logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TESTÍK logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz XI. POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ PŘEDEVŠÍM VE FREKVENČNÍ DOMÉNĚ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz POPIS SYSTÉMU þvnější popis èvyjadřuje vztah mezi vstupní a výstupní veličinou; þvnitřní popis èzohledňuje vnitřní strukturu systému/modelu; èvyjadřuje vztah mezi stavovými, vstupními a výstupními veličinami; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU þdiferenční rovnice þjednodruhová autonomní populace þ(lineární, je-li je r = konst.) þs(n) = s(n–1) + sb(n) – sd(n) = s(n–1) · (1+b–d) = s(n–1) · (1+r) þs(n) - s(n-1) · (1+r) = 0 þjednodruhová neautonomní populace þs(n) – s(n–1) · (1+r) = x(n) þnelineární autonomní systém (populace) þs(n) – s(n–1) · p(s,n) = 0 þnelineární neautonomní systém (populace) þs(n) – s(n–1) · p(s,n) = x(n) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU þdiferenční rovnice þ þ þresp. þ þ þkde ai a bi jsou parametry systému, x(k) jsou hodnoty vstupní posloupnosti a y(k) hodnoty výstupní posloupnosti. þ þJe-li systém autonomní, tj. bez vstupu, je diferenční rovnice homogenní, s nulovou pravou stranou. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þParametry ai a bj mohou být obecně funkcemi jak vstupních i výstupních veličin (nelineární systémy), tak i času (časově závislé systémy). Jsou-li parametry konstantní, splňuje systém princip superpozice a systém je lineární. þHodnota n určuje maximální zpoždění pro vzorky výstupní posloupnosti a současně řád systému, m určuje maximální zpoždění pro vzorky vstupní posloupnosti zahrnuté do výpočtu. þAlternativním zápisem diferenční rovnice může být výraz pro výpočet k-tého výstupního vzorku, který využívá hodnotu k-tého vzorku vstupní posloupnosti a předchozí vzorky jak vstupní, tak výstupní posloupnosti až do zpoždění m, resp. n VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPŘÍKLAD: þDiferenční rovnice y(k) = x(k) – 2y(k – 1) + y(k – 2) reprezentuje diskrétní, časově invariantní lineární rekurzivní systém, přičemž koeficienty diferenční rovnice jsou a0 = 1, b0 = 1, b1 = 2 a b2 = –1. þ þDiferenční rovnice a její řešení představuje to nejdůležitější, co očekáváme od konstrukce matematického modelu, tj. možnost určení průběhu veličin reprezentujících chování, tj. dynamiku modelovaného objektu. þExistuje i jiná možnost popisu systému, která by dokázala odhalit jiné zajímavé či užitečné vlastnosti zkoumaného systému ? þLineární systémy představují značné zjednodušení – jejich parametry musí být konstantní. Nicméně právě lineární systémy umožňují různé formy popisu, přestože si zachovávají širokou oblast použití. þ VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU priklad32 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdefinice DTFT - opakování X(ω) je obecně komplexní funkce reálné proměnné ω - kmitočtu je-li z = exp(iωT), dostaneme oboustranná Z-transformace Z TRANSFORMACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Z-TRANSFORMACE jednostranná Z-transformace Z-transformace jednotkového impulsu Z(Δ(kTvz))=1 Z-transformace posunutého jednotkového impulsu Z(Δ(kTvz-nTvz))= levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Z-TRANSFORMACE Z-transformace jednotkového skoku U(z) = 1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + … vynásobíme-li obě strany (z-1) dostaneme (z-1).U(z) = (z+1+z-1+z-2+z-3+…) – (1+z-1+z-2+z-3+z-4+…) = z U(z) = z/(z-1) = 1/(1-z-1) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLASTNOSTI Z-TRANSFORMACE Linearita a·x(k) + b·y(k) ~ a·X(z) + b·Y(z) Posun vpravo x(k)·u(k) x(k-n)·u(k-n) ~ z-nX(z) Posun vpravo x(k) x(k-1) ~ z-1X(z) + x(-1) x(k-2) ~ z-2X(z) + x(-2) + z-1.x(-1) : x(k-n) ~ z-nX(z) + x(-n) + z-1·x(-n+1) + … + z-n+1·x(-1) Je-li x(m) = 0 pro m = -1, -2, …., -n, je x(k-n) ~ z-nX(z), což je totéž jako pro x(k-n)·u(k-n) . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLASTNOSTI Z-TRANSFORMACE Konvoluce levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz x(k) X(z) oblast konvergence d(k) 1 "z d(k–i) z-i pro "z kromě z=0, když i > 0 nebo z→∞, když i < 0 s(k), resp. –s(–k–1) |z| > 1, resp. |z| < 1 aks(k), resp. –ak s(–k–1) |z| > a, resp. |z| < a kaks(k), resp. –kak s(–k–1) |z| > a, resp. |z| < a (k+1)aks(k) |z| > a cos(kW0) s(k) |z| > 1 sin(kW0) s(k) |z| > 1 [ak·cos(kW0)] s(k) |z| > a [ak·sin(kW0)] s(k) |z| > a |z| > 0 VLASTNOSTI Z-TRANSFORMACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þy(nTvz) = h(nTvz)*x(nTvz) þY(z) = H(z)·X(z) þH(z) = Y(z)/X(z), kde H(z) je racionální lomená funkce proměnné z-1 (obrazová přenosová funkce) VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU PŘENOSOVÁ FUNKCE a·x(k) + b·y(k) ~ a·X(z) + b·Y(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU NULOVÉ BODY A PÓLY A – zesílení; zni … nulové body; zpi … póly levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU DIFERENČNÍ ROVNICE diferenční rovnice !!! za předpokladu nulových počátečních podmínek !!! levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU FREKVENČNÍ PŘENOSOVÁ FUNKCE z = exp(iωTvz) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkonvoluce operátorová (též obrazová) přenosová funkce H(z) = Y(z) / X(z) Y(z) = H(z) · X(z) VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU IMPULZNÍ CHARAKTERISTIKA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU IMPULZNÍ CHARAKTERISTIKA Y(z) = H(z)·X(z) za předpokladu, že X(z) = 1 máme Y(z) = H(z)·1 y(kTvz) = h(kTvz) = Z-1(H(z)) X(z) = 1 Þ x(kTvz) = Z-1(1) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU IMPULZNÍ CHARAKTERISTIKA þY(z) = H(z)·X(z) þza předpokladu, že X(z) = 1 máme þY(z) = H(z)·1 þy(kTvz) = h(kTvz) = Z-1(H(z)) þX(z) = 1 Þ x(kTvz) = Z-1(1) þ þZ-transformace jednotkového impulzu þZ(Δ(kTvz))=1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þy(kTvz) = h(kTvz) = Z-1(H(z).Z(Δ(kTvz))) þodezva na jednotkový impulz - -impulzní charakteristika þ þ þimpulzní charakteristika a obrazová přenosová funkce tvoří transformační pár Z transformace. þimpulzní charakteristika a frekvenční přenosová funkce tvoří transformační pár Fourierovy (DFT) transformace. VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU IMPULZNÍ CHARAKTERISTIKA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þje-li h(kTvz) = 0 pro k > k0 hovoříme o systému s konečnou impulzní charakteristikou (KIO – FIR); þnení-li h(kTvz) = 0 pro k > k0 hovoříme o systému s nekonečnou impulzní charakteristikou (NIO – IIR); þ VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU IMPULZNÍ CHARAKTERISTIKA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpřechodová charakteristika = þ= odezva systému na jednotkový skok þ þZ(u(kTvz)) = 1/1-z-1 = z/(z-1) þY(z) = G(z) = H(z).z/(z-1) VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LINEÁRNÍ SYSTÉMY S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY þJak se situace změní, když má systém více vstupů, resp. více výstupů? þLineární časově invariantní systém (tj. s konstantními parametry) s více vstupy lze řešit s použitím principu superpozice. Podle něj lze každý vstup uvažovat jednotlivě s tím, že všechny ostatní vstupy jsou vynulovány. Poté součet všech výstupních reakcí na separované, ovšem na systém současně přivedené vstupy dává celkovou odezvu systému. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LINEÁRNÍ SYSTÉMY S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY þJak se situace změní, když má systém více vstupů, resp. více výstupů? þ þK zamyšlení: þJe potřeba případ více výstupů řešit na základě nějakého specifického pravidla nebo nikoliv? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ 1.diferenční rovnice; 2.obrazová neboli operátorová přenosová funkce (z transformace); 3.rozložení nulových bodů a pólů; 4.frekvenční přenosová funkce; 5.frekvenční charakteristiky – modulová, fázová; 6.impulzní charakteristika; 7.přechodová charakteristika.; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ