47
4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů
4.1 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru
4.2 Fraunhoferova difrakce na stěrbině
4.3 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru
4.4 Fraunhoferova difrakce na otvoru ve tvaru tenkého mezikruží
Fraunhoferovu difrakci popisuje Fourierova transformace funkce ψ0(xM , yM ) charakterizující vlnění
na zadní straně rovinného difrakčního stínítka. Tato funkce je součinem dvou funkcí: (i) funkce charakterizující
osvětlující vlnu, tj. vlnu dopadající na stínítko a (ii) funkce propustnosti t(xM , yM ) difrakčního
stínítka, která charakterizuje objekt, na němž dochází k difrakci. Při experimentování jde většinou o
to, aby Fraunhoferova difrakce charakterizovala difrakční stínítko, tj. aby byla popisována Fourierovou
transformací funkce propustnosti. Dosáhneme toho např. tím, že použijeme za osvětlující vlnu rovinnou
vlnu exp(ikn0 · r) šířící se ve směru n0 n0x, n0y, 1 − n2
0x − n2
0y . Je zřejmé, že při dopadu na
stínítko v rovině z = 0 (tj. na přední straně difrakčního stínítka) charakterizuje tuto rovinnou vlnu fázor
exp ik(n0x xM + n0y yM ) . Těsně po průchodu difrakčním stínítkem (tj. na zadní straně difrakčního
stínítka) charakterizuje vlnovou funkci součin
ψ0(xM , yM ) = t(xM , yM ) exp ik(n0x xM + n0y yM ) . (1)
Dosadíme-li tento součin do integrálu 3.5(12), dostaneme
ψ(nx −n0x, ny −n0y) = C
∞
−∞
t(xM , yM ) exp −ik xM (nx − n0x) xM +(ny − n0y) yM dxM dyM . (2)
Při osvětlení difrakčního stínítka šikmo dopadající rovinnou vlnou je tedy Fraunhoferova difrakce charakterizována
Fourierovou transformací funkce propustnosti difrakčního stínítka, jejíž fourierovské proměnné
jsou rozdíly směrových kosinů difrakčního směru n a směru n0 dopadající rovinné vlny. Šikmo dopadající
osvětlovací vlna se běžně používá, když se pracuje s Fraunhoferovou difrakcí na optických mřížkách
(např. v optické spektroskopii). Většinou však používáme k osvětlení kolmo dopadající rovinnou vlnu,
kdy n0(0, 0, 1). Tato vlna má v rovině difrakčního stínítka konstantní hodnotu rovnou jedničce, takže
ψ0(xM , yM ) = t(xM , yM ). (3)
Fraunhoferovu difrakci pak podle 3.6(12) charakterizuje Fourierova transformace funkce propustnosti
ψ(nx, ny) = C
∞
−∞
t(xM , yM ) exp −ik(nx xM + ny yM ) dxM dyM , (4)
jejíž Fourierovské proměnné jsou směrové kosiny difrakčního směru n.
Difrakčním jevům Fraunhoferova typu je věnována podstatná část semestrální přednášky o fourierovských
metodách v teorii difrakce a ve strukturní analýze. V ní je vypočteno a diskutováno větší množství
konkrétních Fraunhoferových difrakčních jevů, a proto zde odkazujeme na text přednášky [1]. V přednáškách
o difrakci světla však nelze Fraunhoferovy jevy zcela pominout. Proto připomeneme alespoň některé
typické jevy: Fraunhoferovu difrakci na obdélníkovém otvoru v nepropustném stínítku a s ní související
difrakci na štěrbině, Fraunhoferovu difrakci na kruhovém otvoru a na velmi tenkém mezikruží. (Mnoho
Fraunhoferových difrakčních jevů popsal a vypočetl F. M. Schwerd [2] již ve 30. letech 19. století.)
4.1 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru
Souřadnicovou soustavu zvolíme tak, že její počátek O je ve středu obdélníka a osy x a y jsou rovnoběžné
se stranami obdélníkového otvoru v nepropustném stínítku (viz obr. 1). Strany obdélníka mají délky a
a b. Funkce propustnosti takového difrakčního stínítka má tedy tvar
48 4 PŘÍKLADY FRAUNHOFEROVÝCH DIFRAKČNÍCH JEVŮ
Obrázek 1: K Fraunhoferově difrakci na obdélníkovém otvoru.
t(xM , yM ) =
1, když |xM | ≤ a/2, |yM | ≤ b/2,
0, když |xM | > a/2 nebo |yM | > b/2.
(1)
Dopadající rovinná vlna má směr osy z a difrakční integrál 4(4) je tvaru
ψ(nx, ny) = C
a
2
− a
2
b
2
− b
2
exp −ik(nx xM + ny yM ) dxM dyM . (2)
Tento dvojný integrál faktorizujeme
ψ(nx, ny) = C
a
2
− a
2
exp −ik nx xM dxM
b
2
− b
2
exp −ik ny yM dyM (3)
a vypočítáme jednoduché integrály:
a
2
− a
2
exp −ik nx xM dxM =
1
−ik nx
exp −ik nx a/2 − exp ik nx a/2 =
=
2
k nx
sin (k nx a/2) =
= a
sin (k nx a/2)
k nx a/2
. (4)
Podobně pro integrál podle yM . Vlnová funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci na obdélníkovém
otvoru má tedy tvar
ψ(nx, ny) = C a b
sin (k nx a/2)
k nx a/2
sin (k ny b/2)
k ny b/2
. (5)
Faktor Cab souvisí s intenzitou I0 v primárním směru n0(0, 0, 1) vztahem
I0 = |ψ(0, 0)|
2
= |C|2
a2
b2
. (6)
Fotografický snímek Fraunhoferovy difrakce na obdélníkovém otvoru je na obr. 2.7 a v jiném měřítku
a orientaci na obr. 2. Graf funkce sin x/x je na obr. 3.
4.1 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru 49
Obrázek 2: Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru o rozměrech 7,5 mm × 5,4 mm. λ = 6,3 ·
10−7
mm. (Viz též obr. 2.7.)
Obrázek 3: Graf funkce sin x/x.
50 4 PŘÍKLADY FRAUNHOFEROVÝCH DIFRAKČNÍCH JEVŮ
4.2 Fraunhoferova difrakce na štěrbině
Uvažujeme nyní o Fraunhoferově difrakci na štěrbině šířky a orientované rovnoběžně se směrem osy y
(viz obr. 4)
Obrázek 4: K Fraunhoferově difrakci na stěrbině.
Druhý integrál ve 4.1(3) musíme v tomto případě nahradit limitou
lim
b→∞
b
2
− b
2
exp −ik ny yM dyM = lim
b→∞
b
sin (k ny b/2)
k ny b/2
,
jež, jak známo (srov. např. [1], str. 9,10), je úměrná Diracově distribuci:
lim
b→∞
b
2
− b
2
exp −ik ny yM dyM =
2π
k
δ(ny). (1)
Vlnová funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci na štěrbině má tedy tvar
ψ(nx, ny) = C
2π
k
a
sin (k nx a/2)
k nx a/2
δ(ny). (2)
Difrakční směry s nenulovou intenzitou jsou tedy kolmé na okraje štěrbiny. V našem případě mají směr
n(nx, 0, 1 − n2
x). Je to patrné z obr. 5. V experimentu však štěrbina nikdy nemůže být nekonečně
dlouhá, takže ve skutečnosti jde vždy o difrakci na velmi protáhlém obdélníku. V důsledku toho se
pozoruje nenulová intenzita i pro malé hodnoty ny, zejména v okolí primárního směru.
Obrázek 5: Fraunhoferova difrakce na stěrbině (de facto na obdélníku 1,0 mm × 6,6 mm protáhlém ve
svislém směru). λ = 6,3 · 10−7
mm.
4.3 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru 51
4.3 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru
Nepropustné difrakční stínítko s kruhovým otvorem o poloměru a situované do roviny z = 0 tak, že střed
otvoru je totožný s počátkem soustavy souřadnic, má funkci propustnosti
t(xM , yM ) =
1, když x2
M + y2
M ≤ a2
0, když x2
M + y2
M > a2
.
(1)
Dopadající rovinná vlna má směr osy z a difrakční integrál (4) má tvar
ψ(nx, ny) = C
x2
M +y2
M ≤a2
exp −ik(nx xM + ny yM ) dxM dyM . (2)
V polárních souřadnicích
xM = r cos ϕ, nx = R cos Φ,
yM = r sin ϕ, ny = R sin Φ
(3)
je
nx xM + ny yM = Rr cos Φ cos ϕ + sin Φ sin ϕ = Rr cos(Φ − ϕ)
a vlnová funkce (2) je vyjádřena integrálem
ψ = C
a
0
2π
0
exp −ikRr cos(Φ − ϕ) dϕ r dr. (4)
S použitím integrální reprezentace Besselovy funkce nultého řádu
J0(z) =
1
2π
α+2π
α
exp ±iz cos ϑ dϑ (5)
(viz např. [1], B.13(6)) je vnitřní integrál ve (4)
2π
0
exp −ikRr cos(Φ − ϕ) dϕ = 2π J0(kRr).
Vlnovou funkci (4) tak dostáváme ve tvaru
ψ = C 2π
a
0
J0(kRr) r dr, (6)
z něhož je zřejmá její rotační symetrie. Integrál v (6) vypočítáme pomocí vztahu
x
0
J0(z)z dz = xJ1(x)
(viz např. [1], B.8(11)). S pomocí substituce t = kRr vypočteme vlnovou funkci (6) ve tvaru
ψ =
C 2π
(kR)2
kaR
0
J0(t) t dt =
C 2π
(kR)2
(kaR) J1(kaR). (7)
Drobnou úpravou pak získáme standardní tvar vlnové funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci na
kruhovém otvoru:
ψ(nx, ny) = C πa2 2J1(kaR)
kaR
, R = n2
x + n2
y. (8)
52 4 PŘÍKLADY FRAUNHOFEROVÝCH DIFRAKČNÍCH JEVŮ
Obrázek 6: Graf Airyho funkce 2J1(x)/x.
Obrázek 7: Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru o poloměru a = 1,0 mm. λ = 6,3 · 10−7
mm.
Funkce 2J1(x)
x se nazývá Airyho funkcí. Její graf je na obr. 6 a detailně je popsána např. v [1], 15.2.
Patří k nejdůležitějším funkcím vyskytujícím se ve vlnové optice. Vyjadřuje totiž také obraz bodového
zdroje vytvořeného ideální čočkou konečné velikosti, a je proto východiskem pro odvození výrazu pro
rozlišovací schopnost takové čočky.
Fotografický snímek Fraunhoferovy difrakce na kruhovém otvoru je na obr. 7.
4.4 Fraunhoferova difrakce na otvoru ve tvaru tenkého mezikruží 53
4.4 Fraunhoferova difrakce na otvoru ve tvaru tenkého mezikruží
Funkce propustnosti otvoru ve tvaru mezikruží o poloměru a a a + ε je
t(xM , yM ) =
1, když x2
M + y2
M ∈ a, a + ε
0, když x2
M + y2
M ∈ a, a + ε .
(1)
Difrakční integrál charakterizující difrakci na takovém mezikruží lze upravit týmž způsobem jako v odst.
4.3 do tvaru obdobnému k 4.3(6):
ψ = C 2π
a+ε
a
J0(kRr) r dr. (2)
Vzhledem k tomu, že předpokládáme, že ε je velmi malé, můžeme nahradit integrál ve (2) hodnotou
integrandu v bodě r = a násobenou šířkou ε oboru integrace:
a+ε
a
J0(kRr) r dr ≈ J0(kaR) a ε.
Vlnovou funkci (2) tak dostáváme ve tvaru
ψ(nx, ny) = C 2π a ε J0(kaR), R = n2
x + n2
y. (3)
Ve výrazu (3) je 2πaε plochou mezikruží. Besselova nultého řádu J0(x) (viz obr. 8) je v počátku rovna
jedné, J0(0) = 1.
Obrázek 8: Graf Besselovy funkce J0(x).
Fraunhoferovu difrakci na otvoru ve tvaru tenkého mezikruží tedy charakterizuje vlnová funkce, jež
je úměrná Besselově funkci J0(x). To je důležitý poznatek pro teorii i praxi optiky besselovských svazků.
* * *
Pro optickou spektroskopii jsou důležité Fraunhoferovy difrakční jevy na mřížkách. Je jím věnována
rozsáhlá literatura, viz např. [3]. Výběr 90 článků pojednávajících o výrobě, teorii a aplikacích difrakčních
mřížek obsahuje kniha [4].
54 REFERENCE
Reference
[1] Komrska J.: Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze. VUTIUM Brno, 2001.
[2] Schwerd F. M.: Die Beugungserscheinungen aus den Fundamentalgesetzen der Undulationstheorie
analytisch entwickelt und in Bildern dargestellt. Schwan und Goetz, Mannheim 1835.
[3] Stroke G. W.: Diffraction Gratings. In Handbuch der Physik (S. Flügge, Editor), Bd 29. Springer
Verlag, Berlin 1967.
[4] Maystre D. (editor): Selected Papers on Diffraction Gratings. SPIE Optical Engineering Press, Bellingham,
Washington USA, 1996.