Vícerozměrné statistické metody Ordinační analýzy – principy redukce dimenzionality Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Vícerozměrné statistické metody Ordinační analýza a její cíle logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Cíle ordinační analýzy dat •Každý objekt reálného světa můžeme popsat jeho pozicí v mnohorozměrném prostoru, v extrémním případě jde až o desetitisíce dimenzí •Více než 3D prostor je pro nás vizuálně neuchopitelný a hledání vztahů ve více než 3 dimenzích je problematické •Ordinační analýza se tento problém snaží řešit redukcí dimenzionality dat „sloučením“ korelovaných proměnných do menšího počtu „faktorových“ proměnných 3 Zjednodušení Interpretace logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Příklad vícerozměrného popisu objektů a jejich korelací 4 Dimenze 1 Dimenze 2 Dimenze 3 Dimenze 4 ID objektu SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SETOSA 5.0 3.3 1.4 0.2 VIRGINIC 6.4 2.8 5.6 2.2 VERSICOL 6.5 2.8 4.6 1.5 VIRGINIC 6.7 3.1 5.6 2.4 VIRGINIC 6.3 2.8 5.1 1.5 SETOSA 4.6 3.4 1.4 0.3 VIRGINIC 6.9 3.1 5.1 2.3 VERSICOL 6.2 2.2 4.5 1.5 VERSICOL 5.9 3.2 4.8 1.8 SETOSA 4.6 3.6 1.0 0.2 … … … … logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Ordinační analýza dat = pohled ze správného úhlu •Vícerozměrná analýza nám pomáhá nalézt v x-dimenzionálním prostoru nejvhodnější pohled na data poskytující maximum informací o analyzovaných objektech 5 Všechny obrázky ukazují stejný objekt z různých úhlů v 3D prostoru. logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Obecný princip redukce dimenzionality dat •V převážné většině případů existují mezi dimenzemi korelační vztahy, tedy dimenze se navzájem vysvětlují a pro popis kompletní informace v datech není třeba všech dimenzí vstupního souboru •Všechny tzv. ordinační metody využívají principu identifikace korelovaných dimenzí a jejich sloučení do souhrnných nových dimenzí zastupujících několik dimenzí vstupního souboru •Pokud mezi dimenzemi vstupního souboru neexistují korelace, nemá smysl hledat zjednodušení vícerozměrné struktury takovéhoto souboru !!! • 6 Jednoznačný vztah dimenzí x a y umožňuje jejich nahrazení jedinou novou dimenzí z x y z x y ? ? ? ? ? ? ? ? V případě neexistence vztahu mezi x a y nemá smysl definovat nové dimenze – nepřináší žádnou novou informaci oproti x a y logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Korelace jako princip výpočtu vícerozměrných analýz •Kovariance a Pearsonova korelace je základem analýzy hlavních komponent, faktorové analýzy jakož i dalších vícerozměrných analýz pracujících s lineární závislostí proměnných •Předpokladem výpočtu kovariance a Pearsonovy korelace je: –Normalita dat v obou dimenzích –Linearita vztahu proměnných •Pro vícerozměrné analýzy je nejzávažnějším problémem přítomnost odlehlých hodnot 7 x y x y x y Lineární vztah – bezproblémové použití Personovy korelace Korelace je dána dvěma skupinami hodnot – vede k identifikaci skupin objektů v datech Korelace je dána odlehlou hodnotu – analýza popisuje pouze vliv odlehlé hodnoty logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Typy ordinační analýzy •Ordinačních analýz existuje celá řada, některé jsou spjaty s konkrétními metrikami vzdáleností/podobností •V přehledu jsou uvedeny pouze základní typy analýz, nikoliv jejich různé kombinace hodnotící vztahy dvou a více sad proměnných (CCA, kanonická korelace, RDA, co-coordinate analysis, co-inertia analysis, diskriminační analýza apod.) 8 Typ analýzy Vstupní data Metrika Analýza hlavních komponent (PCA) NxP matice Korelace, kovariance, Euklidovská Faktorová analýza (FA) NxP matice Korelace, kovariance, Euklidovská Korespondenční analýza (CA) NxP matice Chi-square vzdálenost Analýza hlavních koordinát (PCoA) Asoc. matice libovolná Nemetrické mnohorozměrné škálování (MDS) Asoc. matice libovolná Vícerozměrné statistické metody Analýza hlavních komponent jako příklad výpočtu redukce dimenzionality pomocí ordinační analýzy logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Analýza hlavních komponent •Analýza hlavních komponent je typickou metodou ze skupiny ordinačních analýz •Pracuje s asociací proměnných popisujících objekty a snaží se na základě jejich korelací/kovariancí stanovit dimenze zahrnující větší podíl variability než připadá na původní proměnné •Předpoklady jsou obdobné jako při výpočtu korelací a kovariancí: –nepřítomnost odlehlých hodnot (s výjimkou situace kdy analýzu provádíme za účelem identifikace odlehlých hodnot) –nepřítomnost více skupin objektů (s výjimkou situace kdy analýzu provádíme za účelem detekce přirozeně existujících shluků spjatých s největší variabilitou souboru) •Datový soubor musí mít více objektů než proměnných, pro získání stabilních výsledků se doporučuje alespoň 10x tolik objektů než proměnných, ideální je 40-60x více objektů než proměnných • •Cíle analýzy –Popis a vizualizace vztahů mezi proměnnými –Výběr neredundantních proměnných pro další analýzy –Vytvoření zástupných faktorových os pro použití v dalších analýzách –Identifikace shluků v datech spjatých s variabilitou dat –Identifikace vícerozměrně odlehlých objektů – 10 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Výpočet faktorových os •Výpočetně vychází analýza hlavních komponent z korelační/kovarianční asociační matice (a obdobně i další ordinační analýzy, pouze pomocí jiných asociačních metrik) •Vlastní výpočet je pak realizován prostřednictvím výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů této matice • •Vlastní vektory a vlastní čísla –Existují pro čtvercové matice –Vyžadují aby hodnost matice odpovídala jejímu řádu, tedy pouze pro matice v nichž neexistuje lineární závislost. Tento fakt komplikuje (nebo znemožňuje) výpočet při přítomnosti zcela redundantních (lineárně závislých) proměnných –Vlastní čísla matice jsou ve vazbě na variabilitu vyčerpanou vytvářenými faktorovými osami –Vlastní vektory definují směr nových faktorových os v prostoru původních proměnných –Existuje několik možných vyjádření vlastních čísel a vlastních vektorů, proto je před interpretací výstupů nezbytné vědět znát algoritmus použitý v SW 11 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Vlastní čísla a vlastní vektory 12 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Příklad výpočtu 13 Primární data SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 1.000 -0.118 0.872 0.818 SEPALWID -0.118 1.000 -0.428 -0.366 PETALLEN 0.872 -0.428 1.000 0.963 PETALWID 0.818 -0.366 0.963 1.000 Korelační matice Kovarianční matice SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 0.686 -0.042 1.274 0.516 SEPALWID -0.042 0.190 -0.330 -0.122 PETALLEN 1.274 -0.330 3.116 1.296 PETALWID 0.516 -0.122 1.296 0.581 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Kovarianční nebo korelační matice? •Jednoznačně v případě nesrovnatelných jednotek (např. věk vs. krevní tlak) •Korelace je vlastně kovariance standardizovaná na variabilitu dat, tedy kovariance na standardizovaných datech = korelace •Diagonála obsahuje hodnotu 1 –Úplná korelace proměnné sama se sebou –Standardizovaný rozptyl •Ostatní buňky obsahují vzájemné korelace proměnných 14 SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 1.000 -0.118 0.872 0.818 SEPALWID -0.118 1.000 -0.428 -0.366 PETALLEN 0.872 -0.428 1.000 0.963 PETALWID 0.818 -0.366 0.963 1.000 Korelační matice Kovarianční matice SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 0.686 -0.042 1.274 0.516 SEPALWID -0.042 0.190 -0.330 -0.122 PETALLEN 1.274 -0.330 3.116 1.296 PETALWID 0.516 -0.122 1.296 0.581 •Lze použít v případě proměnných o stejných jednotkách a podobném významu (např. rozměry objektu) •Má smysl v případě, že chceme zohlednit absolutní hodnoty a rozsah proměnných •Diagonála obsahuje hodnotu rozptylu proměnných •Ostatní buňky obsahují kovarianci (= sdílený rozptyl) proměnných logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Výstupy PCA •Vlastní čísla (eigenvalues) •Vlastní vektory (eigenvectors) •Communalities •Souřadnice objektů •Scree plot •Biplot 15 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Vlastní čísla (Eigenvalues) 16 SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 1.000 -0.118 0.872 0.818 SEPALWID -0.118 1.000 -0.428 -0.366 PETALLEN 0.872 -0.428 1.000 0.963 PETALWID 0.818 -0.366 0.963 1.000 Korelační matice Kovarianční matice SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 0.686 -0.042 1.274 0.516 SEPALWID -0.042 0.190 -0.330 -0.122 PETALLEN 1.274 -0.330 3.116 1.296 PETALWID 0.516 -0.122 1.296 0.581 Eigenvalue % Rozptylu Kumulativní eigenvalue Kumulativní % rozptylu 1 2.918 73.0 2.918 73.0 2 0.914 22.9 3.833 95.8 3 0.147 3.7 3.979 99.5 4 0.021 0.5 4.000 100.0 Eigenvalue % Rozptylu Kumulativní eigenvalue Kumulativní % rozptylu 1 4.228 92.5 4.228 92.5 2 0.243 5.3 4.471 97.8 3 0.078 1.7 4.549 99.5 4 0.024 0.5 4.573 100.0 •Spjaty s vytvářenými faktorovými osami •Suma eigenvalues = počet proměnných (suma standardizovaných rozptylů) •Hodnota eigenvalue je ve vztahu k variabilitě vztahu proměnných vyčerpané příslušnou faktorovou osou •Hodnota eigenvalue = kolikrát více vyčerpává faktorová osa variability než by na ni připadalo rovnoměrným rozdělením (eigenvalue=1) • •Spjaty s vytvářenými faktorovými osami •Suma eigenvalues = suma rozptylu •Velikost eigenvalue je ve vztahu k variabilitě vyčerpané příslušnou faktorovou osou •Hodnota eigenvalue/průměrné eigenvalue = kolikrát více vyčerpává faktorová osa variability než by na ni připadalo rovnoměrným rozdělením • logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Interpretace vyčerpané variability faktorovými osami •Variabilita vyčerpaná faktorovými osami je vztažena pouze k použitým proměnným •Nevypovídá nic o proměnných nezahrnutých do analýzy !!!! •Orientačně odpovídá počtu (nebo rozptylu) proměnných navázaných na příslušnou osu •Souvisí i s počtem proměnných v analýze, čím více proměnných, tím spíše bude variabilita vyčerpaná první osou nižší (platí samozřejmě pouze v případě, že nejsou přidávány silně redundantní proměnné) •V případě silně redundantních proměnných tyto redundantní proměnné zvyšují variabilitu vyčerpanou na příslušné faktorové ose, s níž jsou spjaty 17 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Vyčerpaná variabilita a redundance proměnných •Slabé korelace mezi proměnnými •Vyčerpaná variabilita na první ose jen mírně převyšuje 1/4 18 V1 V2 V3 V4 V1 1.00 0.19 0.10 0.05 V2 0.19 1.00 0.13 0.11 V3 0.10 0.13 1.00 0.05 V4 0.05 0.11 0.05 1.00 V1 V2 V3 V4 V1 1.00 0.52 0.71 0.14 V2 0.52 1.00 0.30 0.72 V3 0.71 0.30 1.00 0.20 V4 0.14 0.72 0.20 1.00 •Silné korelace mezi proměnnými •Vyčerpaná variabilita na první ose představuje více než polovinu celkové variability V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1 1.00 0.19 0.12 0.12 0.90 0.89 0.89 V2 0.19 1.00 0.12 0.09 -0.01 -0.01 -0.03 V3 0.12 0.12 1.00 0.12 0.02 0.02 0.02 V4 0.12 0.09 0.12 1.00 0.02 -0.01 0.03 V5 0.90 -0.01 0.02 0.02 1.00 0.90 0.90 V6 0.89 -0.01 0.02 -0.01 0.90 1.00 0.90 V7 0.89 -0.03 0.02 0.03 0.90 0.90 1.00 Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 •K příkladu 1 přidány proměnné redundantní k V1 •Výsledek PCA se kompletně mění, první osa vyčerpává přes polovinu variability díky redundantním proměnným logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Vlastní vektory 19 SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 1.000 -0.118 0.872 0.818 SEPALWID -0.118 1.000 -0.428 -0.366 PETALLEN 0.872 -0.428 1.000 0.963 PETALWID 0.818 -0.366 0.963 1.000 Korelační matice Kovarianční matice SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SEPALLEN 0.686 -0.042 1.274 0.516 SEPALWID -0.042 0.190 -0.330 -0.122 PETALLEN 1.274 -0.330 3.116 1.296 PETALWID 0.516 -0.122 1.296 0.581 Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 4 SEPALLEN -0.521 0.377 0.720 -0.261 SEPALWID 0.269 0.923 -0.244 0.124 PETALLEN -0.580 0.024 -0.142 0.801 PETALWID -0.565 0.067 -0.634 -0.524 Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 4 SEPALLEN -0.361 0.657 0.582 -0.315 SEPALWID 0.085 0.730 -0.598 0.320 PETALLEN -0.857 -0.173 -0.076 0.480 PETALWID -0.358 -0.075 -0.546 -0.754 •Vlastní vektory popisují směr kterým v prostoru původních proměnných směřují faktorové osy •Eigenvektory mohou být různým způsobem standardizovány a vizualizovány; interpretace výstupů (tzv. biplotů) se liší podle použité standardizace Standardizace na délku 1 Standardizace na délku druhé odmocniny eigenvalue (směrodatná odchylka) Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 4 SEPALLEN -0.890 0.361 0.276 -0.038 SEPALWID 0.460 0.883 -0.094 0.018 PETALLEN -0.992 0.023 -0.054 0.115 PETALWID -0.965 0.064 -0.243 -0.075 Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 4 SEPALLEN -0.743 0.323 0.163 -0.049 SEPALWID 0.174 0.360 -0.167 0.049 PETALLEN -1.762 -0.085 -0.021 0.074 PETALWID -0.737 -0.037 -0.153 -0.116 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Vlastnosti vlastních vektorů •Vlastní vektory jsou navzájem ortogonální (nezávislé, svírající úhel 90°) •Z hlediska interpretace definují nezávislé proměnné, tedy nesoucí zcela unikátní informaci o objektech •Definují směr nových faktorových os v prostoru původních proměnných a umožňují počítat pozici objektů na nových faktorových osách • •Geometrie součinu vektorů - Součin vektorů lze spočítat jako součin jejich délek násobený cosinem úhlu, který svírají. Pokud 2 vektory svírají pravý úhel je jejich součin 0 a nazývají se orthogonální vektory. Matice, jejíž sloupcové vektory navzájem svírají pravý úhel se nazývá orthogonální matice. • • 20 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Biplot 21 Variabilita vyčerpaná faktorovými osami Pozice proměnných Jednotková kružnice - Hranice příspěvku k definici faktorové osy •Biplot – současná vizualizace pozice proměnných a objektů •Několik typů biplotů s různou interpretací •Pro zjednodušení interpretace je možné hodnoty na osách násobit konstantou Pozice objektů Variabilita vyčerpaná faktorovými osami logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Standardizace eigenvektorů a její interpretace I •Standardizace délky eigenvektorů na jednotkovou délku –Při vizualizaci vede na tzv. Biplot vzdáleností (distance biplot) –Pozice objektů na faktorových osách mají rozptyl=příslušné eigenvalue –Interpretace biplotu •Umožňuje interpretovat euklidovské vzdálenosti objektů v prostoru PCA (jsou aproximací euklidovských vzdáleností v původním prostoru) •Projekce objektu v pravém uhlu na původní proměnnou aproximuje pozici objektu na této původní proměnné •Délka projekce jednotlivých původních proměnných v prostoru faktorových os popisuje jejich příspěvek k definici daného faktorového prostoru •Úhly mezi původními proměnnými ve faktorovém prostoru nemají žádnou intepretaci – – – 22 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Standardizace eigenvektorů a její interpretace II •Standardizace délky eigenvektorů na druhou odmocninu z eigenvalue –Při vizualizaci vede na tzv. Biplot korelací (correlation biplot) –Pozice objektů na faktorových osách mají jednotkový rozptyl –Interpretace biplotu •euklidovské vzdálenosti objektů v prostoru PCA nejsou aproximací euklidovských vzdáleností v původním prostoru •Projekce objektu v pravém uhlu na původní proměnnou aproximuje pozici objektu na této původní proměnné •Délka projekce jednotlivých původních proměnných v prostoru faktorových os popisuje jejich směrodatnou odchylku •Úhly mezi původními proměnnými ve faktorovém prostoru souvisí s jejich korelací •Není vhodný pokud má smysl interpretovat vzdálenosti (vzájemné vztahy) mezi objekty • – – – 23 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Zachování vzdáleností objektů v původním prostoru vzhledem k různým typům biplotu •Pouze distance biplot zachovává vzdálenostní vztahy mezi objekty, v případě korelačního biplotu není možná interpretace těchto vzdáleností 24 OK OK !!! !!! logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Standardizace eigenvektorů a její vliv na projekci původních proměnných: shrnutí 25 Kovarianční matice Korelační matice Původní proměnná (centrovaná) Standardizace eigenvektoru 1 1 Celková délka 1 1 1 Úhly proměnných v redukovaném prostoru Projekce kovariancí (korelací) 90° rotace systému os Projekce korelací 90° rotace systému os Hranice příspěvku k definici faktorové osy Projekce na faktorovou osu k Kovariance s k Proporcionální kovarianci s k Korelace s k Proporcionální korelaci s k Korelace s faktorovou osou k Eigenvalue faktorové osy k Směrodatná odchylka původní proměnné j d Počet původních proměnných p Počet faktorových os Hodnota eigenvektoru faktorové osy k pro původní proměnnou j logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Communalities •Jde o podíl variability sdílené s jinými proměnnými, zde s postupně se zvyšujícím počtem faktorových os 26 From 1 From 2 From 3 From 4 SEPALLEN 0.792 0.923 0.999 1.000 SEPALWID 0.212 0.991 1.000 1.000 PETALLEN 0.983 0.984 0.987 1.000 PETALWID 0.931 0.935 0.994 1.000 Cosinus2 •Souvisí s geometrickým významem cosinu při násobení vektorů, kdy cos=0 znamená ortogonální vztah vektorů •V PCA se používá jako filtr pro zobrazení objektů v biplotu, kdy objekty s cos2 ~ 0 jsou umístěny kolmo k rovině definované vybranými faktorovými osami a tedy nejsou v tomto pohledu interpretovatelné a=90° cos2=0 a<90° cos2>0 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Identifikace optimálního počtu faktorových os pro další analýzu •Jedním z cílů ordinační analýzy je výběr menšího počtu dimenzí pro další analýzu •Řada pravidel pro výběr optimálního počtu dimenzí, optimální je samozřejmě skončit s výběrem dvou, maximálně tří dimenzí (s výjimkou speciálních aplikací typu analýzy obrazů MRI, kde je úspěchem redukce z milionu dimenzi na desítky) • •Kaiser Guttmanovo kritérium: –Pro další analýzu jsou vybrány osy s vlastním číslem >1 (korelace) nebo větším než je průměrné eigenvalue (kovariance) –Logika je vybírat osy, které přispívají k vysvětlení variability dat více než připadá rovnoměrným rozdělením variability – •Scree plot –Grafický nástroj hledající zlom ve vztahu počtu os a vyčerpané variability – •Sheppard diagram –Grafická analýza vztahu mezi vzdálenostmi objektů v původním prostoru a redukovaném prostoru o daném počtu dimenzí 27 logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Scree plot 28 Zlom ve vztahu mezi počtem eigenvalue a jimy vyčepanou variabilitou – pro další analýzu použity první dvě faktorové osy logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Sheppard diagram •Vztahuje vzdálenosti v prostoru původních proměnných ke vzdálenostem v prostoru vytvořeném PCA •Je třeba brát ohled na typ PCA (korelace vs. kovariance) •Obecná metoda určení optimálního počtu dimenzí v ordinační analýze (třeba respektovat použitou asociační metriku) 29 Za optimální z hlediska zachování vzdáleností objektů lze považovat dvě nebo tři dimenze Při použití všech dimenzí jsou vzdálenosti perfektně zachovány logo-IBA logomuni Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Shrnutí •Analýza hlavních komponent je základním nástrojem pro analýzu variability spojitých proměnných a jejich vztahů •Kromě spojitých proměnných mohou být vstupem i binární proměnné (popřípadě kategoriální data ve formě tzv. dummies), ale je třeba mít na paměti jednak omezení vyplývající z double zero problému, jednak omezení týkající se poměru počtu proměnných a objektů • •Při výpočtu je nezbytné mít na paměti omezení výpočtu vyplývající z předpokladů analýzy korelací a kovariancí •Analýza hlavních komponent může být počítána za různým účelem, tomu je třeba přizpůsobit výběr použitého algoritmu a výběr výstupů pro další interpretaci •Při interpretaci výstupů analýzy hlavních komponent je třeba zvažovat –Použitý algoritmus a jeho implementace v použitém SW –Typ výstupu PCA a omezení jeho interpretace (standardizace eigenvektorů, typy biplotů apod.) –Praktická interpretace výstupů a vliv artefaktů dat (redundantní proměnné, několik metod měření jednoho parametru apod.) 30