1
J. Humlíček FKLii
4. Metoda k.p
Rovnice pro periodickou část Blochovy funkce,
2 2 22
2
, , ,
( ) ( ) ( ) ,
2 2
 
       
 
k n k n k n
k i k V r u r E u r
m m m (4.1)
obsahuje v Hamiltoniánu člen
.k p
m
(4.2)
Ten je malý v blízkosti k = 0 (střed Brillouinovy zóny) a budeme ho považovat za poruchu. Předpokládejme,
že nedegenerovaný n-tý pás zde má extrém s hodnotou energie E0,n; poruchový počet dává
0, 0, '
0, 0, ',
' 0, 0, '

 


n n
n nk n
n n n n
u k p u
u u u
m E E (4.3)
a
2
2
2 2 2
0, 0, '
0, 2,
' 0, 0, '
.
2 

  


n n
nk n
n n n n
u k p uk
E E
m m E E (4.4)
Parabolickou disperzní relaci (4.4) obvykle zapisujeme ve tvaru
2 2
0, *,
,
2
 nk n
k
E E
m
(4.5)
kde m* je efektivní hmotnost n-tého pásu:
2
0, 0, '
* 2 2
' 0, 0, '
1 1 2
.


 


n n
n n n n
u k p u
m m m k E E (4.6)
Po rozboru symetrie funkcí u pro strukturu ZnS s bodovou grupou Td zůstane v sumě (4.6) jediný sčítanec
pro efektivní hmotnost dna vodivostního pásu (stav 1c), spojený s nejbližším níže ležícím (valenčním,
trojnásobně degenerovaným) stavem 4v. Odstup energií obou stavů je přímý gap E0, tedy namísto (4.6)
máme
3
2
1 4
* 2 2
0
21 1
.
  
 
c vk p
m m m k E (4.7)
Dimenze reprezentace 4 je tři a její bázové funkce označujeme jako |x>, |y> a |z>. Všechny tři maticové
prvky operátoru hybnosti ve (4.7) jsou vzhledem k symetrii stejné:
1 1 1 .
  
        
  
c c ci x i y i z iP
x y z (4.8)
Vztah (4.7) se tedy dále zjednoduší na
2 2
* 2 *
0 0
1 1 2 2
, 1 .   
P m P
m m m E m mE (4.9)
Pro praktické využití tohoto výsledku zbývá už jen odhadnout velikost P, nebo lépe veličiny 2P2
/m
s rozměrem energie. Ta je pro většinu zajímavých polovodičů IV, III-V a II-VI zhruba stejná (20 eV).
Zjišťujeme tedy, že efektivní hmotnosti vodivostních elektronů jsou nejméně o řád menší než v prázdném
prostoru, a zmenšují se s klesajícím gapem.
4
Gapy a efektivní hmotnosti, z Yu-Cardona.
Označení reprezentací bodových grup
Chemická notace (Mulliken,1933) běžná v molekulární fyzice nebo v mřížové dynamice. Používá symboly
A a B pro jednorozměrné reprezentace (B tehdy, je-li lichá při nejmenší rotaci kolem hlavní osy),
E pro dvojrozměrné reprezentace,
T,U,V,W pro reprezentace dimenze 3,4,5,6.
Fyzikální (Bethe, 1929; Koster, Dimmock, Wheeler and Statz, 1963):
1, 2, 3,... ; v novější literatuře o kondenzovaných látkách.
Alternativní (BSW, Bouckaert, Smoluchowski and Wigner, 1935); dosti často.
5
Příklad pro Td:
Tabulka charakterů ireducibilních reprezentací grupy Td a jejich bázové funkce.
6
polytypismus (SiC), kovalentní vazby reprezentované "vazebným nábojem" (bond-charge)
7
Příklad anizotropních krystalů: hexagonální modifikace SiC
výpočty pásové struktury z J. Appl. Phys. 82 (11), 1 December 1997
kubická vs. hexagonální struktura, BZ
8
9
kubická a 4H modifikace
10
nepřímý gap
11
energie v bodech vysoké symetrie (eV)
12
křivosti vodivostních pásů kolem dvou nejhlubších minim
13