95
6 Kirchhoffův a Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál
6.1 Vyzařovací podmínka
6.2 Integrální věta
6.3 Helmholtzova integrální věta
6.4 Kirchhoffovo odvození difrakčního integrálu
6.4.1 Kirchhoffovy okrajové podmínky
6.4.2 Kirchhoffův difrakční integrál
6.4.3 Helmholtzova věta o reciprocitě při difrakci
6.5 Rayleighovo–Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu
6.5.1 Greenova funkce
6.5.2 Explicitní tvar Greenovy funkce příslušející rovinnému difrakčnímu stínítku
6.5.3 Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál pro okrajovou podmínku ψ(M)
6.5.4 Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál pro okrajovou podmínku M ψ(M) · n
6.6 Poznámka ke Kirchhoffovu difrakčnímu integrálu
Až dosud jsme termínem difrakční integrál rozuměli výrazy 2.3(1) a 2.3(2). Jsou to integrály, jichž se
bez dalších úprav používá k výpočtu Fraunhoferových a Fresnelových difrakčních jevů. V této kapitole
dochází k terminologickému posunu. Budeme odvozovat integrály, které co nejvíce připomínají integrál
3.2(5), tj. Huygensův–Fresnelův princip. A těmto integrálům budeme — ve shodě s optickou literaturou
— říkat Kirchhoffův difrakční integrál a Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál.
Odvozování bude vycházet jednak z Helmholtzovy rovnice
2
ψ(r) + k2
ψ(r) = 0, (1)
jež — jak víme (srov. odst. 1.7) — musí splňovat část ψ(r) harmonické vlny závislá pouze na prostorových
souřadnicích v bodech homogenního, izotropního a neabsorbujícího prostředí neobsahujícího zdroje
vlnění, jednak z Greenovy formule ve tvaru (viz Dodatek A, vztah (5))
S
[ψ(r) ψ1(r) − ψ1(r) ψ(r)] · n dS = 0, (2)
která platí, když funkce ψ a ψ1 jsou spojité se všemi prvními derivacemi v bodech uzavřené po částech
hladké plochy S a všude uvnitř plochy S vyhovují téže Helmholtzově rovnici. (Uvnitř plochy S tedy
nesmějí mít funkce ψ a ψ1 singularity, tj. nesmějí tam být bodové zdroje vlnění.) Vyčlenění těchto
singularit z vnitřku plochy S a příslušné limity, kdy vyčleněné oblasti zaujímají jen infinitezimální okolí
singulárních bodů, hrají při odvozování podstatnou úlohu.
Při odvozování bude naší snahou co nejostřeji odlišit matematickou a fyzikální stránku odvození. Nejprve
uvedeme poměrně obšírně matematický aparát, aby se objevily možnosti, jak adekvátně vystihnout
fyzikální podstatu. Např.: Většinou (a snad vždy až na Bakera a Copsona [1]) se difrakční integrál odvozuje
tak, že vlnová funkce v bodě pozorování se vyjadřuje prostřednictvím vlnové funkce a její derivace
ve směru normály v bodech plochy S, jež obklopuje bod pozorování. Viděli jsme však, že Huygensovu–
Fresnelovu principu je bližší, aby plochou S byla vlnoplocha nebo aspoň nějaká plocha obklopující zdroje
vlnění. Tato druhá verze je asi přirozenější, a proto i pedagogicky vhodnější. Je však možné postupovat
i takto? Uvidíme, že ano, záleží to jen na tom, jak brzy se použije vyzařovací podmínky. Zkrátka jde o to,
abychom si byli vědomi všech možností, které matematika nabízí, a mohli si vybrat tu, která nejlépe
vyhovuje fyzikální podstatě.
Dále bude naší snahou odstranit zbytečné matematické rozpornosti v odvozování. Např. část uzavřené
plochy S jde při odvozování do nekonečna a je třeba zdůvodnit, proč příspěvek k vlnové funkci v bodě
pozorování od této části plochy S je nulový. Argumentace, že když jde plocha do nekonečna, je součet
sekundárních vln od ní došlých nulový, neobstojí, neboť amplituda sekundárních vln klesá jako 1/R,
avšak plocha kulového vrchlíku roste s kvadrátem poloměru. Rovněž neobstojí argumentace, že vlnění
do nekonečna nikdy nedojde, takže z nekonečna nemohou přijít sekundární vlny — je to v rozporu s tím,
že jde o harmonické vlnění. Je prostě nutné integrál korektně vyšetřit a využít podmínky konečnosti
a vyzařovací podmínky.
96 6 KIRCHHOFFŮV A RAYLEIGHŮV–SOMMERFELDŮV DIFRAKČNÍ INTEGRÁL
6.1 Vyzařovací podmínka
Vztah 6(2) platí za předpokladu, že funkce ψ(Q) a ψ1(Q) splňují požadavky Greenovy formule a jsou
řešením Helmholtzovy rovnice v každém bodě uvnitř uzavřené plochy S. To však není právě typické pro
teorii difrakce. Zvolíme-li za plochu S vlnoplochu, přičemž zdroje vlnění jsou uvnitř této vlnoplochy,
nejsou předpoklady Greenovy věty splněny v bodech, kde jsou zdroje vlnění lokalizovány. Např. je-li
v bodě r = 0 uvnitř plochy S zdroj vyzařující kulovou vlnu exp(ikr)/r, je v bodě r = 0 singularita.
Zvolíme-li za funkci ψ1 ve vztahu 6(2) tuto kulovou vlnu, nejsou splněny podmínky platnosti Greenovy
formule a rovnice 6(2) nemusí platit. Budeme se proto zabývat případem, kdy řešení ψ(Q), ψ1(Q)
Helmholtzovy rovnice mají spojité příslušné parciální derivace všude vně po částech hladké uzavřené
plochy S a na ploše S a vyšetříme, jaké dodatečné podmínky je třeba klást na funkce ψ, ψ1, aby rovnice
6(2) byla splněna.
Obrázek 1: K odvození vyzařovací podmínky.
Za tím účelem aplikujeme vztah 6(2) na plochu sestávající z uzavřené plochy S a povrchu koule S1
o tak velkém poloměru R, že plocha S je uvnitř S1. Normály nechť jsou orientovány tak, že n je vnější
normálou vzhledem k objemu vymezenému plochami S a S1 (obr. 1).
S
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS +
S1
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS1 = 0.
Zkoumejme, za jakých podmínek je integrál přes kulovou plochu S1 roven nule, když její poloměr R roste
nade všechny meze. V bodech plochy S1 platí n dS1 = RR dΩ, kde dΩ je element prostorového úhlu,
takže
S1
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS1 =
Ω
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · RR dΩ.
Je zřejmé, že tento integrál je roven nule, např. když funkce ψ, ψ1 splňují podmínky |Rψ| < konst.,
|R ψ| → 0 pro R → ∞. Avšak takové podmínky jsou příliš přísné a např. divergující kulová vlna
je nesplňuje. Právě vyšetřování rozbíhavé kulové vlny vedlo Sommerfelda [2] k formulaci mírnějších
podmínek. Dospějeme k nim tak, že odhadneme hodnotu integrálu přes kulovou plochu S1. Nejprve
v integrandu odečteme a přičteme výraz ikRψψ1 a pak několikrát použijeme pravidel pro odhad absolutní
hodnoty integrálu:
S1
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS1 =
Ω
(ψR · ψ1 − ψ1R · ψ) R dΩ =
=
Ω
(ψR · ψ1 − ikRψψ1) − (ψ1R · ψ − ikRψψ1) R dΩ ≤
≤
Ω
(R · ψ1 − ikRψ1) Rψ dΩ +
Ω
(R · ψ − ikRψ) Rψ1 dΩ ≤
≤
Ω
R · ψ1 − ikRψ1 Rψ dΩ +
Ω
R · ψ − ikRψ Rψ1 dΩ ≤
≤ 4π R · ψ1 − ikRψ1
max
Rψ
max
+ 4π R · ψ − ikRψ
max
Rψ1
max
.
6.1 Vyzařovací podmínka 97
Index max značí maximální hodnotu příslušné absolutní hodnoty na kulové ploše S1. Vidíme tedy, že
pokud funkce ψ, ψ1 splňují stejnoměrně ke všem směrům v prostoru podmínky
|Rψ| < konst., |Rψ1| < konst. pro R → ∞ (1)
a
R
ψ · R
R
− ikψ → 0, R
ψ1 · R
R
− ikψ1 → 0 pro R → ∞, (2)
jde integrál přes kulovou plochu S1 k nule, když její poloměr R neomezeně roste. Podmínku (1) nazval
Sommerfeld (viz [2], [3], § 28) podmínkou konečnosti a podmínku (2) vyzařovací podmínkou. Rellich [4]
a Vekua [5] dokázali, že podmínka konečnosti (1) je důsledkem vyzařovací podmínky (2). K tomu, aby
limita integrálu přes kulovou plochu S1 při R → ∞ byla nulová, stačí tedy splnění podmínky (2).
Z toho, co bylo dosud v tomto odstavci uvedeno, vyplývá, že vztah 6(2) platí pro libovolnou po částech
hladkou plochu S ohraničující jednoduše souvislý objem, jestliže řešení ψ, ψ1 Helmholtzovy rovnice jsou
spojitá i s prvními derivacemi ve všech bodech plochy S a spolu s druhými derivacemi buď všude uvnitř
plochy S nebo všude vně plochy S, avšak v tomto druhém případě musí funkce ψ, ψ1 ještě navíc splňovat
stejnoměrně ke všem směrům v prostoru vyzařovací podmínku (2).
Je užitečné se přesvědčit, že rozbíhavá kulová vlna ψ = exp(ikR)/R splňuje vyzařovací podmínku.
Vypočteme
exp(ikR)
R
= ik 1 +
i
kR
exp(ikR)
R
R
R
.
Takže
R ψ ·
R
R
− ikψ = −
exp(ikR)
R
, (3)
což jde k nule, když R → ∞.
Naproti tomu sbíhavá kulová vlna ψ = exp(−ikR)/R splňuje pouze podmínku konečnosti, nikoli však
vyzařovací podmínku:
exp(−ikR)
R
= − ik +
1
R
exp(−ikR)
R
R
R
,
takže
Obrázek 2: K důkazu platnosti vztahu 6(2) v případě nekonečné plochy S.
R ψ ·
R
R
− ikψ = −ik 2 −
i
kR
exp(−ikR), (4)
což nemá limitu pro R → ∞.
98 6 KIRCHHOFFŮV A RAYLEIGHŮV–SOMMERFELDŮV DIFRAKČNÍ INTEGRÁL
Rozšíříme ještě dále platnost vztahu 6(2), a sice na případ, kdy S není uzavřenou plochou vymezující
konečný objem, ale nekonečnou plochou rozdělující prostor na dva poloprostory Σ1 a Σ2 (obr. 2).
Předpokládáme, že řešení ψ, ψ1 Helmholtzovy rovnice splňují stejnoměrně ke všem směrům v prostoru
vyzařovací podmínku (2) a jsou spojitá i s prvními derivacemi na ploše S a i s druhými derivacemi
v jednom z poloprostorů vymezených plochou S, např. v poloprostoru Σ2 na obr. 2. Body poloprostoru
Σ1, v nichž některé z řešení ψ, ψ1 Helmholtzovy rovnice nebo některá z příslušných derivací není spojitá,
obalíme plochou S ∪ S1 tvořenou částí S plochy S a částí S1 povrchu koule o dostatečně velkém
poloměru R (viz obr. 2). Poněvadž všude vně plochy S ∪ S1 jsou splněny podmínky platnosti vztahu
6(2) včetně vyzařovací podmínky (2), platí
S1
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS1 +
S
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS = 0.
Roste-li poloměr R nade všechny meze, jde integrál přes část S1 kulové plochy k nule, neboť ψ a ψ1
splňují vyzařovací podmínku a plocha S přechází v celou nekonečnou plochu S.
Dospíváme tak k závěru, že vztah 6(2) platí také pro nekonečnou po částech hladkou plochu S, jsou-li
řešení ψ, ψ1 Helmholtzovy rovnice spojitá i s prvními derivacemi na ploše S a i s druhými derivacemi
v jednom z poloprostorů plochou S vymezených a splňují-li stejnoměrně ke všem směrům v prostoru
vyzařovací podmínku (2).
6.2 Integrální věta
Směřujeme k tomu, abychom vyjádřili vlnovou funkci ψ(P) v bodě pozorování P pomocí vlnové funkce
ψ(M) v bodech M plochy S. Dosáhneme toho tím, že ve vztahu 6(2) ztotožníme funkci ψ s vlnovou
funkcí, kdežto s funkcí ψ1 budeme nakládat jako s pomocnou funkcí. Zvolíme ji ve tvaru funkce polohy
obecného bodu Q vzhledem k bodu P, tj. ve tvaru ψ1 = ψ1(
−→
PQ), a budeme na ni klást různé požadavky,
jež umožní dospět ke zmíněnému cíli. Konkrétně u Rayleighova–Sommerfeldova odvození difrakčního
integrálu ztotožníme funkci ψ1 s Greenovou funkcí příslušného okrajového problému, jež splňuje čtyři
podmínky 6.5(1) až (4) resp. (5). K získání tzv. Helmholtzovy integrální věty, jež je východiskem pro
odvození Kirchhoffova difrakčního integrálu a Rubinowiczovy reprezentace difrakčního integrálu, však
stačí, budeme-li na funkci ψ1 klást dvě resp. tři z těchto podmínek (6.5(1), (2) resp. 6.5(1), (2) a (3))
podle toho, zda chceme vyjádřit vlnovou funkci v bodě P uvnitř uzavřené plochy S (věta i)) nebo
v nějaké nekonečné části prostoru (věty ii) a iii)).
V tomto odstavci odvodíme integrální větu, jejímž speciálním důsledkem je jak Helmholtzova integrální
věta, tak vztahy 6.5(6) a 6.5(7), z nichž se vychází při odvození Rayleighova–Sommerfeldova
difrakčního integrálu.
Označíme sQ vektor
−→
PQ mířící od nějakého pevně zvoleného bodu P (bod pozorování) k obecnému
bodu Q. Speciálně je-li obecný bod Q bodem plochy S, označíme ho M a příslušný vektor sM . Funkci
ψ1 můžeme tedy chápat jako funkci polohového vektoru sQ vycházejícího z bodu P, tj. ψ1 = ψ1(sQ).
Orientaci normály k ploše S zvolíme tak, že n značí vnější normálu uzavřené po částech hladké plochy
S (obr. 3, 4).
Chceme-li počítat vlnovou funkci v bodě P uvnitř uzavřené plochy S, je užitečná tato formulace
integrální věty:
i) Nechť funkce ψ(Q) a ψ1(sQ) vyhovují Helmholtzově rovnici
2
Qψ(Q) + k2
ψ(Q) = 0, 2
Qψ1(sQ) + k2
ψ1(sQ) = 0 (1)
všude uvnitř a na uzavřené ploše S. Nechť funkce ψ(Q) je spojitá i se všemi svými prvními derivacemi
uvnitř a na ploše S a se všemi druhými derivacemi uvnitř plochy S. Nechť totéž platí o funkci ψ1(sQ)
s výjimkou bodu P, v němž má singularitu typu
ψ1(sQ) → 1/sQ pro sQ → 0. (2)
Pak integrál
I(P) =
S
[ψ(M) M ψ1(sM ) − ψ1(sM ) M ψ(M)] · n dS (3)
je funkcí definovanou pro libovolnou polohu bodu P a platí
I(P) = −4πψ(P), (4)
6.2 Integrální věta 99
Obrázek 3: K důkazu integrální věty i).
když P je uvnitř plochy S,
I(P) = −2πψ(P), (5)
když P je regulárním bodem plochy S a
I(P) = 0, (6)
když P leží vně plochy S.
Důkaz:
a) Jestliže bod P leží vně plochy S (obr. 3 a)), splňují funkce ψ(Q), ψ1(sQ) v každém bodě Q uvnitř
a na ploše S podmínky, za nichž platí vztah 6(2), takže integrál (3) je roven nule a tvrzení (6) je dokázáno.
b) Jestliže bod P leží uvnitř plochy S (obr. 3 b)), nesplňuje funkce ψ1(sQ) podmínky platnosti věty 6(2)
v bodě Q ≡ P, tj. sQ = 0. Je proto třeba bod P z vnitřku plochy S vyloučit. Uděláme to tak, že kolem
bodu P opíšeme malou kouli s povrchem S1. Vztah 6(2) aplikujeme na plochu S ∪ S1:
S
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS +
S1
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS1 = 0. (7)
První integrál obsahuje vlnovou funkci v bodech M plochy S. Výpočtem limity druhého integrálu pro
poloměr kulové plochy S1 jdoucí k nule dostaneme výraz obsahující hledanou hodnotu vlnové funkce
v bodě P. Uvážíme-li, že na povrchu koule S1 je n = −sQ/sQ, dS1 = s2
Q sin θ dθ dφ, kde θ a φ jsou úhly
sférických souřadnic, dostáváme tak limitu druhého integrálu v (7) ve tvaru
− lim
sQ→0
2π
0
π
0
ψ(Q) Qψ1(sQ) · sQ − ψ1(sQ) Qψ(Q) · sQ sQ sin θ dθ dφ =
= −
2π
0
π
0
lim
sQ→0
ψ(P + sQ) lim
sQ→0
sQsQ · Qψ1(sQ) − lim
sQ→0
ψ1(sQ)sQsQ · lim
sQ→0
Qψ(P + sQ) sin θ dθ dϕ.
Vypočteme nyní limity vyskytující se v integrandu. Hodnota první a čtvrté limity zřejmě je
lim
sQ→0
ψ(P + sQ) = ψ(P), lim
sQ→0
Qψ(P + sQ) = ψ(P). (8)
S přihlédnutím k podmínce (2) pro funkci ψ1 dostáváme pro druhou a třetí limitu
lim
sQ→0
sQsQ · Qψ1(sQ) = lim
sQ→0
sQsQ · Q
1
sQ
= −1, (9)
lim
sQ→0
ψ1(sQ)sQsQ = lim
sQ→0
sQ = 0. (10)
Poněvadž | ψ(P)| je konečná, dostáváme pro limitu integrálu přes kulovou plochu S1 v (7)
100 6 KIRCHHOFFŮV A RAYLEIGHŮV–SOMMERFELDŮV DIFRAKČNÍ INTEGRÁL
lim
sQ→0 S1
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS1 = ψ(P)
2π
0
π
0
sin θ dθ dφ = 4πψ(P). (11)
Z (7) tedy vyplývá
ψ(P) = −
1
4π S
ψ(M) M ψ1(sM ) − ψ1(sM ) M ψ(M) · n dS, (12)
čímž je dokázáno tvrzení (4).
c) Leží-li bod P na ploše S (obr. 3c)), nejsou splněny podmínky věty 6(2) v bodě P plochy S. Částí
S1 koule o malém poloměru a se středem v P vyloučíme tento bod a jeho okolí z povrchu a vnitřku
plochy S a větu 6(2) aplikujeme na plochu S ∪ S1, kde S je plocha S bez okolí bodu P vymezeného
plochou S1. Celý důkaz sub b) zůstává v platnosti pouze s tím rozdílem, že při integraci přes S1 se změní
meze integrace podle úhlových souřadnic. Poněvadž předpokládáme, že P je regulárním bodem plochy
S, můžeme zvolit směr osy θ = 0 ve směru normály n k ploše S v bodě P a místo (11) máme
lim
sQ→0 S1
(ψ ψ1 − ψ1 ψ) · n dS1 = ψ(P)
2π
0
π
π/2
sin θ dθ dφ = 2πψ(P).
Jde-li poloměr plochy S1 k nule, přechází plocha S v S a z (7) pak plyne tvrzení (5). Je-li bod P
singulárním bodem plochy S, tj. tečny k ploše S v bodě P neleží v jedné rovině, platí zřejmě místo (5)
I(P) = −pψ(P),
kde p je prostorový úhel vymezený tečnami procházejícími bodem P.
Chceme-li počítat vlnovou funkci v bodě P vně uzavřené plochy S, je užitečná tato formulace integrální
věty:
ii) Nechť funkce ψ(Q) a ψ1(sQ) vyhovují Helmholtzově rovnici (1) všude vně a na uzavřené ploše
S a nechť splňují stejnoměrně ke všem směrům v prostoru vyzařovací podmínku 6.1(2). Nechť funkce
ψ(Q) je spojitá i se všemi prvními derivacemi vně a na ploše S a se všemi druhými derivacemi vně plochy
S. Nechť totéž platí o funkci ψ1(sQ) s výjimkou bodu P, v němž má singularitu typu (2). Pak integrál
I(P) daný výrazem (3) je funkcí definovanou pro libovolnou polohu bodu P a platí
I(P) = 4πψ(P), (13)
když P je vně plochy S,
I(P) = 2πψ(P), (14)
když P je regulárním bodem plochy S a
I(P) = 0, (15)
když P leží uvnitř plochy S. (Při (13) a (14) je nutné pamatovat na to, že n značí stále vnější normálu
uzavřené po částech hladké plochy S (viz obr. 4).) Důkaz je obdobný důkazu věty i):
a) Leží-li bod P uvnitř plochy S (obr. 4a)), splňují funkce ψ(Q) a ψ1(sQ) v každém bodě Q na ploše
a vně plochy S podmínky, za nichž platí vztah 6(2), takže integrál (3) je roven nule a tvrzení (15) je
dokázáno.
b) Je-li bod P vně plochy S, nesplňuje funkce ψ1(sQ) podmínky platnosti vztahu 6(2) v bodě sQ = 0.
Proto tento bod vyloučíme z vnějšku plochy S tak, že kolem něj opíšeme malou kouli s povrchem S1 a na
plochu S ∪ S1 aplikujeme vztah 6(2). Dostaneme vztah (7). Na S1 platí n = sQ/sQ (obr. 4b)) a jde-li
poloměr kulové plochy S1 k nule, je integrál po S1 roven integrálu
2π
0
π
0
lim
sQ→0
ψ(P + sQ) lim
sQ→0
sQsQ · Qψ1(sQ) − lim
sQ→0
ψ1(sQ)sQsQ · lim
sQ→0
Qψ(P + sQ) sin θ dθ dφ.
6.2 Integrální věta 101
Obrázek 4: K důkazu integrální věty ii).
Jednotlivé limity v integrandu se opět rovnají hodnotám (8), (9) a (10), limita integrálu po S1 v (7) je
tedy rovna −4πψ(P), takže
ψ(P) =
1
4π S
ψ(M) M ψ1(sM ) − ψ1(sM ) M ψ(M) · n dS (16)
a tvrzení (13) je dokázáno.
c) Konečně je-li P bodem plochy S, vyloučíme jej a jeho okolí z povrchu a vnějšku plochy S částí
koule s povrchem S1 opsané kolem bodu P (obr. 4c)). Větu 6(2) pak aplikujeme na plochu S ∪ S1, kde
S označuje plochu S bez okolí bodu P vymezeného plochou S1. Je-li P regulárním bodem plochy S, je
při výpočtu limity pro sQ → 0 integrálu přes plochu S1 hodnota integrálu podle úhlových proměnných
rovna 2π a limita integrálu přes S1 je rovna 2πψ(P). Současně při nekonečně malém poloměru plochy
S1 přejde S v S a tvrzení (14) je tím dokázáno. Je-li P singulárním bodem plochy S, je při výpočtu
limity integrálu přes plochu S1 hodnota integrálu podle úhlových proměnných rovna 4π − p, kde p je
prostorový úhel vymezený tečnami v bodě P, a I(P) = (4π − p)ψ(P).
Vyjadřujeme-li vlnovou funkci ψ(P) v bodě P prostřednictvím vlnové funkce v bodech nekonečné
plochy S, je východiskem tato formulace integrální věty:
iii) Nechť S je nekonečná po částech hladká plocha rozdělující prostor na dva poloprostory Σ1 a Σ2.
Nechť řešení ψ, ψ1 Helmholtzovy rovnice (1) splňují stejnoměrně ke všem směrům v prostoru vyzařovací
podmínku 6.1(2). Nechť ψ je spojitá funkce i s prvními derivacemi na ploše S a i s druhými derivacemi
ve vnitřních bodech poloprostoru Σ2. Nechť totéž platí o funkci ψ1 s výjimkou bodu P, v němž má
singularitu typu (2). Pak integrál I(P) daný výrazem (3) je funkcí definovanou pro libovolnou polohu
bodu P a platí
I(P) = 4πψ(P), (17)
když P je vnitřním bodem poloprostoru Σ2,
I(P) = 2πψ(P), (18)
když P je regulárním bodem plochy S a
I(P) = 0, (19)
když P je vnitřním bodem poloprostoru Σ1.
Důkaz:
a) Je-li bod P vnitřním bodem poloprostoru Σ1 (obr. 5a)), splňují funkce ψ, ψ1 ve všech bodech Q poloprostoru
Σ2 podmínky platnosti vztahu 6(2), a tím je tvrzení (19) dokázáno.
102 6 KIRCHHOFFŮV A RAYLEIGHŮV–SOMMERFELDŮV DIFRAKČNÍ INTEGRÁL
Obrázek 5: K důkazu integrální věty iii).
b) Je-li bod P vnitřním bodem poloprostoru Σ2, nesplňuje funkce ψ1(sQ) podmínky vztahu 6(2) v bodě
Q ≡ P. Proto kolem bodu P opíšeme malou kouli s povrchem S1 a vztah 6(2) aplikujeme na plochu
S ∪S1 (obr. 5b)). Dostaneme vztah (7). Stejně jako při důkazu věty ii) sub b) shledáme, že jde-li poloměr
kulové plochy S1 k nule, je limita integrálu přes plochu S1 v (7) rovna −4πψ(P), takže platí (16), a tím
je tvrzení (17) dokázáno.
c) Konečně je-li P bodem plochy S, vyloučíme jej a jeho okolí z plochy S a poloprostoru Σ2 částí koule
s povrchem S1 opsané kolem bodu P (obr. 5c)). Vztah 6(2) aplikujeme na plochu S ∪ S1, kde S značí
plochu S bez okolí bodu P vymezeného plochou S1. Zbytek důkazu tvrzení (18) je stejný jako při důkazu
věty ii) sub c).
6.3 Helmholtzova integrální věta
Helmholtzova integrální věta je speciálním důsledkem integrální věty předchozího odstavce při volbě
ψ1(sQ) = exp(iksQ)/sQ. Je zřejmé, že tato funkce splňuje předpoklady kladené v předchozím odstavci
na funkci ψ1(sQ): Je řešením Helmholtzovy rovnice, v bodě sQ = 0 má singularitu typu 1/sQ, pro všechna
sQ = 0 je spojitá se všemi požadovanými derivacemi a splňuje vyzařovací podmínku 6.1(2).
Uvedeme Helmholtzovu integrální větu opět ve třech formulacích. První i) vyjadřuje vlnovou funkci
v obecném bodě P uvnitř uzavřené plochy S prostřednictvím vlnové funkce a její derivace ve směru
normály v bodech M plochy S a druhá ii) totéž v bodě P vně plochy S. Fyzikálně chápáno, je-li plocha
S zvolena tak, že všechny zdroje vlnění jsou uvnitř, je druhá formulace blízká obvyklému pojetí
Huygensova–Fresnelova principu. Třetí formulace iii) vyjadřuje vlnovou funkci v obecném bodě P prostřednictvím
vlnové funkce a její derivace ve směru normály v bodech nekonečné plochy S. Význam této
formulace vyplývá z toho, že v optice jde většinou o difrakci na rovinném stínítku.
i) Nechť ψ(Q) je řešení Helmholtzovy rovnice spojité se všemi svými prvními derivacemi uvnitř a na
uzavřené ploše S a se všemi druhými derivacemi uvnitř plochy S. Pak integrál
H(P) =
S
ψ(M) M
exp(iksM )
sM
−
exp(iksM )
sM
M ψ(M) · n dS (1)
je funkcí definovanou pro libovolnou polohu bodu P a platí
H(P) = −4πψ(P), (2)
když P je uvnitř plochy S,
H(P) = −2πψ(P), (3)
6.3 Helmholtzova integrální věta 103
když P je regulárním bodem plochy S a
H(P) = 0, (4)
když P leží vně plochy S.
ii) Nechť ψ(Q) je řešení Helmholtzovy rovnice spojité se všemi svými prvními derivacemi vně a na
uzavřené ploše S a se všemi druhými derivacemi vně plochy S. Dále nechť ψ(Q) splňuje stejnoměrně ke
všem směrům v prostoru vyzařovací podmínku 6.1(2). Pak integrál H(P) daný výrazem (1) je funkcí
definovanou pro libovolnou polohu bodu P a platí
H(P) = 4πψ(P), (5)
když P leží vně plochy S.
H(P) = 2πψ(P), (6)
když P je regulárním bodem plochy S a
H(P) = 0, (7)
když P leží uvnitř plochy S.
iii) Nechť S je nekonečná po částech hladká plocha rozdělující prostor na dva poloprostory Σ1 a Σ2.
Nechť ψ(Q) je řešení Helmholtzovy rovnice spojité se všemi prvními derivacemi na ploše S, se všemi
druhými derivacemi ve vnitřních bodech Q poloprostoru Σ2, splňující podmínku 6.1(2). Pak integrál
H(P) daný výrazem (1) je funkcí definovanou pro libovolnou polohu bodu P a platí
H(P) = 4πψ(P), (8)
když P je vnitřním bodem poloprostoru Σ2.
H(P) = 2πψ(P), (9)
když P je regulárním bodem plochy S a
H(P) = 0, (10)
když P je vnitřním bodem poloprostoru Σ1.
Helmholtzova integrální věta vyjadřuje vlnovou funkci v bodě pozorování P prostřednictvím vlnové
funkce a její derivace v bodech M plochy S. Na rozdíl od heuristického Huygensova–Fresnelova principu
tedy vyžaduje nejen vlnovou funkci, ale i její derivaci ve směru normály v bodech M plochy S. Je
rigorózní v tom smyslu, že nejde o formulaci heuristickou, ale odvozenou pomocí vět integrálního počtu
z podmínky, že vlnová funkce vyhovuje Helmholtzově rovnici.
Ztotožníme-li plochu S s vlnoplochou, má Helmholtzova integrální věta důležitou vlastnost často
požadovanou od Huygensova–Fresnelova principu: totiž tu, že z vlnoplochy se vlna šíří jen ve směrech
od zdrojů, kdežto zpětná vlna neexistuje (viz 3.2(2)). Skutečně podle (7) je ψ(P) = 0 pro všechny body
uvnitř plochy S.
* * *
Helmholtzovu integrální větu lze považovat za hledaný difrakční integrál. Vyjadřuje totiž vlnovou
funkci ψ(P) v bodě P prostřednictvím vlnové funkce ψ(M) a derivace ve směru normály M ψ(M) · n
v bodech M plochy S. Potíž je však v tom, že Helmholtzova integrální věta požaduje současně znalost
funkce ψ(M) i derivace ve směru normály M ψ(M) · n. Vycházíme-li tedy při vyjadřování ψ(M)
a M ψ(M) · n z nějakého fyzikálního modelu, je nutné dbát na to, aby obě vyjádření byla matematicky
konzistentní. Slabinou Kirchhoffova odvození difrakčního integrálu je právě matematická rozpornost
volby ψ(M) a M ψ(M)·n (srov. odst. 6.4.1 pojednávající o Kirchoffových okrajových podmínkách).
Rayleighovo–Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu se proto vrací k integrální větě z odst. 6.2
a za funkci ψ1 nevolí kulovou vlnu, jako v případě Helmholtzovy integrální věty, ale Greenovu funkci, jejíž
104 6 KIRCHHOFFŮV A RAYLEIGHŮV–SOMMERFELDŮV DIFRAKČNÍ INTEGRÁL
vlastnosti způsobují, že výsledný difrakční integrál obsahuje buď jen hodnoty ψ(M), nebo jen hodnoty
M ψ(M) · n (viz odst. 6.5.1). Nepříjemné u Rayleighova–Sommerfeldova odvození však je, že explicitní
tvar Greenovy funkce je znám jen pro speciální tvary plochy S (rovina a koule). Naštěstí pro nejdůležitější
případ rovinného difrakčního stínítka se explicitní tvar Greenovy funkce snadno najde (srov. odst.
6.5.2).
6.4 Kirchhoffovo odvození difrakčního integrálu
Difrakční integrál vždy odvozujeme ve tvaru použitelném pro popis difrakce vlnění dopadajícího na takové
neprůhledné stínítko s otvory, které odděluje poloprostor Σ1, v němž jsou zdroje vlnění, od poloprostoru
Σ2, v němž počítáme difrakční jev (obr. 6). Za plochu S pak zvolíme část povrchu stínítka odvrácenou
od zdrojů. Pro Kirchhoffovo odvození difrakčního integrálu je tedy východiskem Helmholtzova integrální
věta iii). Vyplývá z ní
ψ(P) =
D
4π S
ψ(M) M
exp(iksM )
sM
−
exp(iksM )
sM
M ψ(M) · n dS, (1)
kde
D = 1, když P je vnitřním bodem poloprostoru Σ2,
D = 2, když P leží na ploše S,
D = 0, když P je vnitřním bodem poloprostoru Σ1.
Obrázek 6: K odvození Kirchhoffova difrakčního integrálu.
O funkci ψ se přitom předpokládá, že všude v Σ2 je řešením Helmholtzovy rovnice spojitým i s prvními
derivacemi na ploše S a i s druhými derivacemi ve vnitřních bodech poloprostoru Σ2 a že splňuje
vyzařovací podmínku stejnoměrně ke všem směrům v prostoru. Zbývá nyní specifikovat funkci ψ(M)
a M ψ(M) · n v bodech M plochy S.
6.4.1 Kirchhoffovy okrajové podmínky
Označme S0 propustnou část difrakčního stínítka (obr. 6). Intuitivně se zdá být rozumné dosadit do integrálu
(1) Kirchhoffovy okrajové podmínky, které předpokládají, že v nepropustné části stínítka je funkce
ψ i její derivace ve směru normály rovna nule, kdežto v propustné části je táž, jakoby nepropustných
částí nebylo. Matematicky vyjádřeno:
ψ(M) = 0, M ψ(M) · n = 0 pro M /∈ S0, (2)
ψ(M) = ψ0(M), M ψ(M) · n = M ψ0(M) · n pro M ∈ S0, (3)
6.4 Kirchhoffovo odvození difrakčního integrálu 105
kde ψ0(M) jsou hodnoty vlnové funkce, které by byly v bodech M propustné oblasti S0 plochy S, kdyby
nebylo nepropustných částí difrakčního stínítka.
Z fyzikálního hlediska jsou Kirchhoffovy okrajové podmínky zjednodušením skutečnosti, jsou však
dobře přijatelným modelem, zejména jsou-li rozměry otvorů velké ve srovnání s vlnovou délkou. Jistou
představu o tom, do jaké míry je splněna podmínka (2), lze získat z grafů v práci Braunbeka a Laukiena
[6], které udávají rozložení amplitudy a fáze při difrakci rovinné elektromagnetické vlny na nekonečně
tenké dokonale vodivé (tedy nepropustné) polorovině, vypočtené na základě Maxwellových rovnic. Z grafů
je vidět, že již ve vzdálenosti asi 0, 12λ od kraje poloroviny klesne v zadní části poloroviny amplituda
na polovinu hodnoty v propustné části a ve vzdálenosti λ asi na pětinu. Lze z toho usoudit, že jsou-li
jak rozměry otvorů, tak rozměry nepropustných částí difrakčního stínítka velké ve srovnání s vlnovou
délkou, jsou Kirchhoffovy okrajové podmínky rozumnou aproximací. Potíž je však v tom, že jsou rozporné
z matematického hlediska.
Matematická rozpornost Kirchhoffových okrajových podmínek (2), (3) spočívá v tom, že odporují
větě 1.11: Jestliže v libovolné konečné části nějaké hladké plochy jsou řešení ψ Helmholtzovy rovnice
i jeho derivace ve směru normály ψ · n rovny nule, je řešení ψ rovno nule v celém prostoru. Okrajové
podmínky (2), (3) si tedy vzájemně odporují. To degraduje Kirchhoffův difrakční integrál na heuristickou
metodu řešení okrajového problému Helmholtzovy rovnice s Kirchhoffovými okrajovými podmínkami (2),
(3) – srov. však poznámku v odst. 6.6
Jinou matematickou nesrovnalostí je, že Kirchhoffovy okrajové podmínky jsou na ploše S nespojité,
kdežto Helmholtzova integrální věta předpokládá, že funkce ψ je v bodech plochy nejen spojitá, ale
i hladká. Tuto nesrovnalost lze odstranit, neboť nespojitosti jsou konečné. Matematicky lze k po částech
hladkým okrajovým podmínkám ψ(M), M ψ(M)·n sestrojit takové hladké funkce ψ(C)
(M), M ψ(C)
(M)·
n, že rozdíly ∆1 = ψ(M)−ψ(C)
(M), ∆2(M) = M ψ(M)·n− M ψ(C)
(M)·n jsou nenulové pouze v libovolně
úzkém oboru lemujícím nespojitosti funkcí ψ(M), M ψ(M) · n. Lze nahlédnout, že vlnová funkce
ψ(C)
(P), kterou dává difrakční integrál s hladkými okrajovými podmínkami ψ(C)
(M), M ψ(C)(M) · n,
se libovolně málo liší od vlnové funkce ψ(P) dané difrakčním integrálem s po částech spojitými okrajovými
podmínkami.
6.4.2 Kirchhoffův difrakční integrál
Dosazením okrajových podmínek (2), (3) do (1) se získá Kirchhoffův difrakční integrál ve tvaru
ψ(P) =
D
4π S0
ψ0(M) M
exp(iksM )
sM
−
exp(iksM )
sM
M ψ0(M) · n dS0, (4)
v němž se integruje pouze přes propustnou část S0 difrakčního stínítka.
Jako speciální případ uvažujeme difrakční stínítko, jehož propustné části jsou tvořeny prázdnými
otvory a které je osvětleno kulovou vlnou vycházející ze zdroje P0 (obr. 6). Označíme-li rM =
−→
P0M,
má vlnová funkce a její gradient v bodech M difrakčního stínítka tvar (až na konstantní faktor mající
význam amplitudy v jednotkové vzdálenosti od zdroje P0)
ψ0(M) =
exp(ikrM )
rM
, M ψ0(M) = ik 1 +
i
krM
rM
rM
exp(ikrM )
rM
.
Dosadíme-li tyto výrazy do (4), dostaneme po úpravě
ψ(P) = D
ik
4π S0
exp ik(rM + sM )
rM sM
sM
sM
1 +
i
ksM
−
rM
rM
1 +
i
krM
· n dS0. (5)
V případě optické difrakce je rM , sM >> λ, a proto 1/krM a 1/ksM lze zanedbat proti jedničce. Pak
D = 1 a
ψ(P) = −
ik
4π S0
exp ik(rM + sM )
rM sM
rM
rM
−
sM
sM
· n dS0. (6)
Zejména tento tvar difrakčního integrálu je východiskem pro numerické výpočty optických difrakčních
jevů.
Při přechodu od integrálu (4) k integrálu (6) je poučné si všimnout, jak z teorie vyplývají Fresnelův
fázový předstih (−i) = exp(−iπ/2) sekundárních vln a faktor 1/λ = k/2π, o nichž byla řeč v odstavci
3.2 o Huygensově–Fresnelově principu. Dále je z integrálu (6) vidět, že v případě, že se integruje přes
vlnoplochu (tj. r/r = n), je faktor sklonu (1 − n · s/s)/2, jak o tom byla zmínka v témž odst. 3.2, 3.2(3).
106 6 KIRCHHOFFŮV A RAYLEIGHŮV–SOMMERFELDŮV DIFRAKČNÍ INTEGRÁL
6.4.3 Helmholtzova věta o reciprocitě při difrakci
Speciální tvar Kirchhoffova difrakčního integrálu (5) resp. (6) dávající vlnovou funkci při izotropním
bodovém zdroji je antisymetrický vzhledem k polohám bodového zdroje P0 a bodu pozorování P. Zaměníli
se poloha zdroje a bodu pozorování, změní se v integrálech (5) a (6) pouze znaménko. To znamená, že
způsobí-li zdroj P0 nějaký rozruch v bodě pozorování P, pak identický zdroj umístěný v P by způsobil
— až na znaménko — týž rozruch v bodě P0. To je Helmholtzova věta o reciprocitě při difrakci.
Tuto větu nelze chápat tak, že by otvor v nepropustném difrakčním stínítku mohl mít nějaké fokusační
vlastnosti a způsobovat, že kdyby se jako zdroje použilo difrakčního obrazce získaného pomocí bodového
zdroje, bylo by možné difrakcí na identickém otvoru zkoncentrovat světlo opět do bodu. Helmholtzova
věta o reciprocitě při difrakci totiž neříká nic o hodnotách vlnové funkce v okolí bodu P0.
6.5 Rayleighovo–Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu
Rayleighovo–Sommerfeldovo odvození ([7], [8], §34) je matematicky exaktní odvození difrakčního integrálu
v teorii difrakce skalárních vln. Jeho praktický význam je veliký, třebaže je omezen jen na případ,
kdy je znám explicitní tvar Greenovy funkce příslušející tvaru difrakčního stínítka (ploše S v integrální
větě). Tento explicitní tvar lze totiž najít, jen když je difrakční stínítko rovinné. V optických aplikacích
tomu tak naštěstí bývá. Zaměříme se proto při výkladu Rayleighova–Sommerfeldova odvození na tento
případ a vyjdeme z integrální věty iii) odst. 6.2.
6.5.1 Greenova funkce
Nutnost předepisovat na ploše S vlnovou funkci i její derivaci ve směru normály, což je příčinou rozpornosti
Kirchhoffova odvození, odpadá, zvolíme-li v integrální větě iii) odst. 6.2 za pomocnou funkci
ψ1 buď funkci G(−)
(P, Q), jež je rovna nule v bodech plochy S, nebo funkci G(+)
(P, Q), jejíž derivace
ve směru normály k ploše S je rovna nule. Musí tedy pomocná funkce G(−)
resp. G(+)
splňovat tyto
podmínky:
A) Je řešením Helmholtzovy rovnice
2
QG(P, Q) + k2
G(P, Q) = 0 (1)
spojitým i s prvními derivacemi v bodech plochy S a i s druhými derivacemi ve vnitřních bodech Q = P
poloprostoru Σ2.
B) V bodě Q ≡ P má singularitu
G(sQ) →
1
sQ
pro sQ → 0. (2)
C) Stejnoměrně ke všem směrům v prostoru splňuje vyzařovací podmínku
lim
sQ→∞
sQ QG(P, Q) ·
sQ
sQ
− ikG(P, Q) = 0. (3)
D) V bodech M plochy S platí buď
G(−)
(P, M) = 0, (4)
nebo
M G(+)
(P, M) · n = 0. (5)
Funkci G(−)
resp. G(+)
splňující podmínky (1) až (4) resp. (1), (2), (3), (5) nazýváme Greenovou
funkcí. Důvod označení G(−)
a G(+)
vyplývá z explicitního tvaru těchto funkcí (srov. níže uvedené vztahy
(8) a (9)). Pokud není třeba mezi oběma funkcemi rozlišovat, užíváme společného symbolu G.
Splnění prvních tří podmínek vyžaduje integrální věta iii) odst. 6.2. Podmínka (4) je specifická pro
funkci G(−)
. Díky této podmínce stačí k určení vlnové funkce ψ(P) v bodě P jen hodnoty vlnové funkce
ψ(M) v bodech plochy S a není třeba specifikovat derivaci ve směru normály. Použijeme-li totiž za funkci
6.5 Rayleighovo–Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu 107
ψ1 ve větě iii) odst. 6.2 Greenovu funkci G(−)
(tj. dosadíme-li ji do vztahu 6.2(3)), dostaneme (z 6.2(17)
až 6.2(19)) s využitím (4)
ψ(P) =
D
4π S
ψ(M) M G(−)
(P, M) · n dS, (6)
kde D má týž význam jako v případě 6.4(1).
Naproti tomu podmínka (5) je specifická pro funkci G(+)
a umožňuje to, že k určení vlnové funkce
ψ(P) stačí jen hodnoty derivace vlnové funkce ve směru normály k ploše S, tj. M ψ(M)·n, a není třeba
specifikovat samu vlnovou funkci ψ(M). Použijeme-li za funkci ψ1 ve větě iii) odst. 6.2 Greenovu funkci
G(+)
, dostaneme
ψ(P) = −
D
4π S
G(+)
(P, M) M ψ(M) · n dS. (7)
Každý ze vztahů (6) a (7) určuje vlnovou funkci ψ v libovolném bodě prostoru. Aby však bylo možné
těchto vztahů prakticky použít, musíme najít explicitní tvar funkcí G(−)
a G(+)
příslušejících ploše S.
Obecně to, bohužel, není asi možné. Naštěstí však pro nejdůležitější případ, kdy plochou S je rovina
a bod P je vnitřním bodem poloprostoru Σ2, lze najít explicitní tvary funkcí G(−)
a G(+)
snadno ([8],
§34).
6.5.2 Explicitní tvar Greenovy funkce příslušející rovinnému difrakčnímu stínítku
K nalezení explicitního tvaru funkcí G(−)
a G(+)
příslušejících rovině S použil Sommerfeld ([8], §34)
metody obrazu (obr. 7). Nechť P je vnitřním bodem poloprostoru Σ2 a nechť P je zrcadlový obraz bodu
P podle roviny S. Pak funkce
G(−)
(P, Q) =
exp(iksQ)
sQ
−
exp(iksQ)
sQ
(8)
a
G(+)
(P, Q) =
exp(iksQ)
sQ
+
exp(iksQ)
sQ
, (9)
kde s Q =
−→
P Q, jsou hledanými explicitními tvary Greenových funkcí, neboť funkce (8) splňuje podmínky
(1) až (4) a funkce (9) splňuje podmínky (1), (2), (3) a (5):
i) G(P, Q) je spojitým řešením Helmholtzovy rovnice ve všech bodech P = Q poloprostoru Σ2. (Singularita
v bodě P nevadí, neboť P /∈ Σ2.)
ii) Pro sQ → 0 se funkce G(P, Q) chová jako 1/sQ, neboť první sčítanec se k této funkci blíží. Naproti
tomu druhý sčítanec zůstává konečný.
iii) Vyzařovací podmínka je rovněž splněna (srov. 6.1(3)).
iv) Sestavení funkce G(P, Q) metodou zrcadlení, tj. sM = sM , zajišťuje splnění podmínky G(−)
(P, M) = 0
v bodech roviny S. Rovněž funkce G(+)
splňuje podmínku (5), jak se lze přesvědčit přímým výpočtem:
QG(+)
(P, Q) = ik 1 +
i
ksQ
exp(iksQ)
sQ
sQ
sQ
+ 1 +
i
ksQ
exp(iksQ)
sQ
sQ
sQ
. (10)
Poněvadž v bodech M roviny S je sM = sM , vyplývá z (10), že vektor
M G(+)
(P, M) = ik 1 +
i
ksM
exp(iksM )
sM
sM
sM
+
s M
sM
(11)
leží v rovině S (srov. obr. 7), takže skalární součin tohoto vektoru s normálou n k rovině S je roven nule,
jak požaduje podmínka (5).
108 6 KIRCHHOFFŮV A RAYLEIGHŮV–SOMMERFELDŮV DIFRAKČNÍ INTEGRÁL
Obrázek 7: K nalezení explicitních tvarů Greenových funkcí G(−)
a G(+)
pro případ rovinného difrakčního
stínítka.
Zbývá ještě zdůvodnit omezení polohy bodu P na vnitřní body poloprostoru Σ2. Jsou tři možnosti
polohy bodu P:
a) P je vnitřním bodem poloprostoru Σ2,
b) P je vnitřním bodem poloprostoru Σ1,
c) P leží v rovině S.
V případě a) bylo již dokázáno, že funkce (8) a (9) jsou explicitními tvary Greenovy funkce. V případě b)
by bod P byl vnitřním bodem poloprostoru Σ2 a singularita v tomto bodě by odporovala první podmínce
kladené na Greenovu funkci. Nejsou proto v případě b) funkce (8) a (9) Greenovými funkcemi. V případě
c) by byla funkce G(−)
(P, Q) ≡ 0 pro libovolnou polohu bodu Q v celém prostoru, což by odporovalo
druhé podmínce, již musí Greenova funkce splňovat. Naproti tomu funkce G(+)
(P, Q) má v případě c)
tvar
G(+)
(P, Q) = 2
exp(iksQ)
sQ
,
jenž splňuje podmínky (1), (2), (3) a (5). Funkce G(+)
(P, Q) zůstává proto Greenovou funkcí, i když bod
P leží na ploše S.
6.5.3 Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál pro okrajovou podmínku ψ(M)
Explicitního tvaru (8) Greenovy funkce G(−)
(P, Q) nyní použijeme k úpravě integrálu (6). Poněvadž
v bodech M roviny S je sM = sM a sM · n = −s M · n (srov. obr. 7), má derivace Greenovy funkce G(−)
ve směru normály tvar
M G(−)
(P, M) · n = 2ik 1 +
i
ksM
exp(iksM )
sM
sM
sM
· n. (12)
Funkce (8) je explicitním tvarem Greenovy funkce G(−)
(P, Q), pouze když P je vnitřním bodem poloprostoru
Σ2. Položíme proto v (6) D = 1. Dosadíme-li dále do (6) derivaci ve směru normály ve tvaru
(12), dostaneme
ψ(P) =
ik
2π S
ψ(M)
exp(iksM )
sM
1 +
i
ksM
sM
sM
· n dS. (13)
Je-li rovinné difrakční stínítko S tvořeno propustnými částmi S0 a nepropustnými částmi S − S0, představují
rozumný fyzikální model okrajové podmínky
ψ(M) = 0 pro M /∈ S0, ψ(M) = ψ0(M) pro M ∈ S0, (14)
kde ψ0(M) značí opět hodnoty vlnové funkce, které by byly v bodech M propustné oblasti S0 roviny
S, kdyby nebylo nepropustných částí difrakčního stínítka. (Problém nespojitosti funkce ψ(M) v bodech
6.5 Rayleighovo–Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu 109
okraje otvoru lze překlenout způsobem naznačeným v závěru odst. 6.4.1.) Za podmínek (14) má difrakční
integrál (13) tvar
ψ(P) =
ik
2π S0
ψ0(M)
exp(iksM )
sM
1 +
i
ksM
sM
sM
· n dS0, (15)
v němž se integruje pouze přes propustnou část S0 rovinného stínítka. Integrál (15) je korektně odvozeným
difrakčním integrálem, jenž vyjadřuje vlnovou funkci v bodě P prostřednictvím hodnot vlnové
funkce ψ(M) v bodech M propustné části S0 rovinného stínítka. Takto konečně dostáváme aspoň pro
případ rovinného difrakčního stínítka Huygensův–Fresnelův princip korektně odvozený z vlnové rovnice.
Uvedeme rovněž tvar difrakčního integrálu (15) ve speciálním případě rovinného difrakčního stínítka,
jehož propustné části jsou tvořeny prázdnými otvory a které je osvětleno kulovou vlnou vycházející
z bodového zdroje P0, tj. ψ0(M) = exp(ikrM )/rM , rM =
−→
P0M:
ψ(P) =
ik
2π S0
exp ik(rM + sM )
rM sM
1 +
i
ksM
sM
sM
· n dS0. (16)
V případě optické difrakce je sM >> λ, takže 1/ksM lze zanedbat proti jedničce. Difrakční integrál
(16) má pak tvar
ψ(P) =
ik
2π S0
exp ik(rM + sM )
rM sM
sM
sM
· n dS0. (17)
Stojí za upozornění, že na rozdíl od Kirchhoffova integrálu 6.4(5) resp. 6.4(6) nemá integrál (16) resp.
(17) symetrii vzhledem k polohám bodového zdroje P0 a bodu pozorování P, takže nemůže existovat
analogie Helmholtzovy věty o reciprocitě.
6.5.4 Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál pro okrajovou podmínku M ψ(M) · n
V bodech M roviny S je Greenova funkce (9)
G(+)
(P, M) = 2
exp(iksM )
sM
,
takže integrál (7) nabude tvaru
ψ(P) = −
D
2π S
exp(iksM )
sM
M ψ(M) · n dS . (18)
Vzhledem k možným polohám bodu P, pro něž je funkce (9) Greenovou funkcí (srov. závěr odst. 6.5.2),
může D nabývat hodnot D = 1, když P je vnitřním bodem poloprostoru Σ2, D = 2, když P leží v rovině
S.
Je-li rovinné stínítko S tvořeno propustnými částmi S0 a nepropustnými částmi S − S0, představují
rozumný fyzikální model okrajové podmínky
M ψ(M) = 0 pro M /∈ S0, M ψ(M) = M ψ0(M) pro M ∈ S0, (19)
kde ψ0(M) značí hodnoty vlnové funkce, které by byly v bodech M roviny S, kdyby nebylo nepropustných
částí. Za podmínek (19) má difrakční integrál (18) tvar
ψ(P) = −
D
2π S0
exp(iksM )
sM
M ψ0(M) · n dS0. (20)
Integrál (20) je korektně odvozeným difrakčním integrálem, jenž vyjadřuje vlnovou funkci v bodě P prostřednictvím
hodnot derivace vlnové funkce ve směru normály v bodech M propustné části S0 rovinného
stínítka S.
Je-li rovinné difrakční stínítko osvětleno kulovou vlnou vycházející z bodu P0 a jsou-li propustné části
prázdné otvory, je ψ0(M) = exp(ikrM )/rM , rM =
−→
P0M, takže podle (20) je
ψ(P) = −D
ik
2π S0
exp ik(rM + sM )
rM sM
1 +
i
krM
rM
rM
· n dS0. (21)
110 REFERENCE
V případě optické difrakce je rM >> λ, takže 1/krM << 1, a také sM >> λ, takže D = 1, a difrakční
integrál (21) má tvar
ψ(P) = −
ik
2π S0
exp ik(rM + sM )
rM sM
rM
rM
· n dS0. (22)
Rovněž difrakční integrál (21) resp. (22) nemá symetrii vzhledem k polohám bodového zdroje P0
a bodu pozorování P, a proto nemůže existovat analogie Helmholtzovy věty o reciprocitě.
6.6 Poznámka ke Kirchhoffovu difrakčnímu integrálu
V předchozích úvahách bylo zdůrazněno, že Kirchhoffovo odvození je rozporné, neboť okrajové podmínky
6.4(2) a 6.4(3) si odporují. Nicméně Kirchhoffův difrakční integrál 6.4(5) a 6.4(6) má tvar matematické
formulace Huygensova–Fresnelova principu; není tedy divu, že numerické výpočty difrakčních jevů založené
na tomto integrálu dokonale souhlasí s experimentem. Navíc v případě rovinného stínítka je
Kirchhoffův difrakční integrál 6.4(5) aritmetickým průměrem difrakčních integrálů 6.5(16) a 6.5(21),
korektně odvozených Rayleighovým–Sommerfeldovým způsobem. Smíme tedy s ohledem na tyto skutečnosti
doufat, že Kirchhoffův difrakční integrál není bezcenný z matematického hlediska?
Nebudeme se touto otázkou podrobněji zabývat. Uvedeme jen, že F. Kottler [9] ukázal, že Kirchhoffův
difrakční integrál je korektním řešením ne sice okrajového problému s Kirchhoffovými okrajovými
podmínkami, ale problému, jenž má na ploše S předepsánu nespojitost vlnové funkce a její derivace
ve směru normály (saltus problem). To, co Kirchhoff považoval za okrajové hodnoty, vzal Kottler za
hodnoty skoku na ploše S. To znamená, že v propustných částech S0 difrakčního stínítka je
ψext(M) − ψint(M) = ψ0(M),
∂ψ
∂n ext
−
∂ψ
∂n int
=
∂ψ0
∂n
, M ∈ S0,
kde ψ0(M) značí stále hodnoty vlnové funkce, které by byly v bodech M, kdyby nebylo nepropustných
částí stínítka, a indexy ext a int značí vnější a vnitřní stranu plochy S vzhledem k oblasti Σ2. V nepropustných
částech difrakčního stínítka je pak předepsáno spojité chování vlnové funkce ψ i derivace
∂ψ/∂n:
ψext(M) − ψint(M) = ψ0(M),
∂ψ
∂n ext
−
∂ψ
∂n int
= 0.
Podrobnosti viz též v [10].
Reference
[1] Baker B. B., Copson E. T.: The Mathematical Theory of Huygens’ Principle. 2nd ed. Clarendon
Press, Oxford 1950.
[2] Sommerfeld A.: Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung. Jahresbericht der Deutschen
Mathematiker–Vereinigung 21 (1912), 309-353.
[3] Sommerfeld A.: Partielle Differentialgleichungen der Physik. Vorlesungen über theoretische Physik
Bd. VI, 4. Aufgabe. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.–G., Leipzig 1958. Anglický
překlad prvního vydání: Partial Differential Equations in Physics. Akademic Press Inc. Publishers,
New York, N.Y. 1949.
[4] Rellich F.: Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von ∆u + λu = 0 in unendlichen Gebieten.
Jahresbericht der Deutschen Mathematiker–Vereinigung 53 (1943), 57-65.
[5] Vekua I. N.: Ob metagarmoničeskich funkcijach. Trudy Tbilisskogo matematičeskogo instituta 12
(1943), 105-174.
[6] Braunbek W., Laukien G.: Einzelheiten zur Halbebenen–Beugung. Optik 9 (1952), 174–179.
[7] Rayleigh J. W.: On the Passage of Waves through Apertures in Plane Screens, and Allied Problems.
Philosophical Magazine 43 (1897), 259–272. Též Scientific Papers, Vol. IV. At the University Press,
Cambridge 1903, 283–296.
REFERENCE 111
[8] Sommerfeld A.: Optik. Vorlesungen über theoretische Physik Bd. IV, 2. Aufgabe. Akademische
Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.–G., Leipzig 1959. Anglický překlad prvního vydání: Optics.
Lectures on Theoretical Physics, Vol. IV. Academic Press, New York 1954.
[9] Kottler F.: Zur Theorie der Beugung an schwarzen Schirmen. Annalen der Physik (4) 70 (1923),
405-456.
[10] Kottler F.: Diffraction at a black screen. Part I: Kirchhoff’s theory. In: Progress in Optics, Volume
IV (E. Wolf, ed.) North–Holland Publishing Co., Amsterdam 1965, 281-314.
112