. 7. Komplexní čísla
7.1. Komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel. Komplexní číslo a = (a1, a2) zpravidla
zapisujeme v tzv. algebraickém tvaru a = a1 + ia2 , kde i je imaginární jednotka, pro kterou platí
i2
= −1 . Číslo a1 se nazývá reálná část komplexního čísla a a značí se Re a , číslo a2 se nazývá
imaginární část komplexního čísla a a značí se Im a . Množinu všech komplexních čísel značíme C .
Z algebraického tvaru komplexního čísla je zřejmé, že reálná čísla jsou speciálním případem čísel komplexních:
reálné číslo a ztotožňujeme s komplexním číslem a + i0 , tj. s komplexním číslem (a, 0) .
Komplexní číslo, jehož imaginární část je různá od nuly, se nazývá imaginární a imaginární číslo tvaru
(0, a) , kde a = 0 , se nazývá ryze imaginární.
7.2. Operace s komplexními čísly. Dvě komplexní čísla jsou si rovna, jsou-li si rovna jako uspořádané
dvojice:
a1 + ia2 = b1 + ib2 ⇐⇒ a1 = b1 ∧ a2 = b2
V množině C jsou definovány tytéž algebraické operace jako v množině R , navíc je pak pro každé
komplexní číslo definováno číslo komplexně sdružené. Pro libovolná komplexní čísla a = a1 + ia2 ,
b = b1 + ib2 jsou tyto operace definovány takto:
• Součet:
a + b = (a1 + ia2) + (b1 + ib2) = (a1 + b1) + i(a2 + b2)
• Rozdíl:
a − b = (a1 + ia2) − (b1 + ib2) = (a1 − b1) + i(a2 − b2)
• Součin:
a · b = (a1 + ia2) · (b1 + ib2) = (a1b1 − a2b2) + i(a1b2 + a2b1)
Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i2
= −1 .
• Podíl (pro b = 0 ):
a
b
=
a1 + ia2
b1 + ib2
=
(a1 + ia2)(b1 − ib2)
b2
1 + b2
2
=
(a1b1 + a2b2) + i(a2b1 − a1b2)
b2
1 + b2
2
• Komplexně sdružené číslo:
a = a1 + ia2 = a1 − ia2
• Absolutní hodnota (modul):
|a| = a2
1 + a2
2 =
√
a · a
Absolutní hodnota komplexního čísla je tedy nezáporné reálné číslo a |a| = 0 právě když a = 0 .
Pro sčítání a násobení komplexních čísel platí stejný komutativní, asociativní a distributivní zákon
jako pro sčítání a násobení reálných čísel. Stejné vlastnosti má i absolutní hodnota. Pro komplexně
sdružené číslo platí vztahy:
a + b = a + b , ab = a · b ,
a
b
=
a
b
65
66 Kapitola 7
Poznámka. Na rozdíl od reálných čísel komplexní čísla nejsou uspořádaná a ani je nelze rozumně
uspořádat, tj. nelze je uspořádat tak, aby se toto uspořádání (vztah nerovnosti) chovalo rozumně
vzhledem ke sčítání a násobení.
7.3. Grafické znázornění komplexních čísel. Gaussova rovina. Z definice komplexního čísla plyne,
že komplexní číslo a = a1 + ia2 můžeme graficky znázornit jako bod [a1, a2] roviny. Tím je dáno vzájemně
jednoznačné zobrazení množiny všech komplexních čísel na množinu všech bodů roviny. Gaussova
rovina je rovina, v níž takto zobrazujeme komplexní čísla. Reálná čísla se přitom zobrazují na vodorovnou
osu a ryze imaginární na svislou. Osa, na niž se zobrazují reálná čísla, se nazývá reálná osa a
osa, na niž se zobrazují ryze imaginární čísla, se nazývá imaginární osa. Je zřejmé, že body přiřazené
číslům a , −a jsou symetrické podle počátku (souřadné soustavy) a body a , a jsou symetrické podle
reálné osy (viz obr. 7.1).
8 9−a1
O O
a2
−a2
a1 Re Re
Im Im
a = [a1, a2]
a = [a1, −a2]−a = [−a1, −a2]
a1
a2
a = a1+ia2
ϕ
|a|
Obr. 7.1 Obr. 7.2
7.4. Goniometrický a exponenciální tvar komplexního čísla. Je-li a ∈ C , a = 0 , pak
a = |a| (cos ϕ + i sin ϕ),
kde ϕ (viz obr. 7.2) je velikost orientovaného úhlu, který svírá průvodič bodu a s polopřímkou kladných
reálných čísel. Uvedené vyjádření čísla a se nazývá goniometrický tvar.
Položíme-li
eiϕ
= cos ϕ + i sin ϕ,
potom a můžeme zapsat ve tvaru
a = |a| eiϕ
Toto vyjádření se nazývá exponenciální tvar čísla a .
7.5. Argument komplexního čísla. Číslo ϕ z 7.4 se nazývá argument komplexního čísla a . Množinu
všech argumentů čísla a označujeme arg a .
Komplexní čísla 67
Platí
ϕ ∈ arg a, ψ ∈ R =⇒ (ψ ∈ arg a ⇐⇒ ψ = ϕ + 2kπ , kde k ∈ Z) ,
tj. argument komplexního čísla je určen jednoznačně až na celistvý násobek 2π . Odtud plyne, že množina
arg a obsahuje jedinou hodnotu ϕ s vlastností ϕ ∈ (−π, π ; toto ϕ nazýváme hlavní hodnotou
argumentu a značíme Arg a . Je pak
arg a = {ψ; ψ = Arg a + 2kπ, k ∈ Z}
Poznámka: V definici hlavní hodnoty argumentu nepanuje všeobecná shoda, a tak místo v intervalu
(−π, π se Arg a někdy bere v intervalu 0, 2π) .
Určení argumentu. Je-li a = a1 + ia2 = |a| (cos ϕ + i sin ϕ), a = 0 , pak
cos ϕ =
a1
|a|
, sin ϕ =
a2
|a|
.
7.6. Násobení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru. Pro násobení a dělení komplexních
čísel v exponenciálním tvaru platí formule
a = |a| eiϕ
, b = |b| eiψ
=⇒



a · b = |a| · |b| · ei(ϕ+ψ)
a
b
=
|a|
|b|
ei(ϕ−ψ)
, b = 0
Z uvedených vzorců je patrný tento geometrický význam násobení komplexních čísel: geometrické
zobrazení, které odpovídá násobení komplexním číslem a , je stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem
|a| složená s otočením o úhel Arg a . Analogickou geometrickou interpretaci má dělení.
7.7. Umocňování a odmocňování komplexních čísel. Ze vzorců pro násobení a dělení komplexních
čísel v exponenciálním tvaru ihned plyne
Moivreova věta. Pro každé ϕ ∈ R a každé n ∈ Z platí:
(cos ϕ + i sin ϕ)n
= cos nϕ + i sin nϕ, tj. (eiϕ
)n
= eiϕn
Obecněji z 7.6 plyne vzorec pro celočíselnou mocninu komplexního čísla:
0 = a = |a| · eiϕ
, n ∈ Z =⇒ an
= |a|n
· eiϕn
Je-li n přirozené číslo, pak n -tá odmocnina n
√
a z komplexního čísla a je komplexní číslo z
definované vztahem
z = n
√
a ⇐⇒ zn
= a
Je-li a = 0 , existuje právě n různých hodnot odmocniny n
√
a a tyto hodnoty jsou dány vzorcem
a = |a| · eiϕ
=⇒ n
√
a = n
|a| · ei(ϕ+2kπ)/n
= n
|a| · cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Zřejmě je n
√
0 = 0 .
Grafické znázornění n -té odmocniny. Ze vzorce pro n -tou odmocninu plyne, že
n
√
a = n
|a| · eiϕ/n
·
n
√
1 ,
68 Kapitola 7
kde
n
√
1 = ei·2kπ/n
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
Čísla n
√
1 tvoří vrcholy pravidelného n -úhelníka vepsaného do kružnice se středem v počátku a poloměrem
1, s jedním vrcholem v bodě [1, 0] . Čísla n
√
a tedy tvoří vrcholy pravidelného n -úhelníka, který
dostaneme z předchozího otočením o úhel
ϕ
n
a stejnolehlostí se středem v počátku s koeficientem n
|a| .
7.8. Řešené příklady
1. V exponenciálním tvaru vyjádřete komplexní čísla:
a) a = 1 + i , b) b = −1 + i
√
3 .
Řešení: Použijeme vzorce z odstavců 7.2, 7.4 a 7.5:
a) |a| =
√
1 + 1 =
√
2 , sin ϕ =
1
√
2
, cos ϕ =
1
√
2
, tedy ϕ =
π
4
=⇒ a =
√
2eiπ/4
.
b) |b| =
√
1 + 3 = 2 , sin ϕ =
√
3
2
, cos ϕ =
−1
2
, tedy ϕ =
2
3
π =⇒ b = 2ei·2π/3
.
2. V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní čísla:
a) a = 2eiπ/4
, b) b = 4 cos
π
6
+ i sin
π
6
.
Řešení: V případě a) nejprve převedeme exponenciální tvar na goniometrický, další postup je v
obou případech stejný a zřejmý:
a) a = 2 cos
π
4
+ i sin
π
4
= 2
√
2
2
+ i
√
2
2
=
√
2 + i
√
2 .
b) a = 4
√
3
2
+ i
1
2
= 2
√
3 + 2i .
3. Určete, za jakých podmínek je součet dvou komplexních čísel a) číslo reálné, b) číslo ryze imaginární.
Řešení: Jsou-li a = a1 +ia2, b = b1 +ib2 dvě komplexní čísla, potom pro jejich součet c = c1 +ic2
podle 7.2 platí c1 + ic2 = (a1 + b1) + i(a2 + b2). Odtud plyne:
a) Číslo c je reálné, právě když a2 + b2 = 0 , tj. b2 = −a2 .
b) Číslo c je ryze imaginární, právě když a1 + b1 = 0 , tj. b1 = −a1 .
4. Nechť a = 1 − 2i, b = 3 + 7i . Vypočtěte a + b , a − b , a · b ,
a
b
.
Řešení: Podle vztahů z odstavce 7.2 je:
a + b = (1 + 3) + i(−2 + 7) = 4 + 5i
a − b = (1 − 3) + i(−2 − 7) = −2 − 9i
a · b = (1 − i2)(3 + i7) = (3 + 14) + i(−6 + 7) = 17 + i
a
b
=
1 − 2i
3 + 7i
=
(1 − 2i)(3 − 7i)
32 − (7i)2
=
3 − 13i + 14i2
58
=
−11
58
−
13
58
i .
Komplexní čísla 69
5. Určete absolutní hodnotu (modul) komplexního čísla a =
3 − 2i
1 + 2i
.
Řešení: Podle vztahu z 7.2 pro dělení komplexních čísel
a =
3 − 2i
1 + 2i
=
(3 − 2i)(1 − 2i)
1 + 4
=
3 − 8i + 4i2
5
= −
1
5
−
8
5
i.
Podle definice absolutní hodnoty komplexního čísla (viz 7.2) je
|a| =
1
25
+
64
25
=
√
65
5
.
6. V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:
a) z =
1
1 + i
+
1
−1 + i
,
b) z =
a + ib
(a + b) + (b − a)i
, ab = 0, a, b ∈ R.
Řešení: V obou případech nejprve číslo z vyjádříme v algebraickém tvaru a potom použijeme
vztahy z 7.2 a 7.5:
a)
z =
1
1 + i
+
1
−1 + i
=
−1 + i + 1 + i
−2
=
2i
−2
= −i
| − i| =
√
0 + 1 = 1, ϕ =
3
2
π,
tedy
z = 1 · ei·3π/2
= cos
3
2
π + i sin
3
2
π.
b)
z =
a + ib
(a + b) + (b − a)i
=
(a + ib) · [(a + b) + (a − b)i]
(a + b)2 + (b − a)2
=
a2
+ ab + b2
− ab + i(ab + b2
+ a2
− ab)
2(a2 + b2)
=
1
2
+
1
2
i
1
2
+
1
2
i =
1
4
+
1
4
=
1
2
=
√
2
2
, ϕ =
π
4
,
tedy
z =
√
2
2
eiπ/4
=
√
2
2
cos
π
4
+ i sin
π
4
.
7. Vynásobte komplexní čísla
a =
1
√
2
cos
π
4
+ i sin
π
4
, b = 2
√
2 cos
π
2
− i sin
π
2
.
Výsledek napište v algebraickém tvaru.
70 Kapitola 7
Řešení: Obě čísla převedeme do exponenciálního tvaru, pak je s použitím vzorce pro součin z 7.6
vynásobíme a výsledek postupně převedeme do goniometrického a algebraického tvaru:
a =
1
√
2
eiπ/4
, b = 2
√
2 cos −
π
2
+ i sin −
π
2
= 2
√
2e−iπ/2
,
a · b =
1
√
2
2
√
2eiπ/4
e−iπ/2
= 2ei(π/4−π/2)
= 2e−iπ/4
,
a · b = 2e−iπ/4
= 2 cos −
π
4
+ i sin −
π
4
= 2
√
2
2
− i
√
2
2
=
√
2 − i
√
2 .
8. Vyjádřete v algebraickém tvaru podíl
a
b
komplexních čísel
a = 4 cos
π
4
− i sin
π
4
, b = 2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
Řešení: Postupujeme stejně jako v předcházejícím příkladu, tj. vyjádříme daná čísla v exponenciálním
tvaru, potom použijeme vzorec pro podíl z 7.6 a výsledek upravíme do goniometrického a
algebraického tvaru:
a = 4e−iπ/4
, b = 2ei·3π/4
,
a
b
=
4e−iπ/4
2ei·3π/4
= 2ei(−π/4−3π/4)
= 2e−iπ
= 2(cos(−π) + i sin(−π)) = 2(−1 + i.0) = −2 .
9. Vypočtěte i35
, i5
, i42
, i36
.
Řešení: Při výpočtu využijeme operace násobení komplexních čísel a skutečnosti, že i2
= −1 ,
i4
= 1 :
i35
= i32
· i3
= 1 · i3
= i2
· i = −i , i42
= i40
· i2
= 1 · (−1) = −1,
i5
= i4
· i = 1 · i = i , i36
= 1 .
10. Vypočtěte (2 − i)4
.
Řešení: Komplexní číslo je v algebraickém tvaru, jeho mocninu vypočteme pomocí binomické věty
z odst. 5.11:
(2 − i)4
=
4
=0
4
24−
(−i) = 24
−
4
1
23
i +
4
2
22
i2
−
4
3
2i3
+ i4
=
= 16 − 4 · 8i + 6 · 4(−1) − 4 · 2(−i) + 1 = −7 − 24i .
11. Vypočtěte z6
, je-li z = 2 cos
π
4
− i sin
π
4
.
Řešení: Přejdeme k exponenciálnímu tvaru z = 2e−iπ/4
a použijeme Moivreovu větu:
z6
= 2e−iπ/4
6
= 26
e−i·6π/4
= 64e−i·3π/2
= 64 cos −
3
2
π + i sin −
3
2
π = 64i .
12. Vypočtěte (1 − i)8
.
Řešení: Číslo 1−i převedeme na exponenciální tvar podle 7.4 a 7.5 a potom použijeme Moivreovu
větu:
|1 − i| =
√
1 + 1 =
√
2,
cos ϕ =
1
√
2
, sin ϕ =
−1
√
2
=⇒ ϕ = −
1
4
π , 1 − i =
√
2e−iπ/4
,
(1 − i)8
=
√
2e−iπ/4
8
= (
√
2)8
e−i·8π/4
= 16e−2πi
= 16 .
Komplexní čísla 71
13. Určete 3
√
z , je-li: a) z = 27ei·2π/3
, b) z = 1 − i
√
3 .
Řešení: a) Výpočet provedeme postupem popsaným v odst. 7.7:
3
√
z =
3
√
27ei(2π/3+2kπ/3)
= 3ei(2π/9+2kπ/3)
, k = 0, 1, 2.
Tedy:
3
√
z = 3ei·2π/9
pro k = 0,
3
√
z = 3ei·8π/9
pro k = 1,
3
√
z = 3ei·14π/9
pro k = 2.
b) Dané komplexní číslo nejprve převedeme na exponenciální tvar, viz odst. 7.4 a 7.5, a potom opět
použijeme postup popsaný v odst. 7.7:
z = 1 − i
√
3 = 2e−iπ/3
, 3
√
z =
3
√
2ei(−π/9+2kπ/3)
, k = 0, 1, 2.
Tedy:
3
√
z =
3
√
2e−iπ/9
pro k = 0,
3
√
z =
3
√
2ei·5π/9
pro k = 1,
3
√
z =
3
√
2ei·11π/9
pro k = 2.
14. Vypočtěte 4
√
1 .
Řešení:
4
√
1 =
4√
ei·0 = ei·kπ/2
, k = 0, 1, 2, 3.
Tedy:
4
√
1 =



ei·0·π
= 1 pro k = 0,
eiπ/2
= cos
π
2
+ i sin
π
2
= i pro k = 1,
eiπ
= cos π + i sin π = −1 pro k = 2,
ei·3π/2
= cos
3
2
π + i sin
3
2
π = −i pro k = 3.
Body komplexní roviny odpovídající těmto čtyřem hodnotám jsou podle 7.7 vrcholy čtverce vepsaného
do kružnice se středem v počátku a poloměrem 1, přičemž jedním vrcholem je bod [1, 0] .
15. Určete
√
−8 − 6i bez převodu na exponenciální (goniometrický) tvar.
Řešení: Odmocninu hledáme ve tvaru x + iy , tj. řešíme rovnici
√
−8 − 6i = x + iy . Umocněním
této rovnice a porovnáním reálných a imaginárních částí levé a pravé strany takto získané rovnice
dostaneme soustavu rovnic
x2
− y2
= −8 , 2xy = −6 .
Za předpokladu x = 0 vyjádříme z druhé rovnice y = −
3
x
, dosadíme do první rovnice a dostaneme
bikvadratickou rovnici
x4
+ 8x2
− 9 = 0.
Protože rovnice w2
+ 8w − 9 = 0 má kořeny w1 = 1 , w2 = −9 , reálnými kořeny této rovnice
jsou čísla x1 = 1 , x2 = −1 . Těmto hodnotám odpovídají hodnoty y1 = −3 , y2 = 3 . Rovnici√
−8 − 6i = x + iy tedy vyhovují komplexní čísla z1 = 1 − 3i , z2 = −1 + 3i.
72 Kapitola 7
16. Řešte binomickou rovnici z6
= −64 . Kořeny vyjádřete v algebraickém tvaru a graficky znázorněte
v Gaussově rovině.
:O
√
3−
√
3−2 2 Re
Im
2
1
−1
−2
z1
z2
z3
z4
z5
z6
Obr. 7.3
Řešení: Postupujeme stejně jako v příkladech 13 a 14:
z6
= −64 ⇐⇒ z = 6
√
−64 =
6√
64eiπ = 2ei(π/6+kπ/3)
, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Dostáváme tedy šest různých hodnot:
k = 0 : z1 = 2eiπ/6
= 2 cos
π
6
+ i sin
π
6
=
√
3 + i,
k = 1 : z2 = 2eiπ/2
= 2 cos
π
2
+ i sin
π
2
= 2i,
k = 2 : z3 = 2ei·5π/6
= 2 cos
5
6
π + i sin
5
6
π = −
√
3 + i,
k = 3 : z4 = 2ei·7π/6
= 2 cos
7
6
π + i sin
7
6
π = −
√
3 − i,
k = 4 : z5 = 2ei·3π/2
= 2 cos
3
2
π + i sin
3
2
π = −2i,
k = 5 : z6 = 2ei·11π/6
= 2 cos
11
6
+ i sin
11
6
π =
√
3 − i .
Kořeny z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 rovnice z6
= −64 (přesněji řečeno, jejich obrazy v Gaussově
rovině) tvoří vrcholy pravidelného šestiúhelníka vepsaného do kružnice se středem v počátku a
poloměrem 2, jehož jeden vrchol je bod [
√
3, 1] (viz obr. 7.3).
7.9. Neřešené příklady
1. Určete exponenciální tvar komplexního čísla:
a) −5; b) −2i; c) −
1
2
−
√
3
2
i. 5eiπ
; 2e−iπ/2
; ei·4π/3
Komplexní čísla 73
2. Určete algebraický tvar komplexního čísla:
a) 5
2 ei·3π/2
; b) eiπ/3
; c) 4eiπ
. −
5
2
i;
1
2
+ i
√
3
2
; −4
3. Vypočtěte: i35
; i5
; i2
; i42
; i36
. [−i; i; −1; −1; 1]
4. Vypočtěte:
a) (1 + i)(2 + i) + (1 + i)(1 + 2i); b)
1 + i
1 + 2i
. 6i;
3
5
−
1
5
i
5. Vypočtěte součin čísel z1 = 2eiπ/6
a z2 = 3ei·3π/4
. 6 · ei·11π/12
6. Vypočtěte podíl
z1
z2
, je-li z1 = 4eiπ
, z2 = 2eiπ/6
. 2ei·5π/6
7. Pomocí binomické věty vypočtěte: (
√
2 + i
√
3)5
. [−11
√
2 − 31
√
3i]
8. Pomocí Moivreovy věty vypočtěte: (1 + i)4
. [−4]
9. Vypočtěte:
a) 3
√
−1 − i; 6
√
2ei(5π/12+2kπ/3)
, k = 0 , 1, 2, 3, 4, 5
b) 6
√
−1.
√
3
2
±
i
2
, ±i , −
√
3
2
±
i
2
10. Řešte binomickou rovnici:
a) z4
= 16; zk = 2ei·kπ/2
, k = 0 , 1, 2, 3
b) z6
= 1 − i. zk = 12
√
2ei(−π/24+kπ/3)
, k = 0 , 1, 2, 3, 4, 5