logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VIII. VZORKOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þVzorkování je postup výběru jednotlivých pozorování, na jehož základě získáváme informaci o vlastnostech sledované skutečnosti či jevu. Každé pozorování může obecně zahrnovat více vlastností (věk, diagnóza onemocnění, velikost napětí, …), které mohou být použity k identifikaci daného jevu či jeho části. þVzorkováním rozumíme postup výběru určité podmnožiny (vzorku) dané množiny (veličiny, populace, dat, materiálu) tak, aby vlastnosti vybraného vzorku (dostatečně) přesně reprezentovaly vlastnosti celé množiny (signálu, populace, dat, materiálu). þVzorkování je postup selekce jednotlivých pozorování s cílem získat určitou znalost o dané populaci, zejména pro účely statistické inference. þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLADY þvolba frekvence a místa odběru pro hodnocení úrovně znečištění vodních toků; þvolba parametrů digitalizace obrazu pro jeho přenos či archivaci; þvolba tématu a množiny respondentů při průzkumu veřejného mínění; þvýběr výrobků při výstupní kontrole kvality výroby; þvýběr pacientů pro odhad vývoje daného onemocnění. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þVzorkováním dané časově proměnné veličiny rozumíme činnost, při které z průběhu určité veličiny, která je definovaná na spojitém definičním oboru, vybíráme hodnoty pouze v určitých časových okamžicích. þ þHodnoty časových či prostorových souřadnic mohou být rozmístěny v definičním prostoru obecně nerovnoměrně, z hlediska práce s daty je ale výhodnější, pokud jsou souřadnice vzorků rozmístěny rovnoměrně (a v tom případě lze i teoreticky dovodit pravidlo pro maximální vzdálenost mezi každými dvěma vzorky). þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVÁNÍ SPOJITÉ VELIČINY s(nTvz) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz IDEÁLNÍ VZORKOVÁNÍ þAby bylo možné zjednodušit analýzu vlivu vzorkování na vlastnosti vzorkované veličiny, je navzorkovaná verze původní spojité veličiny s(t) vyjadřována ve tvaru s(t).sδ(t), kde sδ(t) je periodický sled jednotkových impulsů definovaný jako þ þ þZ toho pro navzorkovanou veličinu platí þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM s(t) → s(T1), s(T2), s(T3), …, s(Tn), … s(t) → s(Tvz), s(2Tvz), s(3Tvz), …, s(nTvz), … levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM Reálné vzorkování þintuitivní (?) zdůvodnění minimální vzorkovací frekvence þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM Vzorkovací frekvence: fvz > 2B = fN, kde B je maximální kmitočet ve vzorkované veličině fN – Nyquistův, (Shannonův, Kotelnikovův) kmitočet TN = 1/fN = 1/2B Nyquistův interval (perioda), vzorkovací interval (perioda) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM Reálné vzorkování Obvykle fvzr = (4÷5) ∙ fN levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM Aliasing – překrývání spekter překrývání spekter - aliasing levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST þkdyž T = NTvz a tedy f = 1/NTvz nebo þ þ þ þ þKomplexní exponenciála samozřejmě rovněž reprezentuje periodickou veličinu, protože platí þ þ þkdy exp(2pi) = cos(2p) + i.sin(2p) = 1 + i.0 = 1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz harmD2 HARMONICKÁ FUNKCE A VZORKOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ FUNKCE A VZORKOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ FUNKCE A VZORKOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE Z NAVZORKOVANÉ POSLOUPNOSTI þPředpokládejme, že původní spojitá funkce xa(t) měla frekvenč-ně omezené spektrum Xa(f), tj. platí pro ni þ þ þ þkde je X(f) frekvenční spektrum dané posloupnosti. Protože víme, že spektrum navzorkované posloupnosti je periodické s periodou danou vzorkovací frekvencí, zajímá nás pouze její jedna (první) perioda, pro kterou v rozsahu frekvencí |f|£ fvz/2 platí þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE Z NAVZORKOVANÉ POSLOUPNOSTI þPotom pro původní funkci xa(t) je þ þ þ þ þ þ þ þ þ þtj. původní funkce je dána nekonečným součtem vzorkovacích funkcí, které procházejí každou hodnotou xa(t) z nekonečného počtu vzorků navzorkované posloupnosti. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE Z NAVZORKOVANÉ POSLOUPNOSTI logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz IX. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE — ČASOVÉ ŘADY – levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ ANALÝZA DISKRÉTNÍCH POSLOUPNOSTÍ þ þdiskrétní Fourierova řada þFourierova transformace s diskrétním časem - DTFT þdiskrétní Fourierova transformace - DFT þrychlá Fourierova transformace - FFT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ROZKLAD PERIODICKÉ ČASOVÉ ŘADY þspojitá veličina – opakování þ Fourierova řada (v komplexním tvaru) kde cn jsou komplexní Fourierovy koeficienty Ω – úhlový kmitočet základní harmonické složky (základní harmonická); . . . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA ŘADA PRO DISKRÉTNÍ posloupnosti þnechť x(kTvz) je periodická posloupnost s periodou NTvz; pak x(kTvz) lze rozložit pomocí komplexní exponenciální Fourierovy řady þ þ þ kde . . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA ŘADA PRO DISKRÉTNÍ posloupnosti þnechť x(kTvz) je periodická posloupnost s periodou NTvz; pak x(kTvz) lze rozložit pomocí komplexní exponenciální Fourierovy řady þ þ þ kde þ þ þZÁVĚR þje-li časová řada periodická, je frekvenční spektrum diskrétní; tj. nezáleží na spojitosti či diskrétnosti časových dat, důležitá je jejich periodičnost. þ . . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA ŘADA DŮKAZ þzměňme index sumace ve vztahu pro výpočet koeficientu cn . . . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA ŘADA DŮKAZ (součet N členů geometrické posloupnosti ) s_n = a_1 \frac{ 1 - q^n }{ 1 - q } levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(kTvz) = A.cos(2pk/N) je periodická posloupnost s periodou N FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þnechť x(kTvz) je časově omezená posloupnost s diskrétním časem s x(kTvz)=0 pro všechna celá k>N1 a k<-N1, kde N1 je celočíselná konstanta FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT vz vz levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdále, nechť pro kladné sudé celé číslo N>2N1 označíme periodický signál s periodou NT, který je x(kTvz) pro k = -N/2, -(N/2)+1, …, -1, 0, 1, …, (N/2)-1. þz definice máme FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þprotože je periodická posloupnost s periodou NTvz, má Fourierovu řadu FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT . . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZ definice vyplývá, že poslední uvedený vztah lze přepsat do tvaru þ þ þ þ þ þ kde ω je pro N→¥ spojitá (nediskrétní) veličina. FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZÁVĚR þje-li časová řada neperiodická a nekonečná, je frekvenční spektrum spojité; tj. nezáleží na spojitosti či diskrétnosti časových dat, důležitá je jejich neperiodičnost a nekonečná doba trvání. FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE - DFT þaby bylo možné počítat s frekvenčním spektrem na počítači, je třeba spektrální funkci diskretizovat; þpředpokládejme, že diskrétní veličina x(nTvz)=0 pro n < 0 a n ≥ N-1, pak DFT je definována vztahem Obsah obrázku diagram, schématické Popis byl vytvořen automaticky levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNÁ DISKRÉTNÍ FT – DFT-1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INVERZIBILITA DFT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DFT ω1 = 2Ω = 4p/NTVZ DFTr.bmp levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DFT ω1 = 2,5Ω = 5p/NTVZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZÁVĚR þje-li časová řada konečná a frekvenční spektrum diskrétní, pak její frekvenční spektrum je rovno spektru diskrétní Fourierovy řady s periodou rovnou době trvání časové řady DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE - DFT