Grupy a symetrie II
• vibrace pyramidy XY3 (C3v)
• pravidelný čtyřstěn: P(4) a bodová grupa Td
• notace pro bodové grupy (Schoenflies a mezinárodní)
• direktní součin matic a grup
• příklad D3h = C3v C1h
• notace pro reprezentace
• operace symetrie na funkcích souřadnic
• bázové funkce
Fyzika kond. látek 2, jarní semestr 2023/2024 J. Humlíček, humlicek@physics.muni.cz
1
Molekulární vibrace pyramidální XY3 (C3v); normální módy - Herzberg II
3N=12 stupňů volnosti
12-ti rozměrná (reducibilní) reprezentace v prostoru posunu atomů
3bez 3 translací a 3 rotací: N-6=6 vibrací
6-ti rozměrná (reducibilní) reprezentace v prostoru výchylek z rovnovážných poloh
2
6 vibrací, povolené v IR i Ramanově rozptylu
4 frekvence, dvě jsou dvojnásobně degenerované (mají 2 ortogonální vzory výchylek)
3
“breathing modes”
in-plane out-of-plane
Posoudit poměr frekvencí pro NH3/ND3, nepřímá úměra odmocnině z hmotnosti (?)
Další příklad - Td
Operace symetrie pravidelného čtyřstěnu (struktura ZnS):
identita E,
osm rotací C3 kolem diagonál (čárkovaně),
tři rotace C2 kolem x,y,z,
šest os S4 kolem x,y,z, odpovídajícím rotacím
o ±p/2
šest zrcadlení sd (diagonální roviny)
řád grupy Td je 24,
je izomorfní s grupou permutací P(4),
5 tříd, tabulka charakterů je matice 5x5
všimneme si ortogonality řádků a sloupců
4
Příklad - Td
Tabulky charakterů grupy Td ze dvou zdrojů:
Inui, Tanabe, Onodera, Group theory and its applications in physics, Springer 1976
(43m)
M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, Group theory, Applications to the physics of Condensed Matter,
Springer 2008
5
Příklad - Td
Tabulky charakterů pro bodovou grupu Td a (izomorfní) grupu P(4)
z Dress_2008.
Co vede označení tříd grupy P(4), a jaká je souvislost s operacemi symetrie Td ?
Všimnout si rozdílného značení ireducibilních reprezentací.
6
7
14 Bravaisových mřížek
základ pro 230 prostorových
grup v 3D (73 symorfních,
157 nesymorfních - mají
šroubové osy a skluzové
roviny)
řada příkladů v
Dresselhaus, Dresselhaus &
Jorio
8
Perovskitová (CaTiO3) krystalová struktura - BaTiO3
Oh
1 (Pm3m)
Ti v centrální (a) pozici v krychli, Ba v pozici (b), O v pozici (c)
iont Ti v centru krychle je „malý“, feroelektrický fázový přechod
(Krystalografické) bodové grupy – dvě hlavní konvence pro označování:
Schoenfliesova a „mezinárodní“ (Hermann-Maguin, international)
Translační symetrie omezuje n-násobné rotační osy Cn na n=1,2,3,4 a 6.
Schoenflies international
Cn 1,2,3,4,6
s (zrcadlení) m
Sn (rotačně-inverzní osa)
Symbol m pro rovinu zrcadlení nerozlišuje mezi vertikální, horizontální a
diagonální rovinou; místo toho,
n/m znamená horizontální rovinu kolmou k n-násobné ose,
nm znamená horizontální rovinu obsahující n-násobnou osu.
1,3,4,6
9
Bodové grupy – dvě hlavní konvence pro 32 krystalografických bodových grup
10
11
Bodové grupy – dvě hlavní konvence pro 32 krystalografických bodových grup
Direktní součin matic
Nechť jsou A a B matice s lAc lAr a lBc lBr prvky:
Aij , i=1,...,lAr , j=1,...,lAc , and Bkm , k=1,...,lBr, m=1,...,lBc .
Matice C=AB, označovaná jako direktní součin, je tvořena lAr lAc lBr lBc všemi
součiny Aij Bkm = Cik,jm. Alternativní symbol je C=AB.
Pro zacházení s maticemi je vhodné pravoúhlé uspořádání prvků.
Pár symbolů ik označuje řádky, pár jm sloupce pravoúhlého pole
lArlBr řádků a lAclBc sloupců matice C.
Vodítkem pro definici násobení matic vzniklých direktním součinem je požadavek, aby „transformace“
byly reprezentovány postupným násobením matic:
A’’=A’A reprezentuje operaci A následovanou operací A’;
podobně B’’=B’B a C’’=C’C=A’AB’B. Prvky direktního součinu jsou
' ' ' ' '
, , ,( ' ) ,    ik jm ip pj kq qm ip kq pj qm ik pq pq jm
p q p q p q
C C A A B B A B A B C C
což vyjde s použitím obvyklého pravidla “řádek-krát-sloupec” s maticemi C’ a C.
12
Pravoúhlé uspořádání prvků AB :
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
,
.
...
 
 
 
   
 
  
Ac
Ac
Ar Ar Ar Ac
l
l
l l l l
A B A B A B
A B A B A B
A B
A B A B A B
kde B je pravoúhlý blok
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
...
 
 
 
  
 
  
Bc
Bc
Br Br Br Bc
l
l
l l l l
B B B
B B B
B
B B B
13
Direktní součin grup
Dvě grupy,
GA s prvky Ai , i=1,...,nA , a
GB s prvky Bj , j=1,...,nB , takové že AiBj=BjAi pro všechny jejich prvky,
tvoří grupu - direktní součin - GAGB tvořenou všemi AiBj.
Všechny čtyři axiomy jsou splněny:
1. AiBjAkBl = (AiAk)(BjBl ),
2. jednotkový prvek je EAEB,
3. inverzní prvek... Ai
-1Bj
-1 , neboť Ai
-1Bj
-1AiBj=EAEB,
4. násobení je asociativní.
Jestliže GA a GB nemají žádný společný prvek (jednotku bychom asi mohli považovat
za společnou), řád GAGB je nAnB.
14
Direktní součin grup - příklad
Operace symetrie rovnostranného trojúhelníka
(Schoenfliesova notace)
tvoří bodovou grupu C3v {E,3sv ,2C3}, pokud je horní a dolní strana trojúhelníka
odlišitelná (například „pyramidové“ molekuly typu NH3);
bez této asymetrie přibude další operace symetrie:
sh , zrcadlení v horizontální rovině.
Protože shsh = E, grupa C1h {E,sh} je cyklickou grupou řádu 2.
Horizontální zrcadlení komutuje se všemi prvky C3v, celková symetrie je tedy popsána
grupou D3h = C3v C1h s 12-ti prvky
{E, s1, s2, s3, C3, C3
2, sh, shs1, shs2, shs3 , shC3, shC3
2}.
3
y
x
1
2
15
Direktní součin grup – příklad D3h = C3v C1h , tabulka násobení
s jednodušší notací P(3): s1A,s2B,s3C,C3D,C3
2F; dále shS:
vpravo
vlevo
E A B C D F
E E A B C D F
A A E D F B C
B B F E D C A
C C D F E A B
D D C A B F E
F F B C A E D
E S
E E S
S S E
vpravo
vlevo
E A B C D F S SA SB SC SD SF
E E A B C D F ?
A A E D F B C
B B F E D C A ?
C C D F E A B ?
...
16
Příklad D3h = C3v C1h , třídy, ireducibilní reprezentace
šest tříd:
{E}, {s1, s2, s3},{C3,C3
2},
{sh},{shs1, shs2, shs3},{shC3, shC3
2}
hledáme matici 6x6 s charaktery ireducibilních reprezentací direktního součinu
(z Inui, Tanabe, Onodera, Group theory and its applications in physics, Springer 1976)
17
Příklad D3h = C3v C1h , charaktery ireducibilních reprezentací
matice 3x3 (C3v) je pro D3h 3x zopakovaná, dolní diagonální blok
má opačné znamení díky druhé ireducibilní reprezentaci C1h ,
s charakterem A´´=(1,-1)
18
19
Direktní součin grup – příklad D3h = C3v C1h , třídy, ireducibilní reprezentace
jiná notace pro některé třídy
(charaktery z M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, Group theory, Applications to the physics of
Condensed Matter, Springer 2008)
řádky a sloupce jsou odlišné (ortogonální)  lze najít korespondenci s předchozí
verzí tabulky (charaktery jsou stejné)
Bodové grupy: označení reprezentací
Chemická notace (Mulliken,1933) běžná v molekulární fyzice nebo v mřížové
dynamice. Používá symboly
A a B pro jednorozměrné reprezentace (B tehdy, je-li lichá při nejmenší rotaci
kolem hlavní osy),
E pro dvojrozměrné reprezentace,
T,U,V,W pro reprezentace dimenze 3,4,5,6.
Fyzikální (Bethe, 1929; Koster, Dimmock, Wheeler and Statz, 1963):
G1, G2, G3,... ; v novější literatuře o kondenzovaných látkách.
Alternativně, občas (Bouckaert, Smoluchowski and Wigner, 1935);
příklad pro Td:
Mulliken KDWS BSW
A1 G1 G1
A2 G2 G2
E G3 G12
T1 G4 G15
T2 G5 G25 20
Bodové grupy: označení reprezentací
Mullikenovo značení má další pravidlo:
jestliže grupa obsahuje inverzi, symbol reprezentace má další index, buď
“g” (gerade) pro sudou paritu při inverzi, nebo
“u” (ungerade) pro lichou paritu.
Příklad ortorombické bodové grupy D2h=D2CI , CI ={E,I} je cyklická grupa řádu 2.
21
Operace symetrie působící na funkce souřadnic
Rotace o úhel a v rovině (x,y):
1' cos sin cos sin cos sin
( ) , ( ) , ( ) .
' sin cos sin cos sin cos
x x y x
R R R
y x y y
a a a a a a
a a a
a a a a a a
          
                      
Tato transformace souřadnic transformuje také jejich funkce, f(x,y), jako jsou
například f1(x,y)=x, f2(x,y)=x2+ y2, f3(x,y)=x2-y2, f4(x,y)=xy, f5(x,y)=x3-3xy2,...
Transformované funkční hodnoty jsou
'( ', ') ( , ),f x y f x y
transformovaná funkce vychází z originální působením operátoru PR (působícím
na funkce):
' , ( ', ') ( , ) ( 'cos 'sin , 'cos 'sin ).R Rf P f P f x y f x y f x y y xa a a a    
Explicitní tvar transformované funkce je tedy
( , ) ( cos sin , cos sin ).RP f x y f x y y xa a a a  
22
Operace symetrie působící na funkce souřadnic
Rotace Ra transformuje komplexní funkci dvou reálných argumentů fc1(x,y)=x+iy do
Pro f2(x,y)=x2+ y2, f3(x,y)=x2-y2, f4(x,y)=xy, dostáváme následující příklady
transformací:
1 1( , ) cos sin ( cos sin ) ( , ).i
R c cP f x y x y i y x e f x ya
a a a a 
    
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
4 3 4
' ,
' cos sin ( ) (cos sin ) cos sin (cos sin ) .
f x y f
f x y xy f fa a a a a a a a
  
        
23
Operace symetrie působící na funkce souřadnic
Pro každou transformaci R třírozměrného vektoru r=(x,y,z), r’=Rr, dostaneme
transformovanou funkci pomocí následujícího pravidla:
1
1
( ') ( ) ( '), i.e.,
( ) ( ).
R
R
P f f f R
P f f R


 

r r r
r r
Dvě po sobě následující operace R and S transformují libovolnou funkci f
následujícím způsobem:
1 1 1
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ),S R S R SP P f P P f P g g S f R S  
   r r r r r
kde g=PRf.
Složené působení operace R (provedené prvně) a S je součin SR:
1 1 1
( ) [( ) ] ( ),SRP f f SR f R S  
 r r r
vedoucí ke stejnému výsledku jako součin PSPR. Můžeme tedy použít stejný
symbol pro operace R a PR:
1
( ) ( ).Rf f R
r r
24
Bázové funkce reprezentace
Soubor nezávislých funkcí f1, f2, ..., fd označíme jako bázi d-rozměrné
reprezentace, tvořené maticemi s prvky Dkl(Ai), je-li
1
( ) pro .
d
i l kl i k i
k
A f D A f A G

 
To je podmínka pro uzavřenost souboru funkcí pro operace grupy G.
Jednotlivé funkce z tohoto souboru se označují jako bázové funkce, nebo bázové
vektory.
l-tý bázový vektor je lineární kombinací s koeficienty z l-tého sloupce matic
reprezentace; „přísluší k l-tému sloupci“.
25
Následující (reducibilní) 3-rozměrná reprezentace P(3) může být použita jako
transformace funkcí f1=x, f2=y, f3=z prvky C3v:
E C3 C3
-1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
     
          
          
x x
y y
z z
1 0 0
0 0 1
0 1 0
     
          
          
x x
z y
y z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
     
          
          
z x
y y
x z
s1 s2 s3
0 1 0
1 0 0
0 0 1
     
          
          
y x
x y
z z
0 0 1
1 0 0
0 1 0
     
          
          
z x
x y
y z
0 1 0
0 0 1
1 0 0
     
          
          
y x
z y
x z
26
Její charakter je
P3=A1+E,
je ortogonální k A2
(projekce na A2
je nulová)
E 3sv 2C3
P3 3 1 0
A1 1 1 1
A2 1 -1 1
E 2 0 -1
Funkce
1 1 2 3     Af f f f x y z
27
je invariantní při všech operacích z C3v;
tvoří bázi reprezentace A1, nebo, transformuje se jako A1.
Podobně, funkce
1 2(2 ) / 6, ( ) / 2    E Ef x y z f y z
tvoří bázi ireducibilní reprezentace E.
Bázi reprezentace A2 dostaneme například z polynomů třetího řádu:
2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ).     Af x y z y z y z x y