logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz XIV. REALIZACE DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz REALIZACE DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ þa1y(nTvz)+a0y(nTvz-Tvz) = b0x(nTvz) þ þLineární diskrétní modely reálných systémů lze realizovat pomocí tří základních členů: þproporcionální člen (násobení konstantou); þzpožďovací člen; þsumační, resp. diferenční člen. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þa1y(nTvz)+a0y(nTvz-Tvz) = b0x(nTvz) þy(nTvz) = b0x(nTvz)/a1 - a0y(nTvz-Tvz)/a1 REALIZACE DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PROPORCIONÁLNÍ ČLEN þvýstupní průběh je tvarově shodný se vstupem; þpoměr hodnot výstupní a vstupní hodnoty je roven „zesílení“ k; þpřenosová funkce je určena vztahem levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPOŽĎOVACÍ ČLEN þdiferenční rovnice þ y(nTvz) = x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z).z-1 Þ þ þfrekvenční přenosová funkce þ z = eiΩTvz z-1 = e-iΩTvz þ H(eiΩTvz) = e-iΩTvz levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ þsystémy s klouzavým průměrem (moving average – MA) þ þ þ diferenční rovnice þy(k) = b0x(k) + b1x(k – 1) + …+ bmx(k – m), þsystémy autoregresivní (AR) þ þ þsystémy ARMA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þTeoreticky lze systémy splňující zadané požadavky realizovat podle tzv. Woldova dekompozičního teorému kterýmkoliv z uvedených typů systémových struktur. Je to jen otázka složitosti, resp. řádu systému. þPodle Woldova teorému platí, že: þjakýkoliv ARMA nebo MA proces může být jednoznačně reprezentován AR systémem (modelem), maximálně ¥. řádu; þjakýkoliv ARMA nebo AR proces může být reprezentován MA systémem (modelem) maximálně ¥ řádu. TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SYSTÉMY S KLOUZAVÝM PRŮMĚREM (MA) / / SYSTÉMY S KONEČNOU IMPULZNÍ ODEZVOU (KIO) þobecný vztah: þ þ þkde w(m), m = 0, 1, 2, …, M-1 je váhová posloupnost a x(•) je vstupní posloupnost systému. výpočetní schéma MA systému konvoluční výpočetní schéma levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI MA (KIO) SYSTÉMŮ þJe-li h(n) = {h(0), h(1), …, h(M-1)} impulzní odezva lineárního systému, je jeho obrazová přenosová funkce daná její Z-transformací þ þ þPo substituci , kde Tvz je vzorkovací perioda, dostáváme frekvenční přenosovou funkci þ þ({) þ þVzhledem k periodicitě funkce s periodou rovnou úhlové vzorkovací frekvenci ωvz=2p/Tvz je periodická s toutéž periodou i frekvenční přenosová funkce. þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA j(Ω) MA (KIO) SYSTÉMŮ þFázová charakteristika j(Ω) je díky vlastnostem komplexní exponenciály funkce lichá, tj. platí þj(-Ω) = - j(Ω). þObecně je nelineární, z pohledu kvality výstupní posloupnosti systému je však žádoucí, aby její průběh byl lineární, tj. aby platilo þ þ þkde t je konstanta udávající o kolik vzorků je výstup systému zpožděn oproti vstupní posloupnosti. V tom případě systém nezavádí tzv. fázové zkreslení – všechny harmonické složky jsou při zpracování systémem zpožděny přímo úměrně jejich frekvenci. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FÁZOVÉ HRÁTKY originál φ01=φ02=π/2 φ01= π/4; φ02=π/2 φ01=φ02=π levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þJe-li fázová charakteristika lineární, tj. j(Ω) = -tΩTvz, pak vztah ({) lze psát ve tvaru þ þ þProtože eia = cosa + i.sina, pak rovnost komplexních hodnot ve výše uvedeném vztahu můžeme vyjádřit rovností jejich reálných a imaginárních složek þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þZ podílu obou rovnic þ þ þ þpo roznásobení dostaneme þ þ þa dále þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þProtože sin(α-β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ, lze rovnici přepsat do tvaru þ þ þkterá má řešení pouze když h(n)=h(M-1-n), þ þtj. pokud je impulzní charakteristika symetrická. V tom případě můžeme vztah rozepsat þ þ VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þa þ þ þ þ þProtože sinus je lichá funkce, tj. sin(-α) = -sin(α), a je-li splněna podmínka symetrie impulzní odezvy, pak tato rovnice určitě platí. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þV případě konečné impulzní charakteristiky se sudým počtem vzorků není hodnota t celé číslo, osa symetrie prochází mezi (M/2-1)-ním a (M/2)-tým vzorkem. Je-li počet vzorků impulzní odezvy liché číslo, prochází osa symetrie právě [(M-1)/2]-tým vzorkem a þt = (M-1)/2 je celé číslo. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPosuneme-li osu symetrie systému s lichým počtem vzorků impulzní odezvy do počátku časové osy, pak t=0 – průchod systémem formálně nezavádí žádné zpoždění. Nenulové hodnoty impulzní odezvy jsou v tom případě h(n) = {h[-(M-1)/2], h[-(M-3)/2], …,h(-1), h(0), h(1), …, h[(M-3)/2], h[(M-1)/2]}. þTo znamená, že systém není kauzální - pro konvoluční výpočet odezvy potřebuje znát i budoucí vzorky vstupní posloupnosti. Z-transformace (pro nekauzální systémy musí být oboustranná) impulzní odezvy, tj. obrazová přenosová funkce, je þ VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZ-transformace (pro nekauzální systémy musí být oboustranná) impulzní odezvy, tj. obrazová přenosová funkce, je þ VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þy(nTvz)=x(nTvz)+x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) + X(z).z-1 þ Y(z) = X(z)(1+z-1) þ SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ2y(nTvz)=x(nTvz)+x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ 2Y(z) = X(z) + X(z).z-1 þ 2Y(z) = X(z)(1+z-1) þ SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ2y(nTvz)=x(nTvz)-x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ 2Y(z) = X(z) - X(z).z-1 þ 2Y(z) = X(z)(1-z-1) þ DIFERENČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þy(nTvz)=x(nTvz)-x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) - X(z).z-1 þ Y(z) = X(z)(1-z-1) þ DIFERENČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +… þ …+ bmX(z).z-m þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m) þ SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +… þ …+ bmX(z).z-m þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m) þ SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) bi = 1, i=1,..,4; a0 = 4 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ Δx(n) = x(n) – x(n-1) þ Δx(n-1) = x(n-1) – x(n-2) þ y(n) = Δ2x(n) = Δx(n) - Δx(n-1) = þ = x(n) – x(n-1) – [x(n-1) – x(n-2)] = þ = x(n) – 2x(n-1) + x(n-2) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) - 2X(z).z-1 +X(z).z-2 þ Y(z) = X(z)(1 - 2z-1 + z-2) þ þ þ DIFERENČNÍ ČLEN 2.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ y(n) = x(n) – 2x(n-1) + x(n-2) þobrazová přenosová funkce þ þ DIFERENČNÍ ČLEN 2.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) 1. řád 2. řád levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ y(n) = x(n) – 3x(n-1) + 3x(n-2) – x(n-3) þ þ DIFERENČNÍ ČLEN 3.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) 1. řád 3. řád levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þobrazová přenosová funkce þ H(z) = (z-1)(z+1) = z2-1 þ þ z = eiΩTvz þ z = eiΠ/2 = cos(ϖ/2)+ i.sin(ϖ/2) þ z2= eiΠ = cos(ϖ)+ i.sin(ϖ) þ z2-1 = -1 + i.0 -1 = -2 þ |H(eiΠ/2)| = 2 þ DIFERENČNÍ ČLEN 2.ŘÁDU PÁSMOVÁ PROPUST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þobrazová přenosová funkce þ H(z) = (z-1)(z+1) = (z2-1)/2 þ þ þ z2= eiΠ = cos(ϖ)+ i.sin(ϖ) þ (z2-1) = (-1 + i.0 -1)/2 = þ = -1 þ |H(eiΠ/2)| = 1 þ PÁSMOVÁ PROPUST