Direktní součin matic
Nechť jsou A a B matice s lAc lAr a lBc lBr prvky:
Aij , i=1,...,lAr , j=1,...,lAc , and Bkm , k=1,...,lBr, m=1,...,lBc .
Matice C=AB, označovaná jako direktní součin, je tvořena lAr lAc lBr lBc všemi
součiny Aij Bkm = Cik,jm. Alternativní symbol je C=AB.
Pro zacházení s maticemi je vhodné pravoúhlé uspořádání prvků.
Pár symbolů ik označuje řádky, pár jm sloupce pravoúhlého pole
lArlBr řádků a lAclBc sloupců matice C.
Vodítkem pro definici násobení matic vzniklých direktním součinem je požadavek, aby „transformace“
byly reprezentovány postupným násobením matic:
A’’=A’A reprezentuje operaci A následovanou operací A’;
podobně B’’=B’B a C’’=C’C=A’AB’B. Prvky direktního součinu jsou
' ' ' ' '
, , ,( ' ) ,= = =  ik jm ip pj kq qm ip kq pj qm ik pq pq jm
p q p q p q
C C A A B B A B A B C C
což vyjde s použitím obvyklého pravidla “řádek-krát-sloupec” s maticemi C’ a C.
1
Pravoúhlé uspořádání prvků AB :
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
,
.
...
 
 
 
 =  
 
  
Ac
Ac
Ar Ar Ar Ac
l
l
l l l l
A B A B A B
A B A B A B
A B
A B A B A B
kde B je pravoúhlý blok
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
...
 
 
 
=  
 
  
Bc
Bc
Br Br Br Bc
l
l
l l l l
B B B
B B B
B
B B B
2
Jaká je stopa direktního součinu čtvercových matic?
Příklady direktních součinů ireducibilních reprezentací grupy C3v
zjednodušení při práci s charaktery !
tři třídy: {E}, {C3,C3
2}, {s1, s2, s3}
hledáme charaktery reducibilních/ireducibilních reprezentací direktních součinů
(z Inui, Tanabe, Onodera, Group theory and its applications in physics, Springer 1976)
3
A1  A1 = A1 (ireducibilní)
A1  A2 = A2 (ireducibilní)
A1  E = A2  E = E (ireducibilní)
E  E (reducibilní) = A1+A2+E : 4 1 0
-A1 : 3 0 -1
-A2 : 2 -1 0 (zbylé E)