Základy teorie grup, symetrie Krása a síla teorie grup aplikované ve fyzice spočívá v transformaci mnoha složitých operací symetrie do jednoduché lineární algebry." Definice grupy Příklad: grupa permutací P(3) P(3) jako grupa symetrie rovnostranného trojúhelníka C3v Další (užitečná!) terminologie a vlastnosti Representace (jednotné a účinné zacházení - grupy matic) Charaktery (výběr nej důležitějších vlastností) Bodové grupy (symetrie molekul a krystalů) Fyzika kond. látek 2, jarní semestr 2023/2024 J. Humlíček, humlicek@physics.muni.cz Grupa Množina G prvkům, B, ... s binární operací (AB, násobení) s následujícími vlastnostmi: 1. AB g G (uzavřenost), 2. (AB)C=A(BC) (asociativnost), 3. G obsahuje E takové, že EA-AE-A pro každé A <=G (E je jednotkový prvek), 4. pro každé A gG existuje A1 takové, že AA~l= A~lA=E (A1 je inverzní k A). Poznámky: Pořadí uvedení prvků je nedůležité. Násobení nemusí být komutativní (AB=BA). Pokud je, grupu označujeme jako Abelovskou. 2 Příklad grupy: permutace tří symbolů P(3) 3!=6 prvků (grupa má řád 6), £=(123) A=(132) £=(321) C=(213) D=(312) F=(231) znamená konečné pořadí tří symbolů z výchozího (123) násobení znamená postupné permutace tří symbolů: ad ... prvně d, pak A Tabulka násobení B C D E A B C D F 1 A B C D F A B C D F D F B C F E D C A D F A B C A B F B C A D P(3): matice (3x3) ("řádek krát sloupec") £=(123) A=(132) £=(321) 1 100 1 i 100 1 3 00 1 1 2 = 0 1 0 2 3 = 00 1 2 2 = = 010 2 3 00 1 3 2 0 1 0 3 1 100 3 C=(213) D=(312) F=(231) ~2 "0 1 0" rr "3" "0 0 l" "l" "2" "0 1 0" "l" 1 = 100 2 1 = 100 2 3 = = 001 2 3 00 1 [3 2 0 1 0 3 1 100 3 100 00 1 00 1 00 1 100 0 1 0 AD = 00 1 100 = 0 1 0 = B D A = 100 00 1 = 100 0 1 0 0 1 0 100 0 1 0 0 1 0 00 1 P(3): matice (2x2) (mohou permutovat tři objekty?) E = "1 0" A = ~-l 0" 1 i s B = - 0 1_ .01. 2 _S -i. c = I 2 i Vš -i Vš -i -Vš Vš -i 2 _-Vš -i_ 2 Vš -i AD = "-1 0" 1 -1 VŠ _ 1 i s 0 1 2 -VŠ -1_ ~ 2 -Vš -i = 5 P(3) reprezentuje i operace symetrie rovnostranného trojúhelníka, grupa C3v X 1 s. Ě n. m n m v m g n. m * m * •v * v % •v » E = yA -1 0 y -y xA 0 1 x x A = F = - 1 0 žádná změna 0 1 - 1 0" 2<-»3, zrcadlení v (x,z),(l,z) _ 0 1 1 1 -S l<-»3, zrcadlení v (2, z) 2 ."^ -1 1 1 Vš" l<-»2, zrcadlení v (3,z) 2 Vš -i 1 -i Vš" 1,2,3^3,1,2, 2 rotace o 27i/3 kolem z 1 -i -Vš" 1,2,3^2,3,1, 2 Vš -i rotace o 47i/3 kolem z Další terminologie a vlastnosti 1. Rád G: počet jejích prvků; P(3) je řádu 6. 2. Podgrupa G: množina jejích prvků, tvořící grupu; podgrupy P(3): (£), (£,A), (£,5), (£,C), Rád grupy je dělitelný řádem podgrupy. 3. Rád n prvku A g G: nejmenší hodnota pro An-E\ v P(3), 2? je řádu 1, A,B,C jsou řádu 2, D,F jsou řádu 3. 4. Perioda AgG je Abelovská podgrupa (E,A, A2 A"1), kde n je řád A; periody P(3): (£), (£,A), (£,5), (£,0, (E,D,D2)=(E, F,F*) =(E,D,F). i pokračování 5. Nechť S=(E,SvS2,...,Sg) je podgrupa G a X[1]. Tabulka součinů je Jednorozměrná reprezentace [1] je reprezentací kterékoliv grupy. 15 Teorie reprezentací Izomorfní reprezentací permutační grupy P(3) je grupa následujících šesti třídimenzionálních matic: (tyto matice permutují prvky sloupcového vektoru s obvyklým pravidlem na násobení matic) D(E) = D(C) = 100 0 1 0 00 1 "0 1 0 100 00 1 D{A) - D(D) = 100 00 1 0 1 0 "0 0 ť 100 0 1 o D(B) = D(F) = 00 1 0 1 0 100 0 1 0 00 1 100 16 Teorie reprezentací Jinou izomorfní reprezentací permutační grupy P(3) je grupa následujících šesti dvojrozměrných matic: (srovnat s předchozí transformací poloh vrcholů rovnostranného trojúhelníka) D(E) = 1 0 0 1 D(A) = -1 0 0 1 1 -y/3 -VŠ -1 1 Vš Vš -i -1 Vš ->/3 -1 -i -Vš -v/3 -1 17 Teorie reprezentací Reprezentace jsou obecně tvořeny maticemi s komplexními prvky. Symbol * používáme pro komplexní sdružení, T pro transpozici, symbol + pro sdružení: D = dn d2í ^^12 • • • d22... DT' = dn ^ ^ • • • d22 ... D+ = i 7* 7* ^ • • • 7* a22 ••• • • • • • • - Hermitovská matice je definována pomocí DT=D*, or D+ =D. Unitární matice pomocí D+=Dl. Unitární matice zachovávají normu vektoru: (Dv)+Dv = (v+D+)(Dv) = v+v, kde v je sloupcový vektor, v+ je sdružený řádkový vektor. Dimenzionalita reprezentace je dimenzionalita jejích matic (počet sloupců a řádků). 18 Teorie reprezentací Reprezentace nejsou jedinečné. Jednoduchý způsob, jak získat novou reprezentaci je vytvoření matic následujícím způsobem D(A) = A, (A) O Ot D (A) kde Dn(A) a Dm (A) jsou matice nějaké n— a m—dimenzionální reprezentace, a O je matice tvořená nxm nulami. Blokový tvar matic D(A) nahoře znamená, že tvoří reducibiní reprezentaci (obsahuje nejméně dvě reprezentace). Nulové matice „oddělují" dvě reprezentace ve složené matici. Dále, použití podobnostní transformace UD(A)Ul dává novou reprezentaci, označovanou jako ekvivalentní. 19 Teorie reprezentací Jestliže nějaká podobnostní transformace vede k témuž blokovému tvaru matic, označujeme reprezentaci jako reducibilní; v opačném případě je ireducibilní. Jinými slovy, ireducibilní reprezentace nemůže být vyjádřena pomocí reprezentací menší dimenze. Grupa P(3) má tři ireducibilní reprezentace (dvě jedno- a jednu dvojrozměrnou): prvek grupy: symbol reprezentace E A B c D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] Fy r2 pol r-ioi i Ti -Vš" |0lj L 0 1J 2[S-\_ íľi VŠ i ľ-i S iľ-i -Vš" 2Lvš -i 20 Teorie reprezentací Příklad reducibilní reprezentace rR grupy P(3) je: E A 5 [1 0 0 0 " [1 0 0 0 ] [1 000] 0-10 0 0 1 0 0 0-1 0 0 l -Vš 0010 00 -1 0 ° ° 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 i J oo "V3 -L 2 2 _ Ireducibilní reprezentace v ní obsažené se obvykle uvádějí ve tvaru: rR=rl + rv + r2. 21 Teorie reprezentací Zvláštní důležitost mezi různými reprezentacemi mají ty, které jsou tvořeny unitárními maticemi. Každá reprezentace (D(A),j=l,...,ri) s nenulovými determinanty může být přivedena k unitárnímu tvaru pomocí podobnostní transformace. Snadno to vidíme pomocí Hermitovské matice která může být diagonalizována unitární transformací U vytvořenou z ortonormálních vlastních vektorů H: Všechny prvky diagonální matice Hd jsou kladné; existuje tedy její odmocnina a pomocí ní můžeme najít hledanou podobnostní transformaci jako: n H, = U~ÍHU. Du(Aj) = H-dl,2U-lD(Aj)UH, 1/2 d 22 Teorie reprezentací Následujícím výpočtem zjistíme, že matice Du jsou unitární: DMjWtiAj) = H-/l2U-1D(Aj)UH1J\H-ll2U-1D(Aj)UH1J2r = H-ll2U-xD(Aj)UHdU-xD\Aj)UH-X12 = H-ll2U~lD(Aj )U[YJU~lD(Ak )UU~lD+ (Ak )U]U~1D+ (A. )UH~U2 = H'1'2[fjU~lD(Aj)D(Ak)UU lD+ (Ak)D+ (A.)U]H~U2 = I, k=\ kde / je jednotková matice. Suma v posledním řádkuje diagonální matice Hd, neboť násobení pevnými maticemi D(A) pouze přeskupuje prvky reprezentace. 23 Teorie reprezentací Ireducibilní reprezentace má dvě následující vlastnosti ohledně komutačních vlastností, MD(Aj) = D(Aj)M,j = í,...,n, s pomocnými maticemi M (Schurovo první a druhé lemma): 1. Jediná matice komutující se všemi maticemi ireducibilní reprezentace je násobek jednotkové, const.x/. Jestliže existuje nekonstantní komutující matice, reprezentace je reducibilní. 2. Jsou-li (Da(A),j=l,...,ri) a (Db(A),j=l,...,ri) reprezentace dané grupy dimenzionality po řadě da a db, pak, pokud je matice M (daxdb) taková, že MDa(Aj) = Db(Aj)M,j = í,...,n, M musí být nulová pro da^db. Pro da=db , M je nenulová pouze pro dvě reprezentace odlišující se pouze podobnostní transformací, tedy ekvivalentní. 24 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace (Da(A)J=l,...,ri) a (Db(A),j=l,...,ri) dané grupy, s dimenzemi poradě da a db, splňují následující velký teorém o ortogonalitě (great orthogonality theorem): kde Dajs je prvek Da z r-tého řádku a s-tého sloupce, 5ab je Kroneckerův symbol: 5ab =1 for a-b and 8ab =0 for a£b. Pro unitární reprezentace se tato relace zjednodušuje na V D (A.)Dľ AA.) = —ô hô tô . (GOT) / i a,rs ^ j' b,ut ^ j' r ab rt su v 7 25 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace grupy P(3): E A B C D [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [U rr r2 ľiol ľ-io] íľi -Vš |_oij [oíj \S -i _ íľi Vš~ 2[V3 -1_ i [-i Vš" 2[-VŠ -1_ iľ-i -Vš" 2[VŠ -1 Kontrola ortogonality: 1. Součty pro ľx a ľr jsou nulové: stejný počet matic [1] a [-1], součet je [0]. 2. Součet pro rx a 7^ je nulový: "1 0" + "-1 o" 1 + — 2 i -Vš 1 +— 2 i Vš 1 +— 2 -i Vš 1 +— 2 -1 -Vš" "0 o" 0 1 0 1 -Vš -i _ _Vš -i -Vš -i .Vš -i 0 0_ 26 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace grupy P(3): E A B C D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] rv r2 Hol [-10] íľi -Vš [o lj [O lj 2[rj3 -i _ íľi Vš" 2[VŠ -1_ iľ-i vr 2[-V3 -1_ iľ-i -vr 2[S -1 3. Suma v (GOT) pro rv a r2 je nulová: "1 0" "-1 0" 1 i -Vš 1 i Vš 1 +— 2 -i Vš 1 +— 2 -1 -Vš" "0 0" 0 1 0 1_ 2 -Vš -i _ 2 Vš -i_ -Vš -i _Vš -i _0 0_ 27 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace grupy P(3): E A B C D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] rv r2 Hol [-10] íľi S [o lj [O lj 2[rj3 -i _ íľi Vš" 2[VŠ -1_ iľ-i vr 2[-V3 -1_ iľ-i -vr 2[S -1 Součty v (GOT) pro a=b jsou: r,: [l]2+[l]2+[l]2+[lf+[l]2+[l]2=[6]. ^ [i]2+[i]2+[i]2+[i]2+[i]2+[if = [6]- 28 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace grupy P(3): E A B C D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] rv r2 Hol [-10] íľi -Vš [o lj [O lj 2[rj3 -i _ íľi Vš" 2[Vš -i_ iľ-i vr 2[S -1_ iľ-i -Vš" 2[S -1 Součty v (GOT) pro a=b=r2 jsou: n 2 2 7=1 m=l m=l "1 0" 2 + ~-l 0" 2 1 + — 4 i -Vš 2 1 + — 4 i Vš 2 1 + — 4 -i Vš 2 1 + — 4 -1 -Vš" 2 "3 0" 0 1 0 1 -Vš -i _ Vš -i_ -Vš -i_ _Vš -i _0 3_ Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Relace v (GOT) mohou být interpretovány následujícím způsobem. Maticové prvky unitární ireducibilní reprezentace mohou být do množiny (sloupcových nebo řádkových) vektorů v prostoru dimenze n (řád grupy): Jednotlivé vektory jsou označeny symbolem reprezentace, a, a indexy r a s řádku a sloupce. Všechny tyto vektory jsou navzájem ortogonální ("projekce na zbylé členy jsou nulové"). Navíc, zahrnutí normalizačního faktoru (odmocnina ve formuli nahoře) zaručuje normalizaci (jednotkovou délku vektoru): v v+ =1. a,rs a,rs Maximální počet ortogonálních vektorů v n-rozměrném prostoru je n. 30 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace /], rv a r2 grupy P(3) obsahuje následující ortonormální vektory: normalizační faktor V2 v3 v4 V5 V6 1/V6 1 1 1 1 1 1 1/V6 1 -1 -1 -1 1 1 1/V3 1 -1 1/2 1/2 -1/2 -1/2 1 0 0 -1/2 1/2 1/2 -1/2 1 0 0 -1/2 1/2 -1/2 1/2 1/V3 1 1 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 31 Teorie reprezentací - charaktery Matice (Da(A)J=l,...,ri) dané reprezentace jsou velmi užitečné při zacházení s grupou G; jsou ovšem dány až na podobnostní transformaci UDJJ1. Žádoucí je tedy tuto nejednoznačnost odstranit. Označme ^fl(A •) stopu stopu (trace) matice Da(A), Soubor stop pro všechny prvky grupy, označujeme jako charakter reprezentace (Da). Protože Tr {ud} = X (Z ujkdkj) =X (Z dkjujk) = Tr {du }, j k k j podobnostní transformace nemění charakter reprezentace: Trjt/DtT1} = Tr {u(du~1)} =Tľ{(du~l)u} = Tr {d(U~1U)} =Tv{d}. Ekvivalentní reprezentace jsou navzájem svázány podobnostní transformací, mají tedy stejný charakter. Teorie reprezentací - charaktery Prvky grupy uvnitř jedné třídy jsou spojeny sdružením, odpovídající matice reprezentace jsou spojeny podobnostní transformací —► odpovídající části charakteru libovolné reprezentace jsou stejné. Tabulka charakterů ireducibilních reprezentací grupy P(3): re™" X© X(A) %(B) X(0 X(D) %(F) rx ^ i i i 1 1 1 1 V úsporném zápisu vypisujeme pouze třídy: 33 Teorie reprezentací - charaktery Charaktery ireducibilních reprezentací (Da(A),j=l,...,ri) a (Db(A),j=l,...,ri) splňují relace ortogonality: n které jsou důsledkem (GOT) pro matice. Charaktery také splňují druhou relaci ortogonality, obsahující sumaci přes reprezentace namísto sumace přes prvky grupy: a kde Xa(Q) Je (společná) hodnota z charakteru pro £-tou třídu, tvořenou nk prvky, a nc je počet tříd, který je roven počtu neekvivalentních ireducibilních reprezentací. 34 Teorie reprezentací - charaktery Ortogonalitu řádků v tabulce charakterů ireducibilních reprezentací grupy P(3) můžeme snadno prověřit: charakter %{E) %{A) %{B) %{C) reprezentace X(D) X(F) r\ ^ 1 1 1 1 1 1 1 stejně jako ortogonalitu sloupců v tabulce obsahující třídy: 35 Teorie reprezentací - konstrukce tabulky charakterů Nejdřív je třeba najít třídy. Pak můžeme použít následující vlastnosti: (1) Počet nr neekvivalentních ireducibilních reprezentací je roven počtu tříd, nc-nr (2) Součet čtverců dimenzionalit, dpj=l,...,nr,je roven řádu grupy. (3) Vždy je přítomna identická reprezentace, která dává řádek jedniček. (4) Vždy je přítomna třída obsahující jednotkový prvek, která dává sloupec se stopami jednotkových matic, tedy dimenzionalit. (5) Platí ortogonalita charakterů, pro řádky i sloupce. Teorie reprezentací - konstrukce tabulky charakterů grupy P(3), izomorfní s C3v, s použitím Schoenfliesovy notace pro prvky symetrie bodových grup E: identita; nutná pro grupu. Cn: rotace o 2n/n\ rotační ose říkáme w-četná. Osa s nej větším n, označovaná jako hlavní, je "vertikální". a: zrcadlení v rovině, s třemi indexy. ah: zrcadlení v horizontální rovině. -x, y<->-y, z<->-z. Sn: nevlastní rotace o 2n/n\ složena z rotace o 2/r/n, následované zrcadlením v horizontální rovině (