POKYN PRO VYJADŘOVÁNÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ (GUM) Sborníky technické harmonizace 2012 sborníky technické harmonizace 2012 Vážení čtenáři, Úřad pro technickou normalizaci, metrologii a státní zkušebnictví vydává elektronické publikace v edici nazvané „Sborníky technické harmonizace ÚNMZ“. Cílem této edice je přiblížit technické veřejnosti principy a procedury technické legislativy zaváděné v souladu s harmonizačními procesy v Evropské unii (EU) i v České republice. Účelem evropských (technických) předpisů je zajistit, aby výrobky, na které se vztahuje volný pohyb zboží v rámci EU, splňovaly požadavky na vysokou úroveň ochrany obecných zájmů. Těmi se rozumí zdraví, bezpečnost a ochrana životního prostředí. Oblast technické harmonizace obsahuje velmi mnoho právních předpisů. Touto edicí se ÚNMZ snaží napomáhat pochopení právní úpravy v oblastech své působnosti a jejímu správnému uplatňování. Vedle umístění jednotlivých „Sborníků“ na webových stránkách Úřadu (http://www. unmz.cz/urad/sborniky-technicke-harmonizace), jsou vybrané tituly vydány v omezeném počtu i ve formě CD-ROM. Ty lze vyžádat na e-mailové adrese hruskova@unmz.cz nebo na tel.: 224 907 172. Věřím, že naleznete v těchto publikacích užitečný zdroj informací a pomocníka ve Vaší práci. Vaše podněty vedoucí k dalšímu zkvalitnění této činnosti ÚNMZ s povděkem uvítáme. Ing. Milan Holeček předseda ÚNMZ Praha, 2012 sborníky technické harmonizace 2012 1 POKYN PRO VYJADŘOVÁNÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ (GUM) Přeloženo z anglického originálu: JCGM 100:2008 Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement Vydaného v roce 2008: JCGM/WG1 (BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP a OIML) Bureau Indernational des Poids et Mesures (BIPM) Pavillon de Breteuil 92312 Sèvres Cedex FRANCE Tel : +33 1 45 07 70 70 Fax : +33 1 45 34 20 21 Web: www.bipm.org Přeložili: Prof. Ing. Miloslav Suchánek, CSc. (EURACHEM-ČR) Ing. Jaroslav Skopal, CSc. (ÚNMZ) Upravily: Ing. Klára Vidimová, Ph.D. (ÚNMZ) Ing. Jarmila Millerová Vydal Úřad pro technickou normalizaci, metrologii a státní zkušebnictví na základě povolení obdrženého od BIPM. BIPM si ponechává plná mezinárodně chráněná autorské práva. BIPM nepřebírá žádnou odpovědnost za platnost, přesnost, úplnost nebo kvalitu informací a materiálů nabízených v jakémkoli překladu. Jediná oficiální verze je originální verze dokumentu publikovaného BIPM (tzn. francouzská a anglická verze JCGM). Originál dokumentu ve francouzském a anglickém jazyce je umístěn na výše uvedené webové stránce BIPM. V případě sporů je rozhodující text původní anglické a francouzské verze tohoto dokumentu. NEPRODEJNÉ – publikace je k dispozici k volnému šíření, stažení ze stránek ÚNMZ, nesmí však být využita ke komerčním účelům a šířena může být výhradně bezplatně. © Úřad pro technickou normalizaci, metrologii a státní zkušebnictví Gorazdova 24, 128 01 Praha 2, Praha 2012. Nakladatelský servis: Bořivoj Kleník, PhDr. – Q-art, Praha. sborníky technické harmonizace 2012 2 OBSAH SBORNÍKU 1. Úvod  3 2. Pokyn pro vyjadřování nejistoty měření  3 3. Seznam zkratek  237 4. Literatura a odkazy na webové stránky  238 sborníky technické harmonizace 2012 3 1. ÚVOD Cílem tohoto sborníku je poskytnout široké odborné veřejnosti překlad Pokynu pro vyjadřování nejistoty měření (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, dále jen GUM), který byl vydán společně BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP a OIML, a který je základním dokumentem zabývajícím se problematikou nejistot měření. Historie vývoje tohoto dokumentu začíná v roce 1977, kdy na základě poznání, že neexistuje jednotný mezinárodně uznávaný přístup k provádění odhadů, stanovování a uvádění nejistot měření, přidělil Mezinárodní výbor pro váhy a míry (Comité International des Poids et Mesures, dále jen CIPM) Mezinárodnímu úřadu pro váhy a míry (Bureau International des Poids et Mesures, dále jen BIPM) zakázku na vyřešení tohoto problému. BIPM, společně s národními metrologickými instituty a  ostatními zainteresovanými organizacemi, vypracoval doporučení INC-1 (1980), „Vyjadřování experimentálních nejistot“, které bylo CIPM schváleno v roce 1986. Úkolem vypracování podrobného dokumentu obsahujícího návrh na provádění odhadů, stanovování a vyjadřování nejistot měření byla pak pověřena Mezinárodní organizace pro normalizaci (International Standardization Organization, dále jen ISO), protože ISO zastupuje zájmy všech důležitých zainteresovaných stran. Vývoj dokumentu byl svěřen Technické poradenské skupině ISO pro metrologii (TAG 4) a tato pracovní skupina a její stanovené pracovní podskupiny při vývoji dokumentu úzce spolupracovaly s dalšími významnými mezinárodními organizacemi (BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP a OIML). V roce 1993 pak vyšlo první vydání GUM. Druhé vydání GUM je z roku 1995. V roce 1997 byl ze sedmi mezinárodních organizací vytvořen Společný výbor pro pokyny v metrologii (JCGM), řízený ředitelem BIPM, který připravil původní verze „Pokynu pro vyjadřování nejistoty měření“ (GUM) a „Mezinárodního slovníku základních a všeobecných termínů v metrologii“ (VIM). V roce 2008 pak vyšlo revidované znění GUM, což je vlastně původní GUM z roku 1995 s drobnými opravami. Tento sborník technické harmonizace je českou verzí dokumentu JCGM 100:2008, který byl vytvořen Pracovní skupinou 1 Společného výboru pro návody v  metrologii (JCGM/WG1). Originál elektronické verze dokumentu v anglickém a francouzském jazyce je zdarma ke stažení na stránce BIPM (www.bipm.org). Autorská práva k dokumentu JCGM 100:2008 jsou sdílena společně členskými organizacemi JCGM (BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP a OIML). Rozmnožování a rozšiřování, stejně jako překlad JCGM 100:2008 a jeho částí podléhá písemnému souhlasu předsedy JCGM. 2. POKYN PRO VYJADŘOVÁNÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ Zde uvedený překlad GUM byl navržen na základě povolení obdrženého od BIPM, které si ponechává plná mezinárodně chráněná autorské práva. BIPM nepřebírá žádnou odpovědnost za platnost, přesnost, úplnost nebo kvalitu informací a materiálů nabízených v jakémkoli překladu. Jediné oficiální verze jsou originální verze dokumentů publikovaných BIPM (tzn. francouzská a anglická verze JCGM).  sborníky technické harmonizace 2012 4 MEZINÁRODNÍ DOKUMENT JCGM 100:2008 (GUM 1995 s drobnými opravami) Nejistota měření – Část 3: Pokyn pro vyjadřování nejistoty měření (GUM:1995) Obsah Contents Strana Page Předmluva 7 0 Úvod 9 1 Předmět pokynu 13 2 Definice 15 2.1 Obecné metrologické termíny 15 2.2 Termín „nejistota“ 15 2.3 Termíny specifické pro tento pokyn 17 3 Základní pojmy 19 3.1 Měření 19 3.2 Chyby, vlivy a korekce 21 3.3 Nejistota 22 3.4 Praktické pokyny 26 4 Hodnocení standardní nejistoty 30 4.1 Modelování měření 30 4.2 Hodnocení standardní nejistoty způsobem A 33 4.3 Hodnocení standardní nejistoty způsobem B 37 4.4 Grafické znázornění určení standardní nejistoty 44 5 Určení kombinované standardní nejistoty 51 5.1 Nekorelované vstupní veličiny 51 5.2 Korelované vstupní veličiny 55 6 Určení rozšířené nejistoty 60 6.1 Úvod 60 6.2 Rozšířená nejistota 60 6.3 Výběr koeficientu rozšíření 62 7 Záznam nejistoty 64 7.1 Obecné návody 64 7.2 Speciální návody 65 8 Souhrn postupů pro hodnocení a vyjádření nejistoty 70 Příloha A Doporučení pracovní skupiny a CIPM 72 A.1 Doporučení INC-1 (1980) 72 A.2 Doporučení 1 (CI-1981) 73 A.3 Doporučení 1 (CI-1986) 74 Příloha B Obecné metrologické termíny 76 B.1 Zdroj definicí 76 B.2 Definice 76 Foreword 7 0 Introduction 9 1 Scope 13 2 Definitions 15 2.1 General metrological terms 15 2.2 The term “uncertainty” 15 2.3 Terms specific to this Guide 17 3 Basic concepts 19 3.1 Measurement 19 3.2 Errors, effects, and corrections 21 3.3 Uncertainty 22 3.4 Practical considerations 26 4 Evaluating standard uncertainty 30 4.1 Modeling the measurement 30 4.2 Type A evaluation of standard uncertainty 33 4.3 Type B evaluation of standard uncertainty 37 4.4 Graphical illustration of evaluating standard uncertainty 44 5 Determining combined standard uncertainty 51 5.1 Uncorrelated input quantities 51 5.2 Correlated input quantities 55 6 Determining expanded uncertainty 60 6.1 Introduction 60 6.2 Expanded uncertainty 60 6.3 Choosing a coverage factor 62 7 Reporting uncertainty 64 7.1 General guidance 64 7.2 Specific guidance 65 8 Summary of procedure for evaluating and expressing uncertainty 70 Annex A Recommendations of Working Group and CIPM 72 A.1 Reconunendation INC-1 (1980) 72 A.2 Recommendation 1 (CI-1981) 73 A.3 Recommendation 1 (CI-1986) 74 Annex B General metrological terms 76 B.1 Source of definitions 76 B.2 Definitions 76 sborníky technické harmonizace 2012 5 Strana Page Příloha C Základní statistické termíny a pojmy 86 C.1 Zdroj definicí 86 C.2 Definice 86 C.3 Podrobné vysvětlení termínů a pojmů 94 Příloha D „Pravá“ hodnota, chyba a nejistota 99 D.1 Měřená veličina 99 D.2 Realizovaná veličina 99 D.3 „Pravá“ hodnota a korigovaná hodnota 100 D.4 Chyba 102 D.5 Nejistota 103 D.6 Grafické znázornění 104 Příloha E Motivace a základy pro doporučení INC-1 (1980) 109 E.1 „Téměř jistý“, „náhodný“ a „systematický“ 109 E.2 Realistická oprávněnost hodnocení nejistoty 110 E.3 Oprávněnost pro identické zacházení se všemi složkami nejistoty 111 E.4 Směrodatné odchylky jako míry nejistoty 118 E.5 Porovnání dvou pohledů na nejistotu 122 Příloha F Praktický návod k hodnocení složek nejistoty 125 F.1 Složky vyhodnocené z opakovaných pozorování: hodnocení standardní nejistoty způsobem A 125 F.2 Složky vyhodnocené jinými způsoby: hodnocení standardní nejistoty způsobem B 132 Příloha G Stupně volnosti a konfidenční úrovně 146 G.1 Úvod 146 G.2 Centální limitní věta 149 G.3 t-rozdělení a stupně volnosti 151 G.4 Efektivní stupně volnosti 153 G.5 Další úvahy 156 G.6 Souhrn a závěry 160 Příloha H Příklady 165 H.1 Kalibrace koncové měrky 165 H.2 Simultánní měření odporu a reaktance 175 H.3 Kalibrace teploměru 183 H.4 Měření radioaktivity 190 H.5 Analýza rozptylu 198 H.6 Měření na referenční stupnici: tvrdost 210 Annex C Basic statistical terms and concepts 86 C.1 Source of definitions 86 C.2 Definitions 86 C.3 Elaboration of terms and concepts 94 Annex D “True” value, error, and uncertainty 99 D.1 The measurand 99 D.2 The realized quantity 99 D.3 The “true” value and the corrected value 100 D.4 Error 102 D.5 Uncertainty 103 D.6 Graphical representation 104 Annex E Motivation and basic for RecommendationINC-1 (1980) 109 E.1 “Safe”, “random”, and “systematic” 109 E.2 Justification for realistic uncertainty evaluations 110 E.3 Justification for treating all uncertainty components identically 111 E.4 Standard deviations as measures of uncertainty 118 E.5 A comparison of two views of uncertainty 122 Annex F Practical guidance on evaluating uncertainty components 125 F.1 Components evaluated from repeated observations: Type A evaluation of standard uncertainty 125 F.2 Components evaluated by other means: Type B evaluation of standard uncertainty 132 Annex G Degrees of freedom and levels of confidence 146 G.1 Introduction 146 G.2 Central Limit Theorem 149 G.3 The t-distribution and degrees of freedom 151 G.4 Effective degrees of freedom 153 G.5 Other considerations 156 G.6 Summary and conclusions 160 Annex H Examples 165 H.1 End-gauge calibration 165 H.2 Simultaneous resistance and reactance 175 H.3 Calibration of a thermometer 183 H.4 Measurement of Activity 190 H.5 Analysis of variance 198 H.6 Measurements on a reference scale: hardness 210 sborníky technické harmonizace 2012 6 Strana Page Příloha J Přehled nejdůležitějších značek 218 Příloha K Bibliografie 227 Abecední rejstřík 229 Annex J Glossary of principal symbols 218 Annex K Bibliography 227 Alphabetical index 229 sborníky technické harmonizace 2012 7 Předmluva Foreword V  důsledku uznání nedostatečné mezinárodní shody ve vyjádření nejistoty měření přidělil Mezinárodní výbor pro váhy a míry (Comité International des Poids et Mesures; CIPM), jako nejvyšší instance pro metrologii, Mezinárodnímu úřadu pro váhy a míry (Bureau International des Poids et Mesures; BIPM) 1977 zakázku aby společně s národními metrologickými instituty vyřešil tento problém a vypracoval doporučení. In 1977, recognizing the lack of international consensus on the expression of uncertainty in measurements, the world’s highest authority in metrology, the Comité International des Poids et Mesures (CIPM), requested the Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) to address the problem in conjuction with the national standards laboratories and to make a reco- mmendation. BIPM sestavil podrobný dotazník se souvisícími otázkami a rozeslal ho 32 národním metrologickým institucím, o  kterých bylo známo, že se zajímají o  tento předmět (a dal na vědomí pěti mezinárodním organizacím). Do začátku roku 1979 odpovědělo 21 institucí [1].1 Téměř všichni pokládali za důležité mít mezinárodně uznávaný postup pro vyjádření nejistoty měření a pro sestavení složek jednotlivých nejistot do jedné úplné nejistoty. Nebyla však zřejmá shoda v případě metody, která se musí použít. BIPM uskutečnil zasedání za účasti odborníků 11 národních metrologických institucí, aby se vytvořil jednotný a obecně přijatelný postup pro specifikaci nejistoty. Tato pracovní skupina pro vyjádření nejistot vytvořila doporučení INC-1 (1980), „Vyjádření výběrových nejistot“ [2]. CIPM přijal toto doporučení v roce 1981 [3] a schválil v roce 1986 [4]. The BIPM prepared a  detailed questionnaire covering the issues involved and distributed in to 32 national metrology laboratories known to have an interest in the subject (and, for information, to five international organizations). By early 1979 responses were received from 21 laboratories [1].1 Almost all believed that it was important to arrive at an internationally accepted procedure for expressing measurements uncertainty and for combining individual uncertainty components into a single total uncertainty. However, a consensus was not apparent on the method to be used. The BIPM then convened a meeting for the purpose of arriving at a uniform andgenerallyacceptableprocedure for the specification of the uncertainty; it was attended by experts from 11 national standards laboratories. This Working Group on the Statement of Uncertainties developed Recommendation INC-1 (1980), Expression of Experimental Uncertainties [2]. The CIPM approved the Recommendation in 1981 [3] and reafirmed it in 1986 [4]. Úkolem vypracování podrobného pokynu (který představuje spíše stručný přehled, než podrobný návod), na základě doporučení pracovní skupiny, CIPM pověřil Mezinárodní organizaci pro normalizaci (ISO), jelikož ISO může lépe zastupovat potřeby vyplývající z širokých zájmů průmyslu a obchodu. The task of developing a  detailed quide based on the Working Group Recommendation (which is a  brief outline rather than a  detailed prescription) was referred by the CIPM to the International Organization for Standardization (ISO), since ISO could better reflect the needs arising from the broad interests of industry and commerce. 1 Viz bibliografie str. 227. See the bibliography on page 227 et seq. Siehe die Literaturhinweise ab Seite 227. sborníky technické harmonizace 2012 8 Odpovědnost byla svěřena technické poradenské skupině metrologie ISO/TAG 4 (Technical Advisory Group 4), protože jedním z jejich úkolů je koordinace vývoje návodů spojená s náměty v  oblasti měření, které jsou předmětem společného zájmu ISO a  šesti organizací, které spolupracují s ISO na práci v TAG 4. Tyto organizace jsou: Mezinárodní elektrotechnická komise (IEC), partner ISO v celosvětové normalizaci; dvě celosvětové metrologické organizace CIPM a Mezinárodní organizace pro legální metrologie (OIML); dvě organizace, které zastupují odborné oblasti chemie a  fyziky a to Mezinárodní unie pro čistou a aplikovanou chemii (IUPAC) a Mezinárodní unie pro čistou a  aplikovanou fyziku (IUPAP); a Mezinárodní federace pro klinickou chemii (IFCC). Responsibility was assigned to the ISO Technical Advisory Group on Metrology (TAG 4) because one of its tasks is to coordinate the development of quidelines on measurement topics that are of common interest to ISO and the six organizations that participate with ISO in the work of TAG  4: the International Electrotechnical Commission (IEC), the partner of the ISO in worldwide standardization; the CIPM and the International Organization of legal Metrology (OIML), the two worldwide metrology organizations; the International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC) and the International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP), the two international unions that represent chemistry and physics; and the International Federation of Clinical Chemistry (IFCC). TAG 4 vytvořila pracovní skupinu 3 (ISO/TAG 4/WG 3), jmenovanou předsedou TAG  4, která je složena z odborníků jmenovaných BIPM, IEC, ISO a  OIML. Zadaným úkolem této pracovní skupiny bylo: TAG  4  in the turn established Working Group 3 (ISO/TAG 4/WG 3) composed of experts nominated by the BIPM, IEC, ISO and OIML and appointed by the Charman of TAG 4. It was assigned the following terms of reference: Vývoj návodu na základě doporučení BIPM – pracovní skupiny pro vyjádření nejistot, která stanovila pravidla pro vyjádření nejistoty měření v oblastech mezinárodní normalizace, kalibrace, akreditace laboratoří a metrologických služeb; To develop a guidance document based upom the recommendation of the BIPM Working Group on the Statement of Uncertainties which provides rules on the expression of measurement uncertainty for use within standardization, calibration, laboratory accreditation, and metrology services; Účelem tohoto návodu je – komplexně informovat, jak se údaje o nejistotě zjistí; – poskytnout základ pro mezinárodní porovnání výsledků měření. The purpose of such guidance is – to promote full information on how uncertainty statements are arrived at; – to provide a basis for the international comparison of measurement results. NÁRODNÍ POZNÁMKA  V celém JCGM 100:2008 je používána terminologie Mezinárodního slovníku základních a obecných termínů v metrologii (VIM2), 1993[6]. sborníky technické harmonizace 2012 9 0  Úvod 0  Introduction 0.1  Při záznamu výsledku měření fyzikální veličiny je nutné uvést také určitý kvantitativní údaj o jeho kvalitě, aby uživatel mohl posoudit jeho spolehlivost. Bez takového údaje nelze porovnávat výsledky měření ať již navzájem nebo s referenčními hodnotami uvedenými ve specifikaci etalonu. Proto musí nutně existovat snadno realizovatelný, srozumitelný a  obecně uznávaný postup pro charakterizaci kvality výsledku měření, tedy pro hodnocení a  vyjádření jeho nejistoty. 0.1  When reporting the result of a measurement of a physical quantity, it is obligatory that some quantitative indication of the quality of the result be given so that those who use it can assess its reliability. Without such an indication, measurement results cannot be compared, either among themselves or with reference values given in a  specification or standard. It is therefore necessary that there be a readily implemented, easily understood, and generally accepted procedure for characterizing the quality of a result of a measurement, that is, for evaluating and expressing its uncertainly. 0.2  V  historii měření je pojem nejistota jako kvantifikovatelná vlastnost poměrně nový. V metrologii se však již dlouho používají pojmy chyba a analýza chyb. Nyní se běžně připouští, že i po vyhodnocení všech známých i  předpokládaných složek chyby a zavedení odpovídajících korekcí stále přetrvávají pochyby o  korektnosti výsledku, tedy do jaké míry vyjadřuje výsledek měření hodnotu měřené veličiny. 0.2  The concept of uncertainly as a quantifiable attribute is relatively new in the history of measurement, although error and error analysis have long been a part of the practice of measurement science or metrology. It is now widely recognized that, when all of the known or suspected components of error have been evaluated and the appropriate corrections have been applied, there still remains an uncertainty about the correctness of the stated result, that is, a doubt about how well the result of the measurement represents the value of the quantity being measured. 0.3  Tak jako přineslo téměř univerzální používání Mezinárodního systému jednotek (SI) jednotnost do všech vědeckých a  technických měření, umožní celosvětová shoda ve vyhodnocování a vyjadřování nejistoty měření snadno pochopit a správně interpretovat široké spektrum výsledků měření ve vědě, technice, obchodu, průmyslu a státní správě. V době globálního trhu je nezbytné, aby byly metody vyhodnocování a vyjadřování nejistoty na celém světě jednotné, aby bylo možné snadno porovnávat měření provedená v různých zemích. 0.3  Just as the nearly universal use of the International System of Units (SI) has brought coherence to all scientific and technological measurements, a  worldwide consensus on the evaluation and expression of uncertainty in measurement would permit the significance of a  vast spectrum of measurement results in science, engineering, commerce, industry, and regulation to be readily understood and properly interpreted. In this era of the global marketplace, it is imperative that the method for evaluating and expressing uncertainty be uniform throughout the world so that measurements performed in different countries can be easily compared. 0.4  Ideální metoda pro hodnocení a vyjádření nejistoty výsledku měření má být: 0.4  The ideal method for evaluating and expressing the uncertainty of the result of a measurement should be: sborníky technické harmonizace 2012 10 univerzální: metoda používaná při měření se má použít pro všechny druhy měření a pro všechny typy vstupních dat. universal: the method should be applicable to all kinds of measurements and to all types of input data used in measurements. Veličina, jejíž nejistotu hodnotíme, má být: The actual quantity used to express uncertainty should be: vnitřně konzistentní: má být přímo odvoditelná ze složek, které ji vytvářejí, nezávislá na jejich uspořádání a na způsobu jejich rozkladu na podsložky. internally consistent: it should be directly derivable from the components that contribute to it, as well as independent of how these components are grouped and of the decomposition of the components into sub- components. přenosná: nejistotu, vyhodnocenou pro jeden výsledek, má být možné přímo použít jako složku při vyhodnocování nejistoty jiného měření, v němž se tento výsledek po- užije. transferable: it should be possible to use directly the uncertainty evaluated for one result as a component in evaluating the uncertainty of another measurement in which the first result is used. Dále je často v  řadě průmyslových a  obchodních aplikací i v oblastech zdravotnictví a bezpečnosti práce nutné uvést interval výsledku měření, o němž je dovoleno předpokládat, že zahrnuje velkou část rozdělení hodnot, jež lze důvodně přiřadit měřené veličině. Ideální postup vyhodnocování a vyjadřování nejistoty má proto umožnit snadno takový interval poskytnout, zejména s  požadavky na pokrytí pravděpodobnosti nebo konfidenční úrovně, která odpovídá realisticky těmto požadavkům. Further, in many industrial and commercial applications, as well as in the areas of health and safety, it is often necessary to provide an interval about the measurement result that may be expected to encompass a large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the quantity subject to measurement. Thus the ideal method for evaluating and expressing uncertainty in measurement should be capable of readily providing such an interval, in particular, one with a coverage probability or level of confidence that corresponds in a realistic way with that required. sborníky technické harmonizace 2012 11 0.5  Tento dokument je založen na zásadách uvedených v  Doporučení INC-1 (1980) [2] pracovní skupiny pro vyjadřování nejistot, která byla svolána BIPM, jako reakce na žádost CIPM (viz předmluvu). Tento přístup, jehož oprávněnost vysvětluje příloha E, vyhovuje všem požadavkům uvedeným výše, což neplatí pro většinu současně používaných postupů. Doporučení INC-1 (1980) bylo schváleno a opětovně potvrzeno CIPM v jeho vlastních doporučeních 1 (Cl-1981) [3] a  1  (Cl-1986) [4]; anglický překlad těchto doporučení CIPM je přetištěn v  příloze A  (viz A.2 a  A.3). Protože doporučení INC-1 (1980) tvoří základ tohoto dokumentu, je jeho anglický překlad přetištěn v 0.7 a francouzský text, který je oficiální, je přetištěn v A.1. 0.5  The approach upon which this guidance document is based is that outlined in Recommendation INC-1 (1980) [2] of the Working Group on the Statement of Uncertainties, which was convened by the BIPM in response to a request of the CIPM (see Foreword). This approach, the justification of which is discussed in annex  E, meets all of the requirements outlined above. This is not the case for most other methods in current use. Recommendation INC-1 (1980) was approved and reaffirmed by the CIPM in its own Recommendations 1 (CI-1981) [3] and 1 (CI-1986) [4]; the English translations of these CIPM Recommendations are reproduced in annex A (see A.2 and A.3, respectively). Because Recommendation INC-1 (1980) is the foundation upon which this document rests, the English translation is reproduced in 0.7 and the French text, which is authoritative, is reproduced in A. 1. 0.6  Stručný souhrn postupu vyhodnocování a uvádění nejistoty, popsaný v tomto dokumentu, je v kapitole 8 a četné příklady uvádí podrobně příloha H. Další přílohy obsahují obecné pojmy v  metrologii (příloha B); základní statistické pojmy a koncepty (příloha C); „pravou“ hodnotu, chybu a nejistotu (příloha D); praktická doporučení k vyhodnocování složek nejistoty (příloha F); stupně volnosti a konfidenční úrovně (příloha G); základní matematické značky používané v dokumentu (příloha J) a odkazy na bibliografické citace (příloha K). Dokument obsahuje abecední rejstřík. 0.6  A succinct summary of the procedure specified in this guidance document for evaluating and expressing uncertainty in measurement is given in clause 8 and a number of examples are presented in detail in annex H. Other annexes deal with general terms in metrology (annex B); basic statistical terms and concepts (annex C); “true” value, error, and uncertainty (annex D); practical suggestions for evaluating uncertainty components (annex F); degrees of freedom and levels of confidence (annex  G); the principal mathematical symbols used throughout the document (annex J); and bibliographical references (annex K). An alphabetical index concludes the document. 0.7  Doporučení INC-1 (1980) 0.7  Recommendation INC-1 (1980) Vyjadřování experimentálních nejistot Expression of experimental uncertainties 1. Nejistota výsledku měření se obvykle skládá z několika složek, které je možno roztřídit do dvou kategorií podle způsobu, jímž se odhaduje jejich číselná hodnota: 1. The uncertainty in the result of a measurement generally consists of several components which may be grouped into two categories according to the way in which their numerical value is estimated: A. vyhodnocená statistickými metodami, A. those which are evaluated by statistical methods, sborníky technické harmonizace 2012 12 B. vyhodnocená jinými postupy. B. those which are evaluated by other means. Mezi členěním do kategorií A nebo B a dříve používaném třídění na „náhodnou“ a „systematickou“ nejistotu není vždy přímá souvislost. Termín „systematická nejistota“ může být zavádějící a nemá se proto používat. There is not always a  simple correspondence between the classification into categories A  or B  and the previously used classification into “random” and “systematic” uncertainties. The term “systematic uncertainty” can be misleading and should be avoided. Jakýkoliv podrobný záznam nejistoty má obsahovat úplný seznam složek, u každé s uvedením metody, která byla použita k získání její číselné hodnoty. Any detailed report of the uncertainty should consist of a complete list of the components, specifying for each the method used to obtain its numerical value. 2. Složky skupiny A jsou charakterizovány odhady rozptylů 2 is (nebo odhadnutými směrodatnými odchylkami si ) a  počtem stupňů volnosti νi . Pokud je to vhodné, má se uvádět kovariance. 2. The components in category A are characterized by the estimated variances 2 is (or the estimated “standard deviations” is ) and the number of degrees of freedom iv . Where appropriate, the covariances should be given. 3. Složky skupiny B  mají být charakterizovány veličinami 2 ju , které je možno považovat za aproximace odpovídajících existujících předpokládaných rozptylů. Veličiny 2 ju je dovoleno upravovat jako odpovídající rozptyly a  veličiny uj jako směrodatné odchylky. V  případě potřeby, mají být kovariance upraveny stejnou cestou. 3. The components in category  B  should be characterized by quantities 2 ju , which may be considered as approximations to the corresponding variances, the existence of which is assumed. The quantities 2 ju may be treated like variances and the quantities uj like standard deviations. Where appropriate, the covariances should be treated in a similar way. 4. Kombinovaná nejistota se má vyjadřovat číselnou hodnotou získanou obvyklým postupem kombinace rozptylů. Kombinovaná nejistota a  její složky se vyjadřují jako „směrodatné odchylky“. 4. The combined uncertainty should be characterized by the numerical value obtained by applying the usual method for the combination of variances. The combined uncertainty and its components should be expressed in the form of “standard deviations”. 5. V případě, že je třeba při některých použitích násobit kombinovanou nejistotu činitelem rozšíření, abychom získali celkovou nejistotu, musí být tento násobící činitel vždy uveden. 5. If, for particular applications, it is necessary to multiply the combined uncertainty by a  factor to obtain an overall uncertainty, the multiplying factor used must always be stated. sborníky technické harmonizace 2012 13 1  Předmět pokynu 1  Scope 1.1  Tento pokyn, který stanovuje základní pravidla pro vyhodnocování a vyjadřování nejistoty při měření, lze používat pro různé úrovně přesnosti a v mnoha oborech – od obchodu a výroby, až po základní výzkum. Postupy uvedené v tomto pokynu jsou určeny pro široké spektrum měření, zahrnující následující požadavky: 1.1  This Guide establishes general rules for evaluating and expressing uncertainty in measurement that can be followed at various levels of accuracy and in many fields – from the shop floor to fundamental research. Therefore, the principles of this Guide are intended to be applicable to a broad spectrum of measurements, including those required for: – podporu řízení kvality a  prokazování kvality ve výrobě; – dodržování a zavádění zákonů a před- pisů; – výzkumné práce v oblastech základního výzkumu, aplikovaného výzkumu a rozvoje ve vědě a technice; – kalibraci etalonů a  měřicích přístrojů a  provádění zkoušek v  rámci státního metrologického systému s cílem zajistit návaznost na státní etalony; – rozvoj, uchovávání a  porovnání mezinárodních a národních fyzikálních referenčních standardů včetně referenčních materiálů. – maintaining quality control and quality assurance in production; – complying with and enforcing laws and regulations; – conducting basic research, and applied research and development, in science and engineering; – calibrating standards and instruments and performing tests throughout a national measurement system in order to achieve traceability to national standards; – developing, maintaining, and comparing international and national physical reference standards, including reference ma- terials. 1.2  Tento pokyn se primárně týká vyjadřování nejistoty při měření dobře definované fyzikální veličiny  – měřené veliči- ny – kterou lze charakterizovat jedinečnou a  jednoznačnou hodnotou. Pokud sledovaný jev lze vyjádřit pouze jako rozdělení hodnot, nebo je závislý na jednom nebo více parametrech, například času, pak tvoří měřené veličiny potřebné k jeho popisu množinu veličin popisujících toto rozdělení nebo tuto závislost. 1.2  This Guide is primarily concerned with the expression of uncertainty in the measurement of a well-defined physical quan- tity – the measurand – that can be characterized by an essentially unique value. If the phenomenon of interest can be represented only as a distribution of values or is dependent on one or more parameters, such as time, then the measurands required for its description are the set of quantities describing, that distribution or that dependence. 1.3  Tento pokyn lze též použít k vyhodnocování a  vyjadřování nejistoty při koncepčním navrhování a  teoretických analýzách experimentů, měřicích metod a komplexních komponent a systémů. Jelikož je dovoleno, aby výsledek měření a jeho nejistota byly abstraktní a založené výhradně na hypotetických údajích, má být pojem „výsledek měření“, tak jak jej používá tento pokyn, chápán v širších souvislostech. 1.3  This Guide is also applicable to evaluating and expressing the uncertainty associated with the conceptual design and theoretical analysis of experiments, methods of measurement, and complex components and systems. Because a measurement result and its uncertainty may be conceptual and based entirely on hypothetical data, the term “result of a  measurement” as used in this Guide should be interpreted in this broader context. sborníky technické harmonizace 2012 14 1.4  Tento pokyn poskytuje pouze základní pravidla vyhodnocování a  vyjadřování nejistoty měření, nikoliv podrobné technologické a specifikační instrukce. Nezabývá se ani způsoby využívání k různým účelům již vyhodnocené nejistoty konkrétního výsledku měření, například k posouzení míry shody s jinými podobnými výsledky, k určení tolerančních mezí ve výrobě, nebo k rozhodování, zda určitý proces může proběhnout bezpečně. Z toho důvodu je dovoleno jako užitečné vytvořit na základě tohoto pokynu speciální normy určené pro specifické oblasti měření nebo zaměřené na různá využití kvantitativních vyjádření nejistoty. Je dovoleno, aby takové normy byly zjednodušenými verzemi tohoto pokynu a  mají obsahovat podrobnosti odpovídající míře přesnosti a složitosti popisovaných měření a jejich použití. 1.4  This Guide provides general rules for evaluating and expressing uncertainty in measurement rather than detailed, technology-specific instructions. Further, it does not discuss how the uncertainty of a particular measurement result, once evaluated, may be used for different purposes, for example, to draw conclusions about the compatibility of that result with other similar results, to establish tolerance limits in a manufacturing process, or t  decide if a certain course of action may be safely undertaken. It may therefore be necessary to develop particular standards based on this Guide that deal with the problems peculiar to specific fields of measurement or with the various uses of quantitative expressions of uncertainty. These standards may be simplified versions of this Guide but should include the detail that is appropriate to the level of accuracy and complexity of the measurements and uses addressed. POZNÁMKA  V určitých situacích nemusí být pojem nejistoty měření plně použitelný, např. při stanovování přesnosti zkušební metody (viz např. citace [5]). NOTE  There may be situations in which the concept of uncertainty of measurement is believed not to be fully applicable, such as when the precision of a lest method is determined (see reference [5] for example). sborníky technické harmonizace 2012 15 2  Definice 2  Definitions 2.1  Obecné metrologické termíny 2.1  General metrological terms Definici řady obecných metrologických pojmů souvisejících s  tímto pokynem, jako jsou „měřitelná veličina“, „měřená veličina“ a „chyba měření“ obsahuje příloha B. Tyto definice jsou převzaty z  Mezinárodního slovníku základních a  obecných termínů v  metrologii (zkráceně VIM) [6]. Příloha C  dále uvádí definice řady základních statistických pojmů převzatých převážně z mezinárodní normy ISO  3534-1 [7]. První použití těchto nebo příbuzných metrologických nebo statistických výrazů je počínajíce 3. kapitolou vytištěno tučně s  číslem odstavce obsahujícího definici v závorkách. The definition of a number of general metrological terms relevant to this Guide, such as “measurable quantity”, “measurand”, and “error of measurement”, are given in annex B. These definitions are taken from the International vocabulary of basic and general terms in metrology (abbreviated VIM) [6]. In addition, annex C gives the definitions of a number of basic statistical terms taken mainly from International Standard ISO 3534-1 [7]. When one of these metrological or statistical terms (or a closely related term) is first used in the text, starting with clause 3, it is printed in boldface and the number of the subclause in which it is defined is given in parentheses. Vzhledem k  významu tohoto pokynu je uvedena definice obecného metrologického pojmu „nejistota měření“ v příloze B a odstavci 2.2.3. Definice nejdůležitějších pojmů použitých v tomto pokynu uvádějí odstavce 2.3.1 až 2.3.6. Ve všech těchto odstavcích a v přílohách B a C znamenají uvozovky, že slova v nich je dovoleno vynechat, pokud nemůže dojít k nedorozumění. Because of its importance to this Guide, the definition of the general metrological term “uncertainty of measurement” is given both in annex B and 2.2.3. The definitions of the most important terms specific to this Guide are given in 2.3.1 to 2.3.6. In all of these subclauses and in annexes B and C, the use of parentheses around certain words of some terms means that these words may be omitted if this is unlikely to cause confusion. 2.2  Termín „nejistota“ 2.2  The term “uncertainty” Pojemnejistotyjedálevysvětlenv kapitole3 a v příloze D. The concept of uncertainty is discussed further in clause 3 and annex D. 2.2.1  Výraz „nejistota“ znamená pochyby, a  proto v  nejširším smyslu znamená „nejistota měření“ pochybování o platnosti výsledku měření. Jelikož není dostatek použitelných výrazů pro uvedený obecný pojem nejistoty a pro specifické veličiny, které udávají kvantitativní míru tohoto pojmu, například směrodatnou odchylku, nezbývá než používat výraz „nejistota“ v obou těchto odlišných významech. 2.2.1  The word “uncertainty” means doubt, and thus in its broadest sense “uncertainty of measurement” means doubt about the validity of the result of a measurement. Because of the lack of different words for this general concept of uncertainty and the specific quantities that provide quantitative measures of the concept, for example, the standard deviation, it is necessary to use the word “uncertainty” in these two different senses. sborníky technické harmonizace 2012 16 2.2.2  V  tomto pokynu znamená výraz „nejistota“, použitý bez přívlastků, jak obecný pojem nejistoty, tak všechny kvantitativní míry tohoto pojmu nebo jakoukoliv z nich. Pokud se uvažuje určitá míra, použije se odpovídající přívlastek. 2.2.2  In this Guide, the word “uncertainty” without adjectives refers both to the general concept of uncertainty and to any or all quantitative measures of that concept. When a specific measure is intended, appropriate adjectives are used. 2.2.3  Formální definice pojmu „nejistota měření“, vytvořená pro použití v  tomto pokynu a ve VIM [6] (VIM: 1993, 3.9) je tato: 2.2.3  The formal definition of the term “uncertainty of measurement” developed for use in this Guide and in the current VIM [6] (VIM entry 3.9) is as follows: nejistota (měření) parametr spojený s výsledkem měření, který charakterizuje rozptýlení hodnot, které mohou být důvodně přiřazeny měřené ve- ličině uncertainty (of measurement) parameter, associated with the result of a  measurement, that characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand. POZNÁMKY NOTES 1 Parametr smí být například směrodatná odchylka (nebo její násobek) nebo poloviční šířka intervalu, se stanovenou konfidenční úrovní. 1 The parameter may be, for example, a  standard deviation (or a given multiple of it), or the halfwidth of an interval having a stated level of con- fidence. 2 Nejistota měření je obecně souhrn mnoha složek. Některé z těchto složek je dovoleno vyhodnocovat ze statistického rozdělení výsledků série měření, které je charakterizováno výběrovými směrodatnými odchylkami. Ostatní složky, které mohou být také charakterizovány směrodatnými odchylkami, jsou vyhodnoceny z předpokládaných rozdělení pravděpodobností založených na zkušenostech nebo na jiných informacích. 2 Uncertainty of measurement comprises, in general, many components. Some of these components may be evaluated from the statistical distribution of the results of series of measurements and can be characterized by experimental standard deviations. The other components, which also can be characterized by standard deviations, are evaluated from assumed probability distributions based on experience or other information. 3 Předpokládá se, že výsledek měření je nejlepší odhad hodnoty měřené veličiny, a  že všechny složky nejistoty, včetně těch, které vznikají systematickými jevy, jako jsou složky spojené s korekcemi referenčních etalonů, přispívající k roz- ptýlení. 3 It is understood that the result of the measurement is the best estimate of the value of the measurand, and that all components of uncertainty, including those arising from systematic effects, such as components associated with corrections and reference standards, contribute to the dispersion. 2.2.4  Definice nejistoty měření uvedená v 2.2.3 je provozní definice, která se soustřeďuje na výsledek měření a  hodnocení jeho nejistoty, což není v rozporu s dalšími koncepty nejistoty měření jako je: 2.2.4  Thedefinitionofuncertaintyofmeasurement given in 2.2.3 is an operational one that focuses on the measurement result and its evaluated uncertainty. However, it is not inconsistent with other concepts of uncertainty of measurement, such as – měření možné chyby odhadnuté hodnoty měřené veličiny získané jako výsledek měření; – a measure of the possible error in the estimated value of the measurand as provided by the result of a measurement; – odhad charakterizující rozsah hodnot, ve kterých leží pravá hodnota měřené veličiny (VIM:1984, definice 3.09). – an estimate characterizing the range of values within which the true value of a  measurand lies (VIM:1984, definition 3.09). sborníky technické harmonizace 2012 17 Přestože tyto dvě tradiční koncepce jsou platné jako ideální, soustřeďují se na neznámé veličiny: „chybu“ výsledku měření a příslušnou „pravou hodnotu“ měřené veličiny (v porovnání s jeho odhadnutou hodnotou). Bez ohledu na to, který pojem nejistoty je přijat, určitá složka nejistoty bude vždy vyhodnocena použitím stejných dat a příslušných informací. (Viz také E.5.) Although these two traditional concepts are valid as ideals, they focus on unknowable quantities: the “error” of the result of a  measurement and the “true value” of the measurand (in contrast to its estimated value), respectively. Nevertheless, whichever concept of uncertainty is adopted, an uncertainty component is always evaluated using the same data and related information. (See also E.5.) 2.3  Termíny specifické pro tento pokyn 2.3  Terms specific to this Guide Obecně vzato, termíny, které jsou specifické pro tento pokyn, jsou definovány v textu při prvním použití. Pro jednodušší nalezení jsou definice nejdůležitějších z těchto termínů uvedeny zde. In general, terms that are specific to this Guide are defined in the text when first introduced. However, the definitions of the most important of these terms are given here for easy reference. POZNÁMKA  Další vysvětlení k  těmto termínům jsou: pro 2.3.2 viz 3.3.3 a 4.2; pro 2.3.3 viz 3.3.3 a 4.3; pro 2.3.4 viz kapitola 5 a rovnice (10) a (13); a pro 2.3.5 a 2.3.6 viz kapitola 6. NOTE  Further discussion related to these terms may be found as follows: for 2.3.2, see 3.3.3 and 4.2; for 2.3.3, see 3.3.3 and 4.3; for 2.3.4, see clause 5 and equations (10) and (13); and for 2.3.5 and 2.3.6, see clause 6. 2.3.1 standardní nejistota nejistota výsledku měření vyjádřená jako směrodatná odchylka 2.3.1 standard uncertainty uncertainty of the result of a measurement expressed as a standard deviation 2.3.2 hodnocení (nejistoty) způsobem A metoda hodnocení nejistoty pomocí statistické analýzy série pozorování 2.3.2 Type A evaluation (of uncertainty) method of evaluation of uncertainty by the statistical analysis of series of observations 2.3.3 hodnocení (nejistoty) způsobem B  metoda hodnocení nejistoty pomocí jiných způsobů než je statistická analýza řady po- zorování 2.3.3 Type B evaluation (of uncertainty) method of evaluation of uncertainty by means other than the statistical analysis of series of observations 2.3.4 kombinovaná standardní nejistota standardní nejistota výsledku měření, pokud je výsledek získaný z hodnot několika dalších veličin, rovnající se kladné hodnotě druhé odmocniny součtu výrazů; kde výrazy jsou rozptyly nebo kovariance těchto dalších veličin vážených podle toho, jak se výsledek měření mění se změnami těchto veličin 2.3.4 combined standard uncertainty standard uncertainty of the result of a measurement when that result is obtained from the values of a  number of other quantities, equal to the positive square root of a  sum of terms, the terms being the variances or covariances of these other quantities weighted according to how the measurement result varies with changes in these quantities sborníky technické harmonizace 2012 18 2.3.5 rozšířená nejistota veličina stanovující interval okolo výsledku měření, který dovoluje očekávat pokrytí velkého podílu rozdělení hodnot, které mohou být důvodně přiřazeny k  měřené veličině 2.3.5 expanded uncertainty quantity defining an interval about the result of a measurement that may be expected to encompass a  large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand POZNÁMKY NOTES 1 Podíl je dovoleno považovat za pokrytí pravděpodobnosti nebo konfidenční úroveň intervalu. 1 The fraction may be viewed as the coverage probability or level of confidence of the interval. 2 Spojení určité konfidenční úrovně s intervalem určeným rozšířenou nejistotou vyžaduje explicitní nebo implicitní předpoklady týkající se rozdělení pravděpodobnosti charakterizované výsledkem měření a jeho kombinovanou standardní nejistotou. Konfidenční úroveň, která smí být přiřazena k tomuto intervalu, může být známa pouze do rozsahu, ke kterému je dovoleno přiřadit tyto předpoklady. 2 To associate a specific level of confidence with the interval defined by the expanded uncertainty requires explicit or implicit assumptions regarding the probability distribution characterized by the measurement result and its combined standard uncertainty. The level of confidence that may be attributed to this interval can be known only to the extent to which such assumptions may be jus- tified. 3 Rozšířená nejistota je nazývána celkovou nejistotou v doporučení INC-1 (1980), paragraf 5 . 3 Expanded uncertainty is termed overall uncertainty in paragraph 5 of Recommendation INC-1 (1980). 2.3.6 činitel rozšíření číselná hodnota činitele, užívaná jako násobek kombinované standardní nejistoty k získání rozšířené nejistoty 2.3.6 coverage factor numerical factor used as a multiplier of the combined standard uncertainty in order to obtain an expanded uncertainty POZNÁMKA  Činitel rozšíření k je obvykle číslo z rozsahu od 2 do 3. NOTE  A coverage factor, k, is typically in the range 2 to 3. sborníky technické harmonizace 2012 19 3  Základní pojmy 3  Basic concepts Doplňující vysvětlení základních pojmů lze nalézt v příloze D, která se soustřeďuje na pojmy „pravá“ hodnota, chyba a  nejistota včetně grafického znázornění těchto pojmů, a  v příloze E, která zkoumá motivaci a  statistické základy pro doporučení INC-1 (1980), na kterém spočívá tento pokyn. Příloha J  je rejstřík základních matematických značek, které jsou použité v tomto pokynu. Additional discussion of basic concepts may be found in annex D, which focuses on the ideas of “true” value, error, and uncertainty and includes graphical illustrations of these concepts; and in annex E, which explores the motivation and statistical basis for Recommendation INC-1 (1980) upon which this Guide rests. Annex J is a glossary of the principal mathematical symbols used throughout the Guide. 3.1  Měření 3.1  Measurement 3.1.1  Předmětem měření (B.2.5) je určit hodnotu (B.2.2) měřené veličiny (B.2.9), tj. hodnotu blíže určené veličiny (B.2.1, poznámka 1), která se bude měřit. Měření proto začíná vhodnou specifikací měřené veličiny, metodou měření (B.2.7) a  postupem měření (B.2.8). 3.1.1  The objective of a  measurement (B.2.5) is to determine the value (B.2.2) of the measurand (B.2.9), that is, the value of the particular quantity (B.2.1, note 1) to be measured. A  measurement therefore begins with an appropriate specification of the measurand, the method of measurement (B.2.7), and the measurement procedure (B.2.8). POZNÁMKA  Pojem „pravá hodnota“ (viz příloha D) není v tomto pokynu použit a to z důvodů uvedených v D.3.5; pojem „hodnota měřené veličiny“ (nebo veličiny) a „pravá hodnota měřené veličiny“ (nebo veličiny) jsou chápány jako ekvivalenty. NOTE  The term “true value” (see annex D) is not used in this Guide for the reasons given in D.3.5; the terms “value of a measurand” (or of a quantity) and “true value of a measurand” (or of a quantity) are viewed as equivalent. 3.1.2  Obecně, výsledek měření (B.2.11) je jenom aproximace nebo odhad (C.2.26) hodnoty měřené veličiny a  je kompletní pouze tehdy, pokud je doprovázen prohlášením o nejistotě (B.2.18) tohoto odhadu. 3.1.2  In general, the result of a  measurement (B.2.11) is only an approximation or estimate (C.2.26) of the value of the measurand and thus is complete only when accompanied by a statement of the uncertainty (B.2.18) of that estimate. 3.1.3  V  praxi požadovaná specifikace nebo definice měřené veličiny jsou diktovány požadovanou přesností měření (B.2.14). Měřená veličina má být definována s  dostatečnou úplností ve vztahu k  požadované přesnosti a to tak, aby její hodnota byla jednoznačná pro všechny praktické účely spojené s jejím měřením. V tomto pokynu je v tomto smylu používán výraz „hodnota měřené veličiny“. 3.1.3  In practice, the required specification or definition of the measurand is dictated by the required accuracy of measurement (B.2.14). The measurand should be defined with sufficient completeness with respect to the required accuracy so that for all practical purposes associated with the measurement its value is unique, is in this sense that the expression “value of the measurand” is used in this Guide sborníky technické harmonizace 2012 20 PŘÍKLAD  Jestliže jmenovitá délka ocelové tyče jeden metr dlouhé musí být určená s mikrometrovou přesností, tak její specifikace má také obsahovat teplotu a tlak, při kterých je délka určena. Takže měřená veličina má být stanovena jako, například, délka tyče při teplotě 25,00 °C a 101 325 Pa (a k tomu jakýkoliv další parametr považovaný za nutný, jako je např. způsob podepření tyče). Avšak, jestliže délka tyče je určena s milimetrovou přesnosti, její specifikace nebude potřebovat stanovení teploty nebo tlaku nebo hodnotu pro jakéhokoliv další určení parametru. EXAMPLE  If the length of a nominally one-metre long steel bar is to be determined to micrometre accuracy, its specification should include the temperature and pressure at which the length is defined. Thus the measurand should be specified as, for example, the length of the bar at 25,00 °C and 101 325 Pa (plus any other defining parameters deemed necessary, such as the way the bar is to be supported). However, if the length is to be determined to only millimetre accuracy, its specification would not require a defining temperature or pressure or a value for any other defining parameter. POZNÁMKA  Neúplná definice měřené veličiny může způsobit dostatečně velký nárůst složky nejistoty a musí být tak zahrnut do hodnocení nejistoty výsledku měření (viz D.1.1, D.3.4 a D.6.2). NOTE  Incomplete definition of the measurand can give rise to a component of uncertainty sufficiently large that it must be included in the evaluation of the uncertainty of the measurement result (see D.1.1, D.3.4, and D.6.2). 3.1.4  V mnoha případech je výsledek měření určený na základě serie pozorování za podmínek opakovatelnosti (B.2.15, poznámka 1). 3.1.4  In many cases, the result of a measurement is determined on the basis of series of observations obtained under repeatability conditions (B.2.15, note 1). 3.1.5  Předpokládá se, že kolísání při opakovaných pozorováních vznikají tak, že ovlivňující veličiny (B.2.10), které mají vliv na výsledek měření nejsou udržitelné v plně konstantním stavu. 3.1.5  Variations in repealed observations are assumed to arise because influence quantities (B.2.10) that can affect the measurement result are not held completely constant. 3.1.6  Matematický model měření, který přeměňuje množinu hodnot z opakovaných pozorování ve výsledek měření, má rozhodující význam, protože k hodnotám pozorování ještě obecně zahrnuje různé ovlivňující veličiny, které nejsou přesně známy. Tento nedostatek znalostí přispívá k nejistotě výsledku měření, zrovna tak jako kolísání při opakovaných pozorováních spojené s vlastním matematickým modelem. 3.1.6  The mathematical model of the measurement that transforms the set of repeated observations into the measurement result is of critical importance because, in addition to the observations, it generally includes various influence quantities that are inexactly known. This lack, of knowledge contributes to the uncertainty of the measurement result, as do the variations of the repeated observations and any uncertainty associated with the mathematical model itself. 3.1.7  Tento pokyn zachází s měřenou veličinou jako se skalárem (jedinou veličinou). Rozšíření na skupinu souvisejících měřených veličin, určených současně při stejném měření, vyžaduje nahrazení skaláru měřené veličiny a jejího rozptylu (C.2.11, C.2.20, C.3.2) vektorem měřené veličiny a kovarianční maticí (C.3.5). Takové nahrazení je v tomto pokynu uvažováno pouze v příkladech (viz H.2, H.3 a H.4). 3.1.7  This Guide treats the measurand as a  scalar (a  single quantity). Extension to a  set of related measurands determined simultaneously in the same measurement requires replacing the scalar measurand and its variance (C.2.11, C.2.20, C.3.2) by a vector measurand and covariance matrix (C.3.5). Such a replacement is considered in this Guide only in the examples (see H.2, H.3, and H.4). sborníky technické harmonizace 2012 21 3.2  Chyby, vlivy a korekce 3.2  Errors, effects, and corrections 3.2.1  Obecně měření obsahuje zdroje nepřesností, které způsobují vznik chyby (B.2.19) výsledku měření. Tradiční pohled na chybu je, že je složená ze dvou složek, jmenovitě náhodné (B.2.21) složky a systematické (B.2.22) složky. 3.2.1  In general, a measurement has imperfections that give rise to an error (B.2.19) in the measurement result. Traditionally, an error is viewed as having two components, namely, a random (B.2.21) component and a systematic (B.2.22) component. POZNÁMKA  Chyba je idealizovaný pojem a  chyby nemohou být přesně známy. NOTE  Error is an idealized concept and errors cannot be known exactly. 3.2.2  Náhodná chyba pravděpodobně vzniká z nepředvídatelných nebo náhodně dočasných a  prostorových kolísání ovlivňujících veličin. Vliv takových kolísání, dále označených jako náhodné účinky, způsobuje vznik změn v opakovaných pozorováních měřené veličiny. Ačkoliv není možné kompenzovat náhodnou chybu výsledku měření, může být obvykle snížena zvýšením počtu pozorovaní; její střední hodnota (C.2.9, C.3.1) je nula. 3.2.2  Random error presumably arises from unpredictable or stochastic temporal and spatial variations of influence quantities. The effects of such variations, hereafter termed random effects, give rise to variations in repeated observations of the measurand. Although it is not possible to compensate for the random error of a measurement result, it can usually be reduced by increasing the number of observations; its expectation or expected value (C.2.9, C.3.1) is zero. POZNÁMKY NOTES 1 Výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru nebo průměr řady pozorování (viz 4.2.3) není náhodná chyba střední hodnoty, i když je tak označována v některých publikacích. Je to naopak míra nejistoty průměru v důsledku náhodných vlivů. Přesná hodnota chyby průměru vznikající z těchto vlivů nemůže být známa. 1 The experimental standard deviation of the arithmetic mean or average of a series of observations (see 4.2.3) is not the random error of the mean, although it is so designated in some publications. It is instead a measure of the uncertainty of the mean due to random effects. The exact value of the error in the mean arising from these effects cannot be known. 2 Velká péče byla v tomto pokynu, věnována rozlišení mezi termíny „chyba“ a „nejistota“. Nejsou to synonyma, ale vyjadřují zcela odlišné pojmy, proto mezi nimi nemá nastat záměna, ani nemají být chybně použity. 2 In this Guide, great care is taken to distinguish between the terms “error” and “uncertainty”. They are not synonyms, but represent completely different concepts: they should not be confused with one another or misused. 3.2.3  Systematická chyba, jako náhodná chyba, nemůže být eliminována, ale může být často snížena. Jestliže systematická chyba vzniká ze známého vlivu jedné ovlivňující veličiny na výsledek měření, dále označený jako systematický vliv, pak tento vliv může být kvantifikován a pokud je významný, co do rozměru ve vztahu k požadované přesnosti měření, může být aplikována korekce (B.2.23) nebo korekční činitel (B.2.24) ke kompenzaci tohoto vlivu. Lze očekávat, že po korekci bude předpokládaná hodnota chyby, vyvolaná systematickým vlivem, nula. 3.2.3  Systematic error, like random error, cannot be eliminated but it too can often be reduced. If a systematic error arises from a  recognized effect of an influence quantity on a measurement result, hereafter termed a  systematic effect, the effect can be quantified and, if it is significant in size relative to the required accuracy of the measurement, a correction (B.2.23) or correction factor (B.2.24) can be applied to compensate for the effect. It is assumed that, after correction, the expectation or expected value of the error arising from a systematic effect is zero. sborníky technické harmonizace 2012 22 POZNÁMKA  Nejistota korekce, aplikovaná na výsledek měření ke kompenzaci systematického vlivu není systematickou chybou, často nazývanou jednostranností výsledku měření způsobenou vlivem, kterým je někdy vyvolána. Je to naopak míra nejistoty výsledku způsobená neúplnými znalostmi požadované hodnoty korekce. Obecně, chyba vznikající z nedokonalé kompenzace systematického vlivu nemůže být exaktně známa. Termíny „chyba“ a „nejistota“ mají být vhodně použity a má se dbát na rozlišení mezi nimi. NOTE  The uncertainty of a correction applied to a measurement result to compensate for a systematic effect is not the systematic error, often termed bias, in the measurement result due to the effect as it is sometimes called. It is instead a measure of the uncertainty of the result due to incomplete knowledge of the required value of the correction, The error arising from imperfect compensation of a systematic effect cannot be exactly known. The terms “error” and “uncertainty” should be used properly and care taken to distinguish between them. 3.2.4  Předpokladem je, že výsledek měření byl korigován na všechny pozorované významné systematické vlivy a bylo podniknuto vše pro zjištění těchto vlivů. 3.2.4  It is assumed that the result of a measurement has been corrected for all recognized significant systematic effects and that every effort has been made to identify such effects. PŘÍKLAD  Korekce z důvodu konečné impedance voltmetru použitého k  určení elektrického napětí (měřená veličina) vysokoimpedančního rezistoru, je aplikována na snížení systematického vlivu na výsledek měření způsobený zatěžovacím vlivem voltmetru. Avšak, impedanční hodnoty voltmetru a  rezistoru, které jsou použity k určení hodnoty korekce a které jsou získány z jiných měření, jsou samy o sobě nepřesné. Tyto nejistoty jsou použity k  hodnocení složky nejistoty elektrického napětí vznikajícího z korekce a dále ze systematického vlivu způsobeného omezenou impedancí voltmetru. EXAMPLE  A correction due to the finite impedance of a voltmeter used to determine the potential difference (the measurand) across a high-impedance resistor is applied to reduce the systematic effect on the result of the measurement arising from the loading effect of the voltmeter. However, the values of the impedances of the voltmeter and resistor, which are used to estimate the value of the correction and which are obtained from other measurements, are themselves uncertain. These uncertainties are used to evaluate the component of the uncertainty of the potential difference determination arising from the correction and thus from the systematic effect due to the finite impedance of the voltmeter. POZNÁMKY NOTES 1 Měřicí přístroje a systémy jsou často justovány nebo kalibrovány pomocí etalonů a  referenčních materiálů k  odstranění systematických vlivů; avšak musí se stále brát v úvahu nejistoty spojené s těmito etalony a materiály. 1 Often, measuring instruments and systems are adjusted or calibrated using measurement standards and reference materials to eliminate systematic effects; however, the uncertainties associated with these standards and materials must still be taken into account. 2 Případ, kde korekce známého významného systematického vlivu není použita, je vysvětlen v poznámce k 6.3.1 a v F.2.4.5. 2 The case where a correction for a known significant systematic effect is not applied is discussed in the note to 6.3.1 and in F.2.4.5. 3.3  Nejistota 3.3  Uncertainty 3.3.1  Nejistota výsledku měření je odrazem nedostatku exaktních znalostí hodnoty měřené veličiny (viz 2.2). Výsledek měření po korekci zkoumaného systematického vlivu, je stále pouhý odhad hodnoty měřené veličiny, protože nejistota vzniká z náhodných vlivů a  z  nedokonalých korekcí výsledku systematických vlivů. 3.3.1  The uncertainty of the result of a  measurement reflects the lack of exact knowledge of the value of the measurand (see 2.2). The result of a measurement after correction for recognized systematic effects is still only an estimate of the value of the measurand because of the uncertainty arising from random effects and from imperfect correction of the result for systematic effects. sborníky technické harmonizace 2012 23 POZNÁMKA  Výsledek měření (po korekci) může nevědomě být velmi blízký hodnotě měřené veličiny (a tudíž má zanedbatelnou chybu), přestože je zároveň dovoleno, aby měl velkou nejistotu. Proto nejistota výsledku měření nemá být zaměňována se zbývající hodnotou neznámé chyby. NOTE  The result of a measurement (after correction) can unknowably be very close to the value of the measurand (and hence have a  negligible error) even though it may have a large uncertainty. Thus the uncertainty of the result of a measurement should not be confused with the remaining unknown error. 3.3.2  V praxi, je mnoho možných zdrojů nejistoty měření zahrnujících: 3.3.2  In practice, there are many possible sources of uncertainty in a measurement, including: a) neúplné definování měřené veličiny; a) incomplete definition of the measurand; b) nedokonalé definování měřené veličiny; b) imperfect realization of the definition of the measurand; c) nereprezentativní vzorkování  – měřený vzorek nemusí reprezentovat definovanou měřenou veličinu; c) nonrepresentative sampling – the sample measured may not represent the defined measurand; d) nedostatečnou znalost vlivů podmínek okolníhoprostředí naměřenínebonedokonalé měření podmínek okolního prostředí; d) inadequate knowledge of the effects of environmental conditions on the measurement or imperfect measurement of environmental conditions; e) osobní jednostrannost správnosti odečítání na analogových přístrojích; e) personal bias in reading analogue inst- ruments; f) konečné rozlišení přístroje nebo prahová citlivost; f) finite instrument resolution or discrimination threshold; g) nepřesné hodnoty etalonů měření nebo referenčních materiálů; g) inexact values of measurement standards and reference materials; h) nepřesné hodnoty konstant a  dalších parametrů získané z vnějších zdrojů a použité v algoritmu redukce dat; h) inexact values of constants and other parameters obtained from external sources and used in the data-reduction algorithm; i) aproximace a  předpoklady začleněné do metody a postupu měření; i) approximations and assumptions incorporated in the measurement method and procedure; j) kolísání v opakovaných pozorováních měřené veličiny za zdánlivě identických podmínek. j) variations in repeated observations of the measurand under apparently identical conditions. Tyto zdroje nejsou nutně vzájemně závislé a  u  některých zdrojů a) až i) je dovoleno, aby přispívaly ke zdroji j). Samozřejmě, že nepozorovaný systematický vliv nemůže být brán v  úvahu při hodnocení nejistoty výsledku měření, ale přispívá k hodnotě její chyby. These sources are not necessarily independent, and some of sources a) to i) may contribute to source j). Of course, an unrecognized systematic effect cannot be taken into account in the evaluation of the uncertainty of the result of a  measurement but contributes to its error. sborníky technické harmonizace 2012 24 3.3.3  Doporučení INC-1(1980), pracovní skupiny pro pojem nejistota, rozdělilo složky nejistoty do dvou kategorií, „A“ a „B“, a to s ohledem na metody jejich hodnocení (viz 0.7, 2.3.2 a 2.3.3). Tyto kategorie platí pro nejistotu a  nenahrazují slova „náhodný“ a „systematický“. Nejistotu korekce známého systematického vlivu je dovoleno v  některých případech získat hodnocením typu  A a  v  jiných případech hodnocením typu B, jak dovoluje nejistota charakterizující náhodný vliv. 3.3.3  Recommendation INC-1 (1980) of the Working Group on the Statement of Uncertainties groups uncertainty components into two categories based on their method of evaluation, “A” and “B” (see 0.7, 2.3.2, and 2.3.3). These categories apply to uncertainty and are not substitutes for the words “random” and “systematic”. The uncertainty of a correction for a known systematic effect may in some cases be obtained by a Type A evaluation while in other cases by a Type B evaluation, as may the uncertainty characterizing a random effect. POZNÁMKA  V některých publikacích jsou složky nejistoty rozdělené na „náhodné“ a „systematické“ a jsou spojovány s chybami vznikajícími z náhodných vlivů a známých systematických vlivů. Taková kategorizace složek nejistoty může mít při obecném použití více významů. Například „náhodná“ složka nejistoty při jednom měření by mohla být při dalším měření „systematickou“ složkou nejistoty, jestliže výsledek prvního měření je použit jako vstupní údaj. Kategorizací metod hodnocení složek nejistoty, spíše než samotných složek, se můžeme vyvarovat takové dvojznačnosti. Zároveň individuální složky, které byly hodnoceny dvěma odlišnými metodami v  rámci určených skupin, nejsou vyloučeny z použití pro určité účely (viz 3.4.3). NOTE  In  some publications uncertainty components are categorized as “random” and “systematic” and are associated with errors arising from random effects and known systematic effects, respectively. Such categorization of components of uncertainty can be ambiguous when generally applied. For example, a “random” component of uncertainty in one measurement may become a “systematic” component of uncertainty in another measurement in which the result of the first measurement is used as an input datum. Categorizing the methods of evaluating uncertainty components rather than the components themselves avoids such ambiguity. At the same time, it does not preclude collecting individual components that have been evaluated by the two different methods into designated groups to be used for a particular purpose (see 3.4.3). 3.3.4  Účelem klasifikace typu A a typu B  je indikace dvou odlišných cest, jak vyhodnotit složky nejistoty, které  slouží pouze pro ulehčení tohoto výkladu; tato klasifikace neznamená, že existuje nějaký rozdíl v povaze složek vznikajících z těchto dvou typů hodnocení. Oba typy hodnocení jsou postavené na rozdělení pravděpodobností (C.2.3) a složky nejistot vyplývající z obou typů jsou klasifikovány rozptyly nebo směrodatnými odchylkami. 3.3.4  The purpose of the Type A and Type B classification is to indicate the two different ways of evaluating uncertainty components and is for convenience of discussion only; the classification is not meant to indicate that there is any difference in the nature of the components resulting from the two types of evaluation. Both types of evaluation are based on probability distributions (C.2.3), and the uncertainty components resulting from either type are quantified by variances or standard devia- tions. sborníky technické harmonizace 2012 25 3.3.5  Odhadnutý rozptyl u2 , charakterizující složky nejistoty získané z hodnocení způ- sobem A, je vypočítán z  řady opakovaných pozorování a to je známý statistický odhad rozptylu s2 (viz 4.2). Odhadnutá směrodatná odchylka (C.2.12, C.2.21, C.3.3) u, kladná hodnota druhé odmocniny u2 , je tak u = s a pro úplnost je někdy nazývána standardní nejistotou typu A. Pro složky nejistoty získané z hodnocení způsobem B, je odhadnutý rozptyl u2 vyhodnocen pomocí dostupných znalostí (viz 4.3) a odhadnutá směrodatná odchylka u je někdy nazývána standardní nejistotou typu B. 3.3.5  The estimated variance u2 characterizing an uncertainty component obtained from a Type A evaluation is calculated from series of repeated observations and is the familiar statistically estimated variance s2 (see 4.2). The estimated standard deviation (C.2.12, C.2.21, C.3.3) u, the positive square root of u2 , is thus u = s and for convenience is sometimes called a Type A standard uncertainly. For an uncertainty component obtained from a  Type B  evaluation, the estimated variance u2 is evaluated using available knowledge (see 4.3), and the estimated standard deviation u is sometimes called a Type B standard uncertainty. Tedy standardní nejistota typu A je získána z hustoty pravděpodobnosti (C.2.5), získáné z pozorovaného rozdělení četnosti (C.2.18), zatímco standardní nejistota typu B je získana z předpokládané hustoty pravděpodobnosti, určené na základě stupně přesvědčení, že jev se bude vyskytovat [často se nazývá subjektivní pravděpodobnost (C.2.1)]. Oba postupy se používají při uznávaných interpretacích pravděpodobnosti. Thus a Type A standard uncertainty is obtained from a  probability density function (C.2.5) derived from an observed frequency distribution (C.2.18), while a Type B standard uncertainty is obtained from an assumed probability density function based on the degree of belief that an event will occur [often called subjective probability (C.2.1)]. Both approaches employ recognized interpretations of probability. POZNÁMKA  Hodnocení složek nejistoty typem B je obvykle založeno na oblasti porovnatelných spolehlivých informací (viz 4.3.1). NOTE  A Type B evaluation of an uncertainty component is usually based on a pool of comparatively reliable information (see 4.3.1). 3.3.6  Standardní nejistota výsledku měření, pokud je výsledek získán z hodnot řady dalších veličin, je nazývaná kombinovaná standardní nejistota a  označena uc . Je to odhadnutá směrodatná odchylka spojená s výsledkem a je rovna kladné hodnotě druhé odmocniny kombinovaného rozptylu, získaného ze všech složek rozptylu a kovariance (C.3.4), za předpokladu, že vyhodnocení je na základě požadavků zákona o šíření nejistoty, který je uveden v tomto pokynu (viz kapitola 5). 3.3.6  The standard uncertainty of the result of a measurement, when that result is obtained from the values of a  number of other quantities, is termed combined standard uncertainly and denoted by uc . It is the estimated standard deviation associated with the result and is equal to the positive square root of the combined variance obtained from all variance and covariance (C.3.4) components, however evaluated, using what is termed in this Guide the law of propagation of uncertainly (see clause 5). sborníky technické harmonizace 2012 26 3.3.7  Rozšířená nejistota U získaná násobením kombinované standardní nejistoty uc činitelem rozšíření k, je určena pro splnění potřeb některých průmyslových a  obchodních aplikací, stejně jako požadavků v oblasti zdravotnictví a bezpečnosti. Zamýšleným účelem rozšířené nejistoty U  je poskytnout interval výsledku měření, ve kterém je očekávaný předpoklad, že bude obsahovat velký podíl hodnot, které by mohly být přiměřeně přiřazeny k měřené veličině. Výběr činitele k, který je obvykle v rozsahu 2 až 3, je založen na pravděpodobnosti pokrytí nebo požadované konfidenční úrovni intervalu (viz kapitola 6). 3.3.7  To meet the needs of some industrial and commercial applications, as well. as requirements in the areas of health and safety, an expanded uncertainty U  is obtained by multiplying the combined standard uncertainty uc by a coverage factor k. The intended purpose of U  is to provide an interval about the result of a measurement that may be expected to encompass a  large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand. The choice of the factor k, which is usually in the range 2 to 3, is based on the coverage probability or level of confidence required of the interval (see clause 6). POZNÁMKA  Činitel rozšíření k  je vždy stanovený tak, aby standardní nejistota měřené veličiny mohla být obnovená pro použití ve výpočtu kombinované standardní nejistoty jiných výsledků měření, které smí záviset na této veličině. NOTE  The coverage factor k is always to be stated, so that the standard uncertainty of the measured quantity can be recovered for use in calculating the combined standard uncertainty of other measurement results that may depend on that quantity. 3.4  Praktické pokyny 3.4  Practical considerations 3.4.1  Jestliže se změní všechny veličiny, na kterých závisí výsledek měření, potom jeho nejistota může být hodnocena statistickými prostředky. Avšak z důvodu toho, že je to v praxi zřídka možné s ohledem na omezenost času a zdrojů, je nejistota obvykle hodnocena použitím matematického modelu měření a zákona o šíření nejistoty. Proto je v tomto pokynu, implicitní předpoklad, že měření může být matematicky modelováno v  závislosti na požadovaném stupni přesnosti měření. 3.4.1  If all of the quantities on which the result of a measurement depends are varied, its uncertainty can be evaluated by statistical means. However, because this is rarely possible in practice due to limited time and resources, the uncertainty of a measurement result is usually evaluated using a mathematical model of the measurement and the law of propagation of uncertainty. Thus implicit in this Guide is the assumption that a  measurement can be modeled mathematically to the degree imposed by the required accuracy of the measurement. sborníky technické harmonizace 2012 27 3.4.2  Protože matematický model může být neúplný, mají se všechny relevantní veličiny měnit v nejvíce možném rozsahu tak, že hodnocení nejistoty může být založeno co nejvíce na pozorovaných datech. Použití empirických modelů měření, postavených na základě dlouhodobých kvantitativních dat a  použití etalonů, určených k  ověřování a použití kontrolních diagramů, které mohou ukázat, jestli měření je ve statisticky zvládnutelném stavu, to vše, pokud je to možné, má být součástí úsilí získat spolehlivé hodnocení nejistoty. Matematický model má být podroben revizi vždy, když sledovaná data, včetně nezávislého stanovení výsledku stejné měřené veličiny, vykazují, že model je nekompletní. Dobře navržený experiment může značně usnadnit spolehlivá hodnocení nejistoty a je důležitou součástí náročného měření. 3.4.2  Because the mathematical model may be incomplete, all relevant quantities should be varied to the fullest practicable extent so that the evaluation of uncertainty can be based as much as possible on observed data. Whenever feasible, the use of empirical models of the measurement founded on long-term quantitative data, and the use of check standards and control charts that can indicate if a measurement is under statistical control, should be part of the effort to obtain reliable evaluations of uncertainty. The mathematical model should always be revised when the observed data, including the result of independent determinations of the same measurand, demonstrate that the model is incomplete. A  well-designed experiment can greatly facilitate reliable evaluations of uncertainty and is an important part of the art of measurement. 3.4.3  K rozhodnutí, zda je systém měření funkčně vhodný, se experimentálně pozorovaná směrodatná odchylka, získaná prostřednictvím rozptylu naměřených výstupních hodnot, často porovnává s očekávanou směrodatnou odchylkou získanou kombinací různých složek nejistoty, které charakterizují měření. V takových případech mohou být brány v úvahu pouze ty složky (bez ohledu na to, jsou-li získané z hodnocení způsobem A nebo způsobem B), které mají přispívat k experimentálně pozorovanému rozptylu těchto výstupních hodnot. 3.4.3  In order to decide if a measurement system is functioning properly, the experimentally observed variability of its output values, as measured by their observed standard deviation, is often compared with the predicted standard deviation obtained by combining the various uncertainty ‘components that characterize the measurement. In such cases, only those components (whether obtained from Type A or Type B evaluations) that could contribute to the experimentally observed variability of these output values should be considered. POZNÁMKA  Takovou analýzu je dovoleno zjednodušit na rozdělení složek na takové, které přispívají k rozptylu a takové, které nejsou ve dvou oddělených a vhodně označených skupinách. NOTE  Such an analysis may be facilitated by gathering those components that contribute to the variability and those that do not into two separate and appropriately labeled groups. 3.4.4  V některých případech nemusí být nejistota korekce systematického vlivu zahrnuta do hodnocení nejistoty výsledku měření. Nejistota, přestože byla vyhodnocena, může být ignorována v  případě, že není významný její příspěvek ke kombinované standardní nejistotě výsledku měření. Jestli hodnota korekce sama o sobě je nevýznamná ve vztahu ke kombinované standardní nejistotě, je ji dovoleno také ignorovat. 3.4.4  In some cases, the uncertainty of a  correction for a  systematic effect need not be included in the evaluation of the uncertainty of a  measurement result. Although the uncertainty has been evaluated, it may be ignored if its contribution to the combined standard uncertainty of the measurement result is insignificant. If the value of the correction itself is insignificant relative to the combined standard uncertainty, it too may be ignored. sborníky technické harmonizace 2012 28 3.4.5  V praxi se často přihodí, zvláště v oborulegální metrologie, že přístroje jsou zkoušeny porovnáním s etalonem, a že nejistoty spojené s etalonem a postupem porovnání, jsou zanedbatelné ve vztahu k požadované přesnosti zkoušky. Příkladem je používání sady dobře kalibrovaných etalonů hmotnosti ke zkoušení obchodní váhy. V takových případech, kdy složky nejistoty jsou dosti malé, aby mohly být ignorovány, je dovoleno na měření pohlížet, jako na stanovení chyby přístroje na základě zkoušky. (Viz také F.2.4.2). 3.4.5  It often occurs in practice, especially in the domain of legal metrology, that a  device is tested through a  comparison with a  measurement standard and the uncertainties associated with the standard and the comparison procedure are negligible relative to the required accuracy of the test. An example is the use of a set of well-calibrated standards of mass to test the accuracy of a  commercial scale. In such cases, because the components of uncertainty are small enough to be ignored, the measurement may be viewed as determining the error of the device under test. (See also F.2.4.2). 3.4.6  Odhad hodnoty měřené veličiny poskytnutý výsledkem měření, je někdy vyjadřován pomocí přijaté hodnoty etalonu spíše než jednotkami mezinárodního systému jednotek (SI). V takových případech důležitost nejistoty připsatelná k výsledku měření může být významně menší než když tento výsledek je vyjádřen v odpovídající SI jednotce. (Měřená hodnota je zde vlastně nově stanovena jako podíl hodnoty měřené veličiny k převzaté hodnotě etalonu). 3.4.6  The estimate of the value of a measurand provided by the result of a measurement is sometimes expressed in terms of the adopted value of a measurement standard rather than in terms of the relevant unit of the International System of Units (SI). In such cases the magnitude of the uncertainty ascribable to the measurement result may be significantly smaller than when that result is expressed in the relevant SI unit. (In effect, the measurand has been redefined to be the ratio of the value of the quantity to be measured to the adopted value of the standard.) PŘÍKLAD  Vysoce kvalitní Zenerův etalon napětí je kalibrován porovnáním s  Josephsonovým napěťovým jevem na základě konvenční hodnoty Josephsonovy konstanty doporučené CIPM pro mezinárodní použití. Relativní kombinovaná standardní nejistota uc (VS )/VS (viz 5.1.6) kalibrovaného elektrického napětí VS Zenerova etalonu je 2 x 10–8 , pokud je VS udáno jako mnohonásobek dohodnutých hodnot, ale uc (VS )/VS je 4 x 10–7 , pokud je VS udáno jako násobek SI jednotky pro elektrické napětí, ve Voltech (V), protože přidaná nejistota je spojena s SI hodnotou Josephsonovy konstanty. EXAMPLE  A high-quality Zener voltage standard is calibrated by comparison with a  Josephson effect voltage reference based on the conventional value of the Josephson constant recommended for international use by the CIPM. The relative combined standard uncertainty uc (VS )/VS (see 5.1.6) of the calibrated potential difference VS of the Zener standard is 2 x 10–8 when VS is reported in terms of the conventional value, but uc (VS )/VS is 4 x 10–7 when VS is reported in terms of the SI unit of potential difference, the volt (V), because of the additional uncertainty associated with the SI value of the Josephson constant. 3.4.7  Chyby v  zaznamenávání nebo analyzování dat mohou představovat významnou neznámou chybu ve výsledku měření. Velké chyby mohou být obvykle identifikovány vhodným přezkoumáním dat; malé mohou být maskovány nebo se dokonce mohou objevit jako náhodná kolísání. Míra nejistoty není určena k výpočtu takovýchto chyb. 3.4.7  Blunders in recording or analysing data can introduce a significant unknown error in the result of a measurement Large blunders can usually be identified by a proper review of the data; small ones could be masked by, or even appear as, random variations. Measures of uncertainty are not intended to account for such mistakes. sborníky technické harmonizace 2012 29 3.4.8  Ačkoliv tento pokyn poskytuje rámec pro stanovení nejistoty, nemůže nahradit kritické myšlení, intelektuální upřímnost, poctivost a profesní dovednost. Hodnocení nejistoty není ani rutinní ani čistě matematickou otázkou; závisí na podrobné znalosti povahy měřené veličiny a měření. Kvalita a užitek nejistoty pro výsledek měření proto podstatně závisí na porozumění, kritické analýze a  integritě těch, kdo přispívají ke stanovení její hodnoty. 3.4.8  Although this Guide provides a framework for assessing uncertainty, it cannot substitute for critical thinking, intellectual honesty, and professional skill. The evaluation of uncertainty is neither a routine task nor a purely mathematical one; it depends on detailed knowledge of the nature of the measurand and of the measurement. The quality and utility of the uncertainty quoted for the result of a measurement therefore ultimately depend on the understanding, critical analysis and integrity of those who contribute to the assignment of its value. sborníky technické harmonizace 2012 30 4  Hodnocení standardní nejistoty 4  Evaluating standard uncertainty Dodatečné pokyny k hodnocení složek nejistoty, především z  praktického hlediska, jsou v příloze F. Additional guidance on evaluating uncertainty components, mainly of a practical nature, may be found in annex F. 4.1  Modelování měření 4.1  Modeling the measurement 4.1.1  Ve většině případů měřená veličina Y  není přímo měřitelná, ale závisí na N dalších měřitelných veličinách X1 , X2 , ..., XN a to prostřednictvím funkčního vztahu ƒ: 4.1.1  In most cases a measurand Y is not measured directly, but is determined from N  other quantities X1 , X2 ,  ...,  XN through a functional relationship ƒ: 1 2( , , . . . , )NY f X X X= (1) POZNÁMKY NOTES 1 Pro účely hospodaření s poznámkami, je v tomto pokynu použita stejná značka pro fyzikální veličinu (měřená veličina) a  pro náhodnou veličinu (viz 4.2.1), která vyjadřuje možný výstup pozorování této veličiny. Pokud je stanoveno, že Xi má určité rozdělení pravděpodobnosti,  značka bude použita pro druhý význam; předpokládá se, že fyzikální veličina se sama může charakterizovat při nezbytně jednoznačné hodnotě (viz 1.2 a 3.1.3). 1 For economy of notation, in this Guide the same symbol is used for the physical quantity (the measurand) and for the random variable (see 4.2.1) that represents the possible outcome of an observation of that quantity. When it is stated that Xi has a  particular probability distribution, the symbol is used in the latter sense; it is assumed that the physical quantity itself can be characterized by an essentially unique value (see 1.2 and 3.1.3). 2 Při serii pozorování k-tá pozorovaná hodnota proměnné Xi je značená Xi,k ; tudíž jestliže R značí odpor rezistoru, k-tá pozorovaná hodnota odporu bude značena Rk . 2 In a series of observations, the kth observed value of Xi is denoted by Xi,k ; hence if R denotes the resistance of a resistor, the k th observed value of the resistance is denoted by Rk 3 Odhad Xi (přesně řečeno, jeho očekávaná hodnota) je značen xi . 3 The estimate of Xi (strictly speaking, of its expectation) is denoted by xi . PŘÍKLAD  Jestliže napětí V je připojeno k rezistoru závislém na teplotě, který má odpor R0 při stanovené teplotě t0 a lineárním teplotním koeficientu odporu α, výkon P  (měřená veličina) rozptýlený rezistorem při teplotě t závisí na V, R0 , α a t podle následujícího vztahu: EXAMPLE  If a potential difference V is applied to the terminals of a temperature-dependent resistor that has a resistance R0 at the defined temperature t0 and a linear temperature coefficient of resistance α, the power P  (the measurand) dissipated by the resistor at the temperature t depends on V, R0 , α, and t according to P =ƒ(V, R0 , α, t) = V2 /{R0 [1 + α(t – t0 )]} POZNÁMKA  Ostatní metody měření P mohou být modelovány pomocí odlišných matematických výrazů. NOTE  Other methods of measuring P would be modelled by different mathematical expressions. sborníky technické harmonizace 2012 31 4.1.2  Vstupní veličiny X1 , X2 ,  ...,  XN , na kterých výstupní veličina Y závisí, smí samy být považovány za měřené veličiny a  mohou být závislé na jiných veličinách, včetně korekcí a korekčních činitelů pro systematické vlivy, což vede ke komplikovanému funkčnímu vztahu ƒ, který nikdy nemůže být popsán explicitně. Navíc  ƒ  by mohla být určena experimentálně (viz 5.1.4) nebo existovat jenom jako algoritmus, který musí být číselně vyhodnocen. Funkce ƒ jak je znázorněna v tomto pokynu, má být interpretována v tomto širším významu, specielně jako funkce, která obsahuje všechny veličiny, včetně korekcí a  korekčních faktorů, které mohou přispívat významnými komponenty k nejistotě výsledku měření. 4.1.2  The input quantities X1 , X2 ,  ...,  XN upon which the output quantity Y depends may themselves be viewed as measurands and may themselves depend on. other quantities, including corrections and correction factors for systematic effects, thereby leading to a  complicated functional relationship ƒ that may never be written down explicitly. Further, ƒ may be determined experimentally (see 5.1.4) or exist only as an algorithm that must be evaluated numerically. The function ƒ  as it appears in this Guide is to be interpreted in this broader context, in particular as that function which contains every quantity, including all corrections and correction factors, that can contribute a significant component of uncertainty to the measurement result. Jestliže data indikují, že ƒ nemodeluje měření do té míry, jak je uloženo požadovanou přesností výsledku měření, dodatečné vstupní veličiny musí být zahrnuty do ƒ k vyloučení nedostatečnosti (viz 3.4.2). To vyžaduje zavedení vstupní veličiny tak, aby zobrazila neúplné znalosti jevu, který ovlivňuje měřené veličiny. V příkladu 4.1.1, dodatečná vstupní veličina by mohla být potřebná k  výpočtu známého nelineárního rozdělení teploty přes rezistor, možného nelineárního teplotního součinitele odporu nebo možné závislosti odporu na atmosférickém tlaku. Thus, if data indicate that ƒ does not model the measurement to the degree imposed by the required accuracy of the measurement result, additional input quantities must be included in ƒ to eliminate the inadequacy (see 3.4.2). This may require introducing an input quantity to reflect incomplete knowledge of a phenomenon that affects the measurand. In the example of 4.1.1, additional input quantities might be needed to account for a known nonuniform temperature distribution across the resistor, a possible nonlinear temperature coefficient of resistance, or a possible dependence of resistance on barometric pre- ssure. POZNÁMKA  Nicméně, rovnice (1) smí být tak elementární jako Y  =  X1   –  X2 . Tento výraz modeluje například porovnání dvou měření stejné veličiny X. NOTE  Nonetheless, equation (1) may be as elementary as Y  = X1   – X2 . This expression models, for example, the comparison of two determinations of the same quantity X. 4.1.3  Množinu vstupních veličin X1 , X2 , ..., XN je možné členit na: 4.1.3  The set of input quantities X1 , X2 , ..., XN may be categorized as: sborníky technické harmonizace 2012 32 – veličiny, jejichž hodnoty a  nejistoty jsou přímo určené během aktuálního měření. Tyto hodnoty a nejistoty mohou být získány například z jednoho pozorování, z  opakovaných pozorování nebo úsudkem založeným na zkušenosti a mohou obsahovat určení korekce čtení přístroje a korekce ovlivňujících veličin, jako je teplota okolí, atmosférický tlak a  vlh- kost; – quantities whose values and uncertainties are directly determined in the current measurement. These values and uncertainties may be obtained from, for example, a  single observation, repeated observations, or judgement based on experience, and may involve the determination of corrections to instrument readings and corrections for influence quantities, such as ambient temperature, barometric pressure, and humidity; – veličiny, jejichž hodnoty a nejistoty jsou přenesené do postupu měření z vnějších zdrojů, jako jsou veličiny spojené s kalibračním měřením etalonů, certifikovanými referenčními materiály a referenčními daty získanými z příruček. – quantities whose values and uncertainties are brought into the measurement from external sources, such as quantities associated with calibrated measurement standards, certified reference materials, and reference data obtained from hand- books 4.1.4  Odhad měřené veličiny Y, značené y, je získaný z rovnice (1) používající odhady vstupů x1 , x2 , ..., xN pro hodnoty N veličin X1 , X2 , ..., XN . Tedy odhad výstupu y, který je výsledkem měření, je dán rovnicí 4.1.4  An estimate of the measurand Y, denoted by y, is obtained from equation (1) using input estimates x1 , x2 , ..., xN for the values of the N  quantities X1 , X2 ,  ...,  XN . Thus the output estimate y, which is the result of the measurement, is given by 1 2( , , . . . , )Ny f x x x= (2) POZNÁMKA  V některých případech, může být odhad y, získaný z: NOTE  In some cases the estimate y may be obtained from: ∑∑ == === n k kNkk n k k XXXf n Y n Yy 1 21 1 11 ),...,,( ,,, Což znamená, že y je vypočten jako aritmetický průměr nebo průměr (average) (viz 4.2.1) n nezávislých hodnot Yk proměnné Y, kde každá hodnota obsahuje stejné nejistoty a každá je založena na kompletní množině zjištěných hodnot N  vstupních veličin Xi , získaných současně. Takový způsob průměrování ),..,,( NXXXfy 21= , kde That is, y is taken as the arithmetic mean or average (see 4.2.1) of n  independent determinations Yk of Y, each determination having the same uncertainty and each being based on a complete set of observed values of the N input quantities Xi obtained at the same time. This way of averaging, rather than ),..,,( NXXXfy 21= , where 1 , 1 n i k i kX X n == ∑ (pro k = 1, 2,..., n) je aritmetický průměr jednotlivých pozorování Xi,k , může být preferovaný, když ƒ je nelineární funkce vstupních veličin X1 , X2 , ..., XN , ale oba přístupy jsou identické, jestliže ƒ je lineární funkcí Xi (viz H.2 a H.4). 1 , 1 n i k i kX X n == ∑ is the arithmetic mean of the individual observations Xi,k , may be preferable when ƒ is a nonlinear function of the input quantities X1 , X2 , ..., XN , but the two approaches are identical if ƒ is a linear function of the Xi (see H.2 and H.4). sborníky technické harmonizace 2012 33 4.1.5  Odhadnutá směrodatná odchylka spojená s  odhadem hodnoty výstupu nebo výsledku měření y, nazývaná kombinovaná standardní nejistota a  označovaná uc (y), je určena z  odhadu směrodatné odchylky každého odhadu vstupu xi , nazývaného standardní nejistota a  označovaného u(xi ) (viz 3.3.5 a 3.3.6). 4.1.5  The estimated standard deviation associatedwiththeoutputestimateormeasurement result y, termed combined standard uncertainty and denoted by uc (y), is determined from the estimated standard deviation associated with each input estimate xi , termed standard uncertainty and denoted by u(xi ) (see 3.3.5 and 3.3.6). 4.1.6  Každý odhad vstupu xi a k němu připojená standardní nejistota u(xi ) jsou získané z rozdělení možných hodnot vstupní veličiny Xi . Toto rozdělení pravděpodobnosti může být založeno na četnosti, tj. na sérii pozorování Xi,k proměnné Xi   ; nebo to může být apriorní rozdělení. Hodnocení složek standardní nejistoty způsobem A jsou založena na rozdělení četnosti, ale hodnocení způsobem B  jsou založena na apriorních rozděleních. Je třeba připustit, že v obou případech rozdělení jsou modely použity pro vyjádření stavu našich znalostí. 4.1.6  Each input estimate xi and its associated standard uncertainty u(xi ) are obtained from a  distribution of possible values of the input quantity Xi . This probability distribution may be frequency based, that is, based on a series of observations Xi,k of Xi  , or it may be an a priori distribution. Type A  evaluations of standard uncertainty components are founded on frequency distributions while Type B evaluations are founded on a priori distributions. It must be recognized that in both cases the distributions are models that are used to represent the state of our knowlege. 4.2 Hodnocení standardní nejistoty způsobem A 4.2 Type A evaluation of standard uncertainty 4.2.1  V mnoha případech nejlepší dostupný odhad pravděpodobné nebo očekávané hodnoty µq veličiny q, která se náhodně mění [náhodná veličina (C.2.2)] a  pro kterou n  nezávislých pozorování qk bylo získano za stejných podmínek měření (viz B.2.15), je aritmetický průměr nebo průměrná hodnota q (average) (C.2.19) všech n pozorování: 4.2.1  In most cases, the best available estimate of the expectation or expected value µq of a  quantity q  that varies randomly [a random variable (C.2.2)], and for which n  independent observations qk have been obtained under the same conditions of measurement (see B.2.15), is the arithmetic mean or average q (C.2.19) of the n observations: 1 1 n k k q q n = = ∑ (3) Takže, pro vstupní veličinu Xi odhadnutou z  n nezávislých opakovaných pozorování Xi,k je použit aritmetický průměr iX získaný z  funkce (3) jako odhad vstupní hodnoty xi v rovnici (2) pro určení výsledku měření y; tj xi =  iX . Odhady vstupů, které nejsou vyhodnoceny z  opakovaných pozorování, musí být získány jinými metodami, jako tou která je uvedena ve druhé kategorii 4.1.3. Thus, for an input quantity Xi estimated from n ndependent repeated observations Xi,k , the arithmetic mean iX obtained from Equation (3) is used as the input estimate xi in equation (2) to determine the measurement result y; that is, xi =  iX . Those input estimates not evaluated from repeated observations must be obtained by other methods, such as those indicated in the second category of 4.1.3 sborníky technické harmonizace 2012 34 4.2.2  Jednotlivá pozorování qk se liší v hodnotách z důvodu náhodného kolísání ovlivňujících veličin nebo z důvodu náhodných vlivů (viz 3.2.2). Experimentální rozptyl pozorování, který je odhadem rozptylu 2 σ rozdělení pravděpodobnosti q, je v rovnici: 4.2.2  The individual observations qk differ in value because of random variations in the influence quantities, or random effects (see 3.2.2). The experimental variance of the observations, which estimates the variance  2 σ of the probability distribution of q, is given by: 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 n k j j s q q q n = = − − ∑ (4) Tento odhad rozptylu a  jeho kladná druhá odmocnina s(qk ), nazývaná výběrová směrodatná odchylka (B.2.17), charakterizují proměnlivost hodnot pozorování qk nebo přesněji, jejich rozptyl kolem jejich průměru q . This estimate of variance and its positive square root s(qk ), termed the experimental standard deviation (B.2.17), characterize the variability of the observed values qk , or more specifically, their dispersion about their mean q . 4.2.3  Nejlepší odhad 2 2 q nσ σ=( ) / rozptylu průměru je dán následující funkcí: 4.2.3  The best estimate of 2 2 q nσ σ=( ) / , the variance of the mean, is given by 2 2 ( ) ( ) ks q s q n = (5) Experimentální rozptyl průměru 2 ( )s q a  výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty )(qs (B.2.17, poznámka 2), rovnající se kladné hodnotě druhé odmocniny 2 ( )s q , kvantifikují jaká je q úroveň odhadu očekávané hodnoty µq proměnné q, přičemž kterýkoliv z obou je dovoleno použít jako míru nejistotyq . The experimental variance of the mean 2 ( )s q and the experimental standard deviation of the mean )(qs (B.2.17, note 2), equal to the positive square root of 2 ( )s q , quantify how well q estimates the expectation µq of q, and either may be used as a measure of the uncertainty of q . Pro vstupní veličinu Xi určenou z  n nezávislých opakovaných pozorování Xi,k , je standardní nejistota u(xi ) jejího odhadu iix X= , u(xi ) =  ( )is X s  variancí 2 ( )iXs vypočtenou podle rovnice (5). Pro úplnost, 2 ( )iXu  =  2 ( )iXs a u(xi ) =  ( )is X jsou někdy nazývány rozptylem typu A  a tedy standardní nejistotou typu A. Thus, for an input, quantity Xi determined from n independent repeated observations Xi,k , the standard uncertainty u(xi ) of its estimate iix X= is u(xi ) =  ( )is X with 2 ( )iXs calculated according to equation (5). For convenience, 2 ( )iXu =  2 ( )iXs and u(xi ) =  ( )is X are sometimes called a Type A variance and a Type A standard uncertainly, respectively. sborníky technické harmonizace 2012 35 POZNÁMKY NOTES 1 Počet pozorování n musí být dostatečně velký, aby q poskytla spolehlivý odhad očekávané hodnoty µq náhodné veličiny q, a aby )qs (2 poskytla spolehlivý odhad rozptylu n)q 22 ( σσ = (viz 4.3.2, poznámka). Rozdíl mezi )(qs2 a  )q(2σ musí být brán v úvahu při vytváření konfidenčních intervalů (viz 6.2.2). V  případě, že rozdělení pravděpodobnosti proměnné q  je normální rozdělení (viz 4.3.4), rozdíl musí být brán na zřetel použitím t-rozdělení (viz G.3.2). 1 The number of observations n  should be large enough to ensure that q provides a reliable estimate of the expectation µq of the random variable q and that )qs (2 provides a reliable estimate of the variance n)q 22 ( σσ = (see 4.3.2, note). The difference between )(qs2 and )q(2σ must be considered when one constructs confidence intervals (see 6.2.2). In this case, if the probability distribution of q is a normal distribution (see 4.3.4), the difference is taken into account through the t-distribution (see G.3.2). 2 Přestože rozptyl )qs (2 je podstatnější veličina, směrodatná odchylka )(qs je v praxi výhodnější, protože má stejné rozměry jako q a hodnotu jednodušší na pochopení, než rozptyl. 2 Although the variance )s q(2 is the more fundamental quantity, the standard deviation )(qs is more convenient in practice because it has the same dimension as q and a more easily comprehended value than that of the variance. 4.2.4  Pro dobře popsané měření pod statistickou kontrolou, je dovolen jako užitečný použít sdružený odhad rozptylu 2 ps (nebo sdruženou výběrovou směrodatnou odchylku sp ),které charakterizují měření. V těchto případech, pokud je hodnota měřené veličiny q určena z n nezávislých pozorování, výběrový rozptyl aritmetického průměru q je odhadnut lépe pomocí 2 ps n/ než 2 s n( ) /q . Pro standardní nejistotu platí potom pu s n= / . (Viz také poznámka H.3.6). 4.2.4  For a  well-characterized measurement under statistical control, a  combined or pooled estimate of variance 2 ps (or a  pooled experimental standard deviation sp ) that characterizes the measurement may be available. In such cases, when the value of a  measurand q  is determined from n  independent observations, the experimental variance of the arithmetic mean q of the observations is estimated better by 2 ps n/ than by 2 s n( ) /q and the standard uncertainty is pu s n= / . (See also the note to H.3.6.) 4.2.5  Často je odhad xi vstupní veličiny Xi získán z křivky, která je přizpůsobena experimentálním datům a to použitím metody nejmenších čtverců. Odhadnuté rozptyly a z nich vytvořené standardní nejistoty vhodných parametrů charakterizujících křivku a jakékoli odhadnuté body mohou být obvykle vypočteny použitím dobře známých statistických postupů (viz H.3 a citace [8]). 4.2.5  Often an estimate xi of an input quantity Xi . is obtained from a curve that has been fitted to experimental data by the method of least squares. The estimated variances and resulting standard uncertainties of the fitted parameters characterizing the curve and of any predicted points can usually be calculated by well-known statistical procedures (see H.3 and reference [8]). 4.2.6  Počet stupňů volnosti νi (C.2.31) u(xi ) (viz G.3) je roven n – 1 a to v jednoduchém případě, kde xi  =  iX a u(xi ) =  ( )is X je vypočten z n nezávislých pozorování jako v 4.2.1 a 4.2.3 a má být vždy uveden v dokumentaci při hodnocení složek nejistoty způso- bem A . 4.2.6  The degrees of freedom (C.2.31) νi of u(xi ) (see G.3), equal to n – 1 in the simple case where xi  = iX and u(xi ) =  ( )is X are calculated from n independent observations as in 4.2.1 and 4.2.3, should always be given when Type A evaluations of uncertainty components are documented. sborníky technické harmonizace 2012 36 4.2.7  Jestli náhodná kolísání mezi pozorováními vstupní veličiny jsou korelována například v čase, je dovoleno použít střední hodnotu a  výběrovou směrodatnou odchylku střední hodnoty, jak jsou uvedeny v 4.2.1 a 4.2.3, jsou však nevhodnými odhady (C.2.25) pro žádané statistiky (C.2.23). V takových případech, mají být pozorování analyzována pomocí statistických metod speciálně navržených pro zpracování řady korelovaných, náhodně proměnných měření. 4.2.7  If the random variations in the observations of an input quantity are correlated, for example, in time, the mean and experimental standard deviation of the mean as given in 4.2.1. and 4.2.3 may be inappropriate estimators (C.2.25) of the desired statistics (C.2.23). In such cases, the observations should be analysed by statistical methods specially designed to treat a  series of correlated, randomly-varying measurements. POZNÁMKA  Takové specializované metody jsou použity pro zpracování měření frekvenčních etalonů. Avšak, když se přechází z  krátkodobých měření k  dlouhodobým měřením ostatních metrologických veličin je možné, že předpoklad náhodných nekorelovaných rozptylů kolísání nebude nadále validován a  ke zpracování těchto měření by mohly být také použity specializované metody. (Viz například citace [9], podrobnější výklad ohledně Allanova rozptylu.) NOTE  Such specialized methods are used to treat measurements of frequency standards. However, it is possible that as one goes from short-term measurements to long-term measurements of other metrological quantities, the assumption of uncorrelated random variations may no longer be valid and the specialized methods could be used to treat these measurements as well. (See reference [9], for example, for a detailed discussion of the Allan variance.) 4.2.8  Výklad hodnocení standardní nejistoty způsobem A v 4.2.1 až 4.2.7 není vyčerpávající; existuje několik mnohem složitějších situací, které mohou být zpracovány statistickými metodami. Důležitým příkladem je použití postupů kalibrace, často založených na metodě nejmenších čtverců, pro hodnocení nejistot vznikajících jak z krátkodobých, tak z dlouhodobých náhodných kolísání, ve výsledcích porovnávání materiálních artefaktů neznámých hodnot, jako jsou koncové měrky a etalony hmotnosti, s referenčními etalony, které mají známou hodnotu. Při takových porovnatelně jednoduchých situacích měření mohou být složky nejistoty často hodnoceny statistickými analýzami dat získaných z projektů skládajících se z vložené sekvence měření měřené veličiny pro různý počet hodnot veličin, na kterých je závislá takzvaná analýza rozptylu (viz H.5). 4.2.8  The discussion of Type A evaluation of standard uncertainty in 4.2.1 to 4.2.7 is not meant to be exhaustive; there are many situations, some rather complex, that can be treated by statistical methods. An important example is the use of calibration designs, often based on the method of least squares, to evaluate the uncertainties arising from both short- and long-term random variations in the results of comparisons of material artefacts of unknown values, such as gauge blocks and standards of mass, with reference standards of known values. In such comparatively simple measurement situations, components of uncertainty can frequently be evaluated by the statistical analysis of data obtained from designs consisting of nested sequences of measurements of the measurand for a  number of different values of the quantities upon which it depends – a so-called analysis of variance (see H.5). sborníky technické harmonizace 2012 37 POZNÁMKA  U nízkých úrovní řetězce kalibrace, kde referenční etalony jsou často považovány za exaktně známé, protože byly kalibrovany národní nebo primární standardní laboratoří, nejistota výsledku kalibrace smí být jednoduchá standardní nejistota typu A vyhodnocená ze sdružené výběrové směrodatné odchylky, která charakterizuje měření. NOTE  At lower levels of the calibration chain, where reference standards are often assumed to be exactly known because they have been calibrated by a national or primary standards laboratory, the uncertainty of a  calibration result may be a  single Type A standard uncertainty evaluated from the pooled experimental standard deviation that characterizes the measurement. 4.3 Hodnocení standardní nejistoty způsobem B 4.3 Type B evaluation of standard uncertainty 4.3.1  Pro odhad xi vstupní veličiny Xi , který nebyl získaný z opakovaných pozorování, je odhad rozptylu u2 (xi ) nebo standardní nejistoty u(xi ) hodnocený odborným úsudkem, založeném na všech dosažitelných informacích týkajících se možné proměnlivosti Xi . Je dovoleno, že sdružení informací zahrnuje 4.3.1  For an estimate xi of an input quantity Xi that has not been obtained from repeated observations, the associated estimated variance u2 (xi ) or the standard uncertainty u(xi ) is evaluated by scientific judgement based on all of the available information on the possible varia-bility of Xi . The pool of information may include – dřívější měřená data; – previous measurement data; – zkušenosti nebo obecnou znalost chování a vlastností relevantních materiálů a přístrojů; – experience with or general knowledge of the behaviour and properties of relevant materials and instruments; – specifikace výrobce; – manufacturer’s specifications; – poskytnutá data při kalibraci a  ostatní certifikaci; – data provided in calibration and other certificates; – nejistoty připisované referenčním datům převzatým z technických příruček. – uncertainties assigned to reference data taken from handbooks. Pro úplnost u2 (xi ) a u(xi ) vyhodnocené touto cestou jsou někdy nazývány jako rozptyl typu B a standardní nejistota typu B. For convenience, u2 (xi ) and u(xi ) evaluated in this way are sometimes called a  Type B  variance and a  Type B standard uncertainty, respectively. POZNÁMKA  Když xi je získáno z apriorního rozdělení, jeho rozptyl je správně zapsán jako u2 (Xi ), ale pro zjednodušení jsou v tomto pokynu použity u2 (xi ) a u(xi ). NOTE  When xi is obtained from an a priori distribution, the associated variance is appropriately written as u2 (Xi ), but for simplicity, u2 (xi ) and u(xi ) are used throughout this Guide. 4.3.2  Správné použití sdružení dostupných informací o hodnocení standardní nejistoty způsobem B se zakládá na zkušenostech a  obecných znalostech, avšak je to také schopnost, která může být naučena praxí. Má se uznávat, že hodnocení standardní nejistoty způsobem B může být stejně spolehlivé jako hodnocení způsobem A a to zvláště v situaci měření, kde hodnocení způsobem A je založeno na poměrně malém počtu statisticky nezávislých pozorování. 4.3.2  The proper use of the pool of available information for a Type B evaluation of standard uncertainty calls for insight based on experience and general knowledge, and is a skill that can be learned with practice. It should be recognized that a Type B evaluation of standard uncertainty can be as reliable as a Type A evaluation, especially in a  measurement situation where a  Type A  evaluation is based on a  comparatively small number of statistically independent observations. sborníky technické harmonizace 2012 38 POZNÁMKA  Jestliže rozdělení pravděpodobnosti q v poznámce 1 k 4.2.3 je normální rozdělení, potom [ ] )(/)( qqs σσ , směrodatná odchylka )(qs v  poměru k  )(2 qσ , je přibližně [2(n  – 1)]–½ . Tedy je-li brána [ ])qs(σ jako nejistota )(qs , pro n = 10 pozorování, pak relativní nejistota obsažená v  )(qs je 24 %, avšak pro n = 50 pozorování je 10  %. (Další hodnoty jsou uvedeny v tabulce E.1 v příloze E.) NOTE  If the probability distribution of q in note 1 to 4.2.3 is normal, then [ ] )(/)( qqs σσ , the standard deviation of )(qs relative to )(2 qσ , is approximately [2(n – 1)]–½ . Thus, taking [ ])qs(σ as the uncertainty of )(qs , for n = 10 observations the relative uncertainty in )(qs is 24 percent, while for n = 50 observations it is 10 percent. (Additional values are given in table E.1 in annex E.) 4.3.3  Jestliže odhad xi převzatý z  dat výrobce, certifikátů kalibrace, technické příručky nebo jiného zdroje a jeho uvedená nejistota jsou stanoveny jako daný násobek směrodatné odchylky, standardní nejistota u(xi ) je uvedená hodnota dělená násobitelem a  odhad rozptylu u2 (xi ) je druhá mocnina tohoto podílu. 4.3.3  If the estimate xi is taken from a manufacturer’s specification, calibration certificate, handbook, or other source and its quoted uncertainty is stated to be a particular multiple of a  standard deviation, the standard uncertainty u(xi ) is simply the quoted value divided by the multiplier, and the estimated variance u2 (xi ) is the square of that quotient. PŘÍKLAD  V kalibračním certifikátu se stanoví, že hmotnost etalonu z korozivzdorné oceli ms se jmenovitou hodnotou jeden kilogram, je 1 000,000 325 g a nejistota této hodnoty je 240 μg při úrovni trojnásobku směrodatné odchylky. Směrodatná odchylka pro etalon hmotnosti je potom u(mS ) = (240 μg)/3 = 80 μg. To odpovídá relativní standardní nejistotě u(mS )/mS ve výši 80 x 10–9 (viz 5.1.6). Odhad rozptylu je EXAMPLE  A  calibration certificate states that the mass of a stainless steel mass standard mS of nominal value one kilogram is 1 000,000 325 g and that the uncertainty of this value is 240 μg at the three standard deviation level.“ The standard uncertainty of the mass standard is then simply u(mS ) = (240 μg)/3 = 80 μg. This corresponds to a relative standard uncertainty u(mS )/mS of 80 x 10–9 (see 5.1.6). The estimated variance is u2 (mS ) = (80 µg)2  = 6,4 x 10–9  g2 POZNÁMKA  V mnoha případech jsou malé nebo žádné informace o jednotlivých složkách, ze kterých je získána uvedená nejistota. Obecně to není důležité pro vyjádření nejistoty, pokud postupujeme v  souladu s tímto pokynem, protože všechny standardní nejistoty jsou zpracovány stejným způsobem použitým pro výpočet kombinované standardní nejistoty výsledku měření (viz kapitola 5). NOTE  In many cases little or no information is provided about the individual components from which the quoted uncertainty has been obtained. This is generally unimportant for expressing uncertainty according to the practices of this Guide since all standard uncertainties are treated in the same way when the combined standard uncertainty of a  measurement result is calculated (see clause 5). sborníky technické harmonizace 2012 39 4.3.4  Uvedená nejistota xi není nezbytně dána jako násobek směrodatné odchylky podle 4.3.3. Spíše je možné, že uvedená nejistota se určuje v  intervalu, který má 90, 95 nebo 99 % konfidenční úroveň (viz 6.2.2). Předpokládá se, pokud není jinak uvedeno, že bylo použito normální rozdělení (C.2.14) pro výpočet uvedené nejistoty a  k získání standardní nejistoty xi dělením uvedené nejistoty vhodným činitelem normálního rozdělení. Činitele odpovídající výše uvedeným konfidenčním úrovním jsou 1,64; 1,96 a 2,58 (viz také tabulka G.1 v příloze G). 4.3.4  The quoted uncertainty of xi is not necessarily given as a  multiple of a  standard deviation as in 4.3.3. Instead, one may find it stated that the quoted uncertainty defines an interval having a  90, 95, or 99 percent level of confidence (see 6.2.2). Unless otherwise indicated, one may assume that a normal distribution (C.2.14) was used to calculate the quoted uncertainty, and recover the standard uncertainty of xi by dividing the quoted uncertainty by the appropriate factor for the normal distribution. The factors corresponding to the above three levels of confidence are 1,64; 1,96; and 2,58 (see also table G. 1 in annex G). POZNÁMKA  Takový předpoklad není nutný, jestliže nejistota bude uvedena v  souladu s  doporučením tohoto pokynu ohledně záznamu, který zdůrazňuje, že použitý činitel rozšíření je vždy uveden (viz 7.2.3). NOTE  There would be no need for such an assumption if the uncertainty had been given in accordance with the recommendations of this Guide regarding the reporting of uncertainty, which stress that the coverage factor used is always to be given (see 7.2.3). PŘÍKLAD  Kalibrační certifikát uvádí, že odpor etalonového rezistoru RS jmenovité hodnoty 10  Ω je 10,000 742 Ω ± 129 μΩ při 23 °C, a že “uvedená nejistota 129 μΩ určuje interval, který má konfidenční úroveň 99 %“. Standardní nejistotu rezistoru je dovoleno brát jako u(RS )  =  (129 μΩ)/2,58  =  50  μΩ, což odpovídá relativní standardní nejistotě u(RS )/RS ve výši 5,0 x 10–6 (viz 5.1.6). Odhad rozptylu je u2 (RS ) = (50 μΩ)2  = 2,5 x 10–9 Ω2 . EXAMPLE  A calibration certificate states that the resistance of a standard resistor RS of nominal value ten ohms is 10,000 742 Ω ± 129 μΩ at 23 °C and that „the quoted uncertainty of 129 μΩ defines an interval having a level of confidence of 99 percent.“ The standard uncertainty of the resistor may be taken as u(RS ) = (129 μΩ)/2,58 = 50 μΩ, which corresponds to a relative standard uncertainty u(RS )/RS of 5,0 x 10–6 (see 5.1.6). The estimated variance is u2 (RS ) = (50 μΩ)2 = 2,5 x 10–9 Ω2 . 4.3.5  Je možné uvážit případ, kdy na základě dostupných informací je možno stanovit, že „existuje 50 % šance, že hodnota vstupní veličiny Xi leží uvnitř intervalu od a– do a+ “ (jinými slovy, pravděpodobnost, že Xi leží uvnitř tohoto intervalu je 0,5 nebo 50 %). Pokud se může předpokládat, že rozdělení možných hodnot Xi je přibližně normální, potom nejlepší odhad xi pro Xi je možno brát jako střední bod intervalu. Dále, pokud je polovina šířky intervalu označená a  =  (a+   –  a– )/2, je možno předpokládat u(xi ) = 1,48a, protože pro normální rozdělení s očekávanou hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ intervalu je μ ± s /1,48 a zahrnuje přibližně 50 % rozdělení. 4.3.5  Consider the case where, based on the available information, one can state that “there is a  fifty-fifty chance that the value of the input quantity Xi lies in the interval a– to a+ ” (in other words, the probability that Xi lies within this interval is 0,5 or 50 percent). If it can be assumed that the distribution of possible values of Xi . is approximately normal, then the best estimate xi , of Xi can be taken to be the midpoint of the interval. Further, if the half-width of the interval is denoted by a = (a+  – a– )/2, one can take u(xi ) = 1,48a, because for a normal distribution with expectation μ and standard deviation σ the interval μ ± s /1,48 encompasses approximately 50 percent of the distribution. sborníky technické harmonizace 2012 40 PŘÍKLAD  Mechanik určující rozměry jedné části předpokládá, že její délka je s  pravděpodobností 0,5 v  intervalu 10,07 mm až 10,15 mm a uvádí, že l = (10,11 ± 0,04) mm, což znamená, že 0,04  mm určuje interval, který má konfidenční úroveň 50 %. Potom a = 0,04mm a  za předpokladu normálního rozdělení možných hodnot l, standardní nejistota délky je u(l) = 1,48 x 0,04 mm ≈ 0,06 mm a odhad rozptylu u2 (l) = (1,48 x 0,04 mm)2 = 3,5 x 10–3 mm2 . EXAMPLE  A  machinist determining the dimensions of a  part estimates that its length lies with probability 0,5, in the interval 10,07 mm to 10,15 mm, and reports that l = (10.11 ±  0,04) mm, meaning that 0,04 mm defines an interval having a  level of confidence of 50 percent. Then a  = 0,04 mm, and if one assumes a  normal distribution for the possible values of l, the standard uncertainty of the length is u(l) = 1,48 x 0,04 mm ≈ 0,06 mm and the estimated variance is u2 (l) = (1,48 x 0,04 mm)2 = 3,5 x 10–3 mm2 . 4.3.6  Je možné uvážit případ, uvedený v 4.3.5, kde na základě dostupných informací je možno stanovit, že „existuje šance 2 ze 3, že hodnota Xi leží uvnitř intervalu od a– do a+ “ (jinými slovy, pravděpodobnost, že Xi leží uvnitř tohoto intervalu je zhruba 0,67). Je možné brát u(xi ) = a, protože pro normální rozdělení s očekávanou hodnotou μ a směrodatnou odchylku σ, interval μ ± σ pokryje 68,3 % rozdělení. 4.3.6  Consider a  case similar to that of 4.3.5 but where, based on the available information, one can state that.  “there is about a  two out of three chance that the value of Xi lies in the interval a– to a+ ”  (in other words, the probability that Xi lies within this interval is about 0,67). One can then reasonably take u(xi ) = a, because for a normal distribution with expectation μ  and standard deviation σ  the interval μ ± σ encompasses about 68,3 percent of the distribution. POZNÁMKA  Hodnotě u(xi ) by mohlo být dáno podstatně více významů, než jí zřejmě přísluší, pokud se použije aktuální normální odchylka 0,967 42 odpovídající pravděpodobnosti p = 2/3, tj. pokud u(xi ) = a/0,967 42 = 1,033 a. NOTE  It. would give the value of u(xi ) considerably more significance than is obviously warranted if one were to use the actual normal deviate 0,96742 corresponding to probability p = 2/3, that is, if one were to write u(xi .) = a/0,967 42 = 1,033 a. 4.3.7  V dalších případech je dovoleno odhadnout pouze hranice (horní a dolní mezní rozměr) pro Xi , zvláště při konstatování: „pravděpodobnost, že hodnota Xi leží v intervalu od a– do a+ pro všechny praktické účely je rovna 1 a pravděpodobnost, že Xi leží mimo tento interval je v podstatě 0“. Jestliže neexistují speciální znalosti ohledně možných hodnot Xi uvnitř intervalu, pak se může pouze předpokládat, že je stejně pravděpodobné pro Xi , aby ležela kdekoliv uvnitř intervalu (rovnoměrné nebo pravoúhlé rozdělení možných hodnot – viz 4.4.5 a diagram 2a). Potom xi , očekávaná hodnota Xi , je střední bod intervalu xi  = (a–  + a+ )/2, s příslušným rozptylem 4.3.7  In other cases it may be possible to estimate only bounds (upper and lower limits) for Xi , in particular, to state that “the probability that the value of Xi . lies within the interval a– to a+ for all practical purposes is equal to one and the probability that Xi lies outside this interval is essentially zero.” If there is no specific knowledge about the possible values of Xi within the interval, one can only assume that it is equally probable for Xi to lie anywhere within it (a uniform or rectangular distribution of possible values – see 4.4.5 and figure 2a). Then xi , the expectation or expected value of Xi , is the midpoint of the interval, xi = (a– + a+ )/2, with associated variance u2 (xi ) = (a+  – a– )2 /12 (6) Jestliže rozdíl mezi hranicemi a+  - a– je označený 2a, pak rovnice (6) přejde do tvaru: If the difference between the bounds, a+  – a– , is denoted by 2a, then equation (6) becomes sborníky technické harmonizace 2012 41 u2 (xi ) = a2 / 3 (7) POZNÁMKA  Pokud složka nejistoty určená tímto způsobem přispívá významně k nejistotě výsledku měření, je obezřetné získat dodatečná data pro jeho další hodnocení. NOTE  When a  component of uncertainty determined in this manner contributes significantly to the uncertainty of a measurement result, it is prudent to obtain additional data for its further evaluation PŘÍKLADY EXAMPLES 1 V technické příručce se uvádí hodnota součinitele teplotní délkové roztažnosti čisté mědi při 20  °C, α20 (Cu), jako 16,52 x 10–6 °C–1  a  jednoduše vyjadřuje, že „chyba této hodnoty nemá překročit 0,40  x  10–6  °C–1 “. Na základě této omezující informace není nerozumné předpokládat, že hodnota α20 (Cu) leží se stejnou pravděpodobností v intervalu od 16,12 x 10–6 °C–1 do 16,92 x 10–6 °C–1 a  je velmi nepravděpodobné, že α20 (Cu) leží mimo tento interval. Rozptyl tohoto symetrického pravoúhlého rozdělení možných hodnot α20 (Cu) s  poloviční šířkou a = 0,40 x 10–6 °C–1 je potom podle rovnice (7): u2 (α20 ) = (0,40 x 10–6 °C–1 )2 /3 = 53,3 x 10–15  °C–2 a standardní nejistota je 1 A handbook gives the value of the coefficient of linear thermal expansion of pure copper at 20 °C, α20 (Cu), as 16,52 x 10–6 °C–1 and simply states that “the error in this value should not exceed 0,40 x10–6 °C–1 .” Based on this limited information, it is not unreasonable to assume that the value of α20 (Cu) lies with equal probability in the interval 16,12 x 10–6 °C–1 to 16,92 x 10–6 °C–1 and that it is very unlikely that α20 (Cu) lies outside this interval. The variance of this symmetric rectangular distribution of possible values of α20 (Cu) of half-widht a = 0,40 x 10–6 °C–1 is then, from equation (7), u2 (α20 ) = (0,40 x 10–6 °C–1 )2 /3 = 53,3 x 10–15 °C–2 , and the standard uncertainty is u(α20 ) = (0,40 x 10–6 °C–1 )/ 3 = 0,23 x 10–6 °C–1 2 Specifikace výrobce digitálního voltmetru vyjadřuje, že „v době od jednoho roku do dvou let po kalibraci přístroje, jeho přesnost v rozsahu 1 V je 14 x 10–6 násobku odečtítané hodnoty plus 2 x 10–6 násobek rozsahu“. Přepokládá se, že přístroj byl používán po dobu 20 měsíců po kalibraci k měření napětí V v jeho rozsahu 1 V. Aritmetický průměr několika nezávislých opakovaných pozorování veličiny V je V5719280,V = při standardní nejistotětypuA u(V ) = 12µV.Jemožnozískatstandardní nejistotu vycházející ze specifikace výrobce hodnocením standardní nejistoty způsobem B za předpokladu, že udaná přesnost poskytuje k V symetrické meze přídavné korekce ∆V s očekávanou hodnotou rovnou nule a  se stejnou pravděpodobností, že její hodnota leží kdekoliv uvnitř těchto mezí. Poloviční šířka symetrického pravoúhlého rozdělení možných hodnot ∆V je tedy a  = (14 x 10–6 ) x (0,928 571 V) +  (2 x 10–6 ) x (1 V) =  15 µV. Podle rovnice (7) se vypočítá u2 (∆V ) =  75 µV2 a  u(∆V ) =  8,7 µV. Odhad hodnoty měřené veličiny V, je dán vztahem V =  V  + ∆V  = 0,928 571 V. Kombinovaná standardní nejistota tohoto odhadu se získá kombinací 12 µV standardní nejistoty hodnocené způsobem A  pro V a s  8,7  µV standardní nejistoty hodnocné způsobem B  pro ∆V . Obecná metoda pro kombinaci složek standardní nejistoty je uvedena v  kapitole 5, přičemž tento příklad je předmětem 5.1.5. 2 A manufacturer’s specifications for a digital voltmeter state that “between one and two years after the instrument is calibrated, its accuracy on the 1 V range is 14 x 10–6 times the reading plus 2 x 10–6 times the range.” Consider that the instrument is used 20 months after calibration to measure on its 1 V range a potential difference V, and the arithmetic mean of a number ‘of independent repeatedobservations of V is found to be V = 0,928 571 V with a Type A standard uncertainty u(V ) = 12 µV. One can obtain the standard uncertainty associated with the manufacturer’s specifications from a Type B evaluation by assuming that the stated accuracy provides symmetric bounds to an additive correction to V , ∆V , of expectation equal to zero and with equal probability of lying anywhere within the bounds. The halfwidth a  of the symmetric rectangular distribution of possible values of ∆V is then a = (14 x 10–6 ) x (0,928 571 V) + (2 x 10–6 ) x (1 V) = 15 µV, and from equation (7), u2 (∆V ) = 75 µV2 and u(∆V ) = 8,7 µV. The estimate of the value of the measurand V, for simplicity denoted by the same symbol V, is given by V = V + ∆V = 0,928 571 V. One can obtain the combined standard uncertainty of this estimate by combining the 12 µV Type A standard uncertainty of V with the 8,7 µV Type B standard uncertainty of ∆V . The general method for combining standard uncertainty components is given in clause 5, with this particular example treated in 5.1.5. sborníky technické harmonizace 2012 42 4.3.8  V  4.3.7 horní a  dolní meze a+ a  a– pro vstupní veličinu Xi nemusí být symetrické s ohledem na nejlepší odhad xi . Přesněji, jestliže dolní mez je stanovena jako a–  = xi  – b– a horní mez je a+  = xi  + b+ , potom b–  ≠ b+ . Protože v tomto případě xi (předpokladaná jako nejlepší odhad Xi ) není uprostřed intervalu mezi a+ a a– , rozdělení pravděpodobnosti Xi nemůže být rovnoměrné přes celý interval. Pokud není dostupný dostatek informací pro výběr vhodného rozdělení, rozdílné modely povedou k rozdílnému vyjádření rozptylu. Při nedostatku takových informací nejjednodušším přiblížením je 4.3.8  In 4.3.7 the upper and lower bounds a+ and a– for the input quantity Xi may not be symmetric with respect to its best estimate xi ; more specifically, if the lower bound is written as a– = xi  – b– and the upper bound as a+ = xi + b+ , then b– ≠ b+ . Since in this case xi (assumed to be the expectation of Xi ) is not at the centre of the interval a– to a+ , the probability distribution of Xi cannot be uniform throughout the interval. However, there may not be enough information available to choose an appropriate distribution; different models will lead to different expressions for the variance. In the absence of such information the simplest approximation is 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 12 12 i b b a a u x + − + −+ + = = (8) jež je rozptylem pravoúhlého rozdělení s celoušířkoub+  + b– .(Asymetrickérozdělení je také vysvětleno v F.2.4.4 a G.5.3). which is the variance of a rectangular distribution with full width b+  + b– . (Asymmetric distributions are also discussed in F.2.4.4 and G.5.3.) PŘÍKLAD  V příkladu 1 v 4.3.7, je v technické příručce hodnota součinitele α20 (Cu) = 16,52 x 10–6  °C–1 a je uvedeno, že „nejmenší možná hodnota je 16,40 x 10–6  °C–1 a největší možná hodnota je 16,92 x 10–6  °C–1“ . Potom platí b–  = 0,12 x 10–6  °C–1 , b+  = 0,40 x 10–6  °C–1 , a z rovnice (8) u(α20 ) = 0,15 x 10–6 °C–1 . EXAMPLE  If in example 1  of 4.3.7 the value of the coefficient is given in the handbook as α20 (Cu) = 16,52 x 10–6 °C–1 and it is stated that “the smallest possible value is 16,40  x  10–6  °C–1 and the largest possible value is 16,92  x  10–6   °C–1“ , thenb–  =  0,12  x  10–6  °C–1 , b+   =  0,40  x  10–6   °C–1 , and, from equation (8), u(α20 ) = 0,15 x 10–6 °C–1 . POZNÁMKY NOTES 1 V mnoha situacích praktického měření, kde jsou nesymetrické meze, je vhodné aplikovat korekce pro odhad xi velikosti (b+ – b– )/2 tak, aby nový odhad ix′ veličiny Xi byl uprostřed mezí ix′  = (a+  – a– )/2. To redukuje situaci tak, aby byla podobná případu z 4.3.7 s  novými hodnotami +′b =  −′b = (b+  – b– ) /2 = (a+  – a– ) /2 = a. 1 In many practical measurement situations where the bounds are asymmetric, it may be appropriate to apply a  correction to the estimate xi of magnitude (b+   – b– ) /2 so that the new estimate ix′ of Xi is at the midpoint of the bounds: ix′ =  (a+   – a– ) /2 This reduces the situation to the case of 4.3.7, with new values +′b =  −′b = (b+  – b– ) /2 = (a+  – a– ) /2 = a. 2 Na základě principu maximální entropie může platit pro funkci hustoty pravděpodobnosti v  případě asymetrie: p(Xi ) =  A exp[– λ(Xi   – xi )], kde A  = [b– exp(λb– )] +  b+ exp(–λb+ )]–1 a λ = {exp[λ(b– + b+ )] – 1}/ {b– exp[λ(b– +b+ )] + b+ }. Toto vede k rozptylu u2 (xi ) = b+ b–  – (b+  – b– )/λ; pro b+ > b– , λ > 0 a pro b+ < b– , λ < 0. 2 Based on the principle of maximum entropy, the probability density function in the asymmetric case may be shown to be p(Xi ) = A exp [– λ(Xi  – xi )], with A  = [b– exp(λb– )] +  b+ exp(–λb+ )]–1 and λ  = {exp[λ(b– +  b+ )]  – 1}/ {b– exp[λ(b– +b+ )] +  b+ }. leads to the variance u2 (xi ) =  b+ b–   – (b+   – b– )/λ; for b+ > b– , λ > 0 and for b+ < b– , λ < 0. sborníky technické harmonizace 2012 43 4.3.9  Protože v  4.3.7 nebyly žádné specifické znalosti ohledně možných hodnot Xi mezi jejich odhadnutými mezemi od a– do a+ , mohlo být pouze předpokládáno, že se stejnou pravděpodobností Xi může nabývat jakýchkoliv hodnot uvnitř těchto mezí a  s nulovou pravděpodobností, že budou mimo něj. Takové stupně funkce nespojitosti v  rozdělení pravděpodobnosti jsou často nefyzikální. V  mnoha případech, je mnohem reálnější očekávat, že hodnoty blíže k mezím jsou méně pravděpodobné než ty, které jsou blíže ke střednímu bodu. Je potom rozumné, aby symetrické pravoúhlé rozdělení bylo nahrazeno symetrickým lichoběžníkovým rozdělením, které má stejně šikmé strany (lichoběžník se stejnými stranami) a  šířku základny a+   –  a–   =  2a a výšku 2aβ, kde 0 ≤  β ≤  1. Pokud β → 1, tak toto lichoběžníkové rozdělení se blíží k pravoúhlému rozdělení ze 4.3.7, a když β = 0 je toto rozdělení trojúhelníkové (viz 4.4.6 a obrázek 2b). Za předpokladu lichoběžníkového rozdělení pro Xi platí, že očekávaná hodnota veličiny Xi je xi  = (a–  + a+ )/2 a k němu přiřazený rozptyl je: 4.3.9  In 4.3.7, because there was no specific knowledge about the possible values of Xi within its estimated bounds a– to a+ , one could only assume that it was equally probable for Xi to take any value within those bounds, with zero probability of being outside them. Such step function discontinuities in a  probability distribution are often unphysical. In many cases it is more realistic to expect that values near the bounds are less likely than those near the midpoint. It is then reasonable to replace the symmetric rectangular distribution with a symmetric trapezoidal distribution having equal sloping sides (an isosceles trapezoid), a base of width a+  – a– = 2a, and a top of width 2aβ, where 0 ≤  β ≤  1. As β → 1  this trapezoidal distribution approaches the rectangular distribution of 4.3.7, while for β  = 0  it is a  triangular distribution (see 4.4.6 and figure 2b). Assuming such a trapezoidal distribution for Xi , one finds that the expectation of Xi is xi = (a– + a+ )/2 and its associated variance is: u2 (xi ) = a2 (1 + β2 )/6 (9a) kde v případě trojúhelníkového rozdělení je β = 0, which becomes for triangular distribution β = 0, u2 (xi ) = a2 /6 (9b) POZNÁMKY NOTES 1 Pro normální rozdělení s  očekávanou hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ, interval μ ± 3σ obsahuje zhruba 99,73 % rozdělení. Pokud tedy horní a dolní meze a+ a a– určují 99,73 procentní meze spíše než 100procentní meze a může být předpokládáno, že Xi bude aproximováno normálním rozdělením spíše než, že zde nejsou specifické znalosti o Xi mezi hranicemi jako v 4.3.7, potom u2 (xi ) = a2 /9. Podle porovnání, rozptyl symetrického pravoúhlého rozdělení s poloviční šířkou a je a2 /3 [rovnice (7)] a rozptyl symetrického trojúhelníkového rozdělení s poloviční šířkou a je a2 /6 [rovnice (9b)]. Hodnoty rozptylů tří rozdělení jsou překvapivě podobné z pohledu velkých rozdílů v množství informací požadovaných k jejich oprávněnosti. 1 For a normal distribution with expectation μ and standard deviation σ, the interval μ ± 3σ encompasses approximately 99,73 percent of the distribution. Thus, if the upper and lower bounds a+ and a– define 99,73 percent limits rather than 100 percent limits, and Xi can be assumed to be approximately normally distributed rather than there being no specific knowledge about Xi between the bounds’ as in 4.3.7, then u2 (xi ) = a2 /9. By comparison, the variance of a symmetric rectangular distribution of half-width a is a2 /3 [equation (7)] and that of a  symmetric triangular distribution of half width a is a2 /6 [equation (9b)]. The magnitudes of the variances of the three distributions are surprisingly similar in view of the large differences in the amount of information required to justify them. sborníky technické harmonizace 2012 44 2 Lichoběžníkové rozdělení je ekvivalentní konvoluci dvou pravoúhlých rozdělení [10], kde jedno s  poloviční šířkou a1 se rovná průměrné poloviční šířce lichoběžníku, a1  = a(1 + β)/2, a druhé s poloviční šířkou a2 se rovná průměrné šířce jedné trojúhelníkové části lichoběžníku a2  = a(1 – β)/2. Rozptyl rozdělení je u2   =  2 1 / 3a   +  2 2 / 3a . Složené rozdělení může být vysvětleno jako pravoúhlé rozdělení, jehož šířka 2a1 má sama nejistotu znázorněnou pravoúhlým rozdělením se šířkou 2a2 a modeluje skutečnost, kdy meze pro nějaké vstupní veličiny nejsou přesně známé. Ale i kdyby a2 byla tak velká jako 30 % a1 , u bude větší než 31 /a s pravděpodobností menší než 5 %. 2 The trapezoidal distribution is equivalent to the convolution of two rectangular distributions [10], one with a half-width a1 equal to the mean half-width of the trapezoid, a1 = a(1 + β)/2, the other with a half- widtha2 equaltothemeanwidthofone of the triangular portions of the trapezoid, a2 = a(1 – β)/2. The variance of the distribution u2 =  2 1 / 3a +  2 2 / 3a . The convolved distribution can be interpreted as a  rectangular distribution whose width 2a1 has itself an uncertainty represented by a rectangular distribution of width 2a2 and models the fact that the bounds on an input quantity are not exactly known. But even if a2 is as large as 30 percent of a1 , u exceeds 31 /a by less than 5 percent. 4.3.10  Je důležité, aby složky nejistoty nebyly „započítany dvakrát“. Jestliže složka nejistoty, která roste následkem známého vlivu je získána z hodnocení způsobem B má být zahrnuta jako nezávislá složka nejistoty ve výpočtu kombinované standardní nejistoty výsledku měření pouze k prokázání, že vliv nepřispívá ke sledované proměnlivosti pozorování. To je proto, že nejistota způsobená částí vlivu, který přispívá k pozorovanému rozptylu je vždy obsažena ve složce nejistoty získané ze statistiké analýzy pozorování. 4.3.10  It is important not to “double-count” uncertainty components. If a component of uncertainty arising from a particular effect is obtained from a Type B evaluation, it should be included as an independent component of uncertainty in the calculation of the combined standard uncertainty of the measurement result only to the extent that the effect does not contribute to the observed variability of the observations. This is because the uncertainty due to that portion of the effect that contributes to the observed variability is already included in the component of uncertainty obtained from the statistical analysis of the observations. 4.3.11  Výklad hodnocení standardní nejistoty způsobem B v 4.3.3 až 4.3.9 je míněn pouze jako ukázka. Navíc hodnocení nejistoty má být založeno v  největší možné míře na kvantitativních datech, jak je uvedeno v 3.4.1 a 3.4.2. 4.3.11  The discussion of Type B evaluation of standard uncertainty in 4.3.3 to 4.3.9 is meant only to be indicative. Further, evaluations of uncertainty should be based on quantitative data to the maximum extent possible, as emphasized in 3.4.1 and 3.4.2. 4.4 Grafické znázornění hodnocení standardní nejistoty 4.4 Graphical illustration of evaluating standard uncertainty 4.4.1  Obrázek 1 znázorňuje odhad hodnoty vstupní veličiny Xi  a hodnocení nejistoty tohoto odhadu z neznámého rozdělení možných měřených hodnot Xi , nebo z rozdělení Xi , nebo rozdělení pravděpodobnosti Xi , které je vzorkováno na základě opakovaných pozorování. 4.4.1  Figure 1  represents the estimation of the value of an input quantity Xi and the evaluation of the uncertainty of that estimate from the unknown distribution of possible measured values of Xi , or probability distribution of Xi , that is sampled by means of repeated observations. sborníky technické harmonizace 2012 45 4.4.2  Na obrázku 1a je předpoklad, že vstupní veličina Xi je teplota t  a  její neznámé rozdělení je normální rozdělení s očekávanou hodnotou μ = 100 °C a směrodatnou odchylkou σ = 1,5 °C. Její hustota pravděpodobnosti (viz C.2.14) je tedy 4.4.2  In figure 1a it is assumed that the input quantity Xi is a  temperature t  and that its unknown distributioriis a  normal distribution with expectation μ  = 100 °C and standard deviation σ = 1,5 °C. Its probability density function (see C.2. 14) is then 2 1 1 ( ) exp 22 tt p t µ σσ π  −  = −       POZNÁMKA  Definice hustoty pravděpodobnosti p(z) vyžaduje, aby vyhověla vztahu ( ) dp z z∫  = 1. NOTE  The definition of a probability density function p(z) requires that the relation ( ) dp z z∫ = 1 is satisfied. 4.4.3  Obrázek 1b znázorňuje histogram n = 20 opakovaných pozorování tk teploty t, za předpokladu, že jsou převzata náhodně z rozdělení na obrázku 1a. K sestavení histogramu je 20 pozorování nebo vzorků, jejichž hodnoty jsou uvedeny v tabulce 1, seskupeno do intervalů širokých 1 °C. (Příprava histogramu samozřejmě není požadována pro statistickou analýzu dat). 4.4.3  Figure 1b shows a  histogram of n = 20 repeated observations tk of the temperature t that are assumed to have been taken randomly from the distribution of figure la. To obtain the histogram, the 20 observations or samples, whose values are given in table 1, are grouped into intervals 1 °C wide. (Preparation of a histogram is, of course, not required for the statistical analysis of the data.) Aritmetický průměr nebo střední hodnota t pro n = 20 pozorování vypočítaný podle rovnice (3) je t  = 100,145 °C ≈ 100,14 °C a je předpoklad, že je to nejlepší odhad očekávané hodnoty µt pro t sestavený na základě dostupných dat. Výběrová směrodatná odchylka s(tk ) vypočítaná podle rovnice (4) je s(tk ) = 1,489 °C ≈ 1,49 °C a výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty s(t ) vypočítaná podle rovnice (5), The arithmetic mean or average t of the n = 20 observations calculated according to equation (3) ist = 100,145 °C ≈ 100,14 °C and is assumed to be the best estimate of the expectation µt . of t based on the available data. The experimental standard deviation s(tk ) calculated from equation (4) is s(tk ) = 1,489 °C ≈ 1,49 °C, and the experimental standard deviation of the mean s(t ) calculated from equation (5), which is the standard která je standardní nejistota u(t ) průměru t jeu(t )=s(t )=s(tk )/ 02 =0,333°C ≈ 0,33 °C. (Pro další výpočty je vhodné, aby všechny číslice byly zachovány.) uncertainty u(t ) of the mean t , is u(t ) = s(t ) = s(tk )/ 02  = 0,333 °C ≈ 0,33 °C. (For further calculations, it is likely that all of the digits would be retained.) POZNÁMKA  Ačkoliv data v tabulce 1 nejsou pravděpodobná vzhledem k  rozšířenému užívání vysoce rozlišovacích digitálních elektronických teploměrů, jsou pro ilustrativní účely a nemají být proto nutně interpretována jako popis skutečného měření. NOTE  Although the data in table 1  are not implausible considering the widespread use of high-resolution digital electronic thermometers, they are for illustrative purposes and should not necessarily be interpreted as describing a real measurement. sborníky technické harmonizace 2012 46 Tabulka 1 – Dvacet opakovaných pozorování teploty t seskupených v intervalech 1 °C Table 1 – Twenty repeated observations of the temperature t grouped in 1 °C intervals Interval t1  ≤ t ≤ t2 Teplota Temperature t/°C t1 /°C t2 /°C 94,5 95,5 – 95,5 96,5 – 96,5 97,5 96,90 97,5 98,5 98,18; 98,25 98,5 99,5 98,61; 99,03; 99,49 99,5 100,5 99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42 100,5 101,5 100,68; 100,95; 101,11; 101,20 101,5 102,5 101,57; 101,84; 102,36 102,5 103,5 102,72 103,5 104,5 – 104,5 105,5 – sborníky technické harmonizace 2012 47 a) b) Obrázek 1 – Grafické znázornění výpočtu standardní nejistoty vstupní veličiny z opakovaných pozorování Figure 1 – Graphical illustration of evaluating the standard uncertainty of an input quantity from repeated observation sborníky technické harmonizace 2012 48 a) b) Obrázek 2 – Grafické znázornění výpočtu standardní nejistoty vstupní veličiny z apriorního rozdělení Figure 2 – Graphical illustration of evaluating the standard uncertainty of an input quantity from an a priori distribution sborníky technické harmonizace 2012 49 4.4.4  Obrázek 2  znázorňuje odhad hodnoty vstupní veličiny Xi   a  hodnocení nejistoty tohoto odhadu z apriorního rozdělení možných hodnot Xi nebo rozdělení pravděpodobnosti Xi založeném na všech dostupných informacích. Při znázornění obou případů se předpokládá, že vstupní veličina je opět teplota t. 4.4.4  Figure 2  represents the estimation of the value of an input quantity Xi and the evaluation of the uncertainty of that estimate from an a  priori distribution of possible values of Xi , or probability distribution of Xi , based on all of the available information. For both cases shown, the input quantity is again assumed to be a temperature t. 4.4.5  V případě znázorněném na obrázku 2a se předpokládá, že je velmi málo informací dostupných ohledně vstupní veličiny t. Vše, co lze udělat, je to, že se předpokládá, že t má symetrické pravoúhlé apriorní rozdělení pravděpodobnosti mající dolní mez a– 96 °C a horní mez a+  = 104 °C a tedy poloviční šířka a = (a+  – a– )/2 = 4 °C (viz 4.3.7). Hustota pravděpodobnosti t je tedy 4.4.5  For the case illustrated in figure 2a, it is assumed that little information is available about the input quantity t and that all one can do is suppose that t is described by a symmetric, rectangular a priori probability distribution of lower bound a– = 96 °C, upper bound a+ = 104 °C, and thus half-width a = (a+  – a– )/2 = 4 °C (see 4.3.7). The probability density function of t is then p(t) = 1/2a pro a–  ≤ t ≤ a+ p(t) = 0 ve všech ostatních případech. p(t) = 0, otherwise. Jak je uvedeno v  4.3.7, nejlepší odhad proměnné t  je její očekávaná hodnota µt , = (a+  + a– )/2 = 100 °C. Toto vyplývá z C.3.1. Standardní nejistota tohoto odhadu je u(µt ) = a/ 3  ≈ 2,3 °C, což vyplývá ze C.3.2 [viz rovnice (7)]. As indicated in 4.3.7, the best estimate of t is its expectation µt , = (a+ + a– )/2 = 100 °C, which follows from C.3.1. The standard uncertainty of this estimate is u(µt ) = a / 3 ≈ 2,3 °C, which follows from C.3.2 [see equation (7)]. 4.4.6  V případě znázorněném na obrázku 2b, se předpokládá, že dostupné informace ohledně proměnné t jsou méně limitovány a že t může být popsáno symetrickým trojúhelníkovým aprioriním rozdělním, majícím stejnou dolní mez a–  = 96 °C, stejnou horní mez a+  = 104 °C, a tedy stejnou poloviční šířku a = (a+  – a– )/2 = 4 °C jako je v 4.4.5 (viz 4.3.9). Hustota pravděpodobnosti t je tedy 4.4.6  For the case illustrated in figure 2b, it is assumed that the available information concerning t is less limited and that t can be described by a  symmetric, triangular a priori probability distribution of the same lower bound a– =  96.°C, the same upper bound a+ = 104 °C, and thus the same halfwidth a = (a+  – a– )/2 = 4 °C as in 4.4.5 (see 4.3.9). The probability density function of t is then p(t)= (t – a– ) / a2 , a– ≤ t ≤ (a+ + a– ) / 2 p(t)= (a+  – t) / a2 , (a+ + a– ) / 2 ≤ t ≤ a+ p(t) = 0, ve všech ostatních případech. otherwise. Jak je uvedeno v 4.3.9, očekávaná hodnota proměnné t je µt = (a+ + a– )/ 2 = 100 °C, která vyplývá z C.3.1. As indicated in 4.3.9, the expectation of t is µt = (a+ + a– )/ 2 = 100 °C, which follows from C.3.1. Standardní nejistota tohoto odhadu je u(µt ) = a /  6  ≈ 1,6 °C, což vyplývá z C.3.2 [viz rovnice (9b)]. The standard uncertainty of this estimate is u(µt ) = a /  6 ≈ 1,6 °C, which follows from C.3.2 [see equation (9b)]. sborníky technické harmonizace 2012 50 Tuto výše uvedenou hodnotu u(µt ) = 1,6 °C je dovoleno porovnávat s  u(µt )  =  2,3  °C získanou v 4.4.5 z pravoúhlého rozdělení se stejnou 8 °C šířkou; s σ = 1,5 °C normálního rozdělení na obrázku 1a, jehož šířka od –2,58 σ do +2,58 σ obsáhne 99 % rozdělení, je skoro 8 °C; a s u(t ) = 0,33 °C získanou v 4.4.3 z 20 náhodných pozorování z téhož normálního rozdělení. The above value, u(µt ) =  1,6 °C, may be compared with u(µt ) =  2,3 °C obtained in 4.4.5 from a rectangular distribution of the same 8 °C width; with σ = 1,5 °C of the normal distribution of figure la whose –2,58 σ to +2,58 σ width, which encompasses 99 percent of the distribution, is nearly 8 °C; and with u(t ) = 0,33 °C obtained in 4.4.3 from 20 observations assumed to have been taken randomly from the same normal distribution. sborníky technické harmonizace 2012 51 5  Určení kombinované standardní nejistoty 5  Determining combined standard uncertainty 5.1  Nekorelované vstupní veličiny 5.1  Uncorrelated input quantities Tato část se zabývá vstupními veličinami, které jsou navzájem nezávislé (C.3.7). Případ, kde dvě nebo více vstupních veličin jsou příbuzné, tj. jsou navzájem závislé nebo korelované (C.2.8), je vysvětlen v 5.2. This subclause treats the case where all input quantities are independent (C.3.7). The case where two or more input quantities are related, that is, are interdependent or correlated (C.2.8), is discussed in 5.2. 5.1.1  Standardní nejistota y, kde y je odhad měřené veličiny Y a tedy výsledek měření, je získána vhodnou kombinací standardních nejistot odhadů vstupů x1 , x2 , ..., xN (viz 4.1). Tato kombinová standardní nejistota odhadu y je označena uc (y). 5.1.1  The standard uncertainty of y, where y is the estimate of the measurand Y and thus the result of the measurement, is obtained by appropriately combining the standard uncertainties of the input estimates x1 , x2 , ..., xN (see  4.1). This combined standard uncertainly of the estimate y is denoted by uc (y). POZNÁMKA  Z podobných důvodů, jaké jsou uvedeny v poznámce k  4.3.1, jsou značky uc (y) a  )(yuc 2 použity ve všech případech. NOTE  For reasons similar to those given in the note to 4.3.1, the symbols uc (y) and )(yuc 2 are used in all cases. 5.1.2  Kombinovaná standardní nejistota uc (y) je kladná hodnota druhé odmocniny kombinovaného rozptylu 2 ( )cu y , který je získán z 5.1.2  The combined standard uncertainty uc (y) is the positive square root of the combined variance, 2 ( )cu y which is given by 2 2 2 1 ( ) ( ) N c i i i f u y u x x=  ∂ =   ∂  ∑ (10) kde ƒ je funkce daná rovnicí (1). Každá u(xi ) je standardní nejistota vyhodnocená jak je popsáno v 4.2 (hodnocení způsobem A) nebo v  4.3 (hodnocení způsobem B). Kombinovaná standardní nejistota uc (y) je odhad směrodatné odchylky a charakterizuje rozptýlení hodnot, které by mohly odůvodněně být přiřazeny měřené veličině Y  (viz 2.2.3). where ƒ is the function given in equation (1). Each u(xi ) is a  standard uncertainty evaluated as described in 4.2 (Type A. evaluation) or as in 4.3 (Type B evaluation). The combined standard uncertainty uc (y) an estimated standard deviation and characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the ineasurand Y (see 2.2.3). Rovnice (10) a její protějšek pro korelované vstupní veličiny, rovnice (13), jsou obě založeny na aproximaci lineární Taylorovy řady pro Y = ƒ(X1 , X2 , ..., XN ), vyjadřující to, co je v tomto pokynu zákon o šíření nejistoty (viz E.3.1 a E.3.2). Equation (10) and its counterpart for correlated input quantities, equation (13), both of which are based on a  firstorder Taylor series approximation of Y = ƒ(X1 , X2 , ..., XN ), express what is’ termed in this Guide the law of propagation of uncertainly (see E.3.1 and E.3.2). sborníky technické harmonizace 2012 52 POZNÁMKA  Pokud je nelinearita ƒ významná, členy vyššího řádu rozšířené Taylorovy řady musí být zahrnuty do výrazu pro )(yuc 2 , rovnice (10). Když rozdělení každé Xi je symetrické kolem své střední hodnoty, pak nejdůležitějšími členy vyššího řádu, které jsou přidány k členům rovnice (10), jsou NOTE  When the nonlinearity of ƒ is significant, higherorder terms in the Taylor series expansion must be included in the expression for )(yuc 2 , equation (10). When the distribution of each Xi is symmetric about its mean, the most important terms of next highest order to be added to the terms of equation (10) are )()( ji N i N j jiiji xuxu xx f x f xx f 22 1 1 2 3 2 2 2 1 ∑∑= =         ∂∂ ∂ ∂ ∂ +         ∂∂ ∂ Příklad situace, kde příspěvek členů vyššího řádu k  )(yuc 2 je nutné brát v úvahu, viz H.1. See H.1 for an example of a situation where the contribution of higher-order terms to )(yuc 2 needs to be considered. 5.1.3  Parciální derivace ∂ƒ/∂xi jsou rovny ∂ƒ/∂Xi vyhodnocené z Xi = xi (viz níže uvedená poznámka 1). Tyto derivace, často značené jako koeficienty citlivosti, vysvětlují, jak se odhad výstupu y mění v závislosti na změnách hodnot vstupních odhadů x1 , x2 ,  ..., xN . Zvláště změna y vytvořená malými změnami ∆xi odhadu vstupu xi je dána vztahem (∆yi )  =  (∂ƒ/∂xi )(∆xi ). Jestliže tato změna je vytvářena standardní nejistotou odhadu xi , pak odpovídající rozptyl y je (∂ƒ/∂xi ) u(xi ). Kombinovaný rozptyl 2 ( )cu y může být znázorněn jako součet členů, z  nichž každý vyjadřuje rozptyl příslušný odhadu výstupu y, vytvořený odhadem rozptylu příslušného odhadu vstupu xi . To vede k zápisu rovnice (10) 5.1.3  The partial derivatives ∂ƒ/∂xi are equal to ∂ƒ/∂Xi evaluated at Xi = xi (see note 1  below). These derivatives, often called sensitivity coefficients, describe how the output estimate y varies with changes in the values of the input estimates x1 , x2 , ..., xN . In particular, the change in y produced by a  small change ∆xi in input estimate xi is given by (∆y)i  = (∂ƒ/∂xi )(∆xi ). If this change is generated by the standard uncertainty of the estimate xi , the corresponding variation in y is (∂ƒ/∂xi )u(xi ). The combined variance 2 ( )cu y can therefore be viewed as a  sum of terms, each of which represents the estimated variance associated with the output estimate y generated by the estimated variance associated with each input estimate xi . This suggests writing equation (10) as [ ] 22 2 1 1 ( ) ( ) ( ) N N c i i i i i u y c u x u y = = = ≡∑ ∑ (11a) kde where ci ≡ ∂ƒ/∂xi , ui (y) ≡ |ci | u(xi ) (11b) POZNÁMKY NOTES 1 Přesně řečeno, parciální derivace ∂ƒ/∂xi   =  ∂ƒ/∂Xi jsou hodnoceny z předpokládaných hodnot Xi . Avšak v praxi jsou parciální derivace odhadnuty následně: 1 Strictly speaking, the partial derivatives are ∂ƒ/∂xi   =  ∂ƒ/∂Xi evaluated at the expectations of the Xi . However, in practice, the partial derivatives are estimated by sborníky technické harmonizace 2012 53 Nxxxii X f x f ,..., 21∂ ∂ = ∂ ∂ 2 Kombinovanou standardní nejistotu uc (y) je dovoleno číselně vypočítat nahrazením ci u(xi ) v rovnici (11a) 2 The combined standard uncertainty uc (y) may be calculated numerically by replacing ci u(xi ) in equation (11a) with ( )[ ] ( )[ ]{ }NiiNiii xxuxxfxxuxxfZ ...,,–...,,–...,,...,, 11 2 1 += Tedy ui (y) je číselně určena výpočtem změn y z důvodu změny xi , a to jak kladné změny +u(xi ), tak záporné změny –u(xi ). Hodnota ui (y) může být brána jako |Zi | a hodnota odpovídajícího koeficientu citlivosti ci jako Zi /u(xi ). That is, ui (y) is evaluated numerically by calculating the change in y due to a change in xi of + u(xi ) and of –u(xi ). The value of ui (y) may then be taken as |Zi | and the value of the corresponding sensitivity coefficient ci as Zi /u(xi ). PŘÍKLAD  Pro příklad v 4.1.1 jsou použity stejné značky pro veličinu a její odhad a to z důvodu zjednodušení označo- vání, EXAMPLE  For the example of 4.1.1, using the same symbol for both the quantity and its estimate for simplicity of notation, c1  ≡ ∂P/∂V = 2V/{R0 [1 + α(t – t0 )]} = 2P/V c2  ≡ ∂P/∂R0 = –V2  /{ 2 0R [1 + α(t – t0 )]} = –P/R0 c3  ≡ ∂P/∂α = –V2  (t – t0 )/{R0 [1 + α (t – t0 )]2 } = –P(t – t0 )/ [1 + α(t – t0 )] c4  ≡ ∂P/ ∂t = –V2 α/{R0 [1 + α(t – t0 )]2 } = –Pα/[1 + α(t – t0 )] a and )(Pu2 =  22 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P u V u R u u t V R t α α  ∂ ∂ ∂ ∂      + + +      ∂ ∂ ∂ ∂       = [c1 u(V)]2 + [c2 u(R0 )]2  + [c3 u(α)]2 + [c4 u(t)]2 =  )()()()( PuPuPuPu 2 4 2 3 2 2 2 1 +++ sborníky technické harmonizace 2012 54 5.1.4  Místo výpočtu z funkce ƒ, jsou koeficienty citlivosti ∂ƒ/∂xi někdy určovány experimentálně mírou změny Y vyvolané změnami jednotlivých Xi , zatímco zbývající vstupní veličiny se udržují konstantní. V tomto případě, znalost funkce ƒ (nebo její části, když jsou takto určovány pouze některé činitele citlivosti) je odpovídajícím způsobem redukována na empirickém rozvoji lineární Taylorovy řady postaveném na základě měření koeficientů citlivosti. 5.1.4  Instead of being calculated from the function ƒ, sensitivity coefficients ∂ƒ/∂xi , are sometimes determined experimentally: one measures the change in Y produced by a change in a particular Xi while holding the remaining input quantities constant. In this case, the knowledge of the function ƒ  (or a portion of it when only several sensitivity coefficients are so determined) is accordingly reduced to an empirical first-order Taylor series expansion based on the measured, sensitivity coefficients. 5.1.5  Jestliže rovnice (1) pro měřené veličiny Y  je rozšířená o  jmenovité hodnoty Xi,0 vstupních veličin Xi , potom v  případě prvního přiblížení (které je obvykle považováno za adekvátní aproximaci) Y  = Y0 +  c1 δ1 + c2 δ2 + ... + cN δN , je Y0  = ƒ(X1,0 , X2,0 ,..., XN,0 ),  ci   =  (∂ƒ/∂xi ) vyhodnocené při hodnotách Xi = Xi,0 a δi  = Xi  – Xi,0 . Proto pro účely analýzy nejistoty je měřená veličina obvykle vyjádřena pomocí lineární funkce svých proměnných a to transformací vstupních veličin z Xi do δi (viz E.3.1). 5.1.5  If equation (1) for the measurand Y is expanded about nominal values Xi,0 of the input quantities Xi , then, to first order (which is usually an adequate approximation), Y = Y0 + c1 δ1 + c2 δ2 + ...  + CN δN , where Y0  = ƒ(X1,0 , X2,0 ,..., XN,0 ),ci = (∂ƒ/∂xi )evaluatedat Xi = Xi,0 , and δi = Xi  – Xi,0 . Thus, for the purposes of an analysis of uncertainty, a measurand is usually approximated by a linear function of its variables by transforming its: input quantities from Xi to δi (see E.3.1). PŘÍKLAD  Podle příkladu 2  v 4.3.7 je odhad hodnoty měřené veličiny V  =  V   +  DV , kde V   =  0,928  571  V, u(V ) = 12 µV, přidanákorekceDV  = 0a u(D  V ) = 8,7 µV. Jelikož ∂V/∂  V  = 1 a ∂V/∂(DV ) = 1, pak kombinovaný rozptyl příslušný k V je dán EXAMPLE  From example 2 of 4.3.7, the estimate of the value of the measurand V is V = V + D  V , where V = 0,928 571 V, u(V ) =  12 µV, the additive correction D  V =  0, and u(D  V ) = 8,7 µV. Since ∂V/∂  V =  1 and ∂V/∂(D  V ) =  1 the combined associated with V is given by )(Vuc 2 = + ∆ = µ + µ2 2 2 2 ( ) ( ) (12 V) (8,7 V)u V u V = 219 x 10–12 V2 a kombinovaná standardní nejistota je uc (V) = 15 µV,  která odpovídá relativní kombinované standardní nejistotě uc (V)/V rovnající se 16 x 10–6 (viz 5.1.6). To je případ, kde měřená veličina je již lineární funkcí veličin, na kterých je závislá a  to s  koeficientem ci =  +1. Z  rovnice (10) vyplývá, jetliže Y = c1  X1 + c2  X2 + ... + cN XN a konstanty ci + 1 nebo – 1, potom )(yuc 2   )(2 1 i N i xu∑ == . the combined standard uncertainty is uc (V) = 15 µV, which corresponds to a relative combined standard uncertainty uc (V)/V of 16 x 10–6 (see 5.1.6). This is an example of the case where the measurand is already a linear function of the quantities on which it depends, with coefficients ci = + 1. It follows from equation(10) that if Y = c1  X1 + c2  X2 + ... + cN XN and if the constants ci = +1 or –1, then )(yuc 2 )(2 1 i N i xu∑ == . 5.1.6  Pokud má Y tvar = 1 2 1 2 . . . Np p p NY cX X X a jsou známy exponenty pi jako kladná nebo záporná čísla, kerá mají zanedbatelné nejistoty, pak kombinovaný rozptyl, rovnice (10), může být vyjádřen následovně: 5.1.6  If Y is of the form = 1 2 1 2 . . . Np p p NY cX X X and the exponents pi are known positive or negative numbers having negligible uncertainties, the combined variance, equation (10), can be expressed as sborníky technické harmonizace 2012 55 2 2 1 [ ( ) / ] [ ( ) / ] N c i i i i u y y p u x x = = ∑ (12) Tato rovnice má stejný tvar jako rovnice (11a), ale s kombinovaným rozptylem )(2 yuc vyjádřeným jako relativní kombinovaný rozptyl [uc (y)/y]2 a odhad rozptylu u2 (xi ) spojený s každým odhadem vstupu vyjádřeným jako odhad relativního rozptylu [u(xi )/xi ]2 . [Relativní kombinovaná standardní nejistota je uc (y)/|y| a relativní standardní nejistota každého odhadu vstupu je u(xi )/|xi | s |y| ≠ 0 a |xi | ≠ 0]. This is of the same form as equation (11a) but with the combined variance )(2 yuc expressed as a  relative combined variance [uc (y)/y]2 and the estimated variance u2 (xi ) associated with each input estimate expressed as an estimated relative variance [u(xi )/xi ]2 . [The relative combined standard uncertainty is uc (y)/|y| and the relative standard uncertainly of each input estimate is u(xi )/|xi |, |y| ≠ 0 and |xi | ≠ 0. POZNÁMKY NOTES 1 Pokud má Y tento tvar, jeho tranformace na lineární funkci veličin (viz 5.1.5) byla již dosažena dosazením Xi = Xi,0 (1 + δi ), pak následující aproximační vztah vzniká: (Y  –  Y0 )/Y0   ii N i p δ∑ == 1 . Na druhé straně, logaritmická transformace Z = ln Y a Wi  = ln Xi vede k přesné linearizaci ve smyslu nových proměnných: Z = ln c + ii N i Wp∑ =1 . 1 When Y has this form, its transformation to a linear function of variables (see 5.1.5) is readily achieved by setting Xi = Xi,0 (1 + δi ), for then the following approximate relation results: (Y – Y0 )/Y0 ii N i p δ∑ == 1 . On the other hand, the logarithmic transformation Z = ln Y and Wi = lnXi leads to an exact linearization in terms of the new variables: Z = ln c + ii N i Wp∑ =1 . 2 Jestliže každá pi je rovna buď +1 nebo –1, tak rovnice (12) se mění na [uc (y)/y]2   ∑ == N i 1 [u(xi )/xi ]2 , která ukazuje, že pro tento zvláštní případ relativní kombinovaný rozptyl spojený s  odhadem y se jednoduše rovná součtu relativních rozptylů spojených se vstupními odhady xi . 2 If each pi is either +1 or –1, equation (12) becomes [uc (y)/y]2 ∑ == N i 1 [u(xi )/xi ]2 , which shows that for this special case the relative combined variance associated with the estimate y is simply equal to the sum of the estimated relative variances associated with the input estimates xi . 5.2  Korelované vstupní veličiny 5.2  Correlated input quantities 5.2.1  Rovnice (10) a  ostatní, které jsou z nich odvozovány jako například rovnice (11) a (12) jsou platné pouze v případě, že vstupní veličiny Xi jsou nezávislé nebo nekorelované (náhodné veličiny a nefyzikální veličiny, o  kterých se předpokládá, že jsou neměnné  – viz 4.1.1, poznámka 1). Jestli některé z Xi jsou významně korelované, tak korelace musí být brána v úvahu. 5.2.1  Equation (10) and those derived from it such as equations (11) and (12) are valid only if the input quantities Xi are independent or uncorrelated. (the random variables, not the physical quantities that are assumed to be invariants  – see 4.1.1, note 1). If some of the Xi are significantly correlated, the correlations must be taken into account. 5.2.2  Pokud jsou vstupní veličiny korelované, tak nejvhodnější vyjádření kombinovaného rozptylu 2 ( )cu y spojeného s výsledkem měření je 5.2.2  When the input quantities are correlated, the appropriate expression for the combined variance 2 ( )cu y associated with the result of a measurement is sborníky technické harmonizace 2012 56 2 ( )cu y = 1 1 ( , ) N N i j i j i j f f u x x x x= = ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ = 2 2 1 ( ) N i i i f u x x=  ∂   ∂  ∑ 1 1 1 2 ( , ) N N i j i j i i j f f u x x x x − = = + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ ∑ (13) kde xi a xj jsou odhady Xi a Xj a u(xi , xj ) =  u(xj , xi ) je odhad kovariance k  xi and xj . Stupeň korelace mezi xi a xj je charakterizován odhadem korelačního koeficientu (C.3.6) where xi and xj are the estimates of Xi and Xj and u(xi , xj ) = u(xj , xi ) is the estimated covariance associated xi and xj . The degree of correlation between xi and xj is characterized by the estimated correlation coefficient (C.3.6) ( , ) ( , ) ( ) ( ) i j i j i j u x x r x x u x u x = (14) kde r(xi , xj )  =  r(xj ,  xi ), a  –1  ≤  r(xi ,  xj )  ≤  +1. Jestliže odhady xi a  xj jsou nezávislé, tak  r(xi , xj ) =  0 a  změna jednoho nevyvolává předpokládanou změnu druhého (viz další vysvětlení v C.2.8, C.3.6 a C.3.7). where r(xi , xj ) = r(xj , xi ), and –1 ≤ r(xi , xj ) ≤ +1. If the estimates xi and xj are independent, r(xi , xj ) = 0, and a change in one does not imply an expected change in the other. (See C.2.8, C.3.6, and C.3.7 for further discussion.) Pomocí korelačních koeficientů, které jsou snadněji vysvětlitelné než kovariance, je člen kovariance v rovnici (13) dovoleno psát takto In terms of correlation coefficients, which are more readily interpreted than covariances, the covariance term of equation (13) may be written as 1 1 1 2 ( ) ( ) ( , ) N N i j i j i j i i j f f u x u x r x x x x − = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ (15) Z rovnice (13) bude za pomoci rovnice (11b) Equation (13) then becomes, with the aid of equation (11b), 1 2 2 2 1 1 1 2 ) , N N N c i i i j i j i j i i j i u c u x c c u x u x r x x − = = = + = +∑ ∑ ∑(y) ( ) ( ) ( ( ) (16) POZNÁMKY NOTES 1 Ve zvláštním případě, kde všechny odhady vstupů jsou korelované s  korelačními koeficienty r(xi , xj ) = +1, rovnice (16) se redukuje na 1 For the very special case where all of the input estimates are correlated with correlation coefficients r(xi , xj ) = + 1, equation (16) reduces to 2 1 2 1 2         ∂ ∂ =         = ∑∑ == N i i i N i iic xu x f xucyu )()()( sborníky technické harmonizace 2012 57 Kombinovaná standardní nejistota uc (y) je tedy jednoduše lineární součet členů vyjadřující rozptyl výstupního odhadu y, vytvořený standardní nejistotou každého vstupního odhadu xi (viz 5.1.3). [Tento lineární součet se nemá zaměňovat s podobnýn výrazem zákona o rozšíření chyb, i když má stejný tvar; standardní nejistoty nejsou chyby (viz E.3.2).] The combined standard uncertainty uc (y) is thus simply a linear sum of terms representing the variation of the output estimate y generated by the standard uncertainty of each input estimate xi (see 5.1.3). [This linear sum should not be confused with the general law of error propagation although it has a similar form; standard uncertainties are not errors (see E.3.2).] PŘÍKLAD  Deset rezistorů, každý s  jmenovitým odporem Ri   =  1  000 Ω, bylo kalibrováno se zanedbatelnou nejistotou v  porovnání se stejným etalonovým rezistorem RS 1  000  W,  charakterizovaným standardní nejistotou u(RS ) = 100 mW, jak je uvedeno v jeho kalibračním certifikátu. Rezistory jsou spojené do serie drátem, který má zanedbatelný odpor, aby se získal referenční odpor Rref s jmenovitou hodnotou 10 kW. Tedy Rref  = ƒ(Ri )  ∑ == 01 1i Ri . Dokud platí, že r(xi , xj ) =  r(Ri , Rj )= +1pro každý pár rezistorů (viz F.1.2.3, příklad 2), platí rovnice této poznámky. Pokud pro každý rezistor platí ∂ƒ/∂xi  = ∂Rref /∂Ri  = 1 a u(xi ) = u(Ri ) = u(RS ) (viz F.1.2.3, příklad 2), tak rovnice poskytuje pro Rref kombinovanou standardní nejistotu uc (Rref )  ∑ == 01 1i u(RS )  =  10  x  (100  mW)  =  1  W. Výsledek uc (Rref )  ( ) 1/2 10 2 1 Si u R=  =  ∑ = 0,32 W získaný pomocí rovnice (10) je nesprávný, protože nebere v úvahu, že všechny kalibrované hodnoty deseti rezistorů jsou korelované. EXAMPLE  Ten resistors, each of nominal resistance Ri = 1 000 W, are calibrated with a negligible uncertainty of comparison in terms of the same 1 000 W  standard resistor RS characterized by a standard uncertainty u(RS ) = 100 mW as given in its calibration certificate. The resistors are connected in series with wires having negligible resistance in order to obtain a reference resistance Rref of nominal value 10 kW. Thus Rref =ƒ(Ri ) ∑ == 01 1i Ri .  Since r(xi ,  xj ) =  r(Ri ,  Rj ) = +1 for each resistor pair (see F.1.2.3, example 2), the equation of this note applies. Since for each resistor ∂ƒ/∂xi = ∂Rref /∂Ri = 1, and u(xi ) = u(Ri ) = u(RS ) (see F.1.2.3, example 2), that equation yields for the combined standard uncertainty of Rref , uc (Rref ) ∑ == 01 1i u(RS ) =  10 x (100 mW) = 1 W. The result uc (Rref ) ( ) 1/2 10 2 1 Si u R=  =  ∑ = 0,32 W obtained from equation (10) is incorrect because it does not take into account that all of the calibrated values of the ten resistors are correlated. 2 Odhadnuté rozptyly u2 (xi ) a  odhady kovariancí u(xi , xj ) mohou být považovány za členy kovarianční matice mající členy uij . Diagonální členy matice uii jsou rozptyly u2 (xi ), zatímco ostatní členy mimo diagonálu uij (i ≠ j) jsou kovariance u(xi , xj ) = u(xj , xi ). Jestliže dva odhady vstupů jsou nekorelované, pak jejich příslušná kovariance a odpovídající členy uij a uji kovarianční matice jsou nulové. Jestliže vstupní odhady jsou všechny nekorelované, pak všechny členy mimo diagonálu jsou nulové a  kovarianční matice je diagonální. (Viz také C.3.5). 2 The estimated variances u2 (xi ) and estimated covariances u(xi , xj ) may be considered as the elements of a covariance matrix with elements uij . The diagonal elements uii of the matrix are the variances u2 (xi ), while the off-diagonal elements uij (i ≠ j) are the covariances u(xi , xj ) = u(xj , xi ). If two input estimates are uncorrelated, their associated covariance and the corresponding elements uij and uji of the covariance matrix are 0. If the input estimates are all uncorrelated, all of the off-diagonal elements are zero and the covariance matrix is diagonal. (See also C.3.5.) 3 Pro účely číselného hodnocení je dovoleno rovnici (16) psát takto 3 For the purposes of numerical evaluation, equation (16) may be written as ),()( jij N i N j ic xxrZZyu ∑∑= = = 1 1 2 kde Zi je uvedeno v 5.1.3, poznámka 2. where Zi is given in 5.1.3, note 2. 4 Jestliže Xi  speciálního tvaru uvažovaného v 5.1.6 jsou korelované, pak následující členy 4 If the Xi of the special form considered in 5.1.6 are correlated, then the terms sborníky technické harmonizace 2012 58 ),(]/)([]/)([ jijjj N i N ij iii xxrxxupxxup∑∑ − = += 1 1 1 2 musí být přičteny k pravé straně rovnice (12): must be added to the right-hand side of equation (12). 5.2.3  Uvažují se dva aritmetické průměry q a  r , které odhadují očekávané hodnoty µq a  µr dvou nahodile proměnných veličin q a r a dovolují q a  r vypočítat z n nezávislých párů současných pozorování q  a  r provedených za stejných podmínek měření (viz B.2.15). Potom kovariance (viz C.3.4) z q a r je odhanuta podle 5.2.3  Consider two arithmetic means q and r that estimate the expectations µq and µr , of two randomly varying quantities q and r, and let q and r be calculated from n independent pairs of simultaneous observations of q and r made under the same conditions of measurement (see B.2.15). Then the covariance (see C.3.4) of q and r is estimated by 1 1 ( , ) ( )( ) ( 1) n k k k s q r q q r r n n = = − − − ∑ (17) kde qk a rk jsou jednotlivá pozorování veličin q a r, q a r jsou vypočítány z pozorování podle rovnice (3). Jestliže pozorování jsou ve skutečnosti nekorelovaná, pak se očekává, že vypočítaná hodnota kovariance bude blízká nule. Where qk and rk are the individual observations of the quantities q and r, and q and r are calculated from the observations according to equation (3). If in fact the observations are uncorrelated, the calculated covariance is expected to be near 0. Tedy odhad kovariance dvou korelovaných vstupních veličin Xi a Xj , které jsou odhadnuty z průměrů iX a  jX , určeno z párů nezávislých opakovaných současných pozorování, je dán rovnicí u(xi , xj ) = s( iX ,  jX ), s s( iX ,  jX ) vypočítanou podle rovnice (17). Použití rovnice (17) je hodnocení kovariance způsobem A. Odhad koeficientu korelace pro iX a  jX je získán z rovnice (14): r(xi , xj ) = r( iX ,  jX ) = s( iX ,  jX )/[s( iX )s( jX )]. Thus the estimated covariance of two correlated input quantities Xi and Xj that are estimated by the means iX and jX determined from independent pairs of repeated simultaneous observations is given by u(xi , xj ) =  s( iX ,  jX ), with s( iX ,  jX ) calculated accord- ingtoequation(17).Thisapplicationofequation (17) is a Type A evaluation of covariance. The estimated correlation coefficient of iX and jX is obtained from equation (14): r(xi , xj ) = r( iX ,  jX ) = s( iX ,  jX )/[s( iX )s( jX )]. POZNÁMKA  Příklady, kde je nutno použít kovariance, jak jsou vypočítány z rovnice (17) jsou uvedeny v příloze H.2 a H.4. NOTE  Examples where it is necessary to use covariances as calculated from equation (17) are given in H.2 and H.4. sborníky technické harmonizace 2012 59 5.2.4  Významná korelace je dovolena mezi dvěma vstupními veličinami, jestliže bude použit při jejím určení stejný měřicí přístroj, shodné fyzikální měření etalonu nebo shodné referenční hodnoty, které mají významnou standardní nejistotu. Například, jestliže určitý teploměr je použit pro určení teplotní korekce potřebné při odhadu hodnoty vstupní veličiny Xi  a stejný teploměr je použit pro určení podobné teplotní korekce potřebné při odhadu hodnoty vstupní veličiny Xj , pak obě vstupní veličiny mohou být významně korelované. Korelace mezi Xi  a Xj je odstraněna, jestliže Xi  a  Xj , jsou v tomto příkladu znovu stanovené, aby byly nekorigovanými veličinami a  veličiny, které jsou určeny pomocí kalibrační křivky teploměru, jsou zahrnuty jako dodatečné vstupní veličiny s nezávislými standardními nejistotami. (Viz další výklad v F.1.2.3 a F.1.2.4). 5.2.4  There may be significant correlation between two input quantities if the same measuring instrument, physical measurement standard, or reference datum having a significant standard uncertainty is used in their determination. For example, if a certain thermometer is used to determine a temperature correction required in the estimation of the value of input quantity Xi , and the same thermometer is used to determine a similar temperature correction required in the estimation of input quantity Xj , the two input quantities could be significantly correlated. However, if Xi and Xj in this example are redefined to be the uncorrected quantities and the quantities that define the calibration curve for the thermometer are included as additional input quantities with independent standard uncertainties, the correlation between Xi and Xj is removed. (See F. 1.2.3 and F. 1.2.4 for further discussion.) 5.2.5  Korelace mezi vstupními veličinami nemohou být ignorovány, jestliže existují a jsou významné. Příslušná kovariance má být vyhodnocená experimentálně, pokud možno změnami korelovaných vstupních veličin (viz C.3.6, poznámka 3) nebo pomocí dostupných informací ohledně korelační proměnlivosti předmětných veličin (vyhodnocení kovariance způsobem B). Přehled postavený na zkušenosti a obecné znalosti (viz 4.3.1 a 4.3.2) je zvláště potřebný, když se provádí odhad úrovně korelace mezi vstupními veličinami, vznikající vlivem společného ovlivnění veličin jako je teplota okolí, atmosférický tlak a vlhkost. V mnoha případech mají efekty takových vlivů zanedbatelnou vzájemnou závislost. Proto ovlivněné vstupní veličiny mohou být pokládané za nekorelované. Jestliže se však nemůže předpokládat, že jsou nekorelované, korelace samy sebe mohou zbavit účinnosti, pokud společné vlivy jsou zavedeny jako přidané nezávislé vstupní veličiny, jak je uvedeno v 5.2.4. 5.2.5  Correlations between input quantities cannot be ignored if present and significant. The associated covariances should be evaluated experimentally if feasible by varying the correlated input quantities (see C.3.6, note 3), or by using the pooi of available information on the correlated variability of the quantities in question (Type B evaluation of covariance). Insight based on experience and general knowledge (see 4.3.1 and 4.3.2) is especially required when estimating the degree of correlation between input quantities arising from the effects of common influences, such as ambient temperature, barometric pressure, and humidity. Fortunately, in many cases, the effects of such influences have negligible interdependence and the affected input quantities can be assumed to be uncorrelated. However, if they cannot be assumed to be uncorrelated, the correlations themselves can be avoided if the common influences are introduced as additional independent input quantities as indicated in 5.2.4. sborníky technické harmonizace 2012 60 6  Určení rozšířené nejistoty 6  Determining expanded uncertainty 6.1  Úvod 6.1  Introduction 6.1.1  Doporučení INC-1 (1980) pracovní skupiny pro vyjádření nejistoty na jejichž základě byl vypracován tento pokyn (viz úvod) a doporučení 1 (CI-1981) a 1 (CI-1986) vypracované CIPM, která odsouhlasila a znovu potvrdila závěry INC-1 (1980) (viz A.2 a  A.3), obhajují použití kombinované standardní nejistoty uc (y) jako parametru pro kvantitativní vyjádření nejistoty výsledku měření. Ovšem ve svém druhém doporučení CIPM požadoval, aby to, co je nyní pojmenováno kombinovaná standardní nejistota uc (y) bylo užíváno „všemi zúčastněnými v případě podávání výsledků mezinárodních porovnání nebo jakýchkoliv dalších prací provedených ve spolupráci s CIPM a konzultačními komisemi“. 6.1.1  Recommendation INC-1 (1980) of the Working Group on the Statement of Uncertainties on which this Guide is based (see the Introduction), and Recommendations 1  (CI-1981) and 1  (CI-1986) of the CIPM approving and reaffirming INC-1 (1980) (see A.2 and A.3), advocate the use of the combined standard uncertainty uc (y) as the parameter for expressing quantitatively the uncertainty of the result of a measurement. Indeed, in the second of its recommendations, the CIPM has requested that what is now termed combined standard uncertainty uc (y) be used by all participants in giving the results of all international comparisons or other work done under the auspices of the CIPM and Comités Consultatifs.” 6.1.2  Přestože uc (y) může být univerzálně použita pro vyjádření nejistoty výsledku měření, v  některých obchodních, průmyslových a prováděcích aplikacích a pokud se to týká zdravotnictví a bezpečnosti, je často důležité uvádět měření nejistoty, které určuje interval okolo výsledku měření, ve kterém se může předpokládat, že obsahuje velký podíl rozdělení hodnot, které by mohly odůvodnitelně být přiřazeny měřené veličině. Existence takového požadavku byla uznána pracovní skupinou a vedla k vytvoření paragrafu 5 doporučení INC-1 (1980). To se také promítlo do doporučení 1 (CI-1986) CIPM. 6.1.2  Although uc (y) can be universally used to express the uncertainty of a measurement result, in some commercial, industrial, and regulatory applications, and when health and safety are concerned, it is often necessary to give a measure of uncertainty that defines an interval about the measurement result that may be expected to encompass a  large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand. The existence of this requirement was recognized by the Working Group and led to paragraph 5 of Recommendation INC-l (1980). It is also reflected in Recommendation 1  (CI-1986) of the CIPM. 6.2  Rozšířená nejistota 6.2  Expanded uncertainty 6.2.1  Další míra nejistoty, která splňuje požadavek na poskytování intervalu typu uvedeného v 6.1.2, je pojmenována rozšířená nejistota a je označena U. Rozšířená nejistota je získána násobením kombinované standardní nejistoty uc (y) koeficientem rozšíření k: 6.2.1  The additional measure of uncertainty that meets the requirement of providing an interval of the kind indicated in 6.1.2 is termed expanded uncertainly and is denoted by U. The expanded uncertainty U is obtained by multiplying the combined standard uncertainty uc (y) by a  coverage factor k: U = kuc (y) (18) sborníky technické harmonizace 2012 61 Výsledek měření je pak vhodným způsobem vyjádřen jako Y  =  y  ±  U, který je interpretován ve významu, že nejlepší odhad hodnoty odpovídající měřené veličině Y, je y, a že y – U do y + U je interval, ve kterém je dovoleno předpokládat, že obsahuje velký podíl rozdělení hodnot, které by mohly odůvodnitelně odpovídat Y. Takový interval je také vyjádřen jako y – U ≤ Y ≤ y + U. The result of a measurement is then conveniently expressed as Y = y ± U, which is interpreted to mean that the best estimate of the value attributable to the measurand Y is y, and that y – U to y + U is an interval that may be expected to encompass a large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to Y. Such an interval is also expressed as y – U ≤ Y ≤ y + U. 6.2.2  Termíny konfidenční interval (C.2.27, C.2.28) a konfidenční úroveň (C.2.29) mají ve statistice přesné definice a  jsou aplikovatelné pouze v  intervalu určeném podle U  pouze za určitých podmínek, včetně všech složek nejistoty, které přispívají k získání uc (y) ohodnoceného způsobem A. Takže v  tomto pokynu se slovo „konfidenční“ nepoužívá k  modifikaci slova „interval“, když se uvažuje interval určený pomocí U. Termín „konfidenční úroveň“ se nepoužívá ve spojení s tímto intervalem, ale spíše s  pojmem „úroveň konfidence“. Přesněji bude U interpretováno jako určené v intervalu okolo výsledku měření, který obsahuje velký podíl  rozdělení pravděpodobnosti p, které je charakterizováno tímto výsledkem a  jeho kombinovanou standardní nejistotou a p je pravděpodobností pokrytí nebo konfidenční úroveň intervalu. 6.2.2  The terms confidence interval (C.2.27, C.2.28) and confidence level (C.2.29) have specific definitions in statistics and are only applicable to the interval defined by U when certain conditions are met, including that all components of uncertainty that contribute to uc (y) be obtained from Type A evaluations. Thus, in this Guide, the word “confidence” is not used to modify the word “interval” when referring to the interval defined by U; and the term “confidence level” is not used in connection with that interval but rather the term “level of confidence.” More specifically, U is interpreted as defining an interval about the measurement result that encompasses a large fraction p of the probability distribution characterized by that result and its combined standard uncertainty, and p  is the coverage probability or level of confidence of the interval. 6.2.3  Kdykoliv je to možné, konfidenční úroveň p spojená s intervalem určeným pomocí U musí být odhadnuta a stanovena. Má se uznat, že násobení uc (y) konstantou neposkytuje nové informace, ale pouze ukazuje předchozí dostupné informace v jiném tvaru. Avšak, má se také uznat, že konfidenční úroveň p (zvláště pro hodnoty p blízko 1) je lepší ponechat neurčitou a to nejenom kvůli nedostatečné znalosti rozdělení pravděpodobnosti charakterizovaného y a uc (y) (zvláště v extrémních částech), ale také z důvodu samotné nejistoty uc (y) (viz poznámka 2 k 2.3.5, 6.3.2 a příloha G, zvláště G.6.6). 6.2.3  Whenever practicable, the level of confidence p associated with the interval defined by U should be estimated and stated. It should be recognized that multiplying uc (y) by a constant provides no new information but presents the previously available information in a different form. However, it should also be recognized that in most cases the level of confidence p (especially for values of p near 1) is rather uncertain, not only because of limited knowledge of the probability distribution, characterized by y and uc (y) (particularly in the extreme portions), but also because of the uncertainty of uc (y) itself (see note 2 to 2.3.5, 6.3.2, and annex G, especially G.6.6). sborníky technické harmonizace 2012 62 POZNÁMKA  Preferovaný způsob určení výsledku měření, když uc (y) je mírou nejistoty a když je to U, viz 7.2.2 a 7.2.4 NOTE  For preferred ways of stating the result of a measurement when the measure of uncertainty is uc (y) and when it is U, see 7.2.2 and 7.2.4, respectively. 6.3  Výběr koeficientu rozšíření 6.3  Choosing a coverage factor 6.3.1  Hodnota koeficientu rozšíření k  je vybrána na základě konfidenční úrovně požadované v intervalu od y – U do y + U. Obecně bude k v rozsahu od 2 do 3. V případě speciální aplikace však smí být hodnoty k mimo tento rozsah. Rozsáhlá zkušenost s účely použití výsledků měření a jejich úplná znalost může zjednodušit výběr vhodné hodnoty k. 6.3.1  The value of the coverage factor k is chosen on the basis of the level of confidence required of the interval y – U to y + U. In general, k will be in the range 2 to 3. However, for special applications k  may be outside this range. Extensive experience with and full knowledge of the uses to which a measurement result will be put can facilitate the selection of a proper value of k. POZNÁMKA  Občas se může zjistit, že známá korekce systematického vlivu b nebyla použita v uváděném výsledku měření, ale naopak pokus o zahrnutí tohoto vlivu byl proveden rozšířením „nejistoty“ připisované výsledku. Toho se má vyvarovat; pouze za velmi zvláštních okolností nemá být korekce pro známé významné systémové vlivy uplatněna na výsledek měření (zvláštní případ a jak s ním zacházet viz F.2.4.5). Hodnocení nejistoty výsledku měření se nemá zaměňovat s  přiřazením správných limitů k jedné veličině. NOTE  Occasionally, one may find that a known correction b for a systematic effect has not been applied to the reported result of a measurement, but instead an attempt is made to take the effect into account by enlarging the „uncertainty” assigned to the result. This should be avoided; only in very special circumstances should corrections for known significant systematic effects not be applied to the result of a measurement (see F.2.4.5 for a  specific case and how to treat it). Evaluating the uncertainty of a measurement result should not be confused with assigning a safety limit to some quantity. 6.3.2  Ideální požadavek je vybrat určitou hodnotu koeficientu rozšíření k, který poskytuje interval Y = y ± U = y ± kuc (y) odpovídající určené úrovně konfidence p, v rozsahu 95  %  nebo 99 %. Ekvivalentně, pro určité hodnoty k, je požadavek určit nespornou konfidenční úroveň spojenou s  tímto intervalem. Toto není jednoduché provést v praxi, k tomu je potřebná obsáhlá znalost rozdělení pravděpodobnosti, která charakterizuje výsledek měření y a jeho kombinovanou standardní nejistotu uc (y). Ačkoliv tyto parametry jsou velmi důležité, nejsou dostatečné pro účely stanovení intervalů s přesně známou konfidenční úrovní. 6.3.2  Ideally, one would like to be able to choose a  specific value of the coverage factor k that would provide an interval Y = y ± U = y ± kuc (y) corresponding to a particular level of confidence p, such as 95 or 99 percent; equivalently, for a given value of k, one would like to be able to state unequivocally the level of confidence associated with that interval. However, this is not easy to do in practice because itrequires extensive knowledge of the probability distribution characterized by the measurement result y  and its combined standard uncertainty uc (y). Although these parameters are of critical importance, they are by themselves insufficient for the purpose of establishing intervals having exactly known levels of confidence. sborníky technické harmonizace 2012 63 6.3.3  Doporučení INC-1 (1980) neurčuje, jak se má stanovit vztah mezi k a p. Tento problém je vysvětlen v příloze G a preferovaná metoda pro jeho přibližné řešení je uvedena v G.4 a je krátce popsána v G.6.4. Avšak jednoušší přiblížení, uvedené v G.6.6, je často postačující v  situacích měření, kde rozdělení pravděpodobnosti charakterizované y a uc (y) je přibližně normální rozdělení a  efektivní stupeň volnosti uc (y) je významného rozměru. V  tomto případě, který se často v praxi vyskytuje, se může předpokládat, že k =2 vytvoří interval, který má konfidenční úroveň zhruba 95 % a při k = 3 se vytvoří interval, který má konfidenční úroveň přibližně 99 %. 6.3.3  Recommendation INC-1 (1980) does not specify how the relation between k and p should be established. This problem is discussed in annex 0, and a preferred method for its approximate solution is presented in G.4 and summarized in G.6.4. However, a  simpler approach, discussed in G.6.6, is often adequate in measurement situations where the probability distribution characterized by y and uc (y) is approximately normal and the effective degrees of freedom of uc (y) is of significant size. When this is the case, which frequently occurs in practice, one can assume that taking k = 2 produces an interval having a level of confidence of approximately 95 percent, and that taking k = 3 produces an interval having a level of confidence of approximately 99 percent. POZNÁMKA  Metoda pro odhadování efektivních stupňů volnosti uc (y) je uvedena v G.4. Pomocí tabulky G.2 přilohy G se může rozhodnout, zda je toto řešení vhodné pro jednotlivé měření (viz G.6.6). NOTE  A method for estimating the effective degrees of freedom of uc (y) is given in G.4. Table G.2 of annex G  can then be used to help decide if this solution is appropriate for a particular measurement (see G.66). sborníky technické harmonizace 2012 64 7  Záznam nejistoty 7  Reporting uncertainty 7.1  Obecný návod 7.1  General guidance 7.1.1  Obecně, při vzestupném posunu hierarchie měření, je potřeba více podrobností pro vysvětlení, jak byly získány měřený výsledek a jeho nejistota. To však platí pro každou úroveň hierarchie, včetně obchodní a regulační činnosti na trhu, technické práce v průmyslu, kalibrační místa nižší úrovně, průmyslový výzkum a vývoj, vědecký výzkum, průmyslové laboratoře pro primární etalony a kalibraci, metrologické státní instituce a BIPM, každá z informací nezbytných pro opakované hodnocení měření má být dostupná těm, kteří by jí mohli potřebovat. Hlavní rozdíl je v  tom, že na nižších úrovních hierarchie může být větší míra potřebných informací dostupných ve formě publikovaných záznamů o kalibracích a testech systémů, specifikací testů, uživatelských technických příruček, mezinárodních a národních norem a místních předpisů. 7.1.1  In general, as one moves up the measurement hierarchy, more details are required on how a measurement result and its uncertainty were obtained. Nevertheless, at any level of this hierarchy, including commercial and regulatory activities in the marketplace, engineering work in industry, lower-echelon calibration facilities, industrial research and development, academic research, industrial primary standards and calibration laboratories, and the national standards laboratories and the BIPM, all of the information necessary for the re evaluation of the measurement should be available to others who may have need of it. The primary difference is that at the lower levels of the hierarchical chain, more of the necessary information may be made available in the form of published calibration and test system reports, test specifications, calibration and test certificates, instruction manuals, international standards, national standards, and local regulations. 7.1.2  Pokud jsou podrobnosti měření, včetně toho, jak byla nejistota výsledku vyhodnocena, poskytovány formou odkazů na vydané dokumenty, což je často případ, kdy výsledky kalibrace jsou zaznamenány v certifikátu, tak je závazné, aby tyto publikace byly udržovány na současné úrovni tak, aby se shodovaly s postupem měření, který je aktuálně používán. 7.1.2  When the details of a measurement, including how the uncertainty of the result was evaluated, are provided by referring to published documents, as is often the case when calibration results are eported on a certificate, it is imperative that these publications be kept up-to-date so that they are consistent with the measurement procedure actually in use. 7.1.3  Početná měření jsou denně prováděna v průmyslu a  obchodu bez explicitního záznamu nejistoty. Avšak hodně těchto měření je prováděno přístroji, které podléhají pravidelné kalibraci nebo zákonem předepsaným zkouškám. Jestliže je o měřicích přístrojích známo, že odpovídají jejich specifikaci nebo existujícím normativním dokumentům, je dovoleno vyhledat nejistoty k  jejich údajům z  těchto specifikací nebo normativních dokumentů. 7.1.3  Numerous measurements are made every day in industry and commerce without any explicit report of uncertainty. However, many are performed with instruments subject to periodic calibration or legal inspection. If the instruments are known to be in conformance with their specifications or with the existing normative documents that apply, the uncertainties of their indications may be inferred from these specifications or from these normative documents. sborníky technické harmonizace 2012 65 7.1.4  Ačkoliv je v praxi množství informací nutných pro dokumentaci výsledku měření závislé na účelu použití, základní princip toho, co je požadováno, zůstává neměnný a to: když se zaznamenává výsledek měření a jeho nejistota, je lépe podávat příliš mnoho informací, než příliš málo informací. Například se má 7.1.4  Although in practice the amount of information necessary to document a measurement result depends on its intended use, the basic principle of what is required remains unchanged: when reporting the result of a measurement and its uncertainty, it is preferable to err on the side of providing too much information rather than too little. For example, one should a) jasně popsat použité metody pro výpočet výsledku měření a jeho nejistoty z experimentálních pozorování a  vstupních dat; a) describe clearly the methods used to calculate the measurement result and its uncertainty from the experimental observations and input data; b) uvést seznam všech složek nejistoty a dostatečně dokumentovat, jak byly určeny; b) list all uncertainty components and document fully how they were evaluated; c) prezentovat analýzy dat takovým způsobem, aby každý jejich důležitý krok mohl být snadno následovatelný a  zaznamenaný výpočet výsledku mohl být nezávisle opakován, jestliže je to nutné; c) present the data analysis in such a way that each of its important steps can be readily followed and the calculation of the reported result can be independently repeated if necessary; d) uvést všechny korekce a konstanty použité při provádění analýzy a jejich zdroje. d) give all corrections and constants used in the analysis and their sources. Účelem předchozího seznamu je položení otázky: „Je poskytnuto dostatek informací dostatečně jasným způsobem tak, aby výsledky mohly být aktualizovány, jakmile budou nové informace nebo data k dispo- zici?“ A test of the foregoing list is to ask oneself “Have I  provided enough information in a sufficiently clear manner that my result can be updated in the future if new information or data become available?” 7.2  Speciální návody 7.2  Specific guidance 7.2.1  Při záznamu výsledku měření, pokud je mírou nejistoty kombinovaná standardní nejistota uc (y), se má: 7.2.1  When reporting the result of a measurement, and when the measure of uncertainty is the combined standard uncertainty uc (y), one should a) podávat vyčerpávající popis, jak je definována měřená veličina Y; a) give a full description of how the measurand Y is defined; b) uvádět odhad y měřené veličiny Y a jeho kombinovanou standardní nejistotu uc (y); jednotky y  a  uc (y) mají být vždy uvedené; b) give the estimate y  of the measurand Y and its combined standard uncertainty uc (y); the units of y and uc (y) should always be given; c) zahrnout relativní kombinovanou standardní nejistotu uc (y)/|y|, |y| ≠  0, je-li to vhodné ; c) include the relative combined standard uncertainty uc (y)/|y|, |y| ≠ 0, when appro- priate; d) uvést informaci uvedenou v 7.2.7 nebo odkázat na vydaný dokument, který ji obsahuje. d) give the information outlined in 7.2.7 or refer to a published document that contains it. sborníky technické harmonizace 2012 66 Pokud se to jeví užitečné pro potenciálního uživatele měřeného výsledku, například pomoc při budoucích výpočtech koeficientu rozšíření nebo při pochopení smyslu měření, je dovoleno ještě uvést: If it is deemed useful for the intended users of the measurement result, for example, to aid in future calculations of coverage factors or to assist in understanding the measurement, one may indicate. – odhadnuté efektivní stupně volnosti νeff (viz G.4); – kombinované standardní nejistoty vyhodnocené způsobem A  ucA (y) a  způsobem B ucB (y) a  jejich odhadnuté efektivní stupně volnosti νeffA a νeffB (viz G.4.1, poznámka 3). – the estimated effective degrees of freedom νeff (see G.4); – the Type A and Type B combined standard uncertainties ucA (y) and ucB (y) and their estimated effective degrees of freedom νeffA and νeffB (see G.4.1, note 3). 7.2.2  Pokud je míra nejistoty uc (y), preferuje se stanovení číselného výsledku měření jedním z následujících čtyř způsobů, aby se zabránilo nedorozumění. (Předpokládá se, že veličina, jejíž hodnota bude zaznamenána, je jmenovitě 100 g standardní hmoty mS ; slova v závorkách by mohla být vynechána z důvodu stručnosti, jestliže uc je stanoveno na jiném místě dokumentu, ve kterém je zaznamenán výsledek.) 7.2.2  When the measure of uncertainty is uc (y), it is preferable to state the numerical result of the measurement in one of the following four ways in order to prevent misunderstanding. (The quantity whose value is being reported is assumed to be a  nominally 100 g standard of mass mS ; the words in parentheses may be omitted for brevity if uc is defined elsewhere in the document reporting the result.) 1) „mS   =  100,021  47  g s (kombinovanou standardní nejistotou) uc = 0,35 mg.“ 1) “mS =  100,021 47 g  with (a  combined standard uncertainty) uc = 0,35 mg.” 2) „mS  = 100,021 47(35) g, kde číslo v závorkách je číselnou hodnotou (kombinované standardní nejistoty) uc , která se vztahuje na odpovídající poslední číslice uvedeného výsledku.“ 2) “mS = 100,021 47(35) g, where the number in parentheses is the numerical value of (the combined standard uncertainty) uc referred to the corresponding last digits of the quoted result.” 3) „mS   =  100,021  47(0,000  35)  g, kde číslo v  závorkách je číselná hodnota (kombinované standardní nejistoty) uc vyjádřená v jednotce uváděného výsledku.“ 3) “mS   =  100,021  47  (0,000  35)  g, where the number in parentheses is the numerical value of (the combined standard uncertainty) uc expressed in the unit of the quoted result.” 4) „mS  = (100,021 47 ± 0,000 35) g, kde číslo následující za značkou  ±  je číselná hodnota (kombinované standardní nejistoty) uc a ne konfidenční interval.“ 4) “mS   =  (100,021  47  ±  0,000  35) g, where the number following the symbol  ±  is the numerical value of (the combined standard uncertainty) uc and not a confidence interval.” sborníky technické harmonizace 2012 67 POZNÁMKA  Pokud je to možné doporučuje se vyvarovat tvaru ± , protože je tradičně použiván ke znázornění intervalu, který odpovídá vysoké konfidenční úrovni a  tedy může být zaměněný s  rozšířenou nejistotou (viz 7.2.4). Navíc, ačkoliv účelem varování v 4) je zamezit takové záměně, tak zápisem Y = y ± uc (y) by mohlo stále docházetk nedorozumění,že rozšířená nejistota s k = 1 je takto míněná a že interval y – uc (y) ≤ Y ≤ y + uc (y) má určitou konfidenční úroveň p, jmenovitě, že je spojen s  normálním rozdělením (viz G.1.3). Toto zvláště platí, pokud je toto upozornění nedopatřením vynecháno. Jak bylo uvedeno v 6.3.2 a v příloze G, výklad uc (y) tímto způsobem lze obvykle těžko ospravedlnit. NOTE  The ± format should be avoided whenever possible because it has traditionally been used to indicate an interval corresponding to a high level of confidence and thus may be confused with expanded uncertainty (see 7.2.4). Further, although the purpose of the caveat in 4) is to prevent such confusion, writing Y = y ± uc (y) might still be misunderstood to imply, especially if the caveat is accidentally omitted, that an expanded uncertainty with k = 1 is intended and that the interval y – uc (y) ≤ Y ≤ y + uc (y) has a specified level of confidence p, namely, that associated with the normal distribution (see G.1.3). As indicated in 6.3.2 and annex G, interpreting uc (y) in this way is usually difficult to justify. 7.2.3  Při uvádění výsledku měření, pokud je rozšířená nejistota U = kuc (y) mírou nejistoty, se má: 7.2.3  When reporting the result of a measurement, and when the measure of uncertainty is the expanded uncertainty U = kuc (y), one should a) podávat úplný popis toho, jak je měřená veličina Y defininována; a) give a full description of how the measurand Y is defined; b) uvést výsledek měření jako Y = y ± U a uvést jednotky pro y a U; b) state the result of the measurement as Y = y ± U and give the units of y and U; c) zahrnout relativní rozšířenou nejistotu U/|y|, |y| ≠ 0, pokud je to vhodné; c) include the relative expanded uncertainty U/|y|, |y| ≠ 0, when appropriate; d) uvést hodnotu k použitou k získání U [nebo k ulehčení pro uživatele výsledku uvést jak k, tak uc (y)]; d) give the value of k used to obtain U [or, for the convenience of the user of the result, give both k and uc (y)]; e) uvést přibližnou konfidenční úroveň spojenou s intervalem y ± U a uvést, jak byla určena; e) give the approximate level of confidence associated with the interval y  ± U  and state how it was determined; f) uvést informace uvedené v  7.2.7 nebo odkázat na vydaný dokument, který je obsahuje. f) give the information outlined in 7.2.7 or refer to a published document that contains it. 7.2.4  Pokud je U mírou nejistoty, preferuje se stanovit, pro maximální jasnost, číselný výsledek měření jako v následujícím příkladu. (Slova v závorkách mohou být z důvodu stručnosti vynechána, jestliže U, uc  a k jsou uvedeny kdekoliv jinde v dokumentu, který uvádí výsledek.) 7.2.4  When the measure of uncertainty is U, it is preferable, for maximum clarity, to state the numerical result of the measurement as in the following example. (The words in parentheses may be omitted for brevity if U, uc , and k are defined elsewhere in the document reporting the result.) „mS  = (100,021 47 ± 0,000 79) g, kde číslo následující za značkou ±  je číselná hodnota (rozšířené nejistoty) U  =  kuc , s  U určenou z  (kombinované standardní nejistoty) uc  = 0,35 mg a (koeficientu rozšíření) k = 2,26 na základě t-rozdělení pro n = 9 stupňů volnosti a určuje interval s odhadnutou konfidenční úrovní 95 %.“ “mS  = (100,021 47 ± 0,000 79) g, where the number following the symbol ± is the numerical value of (an expanded uncertainty) U  = kuc , with U  determined from (a  combined standard uncertainty) uc = 0,35 mg and (a coverage factor) k = 2,26 based on the t-distribution for n = 9 degrees of freedom, and defines an interval estimated to have a level of confidence of 95 percent.” sborníky technické harmonizace 2012 68 7.2.5  Jestliže měření určuje současně více než jednu měřenou veličinu, tj. jestli poskytuje hodnoty dvou nebo více výstupních odhadů yi (viz H.2, H.3 a H.4), pak jsou doplněny hodnoty k  yi , a  uc (yi ), členy kovarianční matice u(yi , yj ) nebo členy r(yi , yj ) matice korelačních koeficientů (C.3.6 poznámka 2) (a preferují se obě). 7.2.5  If a  measurement determines simultaneously more than one measurand, that is, if it provides two or more output estimates yi (see H.2, H.3, and H.4), then, in addition to giving yi , and uc (yi ), give the covariance matrix elements u(yi , yj ) or the elements r(yi , yj ) of the correlation coefficient matrix (C.3.6, note 2) (and preferably both). 7.2.6  Číselné hodnoty odhadu y  a  jeho standardní nejistoty uc (y) nebo rozšířené nejistoty U  nemají být uváděny nadměrným počtem číslic. Obvykle stačí značit uc (y) a U [stejně, jako standardní nejistotu u(xi ) pro odhady vstupů xi ] až do nanejvýš dvou významných číslic, ačkoliv v některých případech může být nutné zachovat další číslice, k vyvarování se chyb zaokrouhlení při následujících výpočtech. 7.2.6  The numerical values of the estimate y  and its standard uncertainty uc (y) or expanded uncertainty U should not be given with an excessive number of digits. It usually suffices to quote uc (y) and U [as well as the standard uncertainties u(xi ) of the input estimates xi ] to at most two significant digits, although in some cases it may be necessary to retain additional digits to avoid round-off errors in subsequent cal- culations. Při uvádění konečných výsledků, je vhodné zaokrouhlit nejistoty spíše nahoru než k nejbližšímu číslu. Například, uc (y) = 10,47 mW by mohla být zaokrouhlená na 11  mW. Avšak, při tom má převládat rozum a  u(xi )  =  28,05  kHz má být zaokrouhlena dolů na 28 kHz. Odhady výstupních a vstupních veličin mají být zaokrouhleny tak, aby byly v souladu se svými nejistotami; například, jestliže y = 10,057 62 W s uc (y) = 27 mW, pak má být zaokrouhlená na 10,058  W. Korelační koeficienty mají být uvedené s přesností na tři číslice, jestliže jejich absolutní hodnoty se blíží jedné. In reporting final results, it may sometimes be appropriate to round uncertainties up rather than to the nearest digit. For example, uc (y) = 10,47 mW might be rounded up to 11 mW. However, common sense should prevail and a value such as u(xi ) = 28,05 kHz should be rounded down to 28 kHz. Output and input estimates should be rounded to be consistent with their uncertainties; for example, if y = 10,057 62 W with uc (y) =  27 mW, y  should be rounded to 10,058 W. Correlation coefficients should be given with three-digit accuracy if their absolute values are near unity. 7.2.7  Podrobná zpráva, kde se popisuje, jak byl získán výsledek měření a jeho nejistota se má řídit doporučením 7.1.4 a tudíž 7.2.7  In the detailed report that describes how the result of a measurement and its uncertainty were obtained, one should follow the recommendations of 7.1.4 and thus a) uvést hodnotu každého odhadu vstupu xi   a jeho standardní nejistoty u(xi ) společně s popisem, jak byly získány; a) give the value of each input estimate xi and its standard uncertainty u(xi ) together with a description of how they were obtained; sborníky technické harmonizace 2012 69 b) uvést odhad kovariance nebo odhad korelačních koeficientů (preferují se oba) příslušných odhadům vstupů, které jsou korelované a  metody použité k  jejich získání; b) give the estimated covariances or estimated correlation coefficients (preferably both) associated with all input estimates that are coirelated, and the methods used to obtain them; c) uvést stupně volnosti pro standardní nejistotu každého odhadu vstupu a jak byly získány; c) give the degrees of freedom for the standard uncertainty of each input estimate and how it was obtained; d) uvést funkční vztah Y = ƒ(X1 , X2 , ..., XN ) a když se to zdá užitečné, parciální derivace nebo činitelé citlivosti ∂ƒ/∂xi . Zvláště mají být uvedeny koeficienty experimentálně určené. , d) give the functional relationship Y = ƒ(X1 , X2 , ..., XN XN ) and, when they are deemed useful, the partial derivatives or sensitivity coefficients ∂ƒ/∂xi . However, any such coefficients determined experimentally should be given. POZNÁMKA  Jelikož funkční vztah ƒ smí být velmi složitý nebo nemusí existovat explicitně, ale pouze jako počítačový program, pak nemusí být vždy možné uvést ƒ a její derivace. Funkce ƒ může potom být popsána v obecných pojmech nebo užitý program smí být uváděn vhodným odkazem. V takových případech je důležité, aby bylo jasné, jak odhad y měřené veličiny Y a jeho kombinovaná standardní nejistota uc (y) byly získány. NOTE  Since the functional relationship ƒmay be extremely complex or may not exist explicitly but only as a computer program, it may not always be possible to give ƒ and its derivatives. The function ƒ may then be described in general terms or the program used may be cited by an appropriate reference. In such cases, it is important that it be clear how the estimate y of the measurand Y and its combined standard uncertainty uc (y) were obtained. sborníky technické harmonizace 2012 70 8  Souhrn postupů pro hodnocení a vyjádřování nejistoty 8  Summary of procedure for evaluating and expressing uncertainty Kroky, které musí následovat při hodnocení a vyjadřování nejistoty výsledku měření, jak jsou popsány v tomto pokynu, lze shrnout následovně: The steps to be followed for evaluating and expressing the uncertainty of the result of a measurement as presented in this Guide may be summarized as follows: 1 Matematické vyjádření vztahu mezi měřenou veličinou Y a vstupní veličinou Xi , na které Y závisí, je Y = ƒ(X1 , X2 , ..., XN ). Funkce ƒ má obsahovat každou veličinu, včetně všech korekcí a korekčních činitelů, které mohou přispívat významnou složkou nejistoty k výsledku měření (viz 4.1.1 a 4.1.2). 1 Express mathematically the relationship between the measurand Y and the input quantities Xi on which Y  depends: relationship Y  = ƒ(X1 , X2 ,  ...,  XN ). The function ƒ should contain every quantity, including all corrections and correction factors, that can contribute a significant component of uncertainty to the result of the measurement (see 4.1.1 and 4.1.2). 2 Určení xi , hodnoty odhadu vstupní veličiny Xi , buď na základech statistické analýzy řady pozorování nebo jinými metodami (viz 4.1.3). 2 Determine xi , the estimated value of input quantity Xi , either on the basis of the statistical analysis of series of observations or by other means (see 4.1.3). 3 Hodnocení standardní nejistoty u(xi ) každého odhadu vstupu xi . Pro odhad vstupu získaný ze statistické analýzy řady pozorování je standardní nejistota určena podle 4.2 (hodnocení standardní nejistoty způsobem A). Pro odhad vstupu získaného jinými metodami je standardní nejistota u(xi ) určena podle 4.3 (hodnocení standardní nejistoty způsobem B). 3 Evaluate the standard uncertainty u(xi ) of each input estimate xi . For an input estimate obtained from the statistical analysis of series of observations, the standard uncertainty is evaluated as described in 4.2 (Type A  evaluation of standard uncertainty). For an input estimate obtained by other means, the standard uncertainty u(xi ) is evaluated as described in 4.3 (Type B evaluation of standard uncertainty). 4 Hodnocení kovariancí příslušných odhadům vstupních hodnot, které jsou korelované (viz 5.2). 4 Evaluate the covariances associated with any input estimates that are correlated (see 5.2). 5 Vypočet výsledku měření, který je odhadem y měřené veličiny Y z funkčního vztahu ƒ použitím odhadů xi vstupních veličin Xi získaných pomocí kroku 2 (viz 4.1.4). 5 Calculate the result of the measurement, that is, the estimate y of the measurand Y, from the functional relationship ƒ using for the input quantities xi the estimates Xi obtained in step 2 (see 4.1.4). sborníky technické harmonizace 2012 71 6 Určení kombinované standardní nejistoty uc (y) výsledku měření y ze standardních nejistot a kovariancí příslušných odhadům vstupů podle popisu v kapitole 5. Jestliže měření současně určí více než jednu výstupní veličinu, vypočítá se jejich kovariance (viz 7.2.5, H.2, H.3 a H.4). 6 Determine the combined standard uncertainty uc (y) of the measurement result y  from the standard uncertainties and covariances associated with the input estimates, as described in clause 5. If the measurement determines simultaneously more than one output quantity, calculate their covariances (see 7.2.5, H.2, H.3, and H.4). 7 Pokud je požadováno vyjádření rozšířené nejistoty U, jejíž účelem je poskytnout interval od y – U do y + U, ve kterém se očekává, že bude obsahovat velký podíl rozdělení hodnot, které důvodně mohou být přiřazeny měřené veličině, vynásobí se kombinovaná standardní nejistota uc (y) koeficientem rozšíření k, který je obvykle v rozsahu 2 až 3, k získání U = kuc (y). Vybere se k pro tento interval na základě požadované konfidenční úrovně (viz 6.2, 6.3 a zvláště příloha G, která vysvěluje výběr hodnoty k, která vytváří interval mající konfidenční úroveň, která je blízká určené hodnotě). 7 If it is necessary to give an expanded uncertainty U, whose purpose is to provide an interval y – U to y + U that may be expected to encompass a large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand Y, multiply the combined standard uncertainty uc (y) by a coverage factor k, typically in the range 2  to 3, to obtain U = kuc (y). Select k on the basis of the level of confidence required of the interval (see 6.2, 6.3, and especially annex G, which discusses the selection of a value of k  that produces an interval having a level of confidence close to a specified value). 8 Záznamená se výsledek měření y  společně s  jeho kombinovanou standardní nejistotou uc (y) nebo rozšířenou nejistotou U, jak jsou vysvětleny v 7.2.1 a 7.2.3; použije se při tom jeden z tvarů doporučených v 7.2.2 a 7.2.4. Popíše se, jak je uvedeno v kapitole 7, jak byly získány y a uc (y) nebo U. 8 Report the result of the measurement y together with its combined standard uncertainty uc (y) or expanded uncertainty U as discussed in 7.2.1 and 7.2.3; use one of the formats recommended in 7.2.2 and 7.2.4. Describe, as outlined also in clause 7, how y and uc (y) or U were obtained. sborníky technické harmonizace 2012 72 Příloha A Annex A Doporučení Pracovní skupiny a CIPM Recommendations of Working Group and CIPM A.1  Doporučení INC-1 (1980) A.1  Reconunendation INC-1 (1980) Pracovní skupina k řešení problematiky nejistot (viz předmluva) byla svolána v  říjnu 1980 Mezinárodním úřadem pro váhy a míry (BIPM) na základě žádosti Mezinárodního výboru pro váhy a míry (CIPM). Vypracovala podrobnou zprávu pro CIPM, která vyústila v doporučení INC-1 (1980) [2]: The Working Group on the Statement of Uncertainties (see Foreword) was convened inOctober1980bytheBureauInternational des Poids et Mesures (BIPM) in response to a request of the Comité International des Poids et Mesures (CIPM). It prepared a detailed report for consideration by the CIPM that concluded with Recomrnendation INC-1 (1980) [2]. The English translation of this Recommendation is given in 0.7 of this Guide and the French text, which is authoritative, is as follows [2]: Vyjádření experimentálních nejistot Expression des incertitudes expérimentales Doporučení INC-1 (1980) Recommendation INC-1 (1980) 1. Nejistota výsledku měření obvykle obsahuje několik složek, které lze rozdělit do dvou kategorií podle metody použité k odhadu jejich číselné hodnoty: 1. L’incertitude d’un résultat de mesure comprend généralement plusieurs composantes qui peuvent être groupées en deux catégories d’après la méthode utilisée pour estimer leur valeur numé- rique: A. ty, které jsou hodnoceny pomocí statistických metod, A. celles qui sont évaluées à  l’aide de méthodes statistiques, B. ty, které jsou hodnoceny jinými způ- soby. B. celles qui sont évaluées par d’autres moyens. Zařazení do kategorií A nebo B a určení, zda jde o charakter „náhodný“ nebo „systematický“, dříve používané pro klasifikaci nejistoty, vždy není jednoduché. Výraz „systematická nejistota“ snadno vede k chybám výkladu; je třeba se mu vyhnout. Il n’y a pas toujours une correspondance simple entre le classement dans les catégories A  ou B  et le caractère «aléatoire» ou «systématique» utilisé antérieurement pour classer les incertitudes. L’expression «incertitude systématique» est susceptible de conduire à des erreurs d’interprétation; elle doit être évitée. Každý podrobný popis nejistoty má obsahovat kompletní seznam jejích složek a  má u  každé z  nich označit metodu, kterou jí byla přiřazena číselná hodnota. Toute description détaillée de l’incertitude devrait comprendre une liste complète de ses composantes et indiquer pour chacune la méthode utilisée pour lui attribuer une valeur numérique. 2. Složky v kategorii A jsou dány odhadovanými rozptyly 2 is (neboli „směrodatnými odchylkami“ si ) a počtem stupňů volnosti νi . Tam, kde je to vhodné, mohou být uvedeny odhadované kovariance. 2. Les composantes de la catégorie A  sont caractérisées par les variances estimées 2 is (ou les «écarts-types» estimés si ) et les nombres νi de degrés de liberté. Le cas échéant, les covariances estimées doivent être données. sborníky technické harmonizace 2012 73 3. Složky v kategorii B mají být charakterizovány veličinami 2 ju , které mohou být považovány za přibližně odpovídající aproximacím, jejichž existence je přípustná. Veličiny 2 ju mohou být považovány za rozptyl a  veličiny uj za směrodatné odchylky. Tam, kde je to vhodné, mají být kovariance určené podobným způsobem určení jako si . 3. Les composantes de la catégorie B  devraient être caractérisées par des termes 2 ju   qui puissent être considérés comme des approximations des variances correspondantes dont on admet l’existence. Les termes 2 ju peuvent être traités comme des variances et les termes uj comme des écarts-types. Le cas échéant, les covariances doivent être traitées de façon analogue. 4. Kombinovaná nejistota má být charakterizována hodnotou, získanou použitím obvyklého způsobu kombinování odchylky. Kombinovaná nejistota a  její složky mají být vyjádřeny v podobě „směrodatné odchylky“. 4. L’incertitude composée devrait être caractérisée par la valeur obtenue en appliquant la méthode usuelle de combinaison des variances. L’incertitude composée ainsi que ses composantes devraient être exprimées sous la forme d’«écarts-types». 5. Jestliže se v  některých zvláštních případech použije pro získání úplné nejistoty násobení kombinované nejistoty koeficientem, musí být vždy uvedena hodnota tohoto koeficientu. 5. Si pour des utilisations particulières on est amené à  multiplier par un facteur l’incertitude composée afin d’obtenir incertitude globale, la valeur numérique de ce facteur doit toujours être donnée. A.2  Doporučení 1 (CI-1981) A.2  Recommendation 1 (CI-1981) CIPM přezkoumal zprávu předloženou pracovní skupinou pro vyjádření nejistot a přijal následující doporučení na své 70. schůzi v říjnu 1981 [3]: The CIPM reviewed the report submitted to it by the Working Group on the Statement of Uncertainties and adopted the following recommendation at its 70th meeting held in October 1981 [3]: Doporučení 1 (CI-1981) Recommendation 1 (CI-1981) Vyjádření nejistot měření Expression of experimental uncertainties Mezinárodní výbor pro váhy a míry The Comité International des Poids et Mesures se zřetelem na considering – potřebu najít jednotnou metodu pro vyjádření nejistoty měření v metrologii, – the need to find an agreed way of expressing measurement uncertainty in metrology, – úsilí, které věnovalo této tématice mnoho organizací po mnoho let, – he effort that has been devoted to this by many organizations over many years, – povzbuzující vývoj při hledání přijatelného řešení, který byl výsledkem diskusí pracovní skupiny pro vyjádření nejistot, která se sešla v BIPM v roce 1980, – the encouraging progress made in finding an acceptable solution, which has resulted from the discussions of the Working Group on the Expression of Uncertainties which met at BIPM in 1980, uznává recognizes sborníky technické harmonizace 2012 74 – že návrhy pracovní skupiny by mohly tvořit základ pro případnou dohodu ohledně vyjádření nejistot, – that the proposals of the Working Group might form the basis of an eventual agreement on the expression of uncertainties, doporučuje recommends – aby návrhy pracovní skupiny byly co nejvíce šířeny; – that the proposais of the Working Group be diffused widely; – aby se BIPM pokusil použít obsažené principy k mezinárodním porovnáním, která budou prováděna pod jeho dohledem v příštích letech; – that BIPM attempt to apply the principles therein to international comparisons carried out under its auspices in the years to come; – aby ostatní zainteresované organizace podpořily prozkoumání a zkoušení těchto návrhů, a aby seznámily BIPM se svými poznatky; – that other interested organizations be encouraged to examine and test these proposals and let their comments be known to BIPM; – aby BIPM po dvou až třech letech předložil zprávu o použití těchto návrhů. – that after two or three years BIPM report back on the application of these proposals. A.3  Doporučení 1 (CI-1986) A.3  Recommendation 1 (CI-1986) CIPM znovu projednal problematiku vyjádření nejistot na své 75. schůzi, která se konala v říjnu 1986 a přijal následující doporučení [4]: The CIPM further considered the matter of the expression of uncertainties at its 75th meeting held in October 1986 and adopted the following recommendation [4]: Doporučení 1 (CI-1986) Recommendation 1 (CI-1986) Vyjádření nejistot při práci prováděné pod dohledem CIPM Expression of uncertainties in work carried out under the auspices of the CIPM Mezinárodní výbor pro váhy a míry, The Comité International des Poids et Mesures, bere na vědomí doporučení přijatá INC-1  (1980), pracovní skupiny pro vyjádření nejistot a doporučení 1 (CI-1981), převzatá CIPM, considering the adoption by the Working Group on the Statement of Uncertainties of Recommendation INC-1 (1980) and the adoptionbytheCIPMofRecommendation 1 (CI-1981), bere na vědomí, že někteří členové konzultačních komisí by mohli potřebovat vyjasnit tato doporučení pro účely práce, která spadá pod jejich kompetenci, zvláště pro účely mezinárodních porovnání, considering that certain members of Comités Consultatifs may want clarification of this Recommendation for the purposes of work that falls under their purview, especially for international comparisons, uznává, že paragraf 5  doporučení INC-1 (1980) vztahující se k  jednotlivým aplikacím, zvláště k těm které mají komerční význam, by mohl být v  současné době projednán pracovní skupinou Mezinárodní organizace pro normalizaci (ISO), která se skládá ze zástupců ISO, OIML a IEC, a která spolupracuje s CIPM, recognizes that paragraph 5  of Recom mendation INC-1 (1980) relating to particular applications, especially those having commercial significance, is now being considered by a working group of the International Standards Organization (ISO) common to the ISO, OIML and IEC, with the concurrence and cooperation of the CIPM, sborníky technické harmonizace 2012 75 požaduje, aby paragraf 4 doporučení INC-1 (1980) byl používán všemi zúčastněnými při uvádění výsledků všech mezinárodních porovnání nebo při jakékoliv další práci prováděné pod dohledem CIPM a konzultačních komisí, a  aby byla uváděna kombinovaná standardní nejistota pro nejistoty vyhodnocované způsobem A  a  B, a  to na základě jedné směrodatné odchylky. requests that paragraph 4 of Recommendation INC-1 (1980) should be applied by all participants in giving the results of all international comparisons or other work done under the auspices of the CIPM and the Comités Consultatifs and that the combined uncertainty of type A and type B uncertainties in terms of one standard deviation be given. sborníky technické harmonizace 2012 76 Příloha B Annex B Obecné metrologické termíny General metrological terms B.1  Zdroj definic B.1  Source of definitions Definice obecných metrologických termínů související s tímto pokynem, které jsou zde uvedeny, byly převzaty z  mezinárodního slovníku pro základní a všeobecné termíny metrologie (zkráceně VIM), druhé vydání, 1993 [6], vydaném Mezinárodní organizací pro normalizaci (ISO) jménem sedmi organizací, které přispěly k  jejímu vývoji a jmenovaly odborníky, kteří ji připravovali: Mezinárodní úřad pro váhy a míry (BIPM), Mezinárodní elektrotechnická komise (IEC), Mezinárodní federace klinické chemie (IFCC), Mezinárodní organizace pro normalizaci (ISO), Mezinárodní svaz pro čistou a aplikovanou chemii (IUPAC), Mezinárodní svaz pro čistou a  aplikovanou fyziku (IUPAP) a Mezinárodní organizace pro legální metrologii (OIML). VIM má být také prvním zdrojem konzultace pokud jde o definice termínů nezahrnutých buď zde nebo ve zbývajícím textu. The definitions of the general metrological terms relevant to this Guide that are given here have been taken from the international vocabulary of basic and general terms in metrology (abbreviated VIM), second edition, 1993 [6], published by the International Organization for Standardization (ISO), in the name of the seven organizations that supported its development and nominated the experts who prepared it: the Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), the International Electrotechnical Commission (IEC), the International Federation of Clinical Chemistry (IFCC), ISO, the International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC), the International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP), and the International Organization of Legal Metrology (OIML). The VIM should be the first source consulted for the definitions of terms not included either here or in the text. POZNÁMKA  Některé základní statistické termíny a  pojmy jsou uvedené v  příloze C, zatímco termíny „pravá hodnota“, „chyba“ a „nejistota“ jsou dále vysvětleny v příloze D. NOTE  Some basic statistical terms and concepts are given in annex C, while the terrns “true value,” “error,” and “uncertainty” are further discussed in annex D. B.2  Definice B.2  Definitions V případě následujících definic, stejně jako v kapitole 2, znamená použití závorek okolo určitých slov některých termínů, že tato slova je dovoleno vynechat, pokud je nepravděpodobné, že to způsobí záměnu. As in clause 2, in the definitions that follow, the use of parentheses around certain words of some terms means that the words may be omitted if this is unlikely to cause confusion. Pojmy tučně vytištěné v některých poznámkách jsou dodatečné metrologické termíny, definované v těchto poznámkách buď explicitně nebo implicitně (viz citace [6]). The terms in boldface in some notes are additional metrological terms defined in those notes, either explicitly or implicitly (see reference [6]). B.2.1 (měřitelná) veličina vlastnost jevu, tělesa nebo látky, kterou lze kvalitativně rozlišit a kvantitativně určit B.2.1 (measurable) quantity attribute of a  phenomenon, body or substance that may be distinguished qualitatively and determined quantitatively POZNÁMKY NOTES 1 Termín „veličina“ se může vztahovat na veličinu v obecném smyslu [viz příklad (a)] nebo na blíže určenou veličinu [viz příklad (b)]. 1 The term quantity may refer to a  quantity in a general sense [see examples a)] or to a particular quantity [see examples b)]. sborníky technické harmonizace 2012 77 PŘÍKLADY EXAMPLES a) veličiny v obecném smyslu: délka, čas, hmota, teplota, elektrický odpor, nasycenost látky; a) quantities in a  general sense: length, time, mass, temperature, electrical resistance, amount-of-substance concentration; b) blíže určené veličiny: – délka určité tyče – elektrický odpor daného zkušebního vzorku drátu – koncentrace látkového množství ethanolu v daném vzorku vína. b) particular quantities – length of a given rod – electrical resistance of a given specimen of wire – amount-of-substance concentration of ethanol in a given sample of wine. 2 Veličiny, které mohou být navzájem porovnány a seřazeny podle velikosti, jsou nazývány veličiny stejného druhu. 2 Quantities that can be placed in order of magnitude relative to one another are called quantities of the same kind. 3 Veličiny stejného druhu mohou být společně seskupovány do kategorií veličin, například: 3 Quantities of the same kind may be grouped together into categories of quantities, for example: – práce, teplota, energie; – tloušťka, obvod, vlnová délka. – work, heat, energy – hickness, circumference, wavelength. 4 Značky veličin jsou uvedeny v ISO 312) . 4  Symbols for quantities are given in ISO 31. [VIM:1993, definice 1.1 ] [VIM:1993, definition 1.1] B.2.2 hodnota (veličiny) B.2.2 value (of a quantity) velikost jednotlivé veličiny obecně vyjádřená jako jednotka měření násobená číslem PŘÍKLAD 1  Délka tyče: 5,34 m nebo 534 cm PŘÍKLAD 2  Hmotnost tělesa: 0,152 kg nebo 152 g PŘÍKLAD 3  Látkové množství vzorku vody H2 O: 0,012 mol nebo 12 mmol POZNÁMKA 1  Hodnota veličiny smí být kladná, záporná nebo nula. POZNÁMKA 2  Hodnota veličiny smí být vyjádřena více než jedním způsobem. POZNÁMKA 3  Hodnoty veličiny o rozměru jedna jsou obecně vyjadřovány jako čisté číslo. POZNÁMKA 4  Veličiny, které nemohou být vyjádřeny jako jednotka měření násobená číslem se smí vyjadřovat odkazem na konvenční referenční stupnici nebo na postup měření nebo na obojí [VIM:1993, definition 1.18] magnitude of a particular quantity generally expressed as a unit of measurement multiplied by a number EXAMPLE 1 Length of a rod: 5,34 m or 534 cm. EXAMPLE 2 Mass of a body: 0,152 kg or 152 g. EXAMPLE 3 Amount of substance of a sample of water (H2 O): 0,012 mol or 12 mmol. NOTE 1 The value of a quantity may be positive, negative or zero. NOTE 2 The value of a quantity may be expressed in more than one way. NOTE 3 The values of quantities of dimension one are generally expressed as pure numbers. NOTE 4 A quantity that cannot be expressed as a unit of measurement multiplied by a number may be expressed by reference to a conventional reference scale or to a measurement procedure or to both. [VIM:1993, definition 1.18] 2 ISO 31 Veličiny a jednotky byly nahrazeny ISO 80000 a IEC 80000 Veličiny a jednotky sborníky technické harmonizace 2012 78 B.2.3 pravá hodnota (veličiny) hodnota, která je ve shodě s  definicí dané blíže určené veličiny B.2.3 true value (of a quantity) value consistent with the definition of a given particular quantity POZNÁMKY NOTES 1 Toto je hodnota, která byla získána naprosto přesným (perfektním) měřením. 1 This is a value that would be obtained by a perfect measurement. 2 Pravé hodnoty jsou neurčitelného charakteru. 2 True values are by nature indeterminate. 3 Ve spojitosti s  pravou hodnotou se v  anglické, francouzské a německé verzi používá spíše neurčitý člen („a“, „une“, „ein“) než člen určitý („the“, „la“, „der“), protože se může vyskytovat mnoho hodnot, které jsou ve shodě s definicí dané blíže určené veličiny. 3 The indefinite article “a,” rather than the definite article “the,” is used in conjunction with “true value” because there may be many values consistent with the definition of a given particular quantity. [VIM:1993, definice 1.19] [VIM:1993, definition 1.19] Komentář pokynu: Viz příloha D, zvláště D.3.5, která uvádí důvody, proč termín „pravá hodnota“ není použitý v tomto pokynu a proč termíny „pravá hodnota měřené veličiny“ nebo (veličiny) a „hodnota měřené veličiny“ nebo (veličiny) jsou uváděny jako ekvivalentní. Guide Comment: See annex D, in particular D.3.5, for the reasons why the term “true value” is not used in this Guide and why the terms “true value of a measurand” (or of a quantity) and “value of a measurand” (or of a quantity) are viewed as equivalent. B.2.4 konvenčně pravá hodnota (měřené veličiny) B.2.4 conventional true value (of a quantity) hodnota, která je přiřazována blíže určené veličině a přijata někdy konvencí jako hodnota, jejíž nejistota je vyhovující pro daný účel value attributed to a particular quantity and accepted, sometimes by convention, as having an uncertainty appropriate for a given purpose PŘÍKLADY EXAMPLES a) v daném místě může být hodnota, která přísluší veličině realizované referenčním etalonem, pokládána za konvenčně pravou hodnotu; a) at a  given location, the value assigned to the quantity realized by a reference standard may be taken as a conventional true value; b) Od CODATA (1986) doporučená hodnota Avogardovy konstanty je NA : 6,022 136 7 x 1023 mol–1 . b) the CODATA (1986) recommended value for the Avogadro constant: 6,022 136 7 x 1023 mol–1 . POZNÁMKY NOTES 1 „Konvenčně pravá hodnota“ je někdy nazývána jako stanovená hodnota, nejlepší odhad hodnoty, konvenční hodnota nebo referenční hodnota. „Referenční hodnota“ v tomto významu nemá být zaměňována za „referenční hodnotu“ ve významu použitém v poznámce k VIM: 1993, definice 5.7. 1 “Conventional true value” is sometimes called assigned value, best estimate of the value, conventional value or reference value. “Reference value,” in this sense, should not be confused with “reference value” in the sense used in the Note to VIM: 1993, definition 5.7. 2 Ke stanovení konvenčně pravé hodnoty se často používá velkého počtu výsledků měření veličiny. 2 Frequently a number of results of measurements of a quantity is used to establish a conventional true value. [VIM:1993, definice 1.20] [VIM:1993, definition 1.20] Komentář pokynu: Viz komentář pokynu k B.2.3. Guide Comment: See the Guide Comment to B.2.3. sborníky technické harmonizace 2012 79 B.2.5 měření soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu veličiny B.2.5 measurement set of operations having the object of determining a value of a quantity POZNÁMKA  Tyto činnosti mohou být prováděny automaticky. NOTE  The operations may be performed automatically. [VIM:1993, definice 2.1] [VIM:1993, definition 2.1] B.2.6 princip měření vědecký základ měření B.2.6 principle of measurement scientific basis of a measurement PŘÍKLADY EXAMPLES a) termoelektrický jev využívaný k měření teploty; a) the thermoelectric effect applied to the measurement of temperature; b) Josephsonův jev využívaný k  měření rozdílu elektrických potenciálů (elektrického napětí); b) the Josephson effect applied to the measurernent of electric potential difference; c) Dopplerův jev využívaný k měření rychlosti; c) the Doppler effect applied to the measurement of velocity; d) Ramanův jev využívaný k měření vlnočtu molekulárních vibrací. d) the Raman effect applied to the measurement of the wave number of molecular vibrations. [VIM:1993, definice 2.3] [VIM:1993, definition 2.3] B.2.7 metoda měření logický sled po sobě následujících genericky popsaných činností, které jsou používány při měřeních B.2.7 method of measurement logical sequence of operations, described generically, used in the performance of measurements POZNÁMKA  Metody měření je dovoleno kvalifikovat různými způsoby jako například: NOTE  Methods of measurernent may be qualified in various ways such as: – substituční metoda – substitution method – diferenciální metoda – differential method – nulová metoda. – null method. [VIM:1993, definice 2.4] [VIM:1993, definition 2.4] B.2.8 postup měření soubor specificky popsaných činností, které jsou používány při blíže určených měřeních podle dané metody měření B.2.8 measurement procedure set of operations, described specifically used in the performance of particular measurements according to a given method POZNÁMKA  Postup měření je obvykle zaznamenán v  dokumentu, který je někdy nazýván „postup měření“ (nebo metodika měření; způsob měření), a který je obvykle dostatečně podrobný k tomu, aby umožnil operátorovi provést měření bez dodatečných informací. NOTE  A measurement procedure s  usually recorded in a document that is sometimes itself called a “measurement procedure” (or a  measurement method) and is usually in sufficient detail to enable an operator to carry out a measurement without additional infor- mation. [VIM:1993, definice 2.5] [VIM:1993, definition 2.5] sborníky technické harmonizace 2012 80 B.2.9 měřená veličina blíže určená veličina, která je předmětem měření B.2.9 measurand particular quantity subject to measure- ment PŘÍKLAD  Tlak páry daného vzorku vody při 20 °C. EXAMPLE  Vapour pressure of a given sample of water at 20 °C. POZNÁMKA  Specifikace měřené veličiny může vyžadovat údaje o dalších veličinách jako je čas, teplota a tlak. NOTE  The specification of a measurand may require statements about quantities such as time, temperature and pressure. [VIM:1993, definice 2.6] [VIM:1993, definition 2.6] B.2.10 ovlivňující veličina veličina, která není měřenou veličinou, která však ovlivňuje výsledek měření B.2.10 influence quantity quantity that is not the measurand but that affects the result of the measurement PŘÍKLADY EXAMPLES 1) Teplota mikrometru použitého k měření délky; 1) Temperature of a  micrometer used to measure length; 2) Frekvence při měření amplitudy střídavého elektrického napětí; 2) Frequency in the measurement of the amplitude of an alternating electric potential difference: 3) Koncentrace bilirubinu při měření koncentrace hemoglobinu ve vzorku lidské krevní plazmy. 3) Bilirubin concentration the measurement of haemoglobin concentration in a sample of human blood plasma. [VIM:1993, definice 2.7] [VIM:1993, definition 2.7] Komentář pokynu: Definice ovlivňující veličiny je míněna tak, že zahrnuje hodnoty spojené s etalony, referenčními materiály a referenčními daty, na kterých může být závislý výsledek měření a rovněž takové jevy, jako rychlé kolísání měřicího přístroje a veličin, jako teplota okolí, atmosférický tlak a vlh- kost. Guide Comment: The definition of influence quantity is understood to include values associated with measurement standards, reference materials, and reference data upon which the result of a  measurement may depend, as well as phenomena such as short-term measuring instrument fluctuations and quantities such as ambient temperature, barometric pressure, and humidity. B.2.11 výsledek měření hodnota získaná měřením a přiřazená k měřené veličině B.2.11 result of a measurement value attributed to a measurand, obtained by measurement POZNÁMKY NOTES 1 Pokud se jedná o výsledek, má se vyjasnit, jestli se tím odkazuje na: 1 When a result is given, it should be made clear whether it refers to: – indikaci – the indication – nekorigovaný výsledek – the uncorrected result – korigovaný výsledek a zda se jedná o průměr získaný z několika hodnot – the corrected result and whether several values are averaged 2 Úplný údaj výsledku měření obsahuje informaci o nejistotě měření. 2 A complete statement of the result of a measurement includes information about the uncertainty of measurement. [VIM:1993, definice 3.1] [VIM:1993, definition 3.1] sborníky technické harmonizace 2012 81 B.2.12 nekorigovaný výsledek výsledek měření před korigováním systematické chyby B.2.12 uncorrected result result of a measurement before correction for systematic error [VIM:1993, definice 3.3] [VIM:1993, definition 3.3] B.2.13 korigovaný výsledek výsledek měření po korigování systematické chyby B.2.13 corrected result result of a  measurement after correction for systematic error [VIM:1993, definice 3.4] [VIM:1993, definition 3.4] B.2.14 přesnost měření těsnost shody mezi výsledkem měření a pravou hodnotou měřené veličiny B.2.14 accuracy of measurement closeness of the agreement between the result of a measurement and a true value of the measurand POZNÁMKY NOTES 1 „Přesnost“ je kvalitativní pojem. 1 “Accuracy” is a qualitative concept. 2 Pojem precision nemá být používán pro význam „přesnosti“. 2 The term precision should not be used for “accu- racy,” [VIM:1993, definice 3.5] [VIM:1993, definition 3.5] Komentář pokynu: Viz komentář pokynu k B.2.3. Guide Comment: See the Guide Comment to B.2.3. B.2.15 opakovatelnost (výsledků měření) těsnost shody mezi výsledky po sobě následujících měření téže měřené veličiny, provedených za stejných podmínek měření B.2.15 repeatability (of results of measurements) closeness of the agreement between the results of successive measurements of the same measurand carried out under the same conditions of measurement POZNÁMKY NOTES 1 Tyto podmínky se nazývají podmínky opakovatel- nosti. 1 These conditions are called repeatability conditi- ons. 2 Podmínky opakovatelnosti zahrnují: 2 Repeatability conditions include: – tentýž postup měření, – the same measurement procedure – téhož pozorovatele, – the same observer – tentýž měřící přístroj, použitý za stejných pod- mínek, – the same measuring instrument, used under the same conditions – totéž místo, – the same location – opakování v průběhu krátké časové periody. – repetition over a short period of time. 3 Opakovatelnost může být kvantitativně vyjádřená charakteristikami rozptýlení výsledků. 3 Repeatability rnay be expressed quantitatively in terms of the dispersion characteristics of the re- sults. [VIM:1993, definice 3.6] [VIM:1993, definition 3.6] sborníky technické harmonizace 2012 82 B.2.16 reprodukovatelnost (výsledků měření) těsnost shody mezi výsledky měření stejné měřené veličiny provedených za změněných podmínek měření B.2.16 reproducibility (of results of measurements) closeness of the agreement between the results of measurements of the same measurand carried out under changed conditions of measurement POZNÁMKY NOTES 1 Platné prohlášení o  reprodukovatelnosti vyžaduje specifikaci změněných podmínek. 1 A valid statement of reproducibility requires specification of the conditions changed. 2 Změněné podmínky mohou obsahovat 2 The changed conditions may include: – princip měření nebo metodu měření, – principle of measurement or method of mea- surement, – pozorovatele, – observer – měřící přístroj, – measuring instrument – referenční etalon, – reference standard – místo, – location – podmínky použití, – conditions of use – čas. – time. 3 Reprodukovatelnost může být kvantitativně vyjádřena charakteristikami rozptýlení výsledků. 3 Reproducibility may be expressed quantitatively in terms of the dispersion characteristies of the results. 4 Výsledky se obvykle považují za korigované vý- sledky. 4 Results are here usually understood to be corrected results. [VIM:1993, definice 3.7] [VIM:1993, definition 3.7] B.2.17 výběrová směrodatná odchylka pro sérii n měření téže měřené veličiny je to veličina s(qk ) charakterizující rozptýlení výsledků a je dána rovnicí B.2.17 experimental standard deviation for a series of n measurements of the same measurand, the quantity s(qk ) characterizing the dispersion of the results and given by the formula: 2 1 ( ) ( ) 1 n jj k q q s q n = − = − ∑ qk je výsledek k-tého měření a q je aritmetický průměr n uvažovaných výsledků. qk being the result of the kth measurement and q being the arithmetic mean of the n results considered POZNÁMKY NOTES 1 Uvažuje-li se série n hodnot jako vzorek rozdělení, pak q je náhodný odhad střední hodnoty µq , a s2 (qk ) je náhodný odhad rozptylu σ2 tohoto rozdělení. 1 Considering the series of n values as a sample of a distribution, q is an unbiased estimate of the mean µq and s2 (qk ) is an unbiased estimate of the variance σ2 , of that distribution. 2 Výraz s(qk )/ n je odhad směrodatné odchylky rozdělení q a nazývá se výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty. 2 The expression s(qk )/ n is an estimate of the standard deviation of the distribution of q and is called the experimental standard deviation of the mean sborníky technické harmonizace 2012 83 3 „Výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty“ je někdy nesprávně názývána směrodatná chyba střední hodnoty. 3 “Experimental standard deviation of the mean” is sometimes incorrectly called standard error of the mean. 4 Převzato z VIM: 1993, definice 3.8 Komentář pokynu: Některé značky užívané ve VIM byly změněny, aby se dosáhlo shody s označením použitým v 4.2 tohoto pokynu. 4 Adopted from VIM: 1993, definition 3.8 Guide Comment: Some of the symbols used in the VIM have been changed in order to achieve consistency with the notation used in 4.2 of this Guide. B.2.18 nejistota (měření) parametr přiřazený k  výsledku měření, který charakterizuje rozptýlení hodnot, které by mohly být důvodně přiřazeny k měřené veličině B.2.18 uncertainty (of measurement) parameter, associated with the result of a measurement, that characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand POZNÁMKY NOTES 1 Tímto parametrem může být například směrodatná odchylka (nebo její daný násobek) nebo poloviční šířka intervalu, jehož konfidenční úroveň je stanovena. 1 The parameter may be, for example, a standard deviation (or a given multiple of it), or the half-width of an interval having a stated level of con- fidence. 2 Nejistota měření obecně zahrnuje mnoho složek. Některé z těchto složek mohou být vyhodnoceny ze statistického rozdělení výsledků série měření a mohou být charakterizovány výběrovými směrodatnými odchylkami. Jiné složky, které mohou být rovněž charakterizovány směrodatnými odchylkami, jsou vyhodnocené z  předpokládaných rozdělení pravděpodobností sestavených na základě zkušeností nebo jiných informací. 2 Uncertainty of measurement comprises, in general, many components. Some of these components may be evaluated from the statistical distribution of the results of series of measurements and can be characterized by experimental standard deviations. The other components, which can also be characterized by standard deviations, are evaluated from assumed probability distributions based on experience or other information. 3 Předpokládá se, že výsledek měření je nejlepším odhadem hodnoty měřené veličiny, a  že k  rozptýlení přispívají všechny složky nejistoty včetně těch, které vznikají ze systematických vlivů, jako jsou složky spojené s  korekcemi a  referenčními etalony. 3 It is understood that the result of the measurement is the best estimate of the value of the measurand, and that all components of uncertainty, including those arising from systematic effects, such as components associated with corrections and reference standards, contribute to the dispersion. [VIM:1993, definice 3.9] [VIM:1993, definition 3.9] Komentář pokynu: Je zdůrazněno, že tato definice a poznámky, uvedené ve VIM, jsou identické s poznámkami uvedenými v tomto pokynu (viz 2.2.3). Guide Comment: It is pointed out in the VIM that this definition and the notes are identical to those in this Guide (see 2.2.3). B.2.19 chyba (měření) výsledek měření mínus pravá hodnota měřené veličiny B.2.19 error (of measurement) result of a measurement minus a true value of the measurand POZNÁMKY NOTES 1 Protože pravou hodnotu nelze určit, používá se v praxi konvenčně pravá hodnota (viz VIM: 1993, definice 1.19 [B.2.3] a 1.20 [B.2.4]). 1 Since a true value cannot be determined, in practice a  conventional true value is used (see VIM: 1993, definitions 1.19 [B.2.3] and 1.20 [B.2.4]). 2 Pokud je nutné rozlišit „chybu“ od „relativní chyby“, je „chyba“ někdy nazývána absolutní chybou měření. To se nemá zaměňovat s absolutní hodnotou chyby, což je modul chyby. 2 When it is necessary to distinguish “error” from “relative error,” the former is sometimes called absolute error of measurement. This should not be confused with absolute value of error, which is the modulus of the error. [VIM:1993, definice 3.10] [VIM:1993, definition 3.10] sborníky technické harmonizace 2012 84 Komentář pokynu: Jestliže výsledek měření je závislý na hodnotách jiných veličin než měřené veličiny, chyby měřených hodnot těchto veličin přispívají k  chybě výsledku měření. Viz také komentář pokynu k B.2.22 a B.2.3. Guide Comment: If the result of a measurement depends on’ the values of quantities other than the measurand, the errors of the measured values of these quantities contribute to the error of the result of the measurement. Also see the Guide Comment to B.2.22 and to B.2.3. B.2.20 relativní chyba chyba měření dělená pravou hodnotou měřené veličiny B.2.20 relative error error of measurement divided by a  true value of the measurand POZNÁMKA  Když pravá hodnota nemůže být určená, je v praxi použita konvenční pravá hodnota (viz VIM: 1993, definice 1.19 [B.2.3] a 1.20 [B.2.4]). NOTE  Since a true value cannot be determined, in practice a conventional true value is used (see VIM: 1993, definitions 1.19 [B.2.3] and 1.20 [B.2.4]). [VIM:1993, definice 3.12] [VIM:1993, definition 3.12] Komentář pokynu: Viz komentář pokynu k B.2.3. Guide Comment: See the Guide Comment to B.2.3. B.2.21 náhodná chyba výsledek měření mínus střední hodnota, která by vznikla z nekonečného počtu měření téže měřené veličiny uskutečněných za podmínek opakovatelnosti B.2.21 random error result of a measurement minus the mean that would result from an infinite number of measurements of the same measurand carried out under repeatability conditions POZNÁMKY NOTES 1 Náhodná chyba je chyba mínus systematická chyba. 1 Random error is equal to error minus systematic error. 2 Protože může být proveden pouze konečný počet měření, je možné určit pouze odhad náhodné chyby. 2 Because only a finite number of measurements can be made, it is possible to determine only an estimate of random error. [VIM:1993, definice 3.13] [VIM:1993, definition 3.13] Komentář pokynu: Viz poznámka pokynu k B.2.22. Guide Comment: See the Guide Comment to B.2.22. B.2.22 systematická chyba střední hodnota, která by vznikla z  nekonečného počtu měření téže měřené veličiny uskutečněných za podmínek opakovatelnosti, od které se odečte pravá hodnota měřené veličiny B.2.22 systematic error mean that would result from an infinite number of measurements of the same measurand carried out under repeatability conditions minus a true value of the mea- surand POZNÁMKY NOTES 1 Systematická chyba je rovna chybě mínus náhodná chyba. 1 Systematic error is equal to error minus random error. 2 Jak pravá hodnota, tak systematická chyba a její příčiny nemohou být zcela známé. 2 Like true value, systematic error and its causes cannot be completely known. 3 Pro měřicí přístroj, viz „chyba správnosti (měřícího přístroje)“ (VIM: 1993, definice 5.25). 3 For a  measuring instrument, see “bias” (VIM: 1993, definition 5.25). [VIM:1993, definice 3.14] [VIM:1993, definition 3.14] sborníky technické harmonizace 2012 85 Komentář pokynu: Často je dovoleno uvažovat, že chyba výsledku měření (viz B.2.19) vyplývá z několika náhodných a systematických vlivů, kde chyby jednotlivých složek přispívají k chybě výsledku měření. Viz také poznámky pokynu k B.2.19 a B.2.3. Guide Comment: The error of the result of a measurement (see B.2.19) may often be considered as arising from a number of random and systematic effects that contribute individual components of error to the error of the result. Also see the Guide Comment to B.2.19 and to B.2.3. B.2.23 korekce algebraicky přičtená hodnota k nekorigovanému výsledku měření ke kompenzaci systematické chyby B.2.23 correction value added algebraically to the uncorrected result of a measurement to compensate for systematic error POZNÁMKY NOTES 1 Korekce je rovna záporné hodnotě odhadu systematické chyby. 1 The correction is equal to the negative of the estimated systematic error. 2 Protože systematická chyba nemůže být přesně známa, tak kompenzace nemůže být úplná. 2 ince the systematic error cannot be known perfectly, the compensation cannot be complete. [VIM:1993, definice 3.15] [VIM:1993, definition 3.15] B.2.24 korekční součinitel číselný součinitel, kterým se násobí nekorigovaný výsledek měření ke kompenzaci systematické chyby B.2.24 correction factor numerical factor by which the uncorrected result of a measurement. is multiplied to compensate for systematic error POZNÁMKA  Protože systematická chyba nemůže být přesně známa, tak kompenzace nemůže být úplná. NOTE  Since the systematic error cannot be known perfectly, the compensation cannot be complete. [VIM:1993, definice 3.16] [VIM:1993, definition 3.16] sborníky technické harmonizace 2012 86 Příloha C Annex C Základní statistické termíny a pojmy Basic statistical terms and concepts C.1  Zdroj definic C.1  Source of definitions Definice základních statistických termínů uvedené v této příloze jsou převzaté z mezinárodní normy ISO 3534-1: 1993 [7]. Tato norma má být také prvním zdrojem konzultace pokud jde o definice termínů, které zde nejsou uvedeny. Některé tyto termíny a jejich základní pojmy jsou podrobněji vysvětleny v C.3, i když jejich formální definice jsou uvedeny v C.2, aby se zjednodušilo další použití tohoto pokynu. Avšak C.3, která také obsahuje definice některých příbuzných termínů, není založena přímo na ISO 3534-1: 1993. The definitions of the basic statistical terms given in this annex are taken from International Standard ISO  3534-1: 1993 [7]. This should be the first source consulted for the definitions of terms not included here. Some of these terms and their underlying concepts are elaborated upon in C.3 following the presentation of their formal definitions in C.2 in order to facilitate further the use of this Guide. However, C.3, which also includes the definitions of some related terms, is not based directly on ISO 3534-1: 1993. C.2  Definice C.2  Definitions Jak je uvedeno v kapitole 2 a příloze B znamená použití závorek okolo určitých slov některých termínů, že tato slova mohou být vynechána, pokud je pravděpodobné, že vynechání nezpůsobí nejasnosti. as in clause 2 and annex B, the use of parentheses around certain words of some terms means that the words may be omitted if this is unlikely to cause confusion. Termíny C.2.1 až C.2.14 jsou definovány v  pojmech vlastností základního celku. Výrazy C.2.15 až C.2.31 se vztahují k množině pozorování (viz citace [7]). Terms C.2. 1 to C.2. 14 are defined in terms of the properties of populations. The definitions of terms C.2. 15 to C.2.31 are related to a set of observations (see reference [7]). C.2.1 pravděpodobnost reálné číslo v rozsahu od 0 do 1 přiřazené náhodnému jevu C.2.1 probability a real number in the scale 0 to 1 attached to a random event POZNÁMKA  Může být ve vztahu k dlouhodobé relativní četnosti jevu nebo ke stupni důvěry, že jev nastane. Při vysokém stupni důvěry je pravděpodobnost blízká 1. NOTE  It can be related to a long-run relative frequency of occurrence or to a degree of belief that an event will occur For a high degree of belief, the probability is near 1. [ISO 3534-1:1993, definice 1.1] [ISO 3534-1:1993, definition 1.1] C.2.2 náhodná veličina veličina, která smí nabývat jakoukoliv hodnotu z  určité množiny hodnot, a  s níž je spojeno rozdělení pravděpodobnosti (ISO 3534-1: 1993, definice 1.3, [C.2.3]) C.2.2 random variable; variate a variable that may take any of the values of a specified set of values and with which is associated a probability distribution (ISO 3534-1: 1993, definition 1.3 [C.2.3]) POZNÁMKY NOTES 1 Náhodná veličina, která smí nabývat pouze izolované hodnoty, se nazývá „diskrétní“. Náhodná veličina, která může nabývat jakékoliv hodnoty z konečného nebo nekonečného intervalu, se nazývá „spojitá“. 1 A random variable that may take only isolated values is said to be “discrete.” A random variable which may take any value within a finite or infinite interval is said to be “continuous”. sborníky technické harmonizace 2012 87 2 Pravděpodobnost jevu A se značí Pr(A) nebo P(A). 2 The probability of an event A is denoted by Pr(A) or P(A). [ISO 3534-1:1993, definice 1.2] [ISO 3534-1:1993, definition 1.2] Komentář k pokynu: Značka Pr(A) je použita v tomto pokynu místo značky Pr (A) užitém v ISO 3534-1: 1993. Guide Comment: The symbol Pr(A) is used in this Guide in place of the symbol Pr (A) used in ISO 3534-1: 1993. C.2.3 rozdělení pravděpodobnosti  (náhodné veličiny) C.2.3 probability distribution  (of a random variable) funkce udávající pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá dané hodnoty nebo patří do dané množiny hodnot a function giving the probability that a random variable takes any given value or belongs to a given set of values POZNÁMKA  Pravděpodobnost množiny všech hodnot náhodné veličiny je rovna 1. NOTE  The probability on the whole set of values of the random variable equals 1. [ISO 3534-1:1993, definice 1.3] [ISO 3534-1:1993, definition 1.3] C.2.4 distribuční funkce funkce, udávající pro každou hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X je menší nebo rovna x C.2.4 distribution function a function giving, for every value x, the probability that the random variable X be less than or equal to x F(x) = Pr(X ≤ x) [ISO 3534-1:1993, definice 1.4] [ISO 3534-1:1993, definition 1.4] C.2.5 hustota pravděpodobnosti 2.5 probability density function C. (spojité náhodné veličiny) derivace (pokud existuje) distribuční funkce: (for a continuous random variable) the derivative (when it exists) of the distribution function: ƒ(x) = dF(x)/dx POZNÁMKA  ƒ(x)dx je „pravděpodobnostní element“: NOTE  ƒ(x) dx is the “probability element”: ƒ(x)dx = Pr(x < X < x + dx) [ISO 3534-1:1993, definice 1.5] [ISO 3534-1:1993, definition 1.5] C.2.6 pravděpodobnostní funkce funkce udávající pro každou hodnotu xi diskrétní náhodné veličiny X pravděpodobnost pi , že náhodná veličina je rovna xi C.2.6 probability mass function a function giving, for each value xi of a discrete random variable X, the probability pi that the random variable equals xi pi = Pr(X = xi ) [ISO 3534-1:1993, definice 1.6] [ISO 3534-1:1993, definition 1.6] sborníky technické harmonizace 2012 88 C.2.7 parametr veličina používaná při popisu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny C.2.7 parameter a quantity used in describing the probability distribution of a random variable. [ISO 3534-1:1993, definition 1.12] [ISO 3534-1:1993, definition 1.12] C.2.8 korelace vztah mezi dvěma nebo několika náhodnými veličinami v rámci rozdělení dvou nebo více náhodných veličin C.2.8 correlation the relationship between two or several random variables within a distribution of two or more random variables. POZNÁMKA  Většina statistických měr korelace měří pouze stupeň lineárního vztahu. NOTE  Most statistical measures of correlation measure only the degree of linear relationship. [ISO 3534-1:1993, definice 1.13] [ISO 3534-1:1993, definition 1.13] C.2.9 střední hodnota (náhodné veličiny nebo rozdělení pravděpodobnosti); očekávaná hodnota; průměr 1 Pro diskrétní náhodnou veličinu X nabývající hodnot xi s pravděpodobnostmi pi , je střední hodnota, pokud existuje C.2.9 expectation (of a  random variable or of a probability distribution); expected value; mean 1 For a discrete random variable X taking the values xi with the probabilities pi the expectation, if it exists, is ( ) ii xpXE ∑==µ přičemž součet se bere přes všechny hodnoty xi , které veličina X může nabývat. the sum being extended over ail the values xi which can be taken by X. 2 Pro spojitou náhodnou veličinu X mající hustotu pravděpodobnosti ƒ(x), je střední hodnota, pokud existuje 2 For a continuous random variable X having the probability density function ƒ(x) the expectation, if it exists, is ( ) ( )dE X xf x xµ= = ∫ přičemž se integruje přes celý definiční interval (celé definiční intervaly) veličiny X. the integral being extended over the interval(s) of variation of X. [ISO 3534-1:1993, definice 1.18] [ISO 3534-1:1993, definition 1.18] C.2.10 centrovaná náhodná veličina náhodná veličina, jejíž střední hodnota je rovna nule C.2.10 centred random variable a random variable the expectation of which equals zero POZNÁMKA  Náhodné veličině X se střední hodnotou μ, odpovídá centrovaná náhodná veličina (X – μ). NOTE  If the random variable X has an expectation equal to μ, the corresponding centred random variable is (X – μ). [ISO 3534-1:1993, definice 1.21] [ISO 3534-1:1993, definition 1.21] sborníky technické harmonizace 2012 89 C.2.11 rozptyl (náhodné veličiny nebo rozdělení pravděpodobnosti) střední hodnota druhé mocniny centrované náhodné veličiny (ISO 3534-1: 1993, definice 1.21 [C.2.10]): C.2.11 variance (of a random variable or of a probability distribution) the expectation of the square of the centred random variable (ISO 3534-1: 1993, definition 1.21 [C.2.10]): σ2 = V(X) = E{[X – E(X)]2 } [ISO 3534-1:1993, definice 1.21] [ISO 3534-1:1993, definition 1.21] C.2.12 směrodatná odchylka (náhodné veličiny nebo rozdělení pravděpodobnosti) kladně vzatá druhá odmocnina z rozptylu: C.2.12 standard deviation (of a  random variable or of a probability distribution) the positive square root of the variance: ( )V Xσ = [ISO 3534-1:1993, definice 1.23] [ISO 3534-1:1993, definition 1.23] C.2.13 centrální moment3) řádu q  v jednorozměrném rozdělení, střední hodnoty q-té mocniny centrované náhodné veličiny (X – μ): C.2.13 central moment3) of order q  in a  univariate distribution, the expectation of the qth power of the centred random variable (X – μ): E [(X – μ) q ] POZNÁMKA  Centrální moment druhého řádu je rozptyl (ISO 3534-1: 1993, definice 1.22, [C.2.11]) náhodné veličiny X. NOTE  The central moment of order 2  is the variance (ISO 3534-1: 1993, definition 1.22 [C.2. 11]) of the random variable X. [ISO 3534-1:1993, definice 1.28] [ISO 3534-1:1993, definition 1.28] C.2.14 normální rozdělení Laplaceovo-Gaussovo rozdělení rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, jejíž hustota rozdělení je C.2.14 normal distribution Laplace-Gauss distribution the probability distribution of a  continuous random variable X, the probability density function of which is 2 1 1 ( ) exp - 22 x f x µ σσ  −  =    π     pro – ∞ < x < + ∞ for – ∞ < x < + ∞ POZNÁMKA  μje střední hodnota a σje směrodatná odchylka normálního rozdělení. NOTE  μ is the expectation and σ is the standard deviation of the normal distribution. [ISO 3534-1:1993, definice 1.37] [ISO 3534-1:1993, definition 1.37] 3) Nahradí-li se v definicích momentů veličiny X, X – a, Y, Y – b, atd., svými absolutními hodnotami |X|, |X – a|, |Y – b|, atd., definují se další momenty, které se nazývají „absolutní momenty“. 3) If, in he defininion of the moments, the quantities X, X – a, Y, Y – b, etc. are replaced by their absolute values, i.e. |X|, |X – a|, |Y – b|, etc., other moments called „absolute moments” are defined. sborníky technické harmonizace 2012 90 C.2.15 charakteristika vlastnost, která v  daném základním souboru pomáhá identifikovat jednotku nebo rozlišovat mezi jednotkami C.2.15 characteristic a property which helps to identify or differentiate between items of a given popu- lation POZNÁMKA  Charakteristika může být buď kvantitativní (rozlišitelná měřením – pro veličiny) nebo kvalitativní (rozlišitelná srovnáním – pro vlastnosti). NOTE  The characteristic may be either quantitative (by variables) or qualitative (by attributes). [ISO 3534-1:1993, definice 2.2] [ISO 3534-1:1993, definition 2.2] C.2.16 (základní) soubor souhrn všech uvažovaných jednotek C.2.16 population the totality of items under consideration POZNÁMKA  V případě náhodné veličiny se uvažuje o  rozdělení pravděpodobnosti (ISO 3534-1: 1993, definice 1.3, [C.2.3]), aby se vymezil základní soubor pro tuto ve- ličinu. NOTE  In the case of a random variable, the probability distribution (ISO 3534-1: 1993, definition 1.3 [C.2.3]) is considered to define the population of that variable. [ISO 3534-1:1993, definice 2.3] [ISO 3534-1:1993, definition 2.3] C.2.17 četnost počet výskytů jevu daného typu nebo počet pozorování, která patří do určité třídy C.2.17 frequency the number of occurrences of a given type of event or the number of observations falling into a specified class [ISO 3534-1:1993, definice 2.11] [ISO 3534-1:1993, definition 2.11] C.2.18 rozdělení četnosti empirický vztah mezi hodnotami charakteristiky a jejich četnostmi nebo jejich relativními četnostmi C.2.18 frequency distribution the empirical reiationship between the values of a characteristic and their frequencies or their relative frequencies POZNÁMKA  Rozdělení je dovoleno graficky znázornit histogramem (ISO 3534-1: 1993, definice 2.17), sloupcovým diagramem (ISO 3534-1: 1993, definice 2.18), polygonem kumulativních četností (ISO 3534-1: 1993, definice 2.19) nebo dvourozměrnou tabulkou (ISO 3534-1: 1993, definice 2.22). NOTE  The distribution may be graphically presented as a  histogram (ISO 3534-1: 1993, definition 2.17), bar chart (ISO 3534-1: 1993, definition 2.18), cumulative frequency polygon (ISO 3534-1: 1993, definition 2.19), or as a two-way table (ISO 3534-1: 1993, definition 2.22). [ISO 3534-1:1993, definice 2.15] [ISO 3534-1:1993, definition 2.15] C.2.19 aritmetický průměr; výběrový průměr součet hodnot dělený jejich počtem C.2.19 arithmetic mean; average the sum of values divided by the number of values POZNÁMKY NOTES 1 Anglický termín „mean“ se používá obecně ve vztahu k  parametru souboru, termín „average“ ve vztahu k výsledku výpočtu z údajů získaných na základě výběru. 1 The term “mean” is used generally when referring to a population parameter and the term “average” when referring o the result of a calculation on the data obtained in a sample. sborníky technické harmonizace 2012 91 2 Aritmetický průměr prostého náhodného výběru odebraného ze základního souboru je nestranným odhadem střední hodnoty tohoto základního souboru. Někdy se nicméně používá jiných odhadů, jako například geometrický nebo harmonický průměr nebo výběrový medián nebo výběrový modus. 2 The average of a  simple random sample taken from a  population is an unbiased estimator of the mean of this population. However, other estimators, such as the geometric or harmonic mean, or the median or mode, are sometimes used. [ISO 3534-1:1993, definice 2.26] [ISO 3534-1:1993, definition 2.26] C.2.20 výběrový rozptyl míra rozptýlení, která je součtem čtverců odchylek pozorování od průměru děleným počtem pozorování zmenšeným o  jedno pozorování C.2.20 variance a measure of dispersion, wich is the sum of the squared deviations of observations for their average divided by one less than the number of observations PŘÍKLAD  Pro n pozorování x1 , x2 , ..., xn s průměrem EXAMPLE  For n observations x1 , x2 , ..., xn with average ( )∑= ixnx /1 je výběrový rozptyl the variance is ( ) 2 2 1 1 ∑= xx n s i – – POZNÁMKY NOTES 1 Výběrový rozptyl je nestranným odhadem rozptylu základního souboru. 1 The sample variance is an unbiased estimator of the population variance. 2 Výběrový rozptyl je n/(n–1) násobek výběrového centrálního momentu řádu 2 (viz poznámka k ISO 3534-1: 1993, definice 2.39). 2 The variance is n/(n – 1) times the central moment of order 2 (see note to ISO 3534-1: 1993, definition 2.39). [ISO 3534-1:1993, definice 2.33] [ISO 3534-1:1993, definition 2.33] Komentář pokynu: Zde stanovený rozptyl lépe vystihuje navržený „výběrový odhad rozptylu základního souboru“. Výběrový rozptyl je obvykle definován jako centrální moment druhého řádu pro výběrové hodnoty (viz C.2.13 a C.2.22). Guide Comment: The variance defined here is more appropriately designated the “sample estimate of the population variance.” The variance of a sample is usually defined to be the central moment of order 2 of the sample (see C.2.13 and C.2.22). C.2.21 výběrová směrodatná odchylka kladně vzatá druhá odmocnina z výběrového rozptylu C.2.21 standard deviation the positive square root of the variance POZNÁMKA  Výběrová směrodatná odchylka je vychýlený odhad směrodatné odchylky základního souboru. NOTE  The sample standard deviation is a biased estimator of the population standard deviation [ISO 3534-1:1993, definice 2.34] [ISO 3534-1:1993, definition 2.34] sborníky technické harmonizace 2012 92 C.2.22 výběrový centrální moment řádu q v rozdělení jedné charakteristiky, aritmetický průměr q-tých mocnin rozdílů mezi pozorovanými hodnotami a jejich průměrem x : C.2.22 central moment of order q  in a  distribution of a  single characteristic, the arithmetic mean of the qth power of the difference between the observed values and their average x : ( ) 1 – q i i x x n ∑ kde n je počet pozorování where n is the number of observations POZNÁMKA  Výběrový centrální moment řádu 1 je roven nule. NOTE  The central moment of order 1 is equal to zero. [ISO 3534-1:1993, definice 2.37] [ISO 3534-1:1993, definition 2.37] C.2.23 statistika funkce výběrových náhodných veličin C.2.23 statistic a function of the sample random variables POZNÁMKA  Statistika jako funkce náhodných veličin, je rovněž náhodnou veličinou a jako taková nabývá od výběru k výběru různých hodnot. Hodnota statistiky získaná použitím pozorovaných hodnot v této funkci by se dala použít při statistických testech nebo jako odhad parametru základního souboru jako je střední hodnota nebo směrodatná odchylka. NOTE  A statistic, as a function of random variables, is also a random variable and as such it assumes different values from sample to sample. The value of the statistic obtained by using the observed values in this function may be used in a statistical test or as an estimate of a population parameter, such as a mean or a standard deviation. [ISO 3534-1:1993, definice 2.45] [ISO 3534-1:1993, definition 2.45] C.2.24 odhadování činnost, kdy se na základě pozorování ve výběru přiřazují číselné hodnoty parametrům rozdělení, které bylo zvoleno jako statistický model základního souboru z něhož byl odebrán výběr C.2.24 estimation the operation of assigning, from the observations in a sample, numerical values to the parameters of a, distribution chosen as the statistical model of the population from which this sample is taken. POZNÁMKA  Výsledek této činnosti může být vyjádřen jedinou hodnotou (bodový odhad, (ISO 3534-1: 1993, definice 2.51 [C.2.26]) nebo jako intervalový odhad (viz ISO 3534-1: 1993, definice 2.57 [C.2.27] a  2.58 [C.2.28]). NOTE  A result of this operation may be expressed as a single value (point estimate; see ISO 3534-1: 1993, definition 2.51 [C.2.26]) or as an interval estimate (see ISO 3534-1: 1993, definition 2.57 [C.2.27] and 2.58 [C.2.28]). [ISO 3534-1:1993, definice 2.49] [ISO 3534-1:1993, definition 2.49] C.2.25 odhad statistika používaná pro odhadování parametru základního souboru C.2.25 estimator a statistic used to estimate a  population parameter [ISO 3534-1:1993, definice 2.50] [ISO 3534-1:1993, definition 2.50] C.2.26 hodnota odhadu hodnota, kterou odhad nabývá jako výsledek odhadování C.2.26 estimate the value of an estimator obtained as a result of an estimation [ISO 3534-1:1993, definice 2.51] [ISO 3534-1:1993, definition 2.51] sborníky technické harmonizace 2012 93 C.2.27 dvoustranný konfidenční interval jsou-li T1 a T2 dvě funkce pozorovaných hodnot takové, že pro odhadovaný parametr θ  základního souboru je pravděpodobnost Pr(T1  ≤ θ ≤ T2 ) větší nebo rovna (1 – α) [kde (1 – α) je pevné kladné číslo menší než 1], pak interval mezi T1 a  T2 je dvoustranný (1 – α) konfidenční interval pro θ C.2.27 two-sided confidence interval when T1 and T2 are two functions of the observed values such that, θ  being a  population parameter to be estimated, the probability Pr (T1   ≤  θ  ≤  T2 ) is at least equal to (1  –  α) [where (1  –  α) is a  fixed number, positive and less than 1], the interval between T1 and T2 is a two-sided (1 – α) confidence interval for θ POZNÁMKY NOTES 1 Meze T1 a  T2 konfidenčního intervalu jsou statistikami (ISO 3534-1: 1993, definice 2.45 [C.2.23]), a proto budou obecně nabývat od výběru k výběru různých hodnot. 1 The limits T1 and T2 of the confidence interval are statistics (ISO 3534-1: 1993, definition 2.45 [C.2.23]) and as such will generally assume different values from sample to sample. 2 Pro dlouhou řadu výběrů je relativní četnost případů, kdy je parametr základního souboru θ pokryt konfidenčním intervalem, větší nebo rovna (1 – α). 2 In a long series of samples, the relative frequency of cases where the true value of the population parameter q is covered by the confidence interval is greater than or equal to (1 – α). [ISO 3534-1:1993, definice 2.57] [ISO 3534-1:1993, definition 2.57] C.2.28 jednostranný konfidenční interval je-li T funkce pozorovaných hodnot taková, že pro odhadovaný parametr θ základního souboru, je pravděpodobnost Pr(T ≥ θ) [nebo pravděpodobnost Pr(T ≤ θ)] větší nebo rovna (1 – α) [kde (1 – α) je pevné kladné číslo menší než 1], pak interval mezi nejmenší možnou hodnotou θ  do T  (nebo interval mezi T a největší možnou hodnotou θ) je jednostranný (1  –  α) konfidenční interval pro θ  C.2.28 one-sided confidence interval when T is a function of the observed values such that, θ being a population parameter to be estimated, the probability Pr(T ≥ θ) [or the probability Pr(T ≤  θ)] is at least equal to (1  – α) [where (1  – α) is a  fixed number, positive and less than 1], the interval from the smallest possible value of θ up to T (or the interval from T up to the largest possible value of θ) is a one-sided (1 – α) confidence interval for θ POZNÁMKY NOTES 1 Mez T  konfidenčního intervalu je statistika (ISO 3534-1: 1993, definice 2.45 [C.2.23]), a proto bude obecně od výběru k výběru nabývat různých hodnot. 1 The limit T  of the confidence interval is a  statistic (ISO 3534-1: 1993, definition 2.45 [C.2.23]) and as such will generally assume different values from sample to sample. 2 Viz poznámka 2 v ISO 3534-1: 1993, definice 2.57 [C.2.27]. 2 See note 2 of ISO 3534-1: 1993, definition 2.57 [C.2.27]. [ISO 3534-1:1993, definice 2.58] [ISO 3534-1:1993, definition 2.58] C.2.29 konfidenční koeficient; konfidenční úroveň hodnota pravděpodobnosti (1  –  α) spojená s  konfidenčním intervalem nebo se statistickým intervalem pokrytí (Viz ISO 3534-1: 1993, definice 2.57 [C.2.27], 2.58 [C.2.28] a 2.61 [C.2.30].) C.2.29 confidence coefficient; confidence level the value (1 – α) of the probability associated with a confidence interval or a statistical coverage interval (See ISO 3534-1: 1993, definition 2.57 [C.2.27], 2.58 [C.2.28], and 2.61 [C.2.30].) sborníky technické harmonizace 2012 94 POZNÁMKA  (1 – α) se často vyjadřuje v procentech. NOTE  (1 – α) is often expressed as a percentage. [ISO 3534-1:1993, definice 2.59] [ISO 3534-1:1993, definition 2.59] C.2.30 statistický interval pokrytí interval, o  němž lze s  danou konfidenční úrovní tvrdit, že obsahuje alespoň zadaný podíl základního souboru C.2.30 statistical coverage interval an interval for which it can be stated with a given level of confidence that it contains at least a specified proportion of the popu- lation POZNÁMKY NOTES 1 Jsou-li obě meze určeny statistikou, jde o dvoustranný interval. Není-li některá z nich konečná nebo je-li tvořena mezní hodnotou náhodné veličiny, jde o jednostranný interval. 1 When both limits are defined by statistics, the interval is two-sided. When one of the two limits is not finite or consists of the boundary of the variable, the interval is one-sided. 2 Také se používá název „statistický toleranční interval“. Tento termín se však nemá používat, protože jeho použití může vést k nesprávné záměně za „toleranční interval“, který je definováný v ISO 3534-2: 1993. 2 Also called “statistical tolerance interval.” This term should not be used because it may cause confusion with “tolerance interval” which is defined in ISO 3534-2: 1993. [ISO 3534-1:1993, definice 2.61] [ISO 3534-1:1993, definition 2.61] C.2.31 stupně volnosti obecně počet členů součtu mínus počet vazeb mezi členy součtu C.2.31 degrees of freedom in general, the number of terms in a sum minus the number of constraints on the terms of the sum [ISO 3534-1:1993, definice 2.85] [ISO 3534-1:1993, definition 2.85] C.3 Podrobné vysvětlení termínů a pojmů C.3  Elaboration of terms and concepts C.3.1  střední hodnota C.3.1  Expectation Střední hodnota funkce g(z), s  hustotou pravděpodobnosti p(z) náhodné veličiny z, je stanovena pomocí The expectation of a  function g(z) over a  probability density function p(z) of the random variable z is defined by [ ( )] ( ) ( ) dE g z g z p z z= ∫ kde, podle definice p(z) platí: ( ) d 1p z z =∫ . Střední hodnota náhodné veličiny z, značená µz , která je také známá jako očekávaná hodnota nebo průměr veličiny z, je dána pomocí where, from the definition of p(z), ( ) d 1p z z =∫ . The expectation of the random variable z, denoted by µz and which is also termed the expected value or the mean of z, is given by ( ) ( ) dz E z z p z zµ ≡ =∫ Ta je statisticky odhadnuta pomocí aritmetického průměru (average) nebo průměru (mean) z , získaného z počtu n nezávislých pozorování zi náhodné veličiny z, s hustotou pravděpodobnosti p(z) It is estimated statistically by z the arithmetic mean or average of n independent observations zi of the random variable zi the probability density function of which is p(z): sborníky technické harmonizace 2012 95 1 1 n i i z z n = = ∑ C.3.2  Rozptyl C.3.2  Variance Rozptyl náhodné veličiny je střední hodnota čtverce odchylek náhodné veličiny od její střední hodnoty. Tedy rozptyl náhodné veličiny z  s hustotou pravděpodobnosti p(z) je dán The variance of a  random variable is the expectation of its quadratic deviation about its expectation. Thus the variance of random variable z  with probability density function p(z) is given by 2 2 ( ) ( ) ( ) dzz z p z zσ µ= −∫ kde µz je střední hodnota pro z. Hodnota rozptylu σ2 (z) může být odhadnuta pomocí: where µz is the expectation of z. The variance σ2 (z) may be estimated by 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 n i jj s z z z n = = − − ∑ kde where 1 1 n ii z z n = = ∑ a zi je n nezávislých pozorování z. and the zi are n independent observations of z. POZNÁMKY NOTES 1 Činitel n – 1 ve výrazu pro s2 (zi ) vzniká z vazby mezi zi a  z a odráží skutečnost, že zde v množině {zi  –  z } je jen n – 1 nezávislých prvků. 1 The factor n – 1 in the expression for s2 (zi ) arises from the correlation between zi and z and reflects the fact that there are only n – 1 independent items in the set {zi  – z }. 2 Pro známou střední hodnotu µz náhodné veličiny z může být rozptyl odhadnut pomocí: 2 If the expectation µz of z is known, the variance may be estimated by ∑= −= n i zii z n zs 1 22 1 )()( µ Rozptyl výběrového průměru nebo průměru pozorování je vhodnější mírou nejistoty výsledku měření spíše než rozptyl individuálního pozorování. Rozptyl veličiny z má být pečlivě odlišen od rozptylu průměru z . Rozptyl výběrového průměru řady n nezávislých pozorování zi pro z je dán pomocí σ2 ( z )  =  σ2 (zi )/n a  je odhadnut výběrovým rozptylem průměru. The variance of the arithmetic mean or average of the observations, rather than the variance of the individual observations, is the proper measure of the uncertainty of a  measurement result. The variance of a variable z should be carefully distinguished from the variance of the mean z . The variance of the arithmetic mean of a  series of n  independent observations of z is given by σ2 ( z ) = σ2 (zi )/n and is estimated by the experimental variance of the mean. sborníky technické harmonizace 2012 96 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 1) n i i i s z s z z z n n n = = = − − ∑ C.3.3  Výběrová směrodatná odchylka C.3.3  Standard deviation Směrodatná odchylka je kladná hodnota druhé odmocniny rozptylu. Vzhledem k tomu, že standardní nejistota vyhodnocená způsobem A je získána z druhé odmocniny statisticky vyhodnoceného rozptylu, je často mnohem výhodnější při stanovení standardní nejistoty vyhodnocené způsobem B, nejprve vyhodnotit nestatistickou ekvivalentní směrodatnou odchylku a potom získat ekvivalentní rozptyl ze čtverce směrodatné odchylky. Thestandarddeviationisthepositivesquare root of the variance. Whereas a  Type A  standard uncertainty is obtained by taking the square root of the statistically evaluated variance, it is often more convenient when determining a Type B standard uncertainty to evaluate a  nonstatistical equivalent standard deviation first and then to obtain the equivalent variance by squaring the standard deviation. C.3.4  Kovariance C.3.4  Covariance Kovariance dvou náhodných veličin je míra jejich vzájemné závislosti. Kovariance náhodných veličin y a z je definována pomocí The covariance of two random variables is a measure of their mutual dependence. The covariance of random variables y  and z  is defined by cov(y, z) = cov(z, y) = E{[y – E(y)][z – E(z)]} což vede k which leads to cov(y, z) = cov(z, y) ( )( ) ( , )d dy zy z p y z y zµ µ= − −∫∫ ( , )d d y zy z p y z y z µ µ= −∫∫ kde p(y, z) je sdružená hustota pravděpodobnosti dvou veličin y  a  z. Kovarianci cov(y, z) [také označovanou v(y, z) je dovoleno odhadnout pomocí s(yi , zi ), získané z n nezávislých dvojic simultánních pozorování yi a zi veličin y a z: where p(y, z) is the joint probability density function of the two variables y and z. The covariance cov(y, z) [also denoted by v(y,  z)] may be estimated by s(yi ,  zi ) obtained from n independent pairs of simultaneous observations yi and zi of y and z, 1 1 ( , ) ( )( ) 1 n i i j jj s y z y y z z n − = − − − ∑ kde where 1 1 n i i y y n = = ∑ a and 1 1 n i i z z n = = ∑ sborníky technické harmonizace 2012 97 POZNÁMKA  Odhad kovariance dvou průměrů y a  z je dán s( y , z ) = s(yi , zi )/n. NOTE  estimated covariance of the two means y and z is given by s( y , z ) = s(yi , zi )/n. C.3.5  Kovarianční matice C.3.5  Covariance matrix Pro víceproměnné rozdělení pravděpodobnosti je matice V, která má prvky rovnající se rozptylům a kovariancím náhodných veličin, nazývána kovarianční maticí. Diagonální prvky, jako v(z, z) ≡ σ2 (z) nebo s(zi , zi ) ≡ s2 (zi ), jsou rozptyly, zatímco prvky mimo diagonálu, jako v(y, z) nebo s(yi , zi ), jsou kovariance. For a  multivariate probability distribution, the matrix V with elements equal to the variances and covariances of the variables is termed the covariance matrix. The diagonal elements, v(z, z) ≡ σ2 (z) or s(zi , zi ) ≡ s2 (zi ), are the variances, while the off-diagonal elements, v(y, z) or s(yi , zi ), are the covariances. C.3.6  Korelační koeficient C.3.6  Correlation coefficient Korelační koeficient je míra relativní vzájemné závislosti dvou náhodných veličin a rovná se poměru jejich kovariancí ke kladné hodnotě druhé odmocniny součinu jejich rozptylů. Pak: The correlation coefficient is a measure of the relative mutual dependence of two variables, equal to the ratio of their covariances to the positive square root of the product of their variances. Thus ρ (y, z) = ρ (z, y) =   ( , ) ( , ) ( , ) y z y y z z ν ν ν = ( , ) ( ) ( ) y z y z ν σ σ a s odhady with estimates r(yi , zi ) = r(zi , yi ) =  ( , ) ( , ) ( , ) s y z s y y s z z = ( , ) ( ) ( ) s y z s y s z Korelační koeficient je číslo, pro které platí –1 ≤ ρ ≤ +1 nebo –1 ≤ r(yi , zi ) ≤ + 1. The correlation coefficient is a pure number such that –1 ≤ ρ ≤ +1 or –1 ≤ r(yi , zi ) ≤ +1. POZNÁMKY NOTES 1 Protože ρ a r jsou čísla v rozsahu –1 až +1 včetně, přičemž kovariance jsou obvykle veličiny s nevhodnými fyzikálními rozměry a velikostmi, jsou obecně korelační koeficienty mnohem použitelnější než kovariance. 1 Because ρ and r are pure numbers in the range –1 to +1 inclusive, while covariances are usually quantities with inconvenient physical dimensions and magnitudes, correlation coefficients are generally more useful than covariances. 2 Pro vícerozměrné rozdělení pravděpodobností je obvykle dána matice korelačních koeficientů místo kovarianční matice. Protože ρ(y,  y) =  1 a  r(yi , yi ) = 1, jsou diagonální prvky této matice rovny jedné. 2 For multivariate probability distributions, the correlation coefficient matrix is usually given in place of the covariance matrix. Since ρ(y, y) = 1 and r(yi , yi ) = 1, the diagonal elements of this matrix are unity. 3 Jsou-li odhady vstupních hodnot xi a xj korelovány (viz 5.2.2), a změna δi v xi vytváří změnu δj v xj , potom korelační koeficient příslušný k xi a xj je přibližně odhadnut z výrazu: 3 If the input estimates xi and xj are correlated (see 5.2.2) and if a change δi in xi produces a change δj in xj , then the correlation coefficient associated with xi and xj is estimated approximately by r(xi , xj ) ≈ u(xi ) δj /[u(xj ) δj ] Tento vztah může sloužit jako základ pro empirický odhad korelačních koeficientů. Může být také použit pro výpočet přibližné změny v jednom vstupním odhadu v důsledku změny jiné veličiny, jestliže jejich korelační koeficient je známý. This relation can serve as a basis for estimating correlation coefficients experimentally. It can also be used to calculate the approximate change in one input estimate due to a change in another if their correlation coefficient is known. sborníky technické harmonizace 2012 98 C.3.7  Nezávislost C.3.7  Independence Dvě náhodné veličiny jsou statisticky nezávislé, jestliže jejich sdružené rozdělení pravděpodobnosti je součin jejich jednotlivých rozdělení pravděpodobností. Two random variables are statistically independent if their joint probability distribution is the product of their individual probability distributions. POZNÁMKA  Jestli jsou dvě náhodné veličiny navzájem nezávislé, jejich kovariance a korelační koeficient jsou nulové. Obrácené tvrzení nemusí nutně být pravdivé. NOTE  If two random variables are independent, their covariance and correlation coefficient are zero, but the converse is not necessarily true. C.3.8  t-rozdělení; Studentovo rozdělení C.3.8  The t-distribution; Student’s distribution t-rozdělení nebo Studentovo rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny t, jejíž hustota pravděpodobnosti je The t-distribution or Student’s distribution is the probability distribution of a continuous random variable t whose probability density function is p(t, v) =   ( 1)/22 1 1 2 1 2 t ν ν ν νν − + +  Γ      +   π  Γ     , –∞ < t < +∞ kde Γ je funkce gamma a ν > 0. Střední hodnota t-rozdělení je nula a jeho rozptyl je ν/ (ν – 2) pro ν > 2. Když ν → ∞, t-rozdělení se přiblíží normálnímu rozdělení s  μ  =  0 a σ = 1 (viz C.2.14). where Γ is the gamma function and ν > 0. The expectation of the t-distribution is zero and its variance is ν/(ν – 2) for ν > 2. As v → ∞, the t distribution approaches a normal distribution with μ = 0 and σ = 1 (see C.2.14). Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny ( z   –  µz )/s( z ) je t-rozdělení, jestliže náhodná veličina z se střední hodnotou µz má normální rozdělení, kde z je průměr n nezávislých pozorování zi veličiny z, s(zi ) je výběrová směrodatná odchylka pro n pozorování a s( z ) = s(zi )/ n je výběrová směrodatná odchylka průměru z s  ν  =  n  –  1 stupni volnosti. The probability distribution of the variable ( z  – µz )/ s( z )is the t-distribution if the random variable z is normally distributed with expectation µz , where z is the arithmetic mean of n independent observations zi of z, s(zi ) is the experimental standard deviation of the n observations, and s( z ) = s(zi )/ n is the experimental standard deviation of the mean z with ν = n – 1 degrees of freedom. sborníky technické harmonizace 2012 99 Příloha D Annex D „Pravá“ hodnota, chyba a nejistota ‘‘True’’ value, error, and uncertainty Termín pravá hodnota (B.2.3) je tradičně používán v  publikacích o  nejistotě, ale není v tomto pokynu z důvodů uvedených v  této příloze. Protože termíny „měřená veličina“, „chyba“ a „nejistota“ jsou často špatně pochopené, tato příloha poskytuje také dodatečný výklad základních názorů, který je zásadní, aby doplnil výklad uvedný v kapitole 3. Dva obrázky jsou uvedeny ke grafickému znázornění, proč pojem nejistota, přijatý v tomto pokynu, je založený na výsledku měření a jeho vyhodnocené nejistotě, spíše než na neznámých veličinách jako „pravá“ hodnota a chyba. The term true value (B.2.3) has traditionally been used in publications on uncertainty but not in this Guide for the reasons presented in this annex. Because the terms “measurand,” “error,” and “uncertainty” are frequently misunderstood, this annex also provides additional discussion of the ideas underlying them to supplement the discussion given in clause 3. Two figures are presented to illustrate why the concept of uncertainty adopted in this Guide is based on the measurement result and its evaluated uncertainty rather than on the unknowable quantities “true” value and error. D.1  Měřená veličina D.1  The measurand D.1.1  První krok při měření je stanovení měřené veličiny  – veličiny, která musí být měřena. Měřená veličina nemůže být stanovena pomocí hodnoty, ale pouze popisem veličiny. Avšak, v principu, měřená veličina nemůže být úplně popsána bez nekonečného množství informací. Takže v míře, která ponechává prostor pro interpretaci, neúplná definice měřené veličiny vnáší do nejistoty výsledku měření složky nejistoty, které mohou nebo nemusí být významné ve vztahu k požadované přesnosti měření. D.1.1  The first step in making a measurement is to specify the measurand  – the quantity to be measured; the measurand cannot be specified by a value but only by a description of a quantity. However, in principle, a  measurand cannot be completely described without an infinite amount of information. Thus, to the extent that it leaves room for interpretation, incomplete definition of the measurand introduces into the uncertainty of the result of a measurement a component of uncertainty that may or may not be significant relative to the accuracy required of the measurement. D.1.2  Obecně definice měřené veličiny specifikuje určité fyzikální stavy a podmín- ky. D.1.2  Commonly, the definition of a measurand specifies certain physical states and conditions. PŘÍKLAD  Rychlost zvuku v  suchém vzduchu, směsi se složením (hmotnostní podíly) N2  = 0,780 8, O2  = 0,209 5, Ar = 0,009 35 a CO2  = 0,000 35 při teplotě T = 273,15 K a tlaku p = 101 325 Pa. EXAMPLE  The velocity of sound in dry air of composition (mole fraction) N2 = 0,780 8, O2 = 0,209 5, Ar = 0,009 35, and CO2 = 0,000 35 at the temperature T = 273,15 K and pressure p = 101 325 Pa. D.2  Realizovaná veličina D.2  The realized quantity D.2.1  V ideálním případě, realizovaná veličina pro měření by mohla být v souladu s definicí měřené veličiny. Často, však taková veličina nemůže být zjištěna a měření je prováděno pro veličinu, která je přiblížením měřené veličiny. D.2.1  Ideally, the quantity realized for measurement would be fully consistent with the definition of the measurand. Often, however, such a  quantity cannot be realized and the measurement is performed on a  quantity that is an approximation of the measurand. sborníky technické harmonizace 2012 100 D.3 „Pravá“ hodnota a korigovaná hodnota D.3 The “true” value and the corrected value D.3.1  Výsledek měření zjišťované veličiny je korigován z  důvodu rozdílu mezi veličinou a měřenou veličinou a to proto, aby se předvídalo, jaký výsledek měření by mohl být, kdyby zjišťovaná veličina skutečně dostatečně splňovala definici měřené veličiny. Výsledek měření zjišťované veličiny je také korigován z  důvodu všech ostatních známých významných systematických vlivů. Přestože konečný korigovaný výsledek je často viděn jako nejlepší odhad „pravé“ hodnoty měřené veličiny, ve skutečnosti výsledek je jednoduše nejlepší odhad hodnoty měřené veličiny. D.3.1  The result of the measurement of the realized quantity is corrected for the difference between that quantity and the measurand in order to predict what the measurement result would have been if the realized quantity had in fact fully satisfied the definition of the measurand. The result of the measurement of the realized quantity is also corrected for all other recognized significant systematic effects. Although the final corrected result is sometimes viewed as the best estimate of the “true” value of the measurand, in reality the result is simply the best estimate of the value of the quantity intended to be mea- sured. D.3.2  Jako příklad, se předpokládá, že měřená veličina je tloušťka dané části materiálu při určité teplotě. Vzorek je vystaven teplotě blízké určené teplotě a jeho tloušťka v  určeném místě je měřena mikrometrickým měřidlem. U  zjištěné veličiny se jedná o  tloušťku materiálu v  daném místě a  při jeho teplotě a při tlaku způsobeném mikrometrickým měřidlem. D.3.2  As an example, suppose that the measurand is the thickness of a given sheet of material at a specified temperature. The specimen is brought to a temperature near the specified temperature and its thickness at a particular place is measured with a micrometer. The thickness of the material at that place and temperature, under the pressure applied by the micrometer, is the realized quantity. D.3.3  Teplota materiálu v  době měření a působící tlak jsou určeny. Nekorigovaný výsledek měření zjištěné veličiny bude korigován, přičemž se bere v úvahu kalibrační křivka mikrometrického měřidla, odchylka teploty vzorku od určené teploty a mírné deformace vzorku vlivem použitého tlaku. D.3.3  The temperature of the material at the time of the measurement and the applied pressure are determined. The uncorrected result of the measurement of the realized quantity is then corrected by taking into account the calibration curve of the micrometer, the departure of the temperature of the specimen. from the specified temperature, and the slight compression of the specimen under the applied pressure. sborníky technické harmonizace 2012 101 D.3.4  Korigovaný výsledek je dovoleno nazývat nejlepším odhadem „pravé“ hodnoty, „pravé“ ve smyslu, že to je hodnota veličiny, o které se předpokládá, že plně vyhovuje definici měřené veličiny; ale působením mikrometrického měřidla na různé části vzorku materiálu by mohla být zjištěná veličina s odlišnou „pravou“ hodnotou. Avšak tato „pravá“ hodnota by mohla být ve shodě s definicí měřené veličiny, protože definice měřené veličiny nepožaduje, aby tloušťka desky byla zjišťována v  určitém místě vzorku. Proto v tomto případě, z  důvodu neúplnosti definice měřené veličiny, vykazuje „pravá“ hodnota nejistotu, která může být vyhodnocena z měření prováděných na různých místech vzorku. Každá měřená veličina obsahuje při určité úrovni „vnitřní“ nejistotu, která v  zásadě může být nějakým způsobem odhadnuta. To je minimální nejistota, se kterou může být měřená veličina určena. Každé měření, které vykazuje takovou nejistotu, může být považováno za nejlepší možné měření měřené veličiny. K získání hodnoty, která má příslušnou menší nejistotu se požaduje, aby měřená veličina byla přesněji definována. D.3.4  The corrected result may be called the best estimate of the “true” value, “true” in the sense that it is the value of a quantity that is believed to satisfy fully the definition of the measurand; but had the micrometer been applied to a different part of the sheet of material, the realized quantity would have been different with a  different “true” value. However, that “true” value would be consistent with the definition of the measurand because the latter did not specify that the thickness was to be determined at a particular place on the sheet. Thus in this case, because of an incomplete definition of the measurand, the “true” value has an uncertainty that can be evaluated from measurements made at different places on the sheet. At some level, every measurand has such an “intrinsic” uncertainty that can in principle be estimated in some way. This is the minimum uncertainty with which a measurand can be determined, and every measurement that achieves such an uncertainty may be viewed as the best possible measurement of the measurand. To obtain a value of the quantity in question having a smaller uncertainty requires that the measurand be more completely defined. POZNÁMKY NOTES 1 V uvedeném příkladu při specifikaci měřené veličiny se nepřesně bere v úvahu mnoho dalších vlivů, které by mohly myslitelně ovlivnit tloušťku: atmosférický tlak, vlhkost, poloha desky v gravitačním poli, způsob jejího podepření, atd. 1 In the example, the measurand’s specification leaves many other matters in doubt that might conceivably affect the thickness: the barometric pressure, the humidity, the attitude of the sheet in the gravitational field, the way it is supported, etc. 2 I když měřená veličina má být definována dostatečně podrobně, aby nejistota vznikající z neúplné definice byla zanedbatelná v porovnání s požadovanou přesností měření, je nutno si uvědomit, že to nemusí být vždy proveditelné. Je dovoleno, aby definice byla neúplná, protože například nespecifikuje parametry, u kterých by se mohlo neospravedlnitelně předpokládat, že mají zanedbatelný vliv. Zároveň je dovoleno, aby se předpokládaly podmínky, které nikdy nemohou být zcela splněné a jejich nedokonalá realizace se těžko bere v úvahu. Také rychlost zvuku z příkladu D.1.2, obsahuje nekonečné rovinné vlny s mizivou malou amplitudou. V té míře, ve které měření nesplňuje tyto podmínky, musí být brány v úvahu ohyb a nelineární vlivy. 2 Although a measurand should be defined in sufficient detail that any uncertainty arising from its incomplete definition is negligible in comparison with the required accuracy of the measurement, it must be recognized that this may not always be practicable. The definition may, for example, be incomplete because it does not specify parameters that may have been assumed, unjustifiably, to have negligible effect; or it may imply conditions that can never be fully met and whose imperfect realization is difficult to take into account. For instance, in the example of D. 1.2, the velocity of sound implies infinite plane waves of vanishingly small amplitude. To the extent that the measurement does not meet these conditions, diffraction and nonlinear effects need to be considered. sborníky technické harmonizace 2012 102 3 Neodpovídající specifikace měřené veličiny může vést k  rozporům mezi výsledky měření zdánlivě stejné veličiny prováděnými v různých laborato- řích. 3 Inadequate specification of the measurand can lead to discrepancies between the results of measurements of ostensibly the same quantity carried out in different laboratories. D.3.5  Termínu „pravá hodnota měřené veličiny“ nebo veličiny (často zkracované jako „pravá hodnota“) se tento pokyn vyvaroval, protože slovo „pravá“ je považováno za nadbytečné. „Měřená veličina“ (viz B.2.9) je míněna jako „určená veličina subjektu měření“, a tedy „hodnota měřené veličiny“ znamená „hodnota určené veličiny subjektu měření“. Zatímco „přesná veličina“ je obecně chápána jako konečná nebo určená veličina (viz B.2.1, poznámka 1), přídavné jméno „pravá“ v termínu „pravá hodnota měřené veličiny“ (nebo „pravá hodnota veličiny“) je zbytečné  – „pravá“ hodnota měřené veličiny (nebo veličiny) je jednoduše hodnota měřené veličiny (nebo veličiny). Navíc, jak je naznačeno v  předchozím textu, jedinečná „pravá“ hodnota je pouze idealizovaný pojem. D.3.5  The term “true value of a measurand” or of a quantity (often truncated to “true value”) is avoided in this Guide because the word “true” is viewed as redundant. “Measurand” (sec B.2.9) means “particular quantity subject to measurement,” hence “value of a  measurand” means “value of a particular quantity subject to measurement.” Since “particular quantity” is generally understood to mean a definite or specified quantity (see B.2.1, note 1), the adjective “true” in “true value of a measurand” (or in “true value of a quantity”) is unnecessary  – the “true” value of the measurand (or quantity) is simply the value of the measurand (or quantity). In addition, as indicated in the discussion above, a unique “true” value is only an idealized concept. D.4  Chyba D.4  Error Korigovaný výsledek měření není hodnota měřené veličiny a to z důvodu chyby, v důsledku nedokonalého měření zjištěné veličiny působením náhodných kolísání při pozorování, neodpovídajícího určení korekcí systematických vlivů a  nedokonalé znalosti určitého fyzikálního jevu (také systematických vlivů). Ani hodnota zjištěné veličiny ani hodnota měřené veličiny nemohou být nikdy přesně známy; vše, co může být známo, jsou jejich odhadnuté hodnoty. V  předchozím příkladu může měřená tloušťka destičky obsahovat chybu, tj. může se lišit od hodnoty měřené veličiny (tloušťky destičky), protože každý z následujících činitelů může přispívat k hodnotě neznámé chyby výsledku měření: A corrected measurement result is not the value of the measurand – that is, it is in er- ror – because of imperfect measurement of the realized quantity due to random variations of the observations (random effects), inadequate determination of the corrections for systematic effects, and incomplete knowledge of certain physical phenomena (also systematic effects). Neither the value of the realized quantity nor the value of the measurand can ever be known exactly; all that can be known is their estimated values. In the example above the measured thickness of the sheet may be in error, that is, may differ from the value of the measurand (the thickness of the sheet), because each of the following may combine to contribute an unknown error to the measurement result: a) nepatrné rozdíly mezi údaji mikrometrického měřidla, když je opakovaně použito pro měření stejné realizované veli- činy; a) slight differences between the indications of the micrometer when it is repeatedly applied to the same realized quantity; b) nedokonalá kalibrace mikrometrického měřidla; b) imperfect calibration of the micrometer; sborníky technické harmonizace 2012 103 c) nedokonalé měření teploty a  působícího tlaku; c) imperfect measurement of the temperature and of the applied pressure; d) nedokonalá znalost vlivů teploty, atmosférického tlaku a vlhkosti na vzorek nebo mikrometrické měřidlo nebo na oba. d) incomplete knowledge of the effects of temperature, barometric pressure, and humidity on the specimen or the micrometer or both. D.5  Nejistota D.5  Uncertainty D.5.1  Vzhledem k tomu, že přesné hodnoty, které přispívají k chybě výsledku měření jsou neznámé a nepoznatelné, mohou být vyhodnoceny nejistoty spojené s náhodnými a systematickými vlivy, které vedou ke vzniku chyb. Ale i když vyhodnocené nejistoty jsou malé, stále neexistuje záruka, že chyba výsledku měření je malá; při určení korekcí nebo při odhadu na základě nedokonalých znalostí, je dovoleno nebrat v úvahu systematický vliv, protože nebyl zpozorován. Tedy nejistota výsledku měření nutně neukazuje pravděpodobnost, že výsledek měření je blízký hodnotě měřené veličiny. Je to jednoduše odhad pravděpodobnosti blízkosti k nejlepší hodnotě, která je v souladu s právě dostupnou znalostí. D.5.1  Whereas the exact values of the contributions to the error of a  result of a measurement are unknown and unknowable the uncertainties associated with the random and systematic effects that give rise to the error can be evaluated. But, even if the evaluated uncertainties are small, there is still no guarantee that the error in the measurement result is small; for in the determination of a correction or in the assessment of incomplete knowledge a systematic effect may have been overlooked because it is unrecognized. Thus the uncertainty of a result of a measurement is not necessarily an indication of the likelihood that the measurement result is near the value of the measurand; it is simply an estimate of the lilelihood of nearness to the best value that is consistent with presently available knowledge. D.5.2  Nejistota měření tedy vyjadřuje skutečnost, že pro danou měřenou veličinu a daný výsledek jejího měření existuje nejen jedna hodnota, ale nekonečný počet hodnot rozptýlených kolem výsledku, které jsou v souladu se všemi pozorováními a s daty. Tyto hodnoty s různým stupněm věrohodnosti mohou být přisuzovány měřené veličině. D.5.2  Uncertainty of measurernent is thus an expression of the fact that, for a  given measurand and a  given result of measurement of it, there is not one value but an infinite number of values dispersed about the result that are consistent with all of the observations and data and one’s knowledge of the physical world, and that with varying degrees of credibility can be attributed to the measurand. sborníky technické harmonizace 2012 104 D.5.3  Na štěstí, v mnoha praktických případech měření, velká část námětů této přílohy neplatí. Příkladem je, pokud je měřená veličina dobře definována odpovídajícím způsobem; pokud jsou etalony nebo přístroje kalibrované pomocí dobře známých referenčních etalonů, které jsou vysledovatelné k národním etalonům; a pokud jsou nejistoty kalibračních korekcí nevýznamné v  porovnání k  nejistotám vznikajícím z  náhodných vlivů na indikaci přístrojů nebo z důvodu omezeného počtu pozorování (viz E.4.3). Nicméně neúplná znalost ovlivňujících veličin a  jejich vlivů může často významně přispívat k nejistotě výsledku měření. D.5.3  It is fortunate that in many practical measurement situations, much of the discussion of this annex does not apply. Examples are when the measurand is adequately well defined; when standards or instruments are calibrated using well-known reference standards that are traceable to national standards; and when the uncertainties of the calibration corrections are insignificant compared to the uncertainties arising from random effects on the indications of instruments, or from a limited number of observations (see E.4.3). Nevertheless, incomplete knowledge of influence quantities and their effects can often contribute significantly to the uncertainty of the result of a measurement. D.6  Grafické znázornění D.6  Graphical representation D.6.1  Obrázek D.1 znázorňuje některé pojmy vysvětlené v kapitole 3 tohoto pokynu a v této příloze. Znázorňuje také, proč je stěžejním bodem tohoto pokynu nejistota a ne chyba měření. Přesná chyba výsledku měření je obecně neznámá a nepoznatelná. Je možné pouze odhadnout hodnoty vstupních veličin včetně korekcí rozeznatelných systematických vlivů společně s jejich standardními nejistotami (odhadnutými směrodatnými odchylkami). Tento odhad se může uskutečnit na základě buď neznámých rozdělení pravděpodobností, které mohou být vzorkovány pomocí opakovaných pozorování, nebo apriorních rozdělení postavených na dostupných informacích. Vypočítá se výsledek měření z odhadů hodnot vstupních veličin a  kombinovaná standardní nejistota výsledku ze standardních nejistot těchto odhadnutých hodnot. Pouze pokud existuje solidní základ pro to, aby vše bylo dobře provedeno a žádné významné systematické vlivy nebyly přehlédnuty, může se předpokládat, že měřený výsledek je spolehlivý odhad hodnoty měřené veličiny, a že kombinovaná standardní nejistota je spolehlivá míra jeho možné chyby. D.6.1  Figure D. 1 depicts some of the ideas discussed in clause 3 of this Guide and in this annex. It illustrates why the focus of this Guide is uncertainty and not error. The exact error of a result of a measurement is, in general, unknown and unknowable. All one can do is estimate the values of input quantities, including corrections for recognized systematic effects, together with their standard uncertainties (estimated standard deviations), either from unknown probability distributions that are sampled by means of repeated observations, or from subjective or a  priori distributions based on the pool of available information; and then calculate the measurement result from the estimated values of the input quantities and the combined standard. uncertainty of that result from the standard uncertainties of those estimated values. Only if there is a sound basis for believing that all of this has been done properly, with no significant systematic effects having been overlooked, can one assume that the measurement result is a  reliable estimate of the value of the measurand and that its combined standard uncertainty is a reliable measure of its possible error. POZNÁMKY NOTES 1 Hodnoty pozorování jsou znázorněny na obrázku D.1a) pro ilustraci ve formě histogramu [viz 4.4.3 a obrázek 1b)]. 1 In figure D.1a), the observations are shown as a  histogram for illustrative purposes [see 4.4.3 and figure 1b)]. sborníky technické harmonizace 2012 105 2 Korekce chyby je rovna zápornému odhadu chyby. Tedy na obrázku D.1 a rovněž na obrázku D.2 je šipka, která zobrazuje korekci chyby a je rovná svou délkou chybě, ale její body jsou v opačném směru k šipce, která znázorňuje samotnou chybu a naopak. Text obrázku vysvětluje, zda šipka znázorňuje korekci nebo chybu. 2 The correction for an error is equal to the negative of the estimate of the error. Thus in figure D. 1, and in figure D.2 as well, an arrow that illustrates the correction for an error is equal in length but points in the opposite direction to the arrow that would have illustrated the error itself, and vice versa. The text of the figure makes clear if a particular arrow illustrates a correction or an error. D.6.2  Obrázek D.2 znázorňuje některé pojmy na obrázku D.1, ale odlišným způsobem. Avšak také znázorňuje, že může být mnoho hodnot měřené veličiny, jestliže její definice je neúplná [zavedením g) na obrázku D.2]. Nejistota, vznikající z  takových nedostatků definice, jak je měřená pomocí rozptylu, je vyhodnocená z měření mnohonásobných realizací měřené veličiny a  to použitím stejné metody, stejných přístrojů, atd. (viz D.3.4). D.6.2  Figure D.2 depicts some of the same ideas illustrated in figure D. 1 but in a different way. Moreover, it also depicts the idea that there can be many values of the measurand if the definition of the measurand is incomplete [entry g) of figure D.2]. The uncertainty arising from this incompleteness of definition as measured by the variance is evaluated from measurements of multiple realizations of the measurand, using the same method, instruments, etc. (see D.3.4). POZNÁMKA  Hodnoty ve sloupci nadepsaném „Rozptyl“, jsou chápány jako rozptyly ( )yui 2 určené rovnicí (11a) v 5.1.3 a jak je ukázáno, jsou linearně sčítané. NOTE  In the column headed “Variance” the variances are understood to be the variances ( )yui 2 defined in equation (11a) in 5.1.3; hence they add linearly as shown. sborníky technické harmonizace 2012 106 Nekorigovaný aritmetický průměr pozorování Korigovaný aritmetický průměr pozorování Korigovaná střední hodnota je odhadnutá hodnota měřené veličiny a výsledku měření Standardní nejistota nekorigované střední hodnoty na základě rozptýlení hodnot pozorování (pro ilustraci je zde ukázána jako interval) Korekce je pro všechny uznané systematické vlivy Kombinovaná standardní nejistota korigované střední hodnoty Vytváří nejistotu nekorigované střední hodnoty na základě rozptýlení hodnot pozorování a nejistoty aplikované korekce Neznámé rozdělení (předpokládá se, že zde bude přibližně normální rozdělení) celého základního souboru možných nekorigovaných pozorování a) Pojmy založené na pozorovatelných veličinách Neznámé rozdělení celého základního souboru možných korigovaných pozorování Neznámý základní soubor středních hodnot (očekávaných hodnot) s neznámou směrodatnou odchylkou (vyznačeno, okraje tmavšího stínování) Neznámá „náhodná“ chyba nekorigované střední hodnoty pozorování Neznámá chyba korigované střední hodnoty na základě neznámé „náhodné“ chyby nekorigované střední hodnoty a neznámé chyby aplikované korekce Zbývající neznámá chyba korigované střední hodnoty na základě nepozorovaných systematických vlivů Neznámá chyba je pro všechny uznané systematické vlivy Neznámá HODNOTA MĚŘENÉ VELIČINY b) Ideální pojmy založené na nepozorovatelných veličinách Obrázek D.1 – Grafické znázornění hodnot, chyb a nejistoty sborníky technické harmonizace 2012 107 Figure D.1 – Graphical illustration of value, error, and uncertainty sborníky technické harmonizace 2012 108 Veličina Hodnota (bez měřítka) Rozptyl (bez měřítka) Quantity Value (not to scale) Variance (not to scale) (aritmetický průměr) (arithmetic mean) (jednotlivé pozorování) (single observation) Stoupající hodnota Increasing value a) Nekorigovaná pozorování Uncorrected observations b) Nekorigovaný aritmetický průměr pozorování Uncorrected arithmetic mean of observations c) Korekce všech poznaných systematických vlivů Correction for all recognized systematic effects g) Hodnoty měřené veličiny na základě nedostatečné definice (nepoznatelné) Values of measurand due to incomplete definition (unknowable) d) Výsledek měření Result of measurement e) Zbývající chyba (nepoznatelná) Remaining error (unknowable) f) Hodnota měřené veličiny (nepoznatelná) Value of measurand (unknowable) h) Konečný výsledek měření Final result of measurement (neobsahuje rozptyl na základě nedostatečné definice měřené veličiny) (does not include variance due to incomplete definition of measurand) Obrázek D.2 – Grafické znázornění hodnoty, chyby a nejistoty Figure D.2 – Graphical illustration of value, error, and uncertainty sborníky technické harmonizace 2012 109 Příloha E Annex E Motivace a základy pro doporučení INC-1 (1980) Motivation and basis for Recommendation INC-1 (1980) Tato příloha uvádí stručný přehled motivace a statistických základů doporučení INC-1  (1980) pracovní skupiny pro vyjádření nejistot, na kterém je založen tento pokyn. Další informace viz citace[1, 2, 11,12]. This annex gives a  brief discussion of both the motivation and statistical basis for Recommendation INC-1 (1980) of the Working Group on the Statement of Uncertainties upon which this Guide rests. For further discussion, see references [1, 2, 11, 12]. E.1 „Téměř jistý“, „náhodný“ a „systematický“ E.1  “Safe”, ‘‘random”, and “systematic” E.1.1  Tento pokyn uvádí široce použitelnou metodu hodnocení a vyjádření nejistoty měření. Poskytuje spíše realistickou než „téměř jistou“ hodnotu nejistoty založenou na pojetí, že není zásadní rozdíl mezi složkou nejistoty vznikající z náhodného vlivu a složkou vznikající z korekce systematického vlivu (viz 3.2.2 a 3.2.3). Metoda je založena, v protikladu k určitým dříve používaným metodám, na tom, že zahrnuje následující dva názory, které má společné. E.1.1  This Guide presents a  widely applicable method for evaluating and expressing uncertainty in measurement. It provides a realistic rather than a “safe” value of uncertainty based on the concept that there is no inherent difference between an uncertainty component arising from a  random effect and one arising from a  correction for a systematic effect (see 3.2.2 and 3.2.3). The method stands, therefore in contrast to certain older methods that have the following two ideas in common. E.1.2  První názor je, že udaná nejistota má být „téměř jistá“ nebo „konzervativní“. To znamená, že nesmí být nikdy chybná, jestliže je velmi malá. Ve skutečnosti, protože hodnocení nejistoty výsledku měření je problematické, byla často úmyslně vědomě velká. E.1.2  The first idea is that the uncertainty reported should be “safe” or “conservative”, meaning that it must never err on the side of being too small. In fact, because the evaluation of the uncertainty of a measurement result is problematic, it was often made deliberately large. E.1.3  Druhý názor je, že vlivy, které způsobují vznik nejistoty, byly vždy uznány buď za „náhodné“ nebo „systematické“ s tím, že oba mají odlišnou povahu. Nejistoty příslušné k  jednotlivým vlivům, by měly být seskupeny vlastním způsobem a odděleně uváděny (nebo seskupeny určitým způsobem, je-li požadována jediná hodnota). Ve skutečnosti způsob seskupení nejistot byl často volen tak, aby splňoval požadavek jistoty. E.1.3  The second idea is that the influences that give rise to uncertainty were always recognizable as either “random” or “systematic” with the two being of different natures; the uncertainties associated with each were to be combined in their own way and were to be reported separately (or when a  single number was required, combined in some specified way). In fact, the method of combining uncertainties was often designed to satisfy the safety re- quirement. sborníky technické harmonizace 2012 110 E.2 Realistická oprávněnost hodnocení nejistoty E.2 Justification for realistic uncertainty evaluations E.2.1  Při záznamu hodnoty měřené veličiny musí být uvedeny nejlepší odhad její hodnoty a  nejlepší vyhodnocení nejistoty tohoto odhadu, protože kdyby byla nejistota chybná, tak není možné rozhodnout, ve kterém smyslu je „jistě“ chybná. Příliš malé hodnoty nejistoty by mohly způsobit příliš velkou důvěru v  uvedené hodnoty, což by mohlo mít někdy trapné nebo dokonce škodlivé následky. Úmyslné uvádění příliš velkých nejistot může také mít nežádoucí ohlas. To by mohlo způsobit, že uživatelé měřicího zařízení budou kupovat mnohem nákladnější měřicí zařízení, než potřebují, nebo zbytečné vyřazení drahých přístrojů nebo zřeknutí se služeb kalibračních labo- ratoří. E.2.1  When the value of a measurand is reported, the best estimate of its value and the best evaluation of the uncertainty of that estimate must be given, for if the uncertainty is to err, it is not normally possible to decide in which direction it should err “safely.” An understatement of uncertainties might cause too much trust to be placed in the values reported, with sometimes embarrassing or even disastrous consequences. A  deliberate overstatement of uncertainties could also have undesirable repercussions. It could cause users of measuring equipment to purchase instruments that are more expensive than they need, or it could cause costly products to be discarded unnecessarily or the services of a calibration laboratory to be rejected. E.2.2  To neznamená, že uživatelé výsledků měření by nemohli používat vlastní činitel násobení k stanovené příslušné nejistotě, aby získali rozšířenou nejistotu, která určuje interval s určenou konfidenční úrovní a která zabezpečuje jejich vlastní potřeby. To znamená že určité instituce, které poskytují výsledky měření, by nemohly pravidelně používat činitel násobení, který poskytuje podobnou rozšířenou nejistotu, splňující požadavky určitého druhu uživatelů jejich výsledků. Avšak, takové činitele (vždy stanovené) musí být používané pro nejistotu, jak je určená realistickou metodou a  pouze po takto určenou nejistotu tak, aby interval určený rozšířenou nejistotou měl požadovanou konfidenční úroveň, a aby činnost dovolovala jednoduché opakování v obráceném pořadí. E.2.2  That is not to say that those using a measurement result could not apply their own multiplicative factor to its stated uncertainty in order to obtain an expanded uncertainty that defines an interval having a specified level of confidence and that satisfies their own needs, nor in certain circumstances that institutions providing measurement results could not routinely apply a  factor that provides a  similar expanded uncertainty that meets the needs of a particular class of users of their results. However, such factors (always to be stated) must be applied to the uncertainty as determined by a  realistic method, and only after the uncertainty has been so determined, so that the interval defined by the expanded uncertainty has the level of confidence required and the operation may be easily reversed. sborníky technické harmonizace 2012 111 E.2.3  Zaměstnanci, zabývající se měřením, často musí začlenit do své analýzy výsledky měření prováděné mimo jejich působnost, každý z  těchto dalších výsledků přináší svoji vlastní nejistotu. Při hodnocení nejistoty svého vlastního výsledku, pro dosažení nejlepší hodnoty, nepotřebují „téměř jistou“ hodnotu nejistoty každého z mimo jejich působnost získaných výsledků. Navíc musí být logický a jednoduchý způsob, jak kombinovat tyto přidávané nejistoty s nejistotami vlastních pozorování k  uvádění nejistoty vlastních výsledků. Doporučení INC-1 (1980) poskytuje takový způsob. E.2.3  Those engaged in measurement often must incorporate in their analyses the results of measurements made by others, with each of these other results possessing an uncertainty of its own. In evaluating the uncertainty of their own measurement result they need to have a best value, not a “safe” value, of the uncertainty of. each of the results incorporated from elsewhere. Additionally, there must be a logical and simple way in which these imported uncertainties can be combined with the uncertainties of their own observations to give the uncertainty of their own result. Recommendation INC-1 (1980) provides such a way. E.3 Oprávněnost pro identické zacházení se všemi složkami nejistoty E.3 Justification for treating all uncertainty components identically Zaměření výkladu v tomto článku je jednoduchý příklad, který ukazuje, jak při hodnocení nejistoty výsledku měření tento pokyn přesně stejným způsobem zpracovává složky nejistoty vznikající náhodnými vlivy a z korekce systematických vlivů. To tudíž ilustruje názor, přijatý v tomto pokynu a citovaný v E.1.3, jmenovitě, že všechny složky nejistoty jsou stejné povahy a musí se tedy zpracovávat stejným způsobem. Výchozí bod výkladu je zjednodušená derivace matematického výrazu pro šíření směrodatné odchylky, nazývaného v tomto pokynu zákon o šíření nejistoty. The focus of the discussion of this subclause is a simple example, that illustrates how this Guide treats uncertainty components arising from random effects and from corrections for systematic effects in exactly the same way in the evaluation of the uncertainty of the result of a  measurement. It thus exemplifies the viewpoint adopted in this Guide and cited in E. 1.1, namely, that all components of uncertainty are of the same nature and are to be treated identically. The starting point of the discussion is a simplified derivation of the mathematical expression for the propagation of standard deviations, termed in this Guide the law of propagation of uncertainty. E.3.1  Výstupní veličina z = ƒ(w1 , w2 , ..., wN ) je závislá na N  vstupních veličinách w1 , w2 ,  ...,  wN , přičemž každá wi je popsána vhodným rozdělením pravděpodobnosti. Rozvoj f střední hodnoty veličiny wi , E(wi ) ≡ µi , do Taylorovy řady prvního řádu, poskytuje pro malé odchylky z od µz členů řady z hlediska malých odchylek wi v rozsahu µi , E.3.1  Let the output quantity z  = ƒ(w1 , w2 ,  ...,  wN ) depend on N  input quantities w1 , w2 , ..., wN , where each wi is described by an appropriate probability distribution. Expansion of ƒ about the expectations of the wi , E(wi ) ≡ µi , in a first-order Taylor series yields for small deviations of z about µz in terms of small deviations of wi about µi , 1 ( ) N z i i i i f z w w µ µ = ∂ −= − ∂ ∑ (E.1) sborníky technické harmonizace 2012 112 kde všechny členy vyššího řádu jsou pokládány za bezvýznamné a µz  = ƒ(µ1 , µ2 , ..., µN ). Druhá mocnina odchylky z – µz je dána po- mocí where all higher-order terms are assumed to be negligible and µz = ƒ(µ1 , µ2 , ..., µN ). The square of the deviation z – µz is then given by 2 2 1 ( ) ( ) N z i ii i f z w w µ µ=  ∂ −= −  ∂  ∑ (E.2a) a může být psána jako which may be written as 2 12 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( )( ) N N N z i i i i j ji i j i i i j f f f z w w w w w w µ µ µ µ − = = = +  ∂ ∂ ∂ −= − + − −  ∂ ∂ ∂  ∑ ∑ ∑ (E.2b) Očekávaná hodnota druhé mocniny odchylky (z – µz )2 je rozptyl z, což je E[(z – µz )2 ] = 2 zσ a tedy z rovnice (E.2b) The expectation of the squared deviation (z  – µz )2 is the variance of z, that is, E[(z – µz )2 ] =  2 zσ , and thus equation (E.2b) leads to 2 12 2 1 1 1 2 N N N z i i j iji i j i i i j f f f w w w σ σ σ σ ρ − = = = +  ∂ ∂ ∂ = +  ∂ ∂ ∂  ∑ ∑ ∑ (E.3) V tomto výrazu, 2 iσ  = E[(wi  – µi )2 ] je rozptyl wi a ρij  = v(wi , wj )/( 2 iσ , 2 jσ )½ je korelační koeficient wi a wj , přičemž v(wi , wj ) = E[(wi  – µi ) (wj  – µj )] je kovariance wi a wj . In this expression, 2 iσ =  E[(wi   – µi )2 ] is the variance of wi and ρij =  v(wi ,  wj )/( 2 iσ 2 jσ )½ is the correlation coefficient of wi and wj , where v(wi , wj ) = E[(wi  – µi )(wj  – µj )] is the covariance of wi and wj . POZNÁMKY NOTES 1 2 zσ a  2 iσ jsou centrální momenty řádu 2  (viz C.2.13 a  C.2.22) rozdělení pravděpodobností z  a  wi . Rozdělení pravděpodobnosti může být zcela charakterizováno svou střední hodnotou, rozptylem a centrálními momenty vyššího řádu. 1 2 zσ and 2 iσ are, respectively, the central moments of order 2 (see C.2.13 and C.2.22) of the probability distributions of z and wi . A probability distribution may be completely characterized by its expectation, variance, and higher-order central moments. 2 Rovnice (13) v 5.2.2 [společně s rovnicí (15)], která je použita k výpočtu kombinované standardní nejistoty, je shodná s  rovnicí (E.3), až na to, že rovnice (13) je vyjádřena pomocí odhadů rozptylů, směrodatných odchylek a korelačních koeficientů. 2 Equation (13) in 5.2.2 [together with equation (15)], which is used to calculate combined standard uncertainty, is identical to equation (E.3) except that equation (13) is expressed in terms of estimates of the variances, standard deviations, and correlation coefficients sborníky technické harmonizace 2012 113 E.3.2  V tradiční terminologii je rovnice (E.3) často nazývána „obecný zákon šíření chyb“, název, který je lépe použít pro výraz ve tvaru 1( / )N i i iz f w w=∆= ∂ ∂ ∆∑ , kde ∆z je změna v z způsobená (malými) změnami ∆wi veličiny wi [viz rovnice (E.8)]. Ve skutečnosti je vhodné nazývat rovnici (E.3) zákonem o šíření nejistoty tak, jak je uváděno v tomto pokynu, protože ukazuje, jak se nejistoty vstupních veličin wi , které jsou rovny  směrodatným odchylkám rozdělení pravděpodobností wi , sloučí, aby daly nejistotu výstupní veličiny z, když tato nejistota je rovna směrodatné odchylce rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny z. E.3.2  In the traditional terminology, equation (E.3) is often called the “general law of error propagation”, an appellation that is better applied to an expression of the form 1( / )N i i iz f w w=∆= ∂ ∂ ∆∑ , where ∆z is the change in z due to (small) changes ∆wi in the wi [see equation (E.8)]. In fact, it is appropriate to call equation (E.3) the law of propagation of uncertainty as is done in this Guide because it shows how the uncertainties of the input quantities wi , taken equal to the standard deviations of the probability distributions of the wi , combine to give the uncertainty of the output quantity z if that uncertainty is taken equal to the standard deviation of the probability distribution of z. E.3.3  Rovnice (E.3) platí také pro šíření násobků směrodatných odchylek, protože jestliže každá směrodatná odchylka σi je nahrazená násobkem kσi s  týmž k  pro každou σi , směrodatná odchylka výstupní veličiny z může být nahrazena kσz . Avšak to neplatí pro šíření konfidenčních intervalů. Jestliže každá σi je nahrazena veličinou δi , která stanovuje interval odpovídající dané konfidenční úrovni p, výsledná veličina pro z, δz , nebude stanovovat interval odpovídající stejné hodnotě p  vyjma případu, kde všechny wi jsou popsány normálními rozděleními. Žádné takové předpoklady, že rozdělení pravděpodobností velečin wi není použito v rovnici (E.3). Určitější je případ, kde každá standardní nejistota u(xi ) v rov- nici (10) v 5.1.2 je hodnocena z nezávislých opakovaných pozorování a násobena E.3.3  Equation (E.3) also applies to the propagation of multiples of standard deviations, for if each standard deviation σi is replaced by a multiple kσi , with the same k  for each σi , the standard deviation of the output quantity z  is replaced by kσz . However, it does not apply to the propagation of confidence intervals. If each σi is replaced with a quantity δi that defines an interval corresponding to a given level of confidence p, the resulting quantity for z, δz , will not define an interval corresponding to the same value of p unless all of the wi are, described by normal distributions. No such assumptions regarding the normality of the probability’ distributions of the quantities wi are implied in equation (E.3) More specifically if in equation (10) in 5.1.2. each standard uncertainty u(xi ) is evaluated t-faktorem, vhodným pro její stupně volnosti pro určitou hodnotu p (např., že p = 95 %), tak nejistota odhadu y  nebude určovat interval odpovídající této hodnotě p (viz G.3 a G.4). from independent repeated observations and multiplied by the t-factor appropriate for its degrees of freedom for a  particular value of p  (say p  = 95 percent), the uncertainty of the estimate y will not define an interval corresponding to that value of p (see G.3 and G.4). sborníky technické harmonizace 2012 114 POZNÁMKA  Požadavek na normální rozdělení v případě rozšíření konfidenčních intervalů použitím rovnice (E.3), smí být jeden z důvodů historického oddělení složek nejistoty získaných z opakovaných pozorování, o kterých se předpokládá, že musí mít normální rozdělení, z něhož jsou jednoduše vyhodnoceny horní a dolní hranice. NOTE  The requirement of normality when propagating confidence intervals using equation (E.3) may be one of the reasons for the historic separation of the components of uncertainty derived from repeated observations, which were assumed to be normally distributed, from those that were evaluated simply as upper and lower bounds. E.3.4  Uvažuje se následující příklad: z závisí pouze na jedné vstupní veličině w, z = ƒ(w), kde w je odhadnuto pomocí průměru n hodnot wk veličiny w; těchto n hodnot je získáno z n opakovaných pozorování qk náhodné veličiny q a wk a qk jsou vyjádřeny vztahem E.3.4  Consider the following example: z  depends on only one input quantity w, z = ƒ(w), where w is estimated by averaging n values wk of w; these n values are obtained from n independent repeated observations qk of a random variable q; and wk and qk are related by wk = α + βqk (E.4) kde α je konstantní „systematické“ vyrovnání nebo posun, který je společný všem pozorováním a β je společné měřítko (stupnice). I  když posun α  a  měřítko β, jsou konstantní v  průběhu pozorování, předpokládá se, že jsou charakterizovány apriorním rozdělením pravděpodobností, kde α a β jsou nejlepšími odhady očekávaných hodnot tohoto rozdělení. Here α is a constant “systematic” offset or shift common to each observation, and β is a common scale factor. The offset and the scale factor, although fixed during the course of the observations, are assumed to be characterized by a priori probability distributions, with α and β the best estimates of the expectations of these distributions. Nejlepším odhadem w  je výběrový průměr w získaný z The best estimate of w  is the arithmetic mean or average w obtained from ∑∑ == +== n k k n k k q n w n w 11 11 )( βα (E.5) Veličina z  je potom odhadnuta pomocí ƒ(w ) = ƒ(α, β, q1 , q2 , ..., qn ) a odhad u2 (z) jeho rozptylu σ2 (z) je získán z rovnice (E.3). Jestliže se pro zjednodušení předpokládá, že z = w, tak nejlepší odhad z byl z = ƒ(w ) = w a  pak se dá snadno získat odhad u2 (z). Z rovnice (E.5) vyplývá, že The quantity z  is then estimated by ƒ(w ) = ƒ(α, β, q1 , q2 , ..., qn ) and the estimate u2 (z) of its variance σ2 (z) is obtained from equation (E.3). If for simplicity it is assumed that z = w so that, the best estimate of z  is z  = ƒ(w ) =  w , then the estimate u2 (z) can be readily found. Noting from equation (E.5) that 1 f α ∂ = ∂ 1 1 n k k f q q nβ = ∂ = = ∂ ∑ a and k f q n β∂ = ∂ sborníky technické harmonizace 2012 115 označením odhadnutých rozptylů α a β jako u2 (α) a u2 (β) a za předpokladu, že jednotlivá pozorování jsou nekorelovaná, dostaneme z rovnice (E.3) denoting the estimated variances of α and β by u2 (α) and u2 (β), respectively, and assuming that the individual observations are uncorrelated, one finds from equation (E.3) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ks q u z u q u n α β β= + + (E.6) kde s2 (qk ) je výběrový rozptyl pozorování qk vypočítaný podle rovnice (4) v 4.2.2 a  s2 (qk )/n = s2 ( )q je výběrový rozptyl průměru ( )q [rovnice (5) v 4.2.3]. where s2 (qk ) is the experimental variance of the observations qk calculated according to equation (4) in 4.2.2, and s2 (qk )/n = s2 ( )q is the experimental variance of the mean ( )q [equation (5) in 4.2.3]. E.3.5  Z hlediska tradiční terminologie, třetí člen pravé strany rovnice (E.6) je nazýván „náhodný“ příspěvek k odhadnutému rozptylu u2 (z), protože se běžně zmenšuje se zvýšením počtu pozorování n, zatímco první dva členy jsou nazývány „systematické“ příspěvky, protože nezávisí na n. E.3.5  In the traditional terminology, the third term on the right-hand side of equation (E.6) is called a “random” contribution to the estimated variance u2 (z) because it normally decreases as the number of observations n increases, while the first two terms are called “systematic” contributions because they do not depend on n. Mnohem významnější, z hlediska některých tradičních zpracování nejistoty měření je, že rovnice (E.6) je zpochybněna, protože nerozlišuje mezi nejistotami, vznikajícími v  důsledku systematických vlivů a  těmi, které vznikají v důsledku náhodných vlivů. Zvláště se může namítat spojování rozptylů získaných z apriorních rozdělení pravděpodobností s těmi, které byly získány z rozdělení sestavených na základě četnosti, protože pojem pravděpodobnost je považován jako použitelný pouze pro jevy, které se mohou opakovat mnohonásobně za v podstatě stejných podmínek a to s pravděpodobností p pro každý jev (0 ≤ p ≤ 1) uvádějící relativní četnost, se kterou jev nastane. Of more significance, in some traditional treatments of measurement uncertainty, equation (E.6) is questioned because no distinction is made between uncertainties arising from systematic effects and those arising from random effects. In particular, combining variances obtained from a priori probability distributions with those obtained from frequency-based distributions is deprecated because the concept of probability is considered to be applicable only to events that can be repeated a large number of times under essentially the same conditions, with the probability p of an event (0 ≤ p ≤ 1) indicating the relative frequency with which the event will occur. sborníky technické harmonizace 2012 116 V protikladu k této pravděpodobnosti postavené na základě četnosti, je stejně platný názor, že pravděpodobnost je míra stupně přesvědčení, že jev nastane [13, 14]. Například, se předpokládá, že jedinec má šanci získat malou sumu peněz D, a že je racionální sázkař. Stupeň přesvědčení jedince o tom, že jev A nastane je p = 0,5, jestliže jedinec je lhostejný k těmto dvěma možnos- tem: (1) získání D, jestliže jev A nastane, a  nic, jestliže nenastane; (2) získání D, jestliže jev A nenastane, a nic, jestliže nastane. Doporučení INC-1 (1980), na základě kterého je tento pokyn sestaven, implicitně přijalo takový názor ohledně pravděpodobnosti, jelikož uvádí výrazy jako je rovnice (E.6), jako vhodný způsob pro výpočet kombinované standardní nejistoty výsledku měření. In contrast to this frequency-based point of view of probability, an equally valid viewpoint is that probability is a measure of the degree of belief that an event will occur [13, 14]. For example, suppose one has a  chance of winning a  small sum of money D and one is a rational bettor. One’s degree of belief in event A occurring is p = 0,5 if one is indifferent to these two betting choices: (1) receiving D if event A occurs but nothing if it does not occur; (2) receiving D if event A does not occur but nothing if it does occur. Recommendation INC-1 (1980) upon which this Guide rests implicitly adopts such a viewpoint of probability since it views expressions such as equation (E.6) as the appropriate way to calculate the combined standard uncertainty of a result of a measurement. E.3.6  Existují tři odlišné předpoklady interpretace pravděpodobnosti sestavené na základě stupně přesvědčení, směrodatné odchylky (standardní nejistoty) a  zákona šíření nejistoty [rovnice (E.3)] jako základ pro vyhodnocování a vyjadřování nejistoty měření, jak je provedeno v tomto pokynu: E.3.6  There are three distinct advantages to adopting an. interpretation of probability based on degree of belief, the standard deviation (standard uncertainty), and the law of propagation of uncertainty [equation (E.3)] as the basis for evaluating and expressing uncertainty in measurement, as has been done in this Guide: a) zákon o  šíření nejistoty dovoluje kombinovanou standardní nejistotu jednoho výsledku bezproblémově začlenit do hodnocení kombinované standardní nejistoty jiného výsledku, ve kterém je první použit; a) the law of propagation of uncertainty allows the combined standard uncertainty of one result to be readily incorporated in the evaluation of the combined standard uncertainty of another result in which the first is used b) kombinovaná standardní nejistota může sloužit jako základ pro výpočet intervalů, které realistickým způsobem odpovídají požadovaným konfidenčním úrovním; a b) he combined standard uncertainty can serve as the basis for calculating intervals that correspond in a realistic way to their required levels of confidence; and c) při hodnocení nejistoty není nutno klasifikovat složky na „náhodné“ nebo „systematické“ (nebo jakýmkoliv jiným způsobem), protože všechny složky nejistoty jsou ošetřeny stejným způsobem. c) it is unnecessary to classify components as “random” or “systematic” (or in any other manner) when evaluating uncertainty because all components of uncertainty are treated in the same way sborníky technické harmonizace 2012 117 Výhoda c) je vysoce ceněná, protože taková kategorizace je často zdrojem zmatků; složka nejistoty není buď „náhodná“ nebo „systematická“. Její povaha je podmíněna způsobem použití odpovídající veličiny, nebo více formálně, souvislostí s tím, jak se veličina objeví v  matematickém modelu, který popisuje měření. Tedy když odpovídající veličiny jsou používány v odlišné souvislosti, „náhodná“ složka se může stát „systematickou“ složkou a naopak. Benefit c) is highly advantageous because such categorization is frequently a source of confusion; an uncertainty component is not either “random” or “systematic.” Its nature is conditioned by the use made of the corresponding quantity, or more formally, by the context in which the quantity appears in the mathematical model that describes the measurement. Thus, when its corresponding quantity is used in a different context, a “random” component may become a “systematic” component, and vice versa. E.3.7  Z důvodu uvedeném v  c), doporučení INC-1 (1980) nerozděluje složky nejistoty na „náhodné“ nebo „systematické“. Ve skutečnosti, pokud se výpočet týká kombinované standardní nejistoty výsledku měření, není třeba klasifikovat složky nejistoty, a  tedy žádná klasifikační schémata nejsou skutečně potřebná. Nicméně, vhodné označení může být někdy užitečné při komunikaci a výkladu názorů, a proto doporučení INC-1 (1980) poskytuje schéma pro klasifikaci obou odlišných metod „A“ a „B“, pomocí kterých složky nejistoty mohou být vyhodnoceny (viz 0.7, 2.3.2 a 2.3.3). E.3.7  For the reason given in c) above, Recommendation INC-1 (1980) does not classify components of uncertainty as either “random” or “systematic”. In fact, as far as the calculation of the combined standard uncertainty of a measurement result is concerned, there is no need to classify uncertainty components and thus no real need for any classificational scheme. Nonetheless, since convenient labels can sometimes be helpful in the communication and discussion of ideas, Recommendation INC-1 (1980) does provide a scheme for classifying the two distinct methods by which uncertainty components may be evaluated, “A” and “B” (see 0.7, 2.3.2, and 2.3.3). Klasifikováním metod použitých při hodnocení složek nejistoty se vyloučí základní problém spojený s klasifikací vlastních složek, jmenovitě závislosti klasifikace složek na tom, jak je příslušná veličina použita. Avšak, klasifikace metod spíše než složek předem nevylučuje seskupení jednotlivých složek vyhodnocených oběma metodami do určených skupin pro zvláštní účel daného měření, například, při porovnávání experimentálně pozorovaném a  teoreticky předpověděném rozptylu výstupních hodnot komplexního systému měření (viz 3.4.3). Classifying the methods used to evaluate uncertainty components avoids the principal problem associated with classifying the components themselves, namely, the dependence of the classification of a component on how the corresponding quantity is used. However, classifying the methods rather than the components does not preclude gathering the individual components evaluated by the two methods into specific groups for a  particular purpose in a  given measurement, for example, when comparing the experimentally observed and theoretically predicted, variability of the output values of a complex measurement system (see 3.4.3). sborníky technické harmonizace 2012 118 E.4 Směrodatné odchylky jako míry nejistoty E.4 Standard deviations as measures of uncertainty E.4.1  Rovnice (E.3) požaduje, aby bez ohledu na to, jak je nejistota odhadu vstupní veličiny získána, byla vyhodnocena jako standardní nejistota, tj. jako odhad směrodatné odchylky. Jestliže je namísto toho vyhodnocena některá „téměř jistá“ alternativa, nemůže být použita v  rovnici (E.3). Zvláště, když „maximální mez chyby“ (největší možná odchylka od domnělého nejlepšího odhadu) je použita v rovnici (E.3), bude výsledná nejistota mít nesprávně určený význam a bude nepoužitelná pro začlenění do následujících výpočtů nejistoty jiných veličin (viz E.3.3). E.4.1  Equation (E.3) requires that no matter how the uncertainty of the estimate of an input quantity is obtained, it must be evaluated as a standard uncertainty, that is, as an estimated standard deviation. If some “safe” alternative is evaluated’ instead, it cannot be used in equation (E.3). In particular, if the “maximum error bound” (the largest conceivable deviation from the putative best estimate) is used in equation (E.3), the resulting uncertainty will have an ill-defined meaning and will be unusable by anyone wishing to incorporate it into subsequent calculations of the uncertainties of other quantities (see E.3.3). E.4.2  Pokud nemůže být vyhodnocena standardní nejistota vstupní veličiny analýzou výsledků vhodného počtu opakovaných pozorování, potom musí být přijato rozdělení pravděpodobnosti a to na základě znalosti, která je mnohem méně rozsáhlá, než by mohlo být žádoucí. Tímto se však rozdělení nestává neplatné nebo nereálné; jako všechna rozdělení pravděpodobností je to vyjádření existující znalosti. E.4.2  When the standard uncertainty of an input quantity cannot be evaluated by an analysis of the results of an adequate number of repeated observations, a  probability distribution must be adopted based on knowledge that is much less extensive than might be desirable. That does not, however, make the distribution invalid or unreal; like all probability distributions it is an expression of what knowledge exists. E.4.3  Hodnocení na základě opakovaných pozorování nejsou nutně lepší, než hodnocení získaná jinými způsoby. Předpokládá se, že ( )s q je výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty n  nezávislých pozorování qk náhodné veličiny q [viz rovnice (5) v  4.2.3]. Veličina ( )s q je statistika (viz C.2.23), která odhaduje ( )qσ , směrodatnou odchylku rozdělení pravěpodobnosti q , která je směrodatná odchylka rozdělení hodnot q , která by se mohla získat při nekonečném počtu opakovaných měření. E.4.3  Evaluations based on repeated observations are not necessarily superior to those obtained by other means. Consider ( )s q , the experimental standard deviation of the mean of n  independent observations qk of a normally distributed random variable q [see equation (5) in 4.2.3]. The quantity ( )s q is a statistic (see C.2.23) that estimates ( )qσ , the standard deviation of the probability distribution of q , that is, the standard deviation of the distribution of the values of q that would be obtained if the measurement were repeated an infinite number of times. Rozptyl [ ]2 ( )s qσ veličiny ( )s q má přibližný tvar The variance [ ]2 ( )s qσ of ( )s q is given, approximately, by [ ]2 2 ( ) ( ) / 2s q qσ σ ν≈ (E.7) sborníky technické harmonizace 2012 119 kde ν  =  n  –  1  je stupeň volnosti ( )s q (viz G.3.3). Tedy, relativní směrodatná odchylka pro ( )s q , která je dána poměrem [ ]( ) / ( )s q qσ σ a která může být brána jako míra relativní nejistoty k  ( )s q , je přibližně [2(n  –  1)]–½ . Tato "nejistota nejistoty" q , která vzniká z čistě statistického důvodu rozsahově omezeného vzorku, může být překvapivě velká; pro n = 10 pozorování je to 24 %. Tyto a další hodnoty jsou uvedeny v tabulce E.1, ze které vyplývá, že směrodatná odchylka statistického odhadu směrodatné odchylky není zanedbatelná pro praktické hodnoty n. where ν = n – 1 is the degrees of freedom of ( )s q (see G.3.3). Thus the relative standard deviation of ( )s q , which is given by the ratio [ ]( ) / ( )s q qσ σ and which can be taken as a measure of the relative uncertainty of ( )s q , is approximately [2(n – 1)]–½ . This “uncertainty of the uncertainty” of q , which arises from the purely statistical reason of limited sampling, can be surprisingly large; for n  = 10 observations it is 24 percent. This and other values are given in table E.1, which shows that the standard deviation of a  statistically estimated standard deviation is not negligible for practical values of n. Z toho se dá vyvodit závěr, že vyhodnocení standardní nejistoty způsobem A nemusí být nutně spolehlivější než vyhodnocení způsobem B, a že v mnoha praktických situacích měření, kde je omezený počet pozorování složky, získané z hodnocení způsobem B, by mohly být lépe známé, než složky získané z hodnocení způsobem A. One may therefore conclude that Type A  evaluations of standard uncertainty are not necessarily more reliable than Type B  evaluations, and that in many practical measurement situations where the number of observations is limited, the components obtained from Type B evaluations may be better known than the components obtained from Type A evaluations. sborníky technické harmonizace 2012 120 Tabulka E.1 – [ ]( ) / ( )s q qσ σ směrodatná odchylka výběrové směrodatné odchylky průměru q , n nezávislých pozorování z normálního rozdělení náhodné veličiny q, v poměru k směrodatné odchylce(a) (b) Table E.1 – [ ]( ) / ( )s q qσ σ , the standard deviation of the experimental standard deviation of the mean q of n independent observations of a normally distributed random variable q, relative to the standard deviation of that mean(a) (b) Počet pozorování n Number of observations n [ ] )(/)( qqs σσ   (%) 2 76 3 52 4 42 5 36 10 24 20 16 30 13 50 10 (a) Hodnota daná výpočtem z exaktního výrazu pro [ ] )(/)( qqs σσ , ne přibližným výrazem [2(n − 1)]−1/2 . (a) The values given have been calculated from the exact expression for [ ] )(/)( qqs σσ , not the approximate expression [2(n − 1)]−1/2 . (b) Ve výrazu [ ] )(/)( qqs σσ , je jmenovatel )(qσ předpokládán jako /E S n    a čitatel ( )s qσ    je druhá mocnina odchylky V SI n    kde S značí různé proměnné rovnice při normálním rozdělení z n nezávisle náhodných proměnných X1 , ..., Xn , které mají každá normální rozdělení se střední hodnotou μ a rozptylem σ2 . ( ) ∑∑ == == n i i n i i X n XXX n S 1 2 1 1 1 1 ,– – Předpoklad a odchylka od S jsou dány: [ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ]22 21 2 1 2 SESV n n n SE –, /– / – σσ = Γ Γ = Kde Γ(x) je funkce gama(strmosti). Je třeba si všimnout, že E [S] < σ pro konečný počet n. (b) In the expression [ ] )(/)( qqs σσ , the denominator )(qσ is the expectation E SI n    and the numerator ( )s qσ    is the square root of the variance V SI n    where S denotes a random variable equal to the standard deviation of n independent random variables X1 , ..., Xn , each having a normal distribution with mean value µ and variance σ2 . ( ) ∑∑ == == n i i n i i X n XXX n S 1 2 1 1 1 1 ,– – The expectation and variance of S are given by: [ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ]22 21 2 1 2 SESV n n n SE –, /– / – σσ = Γ Γ = where Γ (x) is the gamma function. Note that E[S] < σ for a finite number n. sborníky technické harmonizace 2012 121 E.4.4  Je argumentováno, že zatímco nejistoty spojené s aplikací určité metody měření jsou statistické parametry charakterizující náhodné veličiny, existují případy „pravých systematických vlivů“, jejichž nejistoty musí být zpracované odlišným způsobem. Například vyrovnání (posun) s  neznámou neměnnou hodnotou, která je stejná při každém určení pomocí metody a  je způsobená možnou nedokonalostí samotného principu této metody nebo jedním z  jejich důležitých předpokladů. Ale jestliže je předpoklad, aby bylo uznáno, že takové vyrovnání existuje a jeho hodnota je významná, pak může být popsáno rozdělením pravděpodobnosti, avšak jednoduše sestaveno na základě znalosti, která vede k  závěru, že by mohlo existovat a být významné. Tedy, jestli pravděpodobnost je považována za míru stupně přesvědčení, že určitý jev nastane, pak příspěvek tohoto systematického vlivu může být zahrnut do kombinované standardní nejistoty výsledku měření pomocí jeho hodnocení, jako standardní nejistoty apriorního rozdělení pravděpodobnosti a jeho zpracování stejným způsobem, jako kterékoliv standardní nejistoty vstupní veličiny. E.4.4  It has been argued that, whereas the uncertainties associated with the application of a particular method of measurement are statistical parameters characterizing random variables, there are instances of a “truly systematic effect” whose uncertainty must be treated differently. An example is an offset having an unknown fixed value that is the same for every determination by the method due to a possible imperfection in the very principle of the method itself or one of its underlying assumptions. But if the possibility of such an offset is acknowledged to exist and its magnitude is believed to be possibly significant, then it can be described by a probability distribution, however simply constructed, based on the knowledge that led to the conclusion that it could exist and be significant. Thus, if one considers probability to be a measure of the degree of belief than an event will occur, the contribution of such a systematic effect can be included in the combined standard uncertainty of a measurement result by evaluating it as a  standard uncertainty of an a priori probability distribution and treating it in, the same manner as any other standard uncertainty of an input quantity. PŘÍKLAD  Specifikace postupu měření vyžaduje, aby určitá vstupní veličina byla vypočítána z určitého rozvoje matematické řady, jejíž členy vyššího řádu nejsou přesně známy. Systematický vliv, který vychází z neschopnosti přesně zpracovat tyto členy, vede k neznámé neměnné trvalé odchylce, kterou není možné experimentálně vzorkovat opakováním postupu. Tedy nejistota, spojená s tímto vlivem, nemůže být vyhodnocena a zahrnuta do nejistoty konečného výsledku měření a to tehdy, jestliže je důsledně dodrženo vysvětlení pojmu pravděpodobnosti na základě četnosti. Avšak vysvětlení pojmu pravděpodobnosti na základě stupně přesvědčení dovoluje, aby nejistota charakterizující vliv byla vyhodnocena z apriorního rozdělení pravděpodobnosti (odvozeného z  dostupných znalostí, týkajících se nepřesně známých členů), a  aby byla zahrnuta do kombinované standardní nejistoty výsledku měření, jako kterékoliv další nejistoty. EXAMPLE  The specification of a particular measurement procedure requires that a certain input quantity be calculated from a specific power-series expansion whose higherorder terms are inexactly known. The systematic effect due to not being able to treat these terms exactly leads to an unknown fixed offset that cannot be experimentally sampled by repetitions of the procedure. Thus the uncertainty associated with the effect cannot be evaluated and included in the uncertainty of the final measurement result if a frequency-based interpretation of probability is strictly followed. However, interpreting probability on the basis of degree of belief allows the uncertainty characterizing the effect to be evaluated from an a priori probability distribution (derived from the available knowledge concerning the inexactly known terms) and to be included in the calculation of the combined standard uncertainty of the measurement result like any other uncertainty. sborníky technické harmonizace 2012 122 E.5  Porovnání dvou pohledů na nejistotu E.5 A comparison of two views of uncertainty E.5.1  Zaměření tohoto pokynu je více na výsledky měření a jejich vyhodnocené nejistoty než na „pravé“ hodnoty neznámých veličin a  chyb (viz příloha D). Na základě provozního pohledu, že výsledek měření je jednoduše přisuzován měřené veličině, a že nejistota tohoto výsledku je míra rozptýlení hodnot, které by mohly být odůvodnitelně přisuzovány měřené veličině, teno pokyn rozděluje často zavádějící spojení mezi nejistotou a „pravou“ hodnotou neznámé veličiny a chyby. E.5.1  The focus of this Guide is on the measurement result and its evaluated uncertainty rather than on the unknowable quantities “true” value and error (see annex D). By taking the operational views that the result of a  measurement is simply the value attributed to the measurand and that the uncertainty of that result is a measure of the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand, this Guide in effect uncouples the often confusing connection between uncertainty and the unknowable quantities “true” value and error. E.5.2  Toto spojení může být pochopeno vysvětlením odvození rovnice (E.3), zákona o šíření nejistoty, z pohledu „pravé“ hodnoty a chyby. V tomto případě µi je ukázáno jako neznámá, „pravá“ hodnota vstupní veličiny wi a o každé wi se předpokládá, že je v poměru k její „pravé“ hodnotě µi podle wi  = µi  + εi , kde εi je chyba wi . Střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti každé εi se předpokládá nulová, E(εi ) = 0, s rozptylem 2 2 ( )i iE ε σ= . Rovnice (E.1) se stává po- tom E.5.2  This connection may be understood by interpreting the derivation of equation (E.3), the law of propagation of uncertainty, from the standpoint of “true” value and error. In this case µi is viewed as the unknown, unique “true” value of input quantity wi and each wi is assumed to be related to its “true” value µi by wi = µi + εi , where εi is the error in wi . The expectation of the probability distribution of each;  is assumed to be zero, E(εi ) = 0, with variance 2 2 ( )i iE ε σ= . Equation (E.1) becomes then 1 N z i i i f w ε ε = ∂ = ∂ ∑ (E.8) kde εz  = z – µz je chyba z a µz je “pravá” hodnota z. Jestliže se pak vezme očekávaná střední hodnota druhé mocniny εz , získáme rovnici identickou k rovnici (E.3), ale ve které 2 2 ( )z zEσ ε= je rozptyl pro εz  a ρij  = v(εi , εj )/ ( 2 2 i jσ σ )½ je korelační koeficient pro εi a  εj , kde v(εi ,  εj )  =  E(εi εj ) je kovariance εi a  εj . Rozptyl a  korelační koeficienty jsou tak spojovány spíše s chybami vstupních veličin než samotnými vstupními veličinami. where εz = z – µz is the error in z and µz is the “true” value of z. If one then takes the expectation of the square of εz , one obtains an equation identical in form to equation (E3) but in which 2 2 ( )z zEσ ε= is the variance of εz and ρij = v(εi  εj )/( 2 2 i jσ σ )½ is the correlation coefficient of εi and εj , where v(εi , εj ) = E(εi εj ) is the covariance of εi and εj . The variances and correlation coefficients are thus associated, with the errors of the input quantities rather than with the input quantities themselves. sborníky technické harmonizace 2012 123 POZNÁMKA  Předpokládá se, že pravděpodobnost je brána jako míra stupně přesvědčení, že nějaký jev nastane, což také znamená, že systematická chyba má být zpracována stejným způsobem, jako náhodná chyba a že εi vyjadřuje oba druhy. NOTE  It is assumed that probability is viewed as a  measure of the degree of belief that an event will occur, implying that a systematic error may. be treated in the same way as a random error and that εi represents either kind. E.5.3  V praxi rozdíl v pohledu nevede k roz- díluv číselné hodnotě výsledku měření nebo nejistoty spojené s výsledkem. E.5.3  In practice, the difference in point of view does not lead to a difference in the numerical value of the measurement result or of the uncertainty assigned to that result. Za prvé, v obou případech, nejlepší dostupné odhady vstupních veličin wi jsou používány k získání nejlepšího odhadu z a to z funkce f. Přitom při výpočtu není žádný rozdíl, jestliže nejlepší odhady jsou uvedeny jako hodnoty, které jsou s největší pravděpodobností přisuzovány příslušné měřené veličině nebo nejlepším odhadům jejich „pravých“ hodnot. First, in both cases, the best available estimates of the input quantities wi are used to obtain the best estimate of z from the function f; it makes no difference in the calculations if the best estimates are viewed as the values most likely to be attributed to the quantities in question or the best estimates of their “true” values. Za druhé, protože εi  = wi  – µi , představuje jednoznačně stálé hodnoty a nemají žádnou nejistotu, rozptyly a  směrodatné odchylky εi a wi jsou identické. To znamená, že v obou případech standardní nejistoty použité jako odhady směrodatných odchylek σi k získání kombinované standardní nejistoty výsledku měření jsou identické a vedou ke stejné číselné hodnotě této nejistoty. Dále, nejsou žádné rozdíly ve výpočtech, jestliže standardní nejistota je znázorněná jako míra rozptýlení rozdělení pravděpodobnosti vstupní veličiny nebo jako míra rozptýlení rozdělení pravděpodobnosti chyby této veličiny. Second, because εi = wi  – µi , and because the represent unique, fixed values and hence have no uncertainty, the variances and standard deviations of the εi and wi are identical. This means that in both cases, the standard uncertainties used as the estimates of the standard deviations σi to obtain the combined standard uticertainty of the measurement result are identical and will yield the sme numerical value for that uncertainty. Again, it makes no difference in the calculations if a standard uncertainty is viewed as a measure of the dispersion of the probability distribution of an input quantity or as a measure of the dispersion of the probability distribution of the error of that quantity. POZNÁMKA  Jestliže nebyl splněn předpoklad poznámky z E.5.2, potom text tohoto článku není použitelný, pokud všechny odhady vstupních veličin a nejistoty těchto odhadů nebyly získány ze statistické analýzy opakovaných pozorování, tj. z hodnocení způsobem A. NOTE  If the assumption of the note of E.5.2 had not been cmade, then the discussion of this subclause would not apply unless all of the estimates of the input quantities and the uncertainties of those estimates were obtained from the statistical analysis of repeated observations, that is, from Type A evaluations. sborníky technické harmonizace 2012 124 E.5.4  Přístup založený na „pravé“ hodnotě a chybě poskytuje stejné číselné výsledky jako přístup převzatý tímto pokynem (poskytnutý, na základě předpokladu poznámky k E.5.2), neboť pojem nejistoty z tomto pokynu eliminuje záměnu mezi chybou a  nejistotou (viz příloha D). Provozní přístup tohoto pokynu, který je zaměřen na pozorovanou (nebo odhadnutou) hodnotu veličiny a  pozorovaný (nebo odhadnutý) rozptyl této hodnoty, ponechává jakoukoliv zmínku o chybě zcela nepodstatnou. E.5.4  While the approach based on “true” value and error yields the same numerical results as the approach taken in this Guide (provided that the assumption of the note of E.5.2 is made), this Guide’s concept of uncertainty eliminates the confusion between error and uncertainty (see annex D). Indeed, this Guide’s operational approach, wherein the focus is on the observed (or estimated) value of a  quantity and the observed (or estimated) variability of that value, makes any mention of error entirely unnecessary. sborníky technické harmonizace 2012 125 Příloha F Annex F Praktický návod na hodnocení složek nejistoty Practical guidance on evaluating uncertainty components Tato příloha poskytuje doplňující návrhy, hlavně praktické povahy, pro hodnocení složek nejistoty, které doplňují návrhy již uvedené v části 4. This annex gives additional suggestions for evaluating uncertainty components, mainly of a practical nature, that are intended to complement the suggestions already given in clause 4. F.1 Složky hodnocené z opakovaných pozorování: vyhodnocení standardní nejistoty způsobem A F.1 Components evaluated from repeated observations: Type A  evaluation of standard uncertainty F.1.1  Nahodilost a opakovaná pozorování F.1.1 Randomness and repeated observations F.1.1.1  Nejistoty určené z  opakovaných pozorování jsou často proti těm, které byly hodnoceny jinými metodami, uváděny jako „objektivní“, „statisticky přesné“, atd. To vede k nesprávnému závěru, že mohou být hodnoceny pouze na základě použití statistických vzorců vztažených na dané pozorování a nevyžadují použití žádných úsudků. F.1.1.1  Uncertainties determined from repeated observations are often contrasted with those evaluated by other means as being “objective”, “statistically rigorous”, etc. That incorrectly implies that they can be evaluated merely by the application of statistical formulae to the observations and that their evaluation does not require the application of some judgement. F.1.1.2  Za prvé je třeba se ptát: „Do jaké míry opakovaná pozorování jsou úplně nezávislým opakováním postupu měření?“ Jestliže všechna pozorování jsou na jediném vzorku a jestli vzorkování je součástí postupu měření, protože měřená veličina je materiálovou vlastností (jako protiklad vlastnosti materiálu daného vzorku), pak pozorování nemohou být nezávisle opakována. Hodnocení složky rozptylu, vznikající z možných rozdílností mezi vzorky, musí být přičteno k pozorovanému rozptylu opakovaných pozorování provedených na jediném vzorku. F.1.1.2  It must first be asked, “To what extent are the repeated observations completely independent repetitions of the measurement procedure?” If all of the observations are on a  single sample, and if sampling is part of the measurement procedure because the measurand is, the property of a material (as opposed to the property of a given specimen of the material), then the observations have not been independently repeated; an evaluation of a component of variance arising from possible differences among samples must be added to the observed variance of the repeated observations made on the single sample. Jestliže vynulování přístroje je součástí postupu měření, pak přístroj by měl být znovu vynulován jako součást každého opakování, i když během doby, ve které jsou pozorování prováděna dochází k nevýznamnému posunu, protože existuje potenciální a  statisticky určitelná nejistota související s vynulováním. If zeroing an instrument is part of the measurement procedure, the instrument ought to be rezeroed as part of every repetition, even if there is negligible drift, during the period in which observations are made, for there is potentially a  statistically determinable uncertainty attributable to zeroing. sborníky technické harmonizace 2012 126 Podobně, jestliže má být proveden odečet barometru, pak musí v zásadě být proveden při každém opakování měření (lépe po jeho přerušení a povolení, aby se vrátil do stavu rovnováhy), protože může být odchylka nejen v indikaci, ale i ve čtení, i když barometrický tlak je stabilní. Similarly, if a barometer has to be read, it should in principle be read for each repetition of the measurement (preferably after disturbing it and allowing it to return to equilibrium), for there may be a variation both in indication, and in reading, even if the barometric pressure is constant. F.1.1.3  Za druhé je třeba se ptát, jestli všechny vlivy, o kterých se předpokládá, že jsou náhodné, jsou opravdu náhodné. Jsou střední hodnoty a rozptyly jejich rozdělení konstantní nebo snad existuje posun hodnot neměřitelné ovlivňující veličiny během doby opakování pozorování? Jestliže je dostatečný počet pozorování, tak aritmetické průměry výsledků první a  druhé poloviny doby měření a jejich výběrových směrodatných odchylek mají být vypočítány a  oba průměry porovnány mezi sebou a to k posouzení, zda rozdíl mezi nimi je statisticky významný a tedy zda existuje vliv, který se mění v závislosti na čase. F.1.1.3  Second, it must be asked whether all of the influences that are assumed to be random really are random. Are the means and variances of their distributions constant, or is there perhaps a drift in the value of an unmeasured influence quantity during the period of repeated observations? If there is a  sufficient number of observations, the arithmetic means of the results of the first and second halves of the period and their experimental standard deviations may be calculated and the two means compared with each other in order to judge whether the difference between them is statistically significant and thus if there is an effect varying with time. F.1.1.4  Jestliže hodnoty „veřejné služby“ v  laboratoři (napětí a  frekvence dodávky elektrické energie, tlak a teplota vody, tlak dusíku, atd.) jsou ovlivňující veličiny, pak běžně existuje silný nenáhodný prvek v jejich kolísání, který nemůže být přehlédnut. F.1.1.4  If the values of “common services” in the laboratory (electric-supply voltage and frequency, water pressure and temperature, nitrogen pressure, etc.) are influence quantities, there is normally a strongly nonrandom element in their variations that cannot be overlooked. F.1.1.5  Jestliže nejnižší významná číslice digitálního zobrazení se trvale mění během pozorování v  důsledku „šumu“, pak je někdy obtížné vybrat nepoznatelnou osobně preferovanou hodnotu této číslice. Je lepší zobrazení nějakým způsobem na malou chvíli zmrazit a zapisovat zmrazený výsledek. F.1.1.5  If the least significant figure of a digital indication varies continually during an observation due to “noise”, it is sometimes difficult not to select unknowingly personally preferred values of that digit. It is better to arrange some means of freezing the indication at an arbitrary instant and recording the frozen result. F.1.2  Korelace F.1.2  Correlations Mnoho aspektů vysvětlených v tomto článku platí také pro hodnocení standardní nejistoty způsobem B. Much of the discussion in this subclause ‘is also applicable to Type B evaluations of standard uncertainty. F.1.2.1  Kovariance příslušná k  odhadům dvou vstupních veličin Xi a Xj může být brána jako nulová nebo považována za nevýznamnou, jestliže F.1.2.1  The covariance associated with the estimates of two input quantities Xi and Xj may be taken to be zero or treated as insignificant if sborníky technické harmonizace 2012 127 a) Xi a  Xj jsou nekorelované, (náhodné veličiny, nefyzikální veličiny, o  kterých se přepokládá, že jsou neměnné  – viz 4.1.1, poznámka 1) například, protože byly opakovány, ale neměřeny současně v  odlišných nezávislých experimentech, nebo protože vyjadřují výsledné veličiny různě vyhodnocené a  tak byly zjištěny nezávisle nebo a) Xi and Xj are uncorrelated (the random variables, not the physical quantities that are assumed to be invariants – see 4.1.1, note 1), for example, because they have been repeatedly but not simultaneously measured in different independent experiments or because they represent resultant quantities of different evaluations that have been made independently, or if b) jedna z veličin Xi a Xj může být považována za konstantní nebo b) either of the quantities Xi or Xj can be treated as a constant, or if c) informace k  hodnocení kovariance spojené s  odhady veličin Xi a  Xj jsou nedostatečné. c) there is insufficient information to evaluate the covariance associated with the estimates of Xi and Xj . POZNÁMKY NOTES 1 Na druhé straně, v určitých případech, jako je příklad referenčního odporu v poznámce 1 k 5.2.2, je zřejmé, že vstupní veličiny jsou zcela korelované a standardní nejistoty jejich odhadů se lineárně spojují. 1 On the other hand, in certain cases, such as the reference-resistance example of note 1 to 5.2.2, it is apparent that the input quantities are fully correlated and that the standard uncertainties of their estimates combine linearly. 2 Jiné experimenty také nemusí být navzájem nezávislé, jestliže je například pokaždé použit stejný přístroj (viz F.1.2.3) 2 Different experiments may not be independent if, for example, the same instrument is used in each (see F.1.2.3). F.1.2.2  Jestliže dvě opakovaně a současně pozorované vstupní veličiny jsou nebo nejsou korelovány, je dovoleno je určit pomocí rovnice (17) v 5.2.3. Například, jestliže kmitočet oscilátoru je vstupní veličinou a  z důvodu teploty je nekompenzovaný nebo špatně kompenzovaný a jestli okolní teplota je také vstupní veličinou a obě jsou sledovány současně, může existovat významná korelace odhalená vypočtenou kovariancí mezi kmitočtem oscilátoru a okolní teplotou. F.1.2.2  Whetherornottworepeatedlyandsimultaneously observed input quantities are correlated may be determined by means of equation (17) in 5.2.3. For example, if the frequency of an oscillator uncompensated or poorly compensated for temperature is an input quantity, if ambient temperature is also an input quantity, and if they are observed simultaneously, there may be a  significant correlation revealed by the calculated covariance of the frequency of the oscillator and the ambient temperature. sborníky technické harmonizace 2012 128 F.1.2.3  V praxi jsou vstupní veličiny často korelovány, protože stejné fyzikální etalony měření, měřicí přístroje, referenční data nebo dokonce metoda měření, mající významnou nejistotu, jsou používány při odhadu jejich hodnot. Bez omezení obecnosti lze předpokládat, že dvě vstupní veličiny X1 a  X2 , odhadnuté pomocí x1 a  x2 , závisí na množině nekorelovaných proměnných Q1 , Q2 , ..., QL . Tedy X1 = F(Q1 , Q2 , ..., QL ) a X2 = G(Q1 , Q2 , ..., QL ), i když některé tyto proměnné se aktuálně mohou objevit jen v jedné funkci a ne ve druhé. Jestli u2 (ql ) je odhad rozptylu spojený s odhadem ql pro Ql  , pak odhadnutý rozptyl spojený s  x1 je z rovnice (10) v 5.1.2 F.1.2.3  In practice, input quantities are often correlated because the same physical measurement standard, ‘measuring instrument, reference datum, or even measurement method having a  significant uncertainty is used, in the estimation of their values. Without loss of generality, suppose two input quantities X1 and X2 estimated by x1 and x2 depend on a set of uncorrelated variables Q1 , Q2 , ..., QL . Thus X1 = F(Q1 , Q2 , ..., QL ) and X2 = G(Q1 , Q2 , ..., QL ), although some of these variables may actually appear only in one function and not in the other. If u2 (ql ) is the estimated variance associated with the estimate ql of Ql  , then the estimated variance associated with x1 is, from equation (10) in 5.1.2, 2 2 2 1 1 ( ) ( ) L l l l F u x u q q=  ∂ =   ∂  ∑ (F.1) a se stejným výrazem pro u2 (x2 ). Odhadnutá kovariance spojená s x1 a x2 je dána rovnicí with a similar expression for u2 (x2 ). The estimated covariance associated with x1 and x2 is given by 2 1 2 1 ( , ) ( ) L l l l l F G u x x u q q q= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ (F.2) Protože pouze tyto členy, pro které ∂F/∂ql  ≠ 0 a ∂G/∂ql  ≠ 0 přispívají pro dané l k součtu, je kovariance nulová, jestliže žádná proměnná není společná oběma F a G. Because only those terms for which ∂F/∂ql ≠ 0 and ∂G/∂ql ≠ 0 for a given l contribute to the sum, the covariance is zero if no variable is common to both F and G. Odhad korelačních koeficientů r(x1 , x2 ) spojených se dvěma odhady x1 a  x2 je učen z u(x1 , x2 ) [rovnice (F.2)] a rovnicí (14) v  5.2.2, s  u(x1 ) vypočteným z  rovnice (F.1) a s u(x2 ) ze stejného výrazu. [Viz také rovnice (H.9) v H.2.3]. Tento postup je možné uplatnit pro odhadnutou kovarianci, spojenou se dvěma odhady vstupních veličin a získat jak statistickou složku [viz rovnice (17) v 5.2.3], tak složku vzniklou, jak bylo vysvětleno v tomto článku. The estimated correlation coefficient r(x1 , x2 ) associated with the two estimates x1 and x2 is determined from u(x1 , x2 ) [equation (F.2)] and equation (14) in 5.2.2, with u(x1 ) calculated from equation (F.1) and u(x2 ) from a similar expression. [See also equation (H.9) in H.2.3]. It is also possible for the estimated covariance associated with two input estimates to have both a statistical component [see equation (17) in 5.2.3] and a  component arising as discussed in this subclause. sborníky technické harmonizace 2012 129 PŘÍKLADY EXAMPLES 1 Etalonový rezistor Rs je používán ve stejném měření k určení proudu I i teploty t. Hodnota proudu je určená digitálním voltmetrem měřením potenciálního rozdílu na svorkách etalonu; teplota je určená měřením přes odporový můstek a etalon, odpor Rt (t) kalibrovaného teplotně odporového čidla, jehož vztah teplota-odpor v rozsahu 15 °C ≤ t ≤ 30 °C je 2 0( )tt aR t t= − , kde a a t0 jsou známé konstanty. Tedy proud je určený ze vztahu I = Vs /Rs a teplota ze vztahu 2 2 0( ) St t R tαβ= − , kde β(t) je poměr Rt (t)/Rs měřený můstkem. 1 A standard resistor RS is used in the same measurement to determine both a current I and a temperature t. The current is determined by measuring, with a digital voltmeter, the potential difference across the terminals of the standard; the temperature is determined by measuring, with a  resistance bridge and the standard, the resistance Rt (t) of a calibrated resistive temperature sensor whose temperature-resistance relation in the range 15 °C ≤  t ≤  30 °C is 2 0( )tt aR t t= − , where a  and t0 are known constants. Thus the current is determined through the relation I = VS /RS and the temperature through the relation 2 2 0( ) St t R tαβ= − , where β(t) is the measured ratio Rt (t)/RS provided by the bridge. Jelikož pouze veličina Rs je společná pro výrazy I a t, rovnice (F.2) poskytuje kovariance I a t Since only the quantity RS is common to the expression for I and t, equation (F.2) yields for the covariance of I and t 2 2 2 20 2 2 2 ( , ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )s s s s s s s s S V t tI t u I t u R t R u R u R R R R R αβ   +∂ ∂  ==− =−   ∂ ∂   (Pro zjednodušení zápisu v tomto příkladu jsou použita stejná označení pro vstupní veličinu i její odhad.) (For simplicity of notation, in this example the same symbol is used for both the input quantity and its estimate) Číselná hodnota kovariance je získána nahrazením číselných hodnot měřených veličin I a t a hodnot RS a u(RS ) získaných z kalibračního certifikátu etalonu resistoru, v tomto výrazu. Jednotka u(I, t) je jasně A·°C, jelikož rozměr relativního rozptylu [u(RS )/RS ]2 je jedna (to je takzvaná „bezrozměrná“ veličina). To obtain the numerical value of the covariance, one substitutes into this expression the numerical values of the measured quantities l and t. and the values, of RS and u(RS ) given in the standard resistor’s calibration certificate. The unit of u(I, t) is clearly A·°C since the dimension of the relative variance. [u(RS )/ RS ]2 is one (that is, the latter is a so-called dimensionless quantity). Dále se předpokládá, že veličina P je souvztažná ke vstupním veličinám I a t pomocí P = C0 I2 /(T0 + t), kde C0 a T0 jsou známé konstanty mající zanedbatelné nejistoty [u2 (C0 ) ≈ 0, u2 (T0 ) ≈ 0]. Rovnice (13) v 5.2.2 tedy poskytuje pro rozptyl P vyjádření pomocí rozptylů I a t a jejich kovariance Further, let a quantity P be related to the input quantities l and t by P = C0 I2 /(T0 + t), where C0 and T0 are known constants with negligible uncertainties [u2 (C0 ) ≈ 0, u2 (T0 ) ≈ 0]. Equation (13) in 5:2.2 then yields for the variance of P in terms of the variances of I and t and their covariance 2 0 2 0 2 2 2 2 )( )( )( )( 4 )( 4 )( tT tu tTI t,u I u P Pu + + + −= II Rozptyly u2 (I) a u2 (t) jsou získány pomocí rovnice (10) v 5.1.2 aplikací vztahů I = Vs /Rs a  2 2 S 0( )t t R tαβ= − . Výsledky jsou The variances u2 (I) and u2 (t) are obtained by the application of equation (10) of 5.1.2 to the relations I = VS /RS and 2 2 S 0( )t t R tαβ= − . The results are 22 )( I/u I 2222 SSSS /)(/)( RRuVVu += 222 0 222 0 2 44 SS /)()(/)()()( RRuttutttu +++= ββ sborníky technické harmonizace 2012 130 kde se pro zjednodušení předpokládá, že nejistoty konstant t0 a  a jsou také zanedbatelné. Tyto výrazy mohou být jednoduše vyhodnoceny, jelikož u2 (VS ) a  u2 (β) mohou být určené z  opakovaných odečtů voltmetru a z odporového můstku. Samozřejmě, jakékoliv vlastní nejistoty samotného přístroje a  použitého postupu měření musí být také brány v úvahu při určení u2 (VS ) a u2 (β). where for simplicity it is assumed that the uncertainties of the constants t0 and a are also negligible. These expressions can be readily evaluated since u2 (VS ) and u2 (β) may be determined, respectively, from the repeated readings of the voltmeter and of the resistance bridge. Of course, any uncertainties inherent in the instruments themselves and in the measurement’ procedures employed must also be taken into account when u2 (VS ) and u2 (β) are determined. 2 V příkladu poznámky 1 v 5.2.2, je kalibrace všech rezistorů znázorněná pomocí Ri   =  αi RS , přičemž u(αi ), standardní nejistota měřeného podílu αI , je získána z  opakovaných pozorování. Jestliže se dále předpokládá, že αi  ≈ 1 pro každý rezistor a u(αi ) je v podstatě stejná pro každou kalibraci a tedy u(αi ) ≈ u(α). Potom rovnice (F.1) a (F.2) poskytují u2 (Ri ) =  )(S α22 uR + u2 (RS ) a u(Ri , Rj ) = u2 (RS ). To, přes rovnici (14) v 5.2.2, nutně vede k závěru, že korelační koeficient jakýchkoliv dvou rezistorů (i ≠ j) je 2 In the example of note 1  to 5.2.2, let the calibration of each resistor be represented by Ri =  αi RS , with u(αi ) the standard uncertainty of the measured ratio αi as obtained from repeated observations. Further, let αi ≈ 1 for each resistor, and let u(αi ) be essentially the same for each calibration so that u(αi ) ≈ u(α). Then equations (F.1) and (F.2) yield u2 (Ri ) =  )(S α22 uR + u2 (RS ) and u(Ri , Rj ) = u2 (RS ). This implies through equation (14) in 5.2.2 that the correlation coefficient of any two resistors (i ≠ j) is 1 2 ( ) ( , ) 1 ( ) / i j ij s s u r R R r u R R α −     ≡ = +       Pokud u(RS )/RS  = 10–4 , a když je u(α) = 100 x 10–6 , platí rij  ≈ 0,5; pro u(α) = 10 x 10–6 platí rij  ≈ 0,990; a pro u(α) = 1 x 10–6 platí rij  ≈ 1,000. Pak u(α) → 0, rij → 1 a u(Ri ) → u(RS ). Since u(RS )/RS  = 10–4 , If u(α) = 10 x 10–6 , rij  ≈ 0,5; if u(α)= 10 x 10–6 , rij  ≈ 0,990; and if u(α) = 1 x 10–6 , rij  ≈1,000. Thus as u(α) → 0, rij → 1 and u(Ri ) → u(RS ) POZNÁMKA  Obecně, při porovnatelných kalibracích jako v tomto příkladu, odhadnuté hodnoty kalibrovaných položek jsou korelovány a  to se stupněm korelace závislým na poměru nejistoty porovnávané položky k nejistotě referenčního etalonu. Když nejistota porovnávané položky je zanedbatelná ve srovnání s nejistotou etalonu, jak se často v praxi stává, korelační koeficienty se rovnají +1 a nejistota každé kalibrované položky je stejná jako nejistota etalonu. NOTE  In general, in comparison calibrations such as this example, the estimated values of the calibrated items are correlated, with the degree of correlation depending upon the ratio of the uncertainty of the comparison to the uncertainty of the reference standard. When, as often occurs in practice, the uncertainty of the comparison is negligible with respect to the uncertainty of the standard, the correlation coefficients are equal to +  1 and the uncertainty of each calibrated item is the same as that of the standard. sborníky technické harmonizace 2012 131 F.1.2.4  Nutnost uvádění kovariance u(xi , xj ) je možné vyčlenit, jestliže původní množina vstupních veličin X1 , X2 ,  ...,  XN , na kterých je měřená veličina Y závislá [viz rovnice (1) v 4.1], je definována takovým způsobem, že zahrnuje dodatečné nezávislé vstupní veličiny; tyto veličiny Ql jsou společné pro dvě nebo více původních veličin Xi . (Provádění dodatečného měření může být důležité pro úplné nastolení vztahu mezi Ql a ovlivněnými Xi .) Nicméně, v některých situacích, je dovoleno jako mnohem vhodnější udržet kovariance než zvýšit počet vstupních veličin. Podobný postup může být aplikován na pozorované kovariance současně opakovaných pozorování [viz rovnice (17) v 5.2.3], ale identifikace vhodné dodatečné vstupní veličiny je často prováděná jen ad hoc a ne- fyzikálně. F.1.2.4  The need to introduce the covariance u(xi , xj ) can be bypassed if the original set of input quantities X1 , X2 ,  ...,  XN upon which the measurand Y depends [see equation (1) in 4.1] is redefined in such a way as to include as additional independent input quantities those quantities Ql that are common to two or more of the original Xi . (It may be necessary to perform additional measurements to establish fully the relationship between Ql and the affected Xi .) Nonetheless, in some situations it may be more convenient to retain covariances rather than to increase the number of input quantities. A  similar process can be carried out on the observed covariances of simultaneous repeated observations [see equation (17) in 5.2.3], but the identification of the appropriate additional input quantities is often ad hoc and nonphysical PŘÍKLAD  Jestliže, v příkladu 1 v F.1.2.3, jsou výrazy pro I a t zahrnuté pomocí Rs do výrazu pro P, pak výsledek je EXAMPLE  If, in example 1 of F.1.2.3, the expressions for I and t in terms of RS are introduced into the expression for P, the result is 2 0 S 2 2 2 S 0 S 0[ ( ) ] C V P R T t R tαβ = + − a korelaci mezi I  a  t  se vyhne na úkor nahrazení vstupních veličin I a t veličinami Vs , Rs a β. Jelikož tyto veličiny jsou nekorelované, rozptyl P může být získán pomocí rovnice (10) v 5.1.2. and the correlation between I and t is avoided at the expense of replacing the input quantities I and t with the quantities VS , RS , and β. Since these quantities are uncorrelated, the variance of P can be obtained from equation (10) in 5.1.2. sborníky technické harmonizace 2012 132 F.2 Složky hodnocené jinými způsoby: vyhodnocení standardní nejistoty způsobem B F.2 Componentsevaluatedbyothermeans: Type B  evaluation of standard uncer- tainty F.2.1  Potřeba hodnocení způsobem B F.2.1  The need for Type B evaluations Pokud by laboratoř měření měla neomezený čas a prostředky, tak by mohla provádět vyčerpávající statistický průzkum pro téměř všechny případné příčiny nejistoty, například používáním různě vyráběných a  různých druhů přístrojů, různých metod měření, různých aplikací metody, různých aproximací ve vlastních teoretických modelech měření. Nejistoty spojené se všemi těmito příčinami by mohly být vyhodnocené pomocí statistické analýzy řad pozorování a nejistota každé příčiny by mohla být charakterizována pomocí statisticky vyhodnocené směrodatné odchylky. Jinými slovy, všechny složky nejistoty by mohly být získány z hodnocení způsobem A. Jelikož takový průzkum není prakticky hospodárný, mnoho složek nejistoty musí být hodnoceno jakýmkoliv jiným praktickým způsobem. If a  measurement laboratory had limitless time and resources, it could conduct an exhaustive statistical investigation of every conceivable cause of uncertainty, for example, by using many different makes and kinds of instruments, different methods of measurement, different applications of the method, and different approximations in its theoretical models of the measurement. The uncertainties associated with all of these causes could then be evaluated by the statistical analysis of series of observations and the uncertainty of each cause would be characterized by a statistically evaluated standard deviation. In other words, all of the uncertainty components would be obtained from Type A evaluations. Since such an investigation is not an economic practicality, many uncertainty components must be evaluated by whateverother means is practical. F.2.2  Matematicky určené rozdělení F.2.2 Mathematically determined distributions F.2.2.1 Rozlišovací schopnost digitální indikace F.2.2.1 The resolution of a digital indication Jeden ze zdrojů nejistoty digitálních přístrojů je rozlišovací schopnost jejich indikační jednotky. Například ani tehdy, když opakované indikace byly všechny identické, nejistota měření přisuzovaná opakovatelnosti by nemusela být nulová, protože existuje rozsah vstupních signálů do přístroje překlenující známý interval, který by mohl dát stejnou indikaci. Jestli rozlišovací schopnost indikační jednotky je δx, hodnota podnětu, který vyvolá danou indikaci X může ležet v intervalu X – δx/2 až X + δx/2 se stejnou pravděpodobností. Tento rys může být popsán pravoúhlým rozdělením pravděpodobnosti (viz 4.3.7 a 4.4.5) se šířkou δx a rozptylem u2   =  (δx)2 /12 znamenající standardní nejistotu u = 0,29 δx. One source of uncertainty of a digital instrument is the resolution of its indicating device. For example, even if the repeated indications were all identical, the uncertainty of the measurement attributable to repeatability would not be zero, for there is a range of input signals to the instrument spanning a known interval that would give the same indication. If the resolution of the indicating device is δx, the value of the stimulus that produces a given indication X  can lie with equal probability anywhere in the interval X – δx/2 to X + δx/2. The stimulus is thus described by a rectangular probability distribution (see 4.3.7 and 4.4.5) of width δx with variance u2 = (δx)2 /12, implying a standard uncertainty of u = 0,29 δx for any indication. sborníky technické harmonizace 2012 133 Tedy váha s  indikační jednotkou, pro kterou je nejmenší významnou číslicí 1g, má rozptyl způsobený rozlišovací schopností jednotky u2  = (1/12) g2 a  standardní nejistotu u = (1/ 1 2 ) g = 0,29 g. Thus a  weighing instrument with an indicating device whose smallest significant digit is 1  g has a  variance due to the resolution of the device of u2  = (1/12) g2 and a standard uncertainty of u = (1/ 1 2 ) g = 0,29 g. F.2.2.2  Hystereze F.2.2.2  Hysteresis Určité druhy hystereze mohou způsobit podobný druh nejistoty. Indikace přístroje se může lišit o fixní a známou hodnotu podle toho, jestli po sobě jdoucí čtené hodnoty se zvětšují nebo se zmenšují. Zkušený operátor si povšimne směru změny po sobě následujících čtení a provede vhodnou korekci. Ovšem směr vlivu hystereze není vždy pozorovatelný, neboť může být skrytá oscilace uvnitř přístroje kolem bodu rovnováhy tak, že indikace závisí na směru, ze kterého je tento bod konečně přibližovaný. Jestliže rozsah možných čtení z  důvodu této příčiny je δx, pak rozptyl je opět u2  = (δx)2 /12 a standardní nejistota zapříčiněná hysterezí je u = 0,29 δx. Certain kinds of hysteresis can cause a similar kind of uncertainty. The indication of an instrument may differ by a fixed and known amount according to whether successive readings are rising or falling. The prudent operator takes note of the direction of successive readings and makes the appropriate correction. But the direction of the hysteresis is not always observable: there may be hidden oscillations within the instrument about an equilibrium point so that the indication depends on the direction from which that point is finally approached. If the range of possible readings from that cause is δx, the variance is again u2 = (δx)2 /12, and the standard uncertainty due to hysteresis is u = 0,29 δx. F.2.2.3  Omezená přesnost aritmetiky F.2.2.3  Finite-precision arithmetic Zaokrouhlení nebo odseknutí číslic vznikající při automatické redukci dat pomocí počítače může také být zdrojem nejistoty. Uvažuje se, například, počítač s 16bitovou délkou slov. Jestliže je v průběhu výpočtů, číslo mající délku slova 16 bitů odečítáno od jiného, které je odlišné pouze v 16-tém bitu, pak pouze jeden významný bit zůstává. Takové jevy mohou nastat při výpočtu algoritmů, které mají „špatně nastavené podmínky“ a mohou být obtížně předvídatelné. Empirické určení nejistoty může být získáno zvětšováním pro výpočty nejdůležitější vstupní veličiny (často existuje jedna, která je úměrná k  velikosti výstupní veličiny) malými přírůstky, dokud se výstupní veličina nezmění. Nejmenší změna výstupní veličiny, která může být získána takovými způsoby, může být vzata jako míra nejistoty; jestliže je to δx, pak rozptyl je u2  = (δx)2 /12 a u = 0,29 δx. The rounding or truncation of numbers arising in automated data reduction by computer can also be a  source of uncertainty. Consider, for example, a computer with a  word length of 16 bits. If, in the course of computation, a  number having this word length is subtracted from another from which it differs only in the 16th bit, only one significant bit remains. Such events can occur in the evaluation of “illconditioned” algorithms, and they can be difficult to predict. One may obtain an empirical determination of the uncertainty by increasing the most important input quantity to the calculation (there is frequently one that is proportional to the magnitude of the output quantity) by small increments until the output quantity changes; the smallest change in the output quantity that can be obtained by such means may be taken as a measure of the uncertainty; if it is δx, the variance is u2 = (δx)2 /12 and u = 0,29 δx sborníky technické harmonizace 2012 134 POZNÁMKA  Hodnocení nejistoty může být zkontrolováno porovnáním výsledků výpočtů prováděných na počítači s omezenou délkou slova s výsledky stejných výpočtů prováděných na počítači s  podstatně větší délkou slova. NOTE  One may check the uncertainty evaluation by comparing the result of the computation carried out on the limited word-length m  achine with the result of the same computation carried out on a machine with a significantly larger word length. F.2.3  Vnesené vstupní hodnoty F.2.3  Imported input values F.2.3.1  Vnesená hodnota vstupní veličiny je ta, která nebyla odhadnuta v průběhu daného měření, ale byla získána někde jinde jako výsledek nezávislého hodnocení. Často je taková vnesená hodnota doprovázena určitým druhem sdělení o  její nejistotě. Například, nejistota může být dána jako směrodatná odchylka, násobek směrodatné odchylky nebo poloviční šířka intervalu, který má stanovenou konfidenční úroveň. Alternativně mohou být dány horní a spodní meze nebo nemusí být poskytnuta vůbec žádná informace o nejistotě. V posledním případě ti, kteří používají tuto hodnotu, musí využívat své znalosti ohledně pravděpodobné velikosti nejistoty na základě druhu veličiny, důvěryhodnosti zdroje, nejistot, které byly v praxi získané pro takové veličiny, atd. F.2.3.1  An imported value for an input quantity is one that has not been estimated in the course of a given measurement but has been obtained elsewhere as the result of am independent evaluation. Frequently such an imported value is accompanied by some kind of statement about its uncertainty. For example, the uncertainty may be given as a  standard deviation, a  multiple of a standard deviation, or the halfwidth of an interval having a stated level of confidence. Alternatively, upper and lower bounds may be given, or no information may be provided about the uncertainty. In the latter case those who use the value must employ their own knowledge about the likely magnitude of the uncertainty, given the nature of the quantity, the reliability of the source, the uncertainties obtained in practice for such quantities, etc. POZNÁMKA  Výklad  nejistoty cizí vstupní veličiny je zahrnut do tohoto článku vzhledem ke vhodnosti vyhodnocení standardní nejistoty způsobem B. Nejistota takové veličiny může být složená ze složek získaných z hodnocení způsobem A nebo složek získaných z hodnocení obou způsobů vyhodnocení A i B. Jelikož není důležité rozlišovat mezi složkami hodnocenými pomocí dvou odlišných metod, aby se vypočítala kombinovaná standardní nejistota, není důležité znát skladbu nejistoty cizí veličiny. NOTE  The discussion of the uncertainty of imported input quantities is included in this subclause on Type B evaluation of standard uncertainty for convenience: the uncertainty of such a  quantity could be composed of components obtained from Type A  evaluations or components obtained from both Type A and Type B  evaluations. Since it is unnecessary to distinguish between components evaluated by the two different methods in order to calculate a combined standard uncertainty, it is unnecessary to know the composition of the uncertainty of an imported quantity. sborníky technické harmonizace 2012 135 F.2.3.2  Některé kalibrační laboratoře přijaly praxi vyjadřování „nejistoty“ ve tvaru horních a dolních mezí, které určují interval s „minimální“ konfidenční úrovní, například, „alespoň“ 95 %. Na to je dovoleno pohlížet jako příklad toho, co se nazývá „téměř jistou“ nejistotou (viz E.1.2) a to nemůže být převedeno na standardní nejistotu bez znalosti, jak byla vypočtena. Pokud je uvedena dostatečná informace, potom je dovoleno ji znovu vyhodnotit v souladu s pravidly tohoto pokynu; jinak musí být nezávislé určení nejistoty provedeno jakýmikoli dostupnými prostředky. F.2.3.2  Some calibration laboratorieshave adopted the practice of expressing “uncertainty” in the form of upper and lower limits that define an interval having a “minimum” level of confidence, for example, “at least” 95 percent. This may be viewed as an example of a so-called “safe” uncertainty (see E. 1.2), and it cannot be converted to a  standard uncertainty without a  knowledge of how it was calculated. If sufficient information is given it may be recalculated in accordance with the rules of this Guide; otherwise an independent assessment of the uncertainty must be made by whatever means are available. F.2.3.3  Některé nejistoty jsou jednoduše vyjádřeny jako maximální meze, uvnitř kterých by měly všechny hodnoty měřené veličiny ležet. Obecná praxe předpokládá, že všechny hodnoty ležící mezi těmito mezemi mají stejnou pravděpodobnost (pravoúhlé rozdělení pravděpodobnosti). Takové rozdělení nemá být předpokládáno, jestli je důvod očekávat, že hodnoty uvnitř, ale blíže k  mezím, jsou méně pravděpodobné než ty, které leží blíže ke středu těchto mezí. Pravoúhlé rozdělení s  poloviční šířkou a  má rozptyl a2 /3; normální rozdělení, pro které a je poloviční šířka intervalu s konfidenční úrovní 99,73 %, má rozptyl a2 /9. Je dovoleno opatrně přijmout kompromis mezi těmito hodnotami, například, předpokládáním trojuhelníkového rozdělení, pro které rozptyl je a2 /6 (viz 4.3.9 a 4.4.6). F.2.3.3  Some uncertainties are given simply as maximum bounds within which all values of the quantity are said to lie. It is a common practice to assume that all values within those bounds are equally probable (a rectangular probability distribution), but such a  distribution should not be assumed if there is reason to expect that values within but close to the bounds are less likely than those nearer the centre of the bounds. A rectangular distribution of halfwidth a  has a  variance of a2 /3; a  normal distribution for which a  is the half-width of an interval having a level of confidence of 99,73 percent has a variance of a2 /9. It may be prudent to adopt a  compromise between those values, for example, by assuming a triangular distribution for which the variance is a2 /6 (see 4.3.9 and 4.4.6). sborníky technické harmonizace 2012 136 F.2.4  Měřené vstupní hodnoty F.2.4  Measured input values F.2.4.1 Jediné pozorování, kalibrované přístroje F.2.4.1 Single observation, calibrated instruments Jestliže vstupní odhad byl získaný z jediného pozorování, a to určitým přístrojem, který byl kalibrován vůči etalonu, který má malou nejistotu, nejistota odhadu je hlavně z  opakovatelnosti. Rozptyl opakovaných měření pomocí přístroje je dovoleno získat při dřívější příležitosti, není nutné, aby byla přesně stejná hodnota odečtu, ale dostatečně blízká, aby byla použitelná a  je dovoleno předpokládat, že rozptyl je použitelný na předmětnou vstupní hodnotu. Jestliže taková informace není dostupná, tak odhad musí být provedený na základě povahy měřicího zařízení nebo přístroje, na základě známých rozptylů jiných konstrukčně podobných přístrojů, atd. If an input estimate has been obtained from a single observation with a particular instrument that has been calibrated against a standard of small uncertainty, the uncertainty of the estimate is mainly one of repeatability. The variance of repeated measurements by the instrument ‘may have been obtained on an earlier occasion, not necessarily at precisely the same value of the reading but near enough to be useful, and it may be possible to assume the variance to be applicable to the input value in question. If no such information is available, an estimate must be made based on the nature of the measuring apparatus or instrument, the known variances of other instruments of similar construction, etc. F.2.4.2 Jediné pozorování, ověřené přístroje F.2.4.2 Single observation, verified instruments Ne všechny měřicí přístroje jsou opatřeny kalibračním certifikátem nebo kalibrační křivkou. Avšak mnoho přístrojů je konstruováno v souladu s přislušnou normou a vyzkoušeno, buď výrobcem nebo nezávislou autoritou, aby vyhovělo těmto normám. Norma obvykle obsahuje metrologické požadavky, často ve tvaru „největší přípustné chyby“, které mají být u přístroje dodrženy. Splnění těchto požadavků se stanoví porovnáním s  referenčním přístrojem, jehož maximální povolená nejistota je obvykle stanovena v této normě. Tato nejistota je tedy složka nejistoty ověřeného přístroje. Not all measuring instruments are accompanied by a calibration certificate or a calibration curve. Most instruments, however, are constructed to a written standard and verified, either by the manufacturer or by an independent authority, to conform to that standard. Usually the standard contains metrological requirements, often in the form of “maximum permissible errors,” to which the instrument is required to conform. The compliance of the instrument with these requirements is determined by comparison with a reference instrument whose maximum allowed uncertainty is usually specified in the standard. This uncertainty is then a component of the uncertainty of the verified instrument. sborníky technické harmonizace 2012 137 Pokud není nic známo o  charakteristické chybové křivce ověřeného přístroje, tak je nutno předpokládat, že existuje stejná pravděpodobnost, že chyba může mít jakoukoliv hodnotu ležící mezi povolenými limity, což je pravoúhlé rozdělení pravděpodobnosti. Některé typy přístrojů však mají charakteristické křivky, takže chyby jsou například pravděpodobně kladné v  jedné části rozsahu měření a  záporné v  dalších částech. Někdy tyto informace mohou být nalezeny v příslušné technické normě. If nothing is known about the characteristic error curve of the verified instrument it must be assumed that there is an equal probability that the error has any value within the permitted limits, that is, a rectangular probability distribution. However, certain types of instruments have characteristic curves such that the errors are, for example, likely always to be positive in part of the measuring range and negative in other parts. Sometimes such information can be deduced from a study of the written standard. F.2.4.3  Sledované veličiny F.2.4.3  Controlled quantities Měření jsou často prováděna při sledovaných referenčních podmínkách, o  kterých se předpokládá, že zůstanou konstantní v  průběhu doby provádění řady měření. Například, měření je dovoleno provádět na vzorcích v aktivní olejové lázni, jejíž teplota je kontrolována termostatem. Teplotu lázně je dovoleno měřit při každém měření vzorku, ale jestliže teplota lázně kolísá, tak okamžitá teplota vzorku nemusí být stejná, jako teplota ukazovaná termostatem v  lázni. Hodnocení výkyvů teploty vzorku na základě teorie přenosu teploty a jejího rozptylu jsou mimo rámec tohoto pokynu, ale musí začínat od známého nebo předpokládaného teplotního cyklu lázně. Tento cyklus může být pozorován pomocí citlivého termočlánku a nahrávacího zařízení pro záznam teploty. Ale není-li to možné, dá se vyvodit aproximace ze znalosti povahy sle- dování. Measurements are frequently made under controlled reference conditions that are assumed to remain constant during the course of a series of measurements. For example, measurements may be performed on specimens in a  stirred oil bath whose temperature is controlled by a thermostat. The temperature of the bath may be measured at the time of each measurement on a specimen, but if the temperature of the bath is cycling, the instantaneous temperature of the specimen may not be the temperature indicated by the thermometer in the bath. The calculation of the temperature fluctuations of the specimen based on heat-transfer theory, and of their variance, is beyond the scope of this Guide, but it must start from a known or assumed temperature cycle for the bath. That cycle may be observed by a  fine thermocouple and a temperature recorder, but failing that, an approximation of it may be deduced from a knowledge of the nature of the controls. sborníky technické harmonizace 2012 138 F.2.4.4 Asymetrická rozdělení možných hodnot F.2.4.4 Asymmetric distributions of possible values Jsou případy, kdy všechny možné hodnoty veličiny leží na jedné straně jediné mezní hodnoty. Například, při měření fixní vertikální výšky h  (měřená veličina) sloupce kapaliny manometru, se osa jednotky pro měření výšky může odchylovat od vertikální polohy a to malým úhlem β. Vzdálenost l určená přístrojem bude vždy větší než h; žádné hodnoty menší než h nejsou možné. To proto, že h je rovno průmětu lcos β, naznačujícímu, že l = h/cos β a všechny hodnoty cos β jsou menší než 1; žádné hodnoty větší než 1 nejsou možné. To, co je nazýváno „kosinová chyba“, může také nastat takovým způsobem, že průmět h′cos β pro měřené veličiny h′ je rovno pozorované vzdálenosti l, tj. l = h′cos β a pozorovaná vzdálenost je vždy menší než měřená veličina. There are occasions when all possible values of a quantity lie to one side of a single limiting value. For example, when measuring the fixed vertical height h (the measurand) of a column of liquid in a manometer, the axis of the, height-measuring device may deviate from verticality by a small angle β. The distance l determined by the device will always be larger than h; no values less than h are possible. This is because h is equal to the projection lcos β, implying l = h/cos β and all values of cos β are less than one; no values greater than one are possible. This so-called “cosine error” can also occur in such a  way that the projection h′cos β of a measurand h′ is equal to the observed distance l, that is, l = h′ cos β, and the observed distance is always less than the measurand. Jestliže je uvedena nová proměnná δ = 1 – cos β za předpokladu, že β ≈ 0 nebo δ << 1, jak je obvyklé v praxi, pak obě odlišné situace jsou: If a new variable δ = 1 – cos β is introduced, the two different situations are, assuming β ≈ 0 or δ << 1 as is usually the case in prac- tice, (1 )h l δ= − (F.3a) h′ =  l (1 + δ) (F.3b) Tady l , nejlepší odhad l, je aritmetický průměr z n nezávislých opakovaných pozorování lk pro l s odhadnutým rozptylem u2 ( l ) [viz rovnice (3) a  (5) v  4.2]. Tedy z  rovnic (F.3a) a  (F.3b) vyplývá, že získání odhadu pro h nebo h′ vyžaduje odhad korekčního faktoru δ, zatímco získání kombinované standardní nejistoty odhadu h nebo h′ vyžaduje odhad rozptylu u2 (δ) pro δ. Přesněji, použití rovnice (10) z 5.1.2 do rovnic (F.3a) a (F.3b) poskytuje pro 2 ( )cu h a  2 ( )cu h′ (s odpovídajícími znaménky –, a +) Here l , the best estimate of l, is the arithmetic mean or average of n independent repeated observations lk of l with estimated variance u2 ( l ) [see equations (3) and (5) in 4.2]. Thus it follows from equations (F.3a) and (F.3b) that to obtain an estimate of h or h′ requires an estimate of the correction factor δ, while to obtain the combined standard uncertainty of the estimate of h or h′ requires u2 (δ), the estimated variance of δ. More specifically, application of equation (10) in 5.1.2 to equations (F.3a) and (F.3b) yields for 2 ( )cu h and 2 ( )cu h′ (– and + signs, respectively) 2 2 2 2 2 (1 ) ( ) ( )cu u l l uδ δ= + (F.4a) sborníky technické harmonizace 2012 139 2 2 2 ( ) ( )u l l u δ≈ + (F.4b) K získání odhadu očekávané hodnoty δ  a  jejího rozptylu, se předpokládá, že osa zařízení používaného pro míru výšky sloupce kapaliny v manometru je ustavena ve vertikální rovině, a  že rozdělení hodnot úhlu sklonu β od její nulové očekávané hodnoty je normální rozdělení s rozptylem σ2 . Ačkoli β  může mít jak kladné, tak záporné hodnoty, δ = 1 – cos β je kladná pro všechny hodnoty β. Jestliže se předpokládá, že vychýlení osy přístroje není omezeno pouze na jednu rovinu, orientace osy se může měnit v prostorovém úhlu, poněvadž je schopna se vychýlit rovněž v  azimutu, avšak β je vždy kladný úhel. To obtain estimates of the expected value of δ  and the variance of δ, assume that the axis of the device used to measure the height of the column of liquid in the manometer is constrained to be fixed in a  vertical plane and that the distribution of the values of the angle of inclination β  about its expected value of zero is a nórmal distribution with variance σ2 . Although β  can have both positive and negative values, δ = 1 – cos β is positive for all values of β. If the misalignment of the axis of the device is assumed to be unconstrained, the orientation of the axis can vary over a solid angle since it is capable of misalignment in azimuth as well, but β is then always a positive angle. V ohraničeném nebo jednorozměrném případě element pravděpodobnosti p(β)dβ (C.2.5, poznámka) je úměrný k  { }2 2 exp / (2 ) dβ σ β −  ; v  neohraničeném nebo dvourozměrném případě element pravděpodobnosti je úměrný { }2 2 exp / (2 ) sin dβ σ β β −  . Funkce hustoty pravděpodobnosti p(δ) v obou případech jsou výrazy požadované k  určení odhadu střední hodnoty δ a  jejího rozptylu pro použití v rovnicích (F.3) a (F.4). Mohou být snadno získány z jejich elementů pravděpodobnosti, protože se může předpokládat, že úhel β je malý a proto δ = 1 – cos β a sin β může být rozvinut v  řadu, pomocí členů nižších řádů β. To poskytuje 2 / 2δ β≈ , sin 2β β δ≈ = a  d d / 2β δ δ= . Hustota pravděpodobnosti je tedy In the constrained or one-dimensional case, the probability element p(β)dβ (C.2.5, note) is proportional to { }2 2 exp / (2 ) dβ σ β −  ; in the unconstrained or two-dimensional case, the probability element is proportional to { }2 2 exp / (2 ) sin dβ σ β β −  . The probability density functions p(δ) in the two cases are the expressions required to determine the expectation and variance of δ for use in equations (F.3) and (F.4). They may readily be obtained from these probability elements because the angle β may be assumed small, and hence δ = 1 – cos β and sin β may be expanded to lowest order in β. This yields 2 / 2δ β≈ , sin 2β β δ≈ = , and d d / 2β δ δ= . The probability density functions are then 21 ( ) exp( / )p δ δ σ σ δ = − π (F.5a) pro jeden rozměr in one dimension 2 2 1 ( ) exp( / )p δ δ σ σ = − (F.5b) sborníky technické harmonizace 2012 140 pro dva rozměry in two dimensions kde where 0 ( ) d 1p δ δ ∞ =∫ Rovnice (F.5a) a  (F.5b), které ukazují, že nejpravděpodobnější hodnota korekce δ  v obou případech je nula, což dává v  jednorozměrném případě E(δ)  =  σ2 /2 a  var(δ)  =  σ4 /2 pro střední hodnoty a  pro rozptyl δ; a  v  dvourozměrném případě E(δ) = σ2 a var(δ) = σ4 . Rovnice (F.3a), (F.3b) a (F.4b) se stávají Equations (F.5a) and (F.5b), which show that the most probable value of the correction δ in both cases is zero, give in the one-dimensional case E(δ) = σ2 /2 and var(δ) = σ4 /2 for the expectation and the variance of δ; and in the two-dimensional case E(δ) = σ2 and var(δ) = σ4 . Equations (F.3a), (F.3b), and (F.4b) become then 2 [1 ( / 2) ( )]h l d u β= − (F.6a) 2 [1 ( / 2) ( )]h l d u β′= + (F.6b) 2 2 2 2 4 ( ) ( ') ( ) ( / 2) ( )c cu h u h u l d l u β= = + (F.6c) kde d  je počet rozměrů (d  =  1 nebo 2) a u(β) je standardní nejistota úhlu β, vzata pro nejlepší odhad směrodatné odchylky σ předpokládaného normálního rozdělení a byla odhadnuta pomocí dostupných informací souvisejících s  měřením (hodnocení způsobem B). Toto je příklad případu, kde odhad hodnoty měřené veličiny závisí na nejistotě vstupní veličiny. where d is the dimensionality (d = 1 or 2) and u(β) is the standard uncertainty of the angle β, taken to be the best estimate of the standard deviation σ of an assumed normal distribution and to be evaluated from all of the information available concerning the measurement (Type B evaluation). This is an example of a case where the estimate of the value of a measurand depends on the uncertainty of an input quantity. Ačkoliv rovnice (F.6a) až (F.6c) jsou určené pro normální rozdělení, analýza může být prováděná za předpokladu jiných rozdělení pro β. Například, jestliže se předpokládá, že β má symetrické obdélníkové rozdělení s horní a dolní mezí +β0 a –β0 (jednorozměrný případ) a případně +β0 a 0 (dvourozměrný případ), E(δ) =  2 0 / 6β a var(δ) =  4 0 / 45β v jednorozměrném případě a E(δ) =  2 0 / 4β a var(δ) =  4 0 / 48β ve dvourozměrném případě. Although equations (F.6a) to (F.6c) are specific to the normal distribution, the analysis can be carried out assuming other distributions for β. For example, if one assumes for β a symmetric rectangular distribution with upper and lower bounds of +β0 and –β0 in the one-dimensional case and +β0 and zero in the two-dimensional case, E(δ) =  2 0 / 6β and var(δ) =  4 0 / 45β in one dimension; and E(δ) =  2 0 / 4β and var(δ) =  4 0 / 48β in two di- mensions. sborníky technické harmonizace 2012 141 POZNÁMKA  To je situace, kde rozvoj funkce Y = f(X1 , X2 ,..., XN ) pomocí Taylorovy řady prvého řádu k získání )(yuc 2 , rovnice (10) v 5.1.2 je neadekvátní z důvodu nelinearity f: cosβ ≠  βcos (viz poznámka 2 k 5.1.2 a H.2.4). Ačkoliv analýza může v  zásadě být prováděná zcela pomocí členů β, uvádění proměnné δ zjednodušuje tento problém. NOTE  This is a situation where the expansion of the function Y = f(X1 , X2 ,..., XN ) in a first order Taylor series to obtain )(yuc 2 , equation (10) in 5.1.2, is) inadequate because of the nonlinearity of f: cosβ ≠  βcos (see note 2 to 5.1.2, and H.2.4). Although the analysis can be carried out entirely in terms of β, introducing the variable δ simplifies the problem. Další příklad situace, kde všechny možné hodnoty veličiny leží na straně jedné mezní hodnoty, je určení koncentrace složky roztoku pomocí titrace, kde koncový bod je vyznačen pomocí vypnutí signálu. Množství přidaného činidla je vždycky větší než je nutné k vypnutí signálu; nikdy není menší. Nadbytečné titrování za mezní bod je požadovanou proměnnou veličinou při omezení dat. Postup v těchto (a podobných) případech předpokládá vhodné rozdělení pravděpodobnosti pro tento nadbytek a je použit k  získání střední hodnoty přemíry a jejího rozptylu. Another example of a  situation where all possible values of a quantity lie to one side of a single limiting value is the determination by titration of the concentration of a component in a solution where the end point is indicated by the triggering of a signal; the amount of reagent added is always more than that necessary to trigger the signal; it is never less. The excess titrated beyond the limit point is a required variable in the data reduction, and the procedure in this (and in similar) cases is to assume an appropriate probability distribution for the excess and to use it to obtain the expected value of the excess and its variance. PŘÍKLAD  Jestliže se předpokládá pravoúhlé rozdělení s  dolní mezí 0 a horní mezí C0 pro nadbytek z, tak střední hodnota nadbytku je C0 /2 a příslušný rozptyl 2 0 / 12C . Jestli hustota pravděpodobnosti nadbytku je převzata z  normálního rozdělení s  0  ≤  z  <  ∞, tj. ( ) ( ) 1 22 exp / 2 2 p z z π σ σ −    = −       a  tedy očekávaná hodnota je π/2σ s rozptylem )/( π−σ 212 . EXAMPLE  If a rectangular distribution of lower bound zero and upper bound C0 is assumed for the excess z, then the expected value of the excess is C0 /2 with associated variance 2 0 / 12C If the probability density function of the excess is taken as that of a normal distribution with 0 ≤ z < ∞, that is, ( ) ( ) 1 22 exp / 2 2 p z z π σ σ −    = −       , then the expected value is π/2σ with variance )/( π− 212 σ . sborníky technické harmonizace 2012 142 F.2.4.5 Nejistota, kde korekce z kalibrační křivky nejsou aplikované F.2.4.5 Uncertainty when corrections from a calibration curve are not applied Poznámka k  6.3.1 vysvětluje případ, kde známá korekce b  pro významný systematický vliv není použita při zaznamenání výsledku měření, ale místo toho je brána v úvahu rozšířením výsledku o přiřazenou „nejistotu“. Příkladem je nahrazení rozšířené nejistoty U výrazem U + b kde U je rozšířená nejistota získaná za předpokladu b  =  0. Tato praxe je někdy uplatněna v  situacích, kde platí všechny následující podmínky: měřená veličina Y  je definována v rozsahu hodnot parametru t, jako v případě kalibrační křivky pro teplotní čidlo; U a b také závisí na t; a jenom jediná hodnota „nejistoty“ musí být uvedena pro všechny odhady y(t) měřené veličiny v rozsahu možných hodnot t. Při takových situacích je výsledek měření často zaznamenán jako Y(t) = y(t) ± [Umax  + bmax ], kde dolní index „max“ značí, že jsou použity maximální hodnota U a maximální hodnota známé korekce b v rozsahu hodnot t. The note to 6.3.1 discusses the case where a known correction b for a significant systematic effect is not applied to the reported result of a measurement but instead is taken into account by enlarging the “uncertainty” assigned to the result. An example is replacement of an expanded uncertainty U with U + b, where U is an expanded uncertainty obtained under the assumption b = 0. This practice is sometimes followed in situations where all of the following conditions apply: the measurand Y is defined over a range of values of a parameter t, as in the case of a calibration curve for a temperature sensor; U and b also depend on t; and only a  single value of “uncertainty” is to be given for all estimates y(t) of the measurand over the range of possible values of t. In such situations the result of the measurement is often reported as Y(t) = y(t) ± [Umax + bmax ], where the subscript “max” indicates that the maximum value of U and the maximum value of the known correction b over the range of values of t are used. Ačkoliv tento pokyn doporučuje, aby se použily korekce u výsledků měření známých významnýchsystematických vlivů, nemusí to být vždy proveditelné v takových situacích, kde by byly vynaloženy nepřijatelné náklady při výpočtu a použití jednotlivých korekcí a při výpočtu a používání individuální nejistoty pro každou hodnotu y(t). Although this Guide recommends that corrections be applied to measurement results for known significant systematic effects, this may not always be feasible in such a situation because of the unacceptable expense that would be incurred in calculating and applying an individual correction, and in calculating and using an individual uncertainty, for each value of y(t). Jednoduchý porovnávací přístup k  této problematice, který je v souladu s principy tohoto pokynu, je tento: A comparatively simple approach to this problem that is consistent with the principles of this Guide is as follows: Vypočítá se jediná střední hodnota korekce b z Compute a single mean correction b from 2 1 2 1 1 ( ) d t t b b t t t t = − ∫ (F.7a) sborníky technické harmonizace 2012 143 kde t1 a t2 stanovují sledovaný rozsah vlivu parametru t a vezme se nejlepší odhad Y(t) jako y′(t) = y(t) +  b , kde y(t) je nejlepší nekorigovaný odhad Y(t). Rozptyl přiřazený ke střední hodnotě korekce b přes sledovaný rozsah je dán where t1 and t2 define the range of interest of the parameter t, and take the best estimate of Y(t) to be y′(t) = y(t) +  b , where y(t) is the best uncorrected estimate of Y(t). The variance associated with the mean correction b over the range of interest is given by 2 1 2 2 2 1 1 ( ) [ ( ) ] d t t u b b t b t t t = − − ∫ (F.7b) který nebere v úvahu nejistotu aktuálního určení korekce b(t). Střední hodnota rozptylu korekce b(t) z důvodu jejího aktuálního stanovení je dána not taking into account the uncertainty of the actual determination of the correction b(t). The mean variance of the correction b(t) due to its actual determination is given by 2 1 2 2 2 1 1 [ ( )] [ ( )] d t t u b t u b t t t t = − ∫ (F.7c) kde u2 [b(t)] je rozptyl korekce b(t). Podobně střední hodnota rozptylu y(t) vznikající ze všech zdrojů nejistoty, vyjma korekce b(t), je získána z  where u2 [b(t)] is the variance of the correction b(t). Similarly, the mean variance of y(t) arising from all sources of uncertainty other than the correction b(t) is obtained from 2 1 2 2 2 1 1 [ ( )] [ ( )] d t t u y t u y t t t t = − ∫ (F.7d) kde u2 [y(t)] je rozptyl y(t), který vyplývá ze všech zdrojů nejistoty kromě korekce b(t). Jediná hodnota standardní nejistoty, která musí být použita pro všechny odhady měřené veličiny y′(t) = y(t) + b , je potom kladná druhá odmocnina where u2 [y(t)] is the variance of y(t) due to all uncertainty sources other than b(t). The single value of standard uncertainty to be used for all estimates y′(t) = y(t) + b of the measurand Y(t) is then the positive square root of 2 2 2 2 ( ) [ ( )] [ ( )] ( )cu y u y t u b t u b′ = + + (F.7e) Rozšířená nejistota U může být získána vynásobením uc (y′) vhodně vybraným koeficientem rozšíření k, U = kuc (y′), z něhož vyplývá, že Y(t) = y′(t) ± U = y(t) + b  ± U. Avšak, použití stejné průměrné korekce pro všechny hodnoty t místo korekce pro každou hodnotu t, musí být oznámeno a jasně sděleno, co U vyjadřuje. An expanded uncertainty U  may be obtained by multiplying uc (y′) by an appropriately chosen coverage factor k, U = kuc (y′), yieldingY(t)= y′(t) ± U = y(t) + b  ± U.However, the use of the same average correction for all values of t  rather than the correction appropriate for each value of t  must be recognized and a clear statement given as to what U represents. sborníky technické harmonizace 2012 144 F.2.5  Nejistota metody měření F.2.5 Uncertainty of the method of measurement F.2.5.1  Snad nejobtížněji se vyhodnocuje složka nejistoty, která je spojena s metodou měření, zvláště pak, když použitím této metody bylo ukázáno, že poskytuje výsledky s  menším rozptylem než ostatní známé metody. Ale pravděpodobně existují další metody, z  nichž některé nejsou doposud známy nebo jsou nějakým způsobem nepraktické, které mohou poskytovat systematicky odlišné výsledky se zjevnou stejnou platností. To zahrnuje apriorní rozdělení pravděpodobnosti a  ne rozdělení, ze kterého vzorky mohou okamžitě být získány a statisticky zpracovány. Tedy, i když je dovolena dominantní nejistota metody, pouze informace, která je často dostupná pro hodnoceníjejí standardní nejistoty, je existující znalost fyzikálního světa (viz také E.4.4). F.2.5.1  Perhaps the most difficult uncertainty component to evaluate is that associated with the method of measurement, especially if the application of that method has been shown to give results with less variability than those of any other that is known. But it is likely that there are other methods, some of them as yet unknown or in some way impractical, that would give systematically different results of apparently equal validity. This implies an a priori probability distribution, not a distribution from which samples can be readily drawn and treated statistically. Thus, even though the uncertainty of the method may be the dominant one, the only information often available for evaluating its standard uncertainty is one’s existing knowledge of the physical world. (See also E.4.4.) POZNÁMKA  Určení stejné měřené veličiny různými metodami buď ve stejné laboratoři, nebo v různých laboratořích, nebo stejnou metodou v různých laboratořích může často poskytnout hodnotnou informaci o nejistotě spojené s určitou metodou. Obecně, výměna etalonů nebo referenčních materiálů mezi laboratořemi pro nezávislá měření, je užitečná cesta ke stanovení spolehlivosti hodnocení nejistoty a k identifikaci dříve nezpozorovaných systematických vlivů. NOTE  Determining the same measurand by different methods, either in the same laboratory or in different laboratories, or by the same method in different laboratories, can often provide valuable information about the uncertainty attributable to a  particular method. In general, the exchange of measurement standards or reference materials between laboratories for independent measurement is a useful way of assessing the reliability of evaluations of uncertainty and of identifying previously unrecognized systematic effects. F.2.6  Nejistota vzorku F.2.6  Uncertainty of the sample F.2.6.1  Mnohá měření zahrnují porovnání neznámého objektu se známým etalonem, který má podobné vlastnosti, za účelem kalibrace neznámého objektu. Příklady zahrnují mezní měřidla, určité teploměry, sady měrek, rezistory a vysoce čisté materiály. Ve většině těchto případů nejsou metody měření zvláště citlivé na výběr vzorku, nebo zpětně ovlivněné výběrem vzorku (tj. kalibraci zvláštního neznámého objektu), na způsob zpracování vzorku nebo na vlivy různých okolních prostředí ovlivňujících veličiny, protože neznámý objekt a  etalon odpovídají obecně stejným (a často předvídatelným) způsobem na takové proměny. F.2.6.1  Many measurements involve comparing an unknown object with a known standard having similar characteristics in order to calibrate the unknown. Examples include end gauges, certain thermometers, sets of masses, resistors, and high purity materials. In most such cases, the measurement methods are not especially sensitive to, or adversely affected by, sample selection (that is, the particular unknown being calibrated), sample treatment, or the effects of various environmental influence quantities because the unknown and standard respond in generally the same (and often predictable) way to such variables. sborníky technické harmonizace 2012 145 F.2.6.2  Při některých situacích praktického měření vzorkování a zpracování vzorků hraje mnohem větší roli. To je často případ chemické analýzy přírodních materiálů. Na rozdíl od umělých materiálů, které mohou mít potvrzenou stejnorodost do úrovně překračující požadovanou úroveň pro měření, přírodní materiály jsou často velmi nesourodé. Tato nesourodost hodnocení první složky vyžaduje určení, jak adekvátně představuje vybraný vzorek původní materiál, který je předmětem analýzy. Hodnocení druhé složky vyžaduje určení, do jaké míry vedlejší (neanalyzované) prvky ovlivňují měření a  jak adekvátně jsou zpracované metodou měření. F.2.6.2  In some practical measurement situations, sampling and specimen treatment play a much larger role. This is often the case for the chemical analysis of natural materials. Unlike man-made materials, which may have proven homogeneity to a level beyond that required for the measurement, natural materials are often very inhomogeneous. This inhomogeneity leads to two additional uncertainty components. Evaluation of the first requires determining how adequately the sample selected represents the parent material being analysed. Evaluation of the second requires determining the extent to which the secondary (unanalysed) constituents influence the measurement and how adequately they are treated by the measurement method. F.2.6.3  V  některých případech je dovoleno, aby pečlivě naplánovaný experiment umožnil statistické hodnocení nejistoty způsobené vzorkem (viz H.5 a  H.5.3.2). Pro hodnocení nejistoty jsou obvykle vyžadovány, když vliv veličin, které ovlivňují okolí, na vzorek je významný, dovednosti a znalosti analytiků odvozené ze zkušenosti a všech běžně dostupných informací. F.2.6.3  In some cases careful design of the experiment may make it possible to evaluate statistically the uncertainty due to the sample (see H.5 and H.5.3.2). Usually, however, especially when the effects of environmental influence quantities on the sample are significant, the skill and knowledge of the analyst derived from experience and all of the currently available information are required for evaluating the uncertainty. sborníky technické harmonizace 2012 146 Příloha G Annex G Stupně volnosti a konfidenční úrovně Degrees of freedom and levels of confidence G.1  Úvod G.1  Introduction G.1.1  Tato příloha se zabývá obecnou otázkou, jak získat z odhadu y měřené veličiny Y a z kombinované standardní nejistoty uc (y) tohoto odhadu rozšířenou nejistotu Up  =  kp uc (y), kterou určuje v  intervalu y – Up  ≤ Y ≤ y + Up , který má pevně stanovené pokrytí pravděpodobnosti nebo konfidenční úroveň p. Zabývá se tedy tématikou výběru hodnoty koeficientu rozšíření kp , který vytváří interval výsledku měření y  , o kterém se může předpokládat, že obsahuje velký pevně stanovený podíl rozdělení hodnot p , které by mohly být důvodně přiřazeny měřené veličině Y (viz kapitola 6). G.1.1  This annex addresses the general question of obtaining from the estimate y of the measurand Y, and from the combined standard uncertainty uc (y) of that estimate, an expanded uncertainty Up = kp uc (y) that defines an interval y – Up ≤ Y ≤ y + Up that has a high, specified coverage probability or level of confidence p. It thus deals with the issue of determining the coverage factor kp that produces an interval about the measurement result y  that may be expected to encompass a  large, specified fraction p of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand Y (see clause 6). G.1.2  Ve většině situací praktického měření výpočet intervalu, který má určenou konfidenční úroveň – ve skutečnosti odhad nejindividuálnějších složek nejistoty v  takových situacích  – je v  nejlepším případě jenom přiblížení. Stejná výběrová směrodatné odchylka střední hodnoty z 30 opakovaných pozorování veličiny, která je popsaná normálním rozdělením má vlastní směrodatnou odchylku kolem 13 % (viz tabulka E.1 v příloze E). G.1.2  In most practical measurement situations, the calculation of intervals having specified levels of confidence – indeed, the estimation of most individual uncertainty components in such situations – is at best only approximate. Even the experimental standard deviation of the mean of as many as 30 repeated observations of a quantity described by a normal distribution has itself an uncertainty of about 13 percent (see table E.1 in annex E). Ve většině případů nemá žádný význam pokoušet se rozlišovat mezi, například, intervalem, který má konfidenční úroveň 95 % (šance 1 : 20, že hodnota měřené veličiny Y  leží mimo interval) a  intervalem s konfidenční úrovní buď 94 % nebo 96 %  (1 : 17 a 1 : 25). Získání odůvodnitelných intervalů s  konfidenční úrovní 99  %  (jedna šance ze  100) a  vyšších je zvláště těžké, i kdyby se předpokládalo, že nebyly žádné systematické vlivy přehlédnuty, protože je tak málo informací obecně dostupných o nejkrajnějších částech nebo „chvostech“ rozdělení pravděpodobností vstupních veličin. In most cases it does not make sense to try to distinguish between, for example, an interval having a  level of confidence of 95 percent (one chance in 20 that the value of the measurand Y lies outside the interval) and either a 94 percent or 96 percent interval (1 chance in 17 and 25, respectively). Obtaining justifiable intervals with levels of confidence of 99 percent (1 chance in 100) and higher is especially difficult, even if it is assumed that no systematic effects have been overlooked, because so little information is generally available about the most extreme portions or “tails” of the probability distributions of the input quantities. sborníky technické harmonizace 2012 147 G.1.3  Získání hodnoty koeficientu rozšíření kp , který poskytuje interval s pevně stanovenou konfidenční úrovní p, vyžaduje podrobnou znalost rozdělení pravděpodobnosti, které je charakterizováno výsledkem měření a  jeho kombinovanou standardní nejistotou. Například, pro veličinu z popsanou normálním rozdělením s  očekávanou hodnotou µz a  směrodatnou odchylkou σ, může být okamžitě vypočítána hodnota kp , která poskytuje interval µz  ± kp δ obsahující podíl p rozdělení a má tedy pravděpodobnost pokrytí nebo konfidenční úroveň p. Několik příkladů je uvedeno v tabulce G.1 G.1.3  To obtain the value of the coverage factor kp that produces an interval corresponding to a specified level of confidence p requires detailed knowledge of the probability distribution characterized by the measurement result and its combined standard uncertainty. For example, for a quantity z  described by a  normal. distribution with expectation µz and standard deviation σ the value of kp that produces an interval µz ± kp δ that encompasses the fraction p of the distribution, and thus has a  coverage probability or level of confidence p, can be readily calculated. Some examples are given in table G.1. Tabulka G.1 – Hodnota koeficientu rozšíření kp , která za předpokladu normálního rozdělení poskytuje interval s konfidenční úrovní p za předpokladu normálního rozdělení Table G.1 – Value of the coverage factor kp that produces an interval having level of confidence p assuming a normal distribution konfidenční úroveň p (%) Level of confidence p (percent) koeficient rozšíření kp Covarage factor kp 68,27 1 90 1,645 95 1,960 95,45 2 99 2,576 99,73 3 POZNÁMKA  Pro porovnání, zda z je popsána pravoúhlým rozdělením majícím střední hodnotu µz a směrodatnou odchylku σ =  3/a , kde a je poloviční šířka rozdělení, konfidenční úroveň p je 57,74 % pro kp  = 1; 95 % pro kp  = 1,65; 99  % pro kp   =  1,71; a  100  %  pro kp   ≥  3 ≈  1,73. Pravoúhlé rozdělení je „užší“ než normální rozdělení a to ve smyslu, že je stanoveno v konečném intervalu a nemá „chvosty“ typické pro rozdělení stanovená v konečných intervalech. NOTE  By contrast, if z is described by a rectangular probability distribution with expectation µz and standard deviation σ = 3/a , where a is the half-width of the distribution, the level of confidence p is 57,74 percent for kp = 1; 95 percent for kp = 1,65; 99 percentfor kp .= 1,71; and 100 percent for kp ≥  3 ≈ 1,73. The rectangular distribution is “narrower” than the normal distribution in the sense that it is of finite extent and has no “tails”. sborníky technické harmonizace 2012 148 G.1.4  Jestliže rozdělení pravděpodobností vstupních veličin X1 , X2 ,  ...  , XN , na kterých měřená veličina Y  závisí, jsou známé [jejich střední hodnoty, rozptyly a  momenty vyššího řádu (viz C.2.13 a  C.2.22), pokud se nejedná o  normální rozdělení] a jestliže Y je lineární funkcí vstupních veličin Y = c1 X1  + c2 X2  + ... + CN XN , pak rozdělení pravděpodobnosti Y může být získáno pomocí konvoluce jednotlivých rozdělení pravděpodobností [10]. Hodnoty kp , které poskytují intervaly odpovídající určené konfidenční úrovni p, mohou tedy být vypočítány z výsledného rozdělení vzniklého konvolucí. G.1.4  If the probability distributions of the input quantities X1 , X2 ,  ...  , XN upon which the measurand Y depends are known [their expectations, variances, and higher moments (see C.2.13 anti C.2.22) if the distributions are not normal distributions], and if Y is a linear function of the input quantities, Y = c1 X1  + c2 X2  + ... + CN XN , then the probability distribution of Y may be obtained by convolving the individual probability distributions [10]. Values of kp that produce intervals corresponding to specified levels of confidence p may then be calculated from the resulting convolved distribution. G.1.5  Jestliže funkční vztah mezi Y a jejími vstupními veličinami je nelineární a  vztah členů prvního řádu rozvoje Taylorovy řady není přijatelnou aproximací (viz 5.1.2 a 5.1.5), potom nemůže být rozdělení pravděpodobnosti veličiny Y získáno konvolucí rozdělení vstupních veličin. V takových případech jsou vyžadovány jiné analytické a numerické metody. G.1.5  If the functional relationship between Y and its input quantities is nonlinear and a first-order Taylor series expansion of the relationship is not an acceptable approximation (see 5.1.2 and 5.1.5), then the probability distribution of Y cannot be obtained by convolving the distributions of the input quantities. In such cases, other analytical or numerical methods are re- quired. G.1.6  V praxi jsou takové konvoluce zřídkakdy nebo nejsou vůbec uskutečněny, když intervaly s určitými konfidenčními úrověmi jsou potřebné při výpočtu, protože parametry charakterizující rozdělení pravděpodobností vstupních veličin jsou obvykle odhady, jelikož je nerealistické očekávat, že konfidenční úroveň příslušná určitému intervalu může být známa s  nějakou větší přesností a  z důvodu složitosti konvoluce rozdělení pravděpodobností veličiny. Namísto toho jsou použity aproximace, které využívají výhody centrální limitní věty. G.1.6  In practice, because the parameters characterizing the probability distributions of input quantities are usually estimates, because it is unrealistic to expect that the level of confidence to be associated with a given interval can be known with a great deal of exactness, and because of the complexity of convolving probability distributions, such convolutions are rarely, if ever, implemented when intervals having specified levels of confidence need to be calculated. Instead, approximations are used that take advantage of the Central Limit Theorem. sborníky technické harmonizace 2012 149 G.2  Centální limitní věta G.2  Central Limit Theorem G.2.1  Jestli Y = c1 X1  + c2 X2 + ... + cN XN  =  1 N i ii c X=∑ a  všechny Xi sledují normální rozdělení, pak výsledné rozdělení vzniklé konvolucí Y bude také normální. Pokud by však rozdělení Xi nebyla normální, rozdělení Y je dovoleno kdykoli aproximovat normálním rozdělením, z důvodu použití centální limitní věty. Tato věta tvrdí, že rozdělení Y  bude přibližně normální se střední hodnotou E(Y)  =  1 ( ) N i ii c E X=∑ a  rozptylem 2 ( )Yσ   =  2 2 1 ( ) N i ii c Xσ=∑ , kde E(Xi ) je střední hodnota Xi a 2 ( )iXσ je rozptyl veličiny Xi , jestliže Xi jsou navzájem nezávislé a  2 ( )Yσ je mnohem větší, než kterákoliv jednotlivá složka 2 2 ( )i ic Xσ z nenormálního rozdělení Xi . G.2.1  If Y = c1 X1 + c2 X2 + ... + cN XN =  1 N i ii c X=∑ and all the Xi are characterized by normal distributions, then the resulting convolved distribution of Y will also be normal. However, even if the distributions of the Xi are not normal, the distribution of Y may often be approximated by a normal distribution because of the Central Limit Theorem. This theorem states that the distribution of Y will be approximately normal with expectation E(Y) =  1 ( ) N i ii c E X=∑ and variance 2 ( )Yσ =  2 2 1 ( ) N i ii c Xσ=∑ , where E(Xi ) is the expectation of Xi and 2 ( )iXσ is the variance of Xi , if the Xi . are independent and 2 ( )Yσ is much larger than any single component 2 2 ( )i ic Xσ from a non-normally distributed Xi . G.2.2  Centrální limitní věta je významná, protože ukazuje velmi důležitou roli, kterou hrají rozptyly rozdělení pravděpodobností vstupních veličin v porovnání s rolí, kterou hrají momenty rozdělení vyššího řádu při určení tvaru výsledného rozdělení vzniklého konvolucí Y. Navíc naznačuje, že rozdělení vzniklé konvolucí konverguje k normálnímu rozdělení při zvýšení počtu vstupních veličin přispívajících k  2 ( )Yσ ; čím hodnoty 2 2 ( )i ic Xσ budou blíže k sobě, tím rychlejší bude konvergence (tyto hodnoty jsou v praxi ekvivalentní ke každému vstupnímu odhadu xi přispívajícímu porovnatelné nejistotě k nejistotě odhadu y měřené veličiny Y); a čím rozdělení pro Xi jsou bližší normálnímu rozdělení, tím je potřeba menšího počtu proměnných Xi , pro dosažení normálního rozdělení pro Y. G.2.2  The Central Limit Theorem is significant because it shows the very important role played by the variances of the probability distributions of the input quantities, compared with that played by the higher moments of the distributions, in determining the form of the resulting convolved distribution of Y. Further, it implies that the convolved distribution converges towards the normal distribution as the number of input quantities contributing to 2 ( )Yσ increases; that the convergence will be more rapid the closer the values of 2 2 ( )i ic Xσ are to each other (equivalent in practice to each input estimate xi contributing a comparable uncertainty to the uncertainty of the estimate y  of the measurand Y); and that the closer the distributions of the Xi are to being normal, the fewer Xi are required to yield a normal distribution for Y. sborníky technické harmonizace 2012 150 PŘÍKLAD  Pravoúhlé rozdělení (viz 4.3.7 a 4.4.5) je extrémní příklad nenormálního rozdělení, ale konvoluce malého počtu jako jsou tři taková rozdělení se stejnou šířkou, je přibližně normální. Jestliže poloviční šířka každého ze tří pravoúhlých rozdělení je a tak, že rozptyl každého je a2 /3, rozptyl konvolučního rozdělení je 22 a=σ . 95 procentní a 99 procentní intervaly konvolučního rozdělení jsou určeny pomocí 1,937σ a 2,379σ, zatímco odpovídající intervaly pro normální rozdělení se stejnou směrodatnou odchylkou σ jsou určeny pomocí 1,960σ a 2,576σ (viz tabulka G.1) [10]. EXAMPLE  The rectangular distribution (see 4.3.7 and 4.4.5) is an extreme example of a  non-normal distribution, but the convolution of even as few as three such distributions of equal width is approximately normal. If the half-width of each of the three rectangular distributions is a so that the variance of each is a2 /3, the variance of the convolved distribution is 22 a=σ . The 95 percent and 99 percent intervals of the convolved distribution are defined by 1,937σ and 2,379σ, respectively, while the corresponding intervalsfora normal distribution with the same standard deviation σ are defined by 1,960σ and 2,576σ (see table G.1) [10]. POZNÁMKY NOTES 1 Pro každý interval s konfidenční úrovní p větší než 91,7 %, je hodnota kp pro normální rozdělení větší než odpovídající hodnota pro rozdělení vznikající z konvoluce jakéhokoliv počtu a rozsahu obdélníkových rozdělení. 1 For every interval with a  level of confidence p greater than about 91,7 percent, the value of kp for a normal distribution is larger than the corresponding value for the distribution resulting from the convolution of any number and size of rectangular distributions. 2 Z centrální limitní věty plyne, že rozdělení pravděpodobnosti aritmetického průměru q z  n pozorování qk náhodné veličiny q, mající střední hodnotu µq a výslednou směrodatnou odchylku σ, konverguje k  normálnímu rozdělení se střední hodnotou µq a směrodatnou odchylkou n/σ , pro n → ∞, což by mohlo být rozdělení pravděpodobnosti q. 2 It follows from the Central Limit Theorem that the probability distribution of the arithmetic mean q of n observations qk of a random variable q  with expectation µq and finite standard deviation σ  approaches a  normal distribution with mean µq and standard deviation n/σ as n → ∞, whatever may be the probability distribution of q. G.2.3  Praktický důsledek centrální limitní věty je, že když může být konstatováno, že její požadavky jsou přibližně splněny, zejména jestliže kombinovaná standardní nejistota uc (y) není ovládána složkou standardní nejistoty získanou z vyhodnocení způsobem A, založeného pouze na několika pozorováních, nebo složkou standardní nejistoty získané z vyhodnocení způsobem B založeném na předpokládaném pravoúhlém rozdělení, rozumná první aproximace pro výpočet rozšířené nejistoty Up  = kp uc (y), která poskytuje interval s konfidenční úrovní p je použít pro kp hodnotu z normálního rozdělení. Hodnoty nejčastěji použité pro tento účel jsou uvedeny v tabulce G.1. G.2.3  A practical consequence of the Central Limit Theorem is that when it can be established that its requirements are approximately met, in particular, if the combined standard uncertainty uc (y) is not dominated by a  standard uncertainty component obtained from a Type A evaluation based on just a few observations, or by a standard uncertainty component obtained from a Type B evaluation based on an assumed rectangular distribution, a reasonable first approximation to calculating an expanded uncertainty Up = kp uc (y) that provides an interval with level of confidence p is to use for kp a value from the normal distribution. The values most commonly used for this purpose are given in table G.1. sborníky technické harmonizace 2012 151 G.3  t-rozdělení a stupně volnosti G.3 The t-distribution and degrees of freedom G.3.1  K získání lepší aproximace než pouhým použitím hodnoty kp z normálního rozdělení jako v  G.2.3, je nutno připustit, že výpočet intervalu, který má určenou konfidenční úroveň nevyžaduje rozdělení veličiny [Y – E(Y)] / σ(Y), ale rozdělení veličiny (y – Y)/uc (y).To je proto, že v praxi je dostupné pouze y, odhad Y je získaný z 1 N i ii y c x= = ∑ , kde xi je odhad Xi ; a  kombinovaný rozptyl příslušný y, dále 2 ( )cu y vyhodnocená podle 2 ( )cu y  =  2 2 1 ( ) N i ii c u x=∑ , kde u(xi ) je standardní nejistota (odhadnutá směrodatná odchylka) odhadu xi . G.3.1  To obtain a  better approximation than simply using a  value of kp from the normal distribution as in G.2.3, it must be recognized that the calculation of an interval having a specified level of confidence requires, not the distribution of the variable [Y – E(Y)] / σ(Y), but the distribution of the variable (y – Y)/uc (y). This is because in practice, all that is usually available are y, the estimate of Y as obtained from 1 N i ii y c x= = ∑ , where xi is the estimate of Xi ; and the combined variance associated with y, 2 ( )cu y , evaluated from 2 ( )cu y =  2 2 1 ( ) N i ii c u x=∑ , where u(xi ) is the standard uncertainty (estimated standard deviation) of the estimate xi . POZNÁMKA  Přesně řečeno, ve výrazu (y – Y)/uc (y) se má Y chápat jako E(Y). Pro zjednodušení bylo takové rozlišení provedeno pouze na několika málo místech v tomto pokynu. V zásadě stejná značka byla použita pro fyzikální veličinu, náhodnou veličinu, která vyjadřuje veličinu, a pro střední hodnotu této náhodné veličiny (viz po- známka, 4.1.1). NOTE  Strictly speaking, in the expression (y  – Y)/uc (y), Y should read E(Y). For simplicity, such a distinction has only been made in a few places in this Guide. In general, the same symbol has been used for the physical quantity, the random variable that represents that quantity, and the expectation of that variable (see 4.1.1, notes). G.3.2  Jestliže z je normálně rozdělená náhodná veličina s  očekávanou hodnotou µz a směrodatnou odchylkou σ a  z je aritmetický průměr n  nezávislých pozorování zk pro z, přičemž s( z ) je výběrová směrodatná odchylka z [viz rovnice (3) a (5) v 4.2], potom rozdělení veličiny ( ) / ( )zt z s zµ= − je t-rozdělení nebo Studentovo rozdělení (C.3.8) s ν= n – 1 stupni volnosti. G.3.2  If z  is a  normally distributed random variable with expectation µz and standard deviation σ, and z is the arithmetic mean of n independent observations zk of z with s( z ) the experimental standard deviation of z [see equations (3) and (5) in 4.2], then the distribution of the variable ( ) / ( )zt z s zµ= − is the t-distribution or Student’s distribution (C.3.8) with ν = n – 1 degrees of freedom. Proto, jestliže je měřená veličina Y jednoduše jedinou veličinou X mající normální rozdělení, tj Y = X; a když X je odhadnuta pomocí aritmetického průměru X pro n nezávislých pozorování Xk proměnné X s výběrovou směrodatnou odchylkou s( X ), tak nejlepší odhad Y je y =  X a výběrová směrodatná odchylka tohoto odhadu je uc (y) = s( X ). Tedy t  =  ( ) / ( )zz s zµ−   =  ( ) / ( )X X s X− =  ( ) / ( )cy Y u y− rozděleno podle t-rozdělení, s Consequently, if the measurand Y  is simply a  single normally distributed quantity X, Y= X; and if X is estimated by the arithmetic mean X of n independent repeated observations Xk of X, with experimental standard deviation of the mean s( X ), then the best estimate of Y is y = X and the experimental standard deviation of that estimate is uc (y) =  s( X ). Then t  = ( ) / ( )zz s zµ− =  ( ) / ( )X X s X− =  ( ) / ( )cy Y u y− is distributed according to the t-distribution with sborníky technické harmonizace 2012 152 Pr [–tp (ν) ≤ t ≤ tp (ν)]= p (G.1a) nebo or Pr [– tp (ν) ≤ (y – Y) / uc (y) ≤ tp (ν)] = p (G.1b) což lze psát jako which can be rewritten as Pr [y – tp (ν)uc (y) ≤ Y ≤ y + tp (ν)uc (y)] = p (G.1c) V těchto výrazech Pr[ ] znamená „pravděpodobnost příslušného jevu“ a t-faktor tp (ν) je hodnota t pro danou hodnotu parametru ν – stupně volnosti (viz G.3.3) – tak, že podíl p pro t-rozdělení je obsažen v intervalu –tp (ν) až +tp (ν). Tedy rozšířená nejistota In these expressions, Pr[] means “probability of” and the t-factor tp ,(ν) is the value of t for a given value of the parameter ν – the degrees of freedom (see G. 3.3) – such that the fraction p  of the t  distribution is encompassed by the interval –tp (ν) to +tp (ν). Thus the expanded uncertainty Up = kp uc (y) = tp (ν)uc (y) (G.1d) určuje interval y – Up až y + Up vhodněji psáno jako Y = y ± Up , od kterého lze očekávat, že pokryje podíl p rozdělení hodnot, které by mohly být důvodně přiřazeny k Y, a p je pravděpodobnost pokrytí nebo konfidenční úroveň intervalu. defines an interval y – Up to y + Up , conveniently written as Y = y ± Up , that may be expected to encompass a fraction p of the distribution of values that could reasonably be attributed to Y, and p is the coverage probability or level of confidence of the interval. G.3.3  Stupně volnosti ν se rovnají n – 1 pro jednotlivou veličinu odhadnutou pomocí aritmetického průměru n nezávislých pozorování (jako v G.3.2). Jestliže n nezávislých pozorování je použito ke stanovení sklonu a úsečky přímky metodou nejmenších čtverců, je ν = n – 2 počet stupňů volnosti jejich standardních nejistot. Pro metodu nejmenších čtverců připravenou z m parametrů pro n bodů dat, počet stupňů volnosti standardní nejistoty každého parametru je ν = n – m. (Viz citace [15] pokud jde o další informace k počtu stupňů volnosti). G.3.3  The degrees of freedom n is equal to n – 1 for a single quantity estimated by the arithmetic mean of n independent observations, as in G.3.2. If n independent observations are used to determine both the slope and intercept of a straight line by the method of least squares, the degrees of freedom of their respective standard uncertainties is ν = n – 2. For a least-squares fit of m parameters to n data points, the degrees of freedom of the standard uncertainty of each parameter is ν = n – m. (See reference [15] for a further discussion of degrees of freedom.) sborníky technické harmonizace 2012 153 G.3.4  Vybrané hodnoty tp (ν) pro různé hodnoty ν a p jsou dané v tabulce G.2 na konci této přílohy. Pokud se ν → ∞, blíží se t-rozdělení k  normálnímu rozdělení a tp (ν) ≈ (1 + 2/ν)½ kp , kde kp v tomto výrazu je koeficient rozšíření vyžadovaný k získání intervalu s konfidenční úrovní p pro normální rozdělení. Tedy hodnota tp (∞) v tabulce G.2 pro dané p je rovna hodnotě kp v tabulce G.1 pro stejné p. G.3.4  Selected values of tp (ν) for different values of ν and various values of p are given in table G.2 at the end of this annex. As ν → ∞ the t-distribution approaches the normal distribution and tp (ν) ≈  (1  +  2/ν)½ kp , where in this expression kp , is the coverage factor required to obtain an interval with level of confidence p for a normally distributed variable. Thus the value of tp (∞) in table G.2 for a given p equals the value of kp in table G.1 for the same p. POZNÁMKA  Často je t-rozdělení tabelizováno v  kvantilech; tj. jsou dány hodnotami kvantilu t1  –  α  ,  kde 1 – α označuje souhrnnou pravděpodobnost a vztah NOTE  Often, the t-distribution is tabulated in quantiles; that is, values of the quantile t1 – α are given, where 1 – α denotes the cumulative probability and the re- lation 1 1 ( , ) d t f t t α α υ − −∞ − =∫ určuje kvantil, kde ƒ je funkce hustoty pravděpodobnosti t. Tedy tp a t1 –α se vztahují k p = 1 – 2α. Například hodnota kvantilu t0,975 , pro kterou 1  –  α  =  0,975 a α = 0,025, je stejná jako tp (ν) pro p = 0,95. defines the quantile, where ƒ is the probability density function of t. Thus tp and t1–α are related by p = 1 – 2α. For example, the value of the quantile t0,975 , for which 1 – α = 0,975 and α = 0,025, is the same as tp (ν) for p = 0,95. G.4  Efektivní stupně volnosti G.4  Effective degrees of freedom G.4.1  Obecně, t-rozdělení nebude popisovat rozdělení náhodné veličiny (y – Y) /uc (y), jestliže 2 ( )cu y je součet dvou nebo více složek odhadu rozptylu 2 2 2 ( ) ( )i i iu y c u x= (viz 5.1.3), i když každá xi je odhad vstupní veličiny Xi s  normálním rozdělením. Avšak, rozdělení této proměnné je dovoleno aproximovat pomocí t-rozdělení s  efektivními stupni volnosti νeff získanými z takzvaného Welch-Satterthwaitova vzorce [16, 17, 18]: G.4.1  In general, the t-distribution will not describe the distribution of the variable (y  – Y)/uc (y) if 2 ( )cu y is the sum of two or more estimated variance 2 2 2 ( ) ( )i i iu y c u x= (see 5.1.3), even if each xi is the estimate of a normally distributed input quantity Xi . However, the distribution of that variable may be approximated by a  t-distribution with an effective degrees of freedom veff obtained from the Welch-Satterthwaite formula [16, 17, 18] 4 4 1 ( ) ( )N c i ieff i u y u y ν ν= = ∑ (G.2a) nebo or 4 eff 4 1 ( ) ( ) c N i i i u y u y ν ν= = ∑ (G.2b) sborníky technické harmonizace 2012 154 s with eff 1 N i i ν ν = ≤ ∑ (G.1c) kde 2 ( )cu y 2 1 ( ) N ii u y= = ∑ (viz 5.1.3). Rozšířená nejistota Up  =  kp uc (y)  =  tp (νeff )  uc (y) tedy poskytuje interval Y = y ± Up s přibližně konfidenční úrovní p. where 2 ( )cu y 2 1 ( ) N ii u y= = ∑ (see 5.1.3). The expanded uncertainty Up = kp uc (y) = tp (νeff ) uc (y) then provides an interval Y = y ± Up having an approximate level of confidence p. POZNÁMKY NOTES 1 Jestliže hodnota νeff získaná z rovnice (G.2b) není celé číslo, což bude v praxi obvyklé, odpovídající hodnota tp může být vybrána z tabulky G.2 pomocí interpolace nebo zaokrouhlením νeff na nejbližší menší celé číslo. 1 If the value of νeff obtained from equation (G.2b) is not an integer, which will usually be the case in practice, the corresponding value of tp , may be found from table G.2 by interpolation or by truncating νeff to the next lower integer. 2 Jestli vstupní odhad xi je samostatně získaný ze dvou nebo více jiných odhadů, tak hodnota νi , použitá s výrazem )(yui 4 =  2 2 2 [ ( )]i ic u x ve jmenovateli rovnice (G.2b), je efektivní stupeň volnosti vypočítaný z výrazu ekvivalentního rovnici (G.2b). 2 If an input estimate xi is itself obtained from two or more other estimates, then the value of νi to be used )(yui 4 =  2 2 2 [ ( )]i ic u x in the denominator of equation (G.2b) is the effective degrees of freedom calculated from an expression equivalent to equation (G.2b). 3 V souvislosti s  požadavky potenciálních uživatelů výsledku měření, je také dovoleno jako užitečné vypočítat a zaznamenat, kromě νeff , hodnoty νeffA a νeffB vypočítané z rovnice (G.2b), zpracovávající odděleně standardní nejistoty získané z vyhodnocení způsobem A a způsobem B. Jestiže příspěvky k  )(c yu2 standardní nejistoty jsou samostatně označené 2 cA ( )u y a  2 cB( )u y různé veličiny jsou navzájem spojeny 3 Depending upon the needs of the potential users of a measurement result, it may be useful, in addition to νeff , to calculate and report also values for νeffA and νeffB computed from equation (G.2b) treating separately the standard uncertainties obtained from Type A and Type B evaluations. If the contributions to )(c yu2 of the Type A and Type B  standard uncertainties alone are denoted, respectively, by 2 cA ( )u y and 2 cB( )u y the various quantities are related by )(c yu2 2 2 cA cB( ) ( )u y u y= + 4 4 4 c cA cB eff effA effB u y u y u y ν ν ν = + ( ) ( ) ( ) PŘÍKLAD  Uvažuje se, že Y = ƒ(X1 , X2 , X3 ) = bX1 X2 X3 a odhady x1 , x2 , x3 vstupních veličin X1 , X2 , X3 mající normální rozdělení, jsou aritmetické průměry pro n1  = 10, n2  = 5, a  eventuelně n3   =  15 opakovaných nezávislých pozorování s  relativními standardními nejistotami u(x1 )/x1  = 0,25 %, u(x2 )/x2  = 0,57 % a u(x3 )/x3  = 0,82 %. V tomto případě ci = ∂ƒ/∂Xi  = Y/Xi (by byla vyhodnocená u  x1 ,  x2 ,  x3   –  viz 5.1.3, poznámka  1), [uc (y)/y]2   23 1 ]/)([∑ = = i ii xxu  = (1,03 %)2 (viz poznámka 2 k 5.1.6) a rovnice (G.2b) bude EXAMPLE  Consider that Y  = ƒ(X1 , X2 , X3 ) =  bX1 X2 X3 and that the estimates x1 , x2 , x3 of the normally distributed input quantities X1 , X2 , X3 are the arithmetic means of n1 = 10, n2 = 5, and n3 = 15 independent repeated observations, respectively, with relative standard uncertainties u(x1 )/x1 =  0,25 percent, u(x2 )/x2 =  0,57 percent, and u(x3 )/x3 = 0,82 percent. In this case ci = ∂ƒ/∂Xi = Y/ Xi (to be evaluated at x1 , x2 , x3  – see 5.1.3, note 1), [uc (y)/y]2 23 1 ]/)([∑ = = i ii xxu = (1,03 percent)2 (see note 2 to 5.1.6), and equation (G.2b) becomes sborníky technické harmonizace 2012 155 4 c eff 43 1 [ ( ) / ] [ ( ) / ]i i i i u y y u x x ν ν= = ∑ Tedy Thus 4 eff 4 4 4 1,03 19,0 0,25 0,57 0,82 10 1 5 1 15 1 ν= = + + − − − Podle tabulky G.2 hodnota tp pro p = 95 % a ν  = 19 je t95 (19) = 2,09; tedy relativní rozšířená nejistota pro tuto konfidenční úroveň jeU95  = 2,09x(1,03 %)= 2,2 %.Potom jedovolenostanovit, že Y = y ± U95  = y(1 ± 0,022) (y musí být určená z y = bx1 x2 x3 ) neboli 0,978y ≤ Y ≤ 1,022y a konfidenční úroveň příslušná k tomuto intervalu je přibližně 95 %. The value of tp for p = 95 percent and ν = 19 is, from table G.2, t95 (19) =  2,09; hence the relative expanded uncertainty for this level of confidence is U95 = 2,09 x (1,03 percent) = 2,2 percent. It may then be stated that Y = y ± U95 = y(l ± 0,022) (y to be determined from y = bx1 x2 x3 ), or that 0,978y ≤ Y ≤ 1,022y, and that the level of confidence to be associated with the interval is approximately 95 percent. G.4.2  V praxi uc (y) závisí na standardní nejistotě u(xi ) odhadů vstupních veličin, majících jak normální, tak nenormální rozdělení a  u(xi ) jsou získány jak z  rozdělení založeného na četnosti, tak  apriorního rozdělení pravděpodobností (tj. z  hodnocení obou způsobů vyhodnocení A i B). Obdobné stanovení platí i pro odhad y a vstupní odhady xi , na kterých je y závislá. Nicméně rozdělení pravděpodobnosti funkce t = (y – Y)/uc (y) může být aproximováno pomocí t-rozdělení, jestliže je použit rozvoj Taylorovy řady kolem střední hodnoty. V podstatě to je to, co je dosaženo při aproximaci nejnižšího řádu pomocí Welch-Satterthwaitova vzorce, rovnice (G.2a) nebo rovnice (G.2b). G.4.2  In practice, uc (y) depends on standard uncertainties u(xi ) of input estimates of both normally and non-normally distributed input quantities, and the u(xi ) are obtained from both frequency-based and a  priori probability distributions (that is, from both Type A and Type B evaluations). A similar statement applies to the estimate y  and input estimates xi upon which y depends. Nevertheless, the probability distribution of the function t = (y – Y)/uc (y) can be approximated by the t-distribution if it is expanded in a Taylor series about its expectation. In essence, this is what is achieved, in the lowest order approximation, by the Welch-Satterthwaite formula, equation (G.2a) or equation (G.2b). Otázka vzniká v souvislosti se stupni volnosti přiřazených ke standardní nejistotě získané hodnocením způsobem B při výpočtu νeff z  rovnice (G.2b). Zatímco vhodná definice počtu stupňů volnosti uznává, že ν tak, jak se objeví v t-rozdělení, je míra nejistoty rozptylu 2 ( )s z , rovnici (E.7) v E.4.3 je dovoleno použít k určení stupňů volnosti νi , The question arises as to the degrees of freedom to assign to a standard uncertainty obtained from a Type B evaluation when νeff is calculated from equation (G.2b). Since the appropriate definition of degrees of freedom recognizes that ν as it appears in the t-distribution is a measure of the uncertainty of the variance 2 ( )s z , equation (E.7) in E.4.3 may be used to define the degrees of freedom νi , 22 2 1 1 2 2( i i i ii u x u x u xu x ν σ −  ∆ ≈ ≈     ( ) ( ) ( )[ )] (G.3) sborníky technické harmonizace 2012 156 Veličina uvnitř velkých závorek je relativní nejistota u(xi ); pro hodnocení standardní nejistoty způsobem B je to subjektivní veličina, jejíž hodnota je získána vědeckým posouzením založeným na zásobě dostupných informací. The quantity in large brackets is the relative uncertainty of u(xi ); for a Type B evaluation of standard uncertainty it is a  subjective quantity whose value is obtained by scientific judgement based on the pool of available information. PŘÍKLAD  Úvaha, že znalost, jak odhad vstupní hodnoty xi byl stanoven a  jak jeho standardní nejistota u(xi ) byla hodnocena, vede k posouzení, že hodnota u(xi ) je spolehlivá zhruba z 25 %. To je dovoleno brát tak, že relativní nejistota ∆u(xi )/u(xi ) = 0,25 a tedy z rovnice (G.3) νi  = (0,25)–2 /2 = 8. Jestliže hodnocení u(xi ) je považováno za spolehlivé pouze z 50 %, tak νi  = 2. (Viz také tabulka E.1 v příloze E). EXAMPLE  Consider that one’s knowledge of how input estimate xi was determined and how its standard uncertainty u(xi ) was evaluated leads one to judge that the value of u(xi ) is reliable to about 25 percent. This may be taken to mean that the relative uncertainty is ∆u(xi )/u(xi ) = 0,25, and thus from equation (G.3), vi = (0,25)–2 /2 = 8. If instead one had judged the value of u(xi ) to be reliable to only about 50 percent, then vi = 2. (See also table E.1 in annex E.) G.4.3  Ve vysvětlení hodnocení standardní nejistoty způsobem B  z apriorního rozdělení pravděpodobnosti v  4.3 a  4.4 se implicitně předpokládá, že hodnota u(xi ) vznikající z  takového hodnocení je přesně známa. Například, když u(xi ) je získána z  obdélníkového rozdělení pravděpodobnosti s  předpokládanou poloviční šířkou a = (a+  – a– )/2 jako v 4.3.7 a 4.4.5, u(xi ) = a/ 3 je znázorněná jako konstanta bez nejistoty, protože a+ a  a– a  tedy a  jsou taktéž znázorněny (ale viz 4.3.9, poznámka 2). Přestože z  rovnice (G.3) vyplývá, že νi → ∞ nebo 1/νi → 0, nezpůsobuje to žádné potíže při hodnocení rovnice (G.2b). Navíc, předpoklad, že νi   →  ∞ není nutně nerealistický; je běžnou praxí, že se volí a– a a+ takovým způsobem, aby pravděpodobnost, že veličina leží mimo interval od a– do a+ , byla mimořádně malá. G.4.3  In the discussion in 4.3 and 4.4 of Type B  evaluation of standard uncertainty from an a  priori probability distribution, it was implicitly assumed that the value of u(xi ) resulting from such an evaluation is exactly known. For example, when u(xi ) is obtained from a rectangular probability distribution of assumed halfwidth a = (a+  – a– )/2 as in 4.3.7 and 4.4.5, u(xi ) = a/ 3 is viewed as a constant with no uncertainty because a+ and a– and thus a, are so viewed (but see 4.3.9, note 2). This implies through equation (0.3) that νi → ∞ or 1/νi → 0,butitcausesnodifficultyinevaluating equation (G.2b). Further, assuming that vi → ∞ is not necessarily unrealistic; it is common practice to choose a– and a+ in such a way that the probability of the quantity in question lying outside the interval a– to a+ is extremely small. G.5  Další úvahy G.5  Other considerations G.5.1  V literatuře o nejistotě měření se nachází často používaný výraz k získání nejistoty, který má poskytnout interval s konfidenční úrovní 95 %: G.5.1  An expression found in the literature on measurement uncertainty and often used to obtain an uncertainty that is intended to provide an interval with a  95 percent level of confidence may be written as 2 2 2 1/2 95 95 eff 3U t s uν′ ′= +[ ( ) ] (G.4) sborníky technické harmonizace 2012 157 Zde t95 (ν′eff ) pochází z  t-rozdělení pro ν′eff stupně volnosti a  p  =  95  %; ν′eff je efektivní stupeň volnosti vypočítaný z  WelchSatterthwaitova vzorce [rovnice (G.2b)], když se berou v  úvahu pouze ty složky standardní nejistoty si , které jsou statisticky vyhodnocené z opakovaných pozorování aktuálního měření; 2 2 2 i is c s= ∑ ; /i ic f x≡ ∂ ∂ ; a  2 2 2 2 ( ) ( / 3)j j ju u y c a= =∑ ∑ potom platí pro všechny ostatní složky nejistoty, kde +aj a –aj jsou předpokládané přesně známé horní a dolní meze Xj vztažené k jejímu nejlepšímu odhadu xj (tj. xj  – aj ≤ Xj ≤ xj  + aj ). Here t95 (v′eff ) is taken from the t-distribution for ν′eff degrees of freedom and p = 95 percent; ν′eff is the effective degrees of freedom calculated from the Welch Satterthwaite formula [equation (G.2b)] taking into account only those standard uncertainty components si that have been evaluated statistically from repeated observations in the current measurement; 2 2 2 i is c s= ∑ ; /i ic f x≡ ∂ ∂ ; and 2 2 2 2 ( ) ( / 3)j j ju u y c a= =∑ ∑ accounts for all other components of uncertainty, where +aj and –aj are the assumed exactly known upper and lower bounds of Xj relative to its best estimate xj (that is, xj  – aj ≤ Xj ≤ xj + aj ). POZNÁMKA  Složka, založená na opakovaných pozorováních, mimo rámec stávajícího měření, je ošetřena stejným způsobem jako každá jiná složka zahrnutá v u2 . Z důvodu toho, aby významná porovnání byla prováděna mezi rovnicí (G.4) a rovnicí (G.5), je předpokládáno, že takové složky, pokud jsou přítomné, jsou zanedbatelné. NOTE  A component based on repeated observations made outside the current measurement is treated in the same way as any other component included in u2 . Hence, in order to make a meaningful comparison between equation (G.4) and equation (G.5) of the following subclause, it is assumed that such components, if present, are negligible. G.5.2  Jestliže rozšířená nejistota, která poskytuje interval s konfidenční úrovní 95 %, je vyhodnocena podle metody doporučené v G.3 a G.4, je výsledný výraz místo rovnice (G.4) G.5.2  If an expanded uncertainty that provides an interval with a 95 percent level of confidence is evaluated according to the methods recommended in G.3 and G.4, the resulting expression in place of equation (G.4) is 2 2 1/2 95 95 eff )U t uν= +( ) (s (G.5) kde νeff je vypočítána z rovnice (G.2b) a výpočet zahrnuje všechny složky nejistoty. where νeff is calculated from equation (G.2b) and the calculation includes all uncertainty components. sborníky technické harmonizace 2012 158 Ve většině případů, hodnota U95 z  rovnice (G.5) bude větší než hodnota 95U′ z rovnice (G.4), jestliže se předpokládá, že při vyhodnocení rovnice (G.5) jsou všechny rozptyly ze způsobu vyhodnocení B  získané z  apriorních pravoúhlých rozdělení s  polovičními šířkami, které jsou stejné jako meze aj použité k výpočtu u2 z rovnice (G.4). To je možné pochopit poznáním, že přestože t95 (ν′eff ) bude v mnoha případech o něco větší než t95 (veff ), oba činitele jsou blízké 2; a v rovnici (G.5) u2 je vynásobená 2 eff 4pt ν ≈( ) , zatímco v  rovnici (G.4) je vynásobená 3. Přestože oba výrazy poskytují stejné hodnoty 95U′ a U95 pro u2  << s2 , 95U′ bude asi o 13 procent menší než U95 , když u2  >>  s2 . Tedy obecně, rovnice (G.4) poskytuje nejistotu, která stanovuje interval, mající menší konfidenční úroveň než interval, stanovený pomocí rozšířené nejistoty, vypočtené z rovnice (G.5). In most cases, the value of U95 from equation (G.5) will be larger than the value of 95U′ from equation (G.4), if it is assumed that in evaluating equation (G.5), all Type B variances are obtained from a priori rectangular distributions with half-widths that are the same as the bounds aj used to compute u2 of equation (G.4). This may be understood by recognizing that, although t95 (ν′eff ) will in most cases be somewhat larger than t95 (veff ), both factors are close to 2; and in equation (G.5) u2 is multiplied 2 eff 4pt ν ≈( ) while in equation (G.4) it is multiplied by 3. Although the two expressions yield equal values of 95U′ and U95 for u2 << s2 , 95U′ will be as much as 13 percent smaller than U95 if u2 >> s2 . Thus in general, equation (G.4) yields an uncertainty that provides an interval having a smaller level of confidence than the interval provided by the expanded uncertainty calculated from equation (G.5). POZNÁMKY NOTES 1 S  mezními hodnotami u2 /s2 →  ∞ a  νeff →  ∞, 95U′ → 1,732u, zatímco U95 → 1,960u. V tomto případě, 95U′ stanovuje interval mající jen konfidenční úroveň 91,7 %, zatímco U95 stanovuje interval s 95 %. Tento případ se přibližuje praxi, kdy složky, získané z odhadů horní a dolní meze, jsou dominantní a  číselně z  hlediska velikosti jsou porovnatelné s hodnotami .acyu jjj 3/)( 222 = 1 In the limits u2 /s2 → ∞ and veff → ∞, 95U′ → 1,732u while U95 → 1,960u. In this case, 95U′ provides an interval having only a 91,7 percent level of confidence, while U95 provides a 95 percent interval. This case is approximated in practice when the components obtained from estimates of upper and lower bounds are dominant, large in number, and have values of 3222 /)( jjj acyu = that are of comparable size. 2 Pro normální rozdělení koeficient rozšíření k  =  3 ≈  1,732 poskytuje interval s  konfidenční úrovní p = 91,673 ... %. Tato hodnota p je robustní ve významu, že při porovnání s jakoukoliv další hodnotou je optimálně nezávislá na malých odchylkách vstupních veličin normálního rozdělení. 2 For a  normal distribution, the coverage factor k = 3 ≈ 1,732 provides an interval with a level of confidence p = 91,673 ... percent. This value of p is robust in the sense that it is, in comparison with that of any other value, optimally independent of small deviations of the input quantities from normality. G.5.3  Příležitostně má vstupní veličina Xi nesouměrné rozdělení: odchylky kolem její střední hodnoty mající stejné znaménko jsou mnohem pravděpodobnější, než odchylky s  opačným znaménkem (viz 4.3.8). Přestože to nemá vliv na hodnocení standardní nejistoty u(xi ) odhadu xi pro Xi , a tedy i na hodnocení uc (y), může to ovlivnit výpočet U. G.5.3  Occasionally an input quantity Xi is distributed asymmetrically  – deviations about its expected value of one sign are more probable than deviations of the opposite sign (see 4.3.8). Although this makes no difference in the evaluation of the standard uncertainty u(xi ) of the estimate xi of Xi , and thus in the evaluation of uc (y), it may affect the calculation of U. sborníky technické harmonizace 2012 159 Je obvykle vhodné poskytnout symetrický interval, Y  =  y  ±  U, pokud to není interval s  rozdílným oceněním mezi odchylkami se stejným a  opačným znaménkem. Jestliže asymetrie Xi je způsobena pouze malou nesouměrností rozdělení pravděpodobnosti charakterizovaného výsledkem měření y  a  jeho kombinovanou standardní nejistotou uc (y), pravděpodobnost ztracená na jedné straně uvedením na symetrický interval je nahrazená pravděpodobností získanou na straně druhé. Alternativa je poskytnout interval, který je z  hlediska pravděpodobnosti symetrický (a  tedy nesouměrný v  U): pravděpodobnost, že Y leží pod dolním limitem y  –  U– je rovna pravděpodobnosti, že U leží nad horním limitem y + U+ . Ale aby takové limity byly uvedeny, je potřeba více informací než pouze odhad y a uc (y) [a proto také více informací než odhady xi a u(xi ) pro každou vstupní veličinu Xi ]. It is usually convenient to give a symmetric interval, Y = y ± U, unless the interval is such that there is a cost differential between deviations of one sign over the other. If the asymmetry of Xi causes only a small asymmetry in the probability distribution characterized by the measurement result y and its combined standard uncertainty uc (y), the probability lost on one side by quote a symmetric interval is compensated by the probability gained on the other side. The alternative is to give an interval that is symmetric in probability (and thus asymmetric in U): the probability that Y lies below the lower limit y – U– is equal to the probability that Y lies above the upper limit y + U+ . But in order to quote such limits, more information than simply the estimates y and uc (y) [and hence more information than simply the estimates xi and u(xi ) of each input quantity Xi ] is needed. G.5.4  Hodnocení rozšířené nejistoty Up , zde uvedené pomocí uc (y), νeff a  činitelem tp (νeff ) z  t-rozdělení, je pouze aproximací a  má svoje omezení. Rozdělení (y  –  Y)/uc (y) je dané t-rozdělením pouze, když rozdělení Y  je normální, odhad y a jeho kombinovaná standardní nejistota uc (y) jsou nezávislé a jesliže rozdělení 2 c ( )u y je χ2 -rozdělení. Uvedení νeff , rovnice (G.2), se týká pouze posledního problému a poskytuje aproximaci χ2 -rozdělením pro 2 c ( )u y ; další část problému vznikající z nenormálního rozdělení Y požaduje uvažování momentů vyšších řádů, kromě rozptylu. G.5.4  The evaluation of the expanded uncertainty Up given here in terms of uc (y), veff , and the factor tp (veff ) from the t-distribution is only an approximation, and it has its limitations. The distribution of (y – Y)/uc (y) is given by the t-distribution only if the distribution of Y is normal, the estimate y and its combined standard uncertainty uc (y) are independent, and if the distribution of 2 c ( )u y is a χ2 distribution. The introduction of veff , equation (G.2b), deals only with the latter problem, and provides an approximately χ2 distribution for 2 c ( )u y ; the other part of the problem, arising from the non-normality of the distribution of Y, requires the consideration of higher moments in addition to the variance. sborníky technické harmonizace 2012 160 G.6  Souhrn a závěry G.6  Summary and conclusions G.6.1  Koeficient rozšíření kp , který poskytuje interval mající konfidenční úroveň p blížící se určené úrovni se může najít pouze, pokud existuje úplná znalost rozdělení pravděpodobnosti každé vstupní veličiny, a  když tato rozdělení jsou kombinována k  získání rozdělení výstupní veličiny. Odhady vstupů xi  a jejich standardní nejistoty u(xi ) pro tento účel samy nestačí. G.6.1  The coverage factor kp that provides an interval having a  level of confidence p close to a specified level can only be found if there is extensive knowledge of the probability distribution of each input quantity and if these distributions are combined to obtain the distribution of the output quantity. The input estimates xi and their standard uncertainties u(xi ) by themselves are inadequate for this purpose. G.6.2  Protože rozsáhlé výpočty, vyžadované ke kombinaci rozdělení pravděpodobností, jsou zřídka odůvodněné rozsahem a  spolehlivostí dostupných informací, je aproximace rozdělení výstupní veličiny přijatelná. Z  hlediska centrální limitní věty je obvykle postačující předpokládat, že rozdělení pravděpodobnosti (y – Y)/uc (y) je t-rozdělení, a že kp  = tp (νeff ) s t-faktorem založeným na počtu νeff efektivních stupňů volnosti uc (y), získaným z  Welch-Satterthwaitova vzorce, rovnice (G.2b). G.6.2  Because the extensive computations required to combine probability distributions are seldom justified by the extent and reliability of the available information, an approximation to the distribution of the output quantity is acceptable. Because of the Central Limit Theorem, it is usually sufficient to assume that the probability distribution of (y  – Y)/uc (y) is the t-distribution and take kp =  tp (veff ), with the t-factor based on an effective degrees of freedom veff of uc (y) obtained from the Welch Satterthwaite formula, equation (G.2b). G.6.3  Získání νeff z rovnice (G.2b) vyžaduje stupně volnosti vi každé složky standardní nejistoty. Pro složku získanou z  vyhodnocení způsobem A je νi získána z počtu opakovaných nezávislých pozorování, na kterých je odpovídající vstupní odhad založen a počtu nezávislých veličin určených z těchto pozorování (viz G.3.3). Pro složky získané z hodnocení způsobem B je νi získána z posouzení spolehlivosti hodnoty této složky [viz G.4.2 a rovnice (G.3)]. G.6.3  To obtain νeff from equation (G.2b) requires the degrees of freedom vi for each standard uncertainty component. For a component obtained from a Type A evaluation, vi is obtained from the number of independent repeated observations upon which the corresponding input estimate is based and the number of independent quantities determined from those observations (see G.3.3). For a component obtained from a  Type B evaluation, vi is obtained from the judged reliability of the value of that component [see G.4.2 and equation (G.3)]. G.6.4  Tedy následuje stručný souhrn preferované metody výpočtu rozšířené nejistoty Up  =  kp uc (y), zamýšlené k  poskytnutí intervalu Y  =  y  ±  Up , který má přibližně konfidenční úroveň p: G.6.4  Thus the following is a  summary of the preferred method of calculating an expanded uncertainty Up = kp uc (y) intended to provide an interval Y = y ± Up that has an approximate level of confidence p: 1) Získání y  a  uc (y), jak je uvedeno v  kapitolách 4 a 5. 1) Obtain y and uc (y) as described in clauses 4 and 5. sborníky technické harmonizace 2012 161 2) Výpočet νeff z Welch-Satterthwaitova vzorce, rovnice (G.2b) (opakovaná zde pro snadné nahlédnutí): 2) Compute veff from the Welch-Satterthwaite formula, equation (G.2b) (repeated here for easy reference): ( ) ( ) 4 eff 4 1 c N i i i u y u y ν ν= = ∑ (G.2b) Jestliže u(xi ) je získána z hodnocení způsobem A, stanoví se νi jak je uvedeno v G.3.3. Jestli u(xi ) je získána z hodnocení způsobem B a je na ni pohlíženo jako na přesně známou hodnotu, což se často stává v praxi, potom platí νi → ∞, jinak je odhad νi z rovnice (G.3). If u(xi ) is obtained from a Type A evaluation, determine νi as outlined in G.3.3. If u(xi ) is obtained from a Type B evaluation and it can be treated as exactly known, which is often the case in practice, νi → ∞ otherwise, estimate vi from equation (G.3). 3) Z  tabulky G.2 se získá t-faktor tp (νeff ) pro požadovanou konfidenční úroveň. Jestliže νeff není celé číslo, zaokrouhlí se interpolací nebo oříznutím na nejbližší nižší celé číslo. 3) Obtain the t-factor tp (νeff ) for the desired level of confidence p from table G.2. If νeff is not an integer, either interpolate or truncate νeff to the next lower integer. 4) Výpočet Up  = kp uc (y) pro kp  = tp (νeff ). 4) Take kp = tp (νeff ) and calculate Up = kp uc (y). G.6.5  V určitých situacích, které nenastávají v praxi příliš často, nemohou požadované podmínky pro centrální limitní větu být dostatečně splněny a  postup podle G.6.4 vede k nepřijatelnému výsledku. Například, jestliže uc (y) je ovládána složkou nejistoty vyhodnocené z  pravoúhlého rozdělení, o  jehož hranicích se předpokládá, že jsou přesně známy, je možné [když tp (νeff ) >  3 ], že y + Up a y – Up , horní a dolní meze intervalu, určené pomocí Up , mohou ležet mimo hranice rozdělení pravděpodobnosti výstupní veličiny Y. Takové případy musí být zpracovány na individuálním základě, ale jsou často přizpůsobitelné k aproximativnímu analytickému zpracování (obvykle zahrnuje konvoluci normálního rozdělení s pravoúhlým rozdělením [10]). G.6.5  In certain situations, which should not occur too frequently in practice, the conditions required by the Central Limit Theorem may not be well met and the approach of G.6.4 may lead to an unacceptable result. For example, if uc (y) is dominated by a component of uncertainty evaluated from a rectangular distribution whose bounds are assumed to be exactly known, it is possible [if tp (veff ) >  3 ] that y  + Up and y – Up , the upper and lower limits of the interval defined by Up , could lie outside the bounds of the probability distribution of the output quantity Y. Such cases must be dealt with on an individual basis but are often amenable to an approximate analytic treatment (involving, for example, the convolution of a normal distribution with a rectangular distribution [10]). G.6.6  Pro mnohá praktická měření v širokém rozsahu oblastí použití, jsou následující podmínky splněny: G.6.6  For many practical measurements in a  broad range of fields, the following conditions prevail: sborníky technické harmonizace 2012 162 – odhad y měřené veličiny Y je získán z odhadů xi z určitého počtu vstupních veličin Xi , které jsou popsatelné dobře se chovajícími rozděleními pravděpodobností, jako je normální a pravoúhlé rozdělení; – the estimate y of the measurand Y is obtained from estimates xi of a significant number of input quantities Xi that are describable by well-behaved probability distributions, such as the normal and rectangular distributions; – standardní nejistoty u(xi ) těchto odhadů, které mohou být získány z  hodnocení buď způsobem A, nebo způsobem B, přispívají srovnatelnými hodnotami ke kombinované standardní nejistotě uc (y) výsledku měření y; – the standard uncertainties u(xi ) of these estimates, which may be obtained from either Type A  or Type B evaluations, contribute comparable amounts to the combined standard uncertainty uc (y) of the measurement result y; – je dostatečná lineární aproximace použitá podle zákona o  šíření nejistoty (viz 5.1.2 a E.3.1); – the linear approximation implied by the law of propagation of uncertainty is adequate (see 5.1.2 and E.3.1); – nejistota uc (y) je dostatečně malá, protože její efektivní stupně volnosti νeff jsou významné, řekněme větší než 10. – the uncertainty of uc (y) is reasonably small because its effective degrees of freedom νeff has a significant magnitude, say greater than 10. Za těchto okolností rozdělení pravděpodobnosti, charakterizované výsledkem měření a  jeho kombinovanou standardní nejistotou, může být pokládáno za normální na základě centrální limitní věty; a  uc (y) může být považován jako dostatečně důvěryhodný odhad směrodatné odchylky normálního rozdělení v  důsledku významné velikosti νeff . Pak na základě vysvětlení uvedeného v této příloze zahrnujícího důraz na přibližný ráz průběhu hodnocení nejistoty a nepraktické obtížné rozlišování mezi intervaly majícími konfidenční úrovně, které se navzájem odchylují o 1 až 2 %, je dovoleno toto: Under these circumstances, the probability distribution characterized by the measurement result and its combined standard uncertainty can be assumed to be normal because of the Central Limit Theorem; and uc (y) can be taken as a reasonably reliable estimate of the standard deviation of that normal distribution because of the significant size of veff . Then, based on the discussion given in this annex, including that emphasizing the approximate nature of the uncertainty evaluation process and the impracticality of trying to distinguish between intervals having levels of confidence that differ by one or two percent, one may do the following: – dosadí se k  =  2  a  předpokládá se, že U  =  2  uc (y) určuje interval s konfidenční úrovní přibližně 95 % ; – adopt k = 2 and assume that U = 2 uc (y) defines an interval having a level of confidence of approximately 95 percent; nebo pro kritičtější použití or, for more critical applications, – dosadí se k  =  3  a  předpokládá se, že U = 3 uc (y) určuje interval s konfidenční úrovní přibližně 99 %. – adopt k = 3 and assume that U = 3 uc (y) defines an interval having a level of confidence of approximately 99 percent. sborníky technické harmonizace 2012 163 Ačkoliv tento přístup má být vhodný pro mnoho praktických měření, jeho aplikovatelnost na kterékoliv zvláštní měření bude záviset na tom, jak těsně k = 2 musíbýtk t95 (νeff )nebok =3 musíbýtk t99 (veff ); tj. jak těsně konfidenční úroveň intervalu určená pomocí U = 2 uc (y) nebo U = 3 uc (y) musí být 95  %  nebo 99  %. Přesto t95 (11) a t99 (11) budou při νeff  = 11, k = 2 a k = 3 nízko odhanuty, jen kolem 10 % a eventuelně 4  % (viz tabulka G.2), což není dovoleno v  některých případech přijmout. Dále poskytuje k = 3 pro všechny hodnoty νeff , které jsou trochu větší než 13, interval s konfidenční úrovní větší než 99 %. (Viz tabulka G.2, která také ukazuje, že pro νeff → ∞ jsou konfidenční úrovně při k = 2 a k = 3 v hodnotách 95,45 % a 99,73 %). Tedy, jestli tento přístup může být v praxi použit, rozhoduje hodnota νeff a  požadavky rozšířené nejistoty. Although this approach should be suitable for many practical measurements, its applicability to any particular measurement will depend on how close k  = 2  must be to t95 (νeff ) or k = 3 must be to t99 (νeff ); that is, on how close the level of confidence of the interval defined by U  = 2  uc (y) or U = 3 uc (y) must be to 95 percent or 99 percent, respectively. Although for νeff =  11, k = 2 and k = 3 underestimate t95 (11) and t99 (11) by only about 10 and 4 percent, respectively (see table G.2), this may not be acceptable in some cases. Further, for all values of νeff somewhat larger than 13, k = 3 produces an interval having a level of confidence larger than 99 percent. (See table G.2, which also shows that for νeff →  ∞ the levels of confidence of the intervals produced by k = 2 and k = 3 are 95,45 and 99,73 percent, respectively). Thus, in practice, the size of νeff and what is required of the expanded uncertainty will determine whether this approach can be used. sborníky technické harmonizace 2012 164 Tabulka G.2  – Hodnota tp (ν) z  t-rozdělení pro počet v  stupňů volnosti, která definuje interval–tp (ν) až +tp (ν) obsahující podíl p rozdělení Table G.2 – Value of tp (ν) from the t-distribution for degrees of freedom v that defines an interval–tp (ν) to +tp (ν) that encompasses the fraction p of the distribution Počet stupňů volnosti Podíl p v % Degrees of freedom Fraction p in percent ν 68,27(a) 90 95 95,45(a) 99 99,73(a) 1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235.80 2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62 5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90 7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53 8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28 9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09 10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96 11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85 12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76 13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,69 14 1,04 1,76 2,14 2,20 2,98 3,64 15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59 16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54 17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51 18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48 19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45 20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42 25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33 30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27 35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 3,23 40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20 45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18 50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16 100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077 ∞ 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000 a) Pro veličinu z popsanou normálním rozdělením s očekávanou hodnotou µz a směrodatnou odchylkou σ, intervalem µz  ± kσ s podílem p = 68,27 %, 95,45 %, a 99,73 % rozdělení pro k = 1, 2 a 3. a) For a quantity z described by a normal distribution with expectation µz and standard deviation σ, the interval µz ± kσ encompasses p = 68,27, 95,45, and 99,73 percent of the distribution for k = 1, 2 and 3, respectively. sborníky technické harmonizace 2012 165 Příloha H Annex H Příklady Examples Tato příloha uvádí šest příkladů H.1 až H.6, které jsou vypracovány značně podrobně, aby vysvětlily základní principy tohoto pokynu pro hodnocení a vyjádření nejistoty měření. Společně s  příklady zahrnutými v hlavním textu a některými přílohami má umožnit uživateli tohoto pokynu uvést tyto principy do praxe ve své práci. This annex gives six examples, H. 1 to H.6, which are worked out in considerable detail in order to illustrate the basic principles presented in this Guide for evaluating and expressing uncertainty in measurement. Together with the examples included in the main text and in some of the other annexes, they should enable the users of this Guide to put these principles into practice in their own work. Protože příklady jsou pro ilustrativní účely, musí být nutně zjednodušené. Mimo to, protože jsou příklady a číselná data v nich použitá vybrána tak, aby hlavně demonstrovala principy tohoto pokynu, nemusí tato data být nutně interpretována jako data popisující skutečná měření. Zatímco data jsou použita jako daná, za účelem vyvarování se chyb zaokrouhlováním, je více číslic ponecháno v mezivýpočtech, než je obvykle uváděno. Zde uvedený výsledek zahrnující různé veličiny se může lišit nepatrně od výsledku, který je obsažen v textu uvádějícím číselnou hodnotu těchto veličin. Because the examples are for illustrative purposes, they have by necessity been simplified. Moreover, because they and the numerical data used in them have been chosen mainly to demonstrate the principles of this Guide, neither they nor the data should necessarily be interpreted as describing real measurements. While the data are used as given, in order to prevent rounding errors, more digits are retained in intermediate calculations than are usually shown. Thus the stated result of a calculation involving several quantities may differ slightly from the result implied by the numerical values given in the text for these quantities. V předcházejícím textu tohoto pokynu je zdůrazněno, že klasifikace metod užívaných k  hodnocení složek nejistoty způsobem A nebo způsobem B se snadněji provádí. Není ale vyžadována pro určení kombinované standardní nejistoty nebo rozšířené nejistoty výsledku měření, pokud všechny složky nejistoty nezávisle na způsobu hodnocení jsou zpracovány stejným způsobem (viz 3.3.4, 5.1.2 a  E.3.7). Tedy, na příklad, metoda použitá k hodnocení určité složky není specificky identifikována jako metoda A nebo B. Z popisu bude jasné, zda složka byla získána hodnocením způsobem A nebo způsobem B. It is pointed out in earlier portions of this Guide that classifying the methods used to evaluate components of uncertainty as Type A or Type B is for convenience only; it is not required for the determination of the combined standard uncertainty or expanded uncertainty of a measurement result because all uncertainty components, however they are evaluated, are treated in the same way (see 3.3.4, 5.1.2, and E.3.7). Thus, in the examples, the method used to evaluate a  particular component of uncertainty is not specifically identified as to its type. However, it will be clear from the discussion whether a component is obtained from a Type A or a Type B evaluation. H.1  Kalibrace koncové měrky H.1  End-gauge calibration Tento příklad demonstruje, že zdánlivě jednoduché měření může vykazovat jemné aspekty hodnocení nejistoty. This example demonstrates that even an apparently simple measurement may involve subtle aspects of uncertainty evalu- ation. sborníky technické harmonizace 2012 166 H.1.1  Úloha měření H.1.1  The measurement problem Jmenovitá délka 50  mm koncové měrky je určená jejím porovnáním se známým etalonem, který má stejnou jmenovitou délku. Přímý výsledek porovnání těchto dvou mezních měřidel je rozdíl d mezi jejich dél- kami: The length of a nominally 50 mm end gauge is determined by comparing it with a known standard of the same nominal length. The direct output of the comparison of the two end gauges is the difference d in their lengths: d = l(1 + αθ) – lS (1 + αS θS ) (H.1) kde je where l měřená veličina, to je délka při 20 °C koncové měrky, která bude kalibrována; l is the measurand, that is, the length at 20  °C of the end gauge being calibrated; lS délka etalonu při 20  °C, jak je uvedena v  jeho kalibračním listu; lS is the length of the standard at 20 °C as given in its calibration certificate; α a αS koeficienty tepelné roztažnosti měrky, která bude kalibrována, eventuelně eta- lonu; α and αS are the coefficients of thermal expansion, respectively, of the gauge being calibrated and the standard; θ a θS odchylky teploty měrky, respektive etalonu od 20  °C referenční teploty. θ and θS are the deviations in temperature from the 20 °C reference temperature, respectively, of the gauge and the standard. H.1.2  Matematický model H.1.2  Mathematical model Měřená veličina z rovnice (H.1) je dána rov- nicí From equation (H.1), the measurand is given by l  S S S(1 ) (1 ) l dα θ αθ + + = + ( ) . . .S S S Sl d l α θ αθ= + + − + (H.2) Jestliže rozdíl mezi teplotou kalibrované koncové měrky a  teplotou etalonu je popsán jako δθ  =  θ  –  θS a  rozdíl mezi jejich koeficienty tepelné roztažnosti jako δα = α – αS , obdrží se z rovnice (H.2) If the difference in temperature between the end gauge being calibrated and the standard is written as δθ = θ – θS , and the difference in their thermal expansion coefficients as δα = α – αS , equation (H.2) be- comes ( )S S S S S, , , , ,l f l d l d lα θ α θ α θ α θ= δ δ = + − δ × + × δ( ) (H.3) sborníky technické harmonizace 2012 167 Rozdíly δθ a δα, ale ne jejich nejistoty, mají odhad roven nule; a  o δα, αS , δθ, a  θ, se předpokládá, že jsou nekorelované. (Kdyby byla měřená veličina vyjádřena v závislosti na θ, θS , α a αS , tak by musela být vzata v úvahu korelace mezi θ a θS a mezi α a αS ). The differences δθ and δα but not their uncertainties, are estimated to be zero; and δα, αS , δθ, and θ are assumed to be uncorrelated. (If the measurand were expressed in terms of the variables θ, θS , α and αS , it would be necessary to include the correlation between θ and θS , and between α and αS .) Tedy z rovnice (H.3) vyplývá, že odhad hodnoty měřené veličiny l  může být získán z jednoduchého výrazu lS  +d , kde lS je délka etalonu při 20 °C, jak je dána v jeho kalibračním listu, a d je odhadnutá pomocí d , aritmetického průměru n = 5 nezávislých opakovaných pozorování. Kombinovaná standardní nejistota uc (l) je získána použitím rovnice (10) v  5.1.2 v  rovnici (H.3), jak je následně vysvětleno. It thus follows from equation (H.3) that the estimate of the value of the measurand l  may be obtained from the simple expression lS +  d where lS is the length of the standard at 20 °C as given in its calibration certificate and d  is estimated by d the arithmetic mean of n = 5 independent repeated observations. The combined standard uncertainty uc (l) of l is obtained by applying equation (10) in 5.1.2 to equation (H.3), as discussed below. POZNÁMKA  V tomto a dalších příkladech je pro zjednodušení použita stejná značka veličiny i jejího odhadu. NOTE  In this and the other examples, for simplicity of notation, the same symbol is used for a quantity and its estimate H.1.3  Přispívající rozptyly H.1.3  Contributory variances Související body tohoto příkladu, jak jsou probrány v  tomto a  následujících článcích, jsou shrnuty v tabulce H.1. The pertinent aspects of this example as discussed in this and the following subclauses are summarized in table H.1. Protože se předpokládá, že δα = 0 a δθ = 0, použití rovnice (10) v  5.1.2 v rovnici (H.3) poskytne Since it is assumed that δα =  0 and δθ =  0, the application of equation (10) in 5.1.2 to equation (H.3) yields 2 ( )cu l S 2 2 2 2 2 2 S S S( ) ( ) ( )dc u l c u d c uα α= + + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )c u c u c uθ α θθ α θδ δ+ + δ + δ (H.4) se with cS = ∂ƒ/∂lS  = 1 – (δα θ + αS  δθ) = 1 cd = ∂ƒ/∂d = 1 S cα = ∂ƒ/∂αS  = –lS δθ = 0 cθ = ∂ƒ/∂θ = –lS δα = 0 cδα = ∂ƒ/∂δα = –lS θ cδθ = ∂f/∂δθ = –lS αS a kde and thus 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S S S( ) ( ) ( ) ( ) ( )c su l u l u d l u l uθ α α θ= + + δ + δ (H.5) sborníky technické harmonizace 2012 168 H.1.3.1  Nejistota kalibrace etalonu, u(lS ) H.1.3.1  Uncertainty of the calibration of the standard, u(lS ) Kalibrační list udává rozšířenou nejistotu etalonu U = 0,075 µm a uvádí, že byla získána použitím koeficientu rozšíření k = 3. Standardní nejistota je tedy The calibration certificate gives as the expanded uncertainty of the standard U  = 0,075 µm and states that it was obtained using a coverage factor of k = 3. The standard uncertainty is then u(lS ) = (0,075 µm)/3 = 25 nm H.1.3.2  Nejistota měřeného rozdílu délek, u(d) H.1.3.2  Uncertainty of the measured difference in lengths, u(d) Sdružená výběrová směrodatná odchylka charakterizující porovnání měření l a lS byla určena z  rozptylu 25 nezávislých opakovaných pozorování rozdílů délek dvou etalonů mezních měřidel a  bylo zjištěno, že je 13 nm. K porovnání v tomto případě bylo vzato pět opakovaných pozorování. Standardní nejistota spojená s aritmetickým průměrem těchto hodnot je tedy (viz 4.2.4) The pooled experimental standard deviation characterizing the comparison of l  and lS was determined from the variability of 25 independent repeated observations of the difference in lengths of two standard end gauges and was found to be 13 nm. In the comparison of this example, five repeated observations were taken. The standard uncertainty associated with the arithmetic mean of these readings is then (see 4.2.4) 13nm 5 5,8nmu d s d= = =( ) ( ) ( ) Podle kalibračního listu komparátoru použitého k porovnání l s lS , jehož nejistota „z důvodu náhodných chyb“ je ±0,01 µm při konfidenční úrovni 95 % z 6 opakovaných měření; tedy standardní nejistota, použitím t-faktoru t95 (5) = 2,57 pro ν = 6 –1 = 5 stupňů volnosti (viz příloha G, tabulka G.2), je According to the calibration certificate of the comparator used to compare l with lS , its uncertainty “due to random errors” is ±0,01 µm at a level of confidence of 95 percent and is based on 6  replicate measurements; thus the standard uncertainty, using the t-factor t95 (5) = 2,57 for ν = 6 – 1 = 5 degrees of freedom (see annex G, table G.2), is 1 = µ =(0,01 m) 2,57 3,9 nmu(d ) Nejistota komparátoru „z důvodu systematických chyb“ je dána certifikací jako 0,02 µm při „úrovni tři sigma“. Standardní nejistota z tohoto důvodu může tedy být brána takto The uncertainty of the comparator “due to systematic errors” is given in the certificate as 0,02 µm at the „three sigma level.” The standard uncertainty from this cause may therefore be taken to be = µ =2 (0,02 m) 3 6,7 nmu(d ) Celkový příspěvek je získán ze součtu odhadnutých rozptylů: The total contribution is obtained from the sum of the estimated variances: u2 (d) =  2 2 2 1 2( ) ( ) ( )u d u d u d+ + =2 93 nm nebo or u(d) = 9,7 nm sborníky technické harmonizace 2012 169 Tabulka H.1 – Přehled složek standardní nejistoty Table H.1 – Summary of standard uncertainty components Složka standardní nejistoty u(xi ) Zdroj nejistoty Hodnota standardní nejistoty u(xi ) ci ≡∂f/∂xi ui (l) ≡|ci | u(xi ) (nm) Počet stupňů volnosti Standard uncertainty component u(xi ) Source of uncertainty Value of standard uncertainty u(xi  ) Degrees of freedom u(lS ) kalibrace etalonu koncové měrky Calibration of standard end gauge 25 nm 1 25 18 u(d) měřená odchylka mezi koncovými měrkami Measured difference between end gauges 9,7 nm 1 9,7 25,6 )(du opakovaná pozorování repeated observations 5,8 nm 24 u(d1 ) náhodné vlivy komparátoru random effects of comparator 3,9 nm 5 u(d2 ) systematické vlivy komparátoru systematic effects of comparator 6,7 nm 8 u(αS ) koeficient tepelné roztažnosti etalonu koncové měrky Thermal expansion coefficient of standard end gauge 1,2 x 10–6 °C–1 0 0 u(θ) teplota zkušebního držáku Temperature of test bed 0,41 °C 0 0 )(θu střední hodnota teploty držáku mean temperature of bed 0,2 °C u(Δ) cyklické kolísání hodnoty teploty místnosti cyclic variation of temperature of room 0,35 °C u(δα) odchylka koeficientu roztažnosti koncových měrek Difference in expansion coefficients of end gauges 0,58 x 10–6 °C–1 –lS θ 2,9 50 u(δθ) odchylka teploty koncových měrek Difference in temperatures of end gauges 0,029 °C –lS αS 16,6 2 )()(c lulu i∑= 22 = 1 002 nm2 uc (l) = 32 nm veff (l) = 16 sborníky technické harmonizace 2012 170 H.1.3.3  Nejistota součinitele tepelné roztažnosti, u(αS ) H.1.3.3  Uncertainty of the thermal expansion coefficient, u(αS ) Součinitel tepelné roztažnosti etalonu koncové měrky je dán jako αS  = 11,5 x 10–6  °C–1 s nejistotou vyjádřenou pravoúhlým rozdělením majícím meze ±2 x 10–6 °C–1 . Standardní nejistota je tedy [viz rovnice (7) v 4.3.7] The coefficient of thermal expansion of the standard end gauge is given as αS =  11,5 x 10–6 °C–1 with an uncertainty represented by a  rectangular distribution with. bounds ±2 x 10–6 °C–1 The standard uncertainty is then [see equation (7) in 4.3.7] ( ) 6 1 6 12 10 C 1,2 10 C 3 su α − − − −× ° = = × ° Zatímco S S S 0c f lα α θ=∂ ∂ =− δ = , jak je znázorněna v H.1.3, tato nejistota nijak nepřispívá k nejistotě l prvního řádu. Avšak má příspěvek druhého řádu, jak je vysvětleno v H.1.7. Since S S S 0c f lα α θ=∂ ∂ =− δ = as indicated in H.1.3, this uncertainty contributes nothing to the uncertainty of l in first order. It does, however, have a second-order contribution that is discussed in H.1.7. H.1.3.4  Nejistota odchylky teploty mezního měřidla, u(θ) H.1.3.4  Uncertainty of the deviation of the temperature of the end gauge, u(θ) Teplota zkušebního držáku je uvedena (19,9 ±  0,5) °C; teplota během jednotlivých pozorování nebyla zaznamenávána. Stanovená maximální odchylka Δ = 0,5 °C má vyjadřovat přibližnou amplitudu cyklického kolísání teploty vlivem termostatického systému a ne nejistotu střední hodnoty teploty. Hodnota střední odchylky teploty Thetemperatureofthetestbedisreportedas (19,9 ±  0,5) °C; the temperature at the time of the individual observations was not recorded. The stated maximum offset, Δ = 0,5 °C, is said to represent the amplitude of an approximately cyclical variation of the temperature under a  thermostatic system, not the uncertainty of the mean temperature. The value of the mean temperature deviation 19,9 C 20 C 0 1 C,θ = ° − ° =− ° je zaznamenána, že má standardní nejistotu způsobenou vlastní nejistotou střední hodnoty teploty zkušebního držáku is reported as having a standard uncertainty itself due to the uncertainty in the mean temperature of the test bed of ( ) 0,2 Cu θ= ° zatímco cyklické kolísání v  čase vytváří rozdělení teplot ve tvaru U  (arcussinus) a vyúsťuje ve standardní nejistotu while the cyclic variation in time produces a  U-shaped (arcsine) distribution of temperatures resulting in a  standard uncertainty of u(Δ) (0,5 C) 2 0,35 C= ° = ° Teplotní odchylku θ je dovoleno brát rovnou θ ; standardní nejistota θ je získána z The temperature deviation θ may be taken equal to θ , and the standard uncertainty of θ is obtained from 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0,165 Cu u uθ θ= + ∆= °u2 (Δ) = 0,165 °C sborníky technické harmonizace 2012 171 a z toho vyplývá which gives u(θ) = 0,41 °C Zatímco cθ  = ∂ƒ/∂θ = –lS δα = 0, jak je uvedeno v odstavci H.1.3, tato nejistota také nijak nepřispívá k nejistotě l prvního řádu. Ale má příspěvek druhého řádu, jak je vysvětleno v H.1.7. Since cθ = ∂ƒ/∂θ = –lS δα = 0 as indicated in H.1.3, this uncertainty also contributes nothing to the uncertainty of l in first order; but it does have a second-order contribution that is discussed in H.1.7. H.1.3.5  Nejistota rozdílu součinitelů roztažnosti, u(δα) H.1.3.5  Uncertainty of the difference in expansion coefficients, u(δα) Odhad hranic rozptylu δα je ±1 x 10–6  °C–1 , δα může mít se stejnou pravděpodobností jakoukoliv hodnotu uvnitř těchto mezí. Standardní nejistota je The estimated bounds on the variability of δα are ±1 x 10–6 °C–1 with an equal probability of δα having any value within those bounds. The standard uncertainty is 6 1 6 1 ( ) (1 10 C ) 3 0,58 10 Cu α − − − − δ =× ° = × ° H.1.3.6  Nejistota rozdílu mezi teplotami měřidel, u(δθ) H.1.3.6  Uncertainty of the difference in temperatures of the gauges, u(δθ) Očekává se, že etalonová a  zkoušená měřidla mají stejnou teplotu, ale rozdíl teploty může se stejnou pravděpodobností ležet kdekoliv uvnitř odhadnutého intervalu –0,05 °C až +0,05 °C. Standardní nejistota je The standard and the test gauge are expected to be at the same temperature, but the temperature difference could lie with equal probability anywhere in the estimated interval –0,05 °C to +0,05 °C. The standard uncertainty is ( ) (0,05 C) 3 0,029 Cu θδ= ° = ° H.1.4  Kombinovaná standardní nejistota H.1.4  Combined standard uncertainty Kombinovaná standardní nejistota uc (l) je vypočítána z rovnice (H.5). Jednotlivé prvky jsou shromážděny a dosazeny do tohoto výrazu k získání The combined standard uncertainty uc (l) is calculated from equation (H.5). The individual terms are collected and substituted into this expression to obtain 2 ( )cu l = (25 nm)2 + (9,7 nm)2 + (0,05 m)2 (–0,1 °C)2 (0,58 x 10–6 ° C–1 )2 + (0,05 m)2 (11,5 x 10–6 °C–1 )2 (0,029 °C)2 (H.6a) = (25 nm)2 + (9,7 nm)2 + (2,9 nm)2 + (16,6 nm)2 =  1 002 nm2 (H.6b) nebo or uc (l) = 32 nm (H.6c) Dominantní složka nejistoty je zřejmě složkou etalonu, u(lS ) = 25 nm. The dominant component of uncertainty is obviously that of the standard, u(lS ) = 25 nm. sborníky technické harmonizace 2012 172 H.1.5  Konečný výsledek H.1.5  Final result Kalibrační certifikát etalonové koncové měrky udává lS  = 50,000 623 mm jako jeho délku při 20 °C. Aritmetický průměr d pěti opakovaných pozorování rozdílu délek mezi neznámým mezním měřidlem a etalonem je 215 nm. Tedy zatímco l = lS  +  d (viz H.1.2), délka l neznámého mezního měřidla při 20 °C je 50,000 838 mm. Podle 7.2.2 je dovoleno konečný výsledek měření vyjádřit jako: The calibration certificate for the standard end gauge gives lS = 50,000 623 mm as its length at 20 °C. The arithmetic mean d of the five repeated observations of the difference in lengths between the unknown end gauge and the standard gauge is 215 nm. Thus, since l = lS + d (see H.1.2), the length l  of the unknown end gauge at 20 °C is 50,000  838 mm. Following 7.2.2, the final result of the measurement may be stated as: l = 50,000 838 mm s kombinovanou standardní nejistotou uc  = 32 nm. Odpovídající relativní kombinovaná standardní nejistota je uc /l = 6,4 x 10–7 . l = 50,000 838 mm with a combined standard uncertainty uc = 32 nm. The corresponding relative combined standard uncertainty is uc / l = 6,4 x 10–7 . H.1.6  Rozšířená nejistota H.1.6  Expanded uncertainty Je požadováno získat rozšířenou nejistotu U99  =  k99 uc (l), která poskytuje interval s konfidenční úrovní přibližně 99 %. Použitý postup je shrnut v  G.6.4 a  požadované stupně volnosti jsou uvedeny v tabulce H.1. Ty byly získány následovně: Suppose that one is required to obtain an expanded uncertainty U99  =  k99 uc (l) that provides an interval having a level of confidence of approximately 99 percent. The procedure to use is that summarized in G.6.4, and the required degrees of freedom are indicated in table H.1. These were obtained as follows: 1) Nejistota u(lS ) kalibrace etalonu [H.1.3.1]. Kalibrační list uvádí, že efektivní stupně volnosti kombinované standardní nejistoty, ze kterých je uvedená rozšířená nejistota získána, jsou νeff (lS ) = 18. 1) Uncertainty of the calibration of the standard, u(lS ) [H. 1.3.1]. The calibration certificate states that the effective degrees of freedom of the combined standard uncertainty from which the quoted expanded uncertainty was obtained is νeff (lS ) = 18. sborníky technické harmonizace 2012 173 2) Nejistota u(d) měřeného rozdílu délek [H.1.3.2]. Ačkoli d byl získán z pěti opakovaných pozorování, je dν( ) = 25 – 1 = 24 stupňů volnosti pro ( )u d , protože u(d ) byla získána ze sdružené výběrové směrodatné odchylky na základě 25 pozorování (viz H.3.6, poznámka). Počet stupňů volnosti pro u(d1 ), nejistoty náhodných vlivů na komparátor, je v(d1 )  =  6  –  1  =  5, protože d1 bylo získáno ze šesti opakovaných měření. U nejistoty ±0,02 µm, způsobené systematickými vlivy na komparátor je dovoleno předpokládat, že je spolehlivá ze 25 %. Počet stupňů volnosti z  rovnice (G.3) v G.4.2 je ν(d2 ) = 8 (viz příklad v G.4.2). Efektivní počet stupňů volnosti νeff (d) pro u(d) je tedy získán z rovnice (G.2b) v G.4.1: 2) Uncertainty of the measured difference in lengths, u(d) [H.1.3.2]. Although d was obtained from five repeated observations, because ( )u d was obtained from a  pooled experimental standard deviation based on 25 observations, the degrees of freedom of ( )u d is dν( ) =  25  – 1 =  24 (see H.3.6, note). The degrees of freedom of u(d1 ), the uncertainty due to random effects on the comparator, is v(d1 ) = 6 – 1 = 5 because d1 was obtained from six repeated measurements. The ±0,02  µm uncertainty for systematic effects on the comparator may be assumed to be reliable to 25 percent, and thus the degrees of freedom from equation (G.3) in G.4.2 is ν(d2 ) =  8 (see the example of G.4.2). The effective degrees of freedom of u(d), νeff (d), is then obtained from equation (G.2b) in G.4.1: 2 2 2 2 1 2 eff 4 44 1 2 1 2 ( ) u d u d u d d u d u du d d dd ν ν νν + + = + + [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 4 4 4 4 (9,7 nm) 25,6 (5,8 nm) (3,9 nm) (6,7 nm) 24 5 8 = = + + 3) Nejistota u(δα) rozdílu mezi koeficienty roztažnosti [H.1.3.5]. Odhad mezí ±1 x 10–6 °C–1 pro rozptyl δα je považován za spolehlivý z 10 %. To dává z rovnice (G.3) v G.4.2 ν(δα) = 50. 3) Uncertainty of the difference in expansion coefficients, u(δα) [H.1.3.5]. The estimated bounds of ±1 x 10–6 °C–1 on the variability of δα are deemed to be reliable to 10 percent. This gives, from equation (G.3) in G.4.2, ν(δα) = 50. 4) Nejistota u(δα) rozdílu mezi teplotami měrek, [H.1.3.6]. Odhad intervalu rozdílu teplot δθ –0,05  °C  až  +0,05  °C je pokládán za spolehlivý pouze z  50  %, což z rovnice (G.3) v odstavci G.4.2 dává ν (δθ) = 2. 4) Uncertainty of the difference in temperatures of the gauges, u(δα) [H.1.3.6]. The estimated interval –0,05 °C to +0,05 °C for the temperature difference δθ is believed to be reliable only to 50 percent, which from equation (G.3) in G.4.2 gives ν(δθ) = 2. Při výpočtu νeff (l) z rovnice (G.2b) v G.4.1 se postupuje přesně stejnou cestou jako při výpočtu νeff (d) v  předcházejícím bodě 2). Tedy z rovnice (H.6b) a (H.6c) s hodnotami pro ν uvedenými v bodech 1) až 4) The calculation of νeff (l) from equation (G.2b) in G.4.1 proceeds in exactly the same way as for the calculation of νeff (d) in 2) above. Thus from equations (H.6b) and (H.6c) and the values for ν given in 1) through 4), sborníky technické harmonizace 2012 174 νeff (l) = 4 4 4 4 4 (32 nm) (25 nm) (9,7 nm) (2,9 nm) (16,6 nm) 18 25,6 50 2 + + + = 16,7 K získání požadované rozšířené nejistoty je tato hodnota nejdříve zaokrouhlena k  nejblíže menšímu celému číslu, νeff (l) = 16. Potom z tabulky G.2 v příloze G následuje t99 (16) = 2,92 a odtud U99  = t99 (16)uc (l) = 2,92 x (32 nm) = 93 nm. Potom z  rovnice 7.2.4 může být konečný výsledek měření stanoven takto: To obtain the required expanded uncertainty, this value is first truncated to the next lower integer, veff (l) = 16. It then follows from table G.2 in annex G that t99 (16) = 2,92, and hence U99 = t99 (16)uc (l) = 2,92 x (32 nm) = 93 nm. Following 7.2.4, the final result of the measurement may be stated as: l = (50,000 839 ± 0,000 093) mm, kde číslo následující za znakem ± je číselná hodnota rozšířené nejistoty U = kuc , s U určenou z  kombinované standardní nejistoty uc  = 32 nm a koeficintu rozšíření k = 2,92, jehož hodnota spočívá na t-rozdělení pro ν  =  16 stupňů volnosti a  určuje interval s  odhadnutou konfidenční úrovní 99  %. Odpovídající relativní rozšířená nejistota je U/l = 1,9 x 10-6 . l = (50,000 838 ± 0,000 093) mm, where the number following the symbol ± is the numerical value of an expanded uncertainty U  = kuc , with U  determined from a  combined standard uncertainty uc = 32 nm and a  coverage factor k  = 2,92 based on the t-distribution for ν  = 16 degrees of freedom, and defines an interval estimated to have a level of confidence of 99 percent. The corresponding relative expanded uncertainty is U/l = 1,9 x 10–6 H.1.7  Prvky druhého řádu H.1.7  Second-order terms Poznámka k  5.1.2 vysvětluje, že rovnice (10), která je použita v  tomto příkladu k získání kombinované standardní nejistoty uc (l), musí být rozšířena, pokud je neliearita funkce Y = f(X1 , X2 . ..., XN ) tak významná, že nesmí být opominuty prvky vyššího řádu rozvoje Taylorovy řady. V  případě tohoto příkladu, hodnocení uc (l), jak je uvedeno dále, není úplné. Použití výrazu uvedeného v poznámce k 5.1.2 v rovnici (H.3) poskytuje ve skutečnosti dva rozdílné neopomenutelné členy druhého řádu k přičítání k rovnici (H.5). Tyto prvky, které vznikají z  kvadratického členu výrazu v poznámce, jsou The note to 5.1.2 points out that equation (10), which is used in this example to obtain the combined standard uncertainty uc (l), must be augmented when the nonlinearity of the function Y = f(X1 , X2 , ..., XN ) is so significant that the higher-order terms in the Taylor series expansion cannot be neglected. Such is the case in this example, and therefore the evaluation of uc (l) as presented up to this point is not complete. Application to equation (H.3) of the expression given in the note to 5.1.2 yields in fact two distinct non-negligible second-order terms to be added to equation (H.5). These terms, which arise from the quadratic term in the expression of the note, are 2 2 2 2 2 2 S S S( ) ( ) ( ) ( )l u u l u uα θ α θδ + δ ale pouze první z  těchto členů přispívá významně k uc (l): but only the first of these terms contributes significantly to uc (l): sborníky technické harmonizace 2012 175 lS u(δα) u(θ) = (0,05m) (0,58 x 10–6 °C–1 ) (0,41 °C) = 11,7 nm lS u(αS )u(δθ) = (0,05m) (1,2 x 10–6 °C–1 ) (0,029 °C) = 1,7 nm Členy druhého řádu zvyšují uc (l) z 32 nm na 34 nm. The second-order terms increase uc (l) from 32 nm to 34 nm. H.2  Simultánní měření odporu a reaktance H.2  Simultaneous resistance and reactance Tento příklad demonstruje zpracování hromadných měřených veličin nebo výstupních veličin určených současně ve stejném měření a  korelaci jejich odhadů. Bere v  úvahu pouze pozorování náhodných kolísání; nejistota korekcí systematických vlivů v  aktuální praxi by mohla také přispívat k  nejistotě výsledků měření. Data jsou analyzována dvěma odlišnými způsoby, ale oba v podstatě poskytují stejné číselné hodnoty. This example demonstrates the treatment of multiple measurands or output quantities determined simultaneously in the same measurement and the correlation of their estimates. It considers only the random variations of the observations; in actual practice, the uncertainties of corrections for systematic effects would also contribute to the uncertainty of the measurement results. The data are analysed in two different ways with each yielding essentially the same numerical values. H.2.1  Úloha měření H.2.1  The  measurement problem Odpor R a reaktance X obvodového prvku jsou určené měřením amplitudy sinusového střídavého napětí V na jeho svorkách, amplitudy střídavého proudu I , který jím protéká a úhlu fázového posuvu ϕ střídavého napětí ve vztahu ke střídavému proudu. Tři vstupní veličiny tedy jsou V, I a ϕ a tři výstupní ve- ličiny – měřené veličiny – jsou tři složky impedance R, X a Z. Protože Z2  = R2  + X2 , jsou zde pouze dvě nezávislé výstupní veličiny. The resistance R  and the reactance X  of a circuit element are determined by measuring the amplitude V  of a  sinusoidallyalternating potential difference across its terminals, the amplitude I of the alternating current passing through it, and the phase-shift angle ϕ of the alternating potential difference relative to the alternating current. Thus the three input quantities are V, I and ϕ  and the three output quantities – the measurands – are the three impedance components R, X, and Z. Since Z2 = R2 + X2 , there are only two independent output quantities. H.2.2  Matematický model a data H.2.2  Mathematical model and data Měřené veličiny se vztahují ke vstupním veličinám podle Ohmova zákona: The measurands are related to the input quantities by Ohm’s law: ; ; V V V R X Z= = =cos sinÖ Ö I I I Φ;; ; V V V R X Z= = =cos sinÖ Ö I I I Φ; ; V V V R X Z= = =cos sinÖ Ö I I I (H.7) sborníky technické harmonizace 2012 176 Předpokládá se, že pět nezávislých množin současných pozorování vstupních veličin V, I  a  ϕ  je získáno za stejných podmínek (viz B.2.15) a  výsledkem jsou data uvedená v  tabulce H.2. Dále jsou také uvedeny aritmetické průměry těchto pozorování a  výběrové směrodatné odchylky těchto průměrů vypočítaných z  rovnic (3) a  (5) v  4.2. Střední hodnoty jsou brány jako nejlepší odhady očekávaných hodnot vstupních veličin a  výběrové směrodatné odchylky jsou standardní nejistoty těchto středních hodnot. Consider that five independent sets of simultaneous observations of the three input quantities V, I, and ϕ are obtained under similar conditions (see B.2.15), resulting in the data given in table H.2. The arithmetic means of the observations and the experimental standard deviations of those means calculated from equations (3) and (5) in 4.2 are also given. The means are taken as the best estimates of the expected values of the input quantities, and the experimental standard deviations are the standard uncertainties of those means. Jelikož střední hodnoty V , I a ϕ jsou získány ze současných pozorování, jsou korelované a korelace musí být vzata v úvahu při hodnocení standardních nejistot měřených veličin R, X a Z. Požadované korelační koeficienty jsou snadno získány z  rovnice (14) z  5.2.2 použitím hodnot ,s V( )I , ( , )s V ϕ a  ,s ϕ( )I vypočítaných z  rovnice (17) v 5.2.3. Výsledky jsou zahrnuty do tabulky H.2, kde se má myslet na to, že obecně r(xi , xj ) = r(xj , xi ) a r(xi , xi ) = 1. Because the means V , I , and ϕ are obtained from simultaneous observa- tions,  they are correlated and the correlations must be taken into account in the evaluation of the standard uncertainties of the measurands R, X, and Z. The required correlation coefficients are readily obtained from equation (14) in 5.2.2 using values of ,s V( )I , ( , )s V ϕ , and ,s ϕ( )I calculated from equation (  17) in 5.2.3. The results are included in table H.2, where it should be recailed that r(xi , xj ) = r(xj , xi ) and r(xi , xi ) = 1. Φ _ Φ _ Φ _ Φ _ Φ _ Φ _ sborníky technické harmonizace 2012 177 Tabulka H.2 – Hodnoty vstupních veličin V, I a Φ získaných z pěti sad současných pozorování Table H.2 – Values of the input quantities V, I, and Φ obtained from five sets of simultaneous observations Číslo sady pozorování Set number Vstupní veličiny Input quantities k V I Φ (V ) (mA) (rad) 1 5,007 19,663 1,045 6 2 4,994 19,639 1,043 8 3 5,005 19,640 1,046 8 4 4,990 19,685 1,042 8 5 4,999 19,678 1,043 3 Aritmetický průměr Arithmetic mean V  = 4,999 0 I  = 19,661 0 φ = 1,044 46 Výběrová směrodatná odchylka středních hodnot Experimental standard deviation of mean )(Vs = 0,003 2 )(Is = 0,009 5 )(φs   = 0,000 75 korelační koeficienty Correlation coefficients =),( IVr –0,36 =),V(r φ 0,86 =),( φIr –0,65 H.2.3  Výsledky: první přístup H.2.3  Results: approach 1 První přístup je shrnut v tabulce H.3. Approach 1 is summarized in Table H .3. Hodnoty tří měřených veličin R, X a Z jsou získány ze vztahů uvedených v  rovnici (H.7) použitím středních hodnot V , I a ϕ uvedených v tabulce H.2 pro V, I a ϕ. Standardní nejistoty R, X a Z jsou získány z rovnice (16) v 5.2.2 zatímco, jak bylo předtím zjištěno, vstupní veličiny V , I a ϕ jsou korelované. Jako příklad se uvažuje Z V= / I . Ztotožněním V s x1 , I s x2 a f s Z V= / I , rovnice (16) v 5.2.2 poskytuje kombinovanou standardní nejistotu Z The values of the three measurands R, X, and Z are obtained from the relations given in equation (H.7) using the mean values V , I , and ϕ of table H.2 for V, I, and ϕ. The standard uncertainties of R, X, and Z are obtained from equation (16) in 5.2.2 since, as pointed out above, the input quantities V , I , and ϕ are correlated. As an example, consider Z V= / I . Identifying V with x1 , I with x2 and f with Z V= / I , equation (16) in 5.2.2 yields for the combined standard uncertainty of Z Φ _ Φ _ Φ _ Φ _ sborníky technické harmonizace 2012 178 2 c ( )u Z = 22 2 2 2 1 V u V u    +        ( ) ( )I I I   2 1 2 V u V u r V    + −       ( ) ( ) ( , )I I I I (H.8a) = 2 2 2 2u V u Z Z V     +       ( ) ( )I I 2 2 u V u Z r V V     −        ( ) ( ) ( , ) I I I (H.8b) nebo or 2 c,r ( )u Z = 2 2 r ru V u+( ) ( )I r r2u V u r V− ( ) ( ) ( , )I I (H.8c) kde ,u V s V u s= =( ) ( ) ( ) ( )I I a  index „r“ v  posledním výrazu vyjadřuje, že u  je relativní nejistota. Dosazením vhodných číselných hodnot z tabulky H.2 do rovnice (H.8a) potom je uc (Z) = 0,236 W. where ,u V s V u s= =( ) ( ) ( ) ( )I I , and the subscript “r” in the last expression indicates that u is a relative uncertainty Substitution of the appropriate values from table H.2 into equation (H.8a) then gives uc (Z)= 0,236 W. Protože měřené veličiny nebo výstupní veličiny jsou závislé na stejných vstupních veličinách, jsou také korelované. Členy kovarianční matice, které popisují tuto korelaci, se mohou obecně napsat následovně: Because the three measurands or output quantities depend on the same input quantities, they too are correlated. The elements of the covariance matrix that describes this correlation may be written in general as 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) N N l m l m i j i j i j i j y y u y y u x u x r x x x x= = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑∑ (H.9) kde yl  = ƒl (x1 , x2 , ..., xN ) a ym  = ƒm (x1 , x2 , ..., xN ). Rovnice (H.9) je zobecněním rovnice (F.2) v  F.1.2.3, když ql v  tomto výrazu jsou korelované. Odhadnuté korelační koeficienty výstupních veličin jsou dány vztahem r(yl  , ym ) = u(yl  , ym )/u(yl  )u(ym ), jak je uvedeno v rovnici (14) v 5.2.2. Musí být bráno v úvahu, že diagonální členy kovarianční matice u(yl , yl  ) ≡ u2 (yl  ), jsou odhadem variancí výstupních veličin yl (viz 5.2.2, poznámka 2), a že pro m = l je rovnice (H.9) identická s rovnicí (16) v 5.2.2. where yl =  ƒl (x1 , x2 ,  ...,  xN ) and ym =  ƒm (x1 , x2 ,  ...,  xN ). Equation (H.9) is a  generalization of equation (F.2) in F.1.2.3 when the ql in that expression are correlated. The estimated correlation coefficients of the output quantities are given by r(yl  , ym ) =  u(yl  , ym )/u(yl  )u(ym ), as indicated in equation (14) in 5.2.2. It should be recognized that the diagonal elements of the covariance matrix, u(yl  , yl  ) ≡ u2 (yl ), are the estimated variances of the output quantities yl (see 5.2.2, note 2) and that for m = l, equation (H.9) is identical to equation (16) in 5.2.2. K použití rovnice (H.9) v tomto příkladu jsou prováděny následující určení: To apply equation (H.9) to this example, the following identifications are made: y1  = R x1  = V u(xi ) = s(xi ) sborníky technické harmonizace 2012 179 y2  = X x2  =  I N = 3 y3  = Z x3  = φ Výsledky výpočtů R, X a Z a jejich odhadnutých rozptylů a  korelační koeficienty jsou uvedeny v tabulce H.3. The results of the calculations of R, X, and Z  and of their estimated variances and correlation coefficients are given in table H.3. Tabulka H.3 – Vypočítané hodnoty výstupních veličin R, X a Z: první přístup Table H.3 – Calculated values of the output quantities R, X and Z: approach 1 Index měřené veličiny l Vztah mezi odhadem měřené veličiny yl  a vstupním odhadem xi Hodnota odhadu yl , která je měřenou veličinou Kombinovaná standardní nejistota uc (yl ) měřených veličin Measurand index l Relationship between estimate of measurand yl and input estimates xi Value of estimate yl , which is the result of measurement Combined standard uncertainty uc (yl ) of result of measurement 1 y1 = R =  φ)cos/( IV y1 = R = 127,732 Ω uc (R) = 0,071 Ω uc (R)/R = 0,06 x 10–2 2 y2 = X =  φ)sin/( IV y2 = X = 219,847 Ω uc (X) = 0,295 Ω uc (X)/X = 0,13 x 10–2 3 y3 =  I/VZ = y3 = Z = 254,260 Ω uc (Z) = 0,236 Ω uc (Z)/Z = 0,09 x 10–2 korelační koeficienty r (yl  , ym ) Correlation coefficients r (yl  , ym ) r (y1 , y2 ) = r(R, X) = –0,588 r (y1 , y3 ) = r(R, Z) = –0,485 r (y2 , y3 ) = r(X, Z) = 0,993 Φ _ sborníky technické harmonizace 2012 180 H.2.4  Výsledky: druhý přístup H.2.4  Results: approach 2 Druhý přístup je shrnut v tabulce H.4. Approach 2 is summarized in table H.4. Ačkoliv data byla získána jako pět sad pozorování tří vstupních veličin V, I  a  ϕ, je možné vypočítat hodnotu pro R, X  a  Z  z každé sady vstupních dat a potom vytvořit aritmetický průměr z pěti jednotlivých hodnot k získání nejlepších odhadů R, X a Z. Výběrová směrodatná odchylka každého průměru (která je jeho kombinovanou standardní nejistotou) je potom obvyklým způsobem vypočítána z  pěti jednotlivých hodnot [rovnice (5) v 4.2.3]. Odhady kovariancí tří průměrů jsou vypočítány aplikací rovnice (17) v  5.2.3 přímo na pět jednotlivých hodnot, ze kterých je každý průměr vypočítán. Nejsou žádné rozdíly mezi výstupními hodnotami, standardními nejistotami a odhady kovariancí, které vycházejí ze dvou přístupů kromě vlivů druhého řádu, příslušných k  nahrazení členů takových, jako V / I a cosϕ prvky V / I a cos Φ. Since the data have been obtained as five sets of observations of the three input quantities V, I, and ϕ, it is possible to compute a value for R, X, and Z from each set of input data, and then take the arithmetic mean of the five individual values to obtain the best estimates of R, X, and Z. The experimental standard deviation of each mean (which is its combined standard uncertainty) is then calculated from the five individual values in the usuaJ way [equation (5) in 4.2.3]; and the estimated covariances of the three means are calculated by applying equation (17) in 5.2.3 directly to the five individual values from which each mean is obtained. There are no differences in the output values, standard uncertainties, and estimated covariances provided by the two approaches except for second-order effects associated with replacing terms such as V / I and cosϕ by V / I and  cos Φ. Ke znázornění tohoto přístupu uvádí tabulka H.4 hodnoty R, X a Z vypočítané pro každou z pěti sad pozorování. Aritmetické průměry, standardní nejistoty a  odhady korelačních koeficientů jsou potom přímo vypočítány z  těchto jednotlivých hodnot. Číselné výsledky získané tímto způsobem jsou zanedbatelně odlišné od výsledků uvedených v tabulce H.3. To demonstrate this approach, table H.4 gives the values of R, X  and Z  calculated from each of the five sets of observations. The arithmetic means, standard uncertainties, and estimated correlation coefficients are then directly computed from these individual values. The numerical results obtained in this way are negligibly different from the results given in table H.3. Φ _ Φ _ sborníky technické harmonizace 2012 181 Tabulka H.4 – Vypočítané hodnoty výstupních veličin R, X a Z: druhý přístup Table H.4 – Calculated values of the outpu quantities R, X, and Z: approach 2 Číslo pozorování Set number Jednotlivé hodnoty měřených veličin Individual values of measurands k R = (V/I) cos ϕ X = (V/I) sin ϕ Z = V/I (W) (W) (W) 1 127,67 220,32 254,64 2 127,89 219,79 254,29 3 127,51 220,64 254,84 4 127,71 218,97 253,49 5 127,88 219,51 254,04 Aritmetický průměr Arithmetic mean y1 =  R = 127,732 y2 =  X = 219,847 y3 =  Z = 254,260 Výběrová směrodatná odchylka středních hodnot Experimental standard deviation of mean )(Rs = 0,071 )(Xs = 0,295 )(Zs = 0,236 Korelační koeficienty r(yl  , ym ) Correlation coefficients r(yl  , ym ) r (y1 , y2 ) =  ),( XRr = –0,588 r (y1 , y3 ) =  ),( ZRr = –0,485 r (y2 , y3 ) =  ),( ZXr = 0,993 V terminologii poznámky k 4.1.4, je druhý přístup příklad toho, jak získat odhad y  z výrazu ( )1 / n kk Y Y n= = ∑ , zatímco první přístup je příklad toho, jak získat y  z  výrazu y =  1 2( , , . . . , )Nf X X X . Jak bylo vysvětleno v této poznámce, oba přístupy obecně podávají identické výsledky, jestliže ƒ je lineární funkcí svých vstupních veličin (za předpokladu, že experimentálně zjištěné korelační koeficienty jsou brány v úvahu při aplikaci prvního přístupu). Jestliže ƒ  není lineární funkce, potom se výsledky prvního přístupu budou lišit od výsledků druhého přístupu v  závislosti na stupni nelinearity a  na odhadnutých rozptylech a  kovarianci Xi . To může být jasné z výrazu In the terminology of the Note to 4.1.4, ap- proach 2 is an example of obtaining the estimate y from ( )1 / n kk Y Y n= = ∑ , while approach 1 is an example of obtaining y from y  = 1 2( , , . . . , )Nf X X X . As pointed out in that note, in general, the two approaches will give identical results if ƒ is a linear function of its input quantities (provided that the experimentally observed correlation coefficients are taken into account when implementing approach 1). If ƒ is not a linear function, then the results of approach 1 will differ from those of approach 2 depending on the degree of nonlinearity and the estimated variances and covariances of the Xi . This may be seen from the expression sborníky technické harmonizace 2012 182 y = 1 2( , , . . . , )Nf X X X 2 1 1 1 ( , ) ... 2 N N i j i j i j f u X X X X= = ∂ + + ∂ ∂ ∑∑ (H.10) kde druhý člen pravé strany rovnice je člen druhého řádu rozvoje Taylorovy řady pro ƒ pomocí průměrů iX (viz také 5.1.2, poznámka). Druhý přístup v tomto případě je preferován, protože se vyvaruje aproximace y =  1 2( , , . . . , )Nf X X X a lépe odráží použitý postup měření  – data byla ve skutečnosti sbírána v blocích. where the second term on the right-hand side is the second-order term in the Taylor series expansion of ƒ  in terms of the iX (see also 5.1.2, note). In the present case approach 2 is preferred because it avoids the y  = 1 2( , , . . . , )Nf X X X and better reflects the measurement procedure used – the data were in fact collected in sets. Na druhé straně, druhý přístup by mohl být nevhodný, pokud by data v tabulce H.2 byla získáná v následujícím pořadí: n1 = 5 pozorování napětí V, potom n2  = 5 pozorování proudu I a potom n3  = 5 pozorování fáze ϕ; a bylo by nemožné, kdyby nl  ≠ n2  ≠ n3 . (Ve skutečnosti, je špatný postup provádět měření tímto způsobem, neboť napětí přes fixní impedanci a  protékající proud jsou v relaci.) On the other hand, approach 2 would be inappropriate if the data of table H.2 represented n1 = 5 observations of the potential difference V, followed by n2 = 5 observations of the current I, and then followed by n3 = 5 observations of the phase ϕ, and would be impossible if nl ≠ n2 ≠ n3 . (It is in fact poor measurement procedure to carry out the measurements in this way since the potential difference across a  fixed impedance and the current through it are directly related.) Jestliže jsou data v tabulce H.2 vysvětlena tímto způsobem tak, že druhý přístup je nevhodný, a když se předpokládá, že chybí korelace mezi veličinami V, I a ϕ, tak pozorované korelační koeficienty nemají žádný význam a mají se dosadit nulové. Jestliže se to tak provede v tabulce H.2, rovnice (H.9) se zredukuje na ekvivalent rovnice (F.2) v F.1.2.3, jmenovitě If the data of table H.2 are reinterpreted in this manner so that approach 2. is inappropriate, and if correlations among the quantities V, I, and ϕ  are assumed to be absent, then the observed correlation coefficients have no significance and should be set equal to zero. If this is done in table H.2, equation (H.9) reduces to the equivalent of equation (F.2) in F.1.2.3, namely, 2 1 ( , ) ( ) N l m l m i i i i y y u y y u x x x= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ (H.11) a její použití pro údaje v tabulce H.2 vede ke změnám v tabulce H.3, jak je uvedeno v tabulce H.5 and its application to the data of table H.2 leads to the changes in table H.3 shown in table H.5. sborníky technické harmonizace 2012 183 Tabulka H.5 – Změny v tabulce H.3 za předpokladu, že korelační koeficienty v tabulce H.2 jsou nulové Table H.5 – Changes in table H.3 under the assumption that the correlation coefficients of table H 2 are zero Kombinovaná standardní nejistota uc (yl ) výsledku měření Combined standard uncertainty uc (yl ) of result of measurement uc (R) = 0,195 Ω uc (R)/R = 0,15 x 10–2 uc (X) = 0,201 Ω uc (X)/X = 0,09 x 10–2 uc (Z) = 0,204 Ω uc (Z)/Z = 0,08 x 10–2 korelační koeficienty r(yl  , ym ) Correlation coefficients r(yl  , ym ) r(y1 , y2 ) = r(R, X) = 0,056 r(y1 , y3 ) = r(R, Z) = 0,527 r(y2  , y3 ) = r(X, Z) = 0,878 H.3  Kalibrace teploměru H.3  Calibration of a thermometer Tento příklad vyjadřuje použití metody nejmenších čtverců k  získání lineární kalibrační křivky a jak jsou z křivky použity parametry jejího grafu, úseku (na ose) a sklonu (směrnice přímky), jakož i odhady rozptylů a  kovariance, k  získání hodnoty a standardní nejistoty předvídané korekce. This example illustrates the use of the method of least squares to obtain a linear calibration curve and how the parameters of the fit, the intercept and slope, and their estimated variances and covariance, are used to obtain from the curve the value and standard uncertainty of a predicted correction. H.3.1  Úloha měření H.3.1  The measurement problem Teploměr je kalibrován porovnáním n = 11 odečtů teploty tk z teploměru, každá má zanedbatelnou nejistotu s odpovídajícími známými referenčními hodnotami teploty tR,k v rozsahu teploty od 21 °C do 27 °C k získání korekcí bk  = tR,k  – tk měřených hodnot teploty. Měřené korekce bk a měřené teploty tk jsou vstupní veličiny hodnocení. Lineární kalibrační křivka A thermometer is calibrated by comparing n = 11 temperature readings tk of the thermometer, each having negligible uncertainty, with corresponding known reference temperatures tR,k in the temperature range 21 °C to 27 °C to obtain the corrections bk = tR,k  – tk to the readings. The measured corrections bk and measured temperatures tk are the input quantities of the evaluation. A linear calibration curve b(t) = y1 + y2 (t – t0 ) (H.7) sborníky technické harmonizace 2012 184 je přizpůsobena k měřeným korekcím a teplotám pomocí metody nejmenších čtverců. Parametry y1 a y2 , které jsou úsekem, eventuelně sklonem, kalibrační křivky, jsou dvě měřené veličiny nebo výstupní veličiny, které musí být určeny. Teplota t0 je vhodně vybranou přesnou referenční teplotou; není to nezávislý parametr, který musí být určen metodou nejmenších čtverců. Jakmile y1 a y2 jsou nalezeny společně s jejich odhadnutými rozptyly a  kovariancí, rovnice (H.12) může být použita k předvídání hodnoty a standardní nejistoty korekce, které musí být použity u teploměru pro jakékoliv hodnoty teploty t. is fitted to the measured corrections and temperatures by the method of least squares. The parameters y1 and y2 , which are respectively the intercept and slope of the calibration curve, are the two measurands or output quantities to be determined. The temperature t0 is a conveniently chosen exact reference temperature; it is not an independent parameter to be determined by the least-squares fit. Once y1 and y2 are found, along with their estimated variances and covariance, equation (H.12) can be used to predict the value and standard uncertainty of the correction to be applied to the thermometer for any value t of the temperature. H.3.2 Přizpůsobení podle metody nejmenších čtverců H.3.2 Least-squares fitting Na základě metody nejmenších čtverců a za předpokladů uvedených v H.3.1, jsou výstupní veličiny y1 a y2 a jejich odhadnuté rozptyly a kovariance získány minimalizací součtu Based on the method of least squares and under the assumptions made in H.3.1 above, the output quantities y1 and y2 and their estimated variances and covariance are obtained by minimizing the sum [ ] 2 1 2 0 1 ( ) n k k k S b y y t t = = − − −∑ To vede k  následující rovnici pro y1 a  y2 , jejichž výběrové rozptyly jsou s2 (y1 ) a s2 (y2 ) a  odhad jejich korelačního koeficientu je r(y1 ,  y2 )  =  s(y1 ,  y2 )/s(y1 )s(y2 ), kde s(y1 , y2 ) je odhad jejich kovariance: This leads to the following equations for y1 , y2 their experimental variances s2 (y1 ) and s2 (y2 ), and their estimated correlation coefficient r(y1 ,  y2 )  =  s(y1 ,  y2 )/s(y1 )s(y2 ), where s(y1 , y2 ) is their estimated covariance: y1  = ( ) ( ) ( ) ( )2 k k k k kb b D θ θ θ∑ ∑ − ∑ ∑ (H.13a) y2  = ( ) ( )k k k kn b b D θ θ∑ − ∑ ∑ (H.13b) s2 (y1 ) = 2 2 ks D θ∑ (H.13c) s2 (y2 ) = 2 s n D (H.13d) sborníky technické harmonizace 2012 185 r(y1 , y2 ) = 2 k kn θ θ ∑ − ∑ (H.13e) s2 =  2 [ ( )] 2 k kb b t n ∑ − − (H.13f) D = 2 2 ( )k kn θ θ∑ − ∑ = 2 2 ( ) ( )k kn n t tθ θ∑ − = ∑ − (H.13g) kde všechny součty jsou od k  =  1  do n, θk   =  tk   –  t0 , ( ) /k nθ θ= ∑ , a  ( ) /kt t n= ∑ ; [bk  – b(tk )] je rozdíl mezi měřenou nebo pozorovanou korekcí bk při teplotě tk a korekcí b(tk ) předvídanou pomocí přizpůsobení křivky b(t) = y1  + y2 (t – t0 ) při tk . Rozptyl s2 je míra celkové nejistoty křivky, kde jmenovatel n – 2 odráží skutečnost, že oba parametry, y1 a y2 , jsou určeny z n nezávislých pozorování tak, že pro s2 je počet stupňů volnosti v = n – 2 (viz G.3.3). where all sums are from k  = 1  to n, θk =  tk   – t0 , ( ) /k nθ θ= ∑ , and ( ) /kt t n= ∑ ; [bk   – b(tk )] is the difference between the measured or observed correction bk at the temperature tk and the correction b(tk ) predicted by the fitted curve b(t) = y1 + y2 (t – t0 ) at tk . The variance s2 is a  measure of the overall uncertainty of the fit, where the factor n – 2 reflects the fact that because two parameters, y1 and y2 , are determined by the n observations, the degrees of freedom of s2 is v = n – 2 (see G.3.3). H.3.3  Výpočet výsledků H.3.3  Calculation of results Použitá data jsou uvedena ve druhém a  třetím sloupci tabulky H.6. Vezme-li se t0  = 20 °C jako referenční teplota, použití rovnic (H.13a) až (H.13g) poskytuje: The data to be fitted are given in the second and third columns of table H.6. Taking t0 = 20 °C as the reference temperature, application of equations (H.13a) to (H.13g) yields y1 = –0,171 2 °C s(y1 ) = 0,002 9 °C y2 = 0,002 18 s(y2 ) = 0,000 67 r(y1 , y2 ) = –0,930 s = 0,003 5 °C Skutečnost, že sklon y2 je více než třikrát větší než její standardní nejistota, ukazuje, že je požadována kalibrační křivka a ne pevná průměrná korekce. The fact that the slope y2 is more than three times larger than its standard uncertainty provides some indication that a calibration curve and not a fixed average correction is required. Kalibrační křivku je dovoleno psát násle- dovně The calibration curve may then be written as b(t) = –0,171 2(29) °C + 0,002 18(67) (t – 20 °C) (H.14) sborníky technické harmonizace 2012 186 kde číslice v  závorkách jsou číselné hodnoty standardních nejistot odkazující na  příslušné poslední číslice označených výsledků pro úsek a sklon (viz 7.2.2). Tato rovnice dává předvídanou hodnotu korekce b(t) při jakékoliv teplotě t, zvláště pak hodnotu b(tk ) při t  =  tk . Tyto hodnoty jsou dány ve čtvrtém sloupci tabulky, zatímco poslední sloupec uvádí rozdíly mezi měřenými veličinami a  předvídanými hodnotami bk   –  b(tk ). Analýza těchto rozdílů může být použita k ověření platnosti lineárního modelu; existují formální zkoušky (viz citace [8]), ale nejsou v tomto příkladu vzaty v úvahu. where the numbers in parentheses are the numerical values of the standard uncertainties referred to the corresponding last digits of the quoted results for the intercept and slope (see 7.2.2). This equation gives the predicted value of the correction b(t) at any temperature t, and in particular the value b(tk ) at t = tk . These values are given in the fourth column of the table while the last column gives the differences between the measured and predicted values, bk   – b(tk ). An analysis of these differences can be used to check the validity of the linear model; formal tests exist (see reference [8]), but are not considered in this example. Tabulka H.6 – Použitá data k získání lineární kalibrační křivky pro teploměr pomocí metody nejmenších čtverců Table H.6 – Data used to obtain a linear calibration curve for a thermometer by the method of least squares Číslo odečtu Odečet teploměru Pozorovaná korekce Předvídaná korekce Rozdíl mezi pozorovanou a předvídanou korekcí Reading number Thermometer reading Observed correction Predicted correction Difference between observed and predicted correction k tk bk  = tR,k  – tk b(tk ) bk  – b(tk ) (°C) (°C) (°C) (°C) 1 21,521 –0,171 –0,167 9 –0,003 1 2 22,012 –0,169 –0,166 8 –0,002 2 3 22,512 –0,166 –0,165 7 –0,000 3  4 23,003 –0,159 –0,164 6 +0,005 6 5 23,507 –0,164 –0,163 5 –0,000 5 6 23,999 –0,165 –0,162 5 –0,002 5  7 24,513 –0,156 –0,161 4 +0,005 4 8 25,002 –0,157 –0,160 3 +0,003 3 9 25,503 –0,159 –0,159 2 +0,000 2 10 26,010 –0,161 –0,158 1 –0,002 9 11 26,511 –0,160 –0,157 0 –0,003 0 sborníky technické harmonizace 2012 187 H.3.4  Nejistota předvídané hodnoty H.3.4  Uncertainty of a predicted value Výraz pro kombinovanou standardní nejistotu předvídané hodnoty korekce může být snadno získán pomocí zákona o šíření nejistoty, rovnice (16) v  5.2.2 do rovnice (H.12). Konstatováním, že b(t)  =  ƒ(y1 , y2 ) a  zapsáním u(y1 ) =  s(y1 ) a  u(y2 ) =  s(y2 ), se může obdržet The expression for the combined standard uncertainty of the predicted value of a correction can be readily obtained by applying the law of propagation of uncertainty, equation (16) in 5.2.2, to equation (H.12). Noting that b(t) = ƒ(y1 , y2 ) and writing u(y1 ) = s(y1 ) and u(y2 ) = s(y2 ), one obtains 2 c [ ( )]u b t = u2 (y1 ) + (t –t0 )2 u2 (y2 ) +2(t – t0 ) u(y1 ) u(y2 ) r(y1 , y2 ) (H.15) Odhad rozptylu uc 2 [b(t)] je minimální při tmin   =  t0   –  u(y1 )r(y1 , y2 )/u(y2 ), která v  předloženém případě je tmin  = 24,008 5 °C. The estimated variance is uc2[b(t)] a mini- mum at tmin = t0  – u(y1 )r(y1 , y2 )/u(y2 ), which in the present case is tmin = 24,008 5 °C. Jako příklad použití rovnice (H.15) se předpokládá potřeba korekce teploměru a jeho nejistoty při t = 30 °C, přičemž tato teplota leží mimo rozsah, ve kterém byl teploměr vlastně kalibrován. Dosazením t = 30 °C do rovnice (H.14) je As an example of the use of equation (H.15), consider that one requires the thermometer correction and its uncertainty at t = 30 °C, which is outside the temperature range in which the thermometer was actually calibrated. Substituting t = 30 °C in equation (H.14) gives b(30 °C) = –0,149 4 °C b(30 °C) = –0,149 4 °C zatímco rovnice (H.15) bude mít následující tvar: while equation (H.15) becomes 2 c [ (30 C)]u b ° = (0,002 9 °C)2 + (10 °C)2 (0,000 67)2 + 2 (10 °C)(0,002 9 °C)(0,000 67)(–0,930) = 17,1 x 10–6 °C2 nebo or uc [b(30 °C)] = 0,004 1 °C Tedy korekce při teplotě 30 °C je – 0,149 4 °C s  kombinovanou standardní nejistotou uc = 0,004 1 °C , která c má ν = n – 2 = 9 stupňů volnosti pro uc . Thus the correction at 30 °C is –0,149 4 °C, with a  combined standard uncertainty of uc = 0,004 1 °C, and with uc having ν = n – 2 = 9 degrees of freedom. 2 c [ ( )]u b t = 2 c [ ( )]u b t = sborníky technické harmonizace 2012 188 H.3.5  Eliminace korelace mezi sklonem a úsekem H.3.5  Elimination of the correlation between the slope and intercept Rovnice (H.13e) pro korelační koeficient r(y1 , y2 ) naznačuje, že jestliže t0 je vybrána tak, že 01 1 ( ) 0 n n k kk k t tθ= = = −=∑ ∑ , potom r(y1 , y2 ) = 0 a y1 a y2 budou nekorelované, čímž se zjednodušuje výpočet standardní nejistoty předvídané korekce. Zatímco 1 0 n kk θ= =∑ , když 0 1 ( ) / n kk t t t n= = = ∑ a v  předloženém případě t =  24,008 5  °C, opakováním použití metody nejmenších čtverců při t0  =  t = 24,008 5 °C by mělo dávat hodnoty y1 a y2 , které nejsou korelační. (Teplota t je také teplota, při které u2 [b(t)] je minimální; viz H.3.4.) Avšak, opakování použití není důležité, protože lze ukázat, že Equation (H.13e) for the correlation coefficient r(y1 , y2 ) implies that if t0 is so chosen that 01 1 ( ) 0 n n k kk k t tθ= = = −=∑ ∑ , then r(y1 , y2 ) = 0 and y1 and y2 will be uncorrelated, thereby simplifying the computation of the standard uncertainty of a predicted correction. Since 1 0 n kk θ= =∑ when 0 1 ( ) / n kk t t t n= = = ∑ , and t =  24,008 5 °C in the present case, repeating the leastsquares fit with t0 = t = 24,008 5 °C would lead to values of y1 and y2 that are uncorrelated. (The temperature t is also the temperature at which u2 [b(t)] is a minimum – see H.3.4.) However, repeating the fit is unnecessary because it can be shown that b(t) = 1 2 ( )y y t t′ + − (H.16a) 2 [ ( )]cu b t = 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )u y t t u y′ + − (H.16b) 1 2( , )r y y′ = 0 (H.16c) kde Where 1y′ = 1 2 0( )y y t t+ − t = t0  – s(y1 ) r(y1 , y2 ) / s(y2 ) 2 1( )s y′ = s2 (y1 ) [1 – r2 (y1 , y2 )] a v rovnici (H.16b), bylo provedeno dosazení 1 1( ) ( )u y s y′ ′= a u(y2 ) = s(y2 ) [viz rovnice (H.15)]. and in writing equation (H.16b), the substitutions 1 1( ) ( )u y s y′ ′= and u(y2 ) = s(y2 ) have been made [see equation (H.15)]. Použití těchto vztahů u výsledků uvedených v H.3.3 poskytuje Application of these relations to the results given in H.3.3 yields b(t) = –0,162 5(11) +0,002 18(67) (t – 24,008 5° C) (H.17a) 2 [ ( )]cu b t = (0,001 1)2 + (t – 24,008 5 °C)2 (0,000 67)2 (H.17b) sborníky technické harmonizace 2012 189 Že tyto výrazy dávají stejné výsledky jako rovnice (H.14) a  (H.15), může být zkontrolováno opakováním výpočtu b(30 °C) a uc [b(30 °C)]. Dosazení t = 30 °C v rovnici (H.17a) a (H.17b) poskytuje That these expressions give the same results as equations (H.14) and (H.15) can be checked by repeating the calculation of b(30 °C) and uc [b(30 °C)]. The substitution of t = 30 °C into equations (H.17a) and (H.17b) yields b(30 °C) = –0,149 4 °C uc [b(30° C)] = 0,041 °C které jsou identické s  výsledky získanými v  H.3.4. Odhad kovariance mezi dvěmi předvídanými korekcemi b(t1 ) a b(t2 ) je dovoleno získat z rovnice (H.9) v H.2.3. which are identical to the results obtained in H.3.4. The estimated covariance between two predicted corrections b(t1 ) and b(t2 ) may be obtained from equation (H.9) in H.2.3. H.3.6  Další úvahy H.3.6  Other consideratio Metoda nejmenších čtverců může být použita k přizpůsobení křivky vyššího řádu k  bodům měření. Může být také použita v případech, kdy jednotlivé body měření vykazují nejistoty. Podrobnosti na tato témata se mají brát z  uvedených textů [8]. Nicméně následující příklady ukazují dva případy, kde se nepředpokládá, že naměřené korekce bk jsou přesně známy: The least-squares method can be used to fit higher-order curves to data points, and is also applicable to cases where the individual data points have uncertainties. Standard texts on the subject should be consulted for details [8]. However, the following examples illustrate two cases where the measured corrections bk are not assumed to be exactly known. 1) Bude-li mít každá tk zanedbatelnou nejistotu, bude-li každá z n hodnot tR,k získána z řady m opakovaných odečtů a bude-li sdružený odhad roztylu takových odečtů založen na velkém počtu dat získávaných po dobu několika měsíců 2 ps . Potom odhad rozptylukaždétR,k je 2 2 p 0s m u= a korekce pozorování bk  = tR,k  – tk má stejnou standardní nejistotu u0 . Za těchto okolností (a  za předpokladu, že není žádný důvod se domnívat, že lineární model je nesprávný) 2 0u nahradí s2 v rovnicích (H.13c) a (H.13d). 1) Let each tk have negligible uncertainty, let each of the n values tR, k  be obtained froma seriesofmrepeatedreadings,and let the pooled estimate of variance for such readings based on a large amount of data obtained over several months be 2 ps . Then the estimated variance of each tR, k  is 2 2 p 0s m u= and each observed correction bk = tR, k  – tk has the same standard uncertainty u0 . Under these circumstances (and under the assumption that there is no reason to believe that the linear model is incorrect), 2 0u replaces s2 equations (H.13c) and (H.13d). POZNÁMKA  Sdružený odhad rozptylu 2 ps na základě N nezávislých pozorování stejné náhodné veličiny je získán z NOTE  A pooled estimate of variance 2 ps based on N series of independent observations of the same random variable is obtained from ∑ ∑ = = = N i i N i ii s s 1 1 2 2 p ν ν sborníky technické harmonizace 2012 190 kde 2 is je výběrový rozptyl i-té řady ni opakovaných nezávislých pozorování [rovnice (4) v 4.2.2] a má νi   =  ni   – 1 stupňů volnosti. Počet stupňů volnosti pro 2 ps je ∑= = N i i 1 νν . Výběrový rozptyl ms /2 p (a výběrová směrodatná odchylka /ps m ) aritmetického průměru m nezávislých pozorování charakterizovaných sdruženým odhadem rozptylu 2 ps má také v stupňů volnosti. where 2 is is the experimental variance of the ith series of ni independent repeated observations [equation (4) in 4.2.2] and has degrees of freedom νi  = ni  – 1. The degrees of freedom of 2 ps is ∑= = N i i 1 νν . The experimental variance ms /2 p (and the experimental standard deviation /ps m ) of the arithmetic mean of m independent observations characterized by the pooled estimate of variance 2 ps also has v degrees of freedom. 2) Předpokládá se, že každá tk má zanedbatelnou nejistotu, že korekce εk je použita pro každou z n hodnot tR,k , a že každá korekce má stejnou standardní nejistotu ua . Potom standardní nejistota pro každé bk  = tR,k  – tk je také ua a s2 (y1 ) je nahrazeno s2 (y1 ) +  2 au a 2 1( )s y′ je nahrazeno 2 2 1 a( )s y u′ + . 2) Suppose that each tk has negligible uncertainty, that a  correction εk is applied to each of the n values tR,k , and that each correction has the same standard uncertainty ua . Then the standard uncertainty of each bk = tR, k  – tk is also ua , and s2 (y1 ) is replaced by s2 (y1 ) +  2 au and 2 1( )s y′ is replaced by 2 2 1 a( )s y u′ + . H.4  Měření radioaktivity H.4  Measurement of Activity Tento příklad je podobný příkladu H.2, simultánního měření odporu a  reaktance, ve kterém data mohou být analyzována dvěma odlišnými způsoby, ale každý poskytuje v podstatě stejný číselný výsledek. První přístup opět zobrazuje potřebu brát v úvahu pozorované korelace mezi vstupními veličinami. This example is similar to example H.2, the simultaneous measurement of resistance and reactance, in that the data can be analysed in two different ways but each yields essentially the same numerical result. The first approach illustrates once again the need to take the observed correlations between input quantities into account. H.4.1  Problém měření H.4.1  The measurement problem Neznámá radonová (222 Rn) koncentrace aktivity ve vzorku vody je určená pomocí tekutého scintilačního měření porovnáním se vzorkem vody obohaceným radonem, který má známou koncentraci radioaktivity. Neznámá aktivita koncentrátu je získána měřením tří zdrojů obsahujících zhruba 5 g vody a 12 g organické scintilační emulse v ampulce s objemem 22 ml: The unknown radon (222 Rn) activity concentration in a water sample is determined by liquid-scintillation counting against a  radon-in-water standard sample having a  known activity concentration. The unknown activity concentration is obtained by measuring three counting sources consisting of approximately 5 g of water and 12 g of organic emulsion scintillator in vials of volume 22 mL: zdroje (a)  etalonu skládajícího se z hmoty mS etalonového roztoku, který má známou aktivitu; Source (a)  a standard consisting of a mass mS of the standard solution with a  known activity concentration; zdroje  (b)  vzorku čisté vody stejné hmotnosti bez radioaktivního materiálu, použitého k získání pozadí měření; Source (b)  a matched blank water sample containing no radioactive material, used to obtain the background counting rate sborníky technické harmonizace 2012 191 zdroje (c)  vzorku, s hmotností mx s neznámou aktivitou. Source  (c)  the sample consisting of an aliquot of mass mx with unknown activity concentration. Šest cyklů měření se třemi zdroji se provádí v  pořadí etalon  – čistá voda  – vzorek; a  každá mrtvá doba korigovaného intervalu měření T0 pro každý zdroj v průběhu všech šesti cyklů je 60 minut. I když pozadí měřeného poměru nemůže být pokládáno za konstantní, předpokládá se, že po celou dobu intervalu měření (65 hodin), hodnoty měření získané pro každý čistý vzorek mohou být použity jako vyjádření pozadí měřeného poměru v průběhu měření etalonu a vzorku ve stejném cyklu. Data jsou uvedena v tabulce H.7, kde jsou Six cycles of measurement of the three counting sources are made in the order standard – blank – sample; and each deadtime-corrected counting interval T0 for each source during all six cycles is 60  minutes. Although the background counting rate cannot be assumed to be constant over the entire counting interval (65 hours), it is assumed that the number of counts obtained for each blank may be used as representative of the background counting rate during the measurements of the standard and sample in the same cycle. The data are given in table H.7, where tS , tB , tx časy od referenční doby t = 0 do středu mrtvé doby korigovaného intervalu měření T0  = 60 min pro ampulky etalonu, čisté vody, respektive vzorku; i  když tB není potřebná pro analýzu a je dána pouze pro úplnost; tS , tB , tx are the times from the reference timet =0 tothemidpointofthe dead-time-corrected counting intervals T0 = 60 min for the standard, blank, and sample vials, respectively; although tB is given for completeness, it is not needed in the analysis; CS , CB , Cx hodnoty měření impulsů zapisované v  průběhu korigované mrtvé doby intervalů měření T0  = 60 min pro ampulky etalonu, čisté vody, respektive vzorku. CS , CB , Cx are the number of counts recorded in the dead-time-corrected counting intervals T0 = 60 min for the standard, blank, and sample vials, respectively. Pozorovaná měření mohou být vyjádřena takto The observed counts may be expressed a CS  =  S B S 0 Se t C A T m λ ε − + (H.18a) Cx  =  S B 0 e t x xC A T m λ ε − + (H.18b) kde je where ε účinnost kapalinové scintilační detekce pro 222 Rn při danén složení zdroje, předpokládaná jako nezávislá na úrovni aktivity; ε is the liquid scintillation detection efficiency for 222 Rn for a given source composition, assumed to be independent of the activity level; AS koncentrace aktivity etalonu při referenčním čase t = 0; AS is the activity concentration of the standard at the reference time t = 0; sborníky technické harmonizace 2012 192 Ax měřená veličina a je definována jako neznámá koncentrace aktivity vzorku při referenční době t = 0; Ax is the measurand and is defined as the unknown activity concentration of the sample at the reference time t = 0; ms hmotnost etalonového roztoku; mS is the mass of the standard solution; mx hmotnost alikvotního vzorku; mx is the mass of the sample aliquot; λ konstanta rozpadu pro 222 Rn: λ = (ln 2)/T½ = 1,258 94 ×10–4  min–1 (T½ = 5 505,8 min). λ is the decay constant for 222 Rn: λ = (ln 2)/T½ = 1,258 94 ×10–4  min–1 (T½ = 5 505,8 min). Tabulka H.7 – Měřená data pro určení koncentrace radioaktivity neznámého vzorku Table H.7 – Counting data for determinining the activity concentration of an unknown samle Cyklus Etalon Čistá voda Vzorek Cycle Standard Blank Sample k tS CS tB CB tx Cx (min) (counts/počet) (min) (counts/počet) (min) (counts/počet) 1 243,74 15 380 305,56 4 054 367,37 41 432 2 984,53 14 978 1 046,10 3 922 1 107,66 38 706 3 1 723,87 14 394 1 785,43 4 200 1 846,99 35 860 4 2 463,17 13 254 2 524,73 3 830 2 586,28 32 238 5 3 217,56 12 516 3 279,12 3 956 3 340,68 29 640 6 3 956,83 11 058 4 018,38 3 980 4 079,94 26 356 Rovnice (H.18a) a  (H.18b) značí, že ani šest individuálních hodnot CS ani Cx , uvedených v  tabulce H.7, nemůže být přímo zprůměrováno z důvodu exponenciálního rozpadu aktivity etalonu a  vzorku a  mírného kolísání pozadí měření od jednoho cyklu ke druhému. Namísto toho, se musí řešit korekce rozpadu a  korekce pozadí měření (měřeného podílu určeného jako počet měření dělený T0  = 60 min). Navrhuje se sloučení rovnic (H.18a) a (H 18b) za účelem získání následujícího výrazu pro neznámou koncentraci pomocí známých veličin: Equations (H.18a) and (H.18b) indicate that neither the six individual values of CS nor of Cx given in table H.7 can be averaged directly because of the exponential decay of the activity of the standard and sample, and slight variations in background counts from one cycle to another. Instead, one must deal with the decay-corrected and background-corrected counts (or counting rates defined as the number of counts divided by T0 = 60 min). This suggests combining equations (H.18a) and (H.18b) to obtain the following expression for the unknown concentration in terms of the known quantities: Ax = ƒ(AS , mS , mx , CS , Cx , CB , tS , tx , λ) =  S s B S S B ( )e ( )e xt x t x m C C A m C C λ λ − − (H.19) sborníky technické harmonizace 2012 193 =  S( )s B S S B e xt tx x m C C A m C C λ −− − kde B( )e xt xC C λ − a  S S B( )e t C C λ − jsou korekce pozadí měření vzorku a etalonu při referenčním čase t  =  0  a  pro časový interval T0  =  60  min. Alternativně se může jednoduše psát where B( )e xt xC C λ − and S S B( )e t C C λ − are, respectively, the background-corrected counts of the sample and the standard at the reference time t = 0 and for the time interval T0 = 60 min. Alternatively, one may simply write Ax  = ƒ(AS , mS , mx , RS , Rx ) = s S S x x m R A m R (H.20) kde měřený poměr korekce pozadí a  korekce rozpadu Rx a RS jsou dané následovně where the background-corrected and decay-corrected counting rates Rx and RS are given by Rx  = B 0 e xt xC C T λ −[( ) / ] (H.21a) RS  = S S B 0 e t C C T λ −[( ) / ] (H.21b) H.4.2  Analýza dat H.4.2  Analysis of data Tabulka H.8 shrnuje hodnoty korekce pozadí a  korekce rozpadu měřených poměrů Rx a  RS vypočítaných z  rovnic (H.21a) a  (H.21b) použitím dat tabulky H.7 a pro λ= 1,258 94 x 10–4 min–1 , jak bylo dříve uvedeno. Je třeba poznamenat, že poměr R = Rx /RS je mnohem jednodušší vypočítat z výrazu Table H.8 summarizes the values of the background-corrected and decay-corrected counting rates RS and Rx calculated from equations (H.21a) and (H.21b) using the data of table H.7 and λ= 1, 258 94 x 10–4  min–1 given earlier. It should be noted that the ratio R = Rx /RS is most simply calculated from the expression S( ) B S B[( ) ( )] xt t xC C C C eλ − − − Aritmetické průměry SR , xR a R a jejich výběrové směrodatné odchylky S( )s R ( )xs R a  ( )s R jsou vypočítány obvyklým způsobem [rovnice (3) a (5) v 4.2]. Korelační koeficient S( , )xr R R je vypočítán z rovnice (17) v 5.2.3 a z rovnice (14) v 5.2.2. The arithmetic means SR , xR , and R , and their experimental standard deviations S( )s R , ( )xs R , and ( )s R , are calculated in the usual way [equations (3) and (5) in 4.2]. The correlation coefficient S( , )xr R R is calculated from equation (17) in 5.2.3 and equation (14) in 5.2.2. sborníky technické harmonizace 2012 194 Z důvodu porovnatelně malé proměnlivosti hodnot Rx a RS , podíl průměrů SxR R/ a  jeho standardní nejistota Sxu R R( / ) jsou téměř stejné jako průměr podílu R a jeho výběrové směrodatné odchylky ( )s R , jak je uvedeno v  posledním sloupci tabulky H.8 [viz H.2.4 a rovnice (H.10)]. Avšak, při výpočtu standardní nejistoty Sxu R R( / ), korelace mezi Rx a  RS , jak je vyjádřena korelačním koeficientem S( , )xr R R , musí být brána v  úvahu použitím rovnice (16) v 5.2.2. [Tato rovnice pro odhad relativního rozptylu SxR R/ poskytuje poslední tři členy rovnice (H.22b).] Because of the comparatively small variability of the values of Rx and of RS , the ratio of means SxR R/ and the standard uncertainty Sxu R R( / ) of this ratio are, respectively, very nearly the same as the mean ratio R and its experimental standard deviation ( )s R as given in the last column of table H.8 [see H.2.4 and equation (H.10) therein]. However, in calculating the standard uncertainty Sxu R R( / ), the correlation between Rx and RS as represented by the correlation coefficient S( , )xr R R must be taken into account using equation (16) in 5 .2.2. [That equation yields for the relative estimated variance of SxR R/ the last three terms of equation (H.22b).] Má se mít na zřeteli, že výběrová směrodatná odchylka pro Rx a  RS , 6 ( )xs R a  S6 ( )s R , značí rozptyl těchto veličin, který je dvakrát až třikrát větší než rozptyl obsažený v  Poissonově statistice postupu měření; druhý údaj je zahrnut do pozorovaného rozptylu počítání a nemusí se zvlášť brát v úvahu. It should be recognized that the respective experimental standard deviations of Rx and of RS , 6 ( )xs R and S6 ( )s R , indicate a variability in these quantities that is two to three times larger than the variability implied by the Poisson statistics of the counting process; the latter is included in the observed variability of the counts and need not be accounted for separately. sborníky technické harmonizace 2012 195 Tabulka H.8 – Výpočet měřených poměrů korigovaných na vliv rozpadu a pozadí Table H.8 – Calculation of decay-corrected and background-corrected counting rates Cyklus Cycle RX RS tx  – ts R = Rx /RS k (min–1 ) (min–1 ) (min) 1 652,46 194,65 123,63 3,352 0 2 666,48 208,58 123,13 3,195 3 3 665,80 211,08 123,12 3,154 3 4 655,68 214,17 123,11 3,061 5 5 651,87 213,92 123,12 3,047 3 6 623,31 194,13 123,11 3,210 7 xR = 652,60 SR = 206,09 R = 3,170 )( xRs = 6,42 )( SRs = 3,79 )(Rs = 0,046 xx RRs /)( = 0,98 x 10–2 ( )S S/s R R = 1,84 x 10–2 RRs /)( = 1,44 x 10–2 S/ RRx = 3,167 )/( SRRu x = 0,045 S S( / ) / ( / )x xu R R R R = 1,42 x 10–2 korelační koeficient Correlation coefficient ),( SRRr x = 0,646 H.4.3  Výpočet konečných výsledků H.4.3  Calculation of final results Získání neznámé koncentrace aktivity Ax a její kombinované standardní nejistoty uc (Ax ) z  rovnice (H.20) vyžaduje AS , mx a  mS   a  jejich standardní nejistoty. Ty jsou uvedeny jako To obtain the unknown activity concentration Ax and its combined standard uncertainty uc (Ax ) from equation (H.20) requires AS , mx , and mS and their standard uncertainties. These are given as AS = 0,136 6 Bq/g u(AS ) = 0,001 8 Bq/g; u(AS )/AS = 1,32 x 10–2 mS = 5,019 2 g u(mS ) = 0,005 g; u(mS )/mS = 0,10 x 10–2 mx = 5,057 1 g u(mx ) = 0,001 0 g; u(mx )/mx = 0,02 x 10–2 Další možné zdroje nejistoty jsou hodnoceny jako zanedbatelné: Other possible sources of uncertainty are evaluated to be negligible: sborníky technické harmonizace 2012 196 – standardní nejistoty doby rozpadu, u(tS,k ) a u(tx,k ); – standard uncertainties of the decay times, u(tS,k ) and u(tx,k ); – standardní nejistota konstanty rozpadu 222 Rn, u(λ) =  1 x  10–7   min–1 ; (významná veličina je faktor rozpadu exp[λ(tx  – ts )], který se mění z  1,015  63 v  cyklech k  =  4  a  6  do 1,015  70 v  cyklu k  =  1; standardní nejistota těchto hodnot je u = 1,2 x 10–5 ); – standard uncertainty of the decay constant of 222 Rn, u(λ) = 1 x 10–7  min–1 . (The significant quantity is the decay factor exp[λ(tx  – tS )] which varies from 1,015 63 for cycles k  = 4  and 6  to 1,015 70 for cycle k = 1. The standard uncertainty of these values is u = 1,2 x 10–5 ); – nejistota spojená s  možnou závislostí účinnosti detekce scintilačního měření na použitém zdroji (etalon, čistá voda a vzorek); – uncertainty associated with the possible dependence of the detection efficiency of the scintillation counter on the source used (standard, blank, and sample); – nejistota korekce mrtvé doby měření a korekce závislosti účinnosti měření na úrovni aktivity. – uncertainty of the correction for counter dead-time and of the correction for the dependence of counting efficiency on activity level. H.4.3.1  Výsledky: první přístup H.4.3.1  Results: approach 1 Jak bylo dříve uvedeno, Ax a  uc (Ax ) je dovoleno získat dvěma odlišnými způsoby z  rovnice (H.20). Při prvním přístupu je Ax vypočítána použitím aritmetických průměrů xR a  SR , což vede k As indicated earlier, Ax and uc (Ax ) may be obtained in two different ways from equation (H.20). In the first approach, Ax is calculated using the arithmetic means xR and SR , which leads to S S 0,4300S x x x m R A A m R = = Bq / g (H.22a) Použití rovnice (16) z 5.2.2 na tento výraz poskytuje kombinovaný rozptyl 2 c ( )xu A Application of equation (16) in 5.2.2 to this expression yields for the combined variance 2 c ( )xu A 2 c 2 ( )x x u A A 2 2 2 S S 2 2 2 S S ( ) ( ) ( )x x u A u m u m A m m = + + 22 S 2 2 S ( )( )x x u Ru R R R + + S S S ( ) ( ) 2 ( , ) x x x u R u R r R R R R − (H.22b) kde, jak bylo poznamenáno v  H.4.2 poslední tři členy dávají 22 S Sx xu R R R R( / ) ( / ) , odhad relativního rozptylu SxR R/ . Souhlasně s vysvětlením v H.2.4 ukazují výsledky v tabulce H.8, že R není přesně rovno SxR R/ ; a že standardní nejistota Sxu R R( / ) pro SxR R/ není přesně rovna standarní nejistotě ( )s R pro R . where, as noted in H.4.2, the last three terms give 22 S Sx xu R R R R( / ) ( / ) , the estimated relative variance of SxR R/ . Consistent with the discussion of H.2.4, the results in table H.8 show that R is not exactly equal to SxR R/ ; and that the standard uncertainty Sxu R R( / ) of SxR R/ is not exactly equal to the standard uncertainty ( )s R of R . sborníky technické harmonizace 2012 197 Substituce hodnot relevantních veličin do rovnic (H.22a) a (H.22b) vede k Substitution of the values of the relevant quantities into equations (H.22a) and (H.22b) yields c ( )x x u A A = 1,93 x 10–2 uc (Ax ) = 0,008 3 Bq/g Výsledek měření může tedy být stanoven jako: The result of the measurement may then be stated as: A = 0,430 0 Bq/g s kombinovanou standardní nejistotou uc  = 0,008 3 Bq/g. Ax = 0,430 0 Bq/g with a combined standard uncertainty of uc = 0,008 3 Bq/g. H.4.3.2  Výsledky: druhý přístup H.4.3.2  Results: approach 2 V druhém přístupu, který se vyhýbá korelaci mezi xR a SR je Ax vypočítán použitím aritmetického průměru R . Tedy In the second approach, which avoids the correlation between xR and SR , Ax is calculated using the arithmetic meanR . Thus S S 0,4304 Bq gx x m A A R m = = / (H.23a) Výraz pro 2 c ( )xu A je jednoduše The expression for 2 c ( )xu A is simply 2 c 2 ( )x x u A A 2 2 S S 2 2 S S ( ) ( )u A u m A m = + 2 2 2 2 ( ) ( )x x u m u R m R + + (H.23b) což vede k which yields c ( )x x u A A = 1,95 x 10–2 uc (Ax ) = 0,008 4 Bq/g Výsledek měření může být stanoven jako: The result of the measurement may then be stated as: Ax  = 0,430 4 Bq/g s kombinovanou standardní nejistotou uc  = 0,008 4 Bq/g. Ax = 0,430 4 Bq/g with a combined standard uncertainty of uc = 0,008 4 Bq/g. Počet efektivních stupňů volnosti pro uc je vyhodnocen použitím Welch-Satterthwaitova vzorce, jak bylo uvedeno v H.1.6. The effective degrees of freedom of uc can be evaluated using the Welch-Satterthwaite formula in the manner illustrated in H.1.6. sborníky technické harmonizace 2012 198 Jako v H.2, z těchto dvou výsledků je preferován druhý, protože se vyhýbá aproximaci průměru podílu dvou veličin použitím podílu průměrů dvou veličin; a lépe odráží použitý postup měření, protože data byla ve skutečnosti sbírána ve dvou oddělených cyklech. As in H.2, of the two results, the second is preferred because it avoids approximating the mean of a ratio of two quantities by the ratio of the means of the two quantities; and it better reflects the measurement procedure used  – the data were in fact collected in separate cycles. Nicméně, rozdíl mezi hodnotami Ax vycházející ze dvou přístupů je jasně malý v porovnání se standardní nejistotou přičítanou ke každému přístupu a rozdíl mezi oběma standardními nejistotami je zcela zanedbatelný. Taková shoda ukazuje, že oba přístupy jsou ekvivalentní, když pozorované korelace jsou vhodně zahrnuty. Nevertheless, the difference between the values of Ax resulting from the two approaches is clearly small compared with the standard uncertainty ascribed to either one, and the difference between the two standard uncertainties is entirely negligible. Such agreement demonstrates that the two approaches are equivalent when the observed correlations are properly in- cluded. H.5  Analýza rozptylu H.5  Analysis of variance Tento příklad poskytuje stručné seznámení s metodami analýzy rozptylu (ANOVA). Tyto statistické postupy jsou používány k identifikaci a kvantifikaci náhodných vlivů na měření, takže je dovoleno správně je brát v úvahu, pokud je vyhodnocena nejistota výsledků měření. Ačkoliv jsou metody ANOVA aplikovatelné v  širokém rozsahu měření, například na kalibraci referenčních etalonů, takových jako Zenerovy napěťové etalony a  etalony hmotnosti a  k certifikaci referenčních materiálů, metody ANOVA nejsou vhodné k  identifikaci systematických vlivů, které by mohly být přítomny. This example provides a brief introduction to analysis of variance (ANOVA) methods. These statistical techniques are used to identify and quantify individual random effects in a  measurement so that they may be properly taken into account when the uncertainty of the result of the measurement is evaluated. Although ANOVA methods are applicable to a  wide range of measurements, for example, the calibration of reference standards, such as Zener voltage standards and standards of mass, and the certification of reference materials, ANOVA methods by themselves cannot identify systematic effects that might be present. Je mnoho různých modelů zahrnutých pod obecným názvem ANOVA. Vzhledem ke své důležitosti, určitý model uvedený v  tomto příkladu je vyvážené konstrukce. Číselné hodnoty v tomto příkladu se vztahují ke kalibraci Zenerova napěťového etalonu; analýza má mít význam pro řadu praktických situací měření. There are many different models included under the general name of ANOVA. Because of its importance, the specific model discussed in this example is the balanced nested design. The numerical illustration of this model involves the calibration of a  Zener voltage standard; the analysis should be relevant to a variety of practical measurement situations. sborníky technické harmonizace 2012 199 Metody ANOVA mají zvláštní význam při certifikaci referenčních materiálů (RM) zkouškami, na kterých se podílí více laboratoří, což je velmi podrobně popsáno v pokynu ISO 35 [19] (viz H.5.3.2, stručný popis takových certifikací RM). Protože mnoho materiálů obsažených v pokynu ISO 35 je ve skutečnosti široce použitelných, publikace mohou pojednávat o dodatečných podrobnostech týkajících se metody ANOVA, včetně nevyváženě zatříděného souboru. Podobně je dovoleno brát v úvahu citace [15] a [20]. ANOVA methods are of special importance in the certification of reference materials (RMs) by interlaboratory testing, a topic covered thoroughly in ISO Guide 35 [19] (see H.5.3.2 for a brief description of such RM certification). Since much of the material contained in ISO Guide 35 is in fact broadly applicable, that publication may be consulted for additional details concerning ANOVA, including unbalanced nested designs. References [15] and [20] may be similarly consulted. H.5.1  Úloha měření H.5.1  The measurement problem Předpokládá se, že jmenovitě etalon Zenerova napětí 10 V je kalibrovaný proti referenčnímu stabilnímu napětí po dobu periody dvou týdnů. Při každých J dnech během periody bylo prováděno K  opakovaných nezávislých pozorování napětí VS etalonu. Jestliže Vjk značí k-tou hodnotu pozorování VS (k = 1, 2, ..., K) v j-tém dnu (j = 1, 2, ..., J), potom je nejlepší odhad napětí etalonu aritmetický průměr V pozorování JK [viz rovnice (3) v 4.2.1], Consider a  nominally 10 V  Zener voltage standard that is calibrated against a stable voltage reference over a two-week period. On each of J days during the period, K independent repeated observations of the potential difference VS of the standard are made. If Vjk denotes the kth observation of VS (k  =  1,  2, ..., K) on the jth day (j = 1, 2, ..., J), the best estimate of the potential difference of the standard is the arithmetic mean V of the JK observations [see equation (3) in 4.2.1], S 1 1 1 J K jk j k V V V JK= = = =∑∑ (H.24a) Výběrová směrodatná odchylka ( )s V střední hodnoty, která je mírou nejistoty V jako odhadu napětí etalonu, je získána z  [viz rovnice (5) v 4.2.3]: The experimental standard deviation of the mean ( )s V , which is a measure of the uncertainty of V as an estimate of the potential difference of the standard, is obtained from [see equation (5.) in 4.2.3] 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) J K jk j k s V V V JK JK = = = − − ∑∑ (H.24b) sborníky technické harmonizace 2012 200 POZNÁMKA  V celém tomto příkladu se předpokládá, že všechny korekce používané pro účely pozorování ke kompenzaci systematických vlivů mají zanedbatelné nejistoty nebo jejich nejistoty jsou takové, že mohou být brány v  úvahu na závěr analýzy. Korekce této druhé kategorie a  ty, které samy mohou být použitelné pro střední hodnotu pozorování v závěru analýzy, je rozdíl mezi certifikovanou hodnotou (s předpokladem, že má danou nejistotu) a pracovní hodnotou stabilního referenčního napětí, vůči kterému je Zenerův napěťový etalon kalibrován. Tedy odhad rozdílu napětí etalonu, získaného statisticky pozorováním, není nutně konečný výsledek měření; a  výběrová směrodatná odchylka tohoto odhadu není nutně kombinovanou standardní nejistotou konečného výsledku. NOTE  It is assumed throughout this example that all corrections applied to the observations to compensate for systematic effects have negligible uncertainties or their uncertainties are such that they can be taken into account at the end of the analysis. A correction in this latter category, and one that can itself be applied to the mean of the observations at the end of the analysis, is the difference between the certified value (assumed to have a  given uncertainty) and the working value of the stable voltage reference against which the Zener voltage standard is cali- brated. Thus the estimate of the potential difference of the standard obtained statistically from the observations is not necessarily the final result of the measurement; and the experimental standard deviation of that estimate is not necessarily the combined standard uncertainty of the final result. Výběrová směrodatná odchylka ( )s V středních hodnot, získaná z rovnice (H.24b), je přiměřená míra nejistoty V pouze, když den ze dne je pozorování se stejným kolísáním každý den. Jestliže jsou důkazy o tom, že kolísání mezi dny je výrazně větší než kolísání během dne, mohlo by použití tohoto výrazu vést k  výraznamu uvedení příliš nízké nejistoty V . Tím vznikají dvě otázky: jak by se mělo rozhodnout, jestliže mezidenní kolísání (charakterizované mezidenními složkami rozptylu) je významné v  porovnání s denním kolísáním (charakterizovaném denními složkami rozptylu), a pokud je to ten případ, jak se má vyhodnotit nejistota středních hodnot? The experimental standard deviation of the mean ( )s V as obtained from equation (H.24b) is an appropriate measure of the uncertainty of V only if the day-today variability of the observations is the same as the variability of the observations made on a single day. If there is evidence that the between-day variability is significantly larger than can be expected from the within-day variability, use of this expression could lead to a  considerable understatement of the uncertainty of V . Two questions thus arise: How should one decide if the between-day variability (characterized by a between-day component of variance) is significant in comparison with the withinday variability (characterized by a within-day component of variance) and, if it is, how should one evaluate the uncertainty of the mean? H.5.2  Číselný příklad H.5.2  A numerical example H.5.2.1  Data, která dovolují, aby vyřčené otázky byly přijaty, jsou uvedena v tabulce H.9, kde H.5.2.1  Data which allow the above questions to be addressed are given in table H.9, where J  =  10 je počet dnů, ve kterých byla prováděna pozorování napětí; J = 10 is the number of days on which potential-difference observations were made; K  =  5 je počet pozorování napětí, která byla prováděna každý den; K = 5 is the number of potential-difference observations made on each day; 1 1 K j j k k V V K = = ∑ (H.25a) sborníky technické harmonizace 2012 201 je aritmetický průměr K  =  5  pozorování napětí, která byla provedena j-tý den (je J = 10 takových denních průměrů) is the arithmetic mean of the K = 5 potential-difference observations made on the jth day (there are J = 10 such daily means) 1 1 1 1 1J J K j jkj j k V V V J JK= = = = =∑ ∑ ∑ (H.25b) je aritmetický průměr J = 10 denních středních hodnot a tedy celková střední hodnota JK = 50 pozorování; is the arithmetic mean of the J = 10 daily means and thus the overall mean of the JK = 50 observations; 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 K jk jk j k s V V V K = = − − ∑ (H.25c) je výběrový rozptyl K = 5 pozorování provedených j-tý den (je J = 10 takových odhadů rozptylu); a is the experimental variance of the K  = 5  observations made on the jth day (there are J  = 10 such estimates of variance); and 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 J j j j s V V V J = = − − ∑ (H.25d) je výběrový rozptyl J  =  10 denních středních hodnot (je pouze jeden takový odhad rozptylu). is the experimental variance of the J = 10 daily means (there is only one such estimate of variance). H.5.2.2  Shoda denního kolísání a mezidenního kolísání pozorování může být zkoumána porovnáním dvou nezávislých odhadů 2 wσ denních složek rozptylu (tj. rozptylu pozorování provedených týž den). H.5.2.2  The consistency of the within-day variability and between-day variability of the observations can be investigated by comparing two independent estimates 2 wσ the within-day component of variance (that is, the variance of observations made on the same day). První odhad 2 wσ označený pomocí 2 as je získán z pozorovaného kolísání denní střední hodnoty jV . Protože jV je střední hodnota K  pozorování, odhad jejího rozptylu 2 ( )js V za předpokladu, že mezidenní složka rozptylu je nula, odhaduje 2 w Kσ / . Z  rovnice (H.25d) potom vyplývá The first estimate of 2 wσ denoted by 2 as is obtained from the observed variation of the daily means jV . Since jV is the average of K observations, its estimated variance 2 ( )js V , under the assumption that the between-day component of variance is zero, estimates 2 w Kσ / . It then follows from equation (H.25d) that 2 as 2 ( )jKs V= ∑= − − = J j j VV J K 1 2 1 )( (H.26a) sborníky technické harmonizace 2012 202 což je odhad 2 wσ s νa  = J – 1 = 9 stupni vol- nosti. whichisanestimateof 2 wσ havingνa = J –1= 9 degrees of freedom. Druhý odhad 2 wσ , označený 2 bs , je sdružený odhad rozptylu z J = 10 jednotlivých hodnot s2 (Vjk ) použitím rovnice z  poznámky k H.3.6, kde deset jednotlivých hodnot je vypočteno z rovnice (H.25c). Protože počet stupňů volnosti každé z  těchto hodnot je νi  = K – 1, výsledným výrazem pro 2 bs je jednoduše jejich průměr. Tedy platí The second estimate of 2 wσ , denoted by 2 bs , is the pooled estimate of variance obtained from the J = 10 individual values of s2 (Vjk ) using the equation of the note to H.3.6, where the ten individual values are calculated from equation (H.25c). Because the degrees of freedom of each of these values is νi = K – 1, the resulting expression for 2 bs is simply their average. Thus 2 bs 2 2 1 1 ( ) ( ) J jk jk j s V s V J = = = ∑ 2 1 1 1 ( ) ( 1) J K jk j j k V V J K = = = − − ∑∑ (H.26b) což je odhad 2 wσ s νb  = J(K – 1) = 40 stupňů volnosti. which is an estimate of 2 wσ having vb = J(K – 1) = 40 degrees of freedom. Odhady 2 wσ dané rovnicemi (H.26a) a (H.26b) jsou 2 as  = (128 µV)2 a  2 bs  = (85 µV)2 (viz tabulka H.9). Protože odhad 2 as je založen na kolísání denních středních hodnot, zatímco odhad 2 bs je založen na kolísání denních pozorování, jejich rozdíl ukazuje možnou přítomnost vlivu, který se sice mění z jednoho dne na druhý, ale přece jen vždy u  pozorovaných hodnot během jednoho dne v  podstatě zůstávají konstantní. F-test je používán ke zkoušce možnosti a  tedy předpokladu, že mezidenní složka rozptylu je rovna nule. The estimates of 2 wσ given by equations (H.26a) and (H.26b) are 2 as =  (128 µV)2 and 2 bs =  (85 µV)2 , respectively (see table H.9). Since the estimate 2 as is based on the variability of the daily means while the estimate 2 bs is based on the variability of the daily observations, their difference indicates the possible presence of an effect that varies from one day to another but that remains relatively constant when observations are made on any single day. The F-test is used to test this possibility, and thus the assumption that the between-day component of variance is zero. sborníky technické harmonizace 2012 203 H.5.2.3  F-rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti poměru F(va , νb )  =  2 2 a a b bs sν ν( ) / ( ) dvou nezávislých odhadů 2 a as ν( ) a  2 b bs ν( ) rozptylu σ2 normálního rozdělení náhodné veličiny [15]. Parametry νa a  případně νb jsou počty stupňů volnosti obou odhadů a  to platí při 0 ≤ F(νa , νb ) < ∞. Hodnoty F jsou tabelizovány pro různé hodnoty νa a  νb   a různé kvantily F-rozdělení. Hodnota F(νa , νb ) > F0,95 nebo F(νa , νb )  >  F0,975 (kritická hodnota) je obvykle interpretována jako ukazatel, že statistický význam 2 a as ν( ) je větší než 2 b bs ν( ); a že pravděpodobnost hodnoty F je stejná pozorovaná hodnota, jestliže při stejném rozptylu obou odhadů je menší než 0,05 eventuelně 0,025. (Také je dovoleno vybrat jiné kritické hodnoty, takové jako F0,99 .) H.5.2.3  The F-distribution is the probability distribution of the ratio F(va , vb ) = 2 2 a a b bs sν ν( ) / ( ) oftwoindependent estimates, 2 a as ν( ) and 2 b bs ν( ), of the variance σ2 of a normally distributed random variable [15]. The parameters νa and νb are the respective degrees of freedom of the two estimates and 0 ≤ F(νa , νb ) < ∞. Values of F are tabulated for different values of νa and νb and various quantiles of the F-distribution. A  value of F(νa , νb ) > F0,95 or F(νa , νb ) > F0,975 (the critical value) is usually interpreted as indicating that 2 a as ν( ) is larger than 2 b bs ν( ) by a statistically significant amount; and that the probability of a value of F as large as that observed, if the two estimates were estimates of the same variance, is less than 0,05 or 0,025, respectively. (Other critical values may also be chosen, such as F0,99 .) sborníky technické harmonizace 2012 204 Tabulka H.9 – Přehled dat kalibrace napěťového etalonu získaných za J =10 dnů s každodenní střední hodnotou jV a výběrovou směrodatnou odchylkou s(Vj,k ) založených na K = 5 opakovaných nezávislých pozorováních Table H.9 – Summary of voltage standard calibration data obtained on J = 10 days, with each daily mean jV and experimental standard deviation s(Vjk ) based on K = 5 independent repeated observations Den, j Veličina Day, j Quantity / VjV s(Vjk ) / μV 1 10,000 172 60 2 10,000 116 77 3 10,000 013 111 4 10,000 144 101 5 10,000 106 67 6 10,000 031 93 7 10,000 060 80 8 10,000 125 73 9 10,000 163 88 10 10,000 041 86 V = 10,000 097 V )( jVs   = 57 µV 2 2 a ( )js Ks V=   =5(57 µV)2  = (128 µV)2 2 2 b ( )jks s V=  = (85 µV)2 H.5.2.4  Použití F-testu v předloženém číselném příkladu poskytuje H.5.2.4  The application of the F-test to the present numerical example yields a b,F ν ν( ) 22 a 2 2 b ( ) ( ) j jk Ks Vs s s V = = 2 2 5 (57 V) 2,25 (85 V) µ = = µ (H.27) s  νa   =  J  –  1  =  9 stupňů volnosti v  čitateli a  νb   =  J(K  –  1)  =  40 stupni volnosti ve jmenovateli. Protože F0,95 (9,40)  =  2,12 a F0,975 (9,40) = 2,45, je závěr, že je statisticky významný mezidenní vliv při 5-ti procentní úrovni významnosti, ale ne při úrovni 2,5 % . with νa  = J – 1 = 9 degrees of freedom in the numerator and νb = J(K – 1) = 40 degrees of freedom in the denominator. Since F0,95 (9,40) = 2,12 and F0,975 (9,40) = 2,45, it is concluded that there is a statistically significant between-day effect at the 5 percent level of significance but not at the 2,5 percent level. sborníky technické harmonizace 2012 205 H.5.2.5  Jestliže je existence mezidenních vlivů zamítnuta, protože se na rozdíl mezi 2 as a  2 bs nepohlíží jako na statisticky významný (nerozvážné rozhodnutí, protože by mohlo vést k  nedocenění nejistoty), odhad rozptylu s2 (V ) k  V má být vypočten z rovnice (H.24b). Tento vztah je rovnocenný ke sdružení odhadů 2 as a  2 bs (tj.  zobrazení váženého průměru z  2 as a  2 bs , vážený vždy podle počtu stupňů volnosti νa a νb , viz H.3.6, poznámka) k získání nejlepšího odhadu rozptylu pozorování; a  dělením odhadu JK (počtem pozorování), k získání nejlepšího odhadu rozptylu 2 ( )s V střední hodnoty pozorování. Tímto postupem se obdrží: H.5.2.5  If the existence of a between-day effect is rejected because the difference between 2 as and 2 bs is not viewed as statistically significant (an imprudent decision because it could lead to an underestimate of the uncertainty), the estimated variance 2 ( )s V of V should be calculated from equation (H.24b). That relation is equivalent to pooling the estimates 2 as and 2 bs (that is, taking a weighted average of 2 as and 2 bs , each weighted by its respective degrees of freedom νa and νb  – see H.3.6, note) to obtain the best estimate of the variance of the observations; and dividing that estimate by JK, the number of observations, to obtain the best estimate 2 ( )s V of the variance of the mean of the observations. Following this procedure one obtains 2 ( )s V 2 2 a b( 1) ( 1) ( 1) J s J K s JK JK − + − = − 2 2 9(128 V) 40(85 V) (10)(5)(49) µ + µ = (H.28a) 2 ( )s V 2 (13 V) , nebo ( ) 13 Vs V=µ =µ (H.28b) přičemž JK – 1 = 49 stupňů volnosti patří k  ( )s V . with ( )s V having JK – 1 = 49 degrees of freedom. Jestliže se předpokládá, že všechny korekce pro systematické vlivy byly již vzaty v úvahu a všechny ostatní složky nejistoty jsou nevýznamné, potom výsledek kalibrace může být stanoven jako VS   = V   =  10,000  0097  V (viz tabulka H.9), s kombinovanou standardní nejistotou s(V ) = uc  = 13 µV, přičemž 49 stupňů volnosti patří k uc . If it is assumed that all corrections for systematic effects have already been taken into account and that all other components of uncertainty are insignificant, then the result of the calibration can be stated as VS =  V =  10,000 0097 V  (see table H.9), with a  combined standard uncertainty of ( )s V = uc = 13 µV, and with uc having 49 degrees of freedom. POZNÁMKY NOTES 1 V praxi by byly pravděpodobnější další složky nejistoty, které byly významné a proto by měly být kombinovány se složkami nejistoty statististicky získanými z pozorování (viz H.5.1, poznámka). 1 In practice, there would very likely be additional components of uncertainty that were significant and therefore would have to be combined with the component of uncertainty obtained statistically from the observations (see H.5. 1, note). 2 Dá se dokázat, že rovnice (H.28a) pro )(Vs2 může být rovnocenná rovnici (H.24b), zápisem dvojitého součtu označeného S v této rovnici jako: 2 Equation (H28a) for )(Vs2 can be shown to be equivalent to equation (H24b) by writing the double sum, denoted by S in that equation as sborníky technické harmonizace 2012 206 S 2 1 1 ( ) ( ) J k jk j j j k V V V V = =  = − + − ∑∑ 22 11 ba )()( sKJsJ −+−= H.5.2.6  Když je přijata existence mezidenního vlivu (rozvážné rozhodnutí, protože to vylučuje možné nedocenění nejistoty) a předpokládá se, že musí být nahodilé, potom rozptyl 2 ( )js V , vypočtený z J = 10 denních středních hodnot podle rovnice (H.25d) neodhaduje 2 w Kσ / jak se předpokládá v H.5.2.2, ale 2 2 W BKσ σ+/ , kde 2 Bσ je náhodná mezidenní složka rozptylu. To znamená, že H.5.2.6  If the existence of a between-day effect is accepted (a prudent decision because it avoids a  possible underestimate of the uncertainty)and it is assumed to be random, then the variance 2 ( )js V calculated from the J = 10 daily means according to equation (H.25d) estimates not 2 w Kσ / as postulated in H.5.2.2, but 2 2 W BKσ σ+/ , where 2 Bσ is the between-day random component of variance. This implies that 2 2 2 W B( ) /js V s K s= + (H.29) kde 2 Ws odhaduje 2 Wσ a  2 Bs odhaduje 2 Bσ . Protože 2 ( )jks V vypočtená z rovnice (H.26b) závisí pouze na denním kolísání hodnot pozorování, může se dosadit 2 2 W ( )jks s V= . Tedy poměr 2 2 ( ) / ( )j jkKs V s V použitý pro Ftest v H.5.2.4 se změní: where 2 Ws estimates 2 Wσ and 2 Bs estimates 2 Bσ . Since 2 ( )jks V calculated from equation (H.26b) depends only on the within-day variability of the observations, one may take 2 2 W ( )jks s V= . Thus the ratio 2 2 ( ) / ( )j jkKs V s V used for the F-test in H .5.2.4 becomes F 2 2 2 W B 22 W ( ) ( ) j jk Ks V s Ks ss V + = = 2 2 5 (57 V) 2,25 (85 V) µ = = µ (H.30) který potom vede k which then leads to sB 2   2 2 ( ) ( )j jkKs V s V K − = (H.31a) sB 2  = (43 µV)2 , nebo (or) sB = 43 µV 2 Ws 2 2 W( ) (85 V) , nebo (or) 85 Vjks V s==µ =µ (H.31b) sborníky technické harmonizace 2012 207 Odhad rozptylu V je získán z  2 ( )js V rovnice (H.25d), protože 2 ( )js V správně odráží denní i mezidenní náhodné složky rozptylu [viz rovnice (H.29)]. Tedy The estimated variance of V is obtained from 2 ( )js V , equation (H.25d), because 2 ( )js V properly reflects both the withinday and between-day random components of variance [see equation (H.29)]. Thus 2 ( )s V 2 ( ) /js V J= 2 (57 V) / 10,nebo (or) ( ) 18 Vs V=µ =µ (H.32) přičemž J – 1 = 9 stupňů volnosti patří k  ( )s V . with ( )s V having J – 1 = 9 degrees of freedom. Počet stupňů volnosti 2 Ws (a  tedy i  sW ) je J(K  –  1)  =  40 [viz rovnice (H.26b)]. Počet stupňů volnosti 2 Bs (a tedy i sB ) je počet efektivních stupňů volnosti rozdílu 2 2 2 ( ) ( ) /B j jks s V s V K= − [rovnice (H.31a) ], ale její odhad je problematický. The degrees of freedom of 2 Ws , (and thus sW ) is J(K – 1) = 40 [see equation (H.26b)]. The degrees of freedom of 2 Bs (and thus sB ) is the effective degrees of freedom of the difference 2 2 2 ( ) ( ) /B j jks s V s V K= − [equation (H  .3 la)], but its estimation is prob- lematic. H.5.2.7  Nejlepší odhad napětí napěťového etalonu je potom VS  = V = 10,000 097 V  s s(V ) = uc  = 18 µV, jak vyplývá z rovnice (H.32). Tato hodnota uc a  jejích 9  stupňů volnosti musí být porovnávány s uc  = 13 µV a jeho 49 stupni volnosti výsledku získaného v H.5.2.5 [rovnice (H.28b)], když existence mezidenního vlivu byla zamítnuta. H.5.2.7  The best estimate of the potential difference of the voltage standard is then VS = V = 10,000 097 V, with ( )s V = uc = 18 µV as given in equation (H.32). This value of uc and its 9 degrees of freedom are to be compared with uc = 13 µV and its 49 degrees of freedom, the result obtained in H.5.2.5 [equation (H.28b)] when the existence of a between-day effect was rejected. Při skutečném měření zřejmý mezidenní vliv má být dále zkoumán, jestliže je to možné, aby se určila jeho příčina a zda je systematický vliv přítomen, a nebo by mohl být metodami ANOVA zamítnut. Jak bylo na začátku tohoto příkladu zdůrazněno, postupy ANOVA jsou stanoveny tak, aby identifikovaly a  vyhodnotily složky nejistoty, které vznikly z náhodných vlivů; nejsou však vhodné k  obstarávání informací o složkách, které vznikají ze systematických vlivů. In a  real measurement an apparent between-day effect should be further investigated, if possible, in order to determine its causeandwhethera systematic effect is present that would negate the use of ANOVA methods. As pointed out at the beginning of this example, ANOVA techniques are designed to identify and evaluate components of uncertainty arising from random effects; they cannot provide information about components arising from systematic effects. sborníky technické harmonizace 2012 208 H.5.3  Role postupů ANOVA při měření H.5.3  The role of ANOVA in measurement H.5.3.1  Tento příklad napěťového etalonu znázorňuje, co je obecně označováno jako jednostupňový zatříděný soubor. Jedná se o  vyvážený zatříděný soubor, protože je k dispozici jednoúrovňové „zatřídění“ hodnot pozorování, přičemž činitel, který se při měření mění, je den, ve kterém se provádí pozorování. Je to vyvážené, protože stejný počet pozorování je uskutečněn každý den. Analýza, uvedená v  tomto příkladu, může být použita ke stanovení, zda existuje „vliv operátora“, „vliv přístroje“, „vliv laboratoře“, „vliv vzorku“ nebo dokonce „vliv metody“ v určitém měření. Tedy tento příklad by se mohl chápat jako nahrazení pozorování prováděná během J různých dní pozorováními provedenými týž den, ale J různými operátory; mezidenní složka rozptylu se stává složkou rozptylu spojenou s různými operátory. H.5.3.1  This voltage standard example illustrates what is generally termed a balanced, one-stage nested design. It is a onestage nested design because there is one level of “nesting” of the observations with one factor, the day on which observations are made, being varied in the measurement. It is balanced because the same number of observations is made on each day. The analysis presented in the example can be used to determine if there is an “operator effect,“ an “instrument effect,“ a “laboratory effect,“ a “sample effect,“ or even a method effect” in a particular measurement. Thus in the example, one might imagine replacing the observations made on the J  different days by observations made on the same day but by J different operators; the between-day component of variance becomes then a component of variance associated with different opera- tors. H.5.3.2  Jak je poznamenáno v  H.5, metody ANOVA jsou rozsáhle používané při certifikaci referenčních materiálů (RM) zkouškami ve více laboratořích. Taková certifikace obvykle zahrnuje počet nezávislých, rovnocených složek laboratorních vzorků míry materiálu, pokud jde o vlastnosti, pro které je materiál certifikován. Obecně se předpokládá, že rozdíly mezi jednotlivými výsledky, v rámci jedné laboratoře a mezi laboratořemi, jsou statistické povahy bez ohledu na příčinu. Na každou laboratorní střední hodnotu se pohlíží jako na očekávaně rozptýlený odhad vlastnosti materiálu a nevážená střední hodnota laboratorních průměrů se pokládá za nejlepší odhad této vlastnosti. H.5.3.2  As noted in H.5, ANOVA methods are widely used in the certification of reference materials (RMs) by interlaboratory testing. Such certification usually involves having a number of independent, equally competent laboratories measure samples of a  material for the property for which the material is to be certified. It is generally assumed that the differences between individual results, both within and between laboratories, are statistical in nature regardless of the causes. Each laboratory mean is considered an unbiased estimate of the property of the material, and usually the unweighted mean of the laboratory means is assumed to be the best estimate of that property. sborníky technické harmonizace 2012 209 Certifikace RM by mohla zahrnovat I různých laboratoří, z nichž každá stanoví míru potřebných vlastností J  různých vzorků materiálu, s každým měřením vzorku spočívající na K nezávislých opakovaných pozorováních. Tedy celkový počet pozorování je IJK a celkový součet vzorků je IJ. Toto je příklad dvoustupňového vyváženého zatříděného souboru analogického k  jednostupňovému příkladu s napěťovým etalonem. V  tomto případě jsou dvě úrovně „zatřídění“ hodnot pozorování s  dvěma různými činitely, vzorek a laboratoř, které se mění během měření. Provedení je vyvážené, protože každý vzorek je podroben K měření v každé laboratoři a každá laboratoř měří stejný počet vzorků (J). V další analogii s  příkladem napěťového etalonu je účelem analýzy dat v případě RM vyšetřit možnou existenci mezivzorkového vlivu a vlivu mezi laboratořemi, a ke stanovení správné nejistoty přidělené k  nejlepšímu odhadu hodnoty vlastnosti, která má být certifikována. S  podporou předchozího odstavce je střední hodnota předpokládáný odhad I laboratorních středních hodnot, která je také střední hodnotou IJK pozoro- vání. An RM certification might involve I different laboratories, each of which measures the requisite property of J different samples of the material, with each measurement of a sample consisting of K independent repeated observations. Thus the total number of observations is IJK and the total number of samples is IJ. This is an example of a  balanced, two-stage nested design analogous to the one-stage voltage-standard example above. In this case there are two levels of “nesting” of the observations with two different factors, sample and laboratory, being varied in the measurement. The design is balanced because each sample is observed the same number of times (K) in each laboratory and each laboratory measures the same number of samples (J). In further analogy with the voltage- standard example, in the RM case the purpose of the analysis of the data is to investigate the possible existence of a between-samples effect and a  between-laboratories effect, and to determine the proper uncertainty to assign to the best estimate of the value of the property to be certified. In keeping with the previous paragraph, that estimate is assumed to be the mean of the I laboratory means, which is also the mean of the IJK observations. H.5.3.3  Význam kolísání vstupních veličin, na kterých výsledek měření závisí tak, že jeho nejistota, založená na pozorovaných statisticky vyhodnocených datech, je uveden v 3.4.2. Zatřídění a analýza výsledných dat metodou ANOVA mohou být úspěšně použity v mnoha situacích, se kterými se setkáváme v praxi. H.5.3.3  The importance of varying the input quantities upon which a measurement result depends so that its uncertainty is based on observed data evaluated statistically is pointed out in 3.4.2. Nested designs and the analysis of the resulting data by ANOVA methods can be successfully used in many measurement situations encountered in practice. sborníky technické harmonizace 2012 210 Nicméně, jak je uvedeno v  3.4.1, kolísání všech vstupních veličin je sotva proveditelné z časových důvodů a pomocných zdrojů. V nejlepším případě ve většině praktických situacích měření je to možné pouze hodnocením několika složek použitím metod ANOVA. Jak je zdůrazněno v 4.3.1, při pochybnostech musí být mnoho složek vyhodnoceno pomocí vědeckého posudku, použitím všech dostupných informací s ohledem na možnou proměnlivost vstupních veličin. V  mnoha případech složka nejistoty tak, jak například vznikne z  „vlivu vzorků“, „vlivu laboratoří“, „vlivu přístrojů“ a „vlivu operátorů“, nemůže být vyhodnocena statistickou analýzou řady pozorování, ale musí být vyhodnocena z dostupných infor- mací. Nonetheless, as indicated in 3.4.1, varying all input quantities is rarely feasible due to limited time and resources; at best, in most practical measurement situations, it is only possible to evaluate a  few components of uncertainty using ANOVA methods. As pointed out in 4.3.1, many components must be evaluated by scientific judgement using all of the available information on the possible variability of the input quantities in question; in many instances an uncertainty component, such as arises from a between-samples effect, a between-laboratories effect, a between-instruments effect, or a between-operators effect, cannot be evaluated by the statistical analysis of series of observations but must be evaluated from the available pool of information. H.6 Měření na referenční stupnici: tvrdost H.6 Measurements on a reference scale: hardness Tvrdost je příklad fyzikálního pojmu, který nemůže být kvantifikován bez odkazu na metody měření. Nemá žádnou jednotku, která je nezávislá na takové metodě. Veličina „tvrdost“ není jako klasické měřitelné veličiny ve smyslu toho, že nemůže být dosazena do algebraických rovnic, aby definovala jiné měřené veličiny (i když je občas použita v empirických rovnicích, které vztahují tvrdost k  jiné vlastnosti pro kategorii materiálů). Její velikost je určena smluvním měřením, tj. pomocí důlku v tělese vzorku zkušebního materiálu. Měření se provádí podle příslušné technické normy, která popisuje „vtlačovací tělísko“ a konstrukci přístroje, v kterém je vtlačovací tělísko použíto a způsob, jak přístroj obsluhovat. Neexistuje jen jedna technická norma, a proto existuje více stupnic tvrdosti. Hardness is an example of a physical concept that cannot be quantified without reference to a  method of measurement; it has no unit that is independent of such a method. The quantity “hardness” is unlike classical measurable quantities in that it cannot be entered into algebraic equations to define other measurable quantities (though it is sometimes used in empirical equations that relate hardness to another property for a category of materials). Its magnitude is determined by a conventional measurement, that of a linear dimension of an indentation in a block of the material of interest, or sample block. The measurement is made according to a written standard, which includes a description of the “indentor,“ the construction of the machine by which the indentor is applied, and the way in which the machine is to be operated. There is more than one written standard, so there is more than one scale of hardness. sborníky technické harmonizace 2012 211 Zaznamenaná tvrdost je funkce (závislá na stupnici) měřeného lineárního rozměru. V  příkladu uvedeném v  tomto článku je to lineární funkce aritmetického průměru hloubky pěti opakovaně provedených důlků, ale pro některé jiné stupnice to může být funkce nelineární. The hardness reported is a  function (depending on the scale) of the linear dimension that is measured. In the example given in this subclause it is a linear function of the arithmetic mean or average of the depths of five repeated indentations, but for some other scales the function is non- linear. Provedení etalonového přístroje je založeno na národní normě (neexistuje žádné mezinárodně platné provedení etalonu); porovnání jednotivého přístroje s  národním etalonem se uskutečňuje pomocí bloku srovnávacího standardu. Realizations of the standard machine are kept as national standards (there is no international standard realization); a  comparison between a particular machine and the national standard machine is made using a transfer-standard block. H.6.1  Problém měření H.6.1  The measurement problem V tomto příkladu, tvrdost vzorového kusu materiálu je určená pomocí stupnice „Rockwell C“ za použití přístroje, který byl kalibrován s použitím národního etalonového přístroje. Jednotka stupnice tvrdosti Rockwell-C je 0,002 mm, s tvrdostí určenou na této stupnici jako 100 x (0,002 mm) mínus průměrná hloubka pěti důlků, měřená v mm. Hodnota této veličiny dělitelná jednotkou stupnice Rockwell 0,002 mm je nazývána „HRC index tvrdosti“. V  tomto příkladu je tato veličina jednoduše nazývána „tvrdost“, označuje se hRockwell C a číselná hodnota tvrdosti vyjádřená pomocí Rockwellovy jednotky délky je nazývána „index tvrdosti“ a označena HRockwell C . In this example the hardness of a sample block of material is determined on the scale “Rockwell C” using a  machine that has been calibrated against the national standard machine. The scale unit of Rockwell-C hardness is 0,002 mm, with hardness on that scale defined as 100 x (0,002 mm) minus the average of the depths, measured in mm, of five indentations. The value of that quantity divided by the Rockwell scale unit 0,002  mm is called the “HRC hardness index.“ In this example the quantity is called simply “hardness,“ symbol hRockwell C , and the numerical value of hardness expressed in Rockwell units of length is called the “hardness index”, symbol HRockwell C . H.6.2  Matematický model H.6.2  Mathematical model K průměru hloubky důlků, provedených na tělese vzorku přístrojem použitým k určení tvrdosti nebo kalibračním přístrojem, musí být připočítány korekce k určení průměru hloubky důlků, které by mohly být udělány na stejném vzorku pomocí národního etalonového přístroje. Tedy: To the average of the depths of the indentations made in the sample block by the machine used to determine its hardness, or calibration machine, must be added corrections to determine the average of the depths of the indentations that would have been made in the same block by the national standard machine. Thus hRockwell C = ƒ(d , Δc , Δb , ΔS ) = 100 (0,002 mm) d− (H.33a) – Δc  – Δb  – ΔS HRockwell C = hRockwell C /(0,002 mm) (H.33b) sborníky technické harmonizace 2012 212 kde je where d aritmetický průměr hloubky pěti důlků provedených kalibračním přístrojem na tělese vzorku; d is the average of the depths of five indentations made by the calibration machine in the sample block; Δc korekce získaná porovnáním kalibračního přístroje s národním etalonovým přístrojem, za použití bloku srovnávacího standardu, rovnající se průměrné hloubce 5m důlků provedených na vzorku pomocí národního etalonového přístroje minus průměrná hloubka 5n důlků provedených na stejném vzorku pomocí kalibračního přístroje; Δc is the correction obtained from a comparison of the calibration machine with the national standard machine using a  transfer-standard block, equal to the average of the depths of 5m indentations made by the national standard machine in this block, minus the average of the depths of 5n indentations made in the same block by the calibration machine; Δb rozdíl tvrdosti (vyjádřený jako rozdíl průměrných hloubek důlků) mezi dvěma částmi srovnávacího standardu, samostatně použitými pro vtlačování dvěma porovnávanými přístroji, předpokládá se, že rozdíl bude nulový; a Δb is the difference in hardness (expressed as a  difference of average depth of indentation) between the two parts of the transfer-standard block used respectively for indentations by the two machines, assumed zero; and ΔS chyba z  důvodu nedostatku opakovatelnosti národního etalonového přístroje a neúplnosti definice veličiny tvrdosti, i když se musí předpokládat, že ΔS je rovno nule, má příslušnou standardní nejistotu u(ΔS ). ΔS is the error due to the lack of repeatability of the national standard machine and the incomplete definition of the quantity hardness. Although ΔS must be assumed to be zero, it has a  standard uncertainty associated with it of u(ΔS ) Zatímco parciální derivace f d∂ ∂/ , ∂f / ∂Δc , ∂f / ∂Δb , a ∂f / ∂ΔS funkce z rovnice (H.33a) jsou všechny rovny –1, je kombinovaná standardní nejistota 2 c ( )u h tvrdosti vzorku měřená kalibračním přístrojem jednoduše uvedena v Since the partial derivatives f d∂ ∂/ , ∂f /∂ Δc , ∂f / ∂Δb , and ∂f / ∂ΔS of the function of equation (H.33a) are all equal to –1, the combined standard uncertainty 2 c ( )u h of the hardness of the sample block as measured by the calibration machine is simply given by 2 c ( )u h = u2 ( )d + u2 (Δc ) + u2 (Δb ) + u2 (ΔS ) (H.34) kde pro jednoduchost označení platí: h ≡ hRockwell C where for simplicity of notation h ≡ hRockwell C sborníky technické harmonizace 2012 213 H.6.3  Přispívající rozptyly H.6.3  Contributory variances H.6.3.1  Nejistota průměru hloubky d důlku na vzorku, ( )u d H.6.3.1  Uncertainty of the average depth of indentation d of the sample block, ( )u d Nejistota opakovaných pozorování. Striktní opakování jednoho pozorování není možné, protože nový důlek nemůže být provedený na místě dřívějšího vtlačení. Protože každý důlek musí být proveden na jiném místě, jakékoliv rozptyly výsledků zahrnují vliv kolísání tvrdosti mezi různými místy. Tedy ( )u d , standardní nejistota průměru hloubek pěti důlků na tělese vzorku provedených kalibračním přístrojem, je vzata jako p ( ) / 5ks d , kde p ( )ks d je sdružená směrodatná odchylka hloubky důlku určená pomocí „opakovaných“ měření na tělese, o  kterém je známo, že má velmi stejnoměrnou tvrdost (viz 4.2.4). Uncertainty of repeated observations. Strict repetition ofanobservationisnotpossiblebecause a new indentation cannot be made on the site of an earlier one. Since each indentation must be made on a different site, any variation in the results includes the effect of variations in hardness between different sites. Thus ( )u d , the standard uncertainty of the average of the depths of five indentations in the sample block by the calibration machine, is taken as p ( ) / 5ks d , where p ( )ks d is the pooled experimental standard deviation of the depths of indentations determined by “repeated“ measurements on a  block known to have very uniform hardness (see 4.2.4). Nejistota indikace. Ačkoliv korekce d z důvodu displeje kalibračního přístroje je nulová, existuje nejistota pro d v důsledku nejistoty indikace hloubky způsobené rozlišovací schopností δ  displeje, dané 2 ( ) 12u δ δ= / (viz F.2.2.1). Odhad rozptylu d je tedy Uncertainly of indication. Although the correction to d due to the display of the calibration machine in zero, there is an uncertainty in d due to the uncertainty of the indication of depth due to the resolution δ of the display given by 2 ( ) 12u δ δ= / (see F.2.2. 1). The estimated variance of d is thus 2 2 2 5 12ku d s d δ= +( ) ( ) / / (H.35) sborníky technické harmonizace 2012 214 H.6.3.2  Nejistota u(Δc ) korekce rozdílu mezi dvěma přístroji H.6.3.2  Uncertainty of the correction for the difference between the two machines, u(Δc ) Jak bylo uvedeno v H.6.2, Δc je korekce rozdílu mezi národním etalonovým přístrojem a  kalibračním přístrojem. Tato korekce může být vyjádřena jako Δc   Sz z′ ′= − , kde S 1 S, m i i z z m= ′ = ∑( ) / je průměr hloubky 5m důlků provedených národním etalonovým přístrojem na bloku srovnávacího standardu; a  1 n ii z z n= ′ = ∑( ) / je průměr hloubky 5n důlků provedených na stejném bloku pomocí kalibračního přístroje. Tedy za předpokladu, že porovnání nejistoty, která v důsledku rozlišovací schopnosti displeje kteréhokoli přístroje je zanedbatelná, platí pro odhad rozptylu Δc : As indicated in H.6.2, Δc is the correction for the difference between the national standard machine and the calibration machine. This correction may be expressed Δc Sz z′ ′= − , where S 1 S, m i i z z m= ′ = ∑( ) / is the average depth of the 5m indentations made by the national standard machine in the transferstandard block; and 1 n ii z z n= ′ = ∑( ) / is the average depth of the 5n indentations made in the same block by the calibration machine. Thus, assuming that for the comparison the uncertainty due to the resolution of the display of each machine is negligible, the estimated variance of Δc is u2 (Δc ) 2 2 av S av )s z s z n = + ( ) ( m (H.36) kde where 2 2 av S S,1 m ii s z s z m= = ∑( ) [ ( )] / je průměr výběrových rozptylů středních hodnot každé z m řad důlků zS,ik provedených pomocí etalonového přístroje; 2 2 av S S,1 m ii s z s z m= = ∑( ) [ ( )] / is the average of the experimental variances of the means of each of the m series of indentations zS,ik made by the standard machine; 2 2 av 1 n ii s z s z n= = ∑( ) [ ( )] / je průměr výběrových rozptylů středních hodnot každé z  n řad důlků zik provedených pomocí kalibračního přístroje. 2 2 av 1 n ii s z s z n= = ∑( ) [ ( )] / is the average of the. experimental variances of the means ofeach of the n series of indentations zik made by the calibration machine. POZNÁMKA  Rozptyly 2 av S( )s z a  2 av ( )s z jsou sdružené odhady rozptylů; viz vysvětlení k rovnici (H.26b) v H.5.2.2. NOTE  The variances 2 av S( )s z and 2 av ( )s z are pooled estimates of variance – see the discussion of equation (H.26b) in H.5.2.2. sborníky technické harmonizace 2012 215 H.6.3.3  Nejistota korekce z důvodu kolísání tvrdosti bloku srovnávacího standardu, u(Δb ) H.6.3.3  Uncertainty of the correction due to variations in the hardness of the transfer-standard block, u(Δb ) Mezinárodní doporučení OIML R  12 pro ověření a  kalibraci tvrdosti „Rockwell C“ normalizovaných bloků vyžaduje, aby minimální a maximální hloubky důlků určené pomocí pěti měření na bloku srovnávacího standardu nebyly odlišné o  více než zlomek x průměrné hloubky důlku, kde x  je funkce tvrdosti. Maximální rozdíl hloubky důlků z celého bloku je proto označen xz’, kde z’ je definováno v H.6.3.2 pro n = 5. Maximální rozdíl je popsán pomocí trojúhelníkového rozdělení pravděpodobnosti kolem střední hodnoty xz′/2 (za pravděpodobného předpokladu, že hodnoty blízké centrální hodnotě jsou mnohem pravděpodobnější než extrémní hodnoty  – viz 4.3.9). Potom, jestiže v rovnici (9b) v 4.3.9 je a = xz’/2, odhad rozptylu korekce k průměrné hloubce důlku z důvodu rozdílů tvrdosti měřené etalonovým přístrojem a případně kalibračním přístrojem OIML International Recommendation R 12, Verification and calibration of Rockwell C  hardness standardized blocks, requires that the maximum and minimum depths of indentation obtained from five measurements on the transfer-standard block shall not differ by more than a fraction x of the average depth of indentation, where x is a function of the hardness level. Let, therefore, the maximum difference in the depths of indentation over the entire block be xz′, where z′ is as defined in H.6.3.2 with n = 5 . Also let the maximum difference be described by a  triangular probability distribution about the average value xz′/2 (on the likely assumption that values near the central value are more probable than extreme values  – see 4.3.9). Then, if in equation (9b) in 4.3.9 a = xz′/2, the estimated variance of the correction to the average depth of indentation due to differences of the hardnesses presented respectively to the standard machine and the calibration machine is u2 (Δ b ) = (xz′)2 /24 (H.37) Jak je uvedeno v H.6.2, předpokládá se, že nejlepší odhad korekce Δb je sám nulový. As indicated in H.6.2, it is assumed that the best estimate of the correction Δb itself is zero. H.6.3.4  Nejistota národního etalonového přístroje a definice tvrdosti, u(ΔS ) H.6.3.4  Uncertainty of the national standard machine and the definition of hardness, u(ΔS ) Nejistota národního etalonového přístroje společně s  nejistotou v  důsledku neúplné definice veličiny tvrdosti je zaznamenána jako odhad směrodatné odchylky u(ΔS ) (veličina, která má rozměr délka). The uncertainty of the national standard machine together with the uncertainty due to incomplete definition of the quantity hardness is reported as an estimated standard deviation u(ΔS ) (a quantity of dimension length). H.6.4  Kombinovaná standardní nejistota, uc (h) H.6.4  The combined standard uncertainty, uc (h) Výběr jednotlivých členů z H.6.3.1 až H.6.3.4 a jejich dosazení do rovnice (H.34) poskytuje pro odhad rozptylu měření tvrdosti kombinovanou standardní nejistotu uc (h): Collection of the individual terms discussed in H.6.3.1 to H.6.3.4 and their substitution into equation (H.34) yields for the estimated variance of the measurement of hardness and the combined standard uncertainty is uc (h). sborníky technické harmonizace 2012 216 ( ) 2 22 2 2 2 2av S c ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 12 24 avk S s z s zs d xz u h u m n δ ′ = + + + + + + ∆ (H.38) H.6.5  Číselný příklad H.6.5  Numerical example Data pro tento příklad jsou shrnutá v tabulce H.10. The data for this example are summarized in table H.10. Tabulka H.10 – Souhrnná data pro určení tvrdosti vzorku použitím stupnice Rockwell C Table H.10 – Summary of data for determining the hardness of sample block on the scale Rockwell C Zdroj nejistoty Source of uncertainty Hodnota Value Průměrná hloubka d 5 důlků provedených kalibračním přístrojem na tělese vzorku: 0,072 mm Average depth d of 5 indentations made by the calibration machine in the sample block: 0,072 mm 36,0 jednotek stupnice Rockwell 36,0 Rockwell scale unit Ukazatel indexu tvrdosti vzorku z 5 důlků: (viz H.6.1) Indicated hardess index of the sample block from the 5 indentations: (see H.6.1) HRockwell C  = hRockwell C /(0,002 mm) = [100(0,002 mm) – 0,072 mm)]/(0,002 mm) 64,0 HRC Sdružená výběrová směrodatná odchylka sp (dk ) hloubky důlků provedených kalibračním strojem na tělese s jednotnou tvrdostí Pooled experimental standard deviation sp (dk ) of the depths of indentations made by the calibration machine in a block having uniform hardness 0,45 jednotky stupnice Rockwell 0,45 Rockwell scale unit Rozlišovací schopnost δ displaje kalibračního přístroje Resolution δ of the display of the calibration machine 0,1 jednotky stupnice Rockwell 0,1 Rockwell scale unit, av S( )s z , druhá odmocnina průměru výběrových rozptylů středních hodnot m řad důlků provedených národním etalonovým přístrojem na bloku srovnávacího standardu av S( )s z , square root of the average of the exerimental variances of the means of m series of indentations made by the national standard machine in the transfer-standard block 0,10 jednotky stupnice Rockwell, m = 6 0,10 Rockwell scale unit, m = 6 av ( )s z , druhá odmocnina průměru výběrových rozptylů středních hodnot n řad důlků provedených kalibračním přístrojem na bloku srovnávacího standardu av ( )s z , square root of the average of the experimental variances of the means of n series of indentations made by the calibration machine in the transfer-standard block 0,11 jednotky stupnice Rockwell, n = 6 0,11 Rockwell scale unit, n = 6 Dovolená dílčí změna x hloubky průniku v bloku srovnávacího standardu Permitted fractional variation x of the depth of penetration in the transferstandard block 1,5 x 10–2 Standardní nejistota u(ΔS ) národního etalonového přístroje a definice tvrdosti Standard uncertainty u(ΔS ) of the national standard machine and definition of hardness 0,5 jednotky stupnice Rockwell 0,5 Rockwell scale unit sborníky technické harmonizace 2012 217 Použitá stupnice je označena HRC podle stupnice Rockwell C. Jednotka stupnice Rockwell je 0,002  mm, a  tedy v  tabulce H.10 a  dále se rozumí, že (například) „36,0 jednotek stupnice Rockwell“ znamená 36,0  x  (0,002  mm)  =  0,072  mm, přičemž se jedná o  jednoduché vyjadření dat a výsledků. The scale is Rockwell C, designated HRC. The Rockwell scale unit is 0,002  mm, and thus in table H.10 and in the following it is understood that (for example) “36,0 Rockwell scale unit” means 36,0 x (0,002 mm) = 0,072 mm and is simply a  convenient way of expressing the data and results. Jestliže hodnoty odpovídající veličinám uvedeným v  tabulce H.10 jsou dosazené do rovnice (H.38), obdrží se následující dva výrazy If the values for the relevant quantities given in table H.10 are substituted into equation (H.38), one obtains the following two expressions: 2 c ( )u h = 2 2 2 2 0,45 0,1 0,10 0,11 5 12 6 6  + + +  2 2(0,015 36,0) 0,5 24 × + +   (jednotky stupnice Rockwell/Rockwell scale unit)2 = 0,307 (jednotky stupnice Rockwell/Rockwell scale unit)2 uc (h)  =  0,55 jednotek stupnice Rockwell  = 0,001 1 mm, kde pro účely výpočtu nejistoty, je postačující vzít z′ =  d = 36,0 jednotek stupnice Rockwell. uc (h) = 0,55 Rockwell scale unit = 0,001 1 mm where for the purpose of the calculation of uncertainty it is adequate to take z′ = d = 36,0 Rockwell scale unit. Tedy za předpokladu, že Δc   =  0, tvrdost vzorku je Thus, if it is assumed that Δc = 0, the hardness of the sample block is hRockwell  C   =  64,0 jednotek stupnice Rockwell nebo 0,128 mm s kombinovanou standardní nejistotou uc  = 0,55 jednotek stupnice Rockwell nebo 0,001 1 mm. hRockwell C  = 64,0 Rockwell scale unit or 0,128 mm with a combined standard uncertainty of uc = 0,55 Rockwell scale unit or 0,001 1 mm. Index tvrdosti vzorku je hRockwell C /(0,002 mm) = (0,128 0 mm)/(0,002 mm) nebo The hardness index of the block is hRockwellC /(0,002 mm)= (0,128 0 mm)/(0,002 mm), or HRockwell C  = 64,0 HRC s kombinovanou standardní nejistotou uc  = 0,55 HRC HRockwell C  = 64,0 HRC with a combined standard uncertainty of uc = 0,55 HRC Dodatečně ke složce nejistoty na základě národního etalonového přístroje a  definice tvrdosti u(ΔS )=  0,5 jednotky stupnice Rockwell, patří významné složky nejistoty, které se týkají opakovatelnosti přístroje, p( ) / 5ks d   =  0,20 jednotky stupnice Rockwell; a proměnlivosti tvrdosti bloku srovnávacího standardu, která je (xz’)2 /24 = 0,11 jednotek stupnice Rockwell. Počet efektivních stupňů volnosti uc může být vyhodnocen použitím Welch-Satterthwaitova vzorce, jak bylo uvedeno v H.1.6. In addition to the component of uncertainty due to the national standard machine and the definition of hardness, u(ΔS ) = 0,5 Rockwell scale unit, the significant components of uncertainty are those of the repeatability of the machine, p( ) / 5ks d = 0,20 Rockwell scale unit; and the variation of the hardness of the transfer-standard block, which is (xz′)2 /24 = 0,11 Rockwell scale unit. The effective degrees of freedom of uc can be evaluated using the Welch-Satterthwaite formula in the manner illustrated in H.1.6. sborníky technické harmonizace 2012 218 Příloha J  Annex J Přehled nejdůležitějších značek Glossary of principal symbols a poloviční šířka obdélníkového rozdělení možných hodnot vstupní veličiny Xi : a = (a+  – a– )/2 half-width of a rectangular distribution of possible values of input quantity Xi : a = (a+  – a– )/2 a+ horní mez (horní hranice) vstupní veličiny Xi upper bound, or upper limit, of input quantity Xi a– dolní mez (dolní hranice) vstupní veličiny Xi lower bound, or lower limit, of input quantity Xi b+ horní mez (horní hranice) odchylky vstupní veličiny Xi od jejího odhadu xi : b+  = a+  – xi upper bound, or upper limit, of the deviation of input quantity Xi from its estimate xi : b+  = a+  –  xi b– dolní mez (dolní hranice) odchylky vstupní veličiny Xi od jejího odhadu xi : b–  = xi  – a– lower bound, or lower limit, of the deviation of input quantity Xi from its estimate xi : b– = xi  – a– ci parciální derivace nebo koeficient citlivosti: ci  ≡ ∂ƒ/∂xi partial derivative or sensitivity coefficient: ci  ≡ ∂ƒ/∂xi ƒ funkční vztah mezi měřenou veličinou Y a vstupními veličinami Xi , na kterých Y závisí a rovněž i mezi odhadem výstupní hodnoty y a odhady vstupních hodnot xi , na kterých y závisí funcional relationship between measurand Y  and input quantities Xi on which Y depends, and between output estimate y and input quantities xi , on which y depends ∂f/∂xi parciální derivace vstupní veličiny Xi funčního vztahu ƒ mezi měřenou veličinou Y a vstupními veličinami Xi , na kterých je Y závislá, hodnocená odhadem xi pro Xi : 1 2, . . . , Nx x x i i f f x X ∂ ∂ = ∂ ∂ partial derivative with respect to input quantity Xi of functional relationship ƒ between measurand Y and input quantities Xi on which Y depends, evaluated with estimates xi for the Xi : 1 2, . . . , Nx x x i i f f x X ∂ ∂ = ∂ ∂ sborníky technické harmonizace 2012 219 k koeficient pokrytí použitý k výpočtu rozšířené nejistoty U = kuc (y) odhadu výstupní hodnoty y z její kombinované standardní nejistoty uc (y), kde U určuje interval Y = y ± U, který má vysokou konfidenční úroveň coverage factor used to calculate expanded uncertainty U = kuc (y) of output estimate y from its combined standard uncertainty uc (y), where U defines an interval Y = y ± U having a high level of confidence kp koeficient pokrytí použitý k výpočtu rozšířené nejistoty U = kp uc (y) odhadu výstupní hodnoty y z její kombinované standardní nejistoty uc (y), kde Up určuje interval Y = y ± U, který má vysokou stanovenou konfidenční úroveň p coverage factor used to calculate expanded uncertainty U = kp uc (y) of output estimate y from its combined standard uncertainty uc (y), where Up defines an interval Y = y ± U having a high, specified level of confidence p n počet opakovaných pozorování number of repeated observations N počet vstupních veličin Xi , na kterých měřená veličina Y závisí number of input quantities Xi on which measurand Y depends p pravděpodobnost; konfidenční úroveň: 0 ≤ p ≤ 1 probability; level of confidence: 0 ≤ p ≤ 1 q náhodná veličina popsaná rozdělením pravděpodobnosti randomly varying quantity described by a probability distribution q aritmetický průměr nebo střední hodnota n navzájem nezávislých pozorování qk náhodné veličiny q; odhad očekávaných nebo středních hodnot µq rozdělení pravděpodobnosti q arithmetic mean or average of independent repeated observations qk randomly varying quantity q; estimate of the expectation or mean µq of the probability distribution of q qk k-té nezávislé opakované pozorování qk náhodné veličiny q kth independent repeated observation qk of randomly-varying quantity q r(xi , xj ) odhad korelačního koeficientu odhadu vstupních hodnot xi a xj , příslušných k odhadům vstupních veličin Xi a Xj : r(xi , xj ) = u(xi , xj )/[u(xi )u(xj )] estimated correlation coefficient associated with input estimates xi and xi d that estimate input quantities Xi and Xi : r(xi , xj ) = u(xi , xj )/[u(xj )u(xj )] r( iX , jX ) odhad korelačního koeficientu středních hodnot vstupů iX a  jX , nezávislých párů současných pozorování Xi,k  a Xj,k veličin Xi a Xj  : r( iX , jX ) = s( iX , jX )/[s( iX )s( jX )] estimated correlation coefficient of input means iX and jX determined from n independent pairs of repeated simultaneous obsevations Xi,k and Xj,k  , of Xi and Xj  : r( iX , jX ) = s( iX , jX )/[s( iX )s( jX )] sborníky technické harmonizace 2012 220 r(yi , yj ) odhad korelačního koeficientu příslušného k odhadu výstupních hodnot yi a yj , když dvě nebo více měřených veličin nebo výstupních veličin je učeno tím samým měřením estimated correlation coefficient associated with output estimates yi and yj when two or more measurands or output quantities are determined in the same measurement 2 ps kombinovaný nebo sdružený odhad rozptylu combined or pooled estimate of variance sp sdružená výběrová směrodatná odchylka, rovna kladné hodnotě druhé odmocniny 2 ps pooled experimental standard deviation, equal to the positive square root of 2 ps s2 (q ) výběrovýrozptylstředníchhodnotq ;odhadrozptyluσ2 /n pro q :s2 ( )q = s2 (qk )/ n; výběrový rozptyl získaný hodnocením způsobem A experimental standard variance of the meanq ; estimate of the variance σ2 /n ofq : s2 ( )q = s2 (qk ) / n; estimated variance obtained from a Type A evalu- tion s(q ) výběrová směrodatná odchylka středních hodnot q , která je rovna kladné druhé odmocnině s2 (q ); s( )q je vychýlený odhad σ ( )q (viz C.2.21, poznámka); standartní nejistota z hodnocení způsobem A experimental standard deviation of the mean q , equal to the positive square root of s2 ( )q ; s( )q is a biased estimator of σ ( )q (see C.2.21, note); standard uncertainty obtained from a Type A evaluation s2 (qk ) výběrový rozptyl určený z n navzájem nezávislých opakovaných pozorování qk pro q; odhad rozptylu σ2 rozdělení pravděpodobnosti q experimental variance determined from n  independent repeated observations qk of q; estimate of the variance σ2 of the probability distribution of q s(qk ) výběrová směrodatná odchylka, která je rovna kladné druhé odmocnině s2 (qk ); s(qk ) je vychýlený odhad směrodatné odchylky σ rozdělení pravděpodobností q  experimental standard deviation, equal to the positive square root of s2 (qk ); s(qk ) is a biased estimator of the standard deviation σ of the probability distribution of q sborníky technické harmonizace 2012 221 s2 ( iX ) výběrový rozptyl střední vstupní hodnoty iX , určený z n nezávislých opakovaných pozorování Xi,k pro Xi ; odhad rozptylu je získán z hodnocení způsobem A experimental variance of input mean iX , determined from n independent repeated observations Xi,k of Xi ; estimated variance obtained from a  Type A evaluation s( iX ) výběrová směrodatná odchylka střední vstupní hodnoty iX , která je rovna kladné druhé odmocnině s2 ( iX ); standardní nejistota získaná hodnocením způsobem A experimental standard deviation of input mean iX , equal to the positive square root of s2 ( iX ); standard uncertainty obtained from a Type A evaluati- on s(q , r ) odhad kovariance středních hodnot q a  r s jejich očekávanými hodnotami µq a µr dvou náhodně proměnných veličin q a r, určených z n navzájem nezávislých párů současných opakovaných pozorování qk a rk ; odhad kovariance je získán z hodnocení způsobem A estimate of covariance of means q and r that estimate the expectations µq and µr of two randomly-varying quantities q and r, determined from n independent pairs of repeated simultaneous observations qk and rk of q and r ; estimated covariance obtained from a Type A evaluation s( iX , jX ) odhad kovariance středních vstupních hodnot iX a  jX určených z n navzájem nezávislých párů současných opakovaných pozorování Xi,k a Xj,k pro Xi a Xj ;  odhad kovariance je získán z hodnocení způsobem A estimate of the covariance of input means iX and jX , determined from n independent pairs of repeated simultaneous observations Xi,k and Xj,k of Xi and Xj ;estimated covariance obtained from a Type A evaluation tp (ν) t-faktor z t-rozdělení pro ν stupňů volnosti odpovídající dané pravděpodobnosti p t-faktor from t-distribution for ν degrees of freedom corresponding to a given probability p tp (νeff ) t-faktor z t-rozdělení pro νeff  stupňů volnosti odpovídající dané pravděpodobnosti p, použité k výpočtu rozšířené nejistoty Up t-faktor from t-distribution for νeff degrees of freedom corresponding to a given probability p, used to calculate expanded uncertainty Up sborníky technické harmonizace 2012 222 u2 (xi ) odhad rozptylu přiřazený k odhadu vstupu xi , který odhaduje vstupní veličinu Xi POZNÁMKA  Jestliže xi je určen z aritmetického průměru nebo střední hodnoty n nezávislých opakovaných pozorování, u2 (xi ) = s2 ( iX ) je odhad rozptylu získaný z hodnocení způsobem A. estimated variance associated with input estimate xi that estimates input quantity Xi NOTE  When xi is determited from the arithmetic mean or average of n independent repeated observations, u2 (xi ) = s2 ( iX ) is an estimated variance obtained from a Type A evaluation. u(xi ) standardní nejistota odhadu vstupu xi , která odhaduje vstupní veličiny Xi , která je rovna kladné hodnotě druhé odmocniny u2 (xi ) POZNÁMKA  Jestliže xi je určen z aritmetického průměru nebo střední hodnoty n nezávislých opakovaných pozorování, u(xi ) = s( iX ) je standardní nejistota získaná z hodnocení způsobem A standard uncertainty of input estimate xi that estimates input quantity Xi , equal to the positive square root u2 (xi ) NOTE  When xi is determited from the arithmetic mean or average of n independent repeated observations, u(xi ) = s( iX ) is a standard uncertainty obtained from a Type A evaluation. u(xi , xj ) odhad kovariance přiřazené k dvěma odhadům vstupů xi a xj , které jsou odhady vstupních veličin Xi a Xj POZNÁMKA  Jestližexi a xj jsouurčenyz nnezávislýchpárůopakovanýchsoučasnýchpozorování, u(xi , xj ) = s( iX , jX ) je odhad kovariance získaný z hodnocení způsobem A estimated covariance associated with two input estimates xi and xj that estimate input quantities Xi and Xj NOTE  When xi and xj are determited from n independent pairs of repeated simultaneous observations, u(xi , xj )= s( iX , jX ) is an estimated covariance obtained from a Type A evaluation 2 ( )cu y kombinovaný rozptyl spojený s výstupním odhadem y combined variance associated with output estimate y uc (y) kombinovaná standardní nejistota odhadu výstupní hodnoty y, která je rovna kladné druhé odmocnině 2 ( )cu y combined standard uncertainty of output estimate y, equal to the positive square root of 2 ( )cu y ucA (y) kombinovaná standardní nejistota odhadu výstupní hodnoty y, určená ze standardních nejistot a odhadů kovariancí získaných samostatně z hodnocení způsobem A  combined standard uncertainty of output estimate y  determined from standard uncertainties and estimated covariances obtained from a Type A evaluations alone sborníky technické harmonizace 2012 223 ucB (y) kombinovaná standardní nejistota odhadu výstupní hodnoty y, určená ze standardních nejistot a odhadů kovariancí získaných samostatně z hodnocení způsobem B combined standard uncertainty of output estimate y determined from standard uncertainties and estimated covariances obtained from a Type B evaluations alone uc (yi ) kombinovaná standardní nejistota odhadu výstupní hodnoty yi , kdy dvě nebo více měřených veličin nebo výstupních veličin je určeno tím samým měřením combined standard uncertainty of output estimate yi when two or more measurands or output quantities are determined in the same measurement ui 2 (y) složka kombinovaného rozptylu 2 ( )cu y který je příslušný k odhadu výstupní hodnoty y, který je vytvořen odhadem rozptylu u2 (xi ), příslušným k odhadu vstupní hodnoty xi : ui 2 (y) ≡ [ci u(xi )]2 component of combined variance 2 ( )cu y associated with output estimate y generated by estimated variance u2 (xi ) associated with input estimate xi : ui 2 (y) ≡ [ci u(xi )]2 ui (y) složka kombinované standardní nejistoty uc (y) odhadu výstupu y, který se vytváří ze standardní nejistoty vstupního odhadu xi : ui (y) ≡ |ci |u(xi ) component of combined standard uncertainty uc (y) of output estimate y generated by standard uncertainty of input estimate xi : ui (y) ≡ |ci |u(xi ) u(yi , yj ) odhad kovariance přiřazené k výstupním odhadům yi a yj určených ze stejného měření estimated covariance associated with output estimates yi and yj determited in the same measurement u(xi )/|xi | relativní standardní nejistota odhadu vstupní hodnoty xi relative standard uncertainty of input estimate xi uc (yi )/|yi | relativní kombinovaná standardní nejistota odhadu výstupní hodnoty y relative combined standard uncertainty of output estimate y [u(xi )/xi ]2 odhad relativního rozptylu, který je příslušný k odhadu vstupní hodnoty xi estimated relative variance associated with input estimate xi [uc (y)/ y]2 relativní kombinovaný rozptyl přiřazený k odhadu výstupní hodnoty y relative combined variance associated with output estimate y u(xi , xj )/|xi xj | odhad relativní kovariance příslušné k odhadu vstupních hodnot xi a xj estimated relative covariance associated with input estimates xi and xj sborníky technické harmonizace 2012 224 U rozšířená nejistota odhadu výstupních hodnot y, která určuje Y = y ± U s vysokou konfidenční úrovní a rovná se součinu koeficientu pokrytí k a kombinované standardní nejistoty uc (y) pro y: U = kuc (y) expanded uncertainty of output estimate y that defines an interval Y = y ± U  having a high level of confidence, equal to coverade factor k times the combined standard uncertainty uc (y) of y: U = kuc (y) Up rozšířená nejistota odhadu výstupní hodnoty y definuje interval Y = y ± Up s vysokou konfidenční úrovní p a rovná se součinu faktoru pokrytí kp  a kombinované standardní nejistoty uc (y) pro y: Up  = kp uc (y) expanded uncertainty of output estimate y that defines an interval Y = y ± Up having a  high, specified level of confidence p, equal to coverade factor kp  times the combined standard uncertainty uc (y) of y: Up  = kp uc (y) xi odhad vstupní veličiny Xi POZNÁMKA  Jestliže xi se určí z aritmetického průměru nebo střední hodnoty n navzájem nezávislých opakovaných pozorování, platí xi  =  iX . estimate of input quantity Xi NOTE  when xi is determined from the arithmetic mean or average of n independent repeated observations, xi =  iX . Xi i-tá vstupní veličina, na které měřená veličina Y závisí POZNÁMKA  Xi může být fyzikální veličina nebo náhodná veličina (viz 4.1.1, poznámka 1). ith input quantity on which measurand Y depends NOTE  Xi may be the physical quantity or the random variable (see 4.1.1, note 1). iX odhad hodnoty vstupní veličiny Xi , který je roven aritmetickému průměru nebo střední hodnotě n nezávislých opakovaných pozorování Xi,k veličiny Xi estimate of the value of input quantity Xi , equal to arithmetic mean or average of n independent repeated observations Xi,k of Xi Xi,k k-té opakované nezávislé pozorování Xi kth independent repeated observation of Xi y odhad měřené veličiny Y; výsledek měření; odhad výstupní hodnoty estimate of measurand Y; result of a measurement; output estimate yi odhad měřené veličiny Yi , když dvě nebo více měřených veličin jsou určeny tím samým měřením estimate of measurand Yi , when two or more measurands are determined in the same measurement Y měřená veličina a measurand ∆u(xi )/u(xi ) odhad relativní nejistoty standardní nejistoty u(xi ) odhadu vstupní hodnoty xi estimated relative uncertainty of standard uncertainty u(xi ) of input estimate xi sborníky technické harmonizace 2012 225 µq očekávaná nebo střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti náhodně proměnné veličiny q expectation or mean of probability distribution of randomly-varying quantity q ν počet stupňů volnosti (obecně) degrees of freedom (general) νi počet stupňů volnosti nebo efektivních stupňů volnosti standardní nejistoty u(xi ) odhadu vstupní veličiny xi degrees of freedom, or effective degrees of freedom, of standard uncertainty u(xi ) of input estimate xi νeff počet efektivních stupňů volnosti uc (y) k získání tp (νeff ) pro výpočet rozšířené nejistoty Up effective degrees of freedom of uc (y), used to obtain tp (νeff ) for calculating expanded uncertainty Up νeffA počet efektivních stupňů volnosti kombinované standardní nejistoty určený ze standardních nejistot získaných samostatně z hodnocení způsobem A effective degrees of freedom of a combined standard uncertainty determined from standard uncertainties obtained from Type A evaluations alone νeffB počet efektivních stupňů volnosti kombinované standardní nejistoty určený ze standardních nejistot získaných samostatně z hodnocení způsobem B effective degrees of freedom of a combined standard uncertainty determined from standard uncertainties obtained from Type B evaluations alone σ2 rozptyl rozdělení pravděpodobnosti (například) náhodné veličiny q, odhadnuté pomocí s2 (qk ) variance of probability distribution of (for example) a  randomly-varying quantity q, estimated by s2 (qk ) σ směrodatná odchylka rozdělení pravděpodobnosti, která je rovna kladné druhé odmocnině σ2 ; s(qk ) je vychýlený odhad σ standard deviation of a probability distribution, equal to positive square root of σ2 ; s(qk ) is a biased estimator of σ ( )2 qσ rozptylq , který je roven σ2 /n, odhadnutý pomocí ( )2 s q = s2 (qk )/ n variance ofq , equal to σ2 /n, estimated by ( )2 s q = s2 (qk ) / n σ (q ) směrodatná odchylkaq , která je rovna kladné druhé odmocnině 2 ( )σ q ; s( )q je vychýlený odhad ( )σ q standard deviation ofq , equal to positive square root of 2 ( )σ q ; s( )q is a biased estimator of ( )σ q sborníky technické harmonizace 2012 226 σ2 [s(q )] rozptyl výběrové směrodatné odchylky s( )q pro q variance of experimental standard deviation s( )q of q [ ( )]s qσ směrodatná odchylka výběrové směrodatné odchylky s( )q proq , která je rovna kladné druhé odmocnině σ2 [s( )q ] standard deviation of experimental standard deviation s( )q ofq , equal to positive square root of σ2 [s( )q ] sborníky technické harmonizace 2012 227 Příloha K  Annex K Bibliografie Bibliography [1] CIPM (1980)  BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1-C30 (francouzsky); BIPM (1980), Rapport BIPM-80/3, Report on the BIPM enquiry on error statements, Bur. Intl. Poids et Mesures (Sèvres, Francie) (anglicky) [2] KAARLS, R. (1981)  BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, Al-A12 (francouzsky); Giacomo, P. (1981), Metrologia 17, 7374 (anglicky). POZNÁMKA  Český překlad Doporučení INC-1 (1980) uvedený v úvodu tohoto pokynu (viz 0.7) je konečnou verzí doporučení a je převzato z interní zprávy BIMP. Je shodné s  autorským francouzským textem doporučení uvedeným v BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49 a uveden v A.1 přílohy A tohoto pokynu. Metrologia 17 uvádí anglický překlad doporučení INC-1 (1980) a je založen na jeho návrhu a lehce se liší od překladu interní zprávy BIMP a tím i od textu v 0.7. NOTE  The English translation of Recommendation INC-1 (1980) given in the Introduction to this Guide (see 0.7) is that of the final version of the Recommendation and is taken from a BIPM internal report. It is consistent with the authoritative French text of the Recommendation given in BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49 and reproduced in A.1, annex A  of this Guide. The English translation of Recommendation INC-1 (1980) given in Metrologia 17 is that of a draft and differsslighty from the translation given in the BIMP internal report and thus in 0.7. [3] CIPM (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 (francouzsky); Giacomo, P. (1982), Metrologia 18, 43-44 (anglicky). [4] CIPM (1986), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 54, 14,35 (francouzsky); Giacomo, P. (1987), Metrologia 24, 49-50 (anglicky). [5] ISO 5725:1986  Precision of test methods – Determination of repeatability and reproducibility for a  standard test method by inter-laboratory tests, International Organisation for Standardization (Ženeva, Švýcarsko). POZNÁMKA  Tato norma je v  současné době revidována. Revidované znění má nový název “Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results” a skládá se z šesti částí. NOTE  This standard is currently being revized. The revision has a new title “Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results” and it is composed of six parts. [6] International vocabulary of basic and general terms in metrology, second edition, 1993, International Organization for Standardization (Ženeva, Švýcarsko). Zkratka názvu tohoto slovníku je VIM. POZNÁMKY NOTES 1 Definice termínů uvedené v  příloze B  jsou převzaty z  přepracovaného anglického textu VIM v jeho konečném znění před publikováním. 1 The definitions of terms given in Annex B  are taken from the revised English text of the VIM in its final form prior to publication. 2 Druhé vydání VIM je publikováno Mezinárodní organizací pro normalizaci (ISO) jménem následujících sedmi organizací, které spolupracovaly na díle Technické poradní skupiny 4 (TAG 4), skupina koordinovala vývoj VIM: Mezinárodní úřad pro váhy a míry (BIPM), Mezinárodní elektrotechnická komise (IEC), Mezinárodní federace pro klinickou chemii (IFCC), ISO, Mezinárodní unie pro čistou a aplikovanou chemii (IUPAC), Mezinárodní unie pro čistou a aplikovanou fyziku (IUPAP) a Mezinárodní organizace pro legální metrologii (OIML). 2 The second edition of the VIM is published by the International Organization for Standardization (ISO) in the name of the following seven organizations that participate in the work of ISO Technical Advisory Group 4 (TAG 4), the group that supported the development of the VIM: the Bureau International des Poids et Mesures (BIMP), the International Electrotechnical Commission (IEC), the International Federation of Clinical Chemistry (IFCC), ISO, the International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC), the International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP), and the International Organization of Legal Metrology (OIML). 3 První vydání VIM publikovalo ISO v  roce 1984 jménem BIMP, IEC, ISO a OIML. 3 The first edition of the VIM was published by ISO in 1984 in the name of the BIMP, IEC, ISO and OIML. sborníky technické harmonizace 2012 228 [7] ISO 3534:1993,  Statistics – Vocabulary and symbols – Part 1 : Probability and general Statistical terms, International Organisation for Standardization (Ženeva, Švýcarsko). [8] FULLER, W. A. (1987),  Measurement error models, John Wiley (New York, N.Y.). [9] ALLAN, D. W. (1987),  IEEE Trans. Instrum. Meas. IM-36,646-654. [10] DIETRICH, C. F. (1991),  Uncertainty, calibration and probability, second edition, Adam-Hilger (Bristol). [11] MÜLLER, J. W. (1979),  Nucl. Instrum. Meth. 163, 241-251. [12] MÜLLER, J. W. (1984),  in Precision measurement and fundamental constants II, Taylor, B. N. and, Phillips, W. D. (Peds.), Natl. Bur. Stand (U.S.) Spec. Publ. 617, US GPO (Washington, D. C.), 375-381. [13] JEFFREYS, H. (1983),  Theory of probability, third edition, Oxford University Press (Oxford). [14] PRESS, S. J. (1989),  Bayesian statistics: principles, models, and applications, John Wiley (New York, N.Y.). [15] BOX, G. E. P., HUNTER, W. G., and HUNTER, J. S. (1978),  Statistics for experimenters, John Wiley (New York, N.Y.). [16] WELCH, B. L. (1936),  J. R. Stat. Soc. Suppl. 3, 29-48; (1938), Biometrika 29, 350-362; (1947), ibid. 34, 28-35. [17] FAIRFIELD-SMITH, H. (1936),  J. Counc. Sci. Indust. Res. (Australia) 9(3), 211. [18] SATTERTHWAITE, F. E. (1941),  Psychometrika 6, 309-316; (1946) Biometrics Bull. 2(6), 110-114. [19] ISO  Guide  35:1989,  Certification of reference materials  – General and statistical principles, second edition, International Organization for Standardization (Ženeva, Švýcarsko). [20] BARKER, T. B. (1985),  Quality by experimental design, Marcel Dekker (New York, N.Y.). sborníky technické harmonizace 2012 229 Abecední rejstřík A Allanův rozptyl  4.2.7 analýza chyby  0.2 ANOVA  4.2.8, H.5 apriorní rozdělení  4.1.6 aritmetický průměr  4.1.4, 4.2. 1, C.2.19 asymetrické rozdělení  4.3.8, F.2.4.4, G.5.3 B BIPM  Předmluva, 0.5, A.1, A.2 blíže určená veličina  3.1.1, B.2.1 C centrální moment řádu q  C.2.13, C.2.22, E.3.1 centrovaná náhodná veličina  C.2.10 CIPM  Předmluva, 0.5, A.1, A.2, A.3 cizí vstupní hodnota  F.2.3.1 Comité International des Poids et Mesures  Předmluva Č četnost  C.2.17 četnost, relativní  E.3.5 člen vyššího řádu  5.1.2 D distribuční funkce  C.2.4 Doporučení 1 (C1-1981)  0.5, A.2 Doporučení 1 (C1-1986)  0.5, A.3 Doporučení INC-1 (1980)  0.5, A.1 dvoustranný konfidenční interval  C.2.27 E efektivní stupně volnosti  6.3.3 F koeficient rozšíření  2.3.6 F-rozdělení  H.5.2.3 F-test  H.5.2.2, H.5.2.4 funkce, pravděpodobnosti  C.2.6 G grafické znázornění  D.6 grafické znázornění výpočtu standardní nejistoty  4.4 H hierarchie měření  7.1.1 histogram  4.4.3 hodnocení chyby měření  3.4.5 hodnocení způsobem A 2.3.2, 4.2 hodnocení způsobem A pro kovarianci  5.2.3 hodnocení způsobem B 2.3.3, 4.3 hodnocení způsobem B, potřeba  F.2.1 hodnota  3.1.1, B.2.2 hodnota veličiny  B.2.2 hodnota, korigovaná  D.3 hodnota, konvenčně pravá  B.2.4 hodnota, pravá  B.2.3, D.3 hranice  4.3.7, 4.3.8, 4.3.9, 4.4.5 hustota pravděpodobnosti  3.3.5, C.2.5 CH charakteristika  C.2.15 chyba  3.4.7 chyba, systematická  B.2.22 chybová křivka  F.2.4.2 I IEC  Předmluva. A.3 IFCC  Předmluva ISO  Předmluva, A.3 ISO/TAG 4/WG 3  Předmluva IUPAC  Předmluva IUPAP  Předmluva J jednostranný konfidenční interval  C.2.28 jistý  E.1.2 K kalibrační křivka  F.2.4.2, F.2.4.5 kalibrační křivka, lineární  H.3 kalibrační řetězec  4.2.8 koeficient citlivosti  5.1.3, 5.1.4 kombinovaná standardní nejistota  2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.2.2, 6.1.1, 7.2.1, D.6.1, E.3.6 kombinovaný rozptyl 3.3.6, 5.1.3 konfidenční interval  6.2.2, C.2.27, C.2.28 konfidenční úroveň  6.2.2, C.2.29, G konvenčně pravá hodnota  B.2.4 konvoluce  4.3.9 korekce  3.2.3, 3.2.4, B.2.23 korekční faktor  3.2.3, B.2.24 korelace  5.2.1, 5.2.2, C.2.8 korelační  5. 1 korelační koeficient  5.2.2, C.3.6 korelační koeficient, matice  7.2.5, C.3.6 korigovaný výsledek  B.2.13 kovariance  3.3.6, C.3.4 kovarianční matice  3.1.7, C.3.5 křivka, kalibrační  F.2.4.2, F.2.4.5 L Laplace-Gaussovo rozdělení  C.2.14 legální metrologie  3.4.5 legální metrologie, mezinárodní organizace  Předmluva lichoběžníkové rozdělení  4.3.9 limit správnosti  6.3.1 lineární kalibrační křivka  H.3 M matematický model  3.1.6, 4.1 sborníky technické harmonizace 2012 230 matematicky určené rozdělení  F.2.2 matice korelačních koeficientů  7.2.5, C. 3.6 matice, kovarianční  3.1.7, C.3.5 maximální entropie, princip  4.3.8 měřená veličina  3.1.1, B.2.9, D.1.1 měření  3.1.1, B.2.5 měření, hierarchie  7.1.1 měření, model  4.1 měření, nejlepší možné  D.3.4 měření, postup  3.1.1, B.2.8 měření, přesnost  3.1.3, 3.4.1, B.2.14 měření, výsledek  B.2.11, 3.1.2 měřitelná veličina  B.2.1 metoda měření  3.1.1, B.2.7 metoda nejmenších čtverců  4.2.5 mez chyby, maximální  E.4.1 maximální mez chyby  E.4.1 Mezinárodní elektrotechnická komise  Předmluva Mezinárodní federace pro klinickou chemii  Předmluva Mezinárodní komise pro váhy a míry  Předmluva, A.1, A.2, A.3 Mezinárodní organizace pro legální metrologii  Předmlu- va Mezinárodní organizace pro normalizaci  Předmluva, A.3 Mezinárodní slovník metrologie (VIM)  2.1 Mezinárodní slovník základních a všeobecných termínů metrologie  2.1 Mezinárodní systém jednotek  0.3 Mezinárodní unie pro čistou a aplikovanou fyziku  Předmluva Mezinárodní unie pro čistou a aplikovanou chemii  Předmluva Mezinárodní komise pro váhy a míry  Předmluva minimální konfidenční úroveň  F.2.3.2 model měření  4.1 moment řádu q, centrální  C.2.13, C.2.22, E.3.1 N nahodilost  F.1.1 náhodná veličina  4.2.1, C.2.2 náhodná veličina, centrovaná  C.2.10 náhodný  3.2.1, 3.2.2, 3.3.3, B.2.21, E.1.3 náhodný rozptyl  4.2.7 národní metrologický institut  Předmluva nejistota  D.5 nejistota měření  0.1, 0.2, 2.2, 2.2.1, 2.2.3, B.2.18, D.5 nejistota měření, rozšířená  2.3.5 nejistota, kombinovaná  2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.2.2, 6.1.1, 7.2.1, D.6.1, E.3.6 nejistota, realistické hodnocení  E.2 nejistota, rozšířená  7.2.3 nejistota, standardní  2.3.1 nejlepší možné měření  D.3.4 největší přípustná chyba  F.2.4.2 nekorigovaný výsledek měření  B.2.12 nelineární funkce  4.1.4 nezávislé opakování  F.1.1.2 nezávislé páry opakovaných současných pozorování  5.2.3 nezávislost  C.3.7 nezávislý  5.1 normální rozdělení  4.3.4, C.2.14 O obdélníkové rozdělení  4.3.7 očekávaná hodnota  3.2.2, C.2.9, C.3.1 očekávaná veličina  F.2.4.3 odhad  4.2.7, C.2.25 odhad hodnoty  3.1.2, C.2.26 odhad vstupní veličiny  4.1.4 odhad výstupní hodnoty  4.1.4 odhadování  C.2.24 odchylka měření  0.2, 3.2.1, B.2.19, D.4 odchylka měření, náhodná  B.2.21 odchylka měření, relativní  B.2.20 odchylka měření, hodnocení  3.4.5 OIML  Předmluva, A.3 opakovaná pozorování  3.1.5 opakování, nezávislé  F.1.1.2 opakovatelnost  B.2.15 opakovatelnost, podmínky  3.1.4, B.2.15 ovlivňující veličina  3.1.5, B.2.10 P parametr  C.2.7 parciální derivace  5.1.3 podmínky opakovatelnosti  3.1.4, B.2.15 pokryvný interval, statistický  C.2.30 pokrytí, pravděpodobnostní  6.2.2 porovnatelná kalibrace  F.1.2.3 postup měření  3.1.1, B.2.8 potřeba hodnocení způsobem B  F.2.1 pozorování, opakované  3.1.5, Pracovní skupina 3  Předmluva Pracovní skupina pro vyjádření nejistoty  Předmluva pravá hodnota  B.2.3, D.3 pravděpodobnost  C.2.1, C.2.6 pravděpodobnost, hustota  3.3.5, C.2.5 pravděpodobnostní pokrytí  6.2.2 pravděpodobnost, subjektivní  3.3.5, C.2.1 pravděpodobnostní  3.3.4, C.2.3 princip maximální entropie  4.3.8 princip měření  B.2.6 průměr  4.1.4, 4.2.1, C.2.19 průměr, aritmetický  4.1.4, 4.2.1, C.2.19 přesnost  B.2.14 přesnost měření  3.1.3, 3.4. 1. B.2.14 příklady  H sborníky technické harmonizace 2012 231 R realistické hodnocení nejistoty  E.2 realizovaná veličina  D.2 relativní četnost  E.3.5 relativní chyba  B.2.20 relativní kombinovaná standardní nejistota  5.1.6 relativní kombinovaný rozptyl  5.1.6 relativní rozptyl  5.1.6 relativní rozšířená nejistota  7.2.3 relativní standardní nejistota  5.1.6 reprodukovatelnost  B.2.16 rozdělení četnosti  3.3.5, C.2.18 rozdělení pravděpodobnosti  3.3.4, C.2.3 rozdělení F  H.5.2.3 rozdělení, Laplace-Gaussovo  C.2.14 rozdělení, lichoběžníkové  4.3.9 rozdělení, matematicky určené  F.2.2 rozdělení, normální  4.3.4, C.2.14 rozdělení, obdélníkové  4.3.7 rozdělení, Studentovo  C.3.8, G.3.2, G.3.4 rozdělení, t-  C.3.8, G.3.2, G.3.4 rozdělení, trojúhelníkové  4.3.9 rozptyl  3.1.3.1.7, C. 2.1.1, C. 2.20, C.3.2 rozptyl střední hodnoty  4.2.3 rozptyl, Allenův  4.2.7 rozptyl, kombinovaný  3.3.6, 5.1.3 rozšířená nejistota  2.3.5, 6.2.1, 7.2.3 S sdružená výběrová směrodatná odchylka  4.2.4 sdružený odhad rozptylu  4.2.4 SI  0.3 směrodatná odchylka  3.3.5, C.2.12. C.2.21, C.3.3 směrodatná odchylka střední hodnoty, výběrová  4.2.3, B.2.17 směrodatná odchylka, šíření  E.3 směrodatná odchylka, výběrová  4.2.2, B.2.17 souhrn  8 spektrum měření  1.1 standardní nejistota  2.3.1 standardní nejistota způsobem A  3.3.5 standardní nejistota způsobem B  3.3.5 standardní nejistota, kombinovaná  2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.2.2, 6.1.1, 7.2.1, D.6.1, E.3.6 standardní nejistota, hodnocení způsobem A  4.2 standardní nejistota, hodnocení způsobem B  4.3 statistický pokryvný interval  C.2.30 statistika  4.2.7, C.2.23 střední hodnota  C.2.9 Studentovo rozdělení  C.3.8, G.3.2, G.3.4 stupeň volnosti  4.2.6, C.2.31, G stupeň volnosti, efektivní  6.3.3 subjektivní pravděpodobnost  3.3.5, C.2.1 systém jednotek, mezinárodní  0.3 systematický  3.2.1, 3.2.3, 3.3.3, B.2.22, E.1.3 Š šíření konfidenčních intervalů  E.3.3 šíření směrodatné odchylky  E.3 T TAG 4  Předmluva Taylorova řada  5.1.2 technická poradenská skupina metrologie  Předmluva teorie centrálního limitu  G.1.6, G.2.1, G.2.2, G.2.3 trojúhelníkové rozdělení  4.3.9 t-faktor  E.3.3 t-rozdělení  C.3.8, G.3.2, G.3.4 U úroveň konfidence  6.2.2 V varianční analýza  4.2.8, H.5 veličina, blíže určená  3.1.1, B.2.1 veličina, centrovaná náhodná  C.2.10 veličina, měřená  B.2.9, D.1.1 veličina, měřitelná  B.2.1 veličina, ovlivňující  B.2.10 veličina, realizovaná  D.2 věta centrálního limitu  G. 1. 6, G. 2. 1, G. 2.2, G.2.3 VIM  2.1 vstupní veličina  4.1.2 vstupní veličina, cizí  F.2.3.1 výběrová směrodatná odchylka  4.2.2, B.2.17 výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty  4.2.3, B.2.17 výběrová směrodatná odchylka, sdružená  4.2.4 výběrový rozptyl střední hodnoty  4.2.3 vychýlení  3.2.3 výsledek měření  3.1.2, B.2.11 výsledek měření, korigovaný  B.2.13 výsledek měření, nekorigovaný  B.2.12 výstupní veličina  4.1.2 vyvážený zatříděný soubor  H.5.3. 1 vzorec Welch-Satterthwaitův  G.4.1 W Welch-Satterthwaitův vzorec  G.4.1 Z základní soubor  C.2.16 zákon o šíření chyby  5.2.2 zákon o šíření nejistoty  3.3.6, E.3, E.3.2 sborníky technické harmonizace 2012 232 Alphabetical index A accuracy of measurement  3.1.3, 3.4.1, B.2.14 analysis of variance  see ANOVA ANOVA  4.2.8, H.5 et seqq. arithmetic mean  4.1.4 note, 4.2.1, C.2.19 average  see arithmetic mean B bias  3.2.3 note BIPM  Foreword, 0,5, 7.1.1, A.1, A.2 blunders  3.4.7 bounds on an input quatity  4.3.7 – 4.3.9, 4.4.5, 4.4.6, F.2.3.3 Bureau International des Poids et Mesures  see BIPM C calibration chain  4.2.8 note calibration, comparison  F.1.2.3 note calibration curve  F.2.4.2, F.2.4.5 calibration curve, linear  H.3 et seqq. Central Limit Theorem  G.1.6, G.2, G.2.1 – G.2.3, G.6.2, G.6.5, G.6.6 central moment of order q  C.2.13, C.2.22, E.3.1 note 1 centred random variable  C.2.10 characteristic  C.2.15 CIPM  Foreword, 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.1, A.2, A.3 combined standard uncertainty  2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5, 5.1.1 – 5.1.3, 5.1.6, 5.2.2, 6.1.1, D.6.1, E.3.6 combined standard uncertainty and Comités Consultatifs  6.1.1, A.3 combined standard uncertainty and interational comparisons  6.1.1, A.3 combined standard uncertainty from Type A components alone  7.2.1, G.4.1 note 3 combined standard uncertainty from Type B components alone  7.2.1, G.4.1 note 3 combined standard uncertainty, numerical calculation of  5.1.3 note 2, 5.2.2 note 3 combined standard uncertainty, relative  5.1.6, 7.2.1 combined standard uncertainty, reporting  7.2.1, 7.2.2 Comité International des Poids et Mesures  see CIPM confidence coefficient  C.2.29 confidence interval  4.2.3 note 1, 6.2.2, C.2.27, C.2.28, E.3.3 confidence intervals, propagation of  E.3.3 confidence level  6.2.2, C.2.29 conventional true value of a quantity  B.2.4 convolution  see probability distributions, convolving corrected result  B.2.13, D.3.1, D.3.4, D.4 correction  3.2, 3.2.3, 3.2.4 note 2, B.2.23 correction factor  3.2.3, B.2.24 correction, ignoring a  3.2.4 note 2, 3.4.4, 6.3.1 note, F.2.4.5 correction, uncertainty of a  see uncertainty of a correc- tion correlated input estimates or quantities  see correlation correlated output estimates or quantities  3.1.7, 7.2.5, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.4.2 correlated random variations  4.2.7 correlation  5.1, 5.2, et seqq. C.2.8, F.1.2, F.1.2.1 – F.1.2.4 correlation coefficient  5.2.2, 5.2.3, C.3.6, F.1.2.3, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.4.2 correlation coefficient matrix  7.2.5, C.3.6 note 2 correlation coefficient, significant digits for a  7.2.6 correlation, elimination of  5.2.4, 5.2.5, F.1.2.4, H.3.5 covariance  3.3.6, 5.2.2, C.3.4, F.1.2.1 – F.1.2.4 covariance, experimental evaluation of  5.2.5, C.3.6 note 3 covariance matrix  3.1.7, 5.2.2 note 2, 7.2.5, C.3.5, H.2.3 covariance of related measurands  see correlated output estimates or quantities covariance of two arithmetic means  5.2.3, C.3.4, H.2.2, H.2.4, H.4.2 coverage factor  2.3.6, 3.3.7, 4.3.4 note, 6.2.1, 6.3 et eqq., G.1.3, G.2.3, G.3.4, G.6.1 et seqq. coverage probability  0.4, 2.3.5 note 1, 3.3.7, 6.2.2, G.1.1, G.1.3, G.3.2 curve, calibration  see calibration curve D degree of belief  3.3.5, E.3.5, E.4.4, E.5.2 note degrees of freedom  4.2.6, C.2.31, E.4.3, G, G.3, G.3.2, G.3.3, G.6.3, G.6.4 degrees of freedom, effective  6.3.3, G.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2 et seqq. degrees of freedom, effective, of Type A components alone  7.2.1, G.4.1 note 3 degrees of freedom, effective, of Type B components alone  7.2.1, G.4.1 note 3 degrees of freedom of a pooled estimate of variance (or of a pooled experimental standard deviation)  H.1.6, H.3.6 note degrees of freedom of a Type A standard uncertainty G.3.3, G.6.3, G.6.4 degrees of freedom of a Type B standard uncertainty G.4.2, G.4.3, G.6.3, G.6.4 design, balanced nested  H.5.3.1, H.5.3.2 distribution, a priori  4.1.6, 4.3.1 note, 4.4.4 et seqq., D.6.1, E.3.4, E.3.5, G.4.2, G.4.3 distribution, asymmetric  4.3.8, F.2.4.4, G.5.3, distribution, F-  see F-distribution distribution, frequency  see frequency distribution distribution function  C.2.4 distribution, Laplace-Gauss  see Laplace-Gauss distribution distribution, normal  see normal distribution distribution, probability  see probability distribution distribution, rectangular  4.3.7, 4.3.9, 4.4.5, F.2.2.1 – F.2.2.3, F.2.3.3, G.2.2 note 1, G.4.3 distribution, convolving probability  see probability distribution, convolving distribution, mathematically determinate  F.2.2 distribution, Student’s  see Student’s distribution distribution, t-  see t-distribution distribution, trapeziodal  4.3.9 distribution, triangular  4.3.9, 4.4.6, F.2.3.3 sborníky technické harmonizace 2012 233 E effect, random  see random effect effect, systematic  see systematic effect error analysis  0.2 error und uncertainty, confusion between  3.2.2 note 2, 3.2.3 note, E.5.4 error bound, maximum  E.4.1 error curve of a verified instrument  F.2.4.2 error, determining  3.4.5 error, maximum permissible  F.2.4.2 error of measurement  0.2, 2.2.4, 3.2, 3.2.1 note, 3.2.2 note 2, 3.2.3, note, 3.3.1 note, 3.3.2, B.2.19, D, D.4, D.6.1, D.6.2, E.5.1 et seqq., error propagation, general law of  5.2.2 note 1, E.3.2 error, random  see random error error, relative  see relative error error, systematic  see systematic error estimate  3.1.2, C.2.26 estimate, input  see input estimate estimate, output  see output estimate estimation  C.2.24 estimator  4.2.7, C.2.25 expanded uncertainty  2.3.5, 3.3.7, 6, 6.2.1 – 6.2.3, G.1.1, G.2.3, G.3.2, G.4.1, G.5.1, – G.5.4, G.6.4, – G.6.6 expanded uncertainty for asymmetric distribution  6.5.3 expanded uncertainty, relative  7.2.3 expanded uncertainty, reporting  7.2.3, 7.2.4 expectation (or expected value)  3.2.2, 3.2.3, 4.1.1 note 3, 4.2.1, 4.3.7 – 4.3.9, C.2.9, C.3.1, C.3.2 experimental standard deviation  see standard deviation, experimental F F-distribution  H.5.2.3 frequency  C.2.17 frequency distribution  3.3.5, 4.1.6, C.2.18, E.3.5 frequency, relative  E.3.5 F-test  H.5.2.2, H.5.2.4 functional relationship  4.1.1, 4.1.2 functional relationship, linearization of a  5.1.5, F.2.4.4 note, 5.1.6 note 1 functional relationship, nonlinear  4.1.4 note, 5.1.2 note, F.2.4.4 note, G.1.5, H.1.7, H.2.4 H higher-order terms  5.1.2 note, E.3.1, H.1.7 histogram  4.4.3, D.6.1 note 1 I IEC  Foreword, A.3, B.1 IFCC  Foreword, B.1 imported input value or quantity  F.2.3, F.2.3.1 independence  5.1, C.3.7 indepedent repetitions  F.1.1.2 influence quantities, random  F.1.1.3, F.1.1.4 influence quantity  3.1.5, 3.1.6, 3.2.3, 4.2.2, B.2.10 information, pool of, for a Type B evaluation  3.3.5 note, 4.3.1, 4.3.2, 5.2.5 input estimate  4.1.4, 4.1.6, 4.2.1 input estimates or quantities, correlated  see  correlation input quantities, categorization of  4.1.3 input quantity  4.1.2 input quantity, bounds on an  see bounds on an input quantity input value or quantity, imported  see imported input value or quantity International Electrotechnical Commission  see IEC International Federation of Clinical Chemistry  see IFFC International Organization for Standardization  see ISO International Organization of Legal Metrology  see OIML International Systém of Units (SI)  0.3, 3.4.6 International Union of Pure and Applied Chemitry  see IUPAC International Union of Pure and Applied Physics  see IUPAP International vocabulary of basic and general terms in metrology  see VIM ISO  Foreword, A.3, B.1 ISO/TAG 4  Foreword ISO/TAG 4/WG 3  Foreword ISO/TAG 4/WG 3, terms of reference of  Foreword ISO Technical Advisory Group on Metrology  (ISO/ TAG 4)  Foreword ISO 3534-1  2.1, C.1 IUPAC  Foreword, B.1 IUPAP  Foreword, B.1 L laboratories, national metrology or standards  Foreword Laplace-Gauss distribution  C.2.14 least squares, method of  4.2.5, G.3.3, H.3, H.3.1, H.3.2 legal metrology  3.4.5 level of confidence  0.4, 2.2.3 note 1, 2.3.5 notes 1 a 2, 3.3.7, 4.3.4, 6.2.2, 6.2.3, 6.3.1 – 6.3.3, G, G.1.1 – G.1.3, G.2.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.6.1, G.6.4, G.6.6 level of confidence, minimum  F.2.3.2 limit, safety  see safety limit limit, upper and lower, on an input quantity  see bounds on an input quantity M Maximum bounds  see bounds on an input quantity Maximum entropy, principle of  4.3.8 note 2 mean  C.2.9, C.3.1 mean, arithmetic  see arithmetic mean measurable quantity  B.2.1 measurand  1.2, 3.1.1, 3.1.3, B.2.19, D.1, D.1.1, D.1.2, D.3.4 measurand, best possible measurement of the  D.3.4 measurand, definition or specification of the  see measur- and measurand,  many values of the  D.6.2 measurands, covariance of related  see correlated output estimates or quantities measurand, value of the  3.1.1 – 3.1.3 measurand, uncertainty due to incomplete definition of the  see uncertainty due to incomplete definition of the measurand sborníky technické harmonizace 2012 234 measurement  3.1, 3.1.1, B.2.5 measurement, accuracy of  see accuracy of measurement measurement hierarchy  7.1.1 measurement, mathematical model of the  3.1.6., 3.4.1, 3.4.2, 4.1, 4.1.1, 4.1.2 measurement, method of  see method of measurement measurement, principle of  see principle of measurement measurement procedure  3.1.1, 7.1.2, B.2.8, F.1.1.2 measurement result and its uncertainty, availability  of information describing a  7.1.1, 7.1.3 measurement result and its uncertainty, formats for reporting a  7.2.2, 7.2.4 measurement result and its uncertainty, reporting in detail a  7.1.4, 7.2.7 measurement, result of a  see result of a measurement measurement, role of ANOVA in  H.5.3 et seqq. measurement, spectrum of, to which the principles of the Guide apply  1.1 method of measurement  3.1.1, B.2.7 method of measurement, uncertainty of the  see uncertainty of the method of measurement method of measurement, unit dependent on the  H.6 metrology, legal  see legal metrology minimum uncertainty  see uncertainty, minimum model, mathematical, of the measurement  see measurement, mathematical model of the N nonlinear functional relationship  see functional relationship, nonlinear normal distribution  4.2.3 note 1, 4.3.2 note, 4.3.4 – 4.3.6, 4.3.9 note 1, 4.4.2, 4.4.6, C.2.14, E.3.3, F.2.3.3, G.1.3, G.1.4, G.2.1 – G.2.3, G.5.2 note 2 O observations, independent pairs of simultaneous  5.2.3, C.3.4, F.1.2.2, H.2.2, H.2.4, H.4.2 observations, repeated  3.1.4 – 3.1.6, 3.2.2. 3.3.5, 4.2.1, 4.2.3, 4.3.1, 4.4.1, 4.4.3, 5.2.3, E.4.2, E.4.3, F.1, F.1.1, F.1.1., F.1.1.2, G.3.2 OIML  Foreword, A.3, B.1 one-sided confidence interval  C.2.28 output estimate  4.1.4, 4.1.5, 7.2.5 output estimates or quantities, correlated  see correlated output estimates or quantities output quantity  4.1.2 overall uncertainty  see uncertainty overall P parameter  C.2.7 partial derivatives  5.1.3 paticular quantity  3.1.1, B.2.1 note 1 pooled estimate of variance  see variance, pooled estimate of population  C.2.16 precision  B.2.14 note 2 principle of measurement  B.2.6 probability  3.3.5, 4.3.7 – 4.3.9, C.2.1, E.3.5, E.3.6, F.2.3.3 probability, coverage  see coverage probability probability density function  3.3.5, 4.3.8 note 2, 4.4.2, 4.4.5, 4.4.6, C.2.5, F.2.4.4 probability distribution  3.3.4, 4.1.1 note1, 4.1.6, 4.2.3 note 1, 4.4.1 – 4.4.4, C.2.3, E.4.2, G.1.4, G.1.5 probability distribution, convolving  4.3.9 note 2, G.1.4 – G.1.6, G.2.2, G.6.5 probability element  C.2.5 note, F.2.4.4 probability mass function  C.2.6 probability, subjective  3.3.5, D.6.1 propagation, general law of error  see error propagation, general law of propagation of uncertainty, law of  see uncertainty, law of propagation of Q quantity, controlled  F.2.4.3 quantity, influence  see influence quantity quantity, input  see input quantity quantity, measurable  see measurable quantity quantity, output  see output quantity quantity, particular  see, particular quantity quantity, realized  D.2, D.2.1, D.3.1 – D3.3, D.4 quantity, value of a  see value of a quantity R random  3.3.3, E.1.3, E.3.5 – E.3.7 random effect  3.2.2, 3.3.1, 3.3.3, 4.2.2, E.1.1, E.3 random error  3.2.2, 3.3.1, 3.3.3, 4.2.2, E.1.1, E.3 randomness  F.1.1, F.1.1.3 – F.1.1.5 random variable  4.1.1 note 1, 4.2.1, 4.2.3 note 1, C.2.2, C.3.1, C.3.2, C.3.4, C.3.7, C.3.8, E.3.4, F.1.2.1, G.3.2 random variations, correlated  see correlated random varia- tions Recommendation INC –1 (1980)  Foreword, 0.5, 0.7, 3.3.3, 6.1.1, 6.1.2, 6.3.3, A.1, A.3, E, E.2.3, E.3.7 Recommendation 1 (CI 1981), CIMP  Foreword, 0.5, 6.1.1, A.2, A.3 Recommendation 1 (CI 1986), CIMP  Foreword, 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.3 reference materials, certification of  H.5, H.5.3.2 relative error  B.2.20 repeatability conditions  3.1.4, B.2.15 note 1 repeatability of results of measurements  B.2.15 repeated observations  see observations, repeated repetitions, independent  see independent repetitions reproducibility of results of measurements  B.2.16 result, corrected  see corrected result result of a measurement  1.3, 3.1.2, B.2.11 result, uncorrected  see uncorrected result S safety limit  6.3.1 note sample, uncertainty of the  see uncertainty of the sample sampling, uncertainty due to limited  see uncertainty due to limited sampling sensitivity coefficients  5.1.3, 5.1.4 sensitivity coefficients, experimental determination, of  5.1.4 standard deviation  3.3.5, C.2.12, C.2.21, C.3.3 standard deviation, experimental  4.2.2, B.2.17 sborníky technické harmonizace 2012 235 standard deviation of the mean, experimental  4.2.3, B.2.17 note 2 standard deviation of the mean, uncertainty of the experi- mental  see uncertainty of the standard deviation of the mean standard deviation, pooled experimental  see variance, pooled estimate of standard deviation as measures of uncertainty  see uncertainty, standard deviation as measures of standard deviation, propagation of  E.3, E.3.1, E.3.2 standard deviation, propagation of multiples of  E.3.3 standard uncertainty  2.3.1, 3.3.5, 3.3.6, 4.1.5, 4.1.6, 4.2.3, D.1.6, E.4.1 standard uncertainty, graphical illustration of evaluat- ing  4.4 et seqq. standard uncertainty, relative  5.1.6 standard uncertainty, Type A evaluation of  see Type A evaluation of standard uncertainty standard uncertainty, Type B evaluation of  see Type B evaluation of standard uncertainty statistic  4.2.7, C.2.23 statistical control  3.4.2, 4.2.4 statistical coverage interval  C.2.30 Student’s distribution  C.3.8, G.3.2 systematic  3.3.3, E.1.3, E.3.4 – E.3.7 systematic effect  3.2.3, 3.2.4, 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3, E.4.4 systematic error  3.2.1, 3.2.3, B.2.22 T Taylor series  5.1.2, E.3.1, G.1.5, G.4.2, H.1.7, H.2.4 t-distribution  4.2.3 note 1, C.3.8, G.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.4.2, G.5.4, G.6.2 t-distribution, quantiles of the  G.3.4 note t-faktor  E.3.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2, G.6.4 – G.6.6 tolerance interval, statistical  C.2.30 note 2 true value of a quantity  2.2.4, 3.1.1 note, B.2.3, D, D.3, D3.1, D.3.4, D.3.5, E.5.1 – E.5.4 true value of a quantity, conventional  see conventional true value of a quantity two-sided confidence interval  C.2.27 Type A combined standard uncertainty  7.2.1, G.4.1 note 3 Type A evaluation of covariance  5.2.3 Type A evaluation of uncertainty  2.3.2, 3.3.3 – 3.3.5, 4.1.6, 4.2, 4.2.1 – 4.2.8, 4.3.2, 4.4.1 – 4.4.3, E.3.7, F.1, F.1.1.1 – F.1.2.4 Type A standard uncertainty  3.3.5, 4.2.3, C.3.3 Type A variance  4.2.3 Type B combined standard uncertainty  7.2.1, G.4.1 note 3 Type B evaluation of covariance  5.2.5 Type B evalution of uncertainty  2.3.3, 3.3.3 – 3.3.5, 4.1.6, 4.3, 4.3.1 – 4.3.11, 4.4.4 – 4.4.6, E.3.7, F.2 et seqq Type B evalutaion, need for  F.2.1 Type B standard uncertainty  3.3.5, 4.3.1, C.3.3 Type B variance  4.3.1 U uncertainties, rounding of  7.2.6 uncertainties, significant digits for  7.2.6 uncertainty, categorizing or classifying components of  3.3.3, 3.3.4, E.3.6, E.3.7 uncertainty, comparison of two views of  E.5 et seqq. uncertainty, definition of the term  see uncertainty of measurement uncertainty, double-counting components of  4.3.10 uncertainty due to finite-precision arithmetic  F.2.2.3 uncertainty due to hysteresis  F.2.2.2 uncertainty due to incomplete definition of the measur- and  3.1.3 note, D.1.1, D.3.4, D.6.2 uncertainty due to limited sampling  4.3.2 note, E.4.3 uncertainty due to the resolution of a digital indica- tion  F.2.2.1 uncertainty evaluations, justification for realistic  E.2, E.2.1 – E.2.3 uncertainty, grouping components of  3.3.3 note, 3.4.3, E.3.7 uncertainty, ideal method for evaluating and express- ing  0.4 uncertainty, ignoring a component of  3.4.4 uncertainty, internally consistent quantity for express- ing  0.4 uncertainty, intrinsic  D.3.4 uncertainty, lack of an explicit report of  7.1.3 uncertainty, law of propagation of  3.3.6, 3.4.1, 5.1.2, E.3, E.3.1, E.3.2, E.3.6, G.6.6 uncertainty, maximum allowed  F.2.4.2 uncertainty, minimum  D.3.4 uncertainty of a controlled quantity  F.2.4.3 uncertainty of a correction  3.2.3 note, 3.3.1, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3 uncertainty of a single observation of a calibrated instru- ment  F.2.4.1 uncertainty of a single observation of a verified instru- ment  F.2.4.2 uncertainty of measurement  0.1, 0.2, 1.1, 2.2, 2.2.1 – 2.2.4, 3.3, 3.3.1, 3.3.2, B.2.18, D, D.5, D.5.1 – D.5.3, D.6.1, D.6.2 uncertainty of the experimental standard deviation of the mean  4.3.2 note, E.4.3 uncertainty of the method of measurement  F.2.5, F2.5.1 uncertainty of the sample  F.2.6 et seqq. uncertainty, overall  2.3.5 note 3 uncertainty, quality and utility of the quated  3.4.8 uncertainty, reporting  7 et seqq. uncertainty, safe  E.1.11, E.1.2, E.2.1, E.2.3, E.4.1, F.2.3.2 uncertainty, sources of  3.3.2 uncertainty, standard deviations as measures of  E.3.2, E.4, E.4.1 – E.4.4 uncertainty, statistical evaluation of, by varying input quantities  3.4.1, 3.4.2, 4.2.8, F.2.1, H.5.3.3 uncertainty, summary of procedure for evaluating and expressing  8 uncertainty, transferable quantity for expressing  0.4 sborníky technické harmonizace 2012 236 uncertainty, universal method for evaluating and express- ing  0.4 uncertainty when a correction is not applied  3.4.4, 6.3.1 note, F.2.4.5 uncorrected result  B.2.12 unit, use of an adopted value of a measurement standard as a  3.4.6, 4.2.8 note V value of quantity  3.1.1, B.2.2 variance  3.1.7, 4.2.2, 4.2.3, C.2.11, C.2.20, C.3.2 variance, Allan  4.2.7 note variance, analysis of  see ANOVA variance, combined  3.3.6, 5.1.2 variance, experimental (or estimate of)  4.2.2, H.3.6 note variance of the mean  4.2.3, C.3.2 variance of the mean, experimental  4.2.3, C.3.2 variance, pooled estimate of (or pooled experimental standard deviation)  4.2.4, 4.2.8 note, H.1.3.2, H.3.6 note, H.5.2.2, H.5.2.5, H.6.3.1, H6.3.2 note variance, relative  5.1.6 variance, relative combined  5.1.6 variate  C.2.2 VIM  2.1, 2.2.3, 2.2.4, B.1 W Welch-Satterthwaite formula  G.4.1, G.4.2, G.6.2, G.6.4 Working Group on the Statement of Uncertainties Foreword, 0.5, 3.3.3, 6.1.1, 6.1.2, A.1, A.2, A.3 Working Group 3 (ISO/TAG 4/WG 3)  Foreword sborníky technické harmonizace 2012 237 3. SEZNAM ZKRATEK BIML Bureau International de Métrologie Légale (Mezinárodní úřad pro legální metrologii) BIPM Bureau International des Poids et Mesures (Mezinárodní úřad pro váhy a míry) CIPM Comité International des Poids et Mesures (Mezinárodní výbor pro váhy a míry) GUM Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (Návod pro vyjadřování nejistot v měření) IEC International Electrotechnical Committee (Mezinárodní elektrotechnická komise) IFCC International Federation of Clinical Chemistry and Laboratory Medicin (Mezinárodní federace klinické chemie a laboratorní medicíny) ISO International Standardisation Organisation (Mezinárodní organizace pro normalizaci) IUPAC International Union of Pure and Applied Chemistry (Mezinárodní unie pro čistou a aplikovanou chemii) IUPAP International Union of Pure and Applied Physics (Mezinárodní unie pro čistou a aplikovanou fyziku) OIML Organisation Internationale de Métrologie Légale (Mezinárodní organizace pro legální metrologii) ÚNMZ Úřad pro technickou organizaci, metrologii a státní zkušebnictví VIM International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology (Mezinárodní slovník základních a všeobecných termínů v metrologii) sborníky technické harmonizace 2012 238 4. LITERATURA A ODKAZY NA WEBOVÉ STRÁNKY •• JCGM 200:2008 International vocabulary of metrology – Basic and general concepts and associated terms (VIM). Vydáno společně BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML (vyšel jako technická normalizační informace TNI 01 0115:2009). •• TNI 01 0115:2009 Mezinárodní metrologický slovník – Základní a všeobecné pojmy a přidružené termíny (VIM) •• VIML:2000 – International Vocabulary of Terms in Legal Metrology. Vydáno OIML. Odkazy na webové stránky: Úřad pro technickou normalizaci, metrologii a státní zkušebnictví ÚNMZ: www.unmz.cz Český metrologický institut ČMI: www.cmi.cz Mezinárodní organizace pro legální metrologii OIML: www.oiml.org Mezinárodní normalizační organizace ISO: www.iso.org Evropská normalizační organizace CEN: www.cen.eu Mezinárodní úřad pro váhy a míry BIPM: www.bipm.org