logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz V. MATEMATICKÉ MODELY ČASOVÝCH ŘAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODICKÉ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODICKÉ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODICKÉ POSLOUPNOSTI x(nTvz) = {…,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,…} levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST File:Circle cos sin.gif https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif Θ = f(t) Þ cos(t), sin(t) Þ cos(nTvz), sin(nTvz) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þharmonická posloupnost je dána vztahem þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0), þkde þ A>0 je amplituda harmonické posloupnosti; þ Ω >0 je úhlová rychlost, tj. velikost úhlu (posunu) za čas; þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase nTvz =0 ; þ (ΩnTvz + φ0) je fáze harmonické posloupnosti; þperioda harmonické posloupnosti je dána vztahem þT = 2p/Ω þkmitočet harmonické posloupnosti je definován þ f = 1/T = Ω/2p HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AMPLITUDA þAmplituda (též výkmit či rozkmit) je maximální hodnota periodicky měnící se veličiny. Spolu s frekvencí/úhlovou frekvencí, počáteční fází a u vln též vlnovou délkou/vlnovým vektorem je amplituda jedním ze základních parametrů periodických dějů. þ þ þEtymologie: þz latiny „amplitudo“ – rozsáhlost, rozpětí, velikost; znamenitost; důstojnost http://danq.nantoka.info/zangletritecky/uploads/pl-wikipedie640.png levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þharmonická posloupnost je dána vztahem þx(nTvz) = A ∙ cos(ΩnTvz + φ0), þkde þ A > 0 je amplituda harmonické posloupnosti; þ Ω > 0 je úhlový kmitočet h.p., úhlová rychlost; þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase nTvz = 0; þ (ΩnTvz + φ0) je fáze harmonické posloupnosti; þperioda harmonické posloupnosti je dána vztahem þT = 2p/Ω þkmitočet harmonické posloupnosti je definován þ f = 1/T = Ω/2p HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þharmonická posloupnost je dána vztahem þx(nTvz) = A ∙ cos(ΩnTvz + φ0), þkde þ A > 0 je amplituda harmonické posloupnosti; þ Ω > 0 je úhlový kmitočet h.p., úhlová rychlost; þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase nTvz = 0; þ (ΩnTvz + φ0) je fáze harmonické posloupnosti; þperioda harmonické posloupnosti je dána vztahem þT = 2p/Ω Þ Ω = 2p/T Þ Ω∙Tvz = ΩN = 2p∙Tvz/T þkmitočet harmonické posloupnosti je definován þf = 1/T = Ω/2p Þ fN = Tvz/T = ΩN/2p = f/fvz HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) þpro A=1, φ0=0 a Ω pro T=8Tvz HARMONICKÁ POSLOUPNOST Ts ≡ Tvz vz … vzorkování s … sampling x(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) pro A=1, φ0=0 a ΩN = 2p.Tvz/T = p/4 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) þpro A=1, φ0=0 a Ω pro T=4T’vz HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) þpro A=1, φ0=0 a Ω pro T=4T’vz HARMONICKÁ POSLOUPNOST x(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) pro A=1, φ0=0 a ΩN = 2p.Tvz/T = p/2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZměna periodicity veličiny po vzorkování se vzorkovací periodou, která neodpovídá bezezbytkovému celočíselnému podílu T/Tvz (desetinná část podílu je rovna 0,5). HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þV případě, kdy podíl vzorkovací periody a celkové periody T/Tvz nelze vyjádřit jako poměr dvou přirozených čísel (tedy racionální číslo), není navzorkovaná posloupnost periodická (přestože původní funkce periodická byla). HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) þpro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 þ þ þ HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þ þtříparametrickou harmonickou posloupnost lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách þ amplituda x (úhlový) kmitočet a þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet: þA = A(Ω) a φ0 = φ0(Ω); þ x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 HARMONICKÁ POSLOUPNOST spektrum amplitud spektrum počátečních fází levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz !!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!! þ Frekvenční spektrum časové řady je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se časová řada skládá, v závislosti na frekvenci. þ(Tj. skládá se z amplitudového a fázového spektra). þ þ!ZAPAMATOVAT NA VĚKY! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þTRIGONOMETRICKÝ TVAR þx(nTvz) = A·cos(ΩnTvz+φ0) = þ= A1·cos(ΩnTvz) + A2·sin(ΩnTvz) þJak to tak? þcos(α + β) = cosα·cosβ – sinα·sinβ þ þA·cos(ΩnTVZ + φ0) = A·cos(ΩnTVZ)·cosφ0 – A·sin(ΩnTVZ)·sinφ0 = þ = A·cosφ0·cos(ΩnTVZ) – A·sinφ0·sin(ΩnTVZ) þ þ A1 A2 HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þTRIGONOMETRICKÝ TVAR þA1 = A·cosφ0 a A2 = -A·sinφ0 HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR þ þ þ þ þ þcosa(n) + i·sina(n) = eia(n) þ cosa(n) - i·sina(n) = e-ia(n) þ HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST þkdyž T = NTvz a tedy f = 1/NTvz nebo þ þ þ þKomplexní exponenciála samozřejmě rovněž reprezentuje periodickou veličinu, protože platí þ þ þkdyž exp(i2p) = cos(2p) + i.sin(2p) = 1 + i0 = 1 Zde se zabýváme pouze reálnou částí pravé strany… levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR þ þ þ þ þEulerovy vztahy þ þx(n) = A.cos(a(n)) = Re{A.eia(n)} þ þ þ þ cosa(n) + i.sina(n) = eia(n) cosa(n) - i.sina(n) = e-ia(n) HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR þ þx(n) = Re{ (n)} = Re{A.exp[i(ΩnTvz+φ0)]} þ þ(vyplývá z Eulerových vztahů) HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkupodivu lze použít i vztah þ þx(n) = Re{A.exp[i(-ΩnTvz-φ0)]} = Re{ *(n)} þ þpozor !!! pozor þ- záporný kmitočet - ale funguje to HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þProtože platí þx(n) = Re{ (n)} = Re{ *(n)} a Im{ (n)} = -Im{ *(n)} þje i þx(n) = ½.{ (n) + *(n)} þx(t) = ½.{A.exp(iφ0).exp(iΩnTvz)} + þ+ ½.{Aexp(-iφ0).exp(-iΩnTvz)} þ þOznačíme-li þĊ0 = ½.A.exp(iφ0) a Ċ-0 = ½.Aexp(-iφ0) þje þx(n) = Ċ0.exp(iΩnTvz) + Ċ-0.exp[i(-Ω)nTvz] HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þ þtříparametrickou harmonickou posloupnost lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách þ amplituda x (úhlový) kmitočet a þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet: þA = A(ω) a φ0 = φ0(ω); þ x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 spektrum amplitud spektrum počátečních fází HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ è è è è è þ þ þ spektrum amplitud spektrum počátečních fází x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ è è è è è þ þ þ spektrum amplitud spektrum počátečních fází HARMONICKÁ POSLOUPNOST x(nTvz) = 1 + cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST þhttp://www.mysearch.org.uk/website1/html/222.Function.html þhttp://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/complex/complex.html þhttp://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic þhttp://www.khanacademy.org/science/physics/oscillatory-motion/harmonic-motion/v/introduction-to-ha rmonic-motion þhttp://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEPERIODICKÉ POSLOUPNOSTI þjednorázová deterministická veličina þ þ þ þ þ þ þ- „začíná a končí“ s(t) = 10.10-6 V pro tÎá-0,5 ms; 0,5 msñ s(t) = 0 V pro tÎ(0,5 ms; ¥ñ s(t) = 0 V pro tÎá-¥; -0,5 ms ) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ POSLOUPNOSTI þdiskrétní jednotkový impulz; þdiskrétní jednotkový skok; þdiskrétní jednotkový obdélníkový impulz; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah zjednodušeně: jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice vysoký (limitně nekonečně) obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNOTKOVÝ IMPULZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah zjednodušeně: jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně) vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNOTKOVÝ IMPULZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah JEDNOTKOVÝ IMPULZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ JEDNOTKOVÝ IMPULZ þdefinice: þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNOTKOVÝ SKOK þjednotkový skok (Heavisidova funkce) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ JEDNOTKOVÝ SKOK þdefinice: þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZÁJEMNÉ VZTAHY þpro obě uvedené jednorázové „funkce“ platí: þ þ þ þpro obě uvedené jednorázové posloupnosti platí: þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ JEDNOTKOVÝ OBDÉLNÍKOVÝ IMPULZ þdefinice: logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VI. ZÁKLADNÍ OPERACE S MATEMATICKÝMI MODELY ČASOVÝCH ŘAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þOPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þnásobení konstantou þ x(n) ~ A·x(n), þ OPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) A=2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(n) ~ x(m·n), þ kde m je kladné reálné číslo þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ m = 1 – nic se neděje OPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(n) ~ x(m·n), þ kde m je kladné reálné číslo þ m = 1 – nic se neděje þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ OPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – ? OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – zpoždění a) originál x(n); b) funkce x(n-1); c) funkce x(n+1); OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þobrácení (inverze) časové osy þ þx(n) ~ x(-n) , a) originál x(n); b) funkce x(-n); c) funkce x(-n+1) OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SHRNUTÍ þdefinice základních modelů veličin (jednotkový skok, impulz, periodická posloupnost); þrůzné formy vyjádření harmonické posloupnosti; þco je frekvenční spektrum? þzákladní unární operace s posloupnostmi. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TESTÍK levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZA TÝDEN NASHLEDANOU