logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ČASOVÉ ŘADY
Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD.
UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123
kalina@mail.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
IX. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE
 — POKRAČOVÁNÍ–

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þhodnoty funkcí cos a sin se používají z tabulek pro čtvrtinu periody;
þzrychlení výpočetního algoritmu se dosáhne využitím dříve vypočítaných mezivýsledků, resp.
vynecháním zbytečných výpočtů – např. násobení nulou;
RYCHLÁ FOURIEROVA TRANSFORMACE - FFT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þFFT – (Cooley, Tukey – 1965, ale před nimi již i mnozí další od 1903)
èrozklad v časové oblasti;
èrozklad ve frekvenční oblasti
þjednotka pracnosti P – jedno komplexní násobení a sečítání
þpracnost výpočtu jednoho vzorku spektra – N.P
þpracnost celé transformace – N.N.P = N2.P
RYCHLÁ FOURIEROVA TRANSFORMACE - FFT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þvstupní posloupnost o sudém počtu vzorku rozdělíme na dvě dílčí posloupnosti
þ {gn} = {x2n} - sudé prvky původní posloupnosti,
þ {hn} = {x2n+1} - liché prvky původní
þ posloupnosti,
þ n=0,1,…, N/2-1
þ předpokládáme, že každá z posloupností (původní i obě dílčí), mají svou DFT
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FFT-2
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þvýsledná pracnost bude součtem pracností výpočtu spekter obou posloupností
þ2.(N/2)2.P+N.P
þ tzn. uspoření pracnosti téměř na polovinu;
þje-li N/2 opět sudé, může se v dělení pokra-čovat – celkově je výhodné, je-li N = 2m
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkaždý uzel v grafu představuje jedno komplexní násobení a součet
þN uzlů ve vrstvě; celkem m vrstev m=log2N
þcelková pracnost:
þP.N.m = P.N.log2N
þ to představuje při N=8 úsporu 60%, při N=1024 již téměř 99% a při N=131072=217 dokonce 99,99%
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þvýstup je uspořádán přirozeně; vstup je v bitově inverzním pořadí; þopakující se struktury
„motýlků“ obsahujících 4 uzly a 4 hrany
FFT
ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
TESTÍK

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
X. SYSTÉMY - ZÁKLADNÍ POJMY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉM - DEFINICE
þ SYSTÉM (řec.)
þß
þsložené, seskupené (v celek)
þ
þuzavřený, jednotně uspořádaný celek;
þsoustava věcí, myšlenek, apod. uspořádaná podle určitého hlediska, určitou formou a metodou;
þzáměrný, promyšlený, určitým způsobem uspořádaný postup, organizace, děj nebo vývoj;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ [Systém se skládá] z dynamicky uspořádaných prvků a vzájemně se ovlivňujících procesů. […]
Základním úkolem biologie je odhalení zákonitostí biologických systémů.
vonBertalanffy
Ludwig von Bertalanffy
(1901-1972)
Kritische Theorie der Formbildung, Berlin 1928
General System Theory. Foundations, Development, Applications, NY1968
SYSTÉM - DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉM - DEFINICE
þSystém je komplex vzájemně na sebe působících elementů. (L. von Bertalanffy)
þSystém je soubor prvků a vazeb mezi nimi. (R. L. Ackoff)
þSystém je uspořádání určitých komponent, vzájemně propojených v celek (G. J. Klir)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þstruktura – je dána množinou všech prvků a vazeb (vztahů, relací) mezi prvky, resp. dalšími
různými podsystémy daného systému;
þ
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þchování – je projevem dynamiky systému Dynamika je schopnost vyvolat změnu v systému, zejména jeho
stavu. Dynamika je vlastností prvků systému, vazby jsou jejími iniciátory (vstupy), resp. nositeli
důsledků (výstupy).
berta-lo
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þstavem sytému rozumíme souhrn hodnot jeho vlastností, které lze rozpoznat v daném časovém okamžiku
za přesně definovaných podmínek. Stavu systému lze v libovolném časovém okamžiku t (z nějakého
daného či zvoleného časového intervalu) přiřadit vektor hodnot s(t)Î S, který nazýváme stavovým
vektorem, složky xi vektoru s nazýváme stavovými veličinami (proměnnými) a prostor S všech možných
hodnot stavových veličin nazýváme stavovým prostorem. Podle vývoje hodnot stavu systému lze systémy
dělit na statické (nevykazují pohyb) a dynamické.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þstabilita je schopnost systému udržovat si při změně vstupů a stavů svých prvků nezměněnou vnější
formu (chování) i navzdory procesům probíhajícím uvnitř systému. Stabilitu chápeme jako vlastnost
zaručující, že i po určité malé změně počátečních podmínek nastane v systému při nezměněných
vstupech pohyb jen málo odlišný od původního. Pojem stability se neomezuje pouze na návrat do
původního stavu po poruše, která způsobí vychýlení. Často je návrat do původního stavu nemožný,
protože se změnily podmínky, v nichž systém existuje – pak si systém může najít stav odchylný od
výchozího stavu, který je rovněž stabilní – tzv. ultrastabilní systém.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þokolí systému je tvořeno množinou prvků, které nejsou součástí daného systému, ale jsou s ním
významně svázány. Systém a jeho okolí jsou jednak objektivní skutečností, ale jsou dány i
subjektivně, v závislosti na osobě zkoumající systém a na účelu zkoumání.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þVeličiny (vazby), které zprostředkovávají vliv okolí na systém jsou vstupy systému a vnější
projevy (vazby) systému, které reprezentují jeho vliv na okolí, jsou výstupy systému. Prvek
systému, který má vazbu s okolím (vstupní nebo výstupní nebo vstupní i výstupní) nazýváme hraničním
prvkem systému a množinu všech hraničních prvků nazýváme hranice systému.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þotevřený systém je takový, u něhož dochází k energetické a informační výměně s jeho okolím.
þuzavřený (konzervativní) systém je naopak od svého okolí zcela izolován, nemá se svým okolím žádné
vazby. þpodmínka separability systému – systém je separabilní, jestliže jeho výstupy zpětně vlivem
prostředí podstatně neovlivňují vstupy.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU
PŘÍKLADY
obr3_1
LIDSKÝ ORGANISMUS JAKO SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU
SYSTÉM PĚTI PRVKŮ KLASICKÉ ČÍNSKÉ MEDICÍNY A FILOSOFIE
5EL1
PŘÍKLADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEFORMÁLNÍ ABSTRAKTNÍ
POPIS SYSTÉMU
þprvky – části, ze kterých se systém skládá
þproměnné – slouží k popisu stavu prvků a jejich vývoje v čase;
þvazby – pravidla, dle kterých se prvky navzájem ovlivňují (případně mění své parametry) a tak
určují vývoj chování v čase;
þparametry – zpravidla neproměnné (konstantní) charakteristiky prvků a vazeb systému;
þzákladní předpoklady (počáteční podmínky) – vyplývají ze specifikace;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEFORMÁLNÍ ABSTRAKTNÍ
POPIS SYSTÉMU
MODEL DRAVEC A KOŘIST
þDxn - Dxm = k1.x(t).Dt - k2.x(t).y(t).Dt = [k1.x(t) - k2.x(t).y(t)].Dt
þDyn - Dym =  [k2.k3.x(t).y(t) - k4.y(t)].Dt
þ
þPrvky: populace dravce a populace kořisti
þProměnné: jejich četnosti, resp. hustoty - x(t), y(t)
þVazby: výše uvedené rovnice
þParametry: k1, …, k4
þZákladní předpoklady:
þ počáteční stavy obou populací
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PROČ ABSTRAKTNÍ SYSTÉMY?
þmodely zkoumaných reálných (biologických) objektů (procesů) -; þpopis algoritmů pro zpracování dat
(technické, resp. matematické systémy);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ)
POPIS SYSTÉMU
þMatematické prostředky se různí podle:
þtypu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku);
þcharakteru proměnných (kvantitativní - spojité, diskrétní, logické; kvalitativní);
þdeterminovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické -  pravděpodobnostní,
fuzzy,…);
þvztahu k okolí (autonomní, neautonomní);
þproměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné);
þvztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ)
POPIS SYSTÉMU
þMatematické prostředky se různí podle:
þtypu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku);
þcharakteru proměnných (kvantitativní - spojité, diskrétní, logické; kvalitativní);
þdeterminovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické -  pravděpodobnostní,
fuzzy,…);
þvztahu k okolí (autonomní, neautonomní);
þproměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné);
þvztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LINEARITA
þSystém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice þJe-li y=f(x) převodní funkce systému,
pak pro lineární systém musí platit
þ 1) f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2);
þ 2) c.f(x) = f(c.x), c = konst.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LINEARITA
þ f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2)
þ c.f(x) = f(c.x), c = konst.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA to je jen tehdy, je-li y=k.x, kde k = konst.
þ
þ1) k.x1 + k.x2 = k.(x1 + x2)
þ2) c.k.x = k.c.x
LINEARITA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA neplatí to ani, když
þy=k.x-q, kde k,q = konst.,
þprotože
þ
þ1) (k.x1-q)+ (k.x2-q) ≠ k.(x1+x2)-q
þ2) c.(k.x-q) ≠ (k.c.x-q)
LINEARITA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KAUZALITA
þKauzální (příčinný) je obecně takový systém, jehož výstup v každém časovém okamžiku t0 závisí
pouze na průběhu vstupní veličiny x(t) pro t £ t0  Þ hodnota výstupu systému v každém okamžiku
závisí pouze na vstupu v daném okamžiku a jeho průběhu v minulosti, nikoliv na budoucím průběhu
vstupní veličiny. Systém, který tento požadavek nesplňuje, nazýváme nekauzální, příp.
anticipativní. Nebo ještě jinak, systém je kauzální, pokud se výstup systému neobjeví dříve, než je
na vstup přiveden vstupní veličina. Všechny rozumné reálné systémy jsou systémy kauzální.
Časové řady zpravidla začínají v určitém referenčním okamžiku, který nazýváme počátkem časové osy.
Jako kauzální zprostředkovaně označujeme takové časové řady, pro které platí x(n) = 0 pro n < 0.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE
þstav populace je dán počtem jejích členů – s(n)
þautonomní lineární systém;
þneautonomní lineární systém;
þnelineární systém.
þprvek systému/modelu jednodruhové populace je jediný Þ systém je vždy 1. řádu.
þje-li s(n) počet jedinců v populaci v čase n, je dána stavem populace s(n-1) v předešlém časovém
okamžiku, modifikovaným procesy, které se v dané populaci odehrávají.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þAUTONOMNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM
þdynamika jeho chování závislá pouze na vnitřních dějích
þkoeficient porodnosti b - definován podílem nově narozených jedinců ke všem jedincům populace za
jednotkovou vzorkovací periodu (b ³ 0);
þkoeficient úmrtnosti d - podíl zemřelých jedinců vůči všem jedincům v populaci za jednotkovou
vzorkovací periodu
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þAUTONOMNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM
þdynamika jeho chování závislá pouze na vnitřních dějích
þkoeficient porodnosti b - definován podílem nově narozených jedinců ke všem jedincům populace za
jednotkovou vzorkovací periodu (musí platit b ³ 0)
þkoeficient úmrtnosti d - podíl zemřelých jedinců vůči všem jedincům v populaci za jednotkovou
vzorkovací periodu (d Î á0; 1ñ)
þr = b – d
þpočáteční stav populace s(0)
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpočet nově narozených jedinců za čas án-1, nñ je úměrný stavu populace v čase n-1
þ sb(n) = b.s(n-1)
þpočet zemřelých -   sd(n) = d.s(n-1)
þ
þs(n) = s(n-1)+sb(n) - sd(n) = s(n-1).(1+b–d) =
þ= s(n-1).(1+r)
þpři nulovém přírůstku (r = 0) stav populace v čase n roven stavu předchozí generace;
þpři r = 0,5 (jeden potomek na dva rodiče) je nový stav roven jeden a půl násobku stavu předchozí
generace. To odpovídá situaci, kdy do další generace přežívají všichni jednotlivci z předchozí
generace a navíc se objevují nově narození jedinci;
þtakto definovaný systém může být vhodný jako model populace, kdy délka života jejích členů je
delší než doba dospívání, kterou reprezentuje vzorkovací krok;
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þDosadíme-li do definiční rovnice za s(n-1) podle ekvivalentního vztahu dostaneme
þs(n) = s(n-1).(1+r) = s(n-2).(1+r)2
þatd., až z počáteční podmínky
þs(n) = s(0).(1+r)n
þposloupnost {s(n)} je exponenciálně rostoucí pro r>0, exponenciálně klesající pro rÎá-1, 0ñ a
konstantní pro r=0.
þ
þPrůběh řešení závisí pouze na hodnotách parametrů systému b, d, resp. r a na počáteční podmínce
s(0).
þPro r < -1 má posloupnost {s(n)} kmitavý charakter, přičemž se mění polarita jejích hodnot. Tedy
bez reálného praktického smyslu a významu.
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þNEAUTONOMNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM
þprůběh stavové posloupnosti {s(n)} nebude závislý jen na dějích uvnitř populace, nýbrž i na
změnách vyvolaných emigrací a imigrací z okolí systému
þPokud vyjádříme výměnu jedinců systémové populace s okolím proměnnou x(n), která představuje
rozdíl počtu jedinců, kteří odešli, příp. přišli z okolního prostředí během časového intervalu
án-1, nñ, pak se definiční diferenční rovnice změní na
þs(n) = s(n-1).(1+r) + x(n)
þPrůběh řešení už nebude záviset pouze na parame-trech systému b, d, resp. r, nýbrž i na průběhu
vstupní posloupnosti x(n).
þ
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þAUTONOMNÍ NELINEÁRNÍ SYSTÉM
þŘešení diferenční rovnice lineárního autonomního systému {s(n)} má exponenciální průběh. Pro r>0
je exponenciálně rostoucí.
þProstor, ve kterém populace existuje je ale omezený, stejně jako množství využitelné energie.
Velikost populace se proto v reálných podmínkách nemůže exponenciálně zvyšovat do nekonečna.
þModifikujme definiční diferenční rovnici tak, že úmrtnost nebude konstantní, ale závislá na
velikosti populace - čím větší populace, tím větší úmrtnost.
þUvažme tu nejjednodušší závislost - lineární. Parametr úmrtnosti je pak určen vztahem
þd + c.s(n-1).
þDiferenční rovnice se změní na
þs(n)=s(n-1).(1+b-d-c.s(n-1))=s(n-1).(1+r-c.s(n-1))= =(1+r).s(n-1) – c.s2(n-1)=s(n-1).p(s,n)
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þNEAUTONOMNÍ NELINEÁRNÍ SYSTÉM
þdo předchozí rovnice přibude člen x(n) před-stavující vstupní hodnotu
þs(n)=s(n-1).(1+b-d-c.s(n-1))+x(n)=
þ= s(n-1).(1+r-c.s(n-1))+x(n) =
þ= s(n-1).p(s,n)+x(n)
þresp. s(n)-s(n-1).p(s,n) = x(n),
þ
þProtože parametr p(s,n) je funkcí stavu, který je v neautonomním případě současně i funkcí vstupu,
nejsou vlastnosti takového systému určeny jen jeho vlastní strukturou (jako u lineárního systému),
nýbrž závisí i na vlivu okolí.
þ
PŘÍKLAD
MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE