše?
1 result = 0
2 for i in range(5):
3 result += i
4
5 print(result)
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 4 / 15
Fóry
Cyklus II:
O programu níže rozhodněte:
Kolik operací + proběhně?
Co vypíše?
1 result = 0
2 for i in range(5):
3 result += i
4 for j in range(5):
5 result += j
6
7 print(result)
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 5 / 15
Fóry
Cyklus III:
O programu níže rozhodněte:
Kolik operací + proběhně?
Co vypíše?
1 result = 0
2 for i in range(5):
3 result += i
4 for j in range(5):
5 result += j
6
7 print(result)
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 6 / 15
Fóry
Cyklus IV:
O programu níže rozhodněte:
Kolik operací + proběhně?
Co vypíše?
1 result = 0
2 for i in range(5):
3 for j in range(5):
4 result += i
5 result += j
6
7 print(result)
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 7 / 15
While jinak
1 x = 408849
2 while True:
3 x -= sum([int(b) for b in str(x)])
4 if x <= 1:
5 break
Co kód dělá?
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 8 / 15
While jinak
1 x = 408849
2 while True:
3 x -= sum([int(b) for b in str(x)])
4 if x <= 1:
5 break
Co kód dělá?
Zastaví se někdy?
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 8 / 15
While jinak
1 x = 408849
2 while True:
3 x -= sum([int(b) for b in str(x)])
4 if x <= 1:
5 break
Co kód dělá?
Zastaví se někdy?
Zjistěte, kolik iterací proběhne
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 8 / 15
While jinak
1 x = 408849
2 while True:
3 x -= sum([int(b) for b in str(x)])
4 if x <= 1:
5 break
Co kód dělá?
Zastaví se někdy?
Zjistěte, kolik iterací proběhne
Přepište kód bez použití konstrukce while True -- break
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 8 / 15
Co nás dnes čeká
1 Neprogramování
My bad
for4
Tak trochu jiný while
2 Opakování matematiky
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 9 / 15
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 10 / 15
Taylorův rozvoj
Taylorův rozvoj
Taylorův polynom slouží k lokálnímu nahrazení funkce ”jednodušší” funkcí
– polynomem. Dokonce jsme schopni říct, jak takový polynom spočítat:
rozumnou funkci f můžeme v okolí bodu a aproximovat polynomem
f (x) ≈
f (a)
0!
+
f (a)
1!
· (a − x) +
f (a)
2!
(a − x)2
+ · · · +
f (n)(a)
n!
· (a − x)n
neboli
f (x) ≈
n
k=0
f (k)(a)
k!
· (a − x)k
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 11 / 15
Taylorův rozvoj
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 12 / 15
Aplikace: Eulerovo číslo
Python sám o sobě nemá zabudovanou konstantu e – pokud ji chceme,
potřebujeme e povolat z knihovny math. Proto si napíšeme vlastní funkci,
která bude vracet hodnotu e. Jak na to?
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 13 / 15
Aplikace: Eulerovo číslo
Python sám o sobě nemá zabudovanou konstantu e – pokud ji chceme,
potřebujeme e povolat z knihovny math. Proto si napíšeme vlastní funkci,
která bude vracet hodnotu e. Jak na to?
Využijeme Taylorův rozvoj funkce f (x) = ex . Funkci rozvineme v bodě 0 a
pak položíme x = 1.
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 13 / 15
Aplikace: Eulerovo číslo
Python sám o sobě nemá zabudovanou konstantu e – pokud ji chceme,
potřebujeme e povolat z knihovny math. Proto si napíšeme vlastní funkci,
která bude vracet hodnotu e. Jak na to?
Využijeme Taylorův rozvoj funkce f (x) = ex . Funkci rozvineme v bodě 0 a
pak položíme x = 1.
Derivace se nám budou hezky počítat:
f (x) = f (x) = f (x) = · · · = ex
|x=0 = 1
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 13 / 15
Aplikace: Eulerovo číslo
Python sám o sobě nemá zabudovanou konstantu e – pokud ji chceme,
potřebujeme e povolat z knihovny math. Proto si napíšeme vlastní funkci,
která bude vracet hodnotu e. Jak na to?
Využijeme Taylorův rozvoj funkce f (x) = ex . Funkci rozvineme v bodě 0 a
pak položíme x = 1.
Derivace se nám budou hezky počítat:
f (x) = f (x) = f (x) = · · · = ex
|x=0 = 1
Rozvoj funkce ex okolo 0 můžeme jednoduše vyjádřit jako
ex
≈
n
k=0
xk
k!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 13 / 15
Aplikace: Eulerovo číslo
Python sám o sobě nemá zabudovanou konstantu e – pokud ji chceme,
potřebujeme e povolat z knihovny math. Proto si napíšeme vlastní funkci,
která bude vracet hodnotu e. Jak na to?
Využijeme Taylorův rozvoj funkce f (x) = ex . Funkci rozvineme v bodě 0 a
pak položíme x = 1.
Derivace se nám budou hezky počítat:
f (x) = f (x) = f (x) = · · · = ex
|x=0 = 1
Rozvoj funkce ex okolo 0 můžeme jednoduše vyjádřit jako
ex
≈
n
k=0
xk
k!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .
Speciálně pro x = 1 je e1 = e naše hledané číslo:
e ≈
n
k=0
1
k!
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 13 / 15
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 14 / 15
Aplikace: Eulerovo číslo
Stop
Ještě zbývá vyřešit, kdy se sčítáním přestat - jak zvolit n.
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 15 / 15
Aplikace: Eulerovo číslo
Stop
Ještě zbývá vyřešit, kdy se sčítáním přestat - jak zvolit n. Jednoduchý
přístup - jakmile začnou přírůstky být příliš malé, přestaneme.
Algorithm 2: How to implement function that returns e
Input: tol = 0.001
ind ← 0
e ← 0
newTerm ← 1
ind!
while newTerm ≥ tol do
e ← e + newTerm
ind ← ind + 1
newTerm ← 1
ind!
return result
Jan Böhm (RECETOX) Přednáška V March 20, 2024 15 / 15