55 5 Fresnelovy ohybové jevy 5.1 Fresnelova difrakce na obdélníkovém otvoru 5.2 Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně 5.5 Fresnelova difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku 5.6 Fresnelova difrakce na pravém úhlu z nepropustného stínítka 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku 5.8.1 Bod pozorování na ose rotační symetrie 5.8.2 Bod pozorování není osovým bodem 5.9 Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce Odvodili jsme, že vlnovou funkci charakterizující Fresnelovy difrakční jevy vyjadřuje difrakční integrál 3.6(3) ψ(x, y, z) = −i k 2π exp(ikz) z ∞ −∞ ψ0(xM , yM ) exp ik 2z (xM − x)2 + (yM − y)2 dxM dyM . (1) Vyjadřuje vlnovou funkci v bodech P(x, y, z) roviny pozorování z = konst. > 0 prostřednictvím vlnové funkce ψ0 v bodech M(xM , yM , 0) roviny z = 0. Je-li vlna dopadající na stínítko rovinná nebo kulová, lze integrál (1) analyticky vypočítat pro dva typy difrakčních stínítek: (i) Je-li stínítko sestaveno z obdélníků tak, že všechny obdélníky mají rovnoběžné strany a funkce propustnosti v každém obdélníku je konstantní, lze difrakční integrál (1) vyjádřit Fresnelovými integrály. (ii) Je-li difrakční stínítko sestaveno z koncentrických mezikruží s konstantní propustností a má-li difrakční jev rotační symetrii (tj. zdroj leží na ose rotační symetrie stínítka), lze difrakční integrál (1) vyjádřit Lommelovými funkcemi. Bylo by možné provést výpočty pro obecný typ stínítek specifikovaných v (i) nebo (ii). Je to však nepřehledné pro množství potřebných symbolů a indexů. Proto se omezíme na representativní příklady. Vypočteme vlnovou funkci pro Fresnelovu difrakci na obdélníkovém otvoru. Z ní jako speciální případ získáme vlnovou funkci při difrakci na polorovině, štěrbině, vlákně apod. Dále vypočteme vlnovou funkci pro rotačně symetrickou Fresnelovu difrakci na kruhovém otvoru a kruhové překážce. Informace o používaných speciálních funkcích, tj. o Fresnelových integrálech a o Lommelových funkcích, podávají dodatky B a C. V každém jednotlivém případě se budeme snažit vyjádřit vlnovou funkci ve tvaru ψ(x, y, z) ψr(x, y, z) = I(x, y, z) exp[iφ(x, y, z)], (2) kde ψr(x, y, z) je vlna, která by byla v bodě P(x, y, z), kdyby nebylo žádného difrakčního stínítka, tj. nerušená vlna. V příkladech, které budeme počítat, je to kulová vlna, přesně řečeno Fresnelova aproximace kulové vlny. I(x, y, z) je pak relativní intenzita a φ(x, y, z) fáze vztažená k fázi vlny ψr. 5.1 Fresnelova difrakce na obdélníkovém otvoru Obdélníkový otvor v nepropustném stínítku charakterizuje funkce propustnosti t(xM , yM ) = 1, když a ≤ xM ≤ b, c ≤ yM ≤ d, 0, když je tomu jinak. (1) 56 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 1: Geometrické uspořádání při Fresnelově difrakci na obdélníkovém otvoru. Dopadá-li na tento otvor kulová vlna, jejíž zdroj je v bodě P1(x1, y1, −z1), z1 > 0, je funkce ψ0(xM , yM ) tvaru ψ0(xM , yM ) = exp(ikr) r t(xM , yM ), (2) kde r = (x1 − xM )2 + (y1 − yM )2 + z2 1 (viz obr. 1). Do difrakčního integrálu 5(1) dosadíme Fresnelovu aproximaci kulové vlny ve (2) exp(ikr) r ≈ exp(ikz1) z1 exp ik 2z1 (xM − x1)2 + (yM − y1)2 (3) a dvojný integrál 5(1) se faktorizuje: ψ(x, y, z) = −i k 2π exp[ik(z1 + z)] z1z b a exp ik 2 (xM − x1)2 z1 + (x − xM )2 z dxM × × d c exp ik 2 (yM − y1)2 z1 + (y − yM )2 z dyM = −i k 2π exp[ik(z1 + z)] z1z I1(x)I2(y). (4) Věnujme se výpočtu integrálu I1(x). Rozvinutím druhých mocnin a vytknutím faktoru nezávislého na integrační proměnné před integrál dostaneme I1(x) = exp ik 2 x2 1 z1 + x2 z b a exp ik 2 x2 M 1 z1 + 1 z − 2xM x1 z1 + x z dxM . Fázor v integrandu obsahuje integrační proměnnou ve druhé a v první mocnině. Takový integrál lze vyjádřit Fresnelovým integrálem. Za tím účelem upravíme integrand do tvaru exp[i konst. (xM − xM,st)2 ]: I1(x) = exp ik 2 x2 1 z1 + x2 z b a exp ik 2 z1 + z z1z x2 M − 2xM x1z + xz1 z1 + z dxM = exp ik 2 x2 1 z1 + x2 z − z1 + z z1z x1z + xz1 z1 + z 2 b a exp ik 2 z1 + z z1z xM − x1z + xz1 z1 + z 2 dxM . (5) Všimněme si geometrického významu výrazu xM,st = x1z + xz1 z1 + z . (6) 5.1 Fresnelova difrakce na obdélníkovém otvoru 57 Obrázek 2: K výpočtu souřadnice xM,st. xM,st je x-ová souřadnice bodu Mst roviny z = 0, který leží na spojnici zdroje P1 a bodu pozorování P. Je totiž řešením rovnice, která plyne z podobnosti trojúhelníků (viz obr. 2): xM,st − x1 z1 = x − xM,st z . Fáze integrandu integrálu (5) je v bodě Mst stacionární. Upravíme ještě výraz v hranaté závorce v argumentu fázoru před integrálem v (5) x2 1 z1 + x2 z − (x1z + xz1)2 (z1 + z)z1z = x2 1 z1 + x2 z − x2 1z (z1 + z)z1 − x2 z1 (z1 + z)z − 2 x1x z1 + z = x2 1 z1 1 − z z1 + z + x2 z 1 − z1 z1 + z − 2 x1x z1 + z = 1 z1 + z x2 1 + x2 − 2x1x = (x − x1)2 z1 + z . Platí tedy I1(x) = exp ik(x − x1)2 2(z1 + z) b a exp ik 2 z1 + z z1z xM − x1z + xz1 z1 + z 2 dxM . (7) Abychom vyjádřili I1(x) prostřednictvím Fresnelových integrálů, zavedeme do (7) substituci k 2 z1 + z z1z xM − x1z + xz1 z1 + z 2 = π 2 v2 , konkrétně k π z1 + z z1z xM − x1z + xz1 z1 + z = −v. (8) Znaménko mínus na pravé straně rovnice (8) volíme proto, abychom zajistili, že proměnná v roste s rostoucím x. Takže dxM = − dv k π z1+z z1z a I1(x) = − π k z1z z1 + z exp ik(x − x1)2 2(z1 + z) vb va exp i π 2 v2 dv , (9) 58 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY kde va = k π z1 + z z1z x1z + xz1 z1 + z − a , (10) vb = k π z1 + z z1z x1z + xz1 z1 + z − b . (11) Zcela obdobně se vypočte druhý z integrálů ve (4) I2(y) = − π k z1z z1 + z exp ik(y − y1)2 2(z1 + z) ud uc exp i π 2 u2 du , (12) kde uc = k π z1 + z z1z y1z + yz1 z1 + z − c , (13) ud = k π z1 + z z1z y1z + yz1 z1 + z − d . (14) Dosadíme-li součin I1(x)I2(y) = π k z1z z1 + z exp ik 2(z1 + z) (x − x1)2 + (y − y1)2 vb va exp i π 2 v2 dv ud uc exp i π 2 u2 du do výrazu (4), dostaneme ψ(x, y, z) = − i 2 vb va exp i π 2 v2 dv ud uc exp i π 2 u2 du× × exp[ik(z1 + z)] z1 + z exp ik 2(z1 + z) (x − x1)2 + (y − y1)2 . (15) Ve shodě s cílem našeho snažení (srov. 5(2)) poznáváme v části výrazu (15) nerušenou vlnu ψr, která by byla v bodě P(x, y, z) za nepřítomnosti jakéhokoli stínítka. Je jí kulová vlna vycházející ze zdroje P1(x1, y1, −z1) ve Fresnelově aproximaci ψr(x, y, z) = exp[ik(z1 + z)] z1 + z exp ik 2(z1 + z) (x − x1)2 + (y − y1)2 ≈ exp(ikR) R , (16) kde R = P1P = (x − x1)2 + (y − y1)2 + (z + z1)2 (viz obr. 1). Podle 5(2) tedy přepíšeme rovnici (15) do tvaru ψ(x, y, z) ψr(x, y, z) = I(x, y, z) exp[iφ(x, y, z)] = − i 2 vb va exp i π 2 v2 dv ud uc exp i π 2 u2 du . (17) (Fresnelovy integrály závisejí na souřadnicích x, y, z bodu pozorování P prostřednictvím mezí integrace (10), (11), (13), (14).) Při nerušeném šíření vlny musí být ψ/ψr = 1, tj. I(x, y, z) = 1, φ(x, y, z) = 0. Přesvědčme se o tom. Nekonečně velkému obdélníku odpovídá a = −∞, b = ∞, c = −∞, d = ∞. Podle (10), (11), (13), (14) z toho vyplývá, že va = ∞, vb = −∞, uc = ∞, ud = −∞. Je tedy ψ ψr = − i 2 −∞ ∞ exp i π 2 t2 dt 2 = −i 2 (1 + i)2 = 1. Vraťme se k Fresnelově difrakci na obdélníkovém otvoru. Abychom mohli napsat výraz pro intenzitu, musíme integrály v (17) vyjádřit prostřednictvím jejich reálné a imaginární části a tyto části vyjádřit prostřednictvím Fresnelových integrálů S(x) a C(x). Dolní integrační mez v definici Fresnelových integrálů je nula, a proto provedeme tuto úpravu: vb va exp i π 2 v2 dv = 0 va + vb 0 exp i π 2 v2 dv = vb 0 − va 0 exp i π 2 v2 dv = = C(vb) + iS(vb) − C(va) − iS(va) = C(vb) − C(va) + i [S(vb) − S(va)] . (18) 5.2 Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině 59 Podobně ud uc exp i π 2 u2 du = C(ud) − C(uc) + i [S(ud) − S(uc)] . (19) Dosadíme-li (18) a (19) do (17) a upravíme-li takto vzniklý výraz tak, aby byla oddělena jeho reálná část od imaginární části, dostaneme ψ ψr = 1 2 {[C(vb) − C(va)][S(ud) − S(uc)] + [S(vb) − S(va)][C(ud) − C(uc)]} + + i 2 {[S(vb) − S(va)][S(ud) − S(uc)] − [C(vb) − C(va)][C(ud) − C(uc)]} . (20) Odtud — součtem čtverců reálné a imaginární části — dostaneme relativní intenzitu I = 1 4 [C(vb) − C(va)]2 [C(ud) − C(uc)]2 + [S(vb) − S(va)]2 [S(ud) − S(uc)]2 + + [C(vb) − C(va)]2 [S(ud) − S(uc)]2 + [S(vb) − S(va)]2 [C(ud) − C(uc)]2 (21) a fázi jako arkustangens podílu imaginární a reálné části φ = Arctg [S(vb) − S(va)][S(ud) − S(uc)] − [C(vb) − C(va)][C(ud) − C(uc)] [C(vb) − C(va)][S(ud) − S(uc)] + [S(vb) − S(va)][C(ud) − C(uc)] . (22) (Symbolem Arctg x značíme všechny větve funkce arkustangens. Hlavní větev značíme symbolem arctg x, takže platí Arctg x = arctg x + nπ, n = 0, ±1, ±2, . . ..) Pomocí vztahu (21) by bylo možné vypočítat rozložení intenzity v difrakčních jevech na obr. 2.5. Nebudeme to dělat. Místo toho vypočteme rozložení intenzity a fáze v důležitých speciálních případech, které lze z obdélníku odvodit (polorovina, štěrbina atd.), a upozorníme na zajímavosti těchto jevů. 5.2 Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině Předpokládejme, že okraj nepropustné poloroviny je rovnoběžný s osou yM a že polorovina zastiňuje oblast xM ≤ a roviny (O, xM , yM ) (viz obr. 3). Chceme-li považovat propustnou část roviny (O, xM , yM ) za obdélník, musíme položit a xM yM 0 Obrázek 3: Nepropustná polorovina zastiňující část xM < a roviny (O, xM , yM ). a = a, b = ∞, c = −∞, d = ∞. (1) Podle 5.1(10) až 5.1(14) tomu odpovídají proměnné Fresnelových integrálů va = va, vb = −∞, uc = ∞, ud = −∞, (2) 60 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY takže Fresnelovy integrály nabývají hodnot C(va), S(va), C(vb) = S(vb) = −1/2, C(uc) = S(uc) = 1/2, C(ud) = S(ud) = −1/2. (3) Dosazením výrazů (3) do 5.1(21) a 5.1(22) se dostane rozložení intenzity a fáze ve výsledném tvaru (6) a (7) uvedeném níže. Z cvičných důvodů však dosadíme hodnoty (2) do 5.1(17) a upravíme tak získaný výraz pro vlnovou funkci: ψ ψr = − i 2 −∞ va exp i π 2 v2 dv −∞ ∞ exp i π 2 u2 du = = − i 2 va −∞ exp i π 2 v2 dv ∞ −∞ exp i π 2 u2 du = = − i 2 0 −∞ + va 0 exp i π 2 v2 dv 1 + i = = − i(1 + i) 2 1 + i 2 + C(va) + iS(va) = = 1 − i 2 1 2 + C(va) + i 1 2 + S(va) = = exp −i π 4 √ 2 1 2 + C(va) + i 1 2 + S(va) = (4) = 1 2 1 2 + C(va) 2 + 1 2 + S(va) 2 exp i Arctg 1 2 + S(va) 1 2 + C(va) − π 4 . (5) Rožložení intenzity ve Fresnelově difrakčním jevu na nepropustné polorovině tedy charakterizuje funkce I(va) = 1 2 1 2 + C(va) 2 + 1 2 + S(va) 2 , (6) jejíž graf je na obr. 4. Fotografie difrakce na polorovině je na obr. 5. Rozložení fáze v difrakčním jevu charakterizuje funkce φ(va) = Arctg 1 2 + S(va) 1 2 + C(va) − π 4 , (7) jejíž graf je na obr. 4. 5.2 Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině 61 Obrázek 4: Relativní intenzita I(va) (viz 5.2(6)) a fáze φ(va) (viz 5.2(7)) ve Fresnelově difrakci na nepropustné polorovnině. Obrázek 5: Fotografie Fresnelovy difrakce na nepropustné polorovině (z1 = 1 m, z = 2,5 m, x1 = a = 0, λ = 6,328 · 10−7 m). Ze vztahů (6) a (7) je vidět, že rozložení intenzity i fáze ve Fresnelově difrakčním jevu na nepropustné polorovině závisí na jediném parametru va. Všechny parametry experimentálního uspořádání (k = 2π λ , x1, z1, a, x, y, z) totiž podle 5.1(10) vytvoří jediný parametr va. Z toho vyplývá, že všechny Fresnelovy difrakční jevy na nepropustné polorovině — získané při jakýchkoliv parametrech experimentálního uspořádání — jsou si geometricky podobné. Vypočteme-li tedy rozložení intenzity a fáze jako funkci parametru va, dostaneme ona rozložení jako funkce souřadnice x v rovině pozorovnání z = konst. podle vztahu 5.1(10), z něhož vyplývá 62 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY x = va π k z 1 + z z1 + a + a − x1 z z1 . Z geometrie uspořádání lze pomocí podobnosti nahlédnout, že geometrickému stínu okraje poloroviny odpovídá hodnota souřadnice x = a + (a − x1) z/z1, tj. va = 0. Hodnotám va > 0 odpovídá tedy osvětlená část roviny pozorování, hodnotám va < 0 zastíněná část. Z obr. 4 je vidět, že v osvětlené části roviny pozorování relativní intenzita I osciluje s klesající amplitudou a rostoucí frekvencí kolem jedné, a fáze φ osciluje obdobným způsobem kolem nuly. Naproti tomu v zastíněné části roviny pozorování relativní intenzita klesá asymptoticky k nule, kdežto fáze neomezeně vzrůstá. Matematicky lze tyto skutečnosti názorně a přitom s dobrým přiblížením vyjádřit elementárními funkcemi: Dosadíme-li do výrazů (6) a (7) asymptotická vyjádření Fresnelových integrálů B.4(12) a B.4(13), vypočteme (viz B.4(16) až B.4(21)), že v osvětlené části roviny pozorování pro va > 2 s dobrým přiblížením platí (srov. obr. 9 a 10 v dodatku B) I(va) ≈ 1 + √ 2 π va sin π 2 v2 a − 1 2 , φ(va) ≈ − √ 2 2π va cos π 2 v2 a − 1 2 (8) a v zastíněné oblasti roviny pozorování je pro va < −2 (srov. obr. 9 a 10 v dodatku B) I(va) ≈ 1 2(πva)2 , φ(va) ≈ π 2 v2 a + 1 2 . (9) 0 a xM yM Obrázek 6: Nepropustná polorovina zastiňující část xM > a roviny (O, xM , yM ). Uvažujme nyní o komplementárním stínítku, tj. o polorovině, která zastiňuje část xM < a roviny (O, xM , yM ) (viz obr. 6). Označíme-li vlnovou funkci charakterizující Fresnelovu difrakci na takové polorovině ψcompl, musí platit ψ ψr + ψcompl ψr = 1, (10) kde ψ ψr je vlnová funkce (4) resp. (5) charakterizující difrakci na polorovině podle obr. 3. Rovnice (10) vyjadřuje skutečnost, že součtem difrakčních jevů na opačně orientovaných nepropustných polorovinách se společným okrajem je nerušené šíření vlny. Dosadíme-li do (10) výraz (4), dostaneme 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 63 ψcompl ψr = 1 − exp −i π 4 √ 2 1 2 + C(va) + i 1 2 + S(va) = = exp −i π 4 √ 2 √ 2 exp i π 4 − 1 2 − C(va) − i 2 − iS(va) = = exp −i π 4 √ 2 1 2 − C(va) + i 1 2 − S(va) = (11) = Icompl(va) exp [iφcompl(va)] , kde Icompl(va) = 1 2 1 2 − C(va) 2 + 1 2 − S(va) 2 , (12) φcompl(va) = Arctg 1 2 − S(va) 1 2 − C(va) − π 4 . (13) Porovnáme-li (12) s (6) a (13) se (7) a uvážíme-li, že Fresnelovy integrály C(va) a S(va) jsou liché funkce, shledáme, že rozložení intenzity i fáze v difrakčních jevech na komplementárních polorovinách jsou zrcadlově symetrická podle přímky geometrického stínu okraje polorovin. To je ovšem výsledek, který je zřejmý z názoru i bez počítání. Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině je vůbec prvním precizně interpretovaným difrakčním jevem. Její podrobný popis tvoří podstatnou část slavného Fresnelova „Mémoire sur la diffraction de la lumi`ere z r. 1818 nazývaného „Mémoire couronné (viz [1], str. 247–382), neboť byl v roce 1819 oceněn francouzskou Akademií. 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku Předpokládejme, že štěrbina je rovnoběžná s osou yM a že její okraje mají souřadnici xM = a a xM = b (viz obr. 7). Považujeme ji za nekonečně dlouhý obdélník a klademe c = −∞, d = ∞. Podle 5.1(10) až 5.1(14) tomu odpovídají proměnné Fresnelových integrálů a xM yM b0 Obrázek 7: Štěrbina v nepropustném stínítku. va = va, vb = vb, uc = ∞, ud = −∞, (1) takže Fresnelovy integrály nabývají hodnot 64 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY C(va), S(va), C(vb), S(vb), C(uc) = S(uc) = 1 2 , C(ud) = S(ud) = − 1 2 . (2) Dosazením těchto hodnot do 5.1(17) dostaneme vlnovou funkci ψs charakterizující Fresnelovu difrakci na štěrbině: ψs ψr = − i 2 − 1 + i vb va exp i π 2 v2 dv = = −1 + i 2 0 va + vb 0 exp i π 2 v2 dv = = −1 + i 2 C(vb) + i S(vb) − C(va) − i S(va) = (3) = exp i3 4 π √ 2 C(vb) − C(va) + i S(vb) − S(va) = = Is exp (i φs) , kde Is(va, vb) = 1 2 C(vb) − C(va) 2 + S(vb) − S(va) 2 (4) a φs(va, vb) = Arctg S(vb) − S(va) C(vb) − C(va) − π 4 (5) představují rozložení intenzity Is a fáze φs v rovině pozorování. Intenzita Is i fáze φs závisejí na dvou proměnných va, vb, které obě mohou nabývat hodnot −∞ až ∞. Obě jsou lineárními funkcemi souřadnice x v rovině pozorování z = konst. a tyto lineární funkce se liší pouze absolutními členy. Jejich rozdíl ∆v = va − vb = k π z1 + z z1 z b − a (6) proto nezávisí na souřadnici x a je úměrný šířce (b − a) štěrbiny. Geometrickému stínu okrajů štěrbiny odpovídají v rovině pozorování souřadnice xa = a 1 + z z1 − x1 z z1 , tj. va = 0, vb = −∆v, xb = b 1 + z z1 − x1 z z1 , tj. vb = 0, va = ∆v. Střed difrakčního obrazce má souřadnici xm = a + b 2 1 + z z1 − x1 z z1 (7) a proměnné va a vb nabývají ve středu difrakčního obrazce hodnot va = ∆v 2 , vb = − ∆v 2 . (8) Proto se jeví být vhodné vyjádřit intenzitu Is i fázi φs pomocí proměnné v = va + vb 2 = k π z1 z(z1 + z) x − xm , (9) 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 65 jež nabývá nulové hodnoty ve středu difrakčního obrazce (a je tedy úměrná vzdálenosti (x − xm) od středu difrakčního obrazce) a parametru ∆v 2 = va − vb 2 = k π z1 + z z1 z b − a 2 , (10) který nezávisí na souřadnici x v rovině pozorování a je tedy pro určitý difrakční jev konstantou. Výrazy (4) a (5) pro intenzitu Is a fázi φs ve Fresnelově difrakčním jevu na štěrbině v nepropustném stínítku přepíšeme do tvaru Is v, ∆v 2 = 1 2 C v − ∆v 2 − C v + ∆v 2 2 + S v − ∆v 2 − S v + ∆v 2 2 , (11) φs v, ∆v 2 = Arctg S v − ∆v 2 − S v + ∆v 2 C v − ∆v 2 − C v + ∆v 2 − π 4 . (12) Fotografie dvou Fresnelových difrakčních jevů na štěrbině v nepropustném stínítku jsou na obrázku 8. Grafy funkcí (11) a (12) jsou na obrázcích 9, 10 a 11. Obrázek 8: Fotografie Fresnelovy difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku. 66 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 9: Relativní intenzita Is(v, ∆v 2 ) (viz 5.3(11)) Fresnelových difrakčních jevů na štěrbinách různých šířek v nepropustném stínítku. Nuly s indexy ∆v 2 (u levého okraje) značí polohy nulové intenzity příslušné křivky. Plné kroužky na křivkách označují relativní intenzitu v geometrickém stínu okrajů stěrbiny. 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 67 Obrázek 10: Graf funkce Is(v, ∆v 2 ) (viz 5.3(11)) udávající relativní intenzitu ve Fresnelově ohybovém jevu na štěrbině v nepropustném stínítku. Křivky v předcházejícím obr. 9 představují řezy plochou Is(v, ∆v 2 ) rovinami ∆v 2 = konst.. Geometrický stín okraje štěrbiny je určen podmínkou v = ∆v 2 . 68 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 11: Graf funkce 1 2π φs(v, ∆v 2 ) (viz 5.3(12)) charakterizující fázi ve Fresnelově ohybovém jevu na štěrbině v nepropustném stínítku. Geometrický stín okraje štěrbiny je určen podmínkou v = ∆v 2 . 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně 69 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně Vlnovou funkci ψf (x, y, z) charakterizující Fresnelovou difrakci na nepropustném vlákně lze získat několika způsoby. Z cvičných důvodů uvedeme dva z nich. a xM yM b0 Obrázek 12: Nepropustné vlákno. (i) Vlákno na obr. 12 je komplementárním stínítkem ke štěrbině na obr. 7. Musí tedy platit ψf ψr + ψs ψr = 1. (1) Dosadíme-li do (1) za ψs/ψr výraz 5.3(3), vypočteme ψf ψr = 1 − −1 + i 2 [C(vb) + i S(vb) − C(va) − i S(va)] = = 1 − i 2 {1 + i + C(vb) − C(va) + i [S(vb) − S(va)]} = = exp −i π 4 √ 2 {1 + C(vb) − C(va) + i [1 + S(vb) − S(va)]} = (2) = If (va, vb) exp (iφf (va, vb)) , kde If (va, vb) = 1 2 [1 + C(vb) − C(va)] 2 + [1 + S(vb) − S(va)] 2 (3) a φf (va, vb) = Arctg 1 + S(vb) − S(va) 1 + C(vb) − C(va) − π 4 (4) představují rozložení relativní intenzity If a fáze φf ve Fresnelově ohybovém jevu na nepropustném vlákně. (ii) Poněkud jiným způsobem lze získat vztahy (2) až (4), představíme-li si difrakci na vlákně jako superpozici dvou difrakčních jevů na opačně orientovaných polorovinách překrývajících se o šířku vlákna (viz obr. 13). Difrakci na polorovině zastiňující oblast −∞ < xM ≤ b charakterizuje funkce 5.2(4), v níž je ovšem třeba nahradit proměnnou va proměnnou vb, difrakci na polorovině zastiňující oblast a ≤ xM < ∞ charakterizuje funkce 5.2(11). Jejich součtem dostáváme 70 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY a b Obrázek 13: K difrakci na vlákně pojaté jako superpozice dvou difrakčních jevů na polorovinách překrývajících se o šířku vlákna. ψf ψr = exp −i π 4 √ 2 1 2 + C(vb) + i 1 2 + S(vb) + 1 2 − C(va) − i 1 2 − S(va) = = exp −i π 4 √ 2 1 + C(vb) − C(va) + i 1 + S(vb) − S(va) , což je vlnová funkce ve tvaru (2). Vlnová funkce ψf a tedy i rozložení intenzity If a fáze ψf při difrakci na vlákně závisí na dvou parametrech va, vb. Podobně jako v případě štěrbiny bývá účelné vyjádřit intenzitu i fázi prostřednictvím proměnné v ve tvaru 5.3(9), jež nabývá nulové hodnoty ve středu difakčního obrazce a parametru ∆v 2 ve tvaru 5.3(10), jenž nezávisí na souřadnici x v rovině pozorování. Rozložení intenzity (3) a fáze (4) ve Fresnelově difrakčním jevu na nepropustném vlákně tak získá tvar If v, ∆v 2 = 1 2 1 + C v − ∆v 2 − C v + ∆v 2 2 + 1 + S v − ∆v 2 − S v + ∆v 2 2 , (5) φf v, ∆v 2 = Arctg 1 + S v − ∆v 2 − S v + ∆v 2 1 + C v − ∆v 2 − C v + ∆v 2 − π 4 . (6) Fotografie dvou Fresnelových difrakčních jevů na nepropustném vlákně jsou na obr. 14. Grafy funkcí (5) a (6) jsou na obrázcích 15, 16 a 17. Přípomínáme také obrázek 2.2(c), jenž ukazuje Fresnelův ohybový jev získaný elektrony o vlnové délce λ = 4,33 · 10−12 m na vlákně o průměru 4,15 · 10−7 m při vzdálenostech z1 = 0,1432 m a z = 3,38 · 10−2 m. 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně 71 Obrázek 14: Fotografie Fresnelovy difrakce na nepropustném vlákně. 72 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 15: Relativní intenzita If v, ∆v 2 (viz 5.4(5)) ve Fresnelových difrakčních jevech na nepropustných vláknech různých šířek. Nuly s indexy ∆v 2 (u levého okraje) značí polohy nulové intenzity příslušné křivky. Plné kroužky na křivkách označují relativní intenzitu v geometrickém stínu okrajů vlákna. 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně 73 Obrázek 16: Graf funkce If (v, ∆v 2 ) (viz 5.4(5)) udávající relativní intenzitu ve Fresnelově ohybovém jevu na nepropustném vlákně. Křivky v předcházejícím obr. 15 představují řezy plochou If (v, ∆v 2 ) rovinami ∆v 2 = konst.. Geometrický stín okraje vlákna je určen podmínkou v = ∆v 2 . 74 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 17: Graf funkce 1 2π φf (v, ∆v 2 ) (viz 5.4(6)) charakterizující fázi ve Fresnelově ohybovém jevu na nepropustném vlákně. Geometrický stín okraje vlákna je určen podmínkou v = ∆v 2 . 5.5 Fresnelova difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku 75 5.5 Fresnelova difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku Fresnelova difrakce na dvojštěrbině patří k základním pokusům fyziky. T. Young demonstroval v prvých letech 19. století tímto experimentem [2] interferenci světla, a tím ve fyzikálních teoriích zdomácněl pojem interference vlnění. „Představa interference . . . patří od té doby k nejcenějším statkům fyziky. Kdykoli jsou pochyby o nějakém druhu záření, hledíme vyvolat interferenci; podaří-li se to, je tím dokázána vlnová povaha záření [4]. Pro kvantovou mechaniku a její výuku je Fresnelova difrakce na dvojštěrbině významná tím, že jde o „jev, který naprosto nelze vysvětlit žádným klasickým způsobem a který v sobě obsahuje podstatu kvantové mechaniky [3]. Není tedy divu, že tento experiment — provedený jednotlivými po sobě jdoucími elektrony — vybrali v roce 2002 čtenáři časopisu Physics World za „nejkrásnější experiment [5]. Předpokládejme, že obě štěrbiny jsou rovnoběžné s osou yM a že souřadnice xM okrajů štěrbiny jsou a1, a2, a3, a4 (viz obr. 18). xM yM 0a1 a2 a3 a4 Obrázek 18: Dvojštěrbina v nepropustném stínítku. Difrakci na dvojštěrbině lze považovat za superpozici dvou difrakčních jevů na jedné štěrbině. Vlnovou funkci tedy získáme součtem dvou vlnových funkcí typu 5.3(3), tj. ψ ψr = exp i 3 4 π √ 2 C(va2 ) − C(va1 ) + C(va4 ) − C(va3 ) + i S(va2 ) − S(va1 ) + S(va4 ) − S(va3 ) , (1) kde proměnné vai souvisejí se souřadnicí x v rovině pozorování lineárními funkcemi typu 5.1(10). Rozložení intenzity a fáze charakterizují funkce I(vai ) = 1 2 C(va2 ) − C(va1 ) + C(va4 ) − C(va3 ) 2 + S(va2 ) − S(va1 ) + S(va4 ) − S(va3 ) 2 , (2) φ(vai ) = Arctg S(va2 ) − S(va1 ) + S(va4 ) − S(va3 ) C(va2 ) − C(va1 ) + C(va4 ) − C(va3 ) − π 4 . (3) Fotografie Fresnelových difrakčních jevů na dvojštěrbinách jsou na obr. 19. Vlnovou funkci (1) — a ovšem i intenzitu (2) a fázi (3) — bychom mohli vyjádřit prostřednictvím jediného parametru v závislého na souřadnici x v rovině pozorování a tří parametrů ∆vi na souřadnici x nezávislých, podobně jako v případě štěrbiny (srov. 5.3(11) a (12)) nebo vlákna (srov. 5.4(5) a (6)). Počet parametrů ∆vi se dokonce zredukuje na dva v případě, kdy se podaří vyrobit tak, že štěrbiny mají stejnou šířku. To se však nemusí vždy podařit, a proto nebudeme výrazy (1) až (3) dále upravovat. T. Young ve svém původním experimentu [2] vyrobil dvojštěrbinu tak, že do štěrbiny vložil užší vlákno. O více něž 180 let později A. Zeilinger se spolupracovníky [6] studovali difrakci neutronů (λ = 1,845 nm) na dvojštěrbině a vyrobili dvojštěrbinu obdobným způsobem: Do mezery mezi dvěma rovnoběžnými skleněnými stěnami vzdálenými od sebe 147,9 µm vložili drát z bóru o průměru 104,1 µm a vytvořili dvě štěrbiny o nestejných šířkách 21,5 µm a 22,3 µm. Také rozložení intenzity, které pozorovali, má mírně narušenou zrcadlovou symetrii, interferenční proužky jsou však kontrastní a jasně demonstrují interferenci neutronů. 76 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 19: Fotografie Fresnelovy difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku. 5.6 Fresnelova difrakce na pravém úhlu z nepropustného stínítka 77 5.6 Fresnelova difrakce na pravém úhlu z nepropustného stínítka Vyšetříme Fresnelovu difrakci na dvou komplementárních stínítkách s pravoúhlým okrajem (viz obr. 20(a) a (b)). xM yMc a 0 yMc a 0 (a) (b) xM Obrázek 20: Pravoúhlé okraje nepropustného stínítka. Pravoúhlý otvor na obr. 20(a) považujeme za rozšíření obdélníka a podle 5.1(1) klademe a = a, b = ∞, c = c, d = ∞. Podle 5.1(10) až 5.1(14) tomu odpovídají proměnné Fresnelových integrálů va = va, vb = −∞, uc = uc, ud = −∞, takže C(vb) = S(vb) = C(ud) = S(ud) = − 1 2 . Podle 5.1(20) charakterizuje Fresnelovu difrakci na stínítku s pravým úhlem podle obr. 20(a) vlnová funkce ψ(a) ve tvaru ψ(a) ψr = 1 2 1 2 + C(va) 1 2 + S(uc) + 1 2 + S(va) 1 2 + C(uc) + + i 2 1 2 + S(va) 1 2 + S(uc) − 1 2 + C(va) 1 2 + C(uc) . (1) Tuto funkci lze přepsat do faktorizovaného tvaru (z faktorizovaného tvaru ostatně pochází – srov. 5.1(17)) ψ(a) ψr = − i 2 1 2 + C(va) + i 1 2 + S(va) 1 2 + C(uc) + i 1 2 + S(uc) . (2) Výraz (2) představuje součin dvou vlnových funkcí charakterizujících Fresnelovu difrakci na polorovinách (srov. 5.2(4)). To je samozřejmé, neboť také funkce propustnosti pravoúhlého otvoru na obr. 20(a) je součinem dvou funkcí propustnosti nepropustných polorovin: t(xM , yM ) = step(xM − a) step(yM − c), kde step ξ = 1, když ξ > 0, 0, když ξ < 0. 78 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Z vlnové funkce (2) získáme vhodné výrazy pro relativní intenzitu I(a) a fázi φ(a): I(a)(va, uc) = 1 4 1 2 + C(va) 2 + 1 2 + S(va) 2 1 2 + C(uc) 2 + 1 2 + S(uc) 2 , (3) φ(a)(va, uc) = − π 2 + Arctg 1 2 + S(va) 1 2 + C(va) + Arctg 1 2 + S(uc) 1 2 + C(uc) . (4) Z (1) můžeme vyjádřit fázi také ve formálně jiném tvaru: φ(a)(va, uc) = Arctg 1 2 + S(va) 1 2 + S(uc) − 1 2 + C(va) 1 2 + C(uc) 1 2 + C(va) 1 2 + S(uc) + 1 2 + S(va) 1 2 + C(uc) . (5) (O ekvivalenci výrazů (4) a (5) se lze přesvědčit manipulací s funkcí arkustangens.) Grafy funkcí (3) a (4), resp. (5) jsou na obr. 21 a 22. Difrakční stínítka na obr. 20 jsou komplementární. Fresnelovu difrakci na nepropustném stínítku ve tvaru podle obr. 20(b) tedy charakterizuje vlnová funkce ψ(b) ψr = 1 − ψ(a) ψr . (6) Dosadíme-li (1) do (6) dostaneme ψ(b) ψr = 1 2 2 − 1 2 + C(va) 1 2 + S(uc) − 1 2 + S(va) 1 2 + C(uc) + + i 2 1 2 + C(va) 1 2 + C(uc) − 1 2 + S(va) 1 2 + S(uc) . (7) Relativní intenzitu I(b) a fázi φ(b) lze počítat podle vztahů I(b)(va, uc) = 1 4 2 − 1 2 + C(va) 1 2 + S(uc) − 1 2 + S(va) 1 2 + C(uc) 2 + + 1 2 + C(va) 1 2 + C(uc) − 1 2 + S(va) 1 2 + S(uc) 2 , (8) φ(b)(va, uc) = Arctg 1 2 + C(va) 1 2 + C(uc) − 1 2 + S(va) 1 2 + S(uc) 2 − 1 2 + C(va) 1 2 + S(uc) − 1 2 + S(va) 1 2 + C(uc) . (9) Grafy funkcí I(b)(va, uc) a φ(b)(va, uc) jsou na obr. 23 a 24. 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π Zajímavým difrakčním jevem je Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi procházející vlny o π. Je-li okraj takové poloroviny rovnoběžný s osou yM a zaujímá-li polorovina oblast xM < a, má funkce propustnosti tvar t(xM , yM ) = 1, když xM > a, −1, když xM < a. (1) Vlnová funkce charakterizující Fresnelovu difrakci je v tomto případě součtem (i) vlnové funkce 5.2(4), charakterizující Fresnelovu difrakci na nepropustné polorovině na obr. 3, a 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 79 Obrázek 21: Rozložení relativní intenzity I(a)(va, uc) (viz 5.6(3)) ve Fresnelově difrakčním obrazci na pravoúhlovém otovru na obr. 20(a). Oblast va > 0, uc > 0 odpovídá osvětlené oblasti roviny pozorování. 80 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 22: Graf funkce 1 2 π φ(a)(va, uc) dané vztahem 5.6(4) resp. 5.6(5) a představující rozložení fáze ve Fresnelově difrakčním obrazci na pravoúhlovém otovru na obr. 20(a). Oblast va > 0, uc > 0 odpovídá osvětlené oblasti roviny pozorování. 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 81 Obrázek 23: Rozložení relativní intenzity I(b)(va, uc) (viz 5.6(8)) ve Fresnelově difrakčním obrazci od pravoúhlové překážky na obr. 20(b). Oblast va > 0, uc > 0 odpovídá oblasti geometrického stínu. 82 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 24: Graf funkce 1 2 π φ(b)(va, uc) dané vztahem 5.6(9) a představující rozložení fáze ve Fresnelově difrakčním obrazci na pravoúhlové překážce na obr. 20(b). Oblast va > 0, uc > 0 odpovídá oblasti geometrického stínu. 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 83 Obrázek 25: Rozložení relativní intenzity I(va) (viz 5.7(3)) a fáze φ(va) (viz 5.7(4)) ve Fresnelově difrakčním jevu na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π. 84 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY (ii) vlnové funkce 5.2(11), charakterizující Fresnelovu difrakci na polorovině na obr. 6, násobené ovšem faktorem (−1): ψ ψr = exp −i π 4 √ 2 1 2 + C(va) + i 1 2 + S(va) − 1 2 − C(va) − i 1 2 − S(va) = = √ 2 exp −i π 4 C(va) + i S(va) . (2) Rozložení relativní intenzity I(va) v rovině pozorování udává funkce I(va) = 2 C2 (va) + S2 (va) . (3) Rozložení fáze φ(va) charakterizuje funkce φ(va) =    −π 4 + arctg S(va) C(va) , když va > 0, 3π 4 + arctg S(va) C(va) , když va < 0. (4) Grafy těchto funkcí I(va) a φ(va) jsou na obr. 25. Intenzita je v tomto difrakčním jevu nulová ve všech bodech přímky va = 0, je podle této přímky zrcadlově symetrická, a to v každé vzdálenosti z od poloroviny. Znamená to, že intenzita (a také ovšem vlnová funkce) je nulová ve všech bodech poloroviny x = (a−x1) z z1 +a, z > 0. Nulová intenzita ve všech bodech nějaké čáry, nebo dokonce plochy je u Fresnelovy difrakce výjimečným jevem. Setkáváme se s ním však vždy, když vlnová funkce v rovině z = 0 difrakčního stínítka má pro všechny body M vlastnost ψ0(M) = −ψ0(M ), kde M je zrcadlově symetrický bod k bodu M podle nějaké přímky zrcadlení. Má-li stínítko dvě na sebe kolmé takové přímky „antizrcadlení , má Fresnelův difrakční obrazec ve všech vzdálenostech z > 0 od difrakčního stínítka nulovou intenzitu podél rovin určených těmito přímkami a směrem šíření světla. Fresnelovy difrakční obrazce mají tmavý kříž, který může být v centrální oblasti velmi jemný. Toho lze v praxi využít k vytyčování přímek [7, 8]. Obrázek 26: K vyjádření difrakčního integrálu ve válcových souřadnicích. 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku 85 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku Vyjádříme difrakční integrál 5(1) ve válcových souřadnicích (srov. obr. 26) xM = ρM cos ϕM , x = ρ cos ϕ, yM = ρM sin ϕM , y = ρ sin ϕ. Za tím účelem vypočteme (xM − x)2 =(ρM cos ϕM − ρ cos ϕ)2 = ρ2 M cos2 ϕM + ρ2 cos2 ϕ − 2ρM ρ cos ϕM cos ϕ, (yM − y)2 =(ρM sin ϕM − ρ sin ϕ)2 = ρ2 M sin2 ϕM + ρ2 sin2 ϕ − 2ρM ρ sin ϕM sin ϕ, (xM − x)2 + (yM − y)2 = ρ2 M + ρ2 − 2ρM ρ cos(ϕM − ϕ), exp ik 2z (xM − x)2 + (yM − y)2 = exp ikρ2 2z exp ik 2z ρ2 M − 2ρM ρ cos(ϕM − ϕ) . Ve válcových souřadnicích má tedy difrakční integrál 5(1) tvar ψ(ρ, ϕ, z) = − ik 2π exp ik z + ρ2 2z z × × 2π 0 ∞ 0 ψ0(ρM , ϕM ) exp ik 2z ρ2 M − 2ρM ρ cos(ϕM − ϕ) ρM dρM dϕM . (1) Předpokládejme, že primární vlna má rotační symetrii. Konkrétně budeme předpokládat, že kruhový otvor v nepropustném stínítku je osvětlen divergentní kulovou vlnou se zdrojem na ose otvoru a ve vzdálenosti z1 od stínítka (viz obr. 27), tj. Obrázek 27: Geometrické uspořádání při rotačně symetrické Fresnelově difrakci na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku. ψ0(ρM , ϕM ) = exp ik z2 1 + ρ2 M z2 1 + ρ2 M circ ρM a , (2) kde a je poloměr otvoru. Ve Fresnelově aproximaci má tato primární vlna tvar ψ0(ρM , ϕM ) = exp(ikz1) z1 exp ikρ2 M 2z1 circ ρM a . (3) Dosadíme-li výraz (3) do difrakčního integrálu (1), dostaneme po úpravě ψ(ρ, ϕ, z) = − ik 2π exp ik z1 + z + ρ2 2z z1z × × a 0 exp i 2 k 1 z1 + 1 z ρ2 M 2π 0 exp −ik z ρM ρ cos(ϕM − ϕ) dϕM ρM dρM . (4) 86 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Vlnovou funkci (4) charakterizující difrakční jev, budeme opět vztahovat k vlnové funkci ψr(ρ, ϕ, z), jež by byla v témž bodě P(ρ, ϕ, z), kdyby žádného difrakčního stínítka nebylo. Tato „referenční vlna má tvar ψr(ρ, ϕ, z) = exp ik (z1 + z)2 + ρ2 (z1 + z)2 + ρ2 , (5) tj. — ve Fresnelově aproximaci — ψr(ρ, ϕ, z) = exp [ik(z1 + z)] z1 + z exp ikρ2 2(z1 + z) . (6) Podělením výrazů (4) a (6) dostáváme ψ(ρ, ϕ, z) ψr(ρ, ϕ, z) = − ik 2π z1 + z z1z exp i 2 kρ2 1 z − 1 z1 + z × × a 0 exp i 2 k 1 z1 + 1 z ρ2 M 2π 0 exp −i k z ρM ρ cos(ϕM − ϕ) dϕM ρM dρM . (7) 5.8.1 Bod pozorování na ose rotační symetrie Vypočteme vlnovou funkci ψ/ψr v bodech osy rotace kruhového otvoru. Tím ověříme výsledky, k nimž dospěl Fresnel na základě úvah o Fresnelových zónách (viz odst. 3.4). Je-li bod pozorování na ose rotační symetrie otvoru, tj. ρ = 0, je v (7) integrál podle ϕM roven 2π a difrakční integrál získává tvar ψ(ρ = 0, z) ψr(ρ = 0, z) = −ik z1 + z z1z a 0 exp i 2 k 1 z1 + 1 z ρ2 M ρM dρM . (8) S použitím substituce k 1 z1 + 1 z ρ2 M = p, a tedy ρM dρM = z1z 2k(z1 + z) dp, (9) a označení u = k 1 z1 + 1 z a2 (10) integrál (8) snadno vypočteme a vlnovou funkci vyjádříme v polárním tvaru: ψ(ρ = 0, z) ψr(ρ = 0, z) = − i 2 u 0 exp i 2 p dp = = − exp i 2 u − 1 = (11) = − exp i 4 u exp i 4 u − exp − i 4 u = = −2i exp i 4 u sin 1 4 u = = 2 sin u 4 exp i u 4 − π 2 = = 2 sin 1 4 k 1 z1 + 1 z a2 exp i 4 k 1 z1 + 1 z a2 − iπ 2 . (12) Relativní intenzita a fáze v bodech osy rotační symetrie otvoru je I(ρ = 0, z) = 4 sin2 u 4 = 4 sin2 k 4 1 z1 + 1 z a2 , φ(ρ = 0, z) = − π 2 + 1 4 u = − π 2 + k 4 1 z1 + 1 z a2 . (13) 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku 87 Relativní intenzita tedy nabývá v bodech osy rotační symetrie hodnot mezi nulou a čtyřmi. Extrémních hodnot nabývá, když k 4 1 z1 + 1 z a2 = n π 2 , n = 1, 2, . . . . (14) Je zřejmé, že relativní intenzita je rovna čtyřem, když n je liché číslo a nule, když n je sudé číslo. Z podmínky (14) dostáváme výraz pro poloměry otvorů, kdy relativní intenzita nabývá extrémních hodnot an = nλz1z z1 + z (15) ve shodě s výrazem 3.4(3) pro poloměry Fresnelových zón. Tím jsme doplnili úvahy o Fresnelových zónách z odst. 3.4 a přijatelným způsobem vypočetli, že uprostřed Fresnelova difrakčního obrazce je při lichém počtu propuštěných zón intenzita čtyřikrát větší, než by byla v témž bodě, kdyby žádného stínítka nebylo a vlnění se šířilo nerušeně. Polohy extrémů relativní intenzity na ose rotační symetrie jsou ve vzdálenostech z(n) = a2 nλ − a2/z1 , n ≥ a2 λ z1 , (16) od difrakčního stínítka. 5.8.2 Bod pozorování není osovým bodem Integrál podle úhlové proměnné ϕM v difrakčním integrálu (7) je úměrný Besselově funkci J0 (viz např. [9], vztah B.13(6)): 2π 0 exp − ik z ρM ρ cos(ϕM − ϕ) dϕM = 2πJ0 kρρM z . Takže ψ(ρ, ϕ, z) ψr(ρ, ϕ, z) = −ik 1 z1 + 1 z exp i 2 k ρ2 z1 z(z1 + z) a 0 exp ik 2 1 z1 + 1 z ρ2 M J0 kρρM z ρM dρM . (17) Tento integrál vyjádříme pomocí Lommelových funkcí (viz dodatek C). Za tím účelem zavedeme substituci ρM = at, jíž dostaneme integrační interval (0, 1): ψ(ρ, ϕ, z) ψr(ρ, ϕ, z) = −ik 1 z1 + 1 z a2 exp i 2 kρ2 z1 z(z1 + z) 1 0 exp ik 2 1 z1 + 1 z a2 t2 J0 kρa z t t dt. (18) Označíme-li u = k 1 z1 + 1 z a2 , v = kaρ z (19) a použijeme-li toho, že 1 2 kρ2 z1 z(z1 + z) = v2 2u , (20) můžeme charakterizovat podíl (18) vlnové funkce a referenční vlny výrazem, jenž závisí na experimentálních parametrech (tj. na k, z1, z, a, ρ) pouze prostřednictvím dvou proměnných u a v: ψ ψr = −iu exp i 2 v2 u 1 0 exp i 2 ut2 J0(vt)t dt. (21) Integrací per partes a využitím jistého vztahu mezi Besselovými funkcemi lze integrál v (21) vyjádřit Lommelovými funkcemi dvou proměnných U1(u, v), U2(u, v) resp. V0(u, v), V1(u, v). Je to podrobně provedeno v dodatku C, odst. C.2. Výsledkem je (viz vztah C.2(8)) 1 0 exp i 2 ut2 J0(vt)t dt = exp i 2 u u U1(u, v) − iU2(u, v) . 88 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Dosazením tohoto výrazu za integrál ve (21) dostáváme ψ ψr = − exp i 2 u + v2 u U2(u, v) + iU1(u, v) . (22) Odtud vyplývá, že relativní intenzita je dána výrazem I = U2 1 (u, v) + U2 2 (u, v) (23) a fáze φ = 1 2 u + v2 u + Arctg U1(u, v) U2(u, v) . (24) Vyjádříme ještě relativní intenzitu a fázi prostřednictvím funkcí V0(u, v) a V1(u, v). Dosadíme-li do (22) ze vztahu C.1(18), dostaneme (s použítím C.1(5)) ψ ψr = exp i 2 u + v2 u exp − i 2 u + v2 u − V0(u, v) + iV1(u, v) = exp i 2 u + v2 u −V0(u, v) + cos 1 2 u + v2 u + iV1(u, v) − i sin 1 2 u + v2 u . (25) Z (25) je zřejmé, že I = 1 + V 2 0 (u, v) + V 2 1 (u, v) − 2V0(u, v) cos 1 2 u + v2 u − 2V1(u, v) sin 1 2 u + v2 u , (26) φ = 1 2 u + v2 u − Arctg V1(u, v) − sin 1 2 u + v2 u V0(u, v) − cos 1 2 u + v2 u . (27) Graf relativní intenzity I ve Fresnelově ohybu na kruhovém otvoru, tj. graf funkce (23), (26), je na obr. 28. Typické difrakční obrazce tohoto typu jsme již uvedli v kap. 3 na obr. 3.4. Graf funkce 1 2π φ(u, v) dané vztahem (24), (27), charakterizující fázi difrakčních jevů uvažovaného typu, je na obr. 29. Chceme-li vypočítat rozložení intenzity I(ρ) v difrakčním obrazci v určité rovině pozorování, vypočteme podle (19) pro dané experimentální hodnoty k, a, z, z1 jednak parametr u, jenž nezávisí na ρ, jednak koeficient úměrnosti α = ka/z mezi veličinou v a ρ. Pak I(ρ) = I(u, αρ). (Je hodno pozoru, že velikost parametru u je rovna 2π násobku počtu propuštěných Fresnelových zón. Bývá tedy u v rozmezí 5 až 5 · 102 . Koeficient α mívá při pokusech se světlem hodnoty v rozmezí 1 · 103 m−1 až 1 · 105 m−1 .) Výpočet vlnové funkce v bodech osy symetrie v odst. 5.8.1 jsme předeslali právě vypočítanému obecnějšímu případu, neboť si nevyžadoval použití speciálních funkcí. Výsledek (12) resp. (13) dostaneme ovšem i jako speciální případ výrazů (22), (25) resp. (23), (24), (26), (27) pro v = 0 (viz vztahy C.3(2) a C.3(3)). Výrazy (22) až (27) se také podstatně zjednoduší v případě u = v, tj. v bodech hranice geometrického stínu, kdy ρ = z1+z z1 a. S použitím vztahů C.3(6) až C.3(8) vypočteme z (22) resp. (25) ψ ψr ρ= z1+z z1 a = 1 2 1 − J0(u) exp(iu) = 1 2 exp(iu) exp(−iu) − J0(u) . (28) Intenzitu a fázi v bodech hranice geometrického stínu tedy charakterizují výrazy I(u, u) = 1 4 1 + J2 0 (u) − 2J0(u) cos u , φ(u, u) = u + Arctg sin u J0(u) − cos u . (29) 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku 89 Obrázek 28: Graf funkce I(u, v) dané vztahem 5.8(23) resp. 5.8(26) a představující relativní intenzitu ve Fresnelových difrakčních jevech na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku. Hranici geometrického stínu odpovídá uhlopříčka u = v (nezakresleno). V grafu jsou patrné extrémy intenzity v bodech u = 2nπ osy u. Odpovídají experimentálnímu uspořádání, kdy otvor propouští n Fresnelových zón. 90 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 29: Graf funkce 1 2π φ(u, v) dané vztahem 5.8(24) resp. 5.8(27) a charakterizující fázi Fresnelových difrakčních jevů na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku. Hranici geometrického stínu odpovídá uhlopříčka u = v (nezakresleno). Z porovnání obr. 28 a 29 je vidět, že v bodech, kde je intenzita I nulová (viz bod u = 4π, v = 0), je funkce φ mnohoznačná a nabývá všech hodnot z intervalu −π/2, π/2 . 5.9 Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce 91 5.9 Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce Vlnovou funkci popisující difrakci na nepropustném otvoru získáme nejsnáze z podmínky, že součet vlnové funkce pro difrakci na disku a vlnové funkce charakterizující difrakci na komplementárním kruhovém otvoru musí dát referenční vlnovou funkci ψr: ψotvor + ψdisk = ψr, tj. ψdisk ψr = 1 − ψotvor ψr . (1) Vlnovou funkci v bodech osy rotační symetrie disku dostaneme, dosadíme-li do (1) ze 5.8(11) ψdisk(ρ = 0, z) ψr(ρ = 0, z) = 1 + exp i 2 u − 1 = exp i 2 u = = exp ik 2 1 z1 + 1 z a2 . (2) Z toho je vidět, že podél osy symetrie kruhového disku je relativní intenzita I = 1 ve shodě s Poissonovou námitkou (srov. odst. 3.4) a s experimentem (viz obr. 3.7). Fáze v bodech osy je φ(ρ = 0, z) = 1 2 u = 1 2 k 1 z1 + 1 z a2 . Vlnovou funkci charakterizující difrakci v obecném bodě dostaneme, dosadíme-li do (1) z 5.8(22). Dosta- neme ψdisk ψr = 1 + exp i 2 u + v2 u [U2(u, v) + iU1(u, v)] = = exp i 2 u + v2 u exp − i 2 u + v2 u + U2(u, v) + iU1(u, v) . (3) Chceme-li vyjádřit vlnovou funkci prostřednictvím Lommelových funkcí V0 a V1, dosadíme do (3) ze vztahu C.1(18) a s použitím C.1(5) dostaneme ψdisk ψr (ρ, ϕ, z) = exp i 2 u + v2 u [V0(u, v) − iV1(u, v)]. (4) Pro relativní intenzitu dostáváme ze (4) resp. (3) I = V 2 0 (u, v) + V 2 1 (u, v), (5) resp. I = 1 + U2 1 (u, v) + U2 2 (u, v) − 2U1(u, v) sin 1 2 u + v2 u + 2U2(u, v) cos 1 2 u + v2 u . (6) Pro fázi dostáváme ze (4) φ = 1 2 u + v2 u − Arctg V1(u, v) V0(u, v) , (7) resp. ze (3) φ = 1 2 u + v2 u + Arctg U1(u, v) − sin 1 2 u + v2 u U2(u, v) + cos 1 2 u + v2 u . (8) Graf relativní intenzity I ve Fresnelově ohybu na kruhové překážce, tj. graf funkce (5), (6), je na obr. 30. Typické difrakční obrazce tohoto typu jsme uvedli již v kap. 3 na obr. 3.7. Graf funkce 1 2π φ(u, v) dané vztahem (7), (8) charakterizující fázi Fresnelových difrakčních jevů na kruhové překážce je na obr. 31. Z grafu na obr. 30 lze nahlédnout, že poloměr ρ0 světlé stopy uprostřed difrakčního obrazce je nepřímo úměrný poloměru a kruhové překážky: Místa stejné relativní intenzity centrální světlé stopy leží na přímkách 92 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 30: Graf funkce I(u, v) dané vztahem 5.9(5) resp. 5.9(6) a představující relativní intenzitu ve Fresnelových difrakčních jevech na nepropustné kruhové překážce. Hranici geometrického stínu odpovídá přímka u = v (nezakresleno). Z grafu je vidět, že ve středu difrakčního obrazce (tj. na ose u) je vždy jednotková relativní intenzita. 5.9 Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce 93 Obrázek 31: Graf funkce 1 2π φ(u, v) dané vztahem 5.9(5) resp. 5.9(6) charakterizující fázi Fresnelových difrakčních jevů na nepropustné kruhové překážce. Hranici geometrického stínu odpovídá přímka u = v (nezakres- leno). 94 REFERENCE rovnoběžných s osou u a minimum relativní intenzity, jež definuje poloměr centrální stopy, má hodnotu v = v0 . = 2,4. Z 5.8(19) pak vyplývá zmíněná nepřímá úměrnost. ρ0 = z v0 k a = z λ v0 2πa . (9) (Je pozoruhodné, že poloměr ρ0 centrální stopy nezávisí na vzdálenosti z1 mezi zdrojem a kruhovou překážkou.) Pro konkrétní představu si můžeme z (9) vypočítat, že pro hodnoty z = 2,5 m, λ = 6,3 · 10−7 m, a = 1 · 10−3 m vychází průměr centrální světlé stopy 2ρ0 = 1,2 · 10−3 m. Není obtížné se přesvědčit, že výraz (2) pro vlnovou funkci v bodech osy rotační symetrie lze získat, položíme-li ve (3) nebo (4) v = 0 (viz vztahy C.3(2) a C.3(3)). Výraz pro vlnovou funkci v bodech hranice geometrického stínu dostaneme z (3) nebo (4), položíme-li u = v. S použitím vztahů C.3(6) až C.3(8) vypočteme ψ ψr ρ= z1+z z1 a = 1 2 1 + J0(u) exp(iu) = 1 2 exp(iu) J0(u) + exp(−iu) . (10) Takže intenzitu a fázi na hranici geometrického stínu charakterizují výrazy I(u, u) = 1 4 1 + J2 0 (u) + 2J0(u) cos u , φ(u, u) = u − Arctg sin u J0(u) + cos u . (11) Reference [1] Fresnel J. A.: Œuvres compl`etes d’Augustin Fresnel, Tome 1. (H. de Senarmont, É. Verdet, L. Fresnel, eds.) Imprimerie Impériale, Paris 1866. [2] Young T.: A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts. A new edition, ed. P. Kelland. Taylor and Walton, London 1845. [3] Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M.: The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, p. 37–2, Vol. III, p. 1–1. Addison–Wesley Publ. Co., Reading, Mass. 1967. Český překlad: Feynmanovy přednášky z fyziky I. Fragment, Praha 2000, str. 497. [4] Laue M. v.: Dějiny fyziky. Orbis, Praha 1959, str. 40. [5] Crease R. P.: The most beautiful experiment, [cit. 30. 6. 2004]. [6] Zeilinger A., Gähler R., Shull C. G., Treimer W., Mampe W.: Single– and double–slit diffraction of neutrons. Reviews of Modern Physics 60 (1988), 1067–1073. [7] Betz H. D.: An Asymmetry Method for High Precision Alignment with Laser Light. Applied Optics 8 (1969), 1007–1013. [8] Velechovský K., Komrska J.: Využití Fresnelovy difrakce s nulovou intenzitou ve dvou na sebe kolmých směrech k vytyčování přímek. Jemná mechanika a optika 48 (2003), 186–192. [9] Komrska J.: Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze. VUTIUM Brno, 2001.